BEVEZETÉS AZ ELEKTROTECHNIKÁBA

Átírás

1 Széchnyi sván Eym Műszaki Tdományi Kar Aomaizálási Tanszék Torda Béla BEVEZETÉS AZ EEKTOTEHNKÁBA VÁTAKOZÓÁAMÚ HÁÓZATOK KÉZAT

2

3 3 Szülimnk, családomnak, Simonyi Károly profsszor úr mlékénk EŐSZÓ Az lkrochnika rlmib bvző olvasmány második részé ara kzébn a kdvs olvasó Ez a hálózaszámíás második rész, mly az időbn válozó fszülsék és áramok sir áryala a villamos hálózaok működésé élnk az ynáramú hálózaok vizsálaa során mismr összfüésk ovábbondolása, álalánosíása, úraérlmzés Módszrünk lőször az időfüvényk közöi mamaikai összfüésk flárása, mad szinszos válozások sér a komplx számok alkalmazása Mos fokozoan szüksé lsz mamaikai ismrkr, zér aánlo a kövkző fzkkl kapcsolaos ismrik flfrissíésér: folyonos, yérékű füvényk, a diffrnciálás lv és alapszabályai, az inrálás lv és alapszabályai, számani és mérani középérék, haványozás és yökvonás azonossáai, komplx számok, a néy alapművl ladonsáai a valós és a komplx számok körébn, rionomriks füvényk, művlk síkbli vkorokkal A áryalásmód bvző llű, ami az lni, hoy sok hlyn csak a ovábblépés lhőséé villank fl, sl a ovábbondolás mikéné mak m Az önllnőrzés és a szmlél lmélyíésé számpéldák bmaásával és önállóan moldandó fladaok madásával síük A anáry céla a mamaikai ondolkodás lmélyíés konkré lkrochnikai sk vizsálaával, a kapcsolási razok, diaramok, képlk saáos műszaki nylvzénk lsaáíaása, a mérékysékkl való művlvézés yakorolaása, loiks ondolkodásra öszönzés Aánlk mindz azoknak, akik ismrik az lkrochnika rülén a középiskola lvézés án a flsőokaásban, a mos áalakló főiskolai szinű képzés krin blül, nm szakirányban kívánák lmélyíni Köszön mondok mindazoknak, akik sísé nyúoak Köszönöm ábrák készíésé, éplés, lkorálás, köszönöm a vélményk, észrvélk, anácsoka Külön köszönöm mindnkink, aki a viszonyla nyod mnkavézés fléli bizosíoa Kívánom mindn kdvs olvasómnak, hoy lér célá mnkám kézbvélévl Észrvélivl, avaslaaival, ha vannak, kérm, krssn m Jó mnká, ó anlás! 005 aszs a szrző orda@szh

4 4

5 5 6 Válozó fszülsé és áram llmzés, lölés Ellnállás vislkdés válozó áram sén Mos, az ynáramú hálózaok vizsálaa án, érünk á az időbn válozó áramú hálózaok áryalására élnk, hoy az ddi mismr összfüésk álalánosísk, és az ú flélk mll is alkalmazzk Az időbn válozó fszülsék és áramok lölésér kisbűk használnk Az időfüvény lölésé vay használk, vay yakran l is hayk:, ii Naybűk ovábbra is használnk, d csak konsansok és középérékk lölésér Ey llnállásra válozó fszülsé kapcsolva azon időbn válozó áram fo folyni Az llnállás fszülsé- és áram-időfüvény közö a kövkző összfüés rm kapcsolao: i Ez az összfüés Ohm örvényénk ynáramú hálózaokban mismr képlér mlékz, és ké kövkzés lh nnk alapán lvonni Eyrész kimondhak, hoy Ohm örvény álalánosíhaó az időbn válozó fszülsé- és áram-időfüvényk pillanaérékir is Másrész az ynl csak akkor lh iaz, ha a fszülsé- és az áram-időfüvény azonos llű mamaikai füvény az időnk A ké füvény yan naysára, ső mérékysér is különbözik, d az idő füvényébn a válozás iránya és mrdksé m kll, hoy yzzn 7 Kondnzáor és krcs mibnlé, llmzés Az időbn válozó fszülsé és áram mlnésévl ké ú áramköri lm lézésé kll mapaszalnnk Az yik a krcs, a másik a kondnzáor A krcs maa körül mánss r hoz lér Jllmző az önindkciós ényző vay indkiviás Az indkiviás l:, mérékysé: hnry, mérékyséénk l: H V s H szokásos mérékysék: H, mh, μh A Ey krcs időbn válozó fszülsé és árama közö y diffrnciálynl rm kapcsolao: di d A kondnzáor villamos r hoz lér a blsébn Jllmző a kapaciás vay ölésároló-képssé A kapaciás l:, mérékysé: farad, mérékyséénk l: F A s F V

6 6 A farad nay mérékysé A szokásos mérékysék: μf, nf, pf A kvésbé ismr pikofaradra: pf 0 F Ey kondnzáor időbn válozó fszülsé és árama közö is y diffrnciálynl rm kapcsolao: d i d Bizonyos skbn az ynl konsansokkal kiészülh 7 ábra A kondnzáor és a krcs razl a 7 ábrán láhaó Amí az llnállás vislkdés ól kzlhő, a kondnzáor és a krcs sok nhézsé ví lőr A diffrnciálynlk halmozódása yanis hamar in nhzn moldhaó hlyzb hozha bnnünk Márpdi kapcsolásainkban mindn ys kondnzáor vay krcs yüsn zk rakanciáknak fok nvzni - y-y úabb diffrnciálynl rdményzh a hálóza számíásában Vizsálk m mos az a kérdés, hoy miér csak mos kll folalkoznnk a rakanciákkal! Miér nm kll kondnzáor vay krcs haásával számolni ynáramú hálózaokban? Az ynáramú hálózaban a fszülsé és az áram nm válozik, állandó, konsans Ez kll a ké diffrnciálynlb bírni, hoy kérdésinkr válasz kapnk Kondnzáor sébn d dkons i 0 0A d d A kondnzáor y olyan passzív ynáramú áramköri lmnk fll m, amly szőls, vés ynfszülsé haására nlla áramo nd á önmaán Ez a flél a véln llnállás, a szilés lsíi Tkrcs sén di dkons 0 0V d d A krcs pdi y olyan passzív ynáramú áramköri lmnk fll m, amlyn smmilyn szőls, vés ynáram haására nm sik fszülsé Ez a flél a nlla llnállás, a vzék lsíi Az ynáramú hálózaokban há mindn szilés y-y kondnzáor és mindn vzék y-y krcs r lnléé lnhi Ezknk az lmknk a ényls lnlé azonban csak a fszülsék és áramok mválozásakor drül ki A válozó áramú hálózaok áryalásának ké úá válaszhak Először az álalános időfüvényű skr folalkoznk a lyszrűbb, yrakanciás, soros llnállásos kapcsolásokkal A rsző válozás yszrű ynfszülsé-rás lsz Ennk során diffrnciálynlk oldnk m A moldás nhézkssé mia rr kvés fiylm fonk fordíani Második részbn a priodiks időfüvényű skr, zn blül is a szinszos skr korláozzk vizsálaainka a komplx vkorok alkalmazásával lnős, a yakorla számára is fonos ismrkr szünk szr Ez óbbi fz a szakirodalom válakozóáramú hálózaok címn áryala

7 7 8 B- és kikapcsolási lnsék soros körbn Soros lmk ynfszülsér kapcsolása Tkinsük a 8 ábrán láhaó kapcsolás! 8 ábra Az llnállás és kondnzáor soros kapcsolásá a K kapcsolóval 0 pillanaban ynfszülséű nráorra kapcsolk Az k fszülsébn y naysáú rás ön lér Ez az a válozás, amly az llnállás fszülséébn, a kondnzáor fszülséébn és a kör áramában válozásoka okoz! Írk fl a hrokörvény az áramkörr! k Vizsálk az az álalános s, amikor a bkapcsolás lő a passzív lmink nria- és fszülsémnsk < 0 sén 0 k, 0, 0 A kapcsoló zárásával az k kapocsfszülsé flvszi a nráorfszülsé éréké, há: 0 sén k Használk fl az llnállásra mismr összfüés i bből i A közös áram szrpl a kondnzáor ynlébn is i d, bből d d d Ey inhomoén diffrnciálynl kapnk, mlybn a kondnzáor fszülséénk időfüvény az yln ismrln A diffrnciálynl moldása füvénykrsés Krssük a kondnzáor fszülséénk azon időfüvényé, amly kiléíi a diffrnciálynl Az ilyn x ípsú diffrnciálynl moldása az xponnciális füvény valamly alkalmas ranszformála A kondnzáor diffrnciálynléből mé y hasznos kövkzés vonhank l Ha a kondnzáor fszülséébn rás van, akkor abban a pillanaban a fszülsé drivála és zzl az árama véln érék vsz fl, ami yakorlaila lhln A kondnzáor fszülsé há a bkapcsolás pillanaában m kll, hoy arsa a bkapcsolás lői nlla éréké Az z a flél is lsíő, a diffrnciálynl kiléíő moldás:

8 8 τ 0 < Az időfüvény a 8 ábrán kinhük m A kondnzáor fszülsé bkapcsoláskor nlláról indlva aszimpoiksan közlíi éréké 8 ábra Az xponnciális füvény kivőébn a füln válozó, az idő, fizikai mnnyisé, há van mérékysé A kivő nvzőébn szrplő konsans szinén idő mérékyséű mnnyisé, íy a ls kivő mérékysé nélküli, és akár észkén, akár örkén a mamaika szabályai szrin érlmzhő Az áramkör ovábbi időfüvényi: i τ 0 < τ 0 <

9 9 A hrokörvény lsül: τ < τ τ τ 0 Az időállandó A kivőbn szrplő konsans érékénk válozaása vízszins nyúás vay zsoríás rdményz A nv: időállandó, l: τ Szrkszéssl a bkapcsolás pillanaában az időfüvényhz húzo érinővl az érinési pona és a vélnbli vízszins érinő mszéspona közöi vízszins ávolsákén kaphak m Albrai kifzésé a diffrnciálynlbn a driválfüvény szorzóakén szrplő kifzéskén alálk m Soros kapcsolás időállandóa: Ellnőrizzük a mérékysék: V A s τ A V [ ] [ ] s [] [] τ Fiylük m ondosan a 8 ábra néy, azonos lépékbn ymás alá razol időfüvényé! Bármly pillanaban húzo füőls rndző néy olyan pillanaérék löl ki, mlyk közö a hrokörvény llnőrizhő Az xponnciális füvényk lmélil csak a vélnbn érik l vízszins érinőük D mnnyi idő ala zalik l a bkapcsolás yakorlaila? Ez ahhoz az időponhoz köük, amlynél a örbék az fszülsénk az %-ánál kisbb hibával mközlíik a véső érékük Krssük a kövkző ynl moldásá: 0,0 A moldás: 4, 6 τ A műszaki yakorlaban a lyszrűsí szabály: 5τ idő ala a ranzins folyama lzalik, és állandósl állapo ön lér τ Állandósl állapo Soros kapcsolásnkban z az állandósl állapo az lni, hoy az llnálláson lhanyaolhaóan kis fszülsé sik, és a kondnzáor maára vszi yakorlaila a ls fszülsé, ami mfll az ynáramú állaponak 83 ábra Soros lmk kikapcsolása Ha a flölö kondnzáor a soros llnállással 0 pillanaban rövidr zárk 83 ábra, y kikapcsolási ranzins folyama ászódik l A flölö kondnzáor a kikapcsolás pillanaában az llnállásra az lőzővl llnés irányú, naysáú fszülsérás kényszrí rá A moldás mos y homoén diffrnciálynl ada A vérdményk 0 < : τ

10 0 τ τ i A hrokörvény szrin: τ τ 0 Az időállandó mos is: τ Ha az llnállás és kondnzáor soros kapcsolásá 0 pillanaban ynfszülséű nráorra kapcsolk, mad az állandósl állapo ó mközlíésé, lalább 5τ idő kivárva pillanaban kikapcsolk, a 84 ábra szrini folyamaok ászódnak l 84 ábra

11 9 B- és kikapcsolási lnsék soros körbn Soros lmk ynfszülsér kapcsolása Tkinsük a 9 ábrán láhaó kapcsolás! 9 ábra Mos az llnállás és a krcs soros kapcsolásá csalakozak a K kapcsolóval 0 pillanaban ynfszülséű nráorra A kapcsoló zárása lő, < 0 sén, mindn lm fszülsé-, áram- illv nriamnsnk kinünk, a három fszülsé és az áram nlla A kapcsoló zárása án ynfszülsé a kapcsolásra A hrokynl: k A kapcsoló zárása án: 0 < Flhasználva az llnállás fszülsé és árama közöi kapcsolao: i A krcs diffrnciálynl alapán: i di d Az llnállás érékévl oszva: di i d Az kapcsoláséhoz nayon hasonló diffrnciálynl kapnk A moldás is hasonló: A ovábbi időfüvényk: τ i i 0 < τ τ 0 < τ 0 <

12 Az időfüvényk a kapcsoláséhoz hasonlóan, ymás ala a 9 ábrán szmlélhük Az időállandó: A mérékysékkl llnőrizv: [ ] [ ] V s A V s τ A [] [] 9 ábra τ Az időfüvényk mrazolásánál τ hly yanaz, min kapcsolás sébn Tladonképpn az llnállás és a rakáns lm fszülséé csrélük fl Az áram pdi mindi az llnállás fszülséénk időfüvényéhz köődik A krcs diffrnciálynléből i kikövkzhő, hoy a krcsnél annak áramában nm lh rás Myzés: z a mayarázaa annak a yakorlaban apaszal lnsénk, hoy a nayobb krcs aralmazó kapcsolások kikapcsolásakor rős szikrázás apaszalhaó, ami a kapcsoló élaramá csökkni

13 3 Soros lmk kikapcsolása Az lőző, bkapcsolási s kövhi a kikapcsolás a 93 ábra szrini kapcsolásban 93 ábra A kikapcsolás a K kapcsolónak a flső állásból az alsó állásba lvil nlla idő ala örénő áválásával valósl m A yors, yakran lkroniks áválás lhővé szi, hoy az áram válozalan maradon A kapocsfszülsébn a kapcsoló áválásakor mos a nráorfszülséből nllába való rás kövkzik b A diffrnciálynl is yszrűbb: di K i d Az ákapcsolás, 0 án: di 0 i 0 < d di 0 i 0 < d Ez y homoén diffrnciálynl, mly árndzv íy alakl: di i, d és az a kérdés vi fl számnkra, hoy a konsansokól lkinv mlyik az a füvény, amlynk a drivála önmaa Err a mamaikában a közismr moldás a rmészs alapú xponnciális füvény x y A mi sünkbn a moldás, a kövkző: i τ A krcs lassan lvszi áramá, árammnssé válik Az időfüvény kiindló éréké a bkapcsolás áni, állandósl állapoból mörökölük Ez indokola, hoy bár a kikapcsolás án nm marad forrásfszülséű nráor az áramkörünkbn, annak érék az áram időfüvényébn méis szrpl Az időállandó válozalan A fszülsék: i τ τ τ

14 4 τ A kikapcsolási ranzins ámni folyama is yakorlaila 5τ idő ala lzalonak kinhő ána az lmk fszülsé- és árammnsk lsznk Ey bkapcsolási, mad annak yakorlaila ls lzalása án, pillanaól a kikapcsolási ámni folyama időfüvényi a 94 ábrán szmlélhük τ 94 ábra Soros és lmk ynfszülsér kapcsolása sén a fszülsék és az áram krsés a diffrnciálynl yérlmű moldásával xponnciális időfüvényk rdményz Összbb kapcsolás vay rsző időfüvény összbb moldás rdményz Példál y llnállás-krcs-kondnzáor kapcsolás saá frkvnciával rndlkzik, és csillapodó lnésk rdményzh Az álalános hálóza és időfüvény áryalása lvil is nhézks, bonyoll flada Jól kzlhővé problémáink akkor válnak, ha vizsálaainka priodiks időfüvénykr korláozzk

15 0 Válakozóáramú hálózaok Priodiks időfüvény mamaikai llmzés A priódsidő Forir él Szinszos fszülsé- illv áram-időfüvény llmzés az időarományban Frkvncia és körfrkvncia 5 Priodiks időfüvény mamaikai llmzés Az álalános időfüvényk ké csoporba sorolhaók, a véllnszrű vay szochasziks és a drminisziks időfüvényk csoporába A drminisziks időfüvényk lhnk nm priodiksak vay priodiksak A priodiks időfüvény l sz a kövkző ynlnk: f f T < < Szavakkal: bármly időponban válaszo füvényérék myzik a T idővl későbbi vay korábbi füvényérékkl Másképp mfoalmazva z az is lni, hoy ha y T szélsséű ablakon krszül vizsálk a füvényünk, akkor ponosan yanaz lák, minha az ablako T- vl yszr vay öbbször, balra vay obbra lolk Ey malál T érék mll annak készrs, háromszorosa, néyszrs sb is rmészsn kiléíi a flélül szabo ynl Nkünk a lkisbb T érékr van szükséünk Dfiníció: T a füvény priódsid, ha nm lézik annál kisbb 0 < T 0 < T érék, amly a fléli ynl szinén kiléíi Myzés: fizikai mnnyiséknk az idő [, ] ls inrvallmán érlmz folyonos, yérékű füvényivl folalkoznk Vyük észr, hoy smmi más kiköés nm szünk a vizsál füvényr, min az, hoy T priódsidőnkén ismélődön A priódsidő a priodiks füvény yln llmző A priódsidő rciproka a frkvncia f T A frkvncia a másodprcnkéni priódsok száma A frkvncia mérékysé a hrz, l: Hz Hz s Hz a priodiks füvény frkvnciáa, ha y másodprc ala yln prióds zalik l A yakorlaban álalában lénysn nayobb frkvnciáú lnsékkl alálkoznk Szokásos mérékysék: Hz, khz, MHz, GHz GHz: sd iahrz 9 GHz 0 Hz Szinszos időfüvény mamaikai llmzés A priodiks időfüvényk y spciális s a szinszos vay harmoniks időfüvény: sin ϕ Ahol a füln válozó, az idő, a füő válozó, mos éppn a fszülsé, ovábbá a csúcsérék vay ampliúdó, a körfrkvncia vay szösbssé és ϕ a fázislolás vay kzdőfázis A körfrkvncia az y másodprc alai szölfordlás ada m radiánban A szölfordlás lh ényls és lh, min sünkbn is, lképzl

16 6 π f π T rad [ ] s s A körfrkvncia mérékyséébn szrplő radián y psza viszonyszám A mérékysék közöi művlk során lhayhaó, d a körfrkvncia mérékyséébn szrplni kll Az ampliúdó az a szélső érék, amly poziív és naív lőlll a füvény mé éppn flvsz 0 ábra Ey álalános szinszos fszülsé-időfüvény láhank a 0 ábrán Forir él Tél: Mindn priodiks időfüvény flbonhaó szinszos összvőkr Az összvők: ynkomponns, alapharmoniks, flharmoniksok Az ynkomponns síséévl madhak, hoy a füvény az alaphlyzhz, vay y azzal azonos másik füvényhz képs füőls irányban mnnyir van lolva Az ynkomponns i a koszinszfüvény véln priódsidű haársénk kinhük Az alapharmoniks a priodiks időfüvény priódsidévl kifzv f frkvnciáú szinszos l T Az alapharmoniks a flbonandó priodiks füvényhz iazodó kzdőfázissal és ampliúdóval, a priódsidőnyi szélsséű ablakban yln ls prióds ír l A flharmoniksok a priodiks füvénynk olyan, különböző ampliúdóú és kzdőfázisú szinszos összvői, amlyknk frkvnciáa rndr f k, ahol k, 3, 4, 5, 6 T Myzés: alharmoniks nincs! A k érékhz pdi az alapharmoniks arozik

17 7 A válakozóáramú hálóza linariásáról Az ynáramú hálózaok áryalása során mdk, hoy lináris hálózaban alkalmazhaó a szprpozíció lv A csak ohmos llnállás aralmazó válakozóáramú hálóza rmészsn szinén yanúy linárisnak kinhő D vaon érvénys- a kondnzáorra, hoy raa készr, háromszor néyszr nayobb fszülsé haására készr, háromszor, néyszr nayobb áram folyik? Ha az d i d diffrnciálynlb a fszülsé-időfüvény konsansszorosá írk, akkor a diffrnciálás szabályai szrin a konsans kimlv az áram-időfüvény konsansszorosá kapk dkons d d kons d kons i Thá a kondnzáor és yanilyn ondolamnl bláhaó, hoy a krcs is lináris lm Ebből kövkzik, hoy a csak ohmos llnállás, kondnzáor és krcs aralmazó válakozóáramú hálóza lináris hálóza, há alkalmazhaó és érvénys rá a szprpozíció él Myzés: a hálóza linariása szőlsn válozó áramú hálóza sén is iaz, d z mos számnkra kvésbé fonos Forir élénk és a hálóza linariásának kövkzmény Ey szőls, priodiks időfüvényű fszülsénráor flfohaó Forir élé fiylmb vév, szinszos fszülsénráorok soros kapcsolásának Ey szőls, priodiks időfüvényű áramnráor pdi hasonló mfonolások alapán flfohaó szinszos áramnráorok párhzamos kapcsolásának Ha a szprpozíció lvé alkalmazzk, akkor lndő mindn szinszos nráorral külön-külön folalkozni Ez a ondolamn in nay lvi lnősél bír Nmcsak az álalános priodiks időfüvényű ys yakorlai sk számíásá bfolyásola, hanm mhaározó lnőséű a válakozóáramú hálózaok lmélé áryaló fz lvi flépíésébn is Vékövkzéskén yanis kilnük, hoy lndő csak szinszos áramú hálózaokkal folalkoznnk, mindaddi, amí, és passzív lmk használnk Ez lénysn yszrűbb mamaikai áryalás sz mad lhővé Kövkzzn há a mismr három lm és az zkkl flépí hálózaok vizsálaa szinszos fszülséű vay áramú nráorok mll

18 8 Ellnállás, krcs és kondnzáor vislkdés válakozóáramú körbn Frkvnciafüés Ellnállás vislkdés szinszos fszülsé haására Kapcsolnk y llnállásra szinszos fszülsénráor ábra! yn a nráor fszülséénk időfüvény sin Az llnállás árama kiszámíhaó:, i i sin i sin ábra Az llnállás árama ampliúdóú, a fszülséévl myző körfrkvnciáú és kzdőfázisú időfüvény lsz A ké időfüvény közös koordináarndszrbn a ábrán szmlélhő ábra Tél: Ellnálláson a fszülsé és az áram fázisban van Kondnzáor vislkdés szinszos fszülsé haására Kapcsolnk y kondnzáorra szinszos fszülsénráor

19 9 3 ábra yn a nráor fszülséénk időfüvény sin A kondnzáor árama kiszámíhaó: d i álalában, sünkbn pdi d d sin d sin i cos sin 90 d d A kondnzáor árama Î ampliúdóú, a fszülséévl azonos körfrkvnciáú, d ahhoz képs 90 -kal, y nyd priódssal siő szinszos időfüvényű 4 ábra A kondnzáor fszülsé- és áramidőfüvény közös koordináarndszrbn a 4 ábrán szmlélhő Tél: Kondnzáoron az áram 90 -o si a fszülséhz képs Tkrcs vislkdés szinszos áram haására Kapcsolnk y krcsr szinszos áramnráor 5 ábra 5 ábra

20 0 yn a nráor áramának időfüvény: i sin A krcs fszülsé: di álalában, sünkbn d d sin d sin cos sin d d 90 A krcs fszülsé ampliúdóú, a fszülséévl azonos körfrkvnciáú, az áramhoz képs 90 -kal, azaz y nyd priódssal siő, szinszos időfüvényű A krcs fszülsé- és áram-időfüvény a 6 ábrán szmlélhő 6 ábra Az lőző időfüvény-párokkal való összhasonlíhaósá érdkébn az ábrázolás nyd priódssal korábban kzdük, hoy a fszülsé-időfüvény szinszos lyn Tél: A krcs fszülsé 90 -o si az áramához képs Kövkzésk: az llnállásokból, krcskből és kondnzáorokból álló álalános hálózara is érvénys úy, ahoy az lmkr, hoy a hálózao szinszos nráorra kapcsolva a hálóza mindn fszülsé és árama a nráoréval azonos körfrkvnciáú A fszülsék és áramoka ké llmző, ampliúdók és kzdőfázisk különbözi m A kondnzáor és a krcs sén a fszülsé és áram pillanaérékk hányadosa nm hordoz információ, min az llnállásnál Ey nyd prióds ala a hányados nlla és véln közö mindn érék flvsz A fszülsé és az áram közöi kapcsola az ampliúdók hányadosában foalmazhaó m Kondnzáor és krcs sén a ké ampliúdó közöi kapcsola frkvnciafüő, az a körfrkvncia és a kapaciás illv az indkiviás szorzaa rmi m

21 Szinszos fszülsé- illv áram-időfüvény komplx lírása Komplx időfüvény és komplx ampliúdó A szinszos időfüvényk madásához ké ada, az ampliúdó és a kzdőfázis szüksés Ellnébn az ynáramú hálózaokkal, ahol lndő yln ada A mnnyisénkén ké ada síkbli vkoros madással lhsés Err a komplx számok mamaikai szközkészlé használk Komplx számok Ey K komplx szám ké részből, a valós vay rális és a képzs vay imaináris részből áll A képzs rész a képzs ysél m van szorozva A képzs ysé l az lkrochnikában: A komplx számok néy alaká használk Albrai alak: K a b, ahol a valós vay rális rész, b képzs vay imaináris rész Trionomriks alak: K K cosϕ sinϕ, ahol K abszolú érék, ϕ kzdőfázis, K a b ϕ arc a b ϕ Exponnciális vay Elr alak: K K ϕ Az kifzés lnés: ysényi abszolú érékű, ϕ fázisszöű komplx szám ϕ cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Grafiks ábrázolás ábra: y komplx számo drékszöű koordináarndszrbn dnk madni A fázisszö a valós nlyől óramaó árásával llnés irányban mérük Az ynáramú hálózaokban három alapörvényünk vol Ohm örvényébn szorzás vay oszás, Kirchhoff örvényibn összadás és kivonás művlk kll véznünk A örvényk álalánosíása án a komplx számok körébn is a néy alapművll kll mad számíásainka véznünk Az összadás és a kivonás lvézésér az albrai alak a lmfllőbb D fok komplx vkorok összé és különbséé képzni rafiksan is, az ismr nyílfolyam vay paralloramma módszrrl

22 ábra Művlk komplx számokkal yn ké komplx számnk: ϕ K b a K, ϕ K b a K Összadás, kivonás: b b a a K K Szorzás: ϕ ϕ K K K K Oszás: ϕ ϕ K K K K Konál: A K komplx szám konálá kapk a képzs rész lőlénk válásával, vay a vkornak a valós nlyr való ükrözésévl A konál l a flső csilla Ha b a K, akkor a konál b a K * Jó dni, hoy az imaináris ysél való szorzás 90 fokkal való foraás poziív irányban A -vl való oszás mfll mínsz -vl való szorzásnak, azaz foraás 90 fokkal naív irányban Példál: K a 3 a K 3 a a a a a K 3

23 3 Szinszos időfüvényk komplx lírása Tkinsük a kövkző álalános szinszos időfüvény: sin ϕ A komplx időfüvény Képzzünk komplx időfüvény az ampliúdó és a szinsz armnmában lvő ls kifzés, min fázisszö flhasználásával ϕ A komplx időfüvényből visszaérhünk a valós időfüvényhz a rionomriks alakon krszül sin cos sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ m A valós időfüvény a komplx időfüvény képzs rész A diffrnciálynlk a komplx időfüvénykr is érvénysk A komplx ampliúdó A fszülsé és áramidőfüvény komplx lírásával célnk olyan áryalási módo alálni, amly a számíásainka yszrűsíi Ehhz a komplx időfüvény mé nm mfllő Alakísk ovább kifzésünk! ϕ ϕ Az ϕ kifzés komplx ampliúdónak nvzzük Ez nm aralmazza az időfüő rész bből származik az ampliúdó lnvzés, d a valós ampliúdó mll a fázisszö is malálk bnn Ezk mia a ladonsáok mia a szinszos időfüvényű hálózaok áryalása lnősn lyszrűsödik a komplx ampliúdó alkalmazásával Kirchhoff örvényi érvénysk komplx ampliúdókkal is A csomóponi örvény: 0 n A hrokörvény: 0 m i i

24 4 3 A komplx impdancia foalma és lmi mpdancia Az ynáramú hálózaokban valamly passzív lm fszülséénk és áramának hányadosá, az áramakadályozó-képssé llnállásnak nvzzük A szinszos áramú hálózaokban ú foalma vzünk b Valamly passzív lm komplx fszülsé- és áram-ampliúdóának hányadosá impdanciának nvzzük Z Z ϕ ϕ ϕ ϕ Az impdancia abszolú érék a fszülsé- és az áram-ampliúdó hányadosa ohmban Fázisszö pdi mada a fszülsé és az áram-időfüvény ymáshoz képsi lolsáá, fázislolásá Az impdancia fázisszö rmészsn nm válozik, ha az idő-koordináarndszrünk kzdőponá balra vay obbra lolk, hiszn yan mindké fázisszö válozik, d a különbséük yanakkora marad Myzés: a pillanaérékk hányadosa csak llnállások sén használhaó akanciák sén lsn érlmzhln, mr y nyd prióds ala a hányados bfa a ls 0, aromány Ellnállás impdanciáa Kapcsolk az llnállásnkra a kövkző szinszos fszülsé! sin A fszülsé komplx időfüvény: Az llnállás fszülséénk komplx ampliúdóa isza valós: Az llnállás árama: i i, bből, az llnállás áramának komplx ampliúdóa is isza valós Ebből az impdancia: Z Az llnállás impdanciáa isza valós, myzik az ynáramú llnállással A fszülsé és az áram közö nincs fázisolás, nnk mfllőn az llnállás impdanciáának fázisszö nlla Z

25 5 Kondnzáor impdanciáa Válasszk a kondnzáor fszülséénk a kövkző időfüvény sin A fszülsé komplx időfüvény: A fszülsé komplx ampliúdóa ismé isza valós: Az áram időfüvény: d d i d d d d d d i Ebből az áram komplx ampliúdóa: A kondnzáor impdanciáa: Z A kondnzáor impdanciáa naív, isza képzs Z Tkrcs impdanciáa Válasszk a krcs áramának a kövkző időfüvény i sin A fszülsé komplx időfüvény: i A fszülsé komplx ampliúdóa ismé isza valós: Az fszülsé időfüvény: d di d d d d d di Ebből a fszülsé komplx ampliúdóa: A krcs impdanciáa:

26 6 Z A krcs impdanciáa poziív, isza képzs Z A krcs és a kondnzáor impdanciáa abszolú érékénk, az úynvz lászólaos llnállásnak a lölésér használk: X, X A három passzív lm közül az llnállás frkvnciáól füln impdanciáú A krcs és a kondnzáor lászólaos llnállása frkvnciafüő A krcs lászólaos llnállása a frkvnciával ynsn arányos, ynáramon nlla és a frkvncia növkdésévl ar a vélnhz A kondnzáor lászólaos llnállása a frkvnciával fordíoan arányos Eynáramon véln és a frkvncia növkdésévl ar a nllához A passzív lmk lászólaos llnállásának frkvnciafüésé a 3 ábra maa Myzés: a krcs és a kondnzáor impdanciáának fázisszö 90 illv -90, frkvnciáól fülnül!! 3 ábra A frkvnciafüés az időfüvényk mll a másik fonos vizsálai, szmléli mód mlynk lsősorban lfldolozási, hírközlési brndzésk, szközök minősíésénél van nay szrp Sorosan kapcsol lmk rdő impdanciáa Az ynáramú hálózaoknál mismr lvzés alapán álalánosíhank Tél: Sorosan kapcsol passzív lmk rdő az ys lmk impdanciáának össz n Z s Z i i Párhzamosan kapcsol lmk rdő impdanciáa Szinén az ynáramú shz hasonló a moldás Tél: Párhzamosan kapcsol passzív lmk rdő az ys lmk impdanciáa rciprokából képz össz rciproka

27 7 Z p m Z Az impdancia-vkoroka ábrázolhak komplx vkorkén Az rr szoláló koordináarndszrbn madnk y hosszúsá-llnállás ynérék, amly nmcsak a nlyk mnén, hanm frd irányban is mszaba az y-y vkornak vay szakaszhossznak mfllő llnállás Ebbn a koordináarndszrbn más mérékyséű mnnyisé ábrázolása érlmln! A mismr három passzív lm impdancia-vkorá ábrázola példaképpn a 3 ábra 3 ábra 4 Soros kapcsolás analízis Kapcsolnk sorosan y llnállás és y kondnzáor szinszos fszülsénráorra 4 ábra! 4 ábra A nráor a ké soros lm rdő impdanciáa rhli Z Z Z Az impdancia-lmk összzésé rafiksan is lvézhük a 4 ábra szrin Az llnállás és a kondnzáor impdancia-vkorával párhzamos razolva a ké vkor élalappá észíük ki A ké vkor össz a élalap álóában húzo frd rdő vkor 4 ábra

28 8 Az rdő abszolú érék Pyhaorasz élll számíhaó A képzs ysé az abszolú érék nm bfolyásola, a képlbn nm szabad szrplni Az impdancia abszolú éréké a flülvonás lhayásával is lölhük Z Z Az impdancia fázisszö arc ϕ arc A fázisszö 0 és -90 közöi érék a kapcsolás kapaciív Válassznk a nráor fszülséénk isza szinszos fszülsé: sin A komplx időfüvény: A komplx ampliúdó: Az rdő impdancia a nráor fszülsé és az áram közö rm kapcsolao Z Ebből kifzhő az áram komplx ampliúdóa: Z Z Az áram komplx ampliúdóa ismrébn a részfszülsék komplx ampliúdói is számíhaók Z Z Ebből a valós ampliúdók:, X, Fszülsé-áram vkorábra A kiszámío fszülsék és az áramo vkorosan az impdancia-vkorábráól fülnül, y úabb, úynvz fszülsé-áram vkorábrában ábrázolhak 43 ábra Ez a vkorábra a

29 9 másikól kissé lér Nm razolnk nlyk és az ymáshoz képs lforao, d yébkén ybváó ábrák yanazon vkoryüs különböző pillanabli állapoá ükrözik A komplx időfüvény y óramaó árásával llnés irányú nyíllal és az fliraal érzéklük 43 ábra A fszülsé-áram vkorábra az impdancia-vkorábrával lh ybváó, d mindnképpn hasonló Ez rősíi m a vkorábrákon a φ fázisszö szrplés Az áram és az llnállásfszülsé vkora y ynsb sik, szorosan ymás mllé kll razolni Az időfüvényk a vkorábrából flírhaók Az áram időfüvényéből célszrű kiindlni, amly ϕ fázisszöl si a nráorfszülséhz képs i sin ϕ Az llnállás fszülsé az árammal fázisban van sin ϕ A kondnzáor fszülsé 90 -o késik az áramhoz képs sin ϕ 90 Az időfüvényk a ó összhasonlíhaósá érdkébn közös koordináarndszrbn ábrázolk A vízszins nlyn flmér érékk időbn adk m a fázisszök a körfrkvnciával oszani klln 44 ábra 44 ábra

30 30 5 Soros kapcsolás analízis Kapcsolnk sorosan y llnállás és y krcs szinszos fszülsénráorra 5 ábra! 5 ábra A nráor a ké soros lm rdő impdanciáa rhli Z Z Z A ké impdancialm összzés a vkorábrában szmlélsn kövhő 5 ábra Az llnállás és a krcs impdancia-vkorá élalappá észíük ki A ké vkor össz a élalap álóában húzo frd vkor 5 ábra Az rdő abszolú érék Pyhaorasz élll számíhaó Z Z Az impdancia fázisszö ϕ arc A fázisszö 0 és 90 közöi érék a kapcsolás indkív yn a kapcsolás ápláló nráor fszülsé ismé isza szinszos fszülsé sin A nráorfszülsé komplx időfüvény: A komplx ampliúdó: Az rdő impdancia: Z

31 3 Ebből az áram komplx ampliúdóa: Z Z Az áram komplx ampliúdóa ismrébn a részfszülsék komplx ampliúdói számíhaók Z Z Ebből a valós ampliúdók: X Az rdmény a fszülsé-áram vkorábrán vizsálhak 53a ábra a b 53 ábra A vkorábrá olyan hlyzbn vük fl, hoy a nráorfszülsé időfüvényé kissé módosíok sin ϕ Vizsálk m mos az, hoyan származahaók a vkorábrából az időfüvényk A fszülsé-áram vkorábra lmi komplx ampliúdók A komplx időfüvényr alnk a körbforás lzésévl és hozzá az körfrkvncia madásával A vkorábra a 0 pillanaban maa a vkoraink hlyzé Ey más, időponban a vkorok szöl lfordío hlyzbn vannak A valós időfüvény úy képzhő, hoy a komplx időfüvény képzs részé vsszük m Ez a mi ábrázolásnk mll mfll a füőls vülnk Az időfüvényk há úy származahak, hoy lőször vkoraink véponai a füőls nlyr víük ána szőls időponnak mfllőn a vkorábrá lforak, és a vkorok véponai az ú időponnak mfllő füőls rndzőr víük A víés érzéklük a vkorábra mllé, balra razol, silizál szm-ml Az rdmény a 53b ábra szmléli Az ábrán llnőrizhő, hoy mindn pillanaérékr érvénysül Kirchhoff hrokörvény

32 3 6 Soros kapcsolás, rzőkör zonancia, rzonanciafrakvncia Jósái ényző Fszülsé-áram vkorábrák különböző frkvnciákon Az lmk fszülséink és áramának frkvnciafüés Az impdancia frkvnciafüés Párhzamos rzőkör Soros kapcsolás Kapcsolnk sorosan y krcs és y kondnzáor 6 ábra! 6 ábra Tyük fl, hoy lminkn y külső hálóza szinszos áramo ha krszül i sin A kondnzáor és a krcs lászólaos llnállása: X, X Az áram az lmkn szinszosan válakozó fszülsék hoz lér, mlyk körfrkvnciáa az áraméval azonos A fszülsék ampliúdói számíhaók X, X A képlkbn a kapaciás és az indkiviás a ké passzív lm flépíéséből származó llmző Ezér a ké fszülsé arányá kizáróla a közös áram körfrkvnciáával dk bfolyásolni Ahhoz, hoy a ké lm közös rdő fszülséé mhaározzk, vizsálnnk kll a részfszülsék időfüvényé A korábbi ismrk alapán dk, hoy a kondnzáoron a fszülsé késik, és a krcsn a fszülsé si bármilyn szinszos áram sén, éspdi ponosan 90 -o Ez lndő az időfüvényk flírásához sin 90 cos sin 90 cos Ábrázolva a három időfüvény a ké fszülsé közö y saáos kapcsolao láhank 6 ábra

33 33 6 ábra A ké fszülsé pillanaéréki mindi llnés lőlűk, ymásból kivonódnak Kirchhoff hrokörvény szrin Az rdő fszülsé ampliúdóa a ké ampliúdó különbsé Az rdő fszülsé koszinszos, ha a különbsé poziív, és mínsz koszinszos, ha naív Ebbn a saáos sbn sikrül cspán az időfüvényk vizsálaával fladanka moldani Trmészsn yanz az rdmény kapk a komplx számíásmód alkalmazásával is A ké soros lm rdő impdanciáa a részimpdanciák össz Z Z Z Az áram nlla kzdőfázisú, isza szinszos A részfszülsék komplx ampliúdói: Az rdő fszülsé komplx ampliúdóa: 90 Z Az időfüvényk ampliúdói és kzdőfázisai a komplx ampliúdókból kiolvasva lőző rdményinkkl myznk zonancia Az rdő fszülsé komplx ampliúdóának záróls kifzés ké lászólaos llnállás különbséé aralmazza A körfrkvncia növkdésévl a krcsé monoon nő, a kondnzáoré monoon csökkn ézik y olyan spciális s, amikor a ké lászólaos llnállás ynlő, a különbséük nlla Az íy lőálló hlyz a rzonancia Ekkor az idális krcs és kondnzáor soros kapcsolása rövidzárkén vislkdik Az az érék amlynél a ké lm lászólaos llnállása myzik, a rzonancia-körfrkvncia, l: o, érék a kövkzőképpn számíhaó:

34 Ez az úynvz Thomson képl zonancián az a saáos hlyz áll lő, hoy miközbn a krcsn is és a kondnzáoron is ól mérhő szinszos fszülsé sik, a ké lm rdő fszülsé nlla Ez azzal is mayarázhaó, hoy a 6 ábrán a kondnzáor és a krcs fszülséénk ampliúdóa azonos, pillanaérékik mindn időponban kivonódva ymásból nllá adnak rdményül Myzés: A rndszr nria-flvél nélkül saárzés véz Hasonló örénik, min a mchanikában y róra füsz öm csillapíalan rzés sén Soros kapcsolás Az lőző, idális soros rzőkörhöz képs a yakorlaban lsősorban a krcsk vszséi mia y soros llnállással kiészí modll a mfllő 63 ábra 63 ábra Ennk vizsálaá már csak komplx számíásmóddal vézzük l A kapcsolás rdő impdanciáa: Z Z Z Z Télzzük fl, hoy ovábbra is nlla kzdőfázisú, szinszos áram folyik az lmkn i sin Az ys lmk fszülséénk komplx ampliúdói: Az rdő fszülsé komplx ampliúdóa: ϕ Z Z ] [, ahol

35 35 ϕ arc zonancia ovábbra is az 0 körfrkvncia mll áll lő lynkor 0 0 zonancián impdancia-minimm van, mlynk érék Z min Z 0 Ezér rzonancián alakl ki a lnayobb áram, flév, hoy nm idális áramnráor áplála a rzőkör A soros rzőkörnk a rzonancia környékén mao vislkdésé frkvnciaszlkív ladonsának nvzzük yanis kvr, sok, különböző frkvnciáú szinszos fszülséből álló áplálás haására a rzonanciafrkvnciával myző, vay ahhoz közli frkvnciáú komponnskr kiróan nay árammal válaszol Myzés: sokfrkvnciás, kvr l fordl lő példál rádióchnikai vvőkészülékk rádió, TV, mobillfon sb bmnén, és sokcsaornás, úynvz frkvnciamliplx kábls rndszrkbn A frkvnciaszlkív ladonsáal kapcsolaban szokás a soros rzőkör ósáá dfiniálni Jósái ényző A ósái ényző l: Q 0 A rzonancia-köfrkvncián mao lászólaos llnállások hányadosával számíhaó A soros rzőkör ó, ha Q 0 >> Q ábra

36 36 Vkorábra azolk m a soros rzőkör fszülsé-áram vkorábráá 64 ábra rzonanciafrkvncián, 0 és Q 0 4 mll 0, mr a ké vkor azonos hosszúsáú és ponosan llnés irányú Ezér a nráorfszülsé ls észébn az llnállásra Az áramo csak az álalában kis érékű llnállás korláozza, 65 ábra Frkvnciafüés A soros rzőkör lászólaos llnállása a rzonanciafrkvncián kis érék, aól ávolodva mind a csökknő, mind a növkvő frkvnciák flé ar a vélnhz: Z érhozhank és lmk párhzamos kapcsolásával is rzőkör Ennk nv párhzamos rzőkör zonanciafrkvnciáa a soroséval myző, d frkvnciafüés fordío Ennk lászólaos llnállása a rzonanciafrkvncián nay érék, aól ávolodva mind a csökknő, mind a növkvő frkvnciák flé ar a nllához

37 37 7 Tlsímény-időfüvény és álalsímény llnálláson A haásos lsímény Válakozóáramú lsímény Az ynáramú hálózaokhoz hasonlóan, folalkozznk mos is, a bnnünk érdklő kapcsolások fszülsé- és áramállapoainak vizsálaa án, a lsíményviszonyokkal Az ynáramú hálózaoknál z yszrű flada vol, mr o konsans érékk kapnk rdményül Válozó áram és fszülsé sén a szorzak, a lsímény is rmészsn időbn válozó érék p i Előző vizsálaainkból az is dk, hoy a szinszos fszülsé és az áram időfüvény ymáshoz képs lérő hlyzű aszrin, hoy milyn áramköri lmn ön lér A lsíményviszonyoka is célszrű külön vizsálni llnállásra, rakanciákra és álalános impdanciákra vonakozóan Az időfüvény llé kinv csak a priodiks időfüvény sén érdms részls vizsálao vézni A nmpriodiks időfüvény vay vés időaramú és vés nriáú, ranzins, vay időbn nm korláozo, és íy összsséébn véln nriáú Válakozóáramú lsímény llnálláson Kapcsolnk y llnállás szinszos fszülsér sin Az llnállás árama: sin i sin sin Az llnállás lsímény: p i sin sin sin A szinsznéyz-füvény ismr rionomriai áalakíással ovább írhak: p sin cos 7 ábra

38 38 Ez a lsímény-időfüvény ábrázola a 7 ábra Az időfüvény a vízszins nly flülről érini, mindn pillanaérék nmnaív, vayis nlla vay poziív érék Készrs frkvnciáú, az ampliúdóérékkl fölflé lol, a ln ábrázolásban mínsz koszinszos füvény A válozó lsíményérék bármlyik pillanaban lolvashak Ennél azonban sokkal nayobb lnősé van annak, hoy milyn közps, álaos lsíményr számíhank hosszabb idő án A villamos nrialláás hazánkban 50 Hz frkvnciáú szinszos fszülsél valósl m f 50Hz T ms f 50Hz 0 A priódsidő rövid az mbri cslkvéskhz képs, zér a mindnnapi élbn a lsímény-időfüvény hly valamly lm lsíményállapoá az y priódsra v álaérékkl llmzzük Ez a flír füvénynk y priódsra v inrálával számík Tkinl arra, hoy a lsímény-időfüvény dpla frkvnciáú, a fél priódsra véz inrálás is yanaz az rdmény adná Az álalsímény lölésér vzssük b: P P pd sin d T T T T Az inrálás rdmény, az álalsímény a fszülsé- és az áramampliúdó szorzaának a fl, ahoyan az időfüvényk ábráából is shő A vonalkázo rülk lforava éppn kiészíik élalappá a örb alai flül A ks oszó pdi moszhak a ké ampliúdó közö P Effkív érék Az íy kapo ké érék ffkív éréknk nvzzük Az ffkív érék a lsíményszámíásnál használk Az ffkív érék szinszos időfüvényk sén a csúcsérék oszva -vl ff ff Az ffkív érék a lyakrabban használ érék, zér lölésé lhayhak Szinszos áramú hálózaokban az alsó indx nélküli fszülsé vay áram l az ffkív érék lni, és csak akkor használnk lölés, ha a csúcsérékr vay más középérékr akarnk alni A szinszos fszülsér való hivakozáskor is az ffkív érék adk m Példál az nrialláó hálóza hayományosan 0 volosnak mondo, vay a napainkban szabványos 30 volos érék is ffkív érék Az zkhz arozó csúcsérékk számíhaók 0 V 30V 30 V 35V A villamos mérőműszrk is ffkív érékr szokás skálázni Az ffkív érék ladonképpn y középérék, mépdi néyzs középérék Kiszámíása álalános priodiks

39 39 időfüvény sén inrálással lhsés ff T T [] d A számíás során rövid, d időaramra állandónak kinük a pillanaérék néyzé és y kicsiny d szélsséű, [] maassáú élalap rülé képzzük Az inrálás zn kskny élalapoknak az összzés y ls priódsidőr Az inrálás rdményé úy kinük, min y priódsidő szélsséű, álaos fszülsénéyz maassáú élalap rülé A élalap maassáá priódsidővl való oszás révén kapk m A néyzs középérék a élalap maassáából von néyzyök Myzés: nylvünk szépn érzékli, hoy y középérék közps, azaz a csúcséréknél nm nayobb A középérékk, és íy az ffkív érékk is álalában csúcséréknél kisbbk, nlla és csúcsérék közé snk Kivél az időnlyr szimmriksan azonos érék flvvő néyszöl, mlynk ffkív érék myzik a csúcsérékkl, nm kisbb annál Haásos lsímény A vizsálaainkban szrplő szinszos fszülsé az llnálláson mnká véz Az y prióds ala lvéz mnká inrálással számíhak W T pd P T T A lsímény-pillanaérék rövid időr állandónak kinük, és képzzük y lmi, kskny p d élalapnak a rülé A rül y lmi mnkarész Az inrálás az lmi, kskny élalapok rülénk összé, a öb alai rül rdményzi Ez éppn az a mód, ahoyan korábban llnállásnkon az álalsímény is számíok Ezér az inrálás hly az álalsímény flhasználva is kifzhük az y prióds ala lvéz mnká a P T szorzaal Az llnálláson a villamos lsímény lfoyaszásra krül Áalakl más mchanikai, hő, fény, kémiai, sb lsíményípssá Az a válakozóáramú lsímény, amly más lsíményípssá áalakl, haásos lsíménynk nvzzük Myzés: a haásos lsímény nm évszndő össz a hasznos -sal Tél: Ellnálláson mindi haásos lsímény ön lér Tél: Haásos lsímény csak llnálláson ön lér A haásos lsímény l: P Mérékysé l: W, nv: wa

40 40 8 Tlsímény-időfüvény és álalsímény kondnzáoron illv krcsn A mddő lsímény Válakozóáramú lsímény kondnzáoron Kapcsolnk a kondnzáornkra szinszos fszülsé sin Az kondnzáor árama: d d sin i sin 90 cos d d Az kondnzáor lsímény: p i sin cos sin cos Az időfüvény rionomriai áalakíással ovább írhak: sin p sin cos 8 ábra A lsímény-időfüvény a 8 ábrán vizsálhak Az időfüvény a vízszins nlyr szimmriks, pillanaéréki válakozva poziív és naív érékk Készrs frkvnciáú, ampliúdóú, a ln ábrázolásban szinszos füvény A lsímény-időfüvény poziív és naív félpriódsa vonalkázo rül myzik Ezér az inrálás rdmény félpriódsra a ké vonalkázo rül különbsé, há nlla

41 Válakozóáramú lsímény krcsn Kapcsolnk a krcsr szinszos áramo i sin A krcs fszülsé: di d sin sin 90 cos d d A krcs lsímény: p i cos sin cos sin Trionomriai áalakíás án: sin p cos sin A lsímény-időfüvény há hasonló a kondnzáoréhoz A vízszins nlyr szimmriks, készrs frkvnciáú, ampliúdóú Mindké sr érvénys, hoy az y ls priódsra v ála nlla A lsímény poziív és naív félpriódsai azonos örb alai rül fdnk T sin pd d 0 T A krcs és a kondnzáor há ls priódsra nézv nriá nm foyasz Ez úy lhsés, hoy a blsükbn flépínk y villamos illv mánss r, hhz y nyd prióds ala nriá vsznk fl a ápláló nráorból, mad a második nyd prióds ala a érből az nria visszaáplálódik a nráorba A harmadik nyd priódsban llnés irányú ér épül fl, amlybn árol nria a nydik nydbn vissza a nráorba övidn lsíménylnés alakl ki anélkül, hoy nria lfoyaszásra krüln 4 Mddő lsímény A kondnzáoron és a krcsn fllépő lsímény mddő lsíménynk nvzzük A krcsn poziív, a kondnzáoron naív lőlll vsszük fiylmb a mddő lsímény, há ha y kapcsolásban krcs és kondnzáor is alálhaó, akkor a hálóza rdő mddő lsímény az indkív és a kapaciív mddő lsímény különbsé, a ké mddő lsímény ymás kompnzála Myzés: a mddő lsímény nm évszndő össz a vszséi lsíménnyl Tél:Kondnzáoron és krcsn mindi mddő lsímény ön lér Tél: Mddő lsímény csak kondnzáoron vay krcsn ön lér A mddő lsímény l: Q Mérékysé l: VAr, nv: volamprrakív a mérékysé rébbi, ma már nm szabványos, d lőfordló lölés: var

42 4 9 Válakozóáramú lsíményípsok és kiszámíásk álalános impdancia sén A lsímény komplx vkora A lsíményényző A fázisavíás Válakozóáramú lsímény álalános impdancián Tyük fl, hoy álalános válakozóáramú hálózank valamly ké pona közö llnállások, krcsk, és kondnzáorok vys kapcsolása alálhaó Ez a passzív hálózarész hlysíhő yln rdő impdanciával Az rdő impdancia mhaározásá az ynáramú hálózaok áryalásakor mismr lvk soros, párhzamos rdő, sb ovábbondolásával lvézhük, i mos nm részlzzük Ha az álalános rdő impdanciánk áramának és fszülséénk csak az ffkív éréké ismrük, d a kő közöi fázisszö nm, akkor a ké érék összszorzásával y ú lsímény kapnk Ez a lsímény sm nm krül ls észébn lfoyaszásra, sm nm ln ls észébn lsíménylnés ászólaos lsímény Valamly álalános impdancián ső szinszos fszülsé és az áfolyó áram ffkív érékénk szorzaá lászólaos lsíménynk nvzzük A lászólaos lsímény l: S, mérékysé l: VA, nv: volampr S Haásos lsímény álalános impdancián Írk fl az rdő impdanciánka! Z Z ϕ Z cosϕ sinϕ Z m Z A ké impdanciarész össz mfll y ohmos llnállás és y rakancia soros kapcsolásának Valós áramampliúdó flélzv az impdanciához hasonló fszülséampliúdó is képzhünk Z Z Z cosϕ Hasonlóan írhaó komplx ffkív érékkkl is Z Z Z cosϕ sin ϕ cosϕ sinϕ cosϕ sin ϕ sinϕ A fszülsé valós részéből származahaó az lfoyaszásra krülő, azaz haásos lsímény P cosϕ Álalános hálózaban a haásos lsímény úy számíhak, hoy a fszülsé és az áram ffkív érékink szorzaá képzzük, és szorozzk a fszülsé és az áram közöi fázislolódás koszinszával Az áramo a fszülsénk az árammal fázisban lvő komponnsévl szorozzk Mddő lsímény álalános impdancián Az lőző ondolamn folyava a fszülsévkor képzs részéből származahak a mddő lsímény Q sinϕ

43 Álalános hálóza valamly ponán a mddő lsímény úy számíhak, hoy a fszülsé és az áram ffkív érékink szorzaá képzzük, és szorozzk a fszülsé és az áram közöi fázislérés szinszával Az áramo a fszülsénk az áramvkorra mrőls vkorkomponnsévl szorozzk 43 Kapcsola az ys lsíményípsok közö Képzzük a haásos és a mddő lsímény néyzénk összé! P Q cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ S sinϕ Thá P Q S, azaz S P Q Komplx lsímény A lászólaos lsímény há Pyhaorasz élér mlékző módon számíhak yanúy, min fszülsé vay áram vay impdancia valós és képzs részéből az abszolú érék Íy képzhük a haásos, lfoyaszásra krülő lsíményből, min valós részből és a mddő, lfoyaszásra nm krülő lsíményből, min képzs részből a komplx lsímény, S - S P A komplx lsímény vkora a harmadik füln komplx vkor a fszülsé-áram és az impdancia vkoryüs mll A három vkorábra hasonló Q Válakozóáramú lsíményípsok míélés A haásos lsímény áalakl más lsíményípssá, lfoyaszásra krül, yanúy, min az ynáramú lsímény A mddő lsímény más, nincs ynáramú mfllő Tlsíménylnés nráor és rakancia közö Elfoyaszásra nm krül, zér az áramszolálaó a foyaszóól llnszolálaásra nm arha iény yanakkor a krcs vay kondnzáor lnős áramo iénylh Ez az áramo kll az áramszolálaónak a ávvzékin szállíani Számolni kll a ávvzék vés llnállásával és az zn lérövő lsíményvszsél A P v vszsé számíhaóa vzékllnállás, v és a raa áfolyó szinszos áram ffkív érékénk flhasználásával P v v Az áramszolálaónak há vszsé klkzik, miközbn bből bvél nm származik Ezér a mddő lsímény krülndő A mddő lsímény lnléénk lzésér a lsíményényző használk A lsíményényző: cos ϕ A lsíményényző opimális, ha cos ϕ lynkor nincs mddő lsímény, mr yankkor sin ϕ 0 Ha a lsíményényző nm opimális, akkor a mlvő mddő lsímény kompnzálására fázisavíás kll alkalmazni A yárak, üzmk, nay foyaszók álalában indkív mddő lsímény okoznak Ez kll a foyaszás hlyén párhzamosan kapcsol kondnzáorokkal, a válozó rhléshz állandóan iazodva kompnzálni Ez a fázisavíás Az áramszolálaó kdvzménybn részsíi a nay foyaszói, ha a lsíményényző éréké folyamaosan az lőr mállapío érék fl arák A lsíményényző folyamaos fiylmml kísérés célából cosϕ -riszráló készülék használnak

44 44 30 Szimmriks háromfázisú hálózaok Vonali- és fázisllmzők Aszimmria A villamos nrialláás kzdi időszakában a nráoroka és foyaszóka füln, ponpon közöi összköéskkl kööék össz Napainkban a koninnsk bhálózzák a ávvzékk Sok orszáo makba folaló ysés villamosnria-rndszrk működnk Az lláó rndszrk, ávvzékk és brndzésk lésíés és üzmlés kölsés A kölsék opimalizálhaók háromfázisú hálózaok alkalmazásával Ma a villamos nrialláás csaknm kizáróla háromfázisú rndszrbn örénik Három szinszos fszülsénráor szimmriks nráorhármas alko, ha frkvnciák ponosan myzik, fszülséük ampliúdóa myzik, szimmriksan lolak úy, hoy kzdőfázisk rndr 0, 0, és 40 A három fázis szokásos lnvzés:, S és T fázis A három fázis időfüvény a 30 ábrán láhaó 30 ábra Az ábrán fiylmml kísérhő, hoy bármly időponban a három időfüvény pillanaérékink össz nllá ad rdményül: 0 S T 30 ábra

45 A három nráorból csilla és háromszö kapcsolás yarán képzhünk A 30 ábrán y csillakapcsolású nráorhármas csillakapcsolású három impdancia rhl A szimmria flél a korábban a nráorokra kiköésk mll az, hoy a három rhlő impdancia lyn azonos Ha z lsül, akkor példál abban a pillanaban amikor az és S fázis vzékén a nráoról a rhlés flé folyik áram, a T fázis vzékén éppn az lőző ké áram össz folyik llnkző irányba i i i 0 S T Ez indokola, hoy a ké csillapono nm köük össz, háromvzéks rndszr használnk Ha a ké csillapono összkönénk, zn a nydik vzékn nm folyna áram a szimmria kövkzébn A nráoron folyó áramo fázisáramnak, a nráoron ső fszülsé fázisfszülsénk nvzzük A ávvzék árama a vonali áram, fszülsé a vonali fszülsé sillakapcsolású nráorok sébn a fázisáram, f, és a vonali áram, v min az lőbb vizsálk, myzik f v Nm íy a ké fszülsé Kapcsolakhoz razolk fl lőször a nráorok szimmriks vkorhármasá, -, S - és T ábra Három azonos hosszúsáú, ymással 0 -os szö bzáró fszülsévkor alkoa A vonali fszülsé mfllő ké fázisfszülsé vkoriális különbsékén haározhak m Példál: 45 S S 303 ábra Vkorábránkon a vonalkázo rül y ynlő oldalú háromszö Tdk, hoy bbn az oldalhosszúsá, a és a maassávonal, m hossza közöi összfüés: 3 m a Az oldalhosszúsának a fázisfszülsé, a maassának a vonali fszülsénk a fl fll m, zér csillakapcsolású nráoraink sébn az összfüés: v f 3

46 46 Háromszökapcsolású nráorok sén a fázis- és a vonali fszülsé myzik Az áramokra pdi a kövkző összfüés érvénys vh fh vh fh 3 A háromfázisú hálózaok üzmlés során folyamaosan üylünk a szimmria fnnarására Ennk llnér lőfordlha fáziskimaradás, aszimmriks rhlés, vay más rndllnssé Aszimmria háromvzéks rndszrbn Az aszimmria a 30 ábra szrini csilla-csilla kapcsolású háromvzéks rndszrbn nm vár fszülsé-lolódásoka okoz A ké csillapon közö úynvz csillaponlolódás ön lér A csillaponok közöi 0 komplx ampliúdóú lolódási fszülsé szinszos időfüvényű Az aszimmria haására az ys fázisokra is a névls fszülséől lérő nayobb vay kisbb fszülsé A névlsől lérő fszülsé az üzml brndzésk, szközök önkrmnlé vay hibás működésé okozza, há nm ndhő m Aszimmria néyvzéks rndszrbn A fszülséarás bizosía és a ké csillapon közöi fszülsélolódás akadályozza m, ha a ké csillapono y nydik vzékkl összköük Ez az úynvz nllvzék aa szimmriks sbn nm folyik áram Aszimmria sén viszon szinszos kiynlíő áram alakl ki bnn A kiynlíő áram bizosía a fázisáramok kíván aszimmriáá, mly óbbi pdi lhővé szi, hoy fázisonkén lérő rhlő impdanciák llnér a fázisfszülsék azonosak maradanak Ma ohonainkban és a yárak, üzmk, inézményk számára a villamos nrialláás szimmriks háromfázisú rndszrbn örénik A fázisfszülsé ma szabványosan 30V-os ffkív érékű A közvélmény nay rész azonban a réi, mszoko és a fliraokon ma is szrplő 0V-os érék ismri akásainkba há fázisfszülsé Többlakásos épülbn lakásonkén más-más fázisról bizosíák a áplálás Ey-y fázisra sok lakás csalakozava a szimmria saisziksan mvalósl A nllvzéknk a lakásokba, irodákba bvz szakasza rmészsn az nriallááshoz szüksés ls áramo vzi, árammnssé szimmria sén csak a háromfázisú szakaszra érvénys Mayarorszáon a villamos nrialláó hálóza szabványosan földl csillaponú Jó dni, hoy az épülk fémből készül áz- és vízvzéki, a vízcsapok, az épülvasalás, a ndvs padló a nllvzékkl összköésbn van A másik vzéknk, az úynvz fázisvzőnk az érinés zér önmaában is lndő lh ahhoz, hoy zár áramkör alaklon ki, és áramüés kövkzzn b A nayobb foyaszók háromfázisú áplálás kapnak, és yakran üzmlnk is háromfázisú épk, brndzésk Az lőbb mlí 0V-os fázisfszülsé ffkív érékhz a 0V 3 380V vonali fszülsé arozik, ami példál ranszformáorállomások, loszók, villamos közlkdéssl kapcsolaos lésíményk közlébn, fiylmző fliraokon yakran láhank

47 47 3 Számíási fladaok yakorlása 3 példa Tkinsük a 3 ábrán láhaó soros kapcsolás Kiindló időfüvény és adaok: rad 00 sin 34 [V], s 80Ω, 3 ábra A Haározzk m a fszülsék, az áram időfüvényé, razolk m a vkorábráka! Moldás A nráor időfüvényéből kiolvashaó adaok: 00V z ffkív érék!! rad 34 s A frkvncia és a priódsidő: f 50Hz, π T 0ms f Az llnállás fszülsé: A80Ω 80V Mivl az áram mado érék ffkív érék, zér az rdmény is ffkív érék A fszülsé-áram vkorábra mrazolhaó sak a kondnzáor fszülsé ismrln, zér a nráor és az llnállás fszülséénk vkoriális különbsékén m dk szrkszni 3 ábra 3 ábra

48 48 A kondnzáor fszülséénk ffkív érék Pyhaorasz él szrin: 00V 80V 60V A kondnzáor lászólaos llnállása: X 60V 60Ω A A kondnzáor kapaciása: As 53,08μF X rad V 34 60Ω s Az rdő impdancia abszolú érék: Z 00V 00Ω A Ez myzik azzal ami Pyhaorasz-élll számíhank Z 80Ω 60Ω 00Ω X A fázisszö a fszülsé-vkorábrából: 60V ϕ ar c ar c ar c 0,75 36, 9 80V Mos már mrazolhak az impdancia-vkorábrá 33 ábra A haásos lsímény: P cos ϕ 80V A 80W A mddő lsímény: Q sin ϕ 60V A 60VAr kapaciív A lászólaos lsímény: S 00 V A 00VA A lsímény komplx érék: S [VA]

49 49 A lsímény-vkorábra: A három vkorábra ybváó! Az időfüvényk: rad 80 sin34 36,9 [V], s rad i sin34 36,9 [A], s 34 ábra rad rad 60 sin34 36, sin34 53, [V] s s 35 ábra 3 példa Tkinsük a 36 ábrán láhaó soros kapcsolás 36 ábra A kapcsolás álal flv haásos lsímény: P 00W

50 50 További adaok: 00mH, 3 rad 0, s 00V A fni adaokból számísk ki a hiányzó fszülsék, impdanciáka, lsíményk, az áramo, a fázisszö és haározzk m a szüksés fázisavíó kondnzáor éréké! Moldás A krcs lászólaos llnállása: 3 rad 3 rad Vs X H 00 00Ω s s A Ebből a kör árama: 00V A X 00Ω P cos ϕ 00W, bből P 00W 00V, A Az llnálláson és a krcsn a fszülsé myzik, a fszülsé-vkorábra y néyz, a fázisszö 45 00V ϕ arc arc arc 45, 00V P 00W 00W S 4VA, cosϕ cos45 4VA Q S sin ϕ 4VAsin 45 00VAr, indkív, 00V 00V 4V Az rdő impdancia: 4V Z 4Ω A A komplx impdancia és a komplx lsímény: Z X 00 00[ Ω], S 00 00[ VA] Fázisavíás érdkébn a soros kapcsolással párhzamosan csalakozank y kondnzáor 37 ábra 37 ábra

51 5 Éréké úy kll mválaszannk, hoy mddő lsímény myzzn a krcs álal okozo mddő lsíménnyl Q Q 00VAr Mivl a kondnzáorra a nráor fszülsé Q Q 00VAr 0, 707A, bből 4V X 4V 00Ω 0,707A X, bből a krs kapaciás: 5 0 As 5μF X rad Ω V s Tökéls fázisavíás érdkébn há 5 μf kapaciású kondnzáor kll a kapcsolással párhzamosan csalakozani lynkor a nráor csak haásos lsímény ad l, zér árama P 00W, fázisavío 0, 707A 4V Eközbn az llnállás és a krcs fszülsé-, áram- és lsíményállapoa rmészsn válozalan!! 33 példa Soros, és lmk 5V fszülséű szinszos nráor áplál 38 ábra 38 ábra Mkkora fszülsé lnik m az ys lmkn és mkkora a kör árama, ha a nráor frkvnciáa éppn a rzonanciafrkvncia? Mkkora a ósái ényző és mkkora a rzonanciakörfrkvncia? 00μH, 0nF, 5Ω Moldás 6 rad Vs 8 As 0 s s 0 0 A V