SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat
Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz esetén? 1. A \ B = B \ A 2. A U (A B) = B 3. A \ A = A 4. (A \ B) (B \ A) = 5. A B = B A 6. A U A = A 7. A B B 8. (A \ B) U B = B
6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata A x B = { (x;y) x A és y B } számosság: Ha A =n és B =k, akkor A x B =n*k
Descartes-szorzat példa A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {páros; páratlan} A x B = { (1; páros); (1; páratlan); (2; páros); (2; páratlan); (3; páros); (3; páratlan); (4; páros); (4; páratlan); (5; páros); (5; páratlan); (6; páros); (6; páratlan) }
Descartes-szorzat példa A = {1; 2; 3} B = {1; 3; 5} A x B = { (1; 1); (1; 3); (1; 5); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5) }
Descartes-szorzat példa A = B = Z (egész számok halmaza) Z x Z elemei, képe?
Halmazok egyenlősége Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. A=B: ha x A, akkor x B és ha y B, akkor y A
Az alábbi halmazok közül melyek egyenlőek egymással? A = {-3; 0; 2} B = {0; 2; -3} C = {0; 1; 2} D = {1; -1; 2; -2} E = {x Z x 2 = 4 vagy x 2 = 1} F = {1; 2}
2 {-3; 0; 2} 2 {2} {2} {0; 1; 2} Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis? {2;3} {1; 2; {2;3}} {1;3} {1; 2; 3; 4} 4 {4; 5} {1;0} {1; {0;1}}
Add meg az alábbi halmazokat felsorolással is! {x x Z és 2 < x < 6} {x x a hét napja és k-ra végződik} {x x N és x 2 = 4} {x x N és x prím és x egyjegyű}
Hogyan adhatnánk meg a halmazokat valamilyen más módon? {0, 2, 4, 6, 8, } {,-2, -1, 0, 1, 2, } {1, 2, 3, 4, 5} {0, 3, 6, 9, } {1, 2, 4, 5, 7, 8, } a páros nem negatív egész számok halmaza az egész számok halmaza {x x Z és 0 < x <= 5} a 3-mal osztható nemnegatív egész számok halmaza a 3-mal nem osztható nemnegatív egész számok halmaza
Példa S szőkék halmaza, G gazdagok halmaza S \ G =? G \ S =? S U G =? S G =?
Add meg ki melyik halmaznak (S, G, S\G, G\S, SUG, S G) eleme és melyiknek nem eleme! Nóra szőke. Éva nem szőke. Tibor gazdag, de nem szőke. Gábor szőke és gazdag. Emőke szőke vagy gazdag. Peti szőke, bár nem gazdag. Nem igaz, hogy Ica szőke és gazdag.
Részhalmaz A B: ha x A, akkor x B
Valódi részhalmaz A B: ha A B, de A B
Descartes-szorzat részhalmaza Példa: A = {1; 2; 3} B = {1; 3; 5} A x B = { (1; 1); (1; 3); (1; 5); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5) } C = {(1; 1); (1; 3); (1; 5); (2; 3); (2; 5); (3; 3); (3; 5)} C A x B (az első szám nem nagyobb a másodiknál)
2. Relációk Definíció: Az A és B halmazok Descartesszorzatának egy R AxB részhalmazát az A és B halmazok közötti (binér) relációnak nevezzük. Ha (a,b) R, akkor azt mondjuk, hogy az a elem R relációban van b-vel ; arb A=B esetén A-n értelmezett relációnak mondjuk.
2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R AxA relációt Ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha R Reflexív ( a A: ara) Szimmetrikus ( a, b A: ha arb, akkor bra) Tranzitív ( a, b, c A: ha arb és brc, akkor arc) Példa: = (feladat ellenőrizni)
2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R AxA relációt Féligrendezési relációnak nevezzük, ha R Reflexív Antiszimmetrikus ( a, b A: ha arb és bra, akkor a=b) Tranzitív Példa: részhalmaz (feladat ellenőrizni)
2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R AxA relációt Rendezésnek nevezzük, ha R Féligrendezés és Minden a, b eleme A esetén: arb vagy bra Példa: A=R, (feladat ellenőrizni)
Példák, feladatok 1. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! a) Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a párhuzamosság? b) Melyek az ekvivalenciaosztályok? 13. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! a) Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a merőlegesség? 14. Legyen R={(a;a); (a;b); (a;c)} az {a;b;c} halmazon értelmezett reláció! Minimum hány elemmel kell kiegészíteni az R halmazt, hogy az a) reflexív legyen? b) szimmetrikus legyen? c) tranzitív legyen?
3. Függvények Definíció: Egy R AxB relációt függvénynek nevezzük, ha abból, hogy (a,b) R és (a,c) R következik, hogy b=c. Bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.
3. Függvények, mint egyértelmű hozzárendelések A hozzárendelések között vannak olyanok, amelyek az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak pontosan egy elemét rendelik hozzá. Ezek az egyértelmű hozzárendelések. Az egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük. A függvényeket kisbetűkkel jelöljük: f,g,h, stb. Azokat a függvényeket, amelyek mindkét irányban egyértelműek ( megfordíthatóak ), kölcsönösen egyértelmű függvényeknek nevezzük.
3. Függvények A függvényt megadhatjuk táblázattal grafikonnal nyíl-diagrammal képlettel vagy egyéb utasítással Azt a halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit, alaphalmaznak, a másik halmazt, amelybe a hozzárendelt elemek tartoznak, képhalmaznak nevezzük. A hozzárendelési szabály (utasítás) adja meg a függvényt, amely szerint az alaphalmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a képhalmaz elemeit.
Értelmezési tartomány - ÉT Az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyekre a hozzárendelési szabály érvényes. Ez lehet maga az alaphalmaz is. Az értelmezési tartomány elemeit szokás változóknak is nevezni.
Értékkészlet - ÉK A képhalmaz azon elemeinek a halmaza, amely értékeket a függvény felvesz. Ez lehet a teljes képhalmaz is. Elemei a függvényértékek.
Tulajdonságok injektív: ha különböző elemekhez különbözőket rendel hozzá (pl. log, exp) szürjektív: minden elem előáll képelemként bijektív (kölcsönösen egyértelmű): ha injektív és szürjektív
Példák, feladatok f: R R, x 2x g: R R, x x 2 stb
Induktív definíció Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós módszer. Elsősorban halmazok és függvények definiálására használható. A definíció két fő részből áll: A bázis megadása A szabály, vagy szabályok megadása
Példák 1. Természetes számok halmaza: Bázis: a 0 egy természetes szám Bővítési szabály: ha a egy természetes szám, akkor a+1 is egy természetes szám 2. Pozitív páratlan számok halmaza :=P Bázis: az 1 eleme P-nek Bővítési szabály: ha a eleme P-nek, akkor a+2 is eleme P-nek
Példák 3. Öttel osztva kettő maradékot adó számok halmaza :=K Bázis: 2 eleme K-nak Bővítési szabály: ha a eleme K-nak, akkor a+5 eleme K-nak 4. Hárommal osztható egész számok halmaza:=h Bázis: 3 eleme H-nak Bővítési szabályok: ha a eleme K-nak, akkor a+3 eleme H-nak ha b eleme K-nak, akkor b-3 eleme H-nak
Példák 5. Faktoriális függvény (f) Bázis: (0;1) eleme f-nek (1;1) eleme f-nek Bővítési szabály: ha (a;b) eleme f-nek, akkor (a+1; b*(a+1)) eleme f-nek (0;1); (1;1); (2;2); (3;6); (4;24); (5;120);
Forrás http://www.inf.elte.hu/karunkrol/digitkonyv/jegyz etek2010/teljes_indukcio_logika_halmazok_relacio k_fuggvenyek.pdf