8. OPTIKA 1. Geometriai optika

8. OPTIKA Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. Bizonyos optikai alapismeretekkel együtt születünk, vagy legalábbis életünk nagyon korai szakában szert teszünk rájuk: ilyen a fénysugár fogalma és a fény egyenesvonalú terjedésének "törvénye". A fényforrásokból, a fénylő tárgyakról fénysugarak indulnak ki és a tárgyakat arrafelé látjuk, amely irányból a fény róluk a szemünkbe érkezik. 1. Geometriai optika A geometriai optika a fénysugarak terjedésével foglalkozik. A fénysugár a fényforrásból egy keskeny térszögbe kiinduló fénynyaláb határesete, amikor ez a térszög végtelenül kicsi. A tárgyakat azért látjuk, mert vagy fénysugarakat bocsátanak ki (fényforrások), vagy a fényforrások megvilágítják őket, és ez a fény a tárgyról visszaverődve a szemünkbe jut. A geometriai optika alaptörvényei: a. Homogén közegben a fény egyenes vonalban terjed. b. A fény a közegtől függő, véges sebességgel terjed. Vákuumban a fény terjedési sebessége c = 2,997925 10 8 m/s. A törésmutató, n, a vákuumbeli c fénysebesség és a v közegbeli fénysebesség hányadosa: n = c / v. (1) c. Két közeg közötti határfelületre érve a fény egy része a közeghatárról visszaverődik, más része behatol a második közegbe, de itt "megtörik", terjedési iránya általában megváltozik. A határfelület normálisa (n) és a beeső fénysugár iránya (i) meghatározza a beesési síkot. A visszavert fénysugár (r) és a határfelületen áthaladt és megtört fénysugár (t) a beesési síkban marad. A beeső fénysugár és a beesési merőleges szöge, α a beesési szög. A visszavert fénysugár ugyanakkora szöget (α) zár be a beesési merőlegessel, mint a beeső fénysugár. A törési szög (β) a megtört sugár és a beesési merőleges közötti szög. α és β között a Snellius-Descartes törvény áll fenn. Ha n 1 az első, n 2 a második közeg törésmutatója: n 1 sin α = n 2 sin β. (2) 1. ábra. Törés és visszaverődés két közeg határfelületén A törés és visszaverődés törvényei a sík és görbült felületeknél egyaránt érvényesek azzal a különbséggel, hogy a görbült határfelület különböző pontjaiba érkező fénysugarak számára a beesési merőleges különböző irányú lesz. A teljes visszaverődés Ha a fény egy nagyobb törésmutatójú közegből lép át egy kisebb törésmutatójú közegbe, a törési szög nagyobb a beesési szögnél. 91

sin β = n 1 sinα / n 2. A beesési szöget növelve az α h határszögnél sin β = 1. A határszögnél nagyobb beesési szöghöz nem tartozik megtört fénysugár, a fény teljes egészében visszaverődik. A képalkotás Ha egy tárgy minden egyes pontjából kiinduló fénysugarak a visszaverődés és törés után újból egy pontban metszik egymást, képalkotásról beszélünk. Ha a fénysugarak ténylegesen metszik egymást a képpontban, a kép valós, ernyővel felfogható. Ha a visszavert illetve megtört sugarak széttartók és hátrafelé meghosszabbítva metszik csak egymást, a kép virtuális. A tükrök és a lencsék képalkotásának törvényei a visszaverődés és törés törvényeiből vezethetők le. A kép megszerkesztéséhez néhány speciális fénysugarat használhatunk fel: az optikai tengellyel (szimmetriatengellyel) párhuzamos fénysugarak a visszaverődés illetve törés után a fókuszponton mennek keresztül. Az optikai centrumba beérkező sugár a tükörnél szimmetrikusan verődik vissza, a lencsén pedig irányváltozás nélkül halad át. A fókuszponton át beérkező fénysugarak pedig az optikai tengellyel párhuzamosan haladnak tovább. Mindez akkor érvényes, ha a lencse vagy tükör átmérője sokkal kisebb, mint a görbületi sugara. A fókusztávolság a görbületi sugár fele a tükrök esetében, homorú tükörnél pozitív, domborúnál negatív. A vékony lencsék fókusztávolságát a "lencsekészítők törvénye" adja meg: 1/f = (n - 1)(1/R 1 + 1/R 2 ), (3) ahol n a lencse törésmutatója a környezethez viszonyítva, R 1 és R 2 a lencsefelületek görbületi sugara. A kívülről nézve domború felület görbületi sugara pozitív, a homorúé negatív. Egy, a tükörtől vagy lencsétől t távolságban lévő tárgy képe k távolságra keletkezik a leképező eszköztől: 1/t + 1/k = 1/f, (4) ahonnan t f k =. tf Ha k < 0, a kép virtuális. Domború tükörnél vagy homorú lencsénél, ahol a fókusztávolság negatív, mindig virtuális kép keletkezik. A nagyítás (N) a képnagyság (K) és a tárgynagyság (T) hányadosa: N = K / T = k / t. (5) Ha a kép virtuális, a nagyítás negatív szám. Síktükörnél f végtelen, ezért k = - t, a kép a tükör mögött ugyanolyan távol látszik, mint amilyen távol van a tárgy a tükörtől. A geometriai optika korlátai, a fény hullámtermészete Ha a fénysugár nagyon keskeny résen vagy szűk blendén halad keresztül, a rés vagy blende mögötti ernyőn sötét-világos csíkokat illetve koncentrikus köröket kapunk. Egy nagyon apró tárgy pedig nem vet éles árnyékot, sőt, az ernyőn ott kapjuk a legerősebb megvilágítást, ahol a tárgy árnyékának kellene lenni. Ezek a jelenségek a fény hullámtermészetének megnyilvánulásai. 2. A fény mint elektromágneses hullám A monokromatikus síkhullám A fényforrások időben és térben változó elektromágneses teret keltenek maguk körül. Ez az elektromágneses tér hullám alakjában terjed. Távol a fényforrástól, átlátszó, homogén, izotróp közegben az elektromágneses tér monokromatikus síkhullámok összegére bontható. Az elektromos térerősség egy ilyen síkhullámban az r helyvektorú pontban: E = E 0 sin (k r - ωt + ϕ 0 ). (6) E 0 a síkhullám amplitúdója, ω a körfrekvencia, ω = 2πν, ahol ν a frekvencia. A 92

ϕ = k r - ωt + ϕ 0 (7) kifejezés a fázis, ϕ 0 a fázisállandó, k a hullámszám-vektor. A hullám terjedési iránya megegyezik k irányával. Az E 0 vektor irányát tekintjük a polarizáció irányának. A fény transzverzális hullám, E 0 merőleges a terjedési irányra, így k-ra is. A fény intenzitása az ilyen monokromatikus síkhullámban az amplitúdó négyzetével, E 0 2 -tel arányos. Hullámfront : Azoknak a pontoknak az összessége, melyeken a ϕ fázis értéke egy adott időpontban azonos. A hullámfront minden pontjában ugyanaz a térerősség és időben azonos módon változik. A (6 ) alakú síkhullámok hullámfrontjai síkok, melyek egyenlete a t időpontban ϕ = k r - ωt + ϕ 0 = konst. Ha a hullám az x tengely irányában terjed, a fázissík egyenlete: kx- ωt + ϕ 0 = konst. A (6) síkhullám időben és térben periodikus függvény. A periódusidő, T, az a legrövidebb idő melynek elmúltával adott helyen ugyanaz lesz a térerősség és a térerősség időderiváltja is, vagyis ha a fázis változása T idő alatt 2π-vel egyenlő: ϕ = ω Τ = 2π. A periódusidő reciproka a frekvencia: ν=1/t. A térbeli periódus a hullámhossz, λ: két szomszédos fázissík távolsága, melyeken a fázis 2π -vel különbözik: ϕ = 2π = k λ, azaz λ=2π /k. (8) Eszerint a k hullámvektor nagysága a hullámhossz reciprokával, a hullámszámmal arányos, annak a 2πszerese. Egy adott ϕ fázisú hullámfront helyzete a t időpontban x = ωt / k + (ϕ - ϕ 0 ) / k, azaz a front v = ω / k (9) sebességgel (fázissebesség) mozog az x tengely mentén. Vákuumban a fázissebesség c. Ha a hullám egy más közegbe lép be, frekvenciája azonos marad, terjedési sebessége azonban változik, a közeg optikai sajátságaitól függően. A vákuumbeli és közegbeli terjedési sebesség hányadosa a törésmutató. A törésmutató függ a frekvenciától (diszperzió), átlátszó közegben a frekvencia növekedésével kissé nő. Ekkor normális diszperzióról beszélünk. Abszorbeáló közegekben a törésmutató komplex szám. Ilyenkor a fény terjedését csillapodó hullámmal írhatjuk le. A fény frekvenciája, terjedési sebessége és hullámhossza közötti összefüggést (8) és (9) összevetésével kapjuk: k = ω / v = 2π / T v = 2 π / λ λ = v T. (10) A fázissík egy periódusidő alatt éppen egy hullámhossz távolságra jut el. Vákuumban a hullámfront egy periódusidő alatt λ 0 = c T távolságot tesz meg. A közegbeli terjedési sebesség v=c/n, így a közegbeli hullámhossz λ = c/n T = λ 0 /n. (11) A hullámhossz közegről közegre változik, a vákuumbeli hullámhossz azonban éppúgy jellemzi a hullámot, mint a frekvencia. A látható tartományban a (vákuumbeli) hullámhossz 380 és 760 nm között van. Egy n törésmutatójú közegben beszélhetünk az optikai úthosszról: s = n d, (12) mely a tényleges d úthossz és az n törésmutató szorzata. A hullámok interferenciája, koherencia Tekintsünk két, az x tengely irányában terjedő, azonos irányban (pl. az y tengely irányában) polarizált, azonos frekvenciájú, azonos irányban haladó, de különböző fázisállandójú síkhullámot. Legyen a két síkhullámban az y irányú térerősség E 1 és E 2 : E 1 = E 10 sin( kx - ωt + ϕ 10 ), E 2 = E 20 sin( kx - ωt + ϕ 20 ). 93

Az eredő térerősség E = E 1 + E 2. Beláthatjuk, hogy ez szintén síkhullám: E = E 0 sin(kx - ωt + ϕ 0 ), melynek amplitúdója E 0, fázisállandója ϕ 0. E 2 0 = E 2 10 + E 2 20 + 2 E 10 E 20 cos (ϕ 10 -ϕ 20 ). (13) Az eredő hullám amplitúdója a ϕ = ϕ 10 - ϕ 20 fáziskülönbségtől függ: az eredő amplitúdó maximális, ha ϕ 0 vagy 2π egész számú többszöröse, és minimális, ha π páratlan számú többszöröse a fáziskülönbség. Az eredő hullám fázisa: tgϕ 0 = E 10 sin ϕ0 + E 20 sin ϕ20. E10 cosϕ0 + E20 cosϕ20 A fázisállandók különbsége úthosszkülönbségnek is felfogható a két összetevő fényhullám között: s = ϕ / k = λ ϕ / 2π, ahol λ a közegbeli hullámhossz. Felhasználva, hogy a λ = λ 0 / n, n s = λ 0 ϕ / 2π. A két fényhullám maximálisan erősíti egymást, ha fázisaik különbsége 2π egész számú többszöröse illetve ha az optikai úthosszkülönbség köztük a vákuumbeli hullámhossz egész számú többszöröse, és maximálisan gyengíti, ha a félhullámhossz páratlan számú többszöröse. Ha egy párhuzamos fénynyalábban az összetevők fázisainak különbsége időben állandó, akkor a fénynyaláb koherens. Ekkor az azonos irányban polarizált hullámok egyetlen hullámmal helyettesíthetők. Csak azonos frekvenciájú síkhullámok alkothatnak koherens nyalábot. Lineárisan, cirkulárisan és elliptikusan poláros fény A fénynyalábot alkotó azonos frekvenciájú monokromatikus síkhullámok térerősség-amplitúdó vektorai lehetnek párhuzamosak, akkor a fénynyaláb lineárisan poláros és a polarizáció iránya megegyezik az összetevők polarizáció irányával. Ha a komponensekben az amplitúdó vektorok nem párhuzamosak, akkor az eredő lehet lineárisan, cirkulárisan vagy elliptikusan poláros. Két egymásra merőlegesen poláros síkhullám eredője - lineárisan poláros, ha a fáziskülönbségük 0; - cirkulárisan poláros, ha az amplitúdók nagysága azonos és a fáziskülönbség π/2; - elliptikusan poláros különben. A fény intenzitása A fényintenzitás (I) a térerősség abszolút-érték négyzetének időátlagával arányos. A (6) monokromatikus síkhullámban I E 0 2. Egy koherens fénynyaláb mindig felbontható két egymásra merőleges lineárisan poláros fényhullám összegére. Két egymásra merőlegesen poláros síkhullámból álló nyalábban a fényintenzitás a két merőleges komponens intenzitásainak összege: I = I p + I m. Itt a "p" (párhuzamos) és az "m" (merőleges) jelzés egy kitüntetett síkra, pl. a beesési síkra vonatkozik. Ha a fénynyalábban a komponensek fázisainak különbsége időben véletlenszerűen változik, akkor ezeknek a komponenseknek az intenzitása összegződik. Két, egymással párhuzamos polarizáció-irányú koherens fénynyaláb interferenciára képes. Ez azt jelenti, hogy az eredő fénynyalábban a térerősségek (13) szerint a fáziskülönbségtől függően erősítik vagy gyengítik egymást, és az eredő intenzitás I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos(ϕ 10 - ϕ 20 ). (14) Koherens és közönséges fényforrások A fényforrásokban a valamilyen módon magasabb energiaállapotokba gerjesztett atomok vagy molekulák sugároznak ki fényt - egy fotont emittálnak, miközben a gerjesztett állapotból az alapállapotba vagy alacsonyabb energiájú állapotba kerülnek. A foton kibocsátása az átmenet alatt, véges ideig történik, ezért a foton egy véges hullámvonulat, véges hossza van - ez a koherenciahossz. A következő foton fázisállandója nem egyezik az előzőével, és ha az emisszió spontán következik be, a 94

fotonok iránya és fázisa véletlenszerű. Így egy közönséges fényforrásból származó fénynyaláb nem koherens, mert benne a fotonok - elemi hullámvonulatok - fázisa időben véletlenszerűen változik. Egy ilyen nem-koherens fénynyalábban egy foton csak önmagával interferálhat - a koherenciahosszán belül. A lézerek monokromatikus, párhuzamos és koherens fénynyalábot szolgáltató fényforrások. (Persze, a lézerfény sem abszolút monokromatikus, párhuzamos és koherens, de a közönséges fényforrásokhoz viszonyítva nagymértékben az.) Ez annak köszönhető, hogy a lézerben a fénykibocsátás indukált emisszióval történik, szemben a közönséges fényforrásokkal, ahol spontán emisszióval. Az indukált emissziónál egy gerjesztő foton hatására az atomi rendszer úgy kerül egy alacsonyabb energiájú állapotba, hogy a gerjesztő fotonnal tökéletesen azonos -azonos frekvenciájú, terjedési irányú és fázisúfotont bocsát ki. Fényhullámok törése, visszaverődése, elhajlása A fény, mint elektromágneses hullám kielégíti az elektromágneses tér Maxwell-egyenleteit és az egyenletekhez tartozó határfeltételeket. Végtelen homogén és izotróp közegben egyetlen síkhullám is megoldás. Ha azonban a közegben inhomogenitások - a fénysugár útjában akadályok - vannak, akkor egyetlen síkhullám már nem felel meg a határfeltételeknek. Tegyük fel, hogy a teret egyetlen sík határfelület két különböző optikai tulajdonságú részre osztja, és az első közegben egy síkhullám terjed a határfelület felé. Megmutatható, hogy az első közegben az elektromágneses tér két hullám - a beeső haladó hullám és egy visszavert hullám - összege lesz, és a második közegben egy megtört - az eredetitől különböző hullámszámvektorú - hullám terjed. A két közeg határfelületének normálisa a beesési merőleges. Ha ezzel a beeső fénysugár k hullámszám-vektora α szöget zár be, akkor a visszavert sugár hullámszám-vektora -α szöget; a megtört sugáré pedig β szöget zár be, ahol az α beesési szög és a β törési szög között a Snellius-Descartes törvény áll fenn: n 1 sinα = n 2 sinβ, ahol n 1 a beesés oldalán, n 2 a határfelület másik oldalán a törésmutató. Ha a két közeg határfelülete görbült, de a görbületi sugár a hullámhossznál sokkal nagyobb, a felület minden pontján az ottani érintősíkkal helyettesíthető, és a törés és visszaverődés törvényei változatlanok maradnak, csupán a sík normálisa és így a beesési szög is pontról-pontra változik, és a síkhullám-kép továbbra is érvényes marad. Ha az akadály mérete összemérhető a hullámhosszal, akkor elvész a síkhullám- jelleg az akadály közelében. A Huygens-elvvel szemléltethető a fény terjedése ilyen esetben: a hullámfront minden pontja elemi gömbhullámok kiindulópontja és ezek eredője adja az új hullámfrontot. Ha a fény útjába egy ernyőt teszünk, melyen egy nagyon kicsi lyuk van, akkor az ernyő mögött a hullámfrontok gömbfelületek lesznek (2. ábra). 2. ábra. A fény elhajlása ernyőn lévő kis nyíláson Nagy távolságból nézve egy ilyen gömbfelületnek csak egy kis térszögű részét észleljük, és ez a hullámfront-darab síkkal is helyettesíthető, a hullám pedig a megfigyelés környezetében síkhullámmal. Bárhonnan nézzük az ernyőt, a rajta lévő nyílásból, mint pontszerű fényforrásból fény jut a szemünkbe. 95

A fénysugarakhoz kötődő szemléletünk szerint az ernyő mögötti térbe minden irányba fénysugarak indulnak ki az ernyőn lévő nyílásból. Tegyünk egy párhuzamos, monokromatikus fénynyaláb útjába a terjedési irányra merőlegesen egy ernyőt, melyen két párhuzamos keskeny rés van D távolságban egymástól (3. ábra). A réseken a fény elhajlik, nagy távolságból olyan a hullámkép, mintha a résekből az ábra síkjában minden irányban síkhullámok indulnának ki. Tekintsük azt az irányt, mely az ernyő normálisával α szöget zár be. Ebben az irányban a két réstől származó párhuzamos fénynyaláb közti úthosszkülönbség D sinα, a fáziskülönbség ϕ = 2π sinα D / λ. (15) A két fénynyalábhoz tartozó térerősségek összeadódnak az eredő nyalábban; E = E 1 + E 2. Mivel az amplitúdók a két elhajlított nyalábban megegyeznek, az intenzitás (14) szerint I = 2 I 0 ( 1 + cos ϕ ). 3. ábra. Elhajlás kettős résen Ha ϕ π/2 páratlan számú többszöröse, azaz D sinα a félhullámhossz páratlan számú többszöröse, teljes kioltást kapunk. A résektől bizonyos L távolságban elhelyezett ernyőn sötét és világos csíkokat fogunk észlelni, a maximális gyengítés és maximális erősítés irányainak megfelelően. D sinα = (2m+1) λ/2 : kioltás, D sinα = m λ : maximális erősítés (16) Az optikai rács Ha egy átlátszó lemezt egyenlő távolságban, párhuzamosan bekarcolunk, vagy valamilyen más eljárással párhuzamos, periodikusan váltakozva átlátszó és átlátszatlan csíkokat hozunk létre rajta, transzmissziós optikai rácsot kapunk. Hasonló módon, reflektáló felületen periodikus, tükröző és nem-tükröző, egymással párhuzamos csíkokból álló mintázatot létrehozva, kapjuk a reflexiós rácsot. A rácsot koherens fénynyalábbal megvilágítva, és a rács által elhajlított fényt ernyőn felfogva, a fényforrás elhajlási képét kapjuk, egy a rács csíkjaira merőleges egyenesen elhelyezkedő fényfolt-sorozatot az el nem hajlított nyalábnak megfelelő transzmittált vagy reflektált kép mindkét oldalán, úgy mint a kettős rés esetén, csak nagyobb intenzitással. Ha a fény merőlegesen esik a síkrácsra, az elhajlási kép szimmetrikus és a kioltás és erősítés feltételét (16) adja meg. Így ha az m-edik és (-m)-edik elhajlított kép távolsága az ernyőn 2x m, a rács és az ernyő távolsága L és a rácsállandó D, akkor (16)-nak megfelelően x m = L tg α = L m λ / D 2 2 ( mλ ), (17) ahonnan a rácsállandó kiszámítható. Ha mλ << D, akkor D = m λ L / x m. 96

A lézer (olvasmány) A fotonok és atomok illetve molekulák kölcsönhatásánál történhet - abszorpció: a foton az atomot vagy molekulát egy magasabb energiájú állapotba gerjeszti, miközben maga elnyelődik. A két állapot közti energiakülönbség E = hν, ahol ν a foton frekvenciája; - spontán emisszió: a molekula vagy atom "magától" tér vissza egy alacsonyabb energiájú állapotba, foton kibocsátása közben, a foton frekvenciája ν = E / h; - indukált emisszió: a magasabb energiájú állapotból az alacsonyabb energiájú állapotba egy fotonnal való kölcsönhatás révén kerül a molekula vagy atom, miközben az indukáló fotonnal teljesen azonos fotont bocsát ki. Az indukáló foton frekvenciája ν = E/h, és ugyanez a gerjesztett foton frekvenciája is. Az indukált emisszióval keletkezett fotonnak nemcsak a frekvenciája, hanem a neki megfelelő hullám terjedési iránya, fázisa és polarizációja is megegyezik az indukáló fotonéval. A lézerben tulajdonképpen fotonsokszorozás történik az indukált emisszió révén, mert a gerjesztett fotonok újabbakat hoznak létre. Az indukált emissziónak és az abszorpciónak azonos a hatáskeresztmetszete, valószínűsége pedig a kiindulási állapotok számától függ. Normális esetben kevesebb atom vagy molekula van a magasabb energiájú állapotban, mint az alacsonyabb energiájúban, így egy spontán emisszióval keletkező foton számára az abszorpció valószínűsége jóval nagyobb, mint a spontán emisszióé. Spontán emisszió létrehozásához gerjesztett állapotokban lévő atomok, molekulák jelenléte szükséges. Ahhoz, hogy a spontán emisszió valószínűsége nagyobb legyen, mint az abszorpcióé, több atomnak kell lennie a magasabb energiájú állapotban, mint az alacsonyabb energiájúban - populáció inverziót kell létrehozni. Ehhez az kell, hogy a magasabb energiájú állapot élettartama viszonylag hosszú legyen (metastabilis állapot). Ez akkor teljesül, ha a gerjesztett állapotból tiltott az átmenet az alacsonyabb energiájú állapotba. Ebbe a metastabil állapotba hozni az atomokat pl. másféle, gerjesztett állapotú atomokkal való ütközéssel lehet, ha a két gerjesztett állapot energiája közel azonos. A magasabb energiájú állapot feltöltése az optikai pumpálás. A lézerhez szükséges még egy rezonáns üreg, egy két végén tükröző felülettel ellátott cső. A tükrökről visszaverődve, a cső tengelyével párhuzamosan haladó fotonok újabbakat keltenek, míg a más irányba haladó fotonok kiszóródnak vagy elnyelődnek a cső falán. (4. ábra) A cső hosszának olyannak kell lenni, hogy állóhullámok alakuljanak ki benne. A lézer hangolásával ki lehet választani a kívánt hullámhosszat a lehetséges hullámhosszak közül. 4. ábra. Fotonsokszorozás a lézer üregében A He-Ne lézerben a gázkeverék 90%-a helium és 10%-a neon. A lézerben elektromos kisülést hoznak létre, mely gerjeszti a He atomokat. A Ne atomoknak vannak olyan állapotai, melyek energiája kb. megegyezik a He atomok gerjesztett állapotának energiájával. Ütközéssel a He atomok ebbe az állapotba tudják gerjeszteni a Ne atomokat. Ezek a Ne állapotok metastabilisak, így a sokkal nagyobb koncentrációban lévő He atomokkal való ütközések révén feltöltődnek és létrejön a populáció-inverzió. Spontán emisszióval keletkezik néhány elsődleges foton, és ezek indukált emisszióval újabbakat keltenek. A szekunder fotonok megint új fotonokat indukálnak. Csak a tengely mentén haladó fotonok hatékonyak, ezek lépnek ki a lézerből az egyik végtükrön lévő ablakon keresztül (a többi elnyelődik a lézercső falában) - az eredmény egy nagyon párhuzamos, monokromatikus és koherens fénynyaláb. A He-Ne lézert leginkább a 632,8 nm-es hullámhosszon használják, mely a Ne 2p 5 5s elektron konfigurációjú állapotából a 2p 5 3p állapotba való átmenetnek felel meg. A He-Ne lézer az infravörös tartományban is működtethető a 1152,3 nm és a 1117,7 nm-es hullámhosszokon, ezek a 2p 5 4s konfigurációjú állapotokból a 2p 5 3p állapotokba való átmenettel keletkeznek. 97

3. Mérési feladat 3a. Geometriai optika: visszaverődés és törés, teljes visszaverődés Eszközök: halogénlámpás kísérleti fényforrás tápegységgel, szögbeosztással ellátott optikai korong, rugalmas tükör, homorú és domború tükrök, konvex és konkáv lencse-szeletek, trapéz alakú prizma, egy- és kétréses, illetve három- és ötréses blende, téglalap kivágású blende. Tükrök és lencsék: a sugármenet vizsgálata, a fókusztávolság meghatározása A fókusztávolság az a pont, ahol a főtengellyel párhuzamosan beeső fénysugarak a tükörről visszaverődve, illetve a lencsén áthaladva, metszik egymást. Állítsunk elő párhuzamos fénynyalábot. Helyezzük a háromréses blendét a fényforrás kimenő ablakára. Helyezzük a tükör- illetve lencseszeleteket merőlegesen a fénysugarakra, határozzuk meg a fókusztávolságot és a fókusztávolság előjelét! Fordítsuk meg a blendét, hogy 5 fénysugarunk legyen. Figyeljük meg, egy pontban metszi-e egymást az összes fénysugár! Állítsuk a tükröt illetve a lencsét úgy, hogy ferdén essenek rá a fénysugarak. Vázoljuk a sugármenetet! Fénytörés és teljes visszaverődés prizmán, színbontás a prizmán; a prizma törésmutatójának meghatározása Az 5. ábra szerint helyezzük a trapéz alakú prizmát az optikai korongra úgy, hogy a prizma ferde lapjának normálisa egybeessen a korong 0 szögnek megfelelő tengelyével. Az egyréses blendét használva, állítsunk elő egyetlen keskeny párhuzamos fénynyalábot, mely pont a korong közepén éri el a prizmát. Figyeljük meg a prizma színbontását! Milyen színű fény törik meg (változtat irányt) a legjobban? A fénytörés mértékét a prizma törésmutatója határozza meg. Minél nagyobb a törésmutató, (minél inkább különbözik a környezetétől) annál erősebben törik a fény. Az átlátszó közegek törésmutatója kissé növekszik a frekvencia növekedésével. A látható tartományban a vörös fény frekvenciája a legkisebb, az ibolyáé a legnagyobb. Így az ibolya színű fénysugár törik meg a legjobban. A korongot forgassuk úgy, hogy a fénysugár belépési pontja a korong középpontjában maradjon, és határozzuk meg azt az α beesési szöget, melynél a szomszédos lapra érkező fénysugár éppen nem lép ki a prizmából (ahol δ = 90 ), külön a vörös és külön az ibolya szélén a spektrumnak. 5. ábra. Prizma törésmutatójának mérése A mérés kiértékelése: Legyen φ a prizma törőszöge. Az α, β, γ, δ beesési illetve törési szögeket a felület normálisától (beesési merőleges) mérjük. φ = β + γ, sinα = n sinβ, n sinγ = sinδ = 1 γ = φ - β, n (sinφ cosβ - cosφ sin β) = n sinφ cosβ - cosφ sinα = 1 98

n cosβ = (1 + cosφ sinα) / sinφ n sinβ = sinα. Az utolsó két egyenletet négyzetre emelve és összeadva, kapjuk: n 2 = (1 + 2 cosφ sinα + cos 2 φ sin 2 α)/ sin 2 φ + sin 2 α = (1 + 2 cosφ sinα + sin 2 α) / sin 2 φ. n = 2 2 (1 + 2 cos φ sin α + sin α) / sin φ. (17) A méréssel kapott α értéket és a φ értékét behelyettesítve, megkapjuk a törésmutatót. (A prizma törőszöge 60 ). Tegyük fel, hogy a törőszög hibája elhanyagolható, a kritikus α szöget viszont fél fok pontossággal tudjuk meghatározni. Határozzuk meg a törésmutató-mérés pontosságát! 3b. Polarizáció A fényhullám elektromos térerősségének irányát tekintjük a polarizáció irányának. A polarizátorok egy irányban polarizált fényhullámot engednek át, az erre az irányra merőleges elektromos teret nem, így a polarizátor mögött a polarizátor áteresztési irányának megfelelően lineárisan polarizált fényt kapunk. Eszközök: két polarizátor, szögbeosztással ellátott foglalatban; diavetítő; blendék diakeretben optikai pad, lovasokkal; kvarckristály-lapka diakeretben. műanyag vonalzó Nézzünk a polarizátoron keresztül a lámpa felé és forgassuk a polarizátort! Semmi változást nem észlélünk. Most nézzük a lámpa fényét két polarizátoron keresztül és forgassuk a polarizátorokat egymáshoz képest! Az áteresztett fény intenzitása erősen változik. Vizsgáljuk meg polarizátoron keresztül nézve a sima fényes (de nem fém!) felületekről kb. 50 fokos szögben visszaverődött természetes fényt! Ha forgatjuk a polarizátort, a fény intenzitása változik. Visszaverődésnél másképp viselkedik a beesési síkra merőlegesen és a beesési síkkal párhuzamosan polarizált fény. A párhuzamosan polarizált fény kisebb hányada verődik vissza az átlátszó közegekről, mint a merőlegesen polarizálté. Az ún. Brewster-szögnél pedig a visszavert fényből hiányzik a párhuzamosan polarizált komponens. A Brewster-szögben beeső fény visszaverődés után lineárisan polarizált lesz. A polarizátorok egyik fajtája éppen ezt a jelenséget használja fel, hogy ha a fény a Brewster-szögben esik az anyagra, akkor a visszaverődött fény a beesési síkra merőlegesen polarizált. Egy másik módszer a polarizált fény előállítására az anizotróp anyagoknál előforduló dikroizmus jelenségét használja. A dikroikus anyagok egyes polarizációs irányban a fényt elnyelik, az erre merőlegesen polarizáltat pedig átengedik. A polaroid fóliát tartalmazó polarizátorok működnek ezen az elven. Ilyen polarizátort használunk ennél a mérésnél. 99

Az optikai aktivitás vizsgálata 6. ábra. Mérési elrendezés a polarizáció vizsgálatához Helyezzünk el az optikai padon négy lovast benne tartókkal a 6. ábra szerint. A polarizátorokat úgy helyezzük a szögbeosztású tartókra, hogy egymás felé nézzenek. Húzzuk be a vetítőbe a közepes méretű blendét! Állítsuk be a vetítőt úgy, hogy a falon a köralakú blende éles képét kapjuk! A két polarizátort hozzuk először párhuzamos helyzetbe: a rajtuk lévő jel a szögskála 0-jánál legyen.. Forgassuk a fal felé eső polarizátort. Ha a két polarizátor áteresztési iránya párhuzamos, maximális fényintenzitást kapunk a két polarizátor után. Az ernyő felőli polarizátor (analizátor) forgatásával az áteresztett fény gyengül, a keresztezett polarizátorok ( az ernyő felé eső polarizátor jele 90 o -nál áll) pedig nem engednek át fényt. Helyezzük be keresztezett polarizátorok közé a diatartóba a kvarcréteget! A blende képe kivilágosodik az ernyőn. A kvarckristály-lapka elforgatta a polarizátor után kapott fény polarizáció irányát, így ebben lett olyan komponens, mely párhuzamos az analizátor áteresztési irányával. Próbáljuk kioltani a fényt az ernyőn, az analizátor forgatásával! Nem kapunk teljes sötétséget, ellenben a fényfolt színe az analizátor szögétől függően változik Ezek a színek azonban mások, mint a prizma vagy rács színbontásánál kapott spektrum tiszta színei. A kvarc optikai forgatóképessége frekvencia függő. Így az analizátor mindig csak egy színt olt ki, és a ki nem oltott színek keverékét látjuk az ernyőn. Monokromatikus fényforrást (lézer) használva viszont ki tudnánk oltani a kvarclapka által elforgatott fényt. A kvarclapkának ez a tulajdonsága, hogy el tudja forgatni a polarizáció irányát, az optikai aktivitás. Ez a szimmetriacentrumot nem tartalmazó molekulájú anyagokra jellemző. Az elforgatás mértéke a rétegvastagságtól és az optikailag aktív anyag koncentrációjától függ. Kettőstörés vizsgálata Vegyük ki a diatartóból a kvarclapkát és állítsunk a helyére egy átlátszó műanyag vonalzót. A fal felé eső lencsével állítsuk be a falon a vonalzó éles képét! Keresztezzük a polarizátorokat! Ha a polarizátorok között ott van a vonalzó, megjelenik a fény az ernyőn, és a vonalzó skálájának környékén, a szélén, a töréseknél (ahol mechanikai feszültségek vannak) színes csíkokat látunk. Ennek a jelenségnek az oka a mechanikai kettőstörés. A vonalzó, az előállítás körülményei miatt anizotróp, a törésmutatója irányfüggő. A kettőstörő anyagok is elforgatják a polarizáció irányát, és a forgatás mértéke itt is függ a fény frekvenciájától és az anyag vastagságától. A mechanikai feszültségek törékennyé teszik az anyagokat. Ezzel a polarizációs módszerrel kimutathatók. 100

3c. He - Ne lézer hullámhosszának meghatározása reflexiós ráccsal Eszközök: He-Ne lézer (2 mw); tolómérő; mérőszalag; milliméterpapír. Reflexiós rácsként tolómérőt fogunk használni. A tolómérő a mm-es skálájával tulajdonképpen egy 1 mm rácsállandójú reflexiós rács. A bekarcolt jelek mentén a fény elhajlik, a szomszédos beosztásokon elhajlott fénynyalábok interferálnak egymással, és ha a beesési szög elég nagy (súrló beesést hozunk létre), akkor az ernyőn egy sorozat fénypöttyöt kapunk, a különböző rendű rácsképeket. Az ötlet, hogy a tolómérő felhasználható reflexiós rácsként, és tolómérővel ilymódon nemcsak egy cső vagy valami munkadarab szélessége, hossza, hanem a fény hullámhossza is mérhető, annak ellenére, hogy a hullámhossz sokkal kisebb, mint a legfinomabb beosztás, a Trinity College Fizika Intézetéből (Dublin, Irország) származik. 7. ábra. A fény elhajlása a reflexiós rácson súrló beesésnél Vizsgáljuk meg, mennyi az úthosszkülönbség két szomszédos beosztásról származó elhajlított hullám (a és b) között (7. ábra)! s = CB - AD. (18) Ha adott az α beesési szög, akkor maximális erősítést azoknál a β m elhajlási szögeknél kapunk, melyekre az úthosszkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse, D ( sinα - sinβ m ) = m λ, (19) ahol a D, a rácsállandó esetünkben 1 mm. A 8. ábrán látjuk a mérési elrendezést. A tolómérő vízszintes helyzetű, és a lézert úgy állítjuk be, hogy a fénysugár néhány fokos szöget képezve a vízszintessel, a mm skálára essen. A tolómérő kb. kb. 2 m távolságban legyen a faltól, melyre egy mm-papírt erősítünk fel, és ezen beállítjuk az elhajlási képet. A tolómérőt eltávolítva megjelöljük az el nem térített lézersugár helyét az ernyőn (R). Visszatesszük a tolómérőt és megjelöljük az elhajlási kép fényfoltjainak (P 0, P 1,...P 6 ) helyét (A foltok középpontját). A P 0 pont, a legfényesebb fényfolt középpontja, a nulladrendben elhajlított fénynyalábtól származik. A nulladrendben elhajlított nyaláb tulajdonképpen az egyszerű visszavert sugár, úgyhogy β 0 = α. Az O pont az RP 0 szakasz felezőpontja. Miután felvettük az elhajlási képet, mérőszalaggal megmérjük az O pont távolságát a tolómérőn látható fényfolt középpontjától. Ezt az L hosszt is tüntessük fel az elhajlási képen a milliméter-papíron. Ha a tolómérőn lévő fényfolt távolsága a faltól L, és az m-edik rácskép magassága x m, akkor tg β m = L / x m. (20) 101

8. ábra. A mérési elrendezés lézer hullámhosszának meghatározásához. (20)-ból meghatározzuk β m -eket és sinβ-t ábrázoljuk m függvényében: sinβ m = sin (arctg (L / x m ) ) (19) szerint sinβ = sinα - m λ/d (21) egy egyenest ad m függvényében, melynek meredeksége λ/d. λ-t a mérési pontokra illesztett egyenes meredekségéből határozzuk meg, grafikusan és a legkisebb négyzetek módszerével is! A jegyzőkönyvben beadandó: 3a. Domború és homorú lencse fókusztávolsága. A prizma törésmutatójának meghatározása: a mérési elrendezés vázlata, a kritikus beesési szög, a törésmutató számított értéke vörös és ibolya fényre és a törésmutató hibája (elég az egyik színre meghatározni!). 3b. Írjuk le és értelmezzük a kísérletben megfigyelt jelenségeket, rajzoljuk le a mérési elrendezést! 3c. Vázoljuk (rajzzal is!) a mérés elvét és a mérési elrendezést! Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük m-et és x m -et, valamint az ernyő távolságát a rácson visszaverődött fényfolt közepétől (L)! Számítsuk ki 6 tizedes pontossággal a sinβ m értékeket és tüntessük fel a táblázatban! Ábrázoljuk sinβ m -t az elhajlás rendjének, m-nek a függvényében! Határozzuk meg a hullámhosszt az egyenes meredekségéből! Szorgalmi feladat: alkalmazzuk a legkisebb négyzetek módszerét! 102

Példák 1. Egy kocka alakú üvegedény aljának közepére kis fehér pöttyöt festünk. Az edény élei 20 cm hosszúak, a falvastagság elhanyagolható. A kocka testátlója irányából vékony fénynyaláb esik a kocka aljára. Meddig kell a kockát folyadékkal feltölteni, hogy a fénynyaláb megvilágítsa a pöttyöt? A folyadék törésmutatója a levegőre vonatkoztatva n f = 1,6. Megoldás: A beesési szög α, a törési szög β. A levegő törésmutatója n l = 1. Mivel a fény az átlósíkban halad, a testátló irányában, tgα = 1,4141. A Snellius-Descartes törvényből sin β = 0,5103, így tg β = 0,5934. A rajz alapján h tg β + (a-h) tg α = a/ 2 h = 0,8614 a = 17,2 cm. 2. Gyűjtőlencsével egy izzólámpa izzószálának 9 cm nagyságú éles képét állítjuk elő egy ernyőn. A lencsével az ernyőhöz közelítve ismét éles képet kapunk, de a kép most 1 cm nagyságú. Milyen hosszú az izzószál? Megoldás: A tárgytávolság t 1 illetve t 2, a képtávolság k 1 illetve k 2. A tárgy és az ernyő távolsága mindkét esetben ugyanaz, d. A fókusztávolság f. Az izzószál hossza legyen T, a képnagyság K 1 illetve K 2. A lencsetörvényből k t = f d, tehát k 1 t 1 = k 2 t 2. A nagyítás az első esetben 9 / T = k 1 / t 1, a másodikban 1 / T = k 2 / t 2. k 1 + t 1 = k 2 + t 2 t 2 = 3 t 1, k 2 = 3t 1 / T, k 1 = 9 t 1 / T, T= 3 cm. 3. A víz levegőre vonatkoztatott törésmutatója 4/3. 2 m mély úszómedence fenekén lámpa világít. Mekkora átmérőjű a víz felszínén látható kör alakú folt? (A lámpát pontszerűnek tekinthetjük.) Megoldás: A kör alakú foltot azok a lámpából kiinduló fénysugarak hozzák létre, melyek a víz felszínére a határszögnél kisebb szögben érkeznek. A többi sugár teljesen visszaverődik. A határszög szinusza 3/4, a határszög α = 48,6. A folt sugara 2 tgα = 2,27 m, az átmérője 4,54 m. 4. Üvegbe levegőből érkező 760 nm hullámhosszú fénysugár beesési szöge 60, a törési szög 30. Mekkora a fény hullámhossza az üvegben? Megoldás: α = 60, β = 30, az üveg törésmutatója n = 1,732. A hullámhossz: λ = λ 0 / n, ahol λ 0 a vákumbeli hullámhossz, ezzel az üvegbeli hullámhosszat megegyezőnek tekinthetjük, tehát λ = 439 nm. 5. Két, azonos irányban lineárisan polarizált, azonos frekvenciájú síkhullám alkot egy fénynyalábot. Az egyes síkhullámokban az elektromos térerősség nagysága: E 1 = 3 sin (ωt - kx + π/6) E 2 = 4 sin(ωt - kx - π/3). Adjuk meg az eredő hullám amplitúdóját és fázisállandóját! Megoldás: Vezessük be a ϑ = ωt-kx jelölést, és legyen az eredő hullám amplitúdója A, fázisállandója ϕ. E 1 = 3 sinϑ cosπ/6-3 cosϑ sinπ/6 E 2 = 4 sinϑ cosπ/3 + 4 cosϑ sinπ/3 E 1 + E 2 = sinϑ (3cosπ/6 + 4cosπ/3) + cosϑ (4sinπ/3-3sinπ/6) = A cosϑ sinϕ + A sinϑ cosϕ. A cosϑ -t és sinϑ -t tartalmazó tagok együtthatóit egyenlővé téve a fenti egyenlet mindkét oldalán, kapjuk: A sinϕ = 4 sinπ/3-3sinπ/6 A cosϕ = 3cosπ/6 + 4cosπ/3. Mindkét egyenletet négyzetre emelve és a két egyenletet összeadva: 103

A 2 = 16 + 9-24 sinπ/3 sinπ/6 + 24 cosπ/3 cosπ/6 = 25-24 cos(π/3+π/6)= 25; A = 5. A két egyenletet elosztva: tgϕ = 0,4272, ϕ = 0,4037. 6. Reflexiós rácsot merőlegesen beeső koherens fénynyalábbal világítunk meg, a hullámhossz 633 nm (He-Ne lézer). Az elsőrendű elhajlási képek távolsága 50 ± 1 cm, a rács és az ernyő távolsága 60 ± 1 cm. Számítsuk ki a rácsállandót és a rácsállandó hibáját! Megoldás: (11) szerint D sin α = λ, ahol α az első rendben elhajlított sugár és a rácssík normálisa által bezárt szög, D a rácsállandó. tgα = x/l, ahol x az elsőrendű rácskép távolsága a reflektált képtől. D = λ / ( sin arctg (x/l) ) = 1,65 µm. A rácsállandó hibája: D = D x 2 2 x + D L L = 0,03 µm. 7. Egy He-Ne lézerben a lézertükrök távolsága D = 20 cm. A lézerüregben az elektromágneses tér állóhullámai alakulnak ki azokból a fotonokból, melyek a neon 2p 5 5s és 2p 5 3p állapotai közötti átmenetben jönnek létre. Tegyük fel, hogy ilyen állóhullám-rendszer - módus - csak a lézerüreg tengelyével párhuzamos irányban haladó fotonokból alakul ki. A lézerüreget lezáró tükröknél az állóhullámoknak csomópontja van. A fotonok átlagenergiája E = 3,1366 10-19 J, de az egyes fotonok energiája kismértékben szór e körül az érték körül. Mennyi két szomszédos módus hullámhosszának különbsége? (h = 6,6162 10-34 Js) Megoldás: Egy adott módusban N félhullám alakul ki az üregben, tehát a módusnak megfelelő foton-hullámhossz λ = 2 D / N. A hullámhossz és az energia közötti összefüggés: λ = hc/e, ahol c a fénysebesség. A közepes energiájú foton esetében N 0 = 2 D E / hc = 6,32 10 5 félhullám alakul ki. A szomszédos módusban N 0 -nál eggyel több vagy kevesebb félhullám lesz, és ennek megfelelően a hullámhossz λ± = 2D / (N±1). Mivel N csak kissé változik meg N 0 -hoz képest, a hullámhosszak különbségét közelíthetjük a differenciálhányadosból kapott növekménnyel: λ = d λ dn N, ahol N = ± 1. = 0 N N λ = -2 D / N 0 2 N = ± 1 10-12 m = ± 0,001 nm. 104