Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés megadható nyíldiagrammal, táblázattal, grafikonnal esetleg szabállyal. Azt a halmazt, amelynek az elemeihez rendelünk (nyíldiagram esetén innen indulnak a nyilak) alaphalmaznak, azt a halmazt, amelynek az elemeit rendeljük (ide érkeznek a nyilak), képhalmaznak nevezzük. Az egyenes- és fordított arányosság, összetartozó mennyiségek szabályszerű változását írják le. Vizsgáljuk meg az egyenes- és fordított arányosságokat, mint hozzárendeléseket! Egyenes arányosság Egy bécsi üzletben 1 kg alma ára (euró). Mennyibe kerül 0 kg, 0, kg, kg, kg,, kg, 10 kg kg alma?.. m (kg) 0 0, 1 1,,, 10 ár ( ) 0 1 6 0 m (kg) 0 0, 1 1,,, ár ( ) 0 1 6... Mint látható kétszer annyi almának kétszer annyi ára van, míg háromszor annyi almához háromszor akkora ár tartozik. Tehát a hozzárendelés szabálya, amely alapján megállapítható, hogy adott tömegű alma ára mennyi: Vegyük észre, hogy (1) Az m halmaz (alma mennyisége) minden egyes eleméhez, () Egy és csak egy (pontosan egy) elem tartozik az ár halmazból. Az ilyen tulajdonságú hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük. A függvény alaphalmazát (m) értelmezési tartományának, képhalmazát (ár) pedig, értékkészletnek nevezzük. Függvénynek nevezzük azokat a hozzárendeléseket, amely az alaphalmaz minden egyes eleméhez, pontosan egy elemet rendel a képhalmazból. Minden függvény egyértelműen leírható egy szabállyal. Az egyenes arányosság grafikonja Minden hozzárendelés értékpárokat hoz létre, amelyek derékszögű koordinátarendszerben ábrázolhatók. Így kapjuk a függvény a grafikonját. A hozzárendelés a következő értékpárokat határozza meg: (0; 0), (0,; 1), (1; ), (1,; ), (; ), (,; ), (; 6), (,; ), (10; 0) Gyakoroljunk (füzetbe dolgozz): (1) Gázlángon 0 o C-os vizet melegítünk. A víz hőmérsékletének növekedése percenként o C. Hány o C-os lesz a víz a 0., 1.,., és a. percben? (a) Az értékeket foglaljuk táblázatba! t (min) 0 0, 1 1,, T ( o C) 0 Határozzuk meg a hőmérsékletnövekedés és az eltelt idő közötti összefüggés szabályát!? (c) Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, a táblázat alapján a függvény grafikonját! 1
() dolgozó m járdát betonoz le óránként. Óránként mekkora területet betonoz le 1,,, 6, 9, 1 dolgozó, ha ugyanilyen munkatempóban dolgoznak? (a) Foglald táblázatba az adatokat! Dolgozó (fő) 0 6 9 1 Terület (m ) Fogalmazd meg a szabályt!? (c) Ábrázold grafikonon a két mennyiség összefüggését! () Két mennyiség kapcsolatát szemléltettük a grafikonon. (a) Az összetartozó értékeket ábrázold táblázatban! (Azon rácspontok koordinátáit olvasd le és foglald táblázatba, amelyeken a függvény grafikonja áthalad!) A táblázat alapján fogalmazd meg a szabályt!? Az egyenes arányosság függvény, grafikonja egy origón áthaladó egyenes, leírható m képlettel (ahol m tetszőleges racionális szám). () Az alábbi egyenes arányosságot leíró függvényekhez készíts értéktáblázatot, majd egy koordináta-rendszerben rajzold meg a grafikonjukat! (a) és és - - - 1 0 1 és - 10-0 10 (c) és - 8-0 8
Megoldások: (1) (a) t (min) 0 0, 1 1,, (c) T ( o C) 0 6 8 10 1 () (a) Dolgozó (fő) 0 6 9 1 Terület (m ) 0 10 1 10 0 () (a) 0 1 6 8 10 y 0 1, 6 9 1 1 1/c feladat /c feladat
() /b feladat /a feladat /c feladat
Vizsgáljuk meg az egy koordináta-rendszerben ábrázolt grafikonokat és hozzárendelési szabályaikat! Valamennyi leírható m = 1 m = m = m = m = m = m = m vagy másként az y = m. hozzárendelési szabállyal: Megfigyelhető, hogy minél nagyobb a szám, annál meredekebb a függvény grafikonja. Ha az m értéke negatív szám, akkor függvény, akkor a függvény grafikonja lejt, ha pozitív, akkor emelkedik. Összefoglalva: Az m számot a függvény meredekségének nevezzük, amely a függvény menetét határozza meg. Ha m > 0, akkor növekvő, ha m < 0, akkor csökkenő függvényről beszélünk. Gyakoroljunk (füzetbe dolgozz): () Az alábbi függvényekhez készíts értéktáblázatot, majd egy koordináta-rendszerben rajzold meg a grafikonjukat! (a) és és 6 0 6 9 1 0 1 Ha megvizsgáljuk az ábrázolt függvények grafikonjait, megállapítható, hogy a különbség, a és a az origón haladnak keresztül. függvények grafikonjai nem egyenes arányosságot írnak le, és nem hasonlóság, az egy korordináta-rendszerben ábrázolt függvények grafikonja párhuzamos, azaz meredekségük megegyezik. Megfigyelhető, hogy a y függvény grafikonja, a y szabállyal leírt egyenes arányosság grafikonjának +-tel eltolt képe, az y-tengelyt +-nél a (0;+) pontban metszi. a y függvény grafikonja, a y szabállyal leírt egyenes arányosság grafikonjának -mal eltolt képe, az y-tengelyt -nál a (0; ) pontban metszi. Összefoglalva: Az y = m. + b szabállyal leírt függvények az y = m. egyenes arányosságokból származtathatók. Grafikonjuk olyan egyenes, ami az y-tengely a b-nél a (0; b) pontban metszi. Mivel mindkét függvény képe egyenes, lineáris függvényeknek (linea = vonal) nevezzük őket.
Megoldások: (a) és 6 0 6 9 0 6 1 9 11 és 1 0 1 8 0 8 1 11 6