1. Gráfelmélet alapfogalmai Definíció: A gráf pontok és az őket összekötő élek együttese. Megjegyzés: A gráf pontjait szögpontoknak, illetve csúcsoknak is nevezzük. Ha a gráf élei irányítottak, irányított gráfról beszélünk. Definíció: Ha egy pontból nem fut ki él, akkor azt a gráf izolált pontjának nevezzük. Definíció: Ha két pontot két vagy több él köt össze, akkor ezeket párhuzamos (vagy többszörös) éleknek nevezzük. Definíció: Ha egy élre csak egy pont illeszkedik, azaz egy él két végpontja azonos, akkor azt az élt hurokélnek nevezzük. Definíció: Ha egy gráfban nincsenek párhuzamos élek és nincs hurokél, akkor azt egyszerű gráfnak nevezzük. Definíció: Egy G gráf részgráfja olyan gráf, ami G bizonyos csúcsaiból és azok között bizonyos éleiből áll. Definíció: A gráf egy pontjába összefutó éleinek számát a pont fokszámának nevezzük. Példák: a) b) c) d) e) (egyszerű) gráf irányított gráf gráf többszörös éllel gráf izolált ponttal és hurokéllel fokszámok feltüntetése Feladatok: F.1 Rajzoljon szögpontú, 8 élű gráfot, illetve szögpontú, 1 élű gráfot! Határozza meg az egyes pontok fokszámát is! F. Rajzoljon olyan 4 szögpontú gráfot, amelyben 1 harmad, másod- és 1 elsőfokú pont van! F. Rajzoljon olyan szögpontú gráfot, amelyben a pontok fokszámai 1,,,,! F.4 Egy öttagú társaságban a házigazda mindenkit ismer, minden egyes vendége pedig pontosan két embert ismer. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Szemléltesse rajzzal az ismeretségeket! 1
F. Józsefnek gyermeke volt: Andor, Mátyás és Dávid. Mátyásnak fia született, Dávidnak 1, Andornak egy sem. Szemléltesse gráffal az apa-fiú kapcsolatokat! Hány csúcsa és hány éle van ennek a gráfnak? F. A diákönkormányzat újonnan választott négytagú vezetősége: Kata, Mari, Réka és Bence. Közülük Kata három, Réka és Bence pedig két-két vezetőségi tagot ismert korábbról. Mari a négyes csoportnak csak egy tagját ismerte. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Rajzolja fel a négy-tagú vezetőség választás előtti ismeretségi gráfját!. Speciális gráfok Definíció: Azokat a gráfokat, amelyeknek nincsenek élei, élnélküli gráfoknak nevezzük. Definíció: Azokat az egyszerű gráfokat, amelyekben bármely két pont éllel van összekötve, teljes gráfoknak nevezzük. Megjegyzés: A síkon egy n oldalú konvex sokszög oldalainak és átlóinak megrajzolásával egy n pontú teljes gráfot kapunk. Definíció: Egy G gráf komplementerének nevezzük azt a G -vel jelölt gráfot, amelynek pontjai a G pontjai, és élei a teljes gráf azon élei, amelyek G-ben nem szerepeltek. Megjegyzés: Nyilvánvalóan G = G. Példák: a) b) c) élnélküli gráf teljes gráf komplementer gráf. Gráfok izomorfiája Definíció: Két gráfot akkor nevezünk izomorfnak, ha pontjaik és éleik kölcsönösen egyértelműen és illeszkedéstartóan megfeleltethetők egymásnak.
Megjegyzés: Az izomorfiát úgy is lehetne fogalmazni, hogy a két gráf csupán máshogy van "hajtogatva". Két gráfot akkor tekintünk különbözőnek, ha nem izomorfak egymással. Az alábbiakban izomorf gráfokat láthatunk. Megfelelő betűzéssel ellenőrizhetjük a pontok kapcsolatát táblázattal! kapcsolódó pontok A B D E B A C F C B G D A H E A F H F B E G G C F H H D E G Néhány lehetséges négy szögpontú különböző, azaz nem izomorf gráf Feladatok: F. Rajzolja fel az összes, nem izomorf szögpontú gráfot! F.8 Keressen olyan 4 szögpontú gráfot, amely izomorf a komplementerével! F. Hány olyan 4 pontú, élű gráf van, amelynek vannak többszörös élei? 4. Gráfelméleti tételek Tétel: Bármely gráfban a fokszámok összege az élek számának kétszerese. Megjegyzés: A tétel szerint a fokszámok összege mindig páros szám. (Ez azonban csak szükséges, de nem elégséges feltétele egyszerű gráf létezésének!) Tétel: Bármely gráfban a páratlan fokszámú pontok száma páros. Tétel: Egy n pontú teljes gráfban az élek száma: n(n 1).
Feladatok: F. Rajzoljon egy -, -, 4-, -, -pontú teljes gráfot! Melyiknek hány éle van? F.11 Egy pontú egyszerű gráfnak 8 éle van. Mekkorák lehetnek a csúcsok fokszámai? Rajzolja is le az egyes eseteket! F.1 Hány pontú az a teljes gráf, amelynek a) 1; b) 1; c) 1 éle van? F.1 Hány csúcsa van annak a teljes gráfnak, melynek a) éleinek a száma a csúcsok számának 11-szerese; b) éleinek a száma a csúcsai számának háromszorosánál -cel nagyobb? F.14 Az iskolák közötti labdarúgó-bajnokságra 1 csapat jelentkezett. Eddig 1 mérkőzést játszottak már le. Hány mérkőzés van még hátra, ha minden csapat minden csapattal csak egy mérkőzést játszik? Válaszát indokolja! F.1 Felsoroltuk egy csúcspontú egyszerű gráf csúcsainak fokszámait, öt különböző esetet. Melyik nem lehetséges az alábbiak közül? Indokolja válaszát! (A) 1, 1, 1, 1, 0; (B),,,, ; (C),,,, ; (D),,,, 4; (E),,, 4, 4. F.1 Egy társaságban lány és fiú táncolt. Kilencen pontosan megmondták, hogy hány partnerrel táncoltak. Számuk,,, 4, 4,,,, volt. Egyikük nem tudott pontos számot mondani, vagy vagy 4 partnerre emlékezett. Megállapítható-e a tizedik ember partnereinek pontos száma?. Összefüggő gráfok Definíció: A gráf egymáshoz csatlakozó éleinek olyan sorozatát, amelyben egyetlen él sem szerepel egynél többször, vonalnak nevezzük. (Lehetnek olyan pontok, amelyek többször is előfordulnak.) Definíció: A gráf egymáshoz csatlakozó éleinek olyan sorozatát, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször, útnak nevezzük. a) b) vonal a gráfban út a gráfban Definíció: Egy gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely pontjából bármely pontjába eljuthatunk valamilyen úton. 4
Definíció: Az olyan vonalat, amely a gráf minden élét tartalmazza, Euler-vonalnak nevezzük. Az Euler-vonal lehet nyitott (Euler-út), ha a kezdőpontja nem egyezik meg a végpontjával, vagy lehet zárt, ha a kezdőpontja megegyezik a végpontjával (Euler-kör). Megjegyzés: Euler-vonal létezésekor a gráf végigrajzolható a ceruza felemelése nélkül úgy, hogy egy vonalon csak egyszer haladunk át. Tétel: Ha egy összefüggő gráfban két pont fokszáma páratlan, a többi pont fokszáma páros, akkor a gráfban van nyitott Euler-vonal. (Az Euler-vonal kezdőpontja az egyik, végpontja a másik páratlan fokszámú pont lesz.) Tétel: Ha egy összefüggő gráfban minden pont fokszáma páros, akkor a gráfban van zárt Euler-vonal. A Königsbergi hidak problémája Leonard Euler-től (1): Königsberg (ma Kalinyingrád) városa a Pragel folyó két partján és a folyó két szigetén fekszik. A négy városrészt hét híd köti össze. Kérdés, hogy lehet-e olyan sétát tenni a városban, amelynek során minden hídon pontosan egyszer kelünk át. D D A C A C B B Az előző tételek értelmében sétát nem lehet tenni úgy, hogy minden hidat pontosan egyszer érintsünk, hiszen az ábra gráfján minden pont fokszáma páratlan. A G 1 fokszámsorozata,,, 4, 4, így ebben nincs zárt Euler-vonal, de Euler-vonal van, például az a, d, e, c, d, b, c, a, b vonal. A G fokszámsorozata,,, 4, 4, így ebben van zárt Euler-vonal, például az a, d, e, c, d, b, c, a vonal. A G fokszámsorozata,,,,, így ebben zárt és nyitott Euler-vonal sincs. Definíció: Az olyan utat, amelynek kezdő és végpontja azonos, körnek nevezzük. Definíció: Egy gráf azon körét (útját), amely a gráf összes pontján áthalad, a gráf Hamilton-körének (Hamilton-útjának) nevezzük.
Tétel: Ha egy n szögpontú gráf minden pontja legalább n/-edfokú, akkor a gráf tartalmaz Hamilton-kört. Megjegyzés: Ha egy összefüggő gráf kört tartalmaz, és a körnek valamely élét elhagyjuk, akkor is összefüggő gráfot kapunk. Példák: a) b) c) d) út vonal kör összefüggő gráf Az ábrán lévő, térbeli gráf szaggatott vonallal jelölt köre Hamilton-kör. Definíció: Az olyan összefüggő gráfokat, amelyekben nincs kör, fának nevezzük. Megjegyzés: A több fából álló gráfot erdőnek vagy ligetnek nevezzük. Megjegyzés: A számítástechnikában fontos szerepet játszanak az un. bináris fák, melyek olyan irányított fa gráfok, ahol egy csúcsból legfeljebb két él indul ki. Példák: a) fa b) erdő c) bináris fa Tétel: Minden többpontú fának van legalább két elsőfokú pontja. Tétel: Az n pontú fának n 1 éle van.
Megjegyzés: (További tételek fa gráfokkal kapcsolatban) - A fák bármely két pontját egyetlen út köti össze. - Egy fának bármely élét elhagyva már nem lenne összefüggő gráf. - Ha egy fának bármely két olyan pontját összekötjük, amely eddig még nem volt összekötve, akkor a gráfban már lenne kör. Öt község között bekötő úthálózatot kell építeni, úgy hogy az utakon bármely faluból eljuthassunk bármely más faluba. Minden útnak van egy meghatározott építési költsége. Ennek ismeretében kell megtervezni egy olyan összekötő úthálózatot, amelynek építése minimális költségű. 4 Megoldás: Szemléltessük a feladat megoldását gráffal. Az élekre tüntessük fel a költségek arányát. A megmaradó részgráfnak a feladat feltétele szerint összefüggőnek kell maradnia. Ha egy körnek elhagyjuk valamelyik élét, akkor az új gráf összefüggő marad. Hagyjuk el a legnagyobb költségű élét. Az eljárást folytatva a megmaradt minimális költségű részgráf fa lesz (minimális feszítőfa). 4 4 Feladatok: F.1 Egy hattagú társaságban mindenkinek pontosan barátja van. Egy alkalommal mozijegyet kapnak, három különböző moziba, mindegyikbe kettőt. Mindenki csak valamelyik barátjával együtt hajlandó moziba menni. Meg tudják-e szervezni a mozilátogatást? F.18 Az egyik megye települése között ötben van kórház. Legalább hány olyan utat kell megépíteni, amely két-két települést köt össze azért, hogy bármely településről legalább az egyik kórházba el lehessen jutni kiépített úton? F.1 Egy pontú, egyszerű, összefüggő gráfban van 1,,, 4 és fokú pont is. Mennyi lehet a hatodik pont foka? Indokolja válaszát!
F.0 Határozza meg a minimális költségű összefüggő részgráfot! 1 1 4 8 8 F.1 Egy erdő fájában összesen 1 él van. Hány csúcsa van az erdőnek? F. Hány különböző csúcsú fa van, ha a csúcsait nem különböztetjük meg? F. Hány különböző csúcsú fa van, ha a csúcsait megkülönböztetjük? F.4 Döntse el, hogy az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszait indokolja! A) Egy pontot tartalmazó teljes gráfnak 1 éle van. B) Ha egy teljes gráfnak páros számú éle van, akkor a pontok száma is páros. C) Nincs olyan pontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11. F. Egy szögpontú fának 8 elsőfokú pontja van a) Hányadfokú lehet a további két pont? b) Hány élt tartalmaz a leghosszabb útja? F. Megrajzoltunk egy olyan egyszerű teljes gráfot, amelynek éle van, és csúcsai között szerepelnek az A, B, C és D csúcsok is. a) Hány új gráfcsúcsot kellett megrajzolni a már meglévő 4 csúcs mellé? b) Legfeljebb hány éle törölhető ki ennek a gráfnak, hogy még összefüggő maradjon? F. Tekintsük azt a tíz csúcsú gráfot, amelyet a megadott ábra szemléltet. Erről a gráfról fogalmaztunk meg két állítást. Állapítsa meg mindkét állításról, hogy igaz vagy hamis! Adjon rövid magyarázatot válaszára! a) 1. állítás: Ennek a gráfnak 0 éle van. b). állítás: Ebben a gráfban van olyan részgráf, amelyik nyolc élű kör. F.8 Egy angol matematikus három német és négy magyar matematikust hívott vendégségbe szombat délutánra. Csütörtökön a házigazda és a meghívott közül néhányan telefonon egyeztettek. A házigazda mindenkivel beszélt. Az azonos nemzetiségű vendégek egymást nem hívták, de a többiekkel mind beszéltek telefonon. Senki nem beszélt egy másik emberrel egynél többször, és minden beszélgetés pontosan két ember között zajlott. Hány telefonbeszélgetést bonyolított le egymás között a 8 matematikus csütörtökön? F. Egy kiránduláson tíz tanuló körmérkőzéses asztalitenisz bajnokságot játszott. (Ez azt jelenti, hogy a tíz tanuló közül mindenki mindenkivel pontosan egy mérkőzést vívott.) Mutassa meg, hogy 11 mérkőzés után volt olyan tanuló, aki legalább háromszor játszott! F.0 Egy 8 fős baráti összejövetelen egyesek kézfogással köszöntötték egymást. Lehetséges-e, hogy minden jelenlévő különböző számú emberrel fogott kezet? 8
F.1 Annának 40 ismerőse van. Minden ismeretséget kölcsönösnek tekintünk. Anna ismerőseinek mindegyike Anna többi ismerőse közül pontosan egyet nem ismer. A szóba került 41 ember között összesen hány ismeretség áll fenn? F. Van-e Hamilton-köre az alábbi gráfoknak? F. A Pécsre közlekedő vonat első osztályú fülkéjében hatan utaznak. A vonat indulása után kiderül, hogy a hat ember között van kettő, aki mindenkit ismer az útitársak közül, a többiek pontosan négy-négy útitársat ismernek régebbről. (Az ismeretségek kölcsönösek.) a) Szemléltesse gráffal az ismeretségeket! b) Az ismerősök a fülkébe lépve kézfogással köszöntötték egymást. Hány kézfogás történt? F.4 Határozza meg az alábbi kijelentések logikai értékét (igaz-hamis)! Válaszait indokolja! a) Van olyan hatpontú fa gráf, amelynek minden csúcsa páratlan fokszámú. b) Ha egy hétpontú egyszerű gráfnak 1 éle van, akkor a gráf összefüggő. c) Van olyan fa gráf, amelyben a csúcsok számának és az élek számának összege páros. F. A következő két állításról döntse el, hogy igaz vagy hamis. Válaszait indokolja! a) Van olyan ötpontú egyszerű gráf, amelynek 11 éle van. b) Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan van negyedfokú csúcsa is. Egy hatfős társaság tagjai A, B, C, D, E és F. Mindenkit megkérdeztünk, hogy hány ismerőse van a többiek között (az ismeretség kölcsönös). A válaszként kapott hat természetes szám szorzata 180. Az is kiderült, hogy A-nak legalább anynyi ismerőse van, mint B-nek, B-nek legalább annyi ismerőse van, mint C-nek, és így tovább, E-nek legalább annyi ismerőse van, mint F-nek. c) Szemléltesse egy-egy gráffal a lehetséges ismeretségi rendszereket! F. Rajzoljon a síkban egy csúcsú, teljes gráfot a ceruza felemelése nélkül! F. Van-e Euler-vonala (nyílt vagy zárt) az alábbi gráfoknak? Indokolja válaszát! F.8 Hány pontja van annak a fának, amelyben az élek száma pontosan ötöde a fából hiányzó élek (vagyis az összekötetlen pontpárok) számának?
F. Egy pontú fagráfban ismerjük 8 pont fokszámát: 1; 1; 1; 1; ; ;,. a) Határozza meg a kilencedik pont fokszámát! b) Van-e olyan pontú egyszerű gráf, amelyben mind a pontnak más a fokszáma? F.40 Egy teljes gráfból 4 élt elhagyva egy fagráfot kaptunk. Hány pontja van ennek a gráfnak? (A teljes gráf olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontját él köti össze.) F.41 Tekintsük a következő, egyszerű gráfokra vonatkozó állítást: Ha a gráf minden pontjának fokszáma legalább, akkor a gráf biztosan öszszefüggő. a) Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás! Válaszát indokolja! b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását! Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás megfordítása! Válaszát indokolja! Tekintsük a következő halmazokat: P={összefüggő gráfok}, Q={egyszerű gráfok}, R={kört tartalmazó gráfok}. c) Helyezze el az alábbi gráfok ábrájának sorszámát a fenti halmazábrában a megfelelő helyre! d) Rajzoljon egy pontú fagráfot az. ábrára, és helyezze el ennek a sorszámát is a fenti halmazábrában a megfelelő helyre! F.4 Egy lapra pontot rajzoltunk, majd ezeket megszámoztuk 1-től -ig. Ezután minden egyes pontot egy-egy vonallal összekötünk a lapon szereplő összes olyan ponttal, amelyhez írt szám a kiválasztott ponthoz írt számnak osztója. (Például azt a pontot, amelyhez a -ot írtuk, összekötöttük mind a négy ponttal, amelyhez a valamelyik osztóját írtuk.) a) Igazolja, hogy az így kapott csúcsú gráf nem egyszerű gráf! b) Igazolja, hogy a gráf éleinek száma páratlan!