8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk, (a) amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es? (a) A keresett hatjegyű számok az adott hat számjegy ismétlés nélküli permutációi, számuk = 720. Másképpen: Ha a hatjegyű szám mindegyik számjegye különböző, akkor az első számjegye 6-féle lehet, utána a második számjegy -féle, stb. A lehetőségek száma 6 2 1 = 720. (b) Mivel a második számjegy a 2-es, a többi öt számjegy az 1,,,, 6 számok ismétlés nélküli permutációja, ezek száma! = 120. Másképpen: Az első számjegy -féle lehet (2-es nem), a második számjegy a 2-es, azután a harmadik számjegy -féle, stb. A lehetőségek száma 1 2 1 = 120. 2. (a) Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk? (b) Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány olyan hatjegyű számot alkothatunk, amelyiknek a második számjegye 2-es? (a) A feladatbeli hatjegyű számok a megadott hat számjegy ismétléses variációi, számuk 6 6 = 6 66. Másképpen: Mindegyik számjegy 6-féle lehet, ami 6 6 6 6 6 6 = 6 6 lehetőséget ad. (b) A második számjegy adott, a többi öt számjegy a hat lehetséges érték bármelyike lehet. Ezek száma 6 = 7 776.. (a) Az 1, 2,,,, 6, 7, 8, 9 számjegyekből hány olyan ötjegyű számot alkothatunk, amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) Az 1, 2,,,, 6, 7, 8, 9 számjegyekből hány ötjegyű számot alkothatunk? (a) A keresett ötjegyű számok a megadott kilenc számjegy -ödosztályú ismétlés nélküli variációi, számuk = 1 120. 9! (9 )! Másképpen: Az első számjegy 9-féle lehet, a második 8-féle,..., az ötödik -féle. A lehetőségek száma 9 8 7 6 = 1 120. (b) A feladatbeli ötjegyű számok a megadott kilenc számjegy -ödosztályú ismétléses variációi, melyek száma 9 = 9 09. Másképpen: Mindegyik számjegy 9-féle lehet, így 9 9 9 9 9 = 9 ötjegyű számot képezhetünk.. Az 1, 2, számjegyekból hány olyan kilencjegyű számot képezhetünk, amelyikben mindhárom számjegy ugyanannyiszor szerepel? Mindhárom számjegy háromszor fordul elő a feladatbeli kilencjegyű számokban. 9! Ezek az 1, 1, 1, 2, 2, 2,,, elemek ismétléses permutációi, = 1 680 van belőlük.!!!
. Valaki egy 0 napos hónapban napon szeretne vendéglőben ebédelni. Hányféleképpen teheti ezt meg? A 0 napból -t kell kiválasztani, a ( kiválasztás ) sorrendje nem számít, ezért ismétlés 0 nélküli kombinációkról van szó, az eredmény = 27 0. 6. Egy gazda kutyát és macskát tart. Hányféleképpen mehet ki az ajtón a 9 állat, ha egyszerre csak egy állat megy ki, és kutyát mindig macska, macskát pedig minden esetben kutya követ? Az állatfajták sorrendje egyértelmű, kutya az első, utána felváltva következik macska és kutya. A kutyák sorrendje! = 120-féle lehet, a macskáké! = 2-féle (mindkettő ismétlés nélküli permutáció), a megoldás ezek szorzata:!! = 2 880. 7. Egy karácsonyfán 0 különböző csomagolású szaloncukor lóg, közülük 20 marcipános és 0 kókuszos. (a) Megrázzuk a fát, mire 10 szaloncukor egyszerre leesik, ugyanannyi marcipános, mint kókuszos. Hányféleképpen történhet ez meg? (b) Egymás után elfogyasztunk 10 szaloncukrot, ugyanannyi marcipánost, mint kókuszost. Hányféleképpen (t)ehetjük meg? ( ) 20 -féle módon eshet le, a 0 kókuszos (a) A 20 marcipános szaloncukor közül egyszerre ( 0 közül egyszerre kókuszosak tetszőleges választása tartozhat, így a megoldás ( )( ) 20 0 = 1 0 12 06 = 2 209 1 02. ) -féle módon. A marcipános szaloncukrok bármely választásához a (b) A marcipános és a kókuszos szaloncukrok ízsorrendje = 22-féle lehet, ami az elfogyasztandó marcipános és kókuszos szaloncukor ismétléses permutációinak száma.!! Mivel a sorrend számít, ismétlés nélküli variációkkal kell számolnunk, amikor az marcipános szaloncukor egymáshoz viszonyított lehetséges sorrendjeinek számát határozzuk meg, és akkor is, amikor a kókuszos szaloncukrok egymás közötti lehetséges sorrendjeiét. 20! A 20 marcipános szaloncukor közül szaloncukor = 20 19 18 17 16-féle sorrendben következhet, a 0 kókuszos közül -t pedig = 0 29 28 27 26-féle (20 )! 0! (0 )! sorrendben ehetünk meg. A keresett lehetőségek száma ezek szorzata:!! 20! 1! 0! 2! = 22 (20 19 18 17 16) (0 29 28 27 26) 8,018 101. (Ez az (a) rész eredményének -szorosa, mert akárhogyan is választunk ki egyszerre marcipános és kókuszos szaloncukrot, azokat -féle sorrendben fogyaszthatjuk el.) 8. 100 alkatrész közül 10 selejtes. Kiválasztunk közülük egyszerre 8-t. (a) Hányféle módon tehetjük meg, ha ugyanannyi épet választunk, mint selejtest? (b) Hányféle módon tehetjük meg, ha pontosan 2 selejtest választunk?
( ) 90 (a) épet a 90-ből egyszerre -féleképpen, selejtest a 10 közül pedig választhatunk ki, a megoldás ezek szorzata: ( )( ) 90 10 = 2 190 210 = 6 89 900. (b) Az előzőhöz hasonlóan ( 90 6 )( 10 2 ) = 622 61 60 2,802 10 10. 9. 100 alkatrész közül 10 selejtes. Kiválasztunk közülük egymás után 8-t. (a) Hányféle módon tehetjük meg, ha ugyanannyi épet választunk, mint selejtest? (b) Hányféle módon tehetjük meg, ha pontosan 2 selejtest választunk? ( ) 10 -féleképpen (a) ( ép) és selejtes alkatrész kiválasztásakor a lehetséges ép-selejtes minőségi sorrendek száma 8 = 8!!! = 70. épet a 90-ből egymás után 90! = 90 89 88 87-féleképpen, (90 )! selejtest a 10 közül pedig = 10 9 8 7 = 00-féle módon választhatunk ki. Az (10 )! eredmény ezek szorzata: ( ) 8 90! 8 = 70 (90 89 88 87) (10 9 8 7) 2,16 10 1. (Ez a 8.(a) feladat eredményének 8!-szorosa, mert ha egyszerre kiválasztunk ép és selejtes alkatrészt, minden így kiválasztott 8 alkatrészt 8!-féleképpen rendezhetünk sorba.) (b) Az előző gondolatmenetet követve ( ) 8 90! 2 8! = 28 (90 89 88 87 96 8) (10 9) 1,10 10 1. 8! (Ez a 8.(b) feladat eredményének 8!-szorosa.) 10. Hány olyan hatjegyű szám van, amelyik különböző számjegyekből áll, melyek fele páros, fele páratlan? ( ) 6 A hatjegyű szám páros számjegyeinek helye = 20-féle lehet, ennek felében az első számjegy páros, felében páratlan (10-10 paritási sorrend). páratlan számjegy van, ebből egy hatjegyű számhoz különbözőt = 60-féleképpen választhatunk. Ha a hatjegyű szám első számjegye páratlan, akkor a páros számjegyek helyére az páros számjegy közül különbözőket = 60-féleképpen találunk. Ha viszont a hatjegyű szám első számjegye páros, az nem lehet nulla (akkor ui. a szám legfeljebb ötjegyű volna). Ilyenkor a páros számjegyeket = 8-féleképpen választhatjuk. Ezért 10 60 60 = 6 000 olyan hatjegyű szám megfelelő, amelyiknek az első számjegye páratlan, és 10 60 8 = 28 800 olyan, amelyiknek az első számjegye páros, tehát összesen 6 800 szám felel meg a feladat feltételeinek.
11. Egy informatikus ahelyett, hogy a DVD-kre ráírná azok tartalmát, mindegyikre egy kettes számrendszerbeli (csak 0 és 1 számjegyekből álló) számot ír. Legalább hány jegyű számokat kell használnia, ha 1000 DVD-t akar katalogizálni? Kettes számrendszerbeli legfeljebb n jegyű számból 2 n darab van, hiszen az n darab számjegy bármelyike 0 vagy 1 lehet (ismétléses variációk). Ha 1000 DVD-t kell katalogizálni, ahhoz olyan n szükséges, melyre 2 n 1000. Mivel 2 9 = 16 és 2 10 = 102, ezért legalább tízjegyű kettes számrendszerbeli számokat kell használni. 12. Egy urnában piros, fehér és zöld golyó van. Egyszerre kiválasztunk közülük 6-t. Hányféleképpen tehetjük meg, ha (a) mindhárom színű golyóból azonos számút választunk? (b) egy fehéret sem választunk? (c) csak pirosat és fehéret választunk? (a) A piros golyó közül 2-t ( ( = -féleképpen, az fehér közül 2-t = 10-féleképpen, a zöld közül 2-t ( ( = 6-féleképpen választhatunk, az eredmény ( ( = 10 6 = 180. (b) piros és zöld golyót vagy 2 pirosat és zöldet kell választanunk. E lehetőségek száma ( )( ) ( )( ) + = 1 + 1 = 7. 2 (c) piros és fehér golyót, 2 pirosat és fehéret vagy 1 pirosat és fehéret kell választani. Számuk ( )( ) ( )( ) ( )( ) + + = 1 10 + + 1 = 28. 2 1 1. Egy urnában piros, fehér és zöld golyó van. Egymás után kiválasztunk közülük 6-t. Hányféleképpen tehetjük meg, ha (a) mindhárom színű golyóból azonos számút választunk? (b) egy fehéret sem választunk? (c) csak pirosat és fehéret választunk? (a) A 12.(a) feladat szerint egyszerre 2 piros, 2 fehér és 2 zöld golyót 7-féleképpen választhatunk ki. Az egyszerre kiválasztott 6 golyó színsorrendjeinek száma = 90, így egymás után 2! 2! 2! 7 90 = 60-féleképpen választhatjuk ki a golyókat. (b) piros és zöld golyót egyszerre -féleképpen választhatunk, és ekkor a színsorrendek száma = 20. 2 pirosat és zöldet egyszerre -féle módon választhatunk, és ebben az!! esetben a színsorrendek száma = 1. Ezért a lehetőségek száma 20 + 1 = 12. 2!! (c) piros és fehér golyót egyszerre 10-féleképpen választhatunk, ezek színsorrendjeinek száma = 20. 2 pirosat és fehéret egyszerre 1-féleképpen választhatunk, az ilyen!! színsorrendek száma = 1. Végül 1 pirosat és fehéret egyszerre -féle módon 2!! választhatunk, ilyenkor a színsorrendek száma = 6. Az összes lehetőség száma 1!! 10 20 + 1 1 + 6 =.
1. Karácsonykor 10 különböző ajándékkal szeretnénk kislányt meglepni. Hányféleképpen oszthatjuk el az ajándékokat, ha Andrea, Bea és Cecília - ajándékot kap? Andrea ajándékát ( ) 10 ) = 210-féleképpen választhatjuk ki, utána Bea ajándékát = 20-féleképpen, a megmaradó ajándékot pedig Cecília kapja. Az eredmény ( 6 ( ) 10 ( ) 6 =! = 210 20 = 200.!! Másképpen: A 10 különböző ajándékhoz kell hozzárendelnünk -szer Andreát, -szor Beát és szintén -szor Cecíliát. Ez tekinthető egy ismétléses permutációnak, és azok száma!!! = 200. 1. Egy sakkkészlet 16 különböző világos figurát tartalmaz (egy király, egy vezér, két bástya, két futó, két huszár és nyolc gyalog). Hányféleképpen választhatunk ki egymás után ötöt úgy, hogy azok között pontosan gyalog legyen? ( ) -féle lehet a gyalogok és a tisztek sorrendje. Minden ilyen sorrend esetén az első gyalogot 8-féleképpen, a másodikat 7-féleképpen, a harmadikat 6-féleképpen választhatjuk. Hasonlóan az első tisztet 8-féleképpen, a másodikat 7-féleképpen választhatjuk. Az összes lehetőség száma ezek szorzata: ( ) (8 7 6) (8 7) = 188 160. 16. Egy urnában található golyók közül egyszerre kettőt -féleképpen tudunk kiválasztani. Hány golyót tartalmaz az urna? ( ) n n(n 1) Ha n golyó van az urnában, akkor közülük egyszerre kettőt = -féle 2 2 módon választhatunk ki. n(n 1) 2 = n(n 1) = 110 n = 10.