VIII. oszta ly 1. feladat. Az n N terme szetes sza mot szerencse snek nevezzu k, ha n2 felı rhato n darab egyma suta ni terme szetes sza m o sszegeke nt. Bizonyı tsd be, hogy: 1) a 1 szerencse s sza m; 2) egy nulla to l ku lo nbo zo terme szetes sza m akkor e s csak akkor szerencse s, ha pa ratlan! dr. Bencze Miha ly, Brasso Megolda s. 1) Ha a 1 szerencse s sza m, akkor le tezik olyan a N, amelyre 12 a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + 12) 1a + 6 1. Innen ko vetkezik, hogy 1 a + 6, teha t a 7. O sszegezve, igazoltuk, hogy a 1 szerencse s sza m e s 12 7 + 8 + 9 + + 19. 2) A k N akkor e s csak akkor szerencse s, ha le tezik olyan a N, amelyre k 2 a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + k 1) ka + A fenti o sszefu gge s alapja n k a + k(k 1). 2 k 1 k 1. Mivel k, a Z, innen ko vetkezik, hogy Z. 2 2 Ez viszont csak akkor lehetse ges, ha k pa ratlan. O sszegezve, a k N akkor e s csak akkor szerencse s, ha le tezik n N, amelyre k 2n + 1 e s ebben az esetben k 2 (2n + 1)2 (n + 1) + (n + 2) + + (n + 1). 1/6
2. feladat. Az ABCDA0 B 0 C 0 D0 kocka e le 4 cm. A BB 0 e s CC 0 e leken felvesszu k az E e s F pontokat u gy, hogy AE 5 cm e s AF 6 cm. Hata rozd meg az (AEF ) sı k e s a kocka sı kmetszete nek keru lete t! Csa sza r Sa ndor, Csı kmadaras Megolda s. Kisza mı tjuk az EF szakasz hossza t. Az ABE, illetve ACF ha romszo gekben Pitagorasz te tele bo l ko vetkezik, hogy EB 2 AE 2 AB 2 e s F C 2 AF 2 AC 2, teha t EB cm e s F C 2 cm. Megszerkesztju k a B 0 C 0 -tel pa rhuzamos szakaszt az E ponton keresztu l, amely a CC 0 e let a H pontban metszi. Ekkor a HF szakasz hossza EB F C 1 cm. Az EHF ha romszo g H-ban dere kszo gu, teha t EF 2 F H 2 + EH 2 e s ı gy EF 17 cm. Megszerkesztju k az (AEF ) sı k e s a kocka sı kmetszete t. Legyen EF BC {G} e s AG DC {I}. Az I e s F pontok a (DCC 0 ) sı kban helyezkednek el, teha t a keresett sı kmetszet az AIF E ne gyszo g. Kisza mı tjuk az AI e s F I szakasz hossza t. Az EBG ha romszo gben a hasonlo sa g alapte tele bo l ko vetkezik, hogy GC GB FC, EB ahonnan sza rmaztata ssal GC FC. GB GC EB F C Innen ko vetkezik, hogy BC GB GC, teha t GC 8 cm. 2/6
Ma sre szt, AG2 AB 2 + BG2 122 + 42, teha t AG 4 10 cm. Az ABG ha romszo gben IC AB, a hasonlo sa g alapte tele bo l teha t ko vetkezik, hogy GB AB AG. IG GC IC Sza rmaztata ssal AG AG IG Ve gu l IC 2 AB 8 GB, GB GC ahonnan 4 10 AI 12, 4 vagyis AI 4 10 cm. 2 2 cm. Mivel F I EA, hasonlo mo don F I 2 EA 10 1 cm. O sszegezve a kapott eredme nyeket, KAEF I AE + EF + F I + IA! 1 4 10 8 + + 17 cm.. feladat. Az a, b, c, d valo s sza mok esete n legyen S a + b + c + d e s P ab + ac + ad + bc + bd + cd. 1) Fejezd ki az (a b)2 + (a c)2 + (a d)2 + (b c)2 + (b d)2 + (c d)2 o sszeget csak az S e s P segı tse ge vel! 2) Ha S 4 e s P 6, akkor hata rozd meg az a2019 + b2019 + c2019 + d2019 e rte ke t! dr. Bencze Miha ly, Brasso Megolda s. 1) I rhatjuk, hogy E (a b)2 + (a c)2 + (a d)2 + (b c)2 + (b d)2 + (c d)2 (a2 + b2 + c2 + d2 ) 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) (a + b + c + d)2 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd) S 2 8P. 2) Ha S 4 e s P 6, akkor az 1)-es alpont alapja n E 0, /6
viszont ez csak akkor lehetse ges, ha a b c d 1. Innen ko vetkezik, hogy a2019 + b2019 + c2019 + d2019 4. 4. feladat. A gyereknapon 17 gyerek ko zu l mindenki ja tszik egy ja te kot mindegyik ta rsa val. Sorshu za ssal do ntik el, hogy sakkot, teniszt vagy amo ba t. Mutasd ki, hogy van ha rom olyan gyerek, aki egyma s ko zo tt ugyanazt a ja te kot ja tszotta! Za ka ny Mo nika, Nagyba nya To th Csongor, Szova ta Megolda s. Egy gyereket kiva lasztva, o 16 ma sik gyerekkel ja tszik. Ekkor a skatulyaelv alapja n biztos, hogy ez a gyerek 6 ja tszma ban ugyanazt a ja te kot ja tszotta, mivel 5 < 16. ( pont) Az a ltala nossa g megszorı ta sa ne lku l felte telezhetju k, hogy ez a ja te k a sakk volt. A 6 gyerek ko zu l ha van ketto, aki egyma s ko zt sakkot ja tszott, akkor megvan a keresett ha rmas. Ellenkezo esetben a hat gyerek egyma s ko zt amo ba t vagy teniszt ja tszott. E hat dia k ko zu l az egyik legala bb ha rommal ugyanazt a ja te kot ja tszotta (mert 2 2 < 5, e s isme t felte telezhetju k, hogy ez a ja te k az amo ba volt. Most ebbo l a ha rom gyerekbo l ha ketten amo ba ztak egyma ssal, akkor isme t megvan a keresett ha rmas, ku lo nben pedig ha rom gyerek teniszezett az egyma s ko zti ja te kokban. Ebben az esetben is megvan a keresett ha rmas. 5. feladat. Az ABC egyenlo sza ru dere kszo gu ha romszo g BC a tfogo ja n felveszu nk egy P tetszo leges pontot. Az AP C ha romszo g ko re ı rt ko r ko ze ppontja t jelo lje M, e s legyen N az M pont AP szerinti szimmetrikusa. 4/6
1) Igazold, hogy az AN P M ne gyszo g ko rbeı rhato! 2) Hol kell elhelyezkedjen a P pont u gy, hogy a BC oldal az AN P M ne gyszo g ko re ı rt ko r e rinto je legyen? ) Mutasd ki, hogy az N pont az AP B ha romszo g ko re ı rt ko r ko ze ppontja! To th Csongor, Szova ta Megolda s. 1) Legyen AP M N {O}. Mivel M A M P e s M O AP, eze rt M O az AP szakasz felezo mero legese. Teha t AO OP, M O ON e s M N AP, e s ı gy az AN P M ne gyszo g rombusz. _ [ az AP ko rı vhez tartozo keru leti szo g, eze rt m(ap ) 2 m(acp [ ) 90. Ugyanakkor az ACP _ \ \ Ma sre szt, AM P az AP ko rı vhez tartozo ko ze pponti szo g, teha t m(am P ) m(ap ) 90. Az elo bbiek alapja n az AN P M ne gyszo g ne gyzet, teha t ko rbeı rhato. 2) Ha BC e rinto je az AM P M ko re ı rt ko rnek, akkor OP BC. Innen ko vetkezik, hogy AP BC. Viszont AB AC, eze rt AP oldalfelezo, teha t P a BC oldal felezo pontja. \ CAM \, ahonnan kapjuk, ) Az AN B e s AM C ha romszo gekben AB AC, AN AM e s BAN hogy AN B AM C, vagyis BN M C. 5/6
\ ) m(cam \ ) 90 m(n \ Ma sre szt, m(ban AC). Felhaszna lva, hogy M A M P M C, hogy AN P M ne gyzet, illetve, hogy BN M C, ko vetkezik, hogy BN AN P N. Ez viszont azt jelenti, hogy N az AP B ha romszo g ko re ı rt ko r ko ze ppontja. 6/6