Befordulás sarkon bútorral Bizonyára volt már olyan élményed, hogy bútort kellett cipelned, és nem voltál biztos benne, hogy be tudjátok - e vinni a szobába. Erről jutott eszembe az alábbi feladat. Adott az 1. ábra szerinti alaprajzi elrendezés. 1. ábra Határozzuk meg, hogy milyen feltételek mellett tudjuk az ABCD sarkokkal bíró szekrényt az 1. helyzetből a 2. helyzetbe átvinni, úgy, hogy az A és a D sarkok mindvégig érintkezzenek egy fallal! Megoldás Ehhez tekintsük az 1. és a 2. ábrát! A megoldás sémája az alábbi.
2 2. ábra Először: az 1. ábra 1. helyzetéből az Oy fal mentén betoljuk a bútort az O sarokba; ekkor A = O. Másodszor: elvégezzük a bútor derékszögű elforgatását, úgy, hogy az A és a D sarok mindig falnak támaszkodjon 2. ábra. Harmadszor: a már derékszögben elfordított szekrényt kitoljuk az 1. ábra 2. helyzeté be. A leírt mozgások elvégezhetők, ha teljesül az a feltétel, hogy a szekrény BC szaka szának az saroktól, illetve annak falaitól mért t távolsága nem zérus nagyságú. Képletben: t (α ) > 0, 0 α 90. (1) Most írjuk fel a t távolságot az α elfordulási szög függvényében! A 2. ábra szerint az O távolságnak a BC oldalra merőleges egyenesre vett merőleges vetülete
3 ~ egyfelől: O vet ( α ) = OP + PT + TU, OP = l sin α cos α, PT = s, TU t = α ; O vet α = l sin α cos α + s + t α ; ( 2 ) ~ másfelől: Ovet α = OQ + QU, OQ α = x cos α, QU α = y sin α ; cos sin ; O α = x α + y α ( 3 ) vet most ( 2 ) és ( 3 ) - mal: l sin α cos α + s + t α = x cos α + y sin α, innen: cos sin sin cos. t x y l s α = α + α α α ( 4 ) Majd ( 1 ) és ( 4 ) - gyel a befordulási vizsgálat alapösszefüggései: cos sin sin cos 0, t α = x α + y α l α α s > ( 5 ) 0 α 90. Ezek adják meg a választ arra a kérdésre, hogy milyen feltételek mellett vihető át a bútor az 1. helyzetből a 2. helyzetbe. A feladat paraméteres megfogalmazása tehát: Adott: s, l; x, y. Keresett: α 0, ahol t( α 0 ) = 0. Ha van ilyen α 0 szög, akkor a bútor a mozgatása során elakadhat.
4 Az ( 5 ) képletek a kezdő és a véghelyzetben kiadják, hogy t ( α = 0) = x s > 0 s < x ; ( 6 ) t ( α = 90 ) = y s > 0 s < y. A ( 6 ) szerinti korlátozások természetesek: a szekrénynek be kell férnie a falak közé. Az ( 5 ) szerinti függvénykapcsolatot célszerű grafikonon ábrázolni; ezt itt a Graph nevű ingyenes szoftver alkalmazásával oldjuk meg. Ehhez az ábrák adatait vesszük: s = 5,0 ( h.e. ); l = 8,5 ( h.e. ); x = 9,5 ( h.e. ); y = 7,5 ( h.e. ). ( h.e. ): hosszegység. Most tekintsük a 3. ábrát! t ( h. e. ) 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 alfa ( fok ) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90-0.5 f(x)=9.5*cos(x)+7.5*sin(x)-8.5*sin(x)*cos(x)-5 f(x)=9.5*cos(x)+7.5*sin(x)-8.5*sin(x)*cos(x)-5-2.5 3. ábra Itt a kék görbe a fenti adatokkal készült. Ennek lefutásából látható, hogy az 1. ábra 2. helyzetének megfelelően a faltól való távolság ekkor 2,5 ( h.e. ). Azt is látjuk, hogy e példában semmilyen elfordulási szögnél sem válik a t távolság nullává. Mivel a függvény / a görbe a minimumát éppen a végső helyzetében veszi fel, ezért a szekrény s szélessége nagyobb is lehet; itt akár 7,0 ( h.e. ) is. Az s = 5 + 2,5 = 7,5 ( h.e. ) - nek megfelelő grafikont piros vonallal rajzoltuk meg.
5 Bár ez elméletileg éppen még lehetséges, gyakorlatilag azonban az a helyzet, hogy már nem férne el a kezünk a szekrény és a fal között. Megjegyzések: M1. Nem felejtjük el, hogy az itteni feladat csak két dimenzióban engedte meg a mozgást; egy valódi szekrény esetében még a harmadik méret kapcsán felmerülő nehézségeket is le kell győzni. Ilyen lehet az ajtónyílás magassága is. De ez már egy másik történet. M2. Azért vizsgáltuk az O távolságnak a BC oldalra merőleges egyenesre vett merőleges vetületét, mert a t távolság a BC szakaszra merőlegesen veendő, hiszen ez a legkisebb a BC szakasz pontjainak - től mért távolságai közül. M3. Egy alkalmazási példa lehet a 2. ábra esete is. Az ábráról lemérve: α 69,4 ; t mért (69,4 ) = 2,5 ( h.e. ). Ugyanez a fenti adatokkal és a ( 4 ) képlettel: t (69, 4 ) = 2,5635 ( h.e. ). számított Látjuk, hogy a mért és számított értékek jól egyeznek. M4. Egy további alkalmazás legyen olyan, hogy a szekrény biztosan elakad valahol. Ilyet láthatunk a 4. ábrán. A hozzá tartozó grafikont az 5. ábrán szemlélhetjük. Erről leolvastuk, hogy a 4. ábrán felvett méretekkel a szekrény már mintegy 30,8 fok elfordulási szögnél végleg elakad. Emiatt további két megjegyzést teszünk: ~ egy tetszőlegesen felvett, a 4. ábrához hasonló helyzet nem biztos, hogy valós; emiatt a vizsgálatot az elejétől, azaz 0 fokos szöggel kell kezdeni, hiszen a bútor a felvett helyzetbe talán más, nem a számára kijelölt úton került; ~ ha nem akarunk számolni, akkor játsszuk le a bútorszállítási folyamatot, az eredeti méretek arányos kicsinyítésével. M5. Lehet, hogy nem mindenki gondolja életszerűnek azt az előfeltételt, hogy az A és a D sarok mindig falnak támaszkodjon a mozgás során. Most ezt választottuk. M6. Azt nem tudjuk, hogy pl. a lakberendezők tanulnak - e ilyesmit. Azt viszont gyanítjuk, hogy az építész - és a bútortervezők nem igazán egyeztetnek, a megszerzett tapasztalatok szerint. Vagyis: befér - e majd az ajtón a bútor, vagy csak az ablakon; vagy talán ott sem
6 4. ábra t ( h. e. ) 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 alfa ( fok ) -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80-0.2-0.4 f(x)=6.0*cos(x)+7.0*sin(x)-8.5*sin(x)*cos(x)-5 5. ábra Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár ződliget, 2013. február 28. 85 90