Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x x x x 5 ( pont) 0 5 5 az exp. fv. szigorú monotonitása miatt: x x 0 x 5x 0 A másodfokú egyenletet megoldva: x és x Összesen: pont ) Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak! a) Van olyan racionális szám, amelyik nem egész szám. b) Egy szám osztható tizenhárommal, ha a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó szám háromszorosát, és ez a szám osztható tizenhárommal. a) Igaz. b) Hamis, mert az utolsó szám négyszerese kell. Összesen: pont ) Egy marhatenyésztőnek 500 szarvasmarhája van. A mindenkori állatállomány évenként 5%-kal gyarapszik. Tizennégy év múlva eladja a vejének az akkori állomány felét. Mennyi marhája marad a tenyésztőnek? (Az éppen még születendő állatok nem számítanak.) ( pont) a 500 a 500, 05 7 q,05 a 57 Összesen: pont ) Oldja meg a következő egyenletet! 5ctg x sin x Kikötés: sin x 0 x 0 k 80, ahol k 5cos sin 5cos cos cos 5cos 0 x x x x x x 5 89 x cos 0,55 8 5 89 x 56,6 l80, ahol l x 0,6 n80, ahol n cos x 8,80, de ez nem megoldás, mert cos x - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 5) Egy körgyűrűcikket, illetve 9 cm sugarú körívek határolnak. Területe Mekkora a körgyűrűcikk középponti szöge? kgy 9 7 cm. T cm 7 8 60 90 6) Milyen x értékeket vehet fel az alábbi kifejezés? 8 x 6x 7 0 Behelyettesítve a megoldóképletbe: b b ac 6 6 7 a x 7 és x Mivel az x együtthatója negatív, a megoldás a két gyök között lesz: 7 x 7) A virágosnál egy zsák virágföld 5 kg. Egy másik virágosnál csak 0 kg van egy zsákban és itt 60 Forinttal drágább kilója. Egy zsákért mindkét helyen ugyanannyit kérnek. Mennyibe kerül a drágábbik helyen kg virágföld? 5x0 x 60 5x600 x 0 x 60 80 Ft 8) Adja meg a 70 és az 50 legkisebb közös többszörösét! ( pont) és 50 5 70;50 5 0800 70 5 9) Határozza meg az alábbi kifejezés értékkészletét! x Összesen: pont x 8 ( pont) x x x 8 Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. A 5; ;7 0) Egy kör egyik átmérőjének végpontjai, B. Írja fel a kör egyenletét! d x x y y 5 7 68 7 d A kör sugara: r 7 A felezőpontból megkapjuk a kör középpontját: 5 7 ; F O ; A kör egyenlete: x y 7 ) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 6x 0 x Kikötés: 6x 0 x x és x 0 x 0, tehát 6 x 6x x 6x 0 x x 0 A másodfokú egyenletet megoldva: 7 7 x 0,8 és x,78 ami nem eleme az ért. tartománynak. ) Egy dobozban 0 pár különböző színű kesztyű van. Véletlenszerűen kiveszünk belőle kettőt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a két darab kesztyű egy pár lesz? ( pont) Összes eset: 9, hiszen a maradék 9 kesztyűből húzunk egyet. Kedvező eset:, hiszen egyetlen kesztyű passzol a kihúzotthoz. A keresett valószínűség: 9 II/A. rész: Az alábbi három példa megoldása kötelező volt! Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: 0 ) Egy versenyen huszonhárom 5 fős csapat mérte össze erejét és tudását, feladatban. a) Az első feladatot eddig csapat csinálta meg. A második, ügyességi feladaton már 5 csapat van túl. Csak 7 csapat van, akik mindkettőn részt vettek. Hány csapat van, aki(k) még nem vett(ek) részt az első két feladaton? b) Eddig négy olyan csapat volt, akik mind a három feladatot teljesítették. A csapatok közül, akik a. feladatrészt megcsinálták, hatan már az elsőn is túl vannak. Kilenc olyan csapat van, akik a. és a. feladatot is maguk mögött tudhatják. Készítsen halmazábrát a jelenlegi állásról! (6 pont) c) A résztvevők hány százaléka teljesítette a feladatok legalább részét? - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. a) Csak az. feladat: 7 csapat Csak a. feladat: 5 7 8 csapat 7 8 9 csapat. és. feladat: 7 csapat Egyik sem: 9 csapat b) A feladatot ábrázoljuk Venn-diagramon: x y z 9 5 csapat Csak az. feladat: 5 Csak a. feladat: 8 5 Csak a. feladat: 9 csapat c) 5 5 fő Legalább feladat: 5 5 70 fő 70 0, 6087 5 Összesen: pont 7 csapat 6 csapat csapat csapat 60,87% ) A Nutella gyártója a vevők visszajelzései alapján új üvegbe tölti a csokikrémet. Ez az üveg szabályos henger alakú, az alapkörének átmérője 7 cm, a teteje műanyag. a) Hány centiméteres magasságig töltik bele a Nutellát, ha a töltősúlyt nem szeretnék megváltoztatni? (Most 00 gramm Nutella van egy üvegben.) A számolás megkönnyítésére a feladatban az kg l átváltással dolgozzon! (6 pont) b) A Nutellás üvegek előállításához.500 dm -nyi megrendelt üveg alapanyag áll rendelkezésre minden hónapban. Egy darab régi üveg legyártásához 5 dm -nyi üveget használtak fel. Mennyi nyereségük vagy veszteségük lesz az új alakú üvegek gyártása miatt ebben a hónapban, ha egy üveg Nutella eladási ára 80 Ft volt és az új üveges Nutellát is ugyanennyiért szeretnék adni? (6 pont) a) d 0,7dm r 0,5dm b) 00g 0,kg 0,l 0,dm V r m m henger 0, 0,5 0, 0, m, 09dm 0,9 cm 0,5 0,5 ( pont) A 0,5,09 0,5,67dm ( pont) új üveg 500 Új üveg: 500dm 96 db,67 500 Régi üveg: 500dm 00 db 5 új: 9680 75860 Ft 80 Ft/üveg régi: 0080 8000 Ft Nyereség: 75860-8000 67760 Ft Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 5) Egy erdészetben megmérték 5 fa magasságát és a következő eredményeket jegyezték fel: 00 m, 95 m, 6 m, 6 m, 79 m, 7 m, 8 m, 00 m, 7 m, 8 m, 00 m, m, 9 m, 95 m és m. a) Határozza meg a 5 fa átlagmagasságát! ( pont) b) Az erdészetben az alábbi táblázat alapján kategorizálják a fákat: Magasság Kategória 0 9 m facsemete 0 9 m kis fa 0 59 m közepesen magas fa 60 79 m kifejlett fa 80 00 m mamut-fa Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot! Kategória facsemete kis fa közepesen magas fa Fák száma kifejlett fa ( pont) mamut-fa c) Készítsen kördiagramot a fák megoszlásáról! Adja meg a körcikkekhez tartozó középponti szögek értékeit is (egészekre kerekítve)! (5 pont) d) Adja meg a magasságok mediánját és móduszát! a) 6 8 7 6 79 89 95 00 95 6 m ( pont) 5 5 b) A táblázat helyes kitöltése: ( pont) Kategória facsemete kis fa közepesen kifejlett fa mamut-fa magas fa Fák száma db db 0 db db 7 db c) 60 00% 5 fa 6,67% fa ( pont) 0 9 m: db fa 96, 0 9 m: db fa 8, 0 59 m: 0 db fa 0, 60 79m: db fa 8, 80 00 m: 7 db fa 68 ( pont) 7% 7% % 0% Fák száma % - 5 - d) A mediánt az adatok sorba rendezése után kapjuk meg (8. fa): 79 ( pont) A módusz a legtöbbször előforduló adat: 00 facsemete kis fa közepesen magas fa kifejlett fa mamut-fa Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: 6
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. II/B. rész: Az alábbi három példa közül kettőt kellett megoldani! 6) Adottak az és a g x x f x x függvények. a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az intervallumhoz tartozó részét! b) Ábrázolja ugyanebben a koordinátarendszerben a intervallumhoz tartozó részét! c) Adja meg az és a f x g x értelmezési tartományon és az itt felvett értékeket! d) Oldja meg az f x g x függvény 5 x függvény x 5 függvény minimum és/vagy maximum helyeit a teljes ( pont) x x egyenlőtlenséget! (7 pont) e) Adjon meg egy metszéspontot (ha van)! ( pont) a) Az b) A f x levonás jár!) jár!) gx függvény helyes ábrázolásáért (az intervallumok helytelen jelöléséért - pont függvény helyes ábrázolásáért (az intervallumok helytelen jelöléséért - pont levonás f x gx c) f x szélsőérték helye: x, gx szélsőérték helye: x, d) x x x x x ha x x- x ha x I. eset: x f x minimum értéke: y g x minimum értéke: y - x x x x 0 0 Diszkrimináns 0-6 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. II. eset: x x x x x x 7 5 0 x x - 7 - ( pont) Ellenőrzés! Összegezve: x A pontos x értékek miatt az ábráról való leolvasásra is megadható a pont. e) Metszéspontok: M ;5 és M ; ( pont) Összesen: 7 pont 7) Az Okmányirodában a nyári nagytakarításkor minden ingóságnak kódszámot adtak, hogy könnyebb legyen a visszapakolás. A kódszámokat a 0, 9, 8, 7 és 6 számjegyek pontosan egyszeri felhasználásával képezték. a) Hány bútor volt összesen, ha kódszám kivételével az összes képezhető számot kiosztották? ( pont) b) A megadott feltételek alapján képezhető összes kódszámot kezeljük számként! Ha véletlenszerűen kiválasztok egyet, mennyi a valószínűsége, hogy olyan kódszám akad a kezembe, ami 5 számjegyű és páratlan? (7 pont) c) A megadott számokat egyszer felhasználva jegyű számokat képzünk. Mennyi a valószínűsége, hogy ha véletlenszerűen választunk egyet, akkor -mal osztható számot kapunk? (6 pont) a) Kódszámokról van szó, így a 0 is lehet bárhol! 5! 0 -at nem osztottak ki: 0 7 b) Az összes képezhető szám: 0 Mivel számként kezelem a kódszámokat, itt már fontos, hogy nem állhat a 0 az első helyen! Ahhoz, hogy páratlan legyen a szám, a 9-nek vagy a 7-nek kell az utolsó helyen állnia: I. eset: 9-es van az utolsó helyen 8 eset II. eset: 7-es van az utolsó helyen 8 eset A két esetet össze kell adni, hiszen egyszerre nem következhetnek be: 8 8 6 A keresett valószínűség: 6 0, 0 c) Ahhoz, hogy a szám osztható legyen -mal, a számjegyek összegének oszthatónak kell lennie -mal és mivel jegyű számot keresünk, egy számjegynek ki kell maradnia. Kimarad 0 9 8 7 6 Számjegyek 9, 8, 7, 6 8, 7, 6, 0 9, 7, 6, 0 0, 9, 8, 6 0, 9, 8, 7 Számjegyek összege 0 Osztható-e -mal igen igen nem nem igen Ha a 0 marad ki: szám Ha a 9 marad ki: 8 szám 8 8 60 szám Ha a 6 marad ki: 8 szám Összes eset ( jegyű számok): 96 A keresett valószínűség: 60 0,65 96 Összesen: 7 pont
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 8) Vilma, Fred, Diána, Bozont és Scooby új megoldatlan ügyön dolgoznak, a rejtély színhelye 800 km-re van. Repülővel szerettek volna odautazni, de a vihar miatt Bozont és Scooby a szárazföldi közlekedést választották. A többiek vállalták a repülőt, de az út első harmadán visszaveszik a sebességet 5 százalékkal. a) Ha ilyen feltételekkel indulnak el, akkor az út maradék részében hány %-kal kell növelni a sebességet az eredetileg tervezetthez képest, ha késés nélkül szeretnének odaérni a megbeszélt időpontra? (0 pont) b) Bozont és Scooby busszal indultak, de külön járattal, hogy megtévesszék üldözőiket. Egyedül félnek, így azt tervezik, hogy egyszerre indulnak a buszpályaudvarról, a végállomáson pedig Fredék várják őket. Reggel 6 órakor járat indul egyszerre, utána 5, 6, 8 és 9 percenként indulnak buszok ugyanonnan. Segítsen Bozontéknak kitalálni, hogy az utolsó (este órás) járatig hány alkalommal indul egyszerre a négy járat és mikor van(nak) az indulás(ok)! (7 pont) a) s 800 km Legyen x a sebesség növekedése a hátralevő úton. I.rész II.rész 800 600 km 800 600 00 km s I. rész 600 II. rész 00 800 km v km h t - 8 - -0,5 v 0,75v xv v h ( pont) 600 0,75v 00 xv 800 v ( pont) 600 00 800 0,75v xv v v 600 00 0,75 x 800 600x 00 600x x, Tehát az eredeti sebességet az út hátralevő részében 0 százalékkal kell növelniük. b) Reggel 6 óra: járat 5 percenként: 5 6 percenként: 8 percenként: 9 percenként: LKKT: 5 60 perc ( pont) 60 perc 6 óra Tehát 6 óránként indul egyszerre a négy busz. A közös indulások:. reggel 00 6,. délben 00,. este A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: 00 00 8 Összesen: 7 pont Maximális elérhető pontszám: