METRIKA A HIPEROKTAEDRÁLIS CSOPORTON METRICS ON THE HYPEROKTAHEDRAL GROUP Go Jáos Eötvös Lorá Tuoáyegyete Összefogó Az -ieziós hiperotéer soport z -ieziós o távoságtrtó trszforáiói soport. Ezt soportot T -e eöve T z S és z S féiret szorzt ho egy pozitív egész -r S -foú szietrius soport vgyis -eeő hz perutáiói soport. Eze soporto egy etriát ehet efiiái oy óo hogy ét trszforáió távoság egye z ugyzo sús ét trszforát özötti távoságo xiu. H o súsit z -ieziós Booe-tér potiét teitü vgyis z -ieziós o súsit { } hz eeeive reprezetáu or { < } T egy-egy eee ( π b htó eg ho { } N hz egy perutáió (N e egtív egész száo hz és { } és π hz eeeit -tó iexeü. Ezze reprezetáióv T -e efiiát etri besı óo htározhtó eg vgyis ét trszforáió távoságát eghtározz vit π iszut iusor vó febotás. Az eıásb ezt psotot vizsgáu továbbá egvizsgáu távoság pá efiiát or értéeie hzát. Kusszv hiperotéer soport etri or Booe-tér Abstrt The -iesio hyperother group is the group of the iste-preservig trsfors of the -iesio ube. This group eote by T is the seiiret prout of S S where for y positive iteger S is the -egree syetri group tht is the group of of the peruttios of set of eeets. O this group etris be efie so tht the iste of two trsfors be the xiu of the istes of the trsfore verties of the se origi verties. If we osier the verties of the ube s the poits of the -iesio Booe spe tht is if we represet the verties of the -iesio ube by the eeets of the set of { } the prtiur eeet of T be give i the for of ( π where { } { N < } (N eotes the set of the oegtive itegers the eeets of { } π is peruttio of the set of re iexe fro. By this represettio the etris efie o T be eterie by ier er tht is the iste of two trsfors is eterie by the eopositio of π ito isut yes. The eture ivestigtes this oetio so the set of the vues of the or efie o the bse of the etris is ivestigte. Keywors hyperother group etris or Booe spe
. A hiperotéer soportró A hiperotéer soport vgy ásét hiperoteráis soport z -ieziós o távoságtrtó trszforáiói soport. A hiperotéer soport több üöbözı reprezetáió isert eze özü z egyi ior o súsit z -ieziós Booe-tér zz B { } hz poti teitü. A távoság ebbe z esetbe Hig- távoság vgyis h x x K x és eee or ét pot távoság ( x x ( ( ( x K z -ieziós Booe-tér ét { } ( ( ( x x > i x i x i N. ( Az (-be eghtározott érté ét vetor etérı opoeseie szá ( hiperoát gráfét teitve ho o súsi gráf súsi és z ée szoszéos súsot öti össze ez távoság ét súsot összeötı ut hosszi iiu. Ugyezt ifeezhetü ég z ábbi óo is [Cero és v Lit 99]: x x i x i x i ( ho ouo összeást zz KIZÁRÓ VAGY őveetet eöi. A Booe-tér feti etriáv Hig-tér. A távoságtrtáshoz terészetese ost eegeı hogy üöbözı súso épe üöbözı és szoszéos súso épe szoszéos egye hisze ét szoszéos sús távoság íg e szoszéos súso távoság eé gyobb. A távoságtrtó eépezése soportot ot. Az -ieziós Hig-tér távoságtr- N i N i hz egy tó soportát övetezı óo htu eg. Legye π z { < } perutáió és i N N ϕ x x ( x K x -re i : K szbáy. Eor ( π ( π ( egott eépezés z -ieziós Booe-tér ögáb vó távoságtrtó eépezése és tér ie távoságtrtó eépezése eghtó iye b (ás péáu [Go 988]. A x feti ifeezésbe x x vgy ásét x. ( K -et -v eöve ho N { } ϕ π x párr htu eg. ( x x π ( z eıbbi eépezést tööre π K heyett xπ xπ ( K K vgy rövie ϕ π ( x x írhtó figyeebe véve hogy x x ( vetoro összeását eöi opoese összeás ouo törtéi. Legye ost ϕ és ϕ ét iye trszforáió. ( Eor ( ( ( ( x ( x π ( ( ϕ ( π ( x ( π x π x ( π ( ϕ( x ( π (3
( ( ho ϕ π π π. π z -efoú szietrius soport S egy eee ey ost z N hzo ht íg Z ouo réosztáy-győrő eeée teithetı. - egfeetetve éteeő hz ietius eépezését íg -e ét ee feseréését Z itív soportát izoorf óo eépeztü S -re és egyútt z - itív soportát vgyis ( ; Z -et K ( π K π tetszıeges soport z π -e S S és z S -re. Teitette rr hogy Z ; egy utoorfizus zt pu hogy hiperoteráis S soport féiret szorztáv özeebbrı z S és S soporto o- T -e fogu eöi. A soport ree öye szorúszorztáv izoorf. Ezt soportot áthtó T S S S S!.. Metri hiperotéer soporto Az eızı szszb efiiát soporto távoságot ehet efiiái. Egy ehetséges efiíió z ábbi [Potrgi 984].. Defiíió Legye pozitív egész szá ϕ T és ϕ ( távoság ϕ ϕ x ϕ x ϕ x. ( ( { ( } etri T -e. Vób z (-be efiiát etri B -e így ( T. Eor ϕ és ( ( ( ϕ ( x ( x R ϕ ( ( ( ϕ x ϕ ( x ( x { } R ( ϕ trszforáió és így ; (4 ( ( ( ( x ϕ ( x h ϕ ϕ or ϕ ie x B -re ezért z eeezı esetbe étezi oy 3 ( ( ( ϕ x ϕ ( x ϕ ( x { } ϕ ; (5 u B hogy ϕ u ϕ u és eor ( ( ( ( { } ( x x ϕ x ϕ ( u ϕ ( u ( ( ( ( ( x ϕ x ( ϕ ( x ϕ ( x > ϕ ; (6 ϕ T bárey ét eeére igz tehát ( ( ( x ϕ ( x ϕ ( x ( { } ( ( ( x{ ϕ x ϕ ( x } ( ϕ ϕ ; (7 3
4 h ϕ ( 3 ( ( ( ( ( 3 u ϕ u ϕ ( u ϕ ( u ( 3 ( ( ϕ ( u ( u T or ϕ ϕ ( ( ( ϕ ϕ x ϕ ( x ϕ ( x x { } B ( ( 3 { ( ( 3 } ( ϕ x ϕ x x{ ( ϕ ( x ϕ ( x } B ( 3 ( 3 ( ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ. A övetezı részbe egvizsgáu ezt távoságot. x x és eor (8 3. A etri besı eezése. Le b- és obbivriás T -e zz tetszıeges N és eseté ϕ T ϕ T és ϕ ( 3 T ( 3 ( ( 3 ( ( ϕ ϕ ( 3 ( 3 ( ( ϕ ϕ. (9 Bizoyítás Tetszıeges e rögzített ϕ T ( ( ( ( ( 3 ( x ϕ ( x ( x 3 ϕ T és ϕ T -e ie x B -re ( 3 ( ( ϕ ( x ϕ ϕ ( ( 3 ive ϕ egırzi ϕ x és ϕ x özötti távoságot. De isét ie x B -re ( 3 ( ( 3 ( ( ( 3 ( 3 ( ϕ x ( x ( ( x ( ( x ϕ ( tehát ( 3 ( 3 ( ( 3 ( x x ( 3 ( { ( x ( ( x } ( ( ( ( x ( x ϕ ( { } ( ϕ ( övetezéséppe bivriás. Az eıbbi fetéteee ( 3 ( ( 3 ( 3 ( x x ( ( 3 { ( x ( ( x } ( 3 ( ( 3 { ( ( x ϕ ( ϕ ( x }. (3 4
( 3 De ϕ bietíve épezi e B -et ögár ezért x i zt eeti hogy Most egye s ( 3 ( ( 3 { ( ( } ( x x x ϕ ( x ϕ ( x ( 3 ( ( 3 ( ( ϕ ϕ { } (4 vgyis obbivriás is. π ϕ T és π S pároét iszut iuso szorztár vó febotás π t továbbá egye N s K z eıbbi iusfebotásb -i téyezı és I ( K s t ho -i ius hossz. Legye ég ( { } -re s t i és ϕ t i K ( o τ. 3. Téte ( Legye ϕ és ϕ T tetszıeges ét eee. Eor ( ( τ. Bizoyítás Mive bivriás övetezi hogy eee így ( ( ( ϕ ϕ ι ho ι T seeges x ( ( ( ( { ϕ x ϕ ( x } ϕ ϕ x ( ( ( ι x x { ( x ϕ( x } ϕ ehetı egtöbb opo- ( ho ϕ. ( x ϕ( x xiu ott v ho x és ( x esbe tér e. Legye ( z K { ( ( x } (5 B egy eee és egye ( K -b eıforuó iexe soroztá egfeeı iexő eeeie sorozt. Most ϕ ugyeze iexehez trtozó opoeseit: teitsü ϕ ( ( ( ϕ( ( ϕ( K ( ϕ( π π π. K K (6 ϕ és π ( or és s or tér e h ϕ( zz h o 5
o o o o (7 vgy ásét potos or h. o (8 Iuióv pu hogy és ϕ or és s or üöbözi veyi iexe egfeeı pozíió ho N > h. o o (9 -t tetszıegese vászthtu és h o teesü ie N > iexre or ie iye iexre és ϕ egfeeı opoese üöbözı zz ét vetor pozíió etér. Megvásztv -t ét vetor π - iexő iusáb esı utosó opoese. o ϕ ( Ez ét érté or és s or üöbözı h o ( vgyis or és s or h. o t ( H ( teesü or ét vetor π -iexő iusár szorítozv heye tér e eeezı esetbe viszot z etérése szá. Összefogv ét esetet h t or -hoz trtozó iexere votozó iffereiá szá t íg z 6
eeezı esetbe z etérése száát δ -v eöve esetbe δ t. Ebbı övetezi hogy δ t vgyis iét ( ι ϕ ( ( ( ϕ ϕ ι s s ( t s s δ t (3 ( τ ( ϕ τ (. A fetebe tuáyozott etri segítségéve efiiáhtu T eeeie oráát. 4. Defiíió T ϕ orá ϕ ( ι ϕ. A efiíióbó zo pu hogy ϕ or és s or h ϕ ι ; 3 ϕ ϕ ie ϕ T ( ( -re; ie ( ( ϕ T ϕ. 5. Téte Legye f :ϕ ϕ ho T I ϕ. ϕ. Eor N Bizoyítás ϕ s ( ι ϕ τ ( ϕ ( o. H S i i i i ho s N hz tetszıe- ϕ N π z ietius eépezés ( K { } ges eee o és ϕ or π és eor ϕ s (( o ( ( (. o (4 7
H péáu K 3 3 K egy N tétebe egfogzott áítást. egéssze or τ ( i bizoyít 4. Összefogás Az eıásb hipero távoságtrtó trszforáiói besı eezéséve fogoztu. Mg z eített távoság efiíióáb trszforát eee távoságár hivtozi á eghtározhtó gábó z ott ét trszforáióbó is. H tér iezió ( ϕ és ϕ ét trszforáió ϕ ho π vátozó iexeit perutá és -értéő opoesei egáó vátozót eöi i π s rb pároét iege ius szorzt -i ius hossz ( ϕ ϕ ( π -i iushoz trtozó eee és végü or ét trszforáió távoság ( ( τ. ( o t i ho i τ ϕ s t i iexe A távoság pá efiiátu orát és egápítottu hogy ez ie ehetséges értéet fevesz. H egy -vátozós Booe-függvéyt z -ieziós hipero súsi részhzáv reprezetáu or fetebb tárgyt etri itereszthetı z -vátozós Booefüggvéye hzár is. Eor vizsgáhtó péáu függvéye bizoyos osztáyi vgy z osztáyo hzá egy egfeeıe érteezett etri is. Irooegyzé [] Cero P. J. v Lit J. H. (99 Desigs Grphs Coes their Lis (Loo Mtheti Soiety Stuet Texts. Cbrige Uiversity Press Cbrige [] Go J. (988 O the isoetri group of Hig spe. Agebri strutures their ppitios UMK VO Kiev pp. 65-67 (I Russi [3] H M. r. (959 The theory of groups. MMi Co. New Yor [4] Huppert B. (967 Eihe Gruppe. Spriger Beri [5] Kuzhi L. A. Beei P. M. Feiberg V. Z. (987 Krzproute. Teuber- Texte Vo. B. G. Teuber Lipse [6] Kuzhi L. A. Ki M. Kh. Sushhsii V. I. (979 Expoetitio of peruttio groups I. Izv. Vyssh. Uheb. Zve. Mt. 8 pp. 6-33 (I Russi [7] Krser M. Kouie L. (95 Prouit opet es groupes e peruttios et probèe extesio e groupes I. At Si. Mth. Szege 3 pp. 8-3 [8] Krser M. Kouie L. (95 Prouit opet es groupes e peruttios et probèe extesio e groupes II. At Si. Mth. Szege 4 pp. 39-66 69-8 [9] Potrgi L. S. (984 Nepreryvye gruppy. Nu Moszv 8