ELOSZLÁS, ELOSZLÁSÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGÜGGVÉNY AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY Egy célábla sugara cm, a valószínűségi válozó jlns az, hogy milyn ávol lőünk a célábla középponjáól. Tgyük öl, hogy a céláblá bizosan laláljuk. A ladaunk az, hogy számísuk ki lőször mondjuk a P valószínűség. Ez az jlni, hogy gy cm sugarú kör blsjéb alálunk. Ennk kiszámolása igazán gyszrű, T r P,4 T Hasonlóan izgalmas módon például P T,6 making.hu Mkkora lh zk alapján álalánosan a P valószínűség, ahol valamilyn szőlgs szám. Az ddigik alapján úgy űnik, hogy P T Csakhogy sajnos zzl adódnak bizonyos problémák. Nézzük mg ugyanis például, mi örénik, =-. Há gyrész ugy P az jlni, hogy lőünk gy a céláblára, odamgyünk lmérni a ávolságo, lővsszük a mérőszalago és az lájuk, hogy a lövés ávolsága kvsbb, min mínusz cni. Nos nm udom kink milyn mérőszalagja van ohon, d z ugy lhln, há a valószínűség nulla: P. Ugyanakkor az lőző kis képlünk az mondja, hogy P há P, 4 Vagy i van mondjuk gy másik ügy, lgyn =6cm. Ez a valószínűség, hogy P 6 gészn B 4 7 3 bizosan %, mr ugy a céláblá bizosan laláljuk, márpdig a célábla sugara cm, és nhéz lnn úgy lalálni, ávolabb lőnénk, min cni, vagyis ui, hogy, zér az plán ui, hogy 6. 4 7 B 3 6 P há P 6, 44 A mi kis képlünk szrin, viszon Ez gy piciké sok. A képl há kisbb javígaásra szorul.
Arról van szó, hogy normális -kr jó rdmény ad képlünk, csak olyan idióa -kr nm, amikor ngaív, vagy pdig úl sok. Ezér csinálunk gy kiköés az -r, és így kapjuk a jó képl: P Ez, ami így kapunk nm más, min gy üggvény. Az P hozzárndléssl mgado üggvény. Ez a üggvény a valószínűségi válozó loszlásüggvényénk nvzzük, és jlöljük. Thá a valószínűségi válozó loszlásüggvény P -l AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY: making.hu Nézzünk mg gy másik nagyon izgalmas céláblás s is. Kn lőnk céláblára. Az A alálai sély,7 a B alálai sély,8. Mindkn gy lövés adnak l gymásól ügglnül. Jlns a alálaok számá és adjuk mg az loszlásüggvény! Az lőző örénbn gy ávolságo jln, ami cm és cm közö bármi lh, mos viszon a alálaok számá, ami vagy vagy vagy és smmi más nm lh. Ez a aja valószínűségi válozó diszkrénk, míg az lőző olyonosnak nvzzük. I az loszlásüggvény úgy kapjuk mg, hogy készíünk gy loszlásáblázao: alálaok száma valószínűség EGYIK SEM TALÁL: A nm alál: -,7=,3 B nm alál: -,8=, B B 4 7 3,3,, 6 4 7,7,,3,8, 38 3,7,8, 6 CSAK AZ EGYIK TALÁL: A alál:,7 B nm alál: -,8=, vagy A nm alál: -,7=,3 B alál:,8
Az loszlásáblázaal mgvolnánk: alálaok száma Valószínűség,6,38,6 Az loszlásüggvény i gy lépcsőzsn mlkdő üggvény lsz: AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY:,6,44,44,6 P,38 P,6 P,6 making.hu Az loszlásüggvény há gy lépcsőzs üggvény lsz, ami mindn számnál ponosan akkorá ugrik, min az ado szám valószínűség. Vagyis = sén az ugrás P, 6. Azán = sén mgin ugrik, i az ugrás P, 38, d ahogyan a rajzon is lászik z hozzáadódik az lőzőhöz. Végül = sén az ugrás P, 6 ami szinén hozzáadódik az lőzőhöz és így a üggvény léri az -. olyonosnak nvzzük azoka a valószínűségi válozóka, amik olyonos mnnyiségk mérnk, ilyn például az idő, a ávolság. Ebbn az sbn az loszlásüggvény mindig olyonos üggvény lsz, ilyn vol az lőző örén. Diszkrénk nvzzük azoka a valószínűségi válozóka, amik mgszámlálóan sok érék vsznk l. Ez az jlni, hogy vagy végs soka, vagy végln, d úgy, hogy l udjuk sorolni az éréki. Az gész számok például diszkrénk számíanak, mr végln sokan vannak ugyan, d lsorolók: ;;3;4 Ha a valószínűségi válozó diszkré, akkor az loszlásüggvény mindig gy lépcsőzsn mlkdő üggvény lsz, 4 ami mindn gys sén éppn akkorá ugrik, min amkkora az ado valószínűség. B B 4 7 3 7 3 Mindz oglaljuk össz. 3
OLYTONOS VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ELOSZLÁSÜGGVÉNYE a b A valószínűségi válozó olyonos, például a= és b=, zk közö vh l érékk a. a b ahol a és b szőlgs számok. A céláblás sbn Ilynkor az loszlásüggvény is olyonos üggvény, ami a-ig nullá vsz öl, a és b köz növkszik és b uán végig gy vsz öl. Vagyis ahol a valószínűségi válozó működik, o a üggvény élr kl, lő és uána pdig hibrnál állapoban van. DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ELOSZLÁSÜGGVÉNYE P c AZ UGRÁS making.hu AZ UGRÁS P b AZ UGRÁS P a a b c A valószínűségi válozó diszkré és éréki: a ; b ; c ; sb. Ilynkor az loszlásüggvény mindig gy lépcsőzs üggvény, ami mindn számnál ponosan akkorá ugrik, min az ado szám valószínűség. Vagyis a sén az ugrás P a, azán b sén az ugrás P b és így ovább, és az ugrások összadódnak. Az loszlásüggvény há: 4 7 B a 3 P a a b P 4 a 7 P b b c B 3... 4
A SŰRŰSÉGÜGGVÉNY a b A sűrűségüggvény jl és úgy működik, hogy a valószínűségk a görb alai rülk lsznk. Vagyis b P a b d a Az loszlásüggvény és a sűrűségüggvény kapcsolaa gészn izgalmas. Eloszlásüggvényből sűrűségüggvény úgy kapunk, hogy az loszlásüggvény driváljuk: making.hu Sűrűségüggvényből pdig úgy lsz loszlásüggvény, ingráljuk, d mglhősn rükkös módon: d AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY ÉS SŰRŰSÉGÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAI: loszlásüggvény ulajdonságai: I. lim II. lim III. Monoon nő IV. Balról olyonos sűrűségüggvény ulajdonságai: I. Nm ngaív II. d Ado loszlásüggvény, kll sűrűségüggvény: Ado sűrűségüggvény, kll loszlásüggvény: d
6 making.hu SŰRŰSÉGÜGGVÉNYBŐL ELOSZLÁSÜGGVÉNY Ado a valószínűségi válozó sűrűségüggvény, állísuk lő az loszlásüggvény! A képl alapján: d.eset =.ESET = 3.ESET.ESET d d =.ESET d d d = 3.ESET d d d Az loszlásüggvény: Az loszlásüggvényből a sűrűségüggvény úgy kapjuk vissza, a loszlásüggvény driváljuk. Ez a művl már mglhősn áralmalan, így mindnki próbálja ki ohon.
SŰRŰSÉGÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAINAK TESZTELÉSE Ellnőrizzük, hogy lh- a valószínűségi válozó sűrűségüggvény az alábbi üggvény! 3 A 3 akkor sűrűségüggvény, d 3 A.ESET =.ESET 3 = 3.ESET d Ekkor A=/3 3 3 d A d d 3 3 A A 3 making.hu ELOSZLÁSÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAINAK TESZTELÉSE Ellnőrizzük, hogy lh- a valószínűségi válozó loszlásüggvény az alábbi üggvény! Lássuk az loszlásüggvény négy ulajdonságá! I. lim mos lim II. lim mos lim z ljsül z is ljsül III. Monoon nő IV. Balról olyonos Készíünk gy rajzo: Nos úgy űnik zk is rndbn vannak, há loszlásüggvény. 7