Fa (Tree): csomópontok (nodes) halmaza, amelyeket élek (edges) kötnek össze, és teljesülnek az alábbi feltételek:

Fák szenasi.sandor@nik.bmf.hu PPT 2007/2008 tavasz http://nik.bmf.hu/ppt 1

Témakörök Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás Piros-fekete fa B-fa 2

Fa definíciója Fa (Tree): csomópontok (nodes) halmaza, amelyeket élek (edges) kötnek össze, és teljesülnek az alábbi feltételek: létezik egy kitüntetett csomópont: a gyökér (root) a gyökértől különböző minden más c csomópont egy éllel van összekötve a szülőjéhez a fa összefüggő: bármely nem-gyökér csomóponttól kiindulva a szülőkön keresztül a gyökérhez eljutunk Gráfelmélet alapján fa definíciója: olyan gráf, amelyik összefüggő, nem tartalmaz kört 3

Alapfogalmak Ha (v, w) E, akkor v-t a w szülőjének, w-t pedig a v gyerekének nevezzük Ha u-ból vezet út w-be, akkor u a w őse, w az u leszármazottja Ha u w, akkor valódi ős illetve leszármazott Valódi leszármazottal nem rendelkező csomó-pont a fa levele Egy s csomópont az összes leszármazottjával együtt F részfáját alkotja. Ennek gyökere s Erdő: Fák együtteséből álló irányított gráf v w u F=(V,E) s x y z 4

Fa jellemzői Csomópont mélysége: a gyökértől a hozzá elvezető út hossza Csomópont magassága: annak az innen kiinduló útnak a hossza, amelyik a leghosszabb a levelekig vezető utak közül Fa magassága: a gyökér magassága Csomópont szintje: a fa magassága a csomópont mélysége 5

Rekurzív típusok Az adatszerkezetek egy része jól leírható egy rekurzív szerkezettel is, ami fizikailag hasonló tárolást, de egészen más algoritmusokat eredményezhet TLista = Struktúra(tartalom, következő) A lista rekurzív értelmezése szerint minden eleme felfogható egy tartalom résszel, és egy másik (a következő mutató által mutatott elemmel kezdődő) listával rendelkező szerkezetként TFa = Struktúra(tartalom, fák) Egy fa egy eleme elképzelhető egy tartalom résszel, és további részfákkal rendelkező struktúrával TBinárisFa = Struktúra(tartalom, balfa, jobbfa) Bináris fa hasonló mint egy fa, csak definíció szerint legfeljebb két másik fát tartalmazhat 6

Témakörök Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás Piros-fekete fa B-fa 7

Bináris fa eleme Bináris fa egy elemének a definíciója: TBinFaElem = Struktúra(tartalom, balgyerek, jobbgyerek) Tartalom (példákban tart): a tárolandó adat egyszerű típus összetett típus objektum referencia Balgyerek, jobbgyerek: a csomópont baloldali illetve jobboldali részfáinak a gyökerére hivatkozik (bal, jobb) A listához hasonlóan a gyerek mezőkben egy kitüntetett érték jelzi, ha hiányzik (példákban ) Általában egy külső változó tartalmaz egy hivatkozást a fa gyökérelemére (gyökér) A csomóponton belül egyéb mezők is lehetnek, pl. gyakran tároljuk a szülő címét is 8

Példa bináris fára Példa bináris fára: gyökér + x - * / 6 z y 10 Aritmetikai kifejezés fa: Levelek: operandusok Csomópontok: operátorok Fenti kifejezés: (x + (y 10)) * (6 / z) 9

Bináris keresőfa (BST) Rendezett fa, emiatt pontosítjuk a struktúrát: TBSTElem = Struktúra(kulcs, tartalom, balgyerek, jobbgyerek) Kulcs alapján rendezett: a fa minden r csomópontjára igaz, hogy r baloldali részfája legfeljebb r.kulcs nagyságú, r jobboldali részfája pedig legalább r.kulcs nagyságú kulcsokat tartalmaz A rendezés természetesen lehet fordított is A kulcs lehetséges megvalósításai különálló kulcs mező a kulcs a tartalom része a kulcs a tartalomból számítható érték 10

Példa bináris keresőfára Példa bináris keresőfára: gyökér 30 Megjegyzések: 20 40 10 25 5 15 a későbbiekben a záró -eket nem jelöljük, az algoritmusokban azonban számítunk ezekre üres fa esetén: gyökér = 50 45 60 55 11

Bejárás Bejárás: az adatszerkezet valamennyi elemének egyszeri elérése (feldolgozása) A láncolt listához hasonlóan a bejárás algoritmusa független a végrehajtandó tevékenységtől, ezért az algoritmuson belül csak utalást teszünk erre Mivel a láncolt listával ellentétben egy elemből több irányban is tovább lehet lépni, többféle bejárás is elképzelhető A csomópontokban található adatok (tartalom, bal, jobb) feldolgozásának sorrendje alapján három fő változat különböztethető meg (ezen belül a bal és jobb megcserélhető): PreOrder: tartalom, bal, jobb InOrder bejárás: bal, tartalom, jobb PostOrder: bal, jobb, tartalom 12

PreOrder bejárás PreOrder bejárás algoritmusa Eljárás PreOrder(p) Eljárás vége Bejárás indítása Ha p akkor Feldolgozás(p) Elágazás vége PreOrder(gyökér) PreOrder(p.bal) PreOrder(p.jobb) rekurzió teljes fa bejárása PreOrder(p) részfa bejárása Gyakorlati alkalmazás: fa elmentése 13

InOrder bejárás InOrder bejárás algoritmusa Eljárás InOrder(p) Eljárás vége Ha p akkor InOrder(p.bal) Elágazás vége Feldolgozás(p) InOrder(p.jobb) rekurzió Bejárás indítása InOrder(gyökér) InOrder(p) teljes fa bejárása részfa bejárása Gyakorlati alkalmazás: elemek elérése rendezés szerinti sorrendben (növekvő vagy csökkenő) 14

PostOrder bejárás PostOrder bejárás algoritmusa Eljárás PostOrder(p) Eljárás vége Ha p akkor PostOrder(p.bal) PostOrder(p.jobb) Feldolgozás(p) Elágazás vége rekurzió Bejárás indítása PostOrder(gyökér) PostOrder(p) teljes fa bejárása részfa bejárása Gyakorlati alkalmazás: fa felszabadítása 15

Keresés BST-ben Alapelv: a fa gyökérelemének kulcsa vagy egyenlő a keresett kulccsal, vagy egyértelműen meghatározza, hogy melyik részfában kell a keresést folytatni Ez ugyanúgy igaz a teljes bináris fa gyökérelemére, illetve bármelyik (a keresés során elért) részfájának gyökerére A keresés menete (keresendő kulcs: x) bázis ha T üres, akkor x nincs benne ha T gyökerének címkéje x, akkor talált indukció (legyen T gyökerének kulcsa y) ha x < y, akkor x-et a bal részfában, ha x > y, akkor a jobb részfában keressük 16

Keresés algoritmusa Kulcs alapján keresés Függvény Keresés(p, mitkeres) Ha p akkor Ha p.kulcs = mitkeres akkor Különben Függvény vége Keresés p különben Ha p.kulcs > mitkeres akkor Különben Keresés Elágazás vége Keresés Keresés(p.bal, mitkeres) Keresés Keresés(p.jobb, mitkeres) Elágazás vége Átlagos lépésszám (kiegyensúlyozott fában): O(log 2 n) 17

Témakörök Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás Piros-fekete fa B-fa 18

Beszúrás BST-be A beszúrás során az elem beláncolásán kívül ügyelnünk kell a keresőfa tulajdonság fenntartására is Ugyanazok az elemek többféleképpen is elhelyezkedhetnek egy bináris keresőfában, beszúráskor ez alapján több stratégiánk is lehet minél kisebb erőforrásigényű legyen a beszúrás minél kiegyensúlyozottabb legyen a fa a beszúrás(ok) után A beszúrás menete (beszúrandó kulcs: x) bázis ha T üres, akkor új csomópontot készítünk x kulccsal és visszatérünk a csomópont címével ha T gyökerének kulcsa x, akkor visszatérünk a csomópont címével indukció (legyen T gyökerének kulcsa y) ha x < y, akkor x-t a bal részfába, ha x > y, akkor a jobb részfába szúrjuk be 19

Beszúrás algoritmusa Új elem beszúrása Függvény Beszúrás(címszerint p, újkulcs) Függvény vége Ha p = akkor ElemLétrehozás(p) p.kulcs újkulcs; p.bal ; p.jobb Beszúrás p Különben Elágazás vége Ha p.kulcs > újkulcs akkor Beszúrás Beszúrás(p.bal, újkulcs) Különben Elágazás vége Ha p.kulcs < újkulcs akkor Beszúrás Beszúrás(p.jobb, újkulcs) Különben Beszúrás p Elágazás vége 20

Törlés BST-ből 1. lépés A törlés során az elem kiláncolásán kívül ügyelnünk kell a keresőfa tulajdonság fenntartására is Törlés során az alábbi problémák merülhetnek fel két gyerekkel rendelkező elem mindkét gyerekét nem tudjuk az ő szülőjének egy mutatójára rákapcsolni gyökérelem törlése Törlés 1. lépése (beszúrandó kulcs: x) bázis ha T üres, akkor nincs ilyen elem ha T gyökerének kulcsa x, akkor töröljük, majd tovább a 2. lépésre: BST tulajdonság visszaállítása indukció (legyen T gyökerének kulcsa y) ha x<y, akkor x-t a bal részfából, ha x>y, akkor a jobb részfából töröljük 21

Törlés BST-ből 2. lépés A) eset: a törlendő csúcspont egy levél, tehát nincsenek gyerek elemei Pl. töröljük a 70-et 30 30 50 50 40 60 40 60 35 45 70 35 45 42 42 22

Törlés BST-ből 2. lépés B) eset: a törlendő csúcspontnak csak egy bal vagy csak egy jobb oldali gyereke van Pl. töröljük a 60-at 30 30 50 50 40 60 40 70 35 45 70 35 45 42 42 23

Törlés BST-ből 2. lépés C) eset: a törlendő csúcspontnak bal és jobb oldali gyereke is van Pl. töröljük az 50-et 30 30 50 45 40 60 40 60 35 45 70 35 42 70 42 24

Törlés algoritmus Eljárás Törlés(címszerint p, törlendő) Ha p = akkor Nincs ilyen elem Különben Ha p.kulcs > törlendő akkor Törlés(p.bal, törlendő) Különben Ha p.kulcs < törlendő akkor Törlés(p.jobb, törlendő) Különben Ha p.bal = akkor q = p; p p.jobb; ElemFelszabadítás(q) Különben Ha p.jobb = akkor q = p; p p.bal; ElemFelszabadítás(q) Különben TörlésCEset(p, p.bal) Elágazás vége Elágazás vége Elágazás vége Elágazás vége Elágazás vége Eljárás vége 25

Törlés algoritmus folyt. Eljárás TörlésCEset(p, címszerint r) Ha r.jobb akkor TörlésCEEset(p, r.jobb) Különben p.kulcs r.kulcs p.tart r.tart q r r r.bal ElemFelszabadítás(q) Elágazás vége Eljárás vége Baloldali részfa legjobboldalibb elemének megkeresése, és ennek tartalmával felülírjuk a törlendő elemet Ezt megtehetjük, hiszen ez biztosan nagyobb mint a baloldali elemek és biztosan kisebb mint a jobboldali elemek 26

Miért használjuk? A bináris fa előnyei rendezett ebből adódóan gyors keresés relatív gyors elem felvétel relatív gyors elem törlés, legrosszabb esetben sincs szükség a fa nagy részének átalakítására a csomópontok tartalma gyakran egy más adatszerkezet elemére mutat: ideális indexelésre kiegészítő adatszerkezetként A bináris fa hátrányai bonyolult, lásd bejárások rekurzióval a műveletek költségesek, illetve maga a rekurzió az OOP nyelvekben gyakran életidegen módon jelenik meg elemek nem érhetőek el közvetlenül (sőt, maga az indexelés sem egyértelmű, csak a bejárás módjával együtt) a gyors keresés nem garantált, csak kiegyensúlyozott fákban valósul meg a két gyerek címe miatt még nagyobb egy elem helyfoglalása 27

Témakörök Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás Piros-fekete fa B-fa 28

Probléma felvetése Vizsgáljuk meg az alábbi kettő, adattartalom szempontjából azonos, de szerkezetileg más fákat keresés szempontjából 50 35 35 40 45 55 60 65 40 45 50 55 60 65 A jobboldali (elfajult) fa keresési szempontból nem ideális, láncolt listához hasonló lépésszámot igényel 29

Kiegyensúlyozottság Kiegyensúlyozott fa: legfeljebb egy szintnyi (mélység) eltérés van az egyes (azonos szinten található) részfái között Teljesen kiegyensúlyozott fa: minden csúcsából leágazó bal- és jobboldali részfa csúcsainak száma legfeljebb egyel különbözik egymáshoz képest Teljes fa: Minden csúcsból leágazó bal- és jobboldali részfa csúcsainak száma azonos Célunk: a módosító algoritmusok kiegészítése, hogy minél inkább kiegyensúlyozott (az előző oldalon látható bal oldalihoz hasonló) fák építésére törekedjenek Ennek egy lehetséges megoldása, ha a beszúrás és törlés után a fa szerkezetét megváltoztatjuk, például forgatásokkal 30

Forgatás Forgatás: olyan lokális művelet, amely megváltoztatja a fa szerkezetét, de megőrzi a rendezettséget Megkülönböztetünk balra- illetve jobbra forgatás műveletet Eljárás Balra-forgat(x) y x.jobb x.jobb y.bal Ha y.bal akkor y.bal.szülő x y.szülő x.szülő Ha x.szülő = akkor gyökér y Különben Ha x.szülő.bal = x akkor x.szülő.bal = y Elágazás vége y.bal x x.szülő y Eljárás vége különben x.szülő.jobb = y 31

Piros-fekete fa Piros-fekete fa: Olyan bináris keresőfa, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: minden csúcs színe piros vagy fekete minden levél színe fekete minden piros csúcsnak mindkét gyereke fekete bármely két, azonos csúcsból kiinduló és levélig vezető úton ugyanannyi fekete csúcs van (fekete magasság) Megvalósítással kapcsolatos megjegyzések: a BST struktúrát kiegészítjük egy új attribútummal, ami jelzi a színt (értéke csak piros vagy fekete lehet) az egyszerűbb algoritmusok miatt tároljuk a csomópontok szüleit is (a gyökérpont esetén ezt -el jelöljük) az egyszerűbb algoritmusok miatt a tartalommal külön nem foglalkozunk, feltételezzük, hogy amennyiben a kulcsot átmásoljuk, az mindig a kulccsal együtt mozog 32

Piros-fekete fa példa Piros-fekete fa 25 18 10 22 20 24 40 30 50 28 32 48 60 Megjegyzés: levélnek a nem ábrázolt értékeket tekintjük (ezek kötelezően feketék) Megközelítőleg kiegyensúlyozott: biztosítható, hogy bármely, a gyökértől levélig vezető út hossza nem nagyobb, mint a legrövidebb ilyen út hosszának a kétszerese 33

Piros-fekete fába beszúrás Eljárás PF-Fába-Beszúrás(x) BinárisFábaBeszúrás(gyökér, x); x.szín PIROS Ciklus amíg x gyökér és x.szülő.szín = PIROS Ha x.szülő = x.szülő.szülő.bal akkor y x.szülő.szülő.jobb Ha y és y.szín = PIROS akkor x.szülő.szín FEKETE; y.szín FEKETE x.szülő.szülő.szín PIROS; x x.szülő.szülő Különben Ha x = x.szülő.jobb akkor x x.szülő; Balra-forgat(x) Elágazás vége x.szülő.szín FEKETE; x.szülő.szülő.szín PIROS Jobbra-forgat(x.szülő.szülő) Elágazás vége Különben... Ciklus vége gyökér.szín FEKETE Eljárás vége 34 A B C

Piros-fekete fába beszúrás A eset 11 2 14 1 7 x 5 8 4 y 15 11 2 1 7 x 14 15 4 5 8 35

Piros-fekete fába beszúrás B eset 2 1 7 x 11 14 y 15 4 5 8 11 x 7 2 8 14 15 1 5 4 36

Piros-fekete fába beszúrás C eset x 7 2 8 11 14 y 15 1 5 4 1 x 2 4 5 7 8 11 14 15 37

Piros-fekete fa további műveletei Bejárás azonos az egyszerű bináris keresőfánál megismerttel a piros-fekete tulajdonságnak nincs szerepe Keresés azonos az egyszerű bináris keresőfánál megismerttel a piros-fekete tulajdonságnak nincs szerepe Törlés alapja az egyszerű bináris keresőfánál megismert törlés, kiegészítve egy piros-fekete tulajdonságot biztosító karbantartó eljárással a beszúráshoz hasonlóan ezt átszínezésekkel és forgatásokkal oldja meg nem tárgyaljuk 38

Témakörök Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás Piros-fekete fa B-fa 39

B-fa B-fa: Olyan kiegyensúlyozott keresőfa, amelyet úgy terveztek, hogy hatékonyan lehessen alkalmazni háttértárolón tárolt adatok esetén is Gyakorlati szempontból a futási időt két összetevőre bontjuk fel lemezhozzáférések száma központi egység műveleteinek száma Napjainkban alkalmazott háttértárolók általában nagyságrendekkel nagyobb sebességet tudnak elérni blokkok írása/olvasása során, mintha ugyanezt az adatmennyiséget elemi adatokként írnák/olvasnák A keresés során tehát egy optimalizálási lehetőség, ha a lemezhozzáférések számát blokkonkénti kezeléssel próbáljuk csökkenteni 40

B-fa egy csúcsának felépítése n a csúcsban tárolt kulcsok darabszáma (rá vonatkozó korlátokat lásd következő oldalon) levél logikai érték, ami mutatja, hogy levélről vagy belső csúcsról van szó kulcs 1 kulcs 2... kulcs n a csúcsban tárolt kulcsok c 1 c 2... c n+1 a csúcs gyerekeinek (részfáinak) címei tartalom tetszőleges típusú tartalom, a példákban mindig feltételezzük, hogy a kulcsokkal együtt mozog 41

B-fa további jellemzői Ha k i egy kulcs a c i gyökerű részfában, akkor: k 1 kulcs 1 k 2 kulcs 2... k n kulcs n k n+1 Minden levél mélysége azonos: h (fa magassága) A csúcsokban található kulcsok darabszáma alulról és felülről is korlátos, ezt egy rögzített t számmal lehet kifejezni (B-fa minimális fokszáma): minden nemgyökér csúcsnak legalább t-1 kulcsa van, tehát minden belső csúcsnak legalább t gyereke minden csúcsnak legfeljebb 2t-1 kulcsa lehet, tehát minden belső csúcsnak legfeljebb 2t gyereke A kulcsok darabszámára más módon is adhatunk korlátot, mi mindig ezt a definíciót használjuk (egyes szakirodalmak azonban ettől eltérhetnek) 42

B-fa példa gyökér N C F I Q T A B D E G H J K O P R S W X A példában t = 3, tehát a gyökércsúcs kivételével a csúcsokban található kulcsok száma minimum 2 maximum 5 43

B-fa csúcsának szétvágása B-fa csúcsának szétvágása (t = 4) y = x.c i y x A I U B C D E F G H T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 x A E I U y = x.c i z = x.c i+1 y B C D F G H z T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 44

B-fa csúcsának szétvágása A szétvágás lépései Új z csúcs létrehozása Az y utolsó t-1 db kulcsának (és ha van, gyerek mutatójának) átmásolása z-be Az y így maradt legnagyobb kulcsának felvitele x-be A z csúcs legyen x gyereke a 3. pontban felvitt kulcs után Megjegyzés: y telített, x nem telített A vágáshoz szükség van egy hivatkozásra az elem szülőjére. Ezt vagy minden elemben eltároljuk, vagy az algoritmusnak kell nyilvántartania Speciális eset: gyökér szétvágása lépések hasonlóak a fentihez ezt követően a gyökér elem az újonnan létrehozott elem lesz 45

B-fába új elem beszúrása Feladat: x csúcsba egy új K kulcs beszúrása Megkülönböztetett esetek x egy levélelem x nem levélelem x a gyökérelem és telített Első két esetben feltételezzük, hogy az x elem nem telített! A) Ha x egy levélelem 1. a K kulcs helyének megkeresése az x.kulcs i -k alapján 2. ez mögötti x.kulcs i -k hátra léptetése 3. a K elhelyezése az üres helyre 4. az x.n növelése 46

A) x egy levélelem Példa: F beszúrása (t = 4) A O U... B C D E H I...... A O U... B C D E F H I...... 47

B-fába új elem beszúrása B) Ha x nem levélelem 1. a K kulcsnak megfelelő gyerek meghatározása az x.kulcs i -k alapján 2. az így meghatározott gyerek betöltése x-be 3. ha ez a gyerek telített, szétvágás; vágás esetén ha szükséges (a keresést a létrejött új elemben kell folytatni), x aktualizálása 4. a beszúrást végző rekurzió folytatása az új csúcson 48

B) x nem levélelem Példa: G beszúrása (t = 4) A O U... B C D E F H I...... A F O U... B C D E G H I...... 49

B-fába új elem beszúrása C) Ha x a gyökér és telített: 1. az x szétvágása egy új gyökérelem létrehozásával 2. a beszúrás rekurzió indítása a megfelelő gyerek csúcsban A gyökércsúcs kettévágása az egyetlen művelet, amely a B-fa magasságát növeli A bináris keresőfával ellentétben tehát a B-fa a gyökerénél nő, és nem a fa alján Ennek köszönhetően a B-fa mindig kiegyensúlyozott 50

C) x a gyökér és telített Példa: X beszúrása (t = 4) B C D E F G H................ E B C D F G H................X 51

B-fából elem törlése Feladat: egy x csúcsból K kulcs törlése Ha K az x-ben van és x egy levélelem, akkor K kulcs törlése x-ből Ha K az x-ben van és x belső csúcs i) eset: ha van x-nek olyan y gyereke, amelyik tartalmaz egy K-t megelőző kulcsot és legalább t kulcsa van: a K-t közvetlenül megelőző K kulcs felhozatala x-be, majd a törlés folytatása K kulcsra ii) eset: hasonló mint i) csak a K-t közvetlenül követő kulcsot keressük meg iii) eset: ha az i) és ii)-ben vizsgált mindkét szomszédos gyereknek csak t-1 kulcsa van, akkor egyesítjük a két gyereket és a törlendő K-t egy közös csúcsban, majd rekurzívan folytatjuk a törlést innen Minden esetben feltételezzük, hogy x kulcsszáma mindig legalább t! 52

Feltétel biztosítása Feltételeztük, hogy x kulcsszáma mindig legalább t, a K kulcsot tartalmazó csúcs keresése során ezt mindig garantálnunk kell a rekurzió újabb meghívása előtt Ennek lehetőségei ha a következő vizsgálandó y csúcsnak csak t-1 kulcsa van, de valamelyik testvérének t, akkor a testvérből vigyünk fel egy kulcsot a szülőbe, onnan pedig egyet le az y-ba. ha a következő csúcsnak és testvéreinek is t-1 kulcsuk van, akkor egyesítsük valamelyik testvérével és vigyünk le az így feleslegessé vált kulcsot a szülőből (ha ez a gyökér és az utolsó kulcs, akkor csökken a fa magassága egyel) 53

B-fa további műveletei Bejárás alapelve hasonló a bináris fáknál megismerttel, kibővítve azzal, hogy egy csúcsnak több tartalma és gyereke lehet, így csúcsokon belül is egy ciklust kell indítani Keresés alapelve hasonló a bináris fáknál megismerttel, kibővítve azzal, hogy egy csúcsnak több tartalma és gyereke lehet, így csúcsokon belül is egy ciklust kell indítani Keresés hatékony, mivel a fa mindig kiegyensúlyozott, így biztosítható az ideális keresési lépésszám mivel egy csúcs több kulcsot tartalmaz, így kevesebb csúcsbetöltést igényel, ezzel kevesebb háttértár műveletet 54

Javasolt/felhasznált irodalom Cormen, Leiserson, Rivest: Algoritmusok Műszaki Könyvkiadó, 1997 Pap, Szlávi, Zsakó: µlógia27 Rekurzív típusok ELTE TTK, 1994 55