Szezonalitás
Szezonális ingadozás Rendszeresen ismétlődő, azonos hullámhosszú és szabályos amplitúdóú, többnyire rövid távú ingadozásokat tekintük. Vizsgálatukkor a dekompozíciós modellekből a trend és véletlen hatását kell kiküszöbölni. (Stacionárius idősoroknál, ahol nem beszélhetünk trendről, csak a véletlen hatást kell kiszűrni. Ezzel nem foglalkozunk)
A szezonalitás vizsgálatának alapvető móda az, hogy - miután valamilyen módon megállapítottuk, hogy a vizsgált idősorban a szezonalitás komponens additív vagy multiplikatív módon feti ki hatását - becslésszerűen meghatározzuk az S illetve S * számszerű értékeit a = 1, 2,..., m esetekre, vagyis minden egyes "szezonra" vonatkozólag. Az S becslését (ele: s ) szezonális eltérésnek, az S * -re vonatkozó becslést (s * ) pedig szezonindexnek nevezzük.
Szezonális eltérés (y i -ŷ i ) = s + v i s = 1 (y i - ŷ i ) p i=1 Nem biztos, hogy az így kapott szezonális eltérések összege, illetve átlaga (a szezonok összességére nézve) nullát ad. Korrekció. A s ' "nyers" szezonális eltérések szezonok szerinti értékeiből számtani átlagot számítunk és így megtuduk, hogy milyen eltérés adódik az elméletileg kívánatos nulla értéktől. A kapott eredményt levonuk a "nyers" szezonális eltérésekből és így megkapuk a végleges, korrigált szezonális eltéréseket: s = s ' - m =1 s m = p i=1 (y i p ŷ i ) - m =1 m p s
A számítások eredményeképpen m szezonális eltérést kapunk. Ezek mindegyikét úgy értelmezzük, hogy a mindenkori -dik idényben a szezonális komponens s abszolút nagysággal téríti el az idősor értékét az adott trendértéktől - s előelétől függően pozitív vagy negatív irányban.
Véletlen kimutatása y i - ŷ i - s = v i Ha a trend mellett a szezonális eltéréseket is ismerük, akkor természetesen arra is mód nyílik, hogy a véletlen komponensek az egyes időszakokra vonatkozó értékeit kimutassuk.
Szezonindex Az idényhatás többnyire multiplikatív módon feti ki hatását, az idényszerűség mérése leggyakrabban szezonindexek számításának segítségével történik.
A szezonindexszámítás első lépéseként ki kell küszöbölni az alapirányzat hatását az idősorból. Ha ezeket a hányadosokat egy adott szezonra nézve átlagoluk, a véletlen hatása kiküszöbölődik. Ezért (nyers) szezonindexnek az y/ "egyedi szezonindexek" átlagát tekintük. s = y ŷ i i p i=1 = S * y ŷ i i v * i
Ha a nyers szezonindexek átlaga 1-től (100%-tól) eltér, akkor a nyers becsléseket ezzel osztva kapuk meg a multiplikatív szezonális komponens végleges becsléseit, a szezonindexeket. * s * s = 1 m *' s m =1 Az m számú szezonindex mindegyike úgy értelmezhető, hogy a vizsgált időszak egészében a mindenkori -edik idényben a szezonalitás az ŷ i trendérték s * -szeresének megfelelő idősorérték kialakulását eredményezi, az idényhatás 100 x (s * -1) százalékkal téríti el önmagában az idősor értékét a trendtől.
Multiplikatív modellben a szezonális kiigazítást úgy végezzük, hogy az idősor tényleges adatait elosztuk a szezonindexszel. y i s * = ŷ i v i
A Borsodi Sör értékesített mennyiségének alakulása (hl) Értékesítési Értékesített mennyiség ( hl ) periódus 1995. 1996. 1997. 1998. anuár 102.214 99.580 104.302 94.415 február 122.046 99.897 107.486 105.596 március 183.906 125.531 155.913 136.360 április 135.452 179.638 168.950 - máus 193.478 212.885 194.343 - únius 236.676 195.879 186.628 - úlius 248.901 221.199 201.268 - augusztus 234.324 231.449 250.473 - szeptember 169.421 172.736 186.254 - október 174.252 156.170 126.825 - november 128.216 156.780 141.204 - december 141.824 129.194 150.618 -
A Borsodi Sör értékesített mennyiségének alakulása (hl)
Segédtábla a lineáris trendfüggvény számításához Időszak Értékesített t = 1, 2,..., n mennyiség (hl) t t 2 t y t 1995. an. 102.214 1 1 102214 febr. 122.046 2 4 244092 márc. 183.906 3 9 551718 ápr. 135.452 4 16 541808 má. 193.478 5 25 967390 ún. 236.676 6 36 1420056 ŷ t úl. 248.901 7 49 1742307 aug. 234.324 8 64 1874592 szept. 169.421 9 81 1524789 okt. 174.252 10 100 1742520 nov. 128.216 11 121 1410376 dec. 141.824 12 144 1701888 1996. an. 99.580 13 169 1294540 febr. 99.897 14 196 1398558 márc. 125.531 15 225 1882965 ápr. 179.638 16 256 2874208 má. 212.885 17 289 3619045 ún. 195.879 18 324 3525822 úl. 221.199 19 361 4202781 aug. 231.449 20 400 4628980 szept. 172.736 21 441 3627456 okt. 156.170 22 484 3435740 nov. 156.780 23 529 3605940 dec. 129.194 24 576 3100656 1997. an. 104.302 25 625 2607550 febr. 107.486 26 676 2794636 márc. 155.913 27 729 4209651 ápr. 168.950 28 784 4730600 má. 194.343 29 841 5635947 ún. 186.628 30 900 5598840 úl. 201.268 31 961 6239308 aug. 250.473 32 1024 8015136 szept. 186.254 33 1089 6146382 okt. 126.825 34 1156 4312050 nov. 141.204 35 1225 4942140 dec. 150.618 36 1296 5422248 1998. an. 94.415 37 1369 3493355 febr. 105.596 38 1444 4012648 márc. 136.360 39 1521 5318040 Összesen 6.362.283 780 20540 124.498.000
trendfüggvény: b 6.362.283 = b 39 b1 0 124.498.000 = b 780 b1 6.362.283 780b 0 780 20.540 1 0 163.135,46 20b1 39 163.135,46-20 b1 780 20.540 b1 124.498.000 = 124.498.000 = 4.940b1 127.245.000 ŷ = 174.256,92-556,073 b 1 556, 073 b 0 174. 256, 92 t 1994. decemberében az értékesített sör mennyisége 174.256,92 hl volt a lineáris trendfüggvény alapán. 1995. anuár és 1998. március között havonta átlagosan 556,073 hl-rel csökkent az értékesített sör mennyisége.
Szezonális eltérésre példa Pl. anuár hónapra (102.214-173.699,6) + (99.580-167.027,5) + (104.302-160.355,4) + (94.415-153.683,3) s an 4 = 254.255 = - 63.563,7 4 k = S 63.563,7 +... + -11.779,6 = = -116,135 m 12 s an = s an - k = - 63.563,7 (-116,135) = - 63,679,8 Január hónapban átlagosan 63.679,8 hl-rel volt alacsonyabb az értékesített Borsodi sör mennyisége mint a megfelelő lineáris trendérték. Tehát 1997. Januárában az idősor komponensei: Y i ŷ + s v 104.302 160.355,4-63.679,8 v v 7.626,4 hl
Szezonindexre példa pl. anuár hónapra s' * an 102.214 173.699,6 99.580 167.027,5 4 104.302 160.355,4 94.415 153.683,3 2,449432 4 0,612358 k = 0,612358+...+0,593137 12 9, 596507 0, 799709 12 s * an 0,612358 0,799709 0,76573 Értelmezése: 1995. és 1998. mindenkori anuár hónapában átlagosan 23,427%-kal volt az értékesített Borsodi sör mennyisége alacsonyabb, mint a megfelelő lineáris trendérték. Szezonális kiigazítás 1997. anuárra: y i ŷ s v 104.355,4 0,765726 v v 0,8495