HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK, STATISZTIKAI PRÓBÁK Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
Hipotézivizgálat alapgodolata A okaág érdekel, de a mita va a kezükbe. Elmúlt előadáoko: tatiztikai következteté (beclé) mita (méréi eredméyek) okaág paramétereiek beclée Hipotézivizgálat: Az alapokaágra voatkozóa valamilye feltevéel élük (pl. m é/vagy értéke) é azt a méréi adatokból zámolt tatiztikai próbával elleőrizzük. Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
Szemléltető ábra a hipotézivizgálat alapgodolatához 4 3 y 3.8 3. 3. 3.4 3.6 3.8 3.3 x Jöhetek-e az adatok olya elozlából, hogy: m m 3,5? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
z-próba alapelve H : m = m ullhipotézi z x m z x m próbatatiztika értéke, ha H igaz z x m x m z-elozláú m m Ha H igaz, z ~ z Ha z olya értékeket vez föl, amilyeeket z zokott, elfogadjuk a ullhipotézit Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
z-próba meete. Nullhipotézi felíráa: H : m = m. Ellehipotézi megfogalmazáa: H : m m, vagy H : m m,vagy H : m m. 3. Próbatatiztika aktuáli értékéek kizámítáa: z x m Próbatatiztika tulajdoágai: kizámítható a mitából elozláa H igazága eeté imert Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 5
4. Elfogadái tartomáy kijelölée az előírt a zigifikaciazithez: Pl. H : m m eeté z z a P -z a a H P -z a x m z H a a a a -z a/ z a/ z m z x m z / a / / a / elutaítá elfogadá elutaítá emlékeztetőül a kofidecia-itervallum: x z m x z / a / / a / 6
5. Döté: megvizgáljuk, hogy a próbatatiztika kizámított értéke az elfogadái tartomáyba va-e ha ige, elfogadjuk a ullhipotézit ha em, elutaítjuk a ullhipotézit Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 7
. példa Táramérlege égy imételt tömegméréel határoztuk meg egy tárgy tömegét. A 4 méréből álló mita zámtai középértéke 5,5 g. Korábbi méréekből tudjuk, hogy a méré variaciája = -4 g. El kell döteük, hihető-e, hogy a várható érték (a tárgy valódi tömege) 5, g. : m m 5, : m m 5, H H z x m,5 ha α=,5 z a,96 Döté? ha α=, z a,58 É itt? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 8
Döté a tatiztikai programokkal (p-érték) A tatiztikai programcomagok z -hoz egy ú. p értékét zámolak. Pl. H : m m eeté p z z Pz P -z z ha p > a, elfogadjuk a ullhipotézit p/ p/ Az. példába: p P -,5 z,5 Pz,5 *(,99379),4 -t t Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 9
Döté a tatiztikai programokkal (p-érték) A tatiztikai programcomagok z -hoz egy ú. p értékét zámolak. Pl. H : m m eeté p P z z ha p > a, elfogadjuk a ullhipotézit p z Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
Elő- é máodfajú hiba döté: a H ullhipotézi a H hipotézit elfogadjuk elutaítjuk igaz helye döté előfajú hiba (α) em igaz máodfajú hiba (β) helye döté Előfajú hiba valózíűége előzetee imert (mi adjuk meg), de a máodfajú hiba valózíűége em! Mit jelet H elfogadáa?: redelkezére álló adatok alapjá em tudjuk H -t elutaítai ( fail to reject ) Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
A máodfajú hiba valózíűége Mitől é hogya függ?: f(z H ) f(z H ) a a (m -m )/( / ) Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
. példa Számítuk ki a máodfajú hiba valózíűégét az. példára! Legye a zigifikaciazit (α) é kimutati kívát külöbég (Δ) i,! H : m m H : m m 5, 5, Egy kokrét ellehipotézihez zámoluk! x m m m z z z H P z z m m P a / a / a / a / / / m m m m, P z,58,58 a / z za / P z / /,/ 4,,/ 4 P 4,58 z,58, 74 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
. Működéi jelleggörbe (OC-görbe) ha a, Δ, σ é imert β zámítható.8.6.4.. 5. 5.5 5. 5.5 5. m m Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
3. példa Egy ayag miőége egyértelműe jellemezhető a űrűégével, melyek kíváato értéke kiebb, mit,54. A gyártá orá zerzett eddigi imeretek zerit a méré potoágára jellemző variacia égyzetgyöke =,3. A vizgálat meete a következő: -zer mitát vezük a miőítedő legyártott tételből, midegyik mita űrűégét megmérjük, átlagoljuk. Ha az átlago űrűég meghalad egy bizoyo határértéket, az adagot rozak, ha kiebb ála, jóak miőítjük. A feladat: határozzuk meg a veedő miták zámát é a határértéket ( x). * * x x A tétel jó, átvehető x * x A tétel roz, em vehető át Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 5
Hogy a jó tételt majdem midig elfogadjuk, a rozakat majdem midig elutaítuk, a következő kíváalmakat adjuk meg: ha m,5 99 % legye a valózíűége, hogy jóak miőítük, ha m,54 98 % legye a valózíűége, hogy rozak miőítük az adagot. Özegezve tehát a feladatot: A ullhipotézi é az ellehipotézi: H : m m,5 (a tétel jó) H : m m,54 (a tétel roz) Az előfajú hiba megegedett valózíűége: a =, A máodfajú hiba megegedett valózíűége: =, A kimutatadó, jeletőek miőítedő külöbég: D =,4 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 6
Kritiku értékek az elő- é máodfajú hibához H -z H a z a,5,54 * x Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 7
x * Fejezzük ki azt az határt, amelyet -a valózíűéggel em halad meg, ha H igaz (az ábra aló réze): x P P z z a a H a H a a x x m m * z z P z H P x z P x H a H x * m za Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 8
9 Máodfajú hibát akkor követük el, ha H az igaz (μ μ =,54), de mi elfogadjuk a H hipotézit (azaz z z a ). Eek valózíűége: z x m * x x P H x x P H z z P m m a * * m z x P / H Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
A kimutatadó, jeletőek miőített külöbég: D m m A két egyelet jobb oldalát egymáal egyelővé téve, majd átredezve: m m = ( za z ) D za z m m Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
Eetükbe:,36 z a,54 z,8 D,4 x *,5,3 azaz itt a, β, Δ é σ volt imert zámítható é mivel itt a é β értékét i rögzítettük H elfogadáa eeté i tudjuk a hibá döté valózíűégét Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
4. példa Egyoldali próbák Egy bizoyo vegyzer kg-jába legföljebb 5, g idege ayag lehet. Négy elemzé eredméyéek átlagára 5,5 g-t kaptuk. Korábbi méréekből tudjuk, hogy a meghatározá variaciája σ = -4 g. Eldötedő 5%-o zigigfikaciazite, hogy hihető-e, hogy az elemzéi eredméyek várható értéke (azaz az igazi idegeayagtartalom) em haladja meg az 5 g-o határt. : m m 5, H : m m 5, egyoldali próba! H z x m,5 próbatatiztika em változott! Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
4. példa folytatáa H : m m 5, Az elfogadái tartomáy vizot változik. z x m x m m m m m z ha H igaz, akkor > azaz az elfogadái tartomáyra felő határ kell P z z a a H Döté: Mivel mot,5 z za,65 elutaítjuk a ullhipotézit.,65 z a Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
Egyoldali próbák: Melyik hipotézipárt válazuk? H : H m m H : m m : m m H : m Ha elutaítjuk H -t (azaz elfogadtuk H -t), azt modhatjuk, hogy az adatok a zigifikaciazite elletmodaak aak a feltételezéek, hogy a várható érték a μ határérték alatt va. Azaz azt bizoyítottuk (mert cak p a a valózíűége aak, hogy tévedük), hogy a várható érték μ határérték felett va. Ha H -t em tudjuk elutaítai, em tuduk emmit, mert vagy igaz a ullhipotézi (azaz várható érték a μ határérték alatt va) vagy cak em volt elég iformációk (ki mitaelemzám é/vagy agy variacia). Godoljuk át a feti két eetet a H é H hipotézipárra i! Taulág: az ellehipotézibe legye, amit bizoyítai akaruk, mert akkor imerjük a tévedéük valózíűégét. m 4
5. példa Egyoldali próbák: Melyik hipotézipárt válazuk? Egy vállalat fütgáz kibocátááak NO-tartalmát vizgálják. Adott egy hatóági határérték a maximália kibocátható NO meyiégére, ezt túllépve a vállalatak bírágot kell fizetie. Melyik hipotézipárt válaztaá: - ha Ö a hatóág képvielője lee? - ha Ö a vállalat vezérigazgatója lee? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 5
5. példa folytatáa - Hatóág képvielőjekét: H : m m H : m m Ha elutaítjuk H -t, azt látjuk bizoyítva, hogy a megegedettél több va bee (azaz jogoa bírágolhat a hatóág). Ha elfogadjuk H -t, em bizoyított, hogy a határértéket meghaladja. - Vállalt képvielőjekét: H : m m H : m m Ha elutaítjuk H' -t, azt látjuk bizoyítva, hogy a megegedettél keveebb va bee (é ez a kibocátó kötelezettége). Ha elfogadjuk H -t, em tudjuk bizoyítai, hogy a határérték alatt va. Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 6
Egymitá t-próba kétoldali eet H : m = m H : m m t x m x m m m t m m P -t a x m t a a a -t a / t a / a t elutaítá elfogadá elutaítá Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 7
6. példa Egy aalitikai módzer torzítatlaágáak vizgálatára 5 imételt mérét végeztek egy 3,5% imert kocetrációjú muka-tadarddel. Az eredméyek: 3,5; 3,7, 3,4; 3,6 é 3,4. Elfogadva, hogy az adatok közelítőleg ormáli elozláúak, elleőrizzük 5%-o zigifikaciazite a torzítatlaág hipotéziét! H : m m 3,5 H : m m 3,5 x t x m Döté? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 8
Tet of mea agait referece cotat (value) (Tet.ta) Mea Std.Dv. N Std.Err. Referece t-value df p Variable Cotat mert 3.5.338 5.583 3.5.34997 4.748868 táblázattal t x m oftware f(t) a/ a/ p/ p/ -t a/ t a/ -t t t,5 4, 776 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 9
p érték értelmezée Amit zereték: Ami kizámítható: PH adatok? Padatok H? p aak valózíűége, hogy a kapott vagy még zélőégeebb adatok adódjaak, ha H igaz. Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
6. példa folytatáa: Mekkora valózíűéggel tudák egy adott torzítát kimutati? Próba ereje (power) = - a máodfajú hiba valózíűége (-β), azaz aak valózíűége, hogy ézrevezem a külöbéget Emlék : a, β, Δ é σ é közül egyik zámítható tadardized effect (E) = kimutatadó külöbég (torzítá) / zigma E D Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
6. példa folytatáa: Háy elemű mitát kell veük, hogy egy adott torzítát 9%-o valózíűéggel kimutauk? Emlék : a, β, Δ é σ (vagy E= Δ/σ ) é közül egyik zámítható mot adott a próba ereje (power) = -β =,9 é E értéke é a kérdé Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
6. példa folytatáa: Hogya függ a próba ereje a kimutatadó külöbégtől? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 33
7. példa Egy élővíz zeyezettek miőül, ha a zeyezőayag kocetrációja egy adott határérték felett va. A kérdé eldötéére mitát vezük az élővízből. Elváráuk: Ha (valóba) zeyezett a víz, azt 95%-o biztoággal miőítük i aak. Kérdé: Hogya fogalmazzuk meg a vizgáladó hipotézipárt? Az elvárából következik, hogy arra a hibá dötére, hogy a zeyezett vizet tévee megfelelőek miőítük, 5%-o valózíűéget egedük. Ezt rögzítjük tehát az előfajú hiba valózíűégéek. Eek pedig az alábbi hipotézipár felel meg: H : m m H : m m Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 34
35 Ha H igaz, akkor a következő kifejezé c -elozláú, zabadági foka: c a c c a a / / P Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák c -próba a variacia vizgálatára kétoldali eet egyoldali eet : H : H : H : H Elfogadái tartomáyok a két eetbe: a c a P
8. példa Egy termék gyártáa orá a variacia legfeljebb 4 lehet. elemű mitát véve a zóráégyzet 4-ek adódott. Elfogadjuk-e 5%-o zigifikaciazite azt a feltételezét, hogy a variacia em agyobb, mit 4? Bizoyítottuk ezzel azt az állítát, hogy a variacia 4 alatt va? H : 4 H : 4 c c a Döté? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 36
H H : : Megjegyzé: Ha Két zóráégyzet özehaolítáa (F-próba) Próbatatiztika: F Akkor utaítjuk el a ullhipotézit, ha F -a/ vagy / Szabadági fokok: F a/,, elég az elfogadái tartomáy fölő határát elleőrizi! Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 37
Adott a két függetle mita. Kétmitá t-próba Elemzámuk ( é ), é zóráégyzetük ( é ). Tételezzük fel, hogy a két okaág variaciája megegyezik. (Ezt F-próbával elleőrizi kell!) Legye: d x x E( d) m m Var d = Varx x Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 38
39 d - + A következő kifejezé t-elozláú d E d d E d t= d Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák Kétmitá t-próba (folytatá) az egyeített zóráégyzet ahol
Kétmitá t-próba (folytatá) H : m m ekkor: Ed A próbatatiztika: t = d d x x Előtte a feltevét F-próbával elleőrizi kell! Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
9. példa Két laborba végezzük el ugyaazt a mérét adott méréi leirat zerit. a) Eldötedő %-o zigifikaciazite, hogy megegyezik-e a két laborba a méréi hibák variaciája? b) Eldötedő 5%-o zigifikaciazite, hogy megegyezik-e a két laborba a méréek várható értéke? 4 5 x 53,8 5,8 x 5, 3, Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
a) F-próba H F : H : 5,8 3,,8 F felő F,5 (3,4) 6,59 F aló F,95(3,4) F (4,3) 9,,5, Döté? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
b) kétmitá t-próba H : m m H : m m t 53,8 5, = x x 4,3 5 4,66 + - 5,83 3,4 45 4,3 t a / ( 7),365 Döté? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 43
. példa Cipőtalp ayagáak kopáállóágát vizgálták. Ehhez kiválaztottak véletlezerűe - fiút, akik egy héte át vielték az a A ill. B ayagból kézült cipőket. Vizgáljuk meg 5%-o zigifikaciazite, hogy va-e külöbég a cipőtalpak átlago kopáába! A két mita tatiztikái: átlag zórá A,6,45 B,4,5 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 44
Kétmitá t-próba, ELŐTTE F-próba! H : F F 5,. H : t = t 5. Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 45
Statitic > Baic Statitic/Table > t-tet, idepedet, by variable T-tet for Idepedet Sample (fiucipo) Note: Variable were treated a idepedet ample Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group v. Group Group Group Group Group Group Group Variace Variace TALPA v. TALPB,63,4 -,3689 8,76498,4536,58465,5558,9376 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 46
Külöböző variacia-aráyokat mekkora valózíűéggel vezük ézre? a=.5, = = Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 47
. példa (. példa módoítva) Cipőtalp ayagáak kopáállóágát vizgálták. A kíérlethez mot fiút válaztottak ki véletlezerűe, majd midegyikükél kiorolták, hogy melyik lábuko melyik cipőtalpayagból kézült cipőt vielik. Vizgáljuk meg 5%-o zigifikaciazite, hogy va-e külöbég a cipőtalpak átlago kopáába! Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 48
Fiúcipő példa adatai TABLE 4.3. Data o the amout of wear meaured with two differet material A ad B, boy hoe example* boy material A material B B A differece d 3.(L) 4.(R).8 8.(L) 8.8(R).6 3.9(R).(L).3 4 4.3(L) 4.(R) -. 5.7(R).8(L). 6 6.6(L) 6.4(R) -. 7 9.5(L) 9.8(R).3 8.8(L).3(R).5 9 8.8(R) 9.3(L).5 3.3(L) 3.6(R).3 average differece.4 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 49
5 3 wear 9 7 material A 5 3 4 5 6 7 8 9 boy material B FIGURE 4.. Data o Hipotézivizgálat_Statiztikai two differet material próbák A ad B, ued for makig 5
Páro t-próba Két özefüggő (em függetle) mita özehaolítáára.. fiú. fiú. fiú. fiú i. fiú i. fiú A cipőtalp x i B cipőtalp y d i E y i H : E x i d Ey Ex H i : E i y E i x i d i i Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 5
5 A párokéti eltéré átlagértéke: d d i i d d i i d Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák Páro t-próba (folytatá) / d E d t= d A próbatatiztika: / d = t d A következő kifejezé t-elozláú: i i i x y d zóráégyzete:
. példa folytatáa d,4 d,387 t d,4,387 d t a / ( 9),6 3,349 Döté? d i Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 53
Statitic > Baic Statitic/Table > t-tet, depedet ample Variable TALPA TALPB T-tet for Depedet Sample (fiucipo) Marked differece are igificat at p <,5 Mea Std.Dv. N Diff. Std.Dv. Diff. t df p Cofidece -95,% Cofidece +95,%,63,453,4,585 -,4,387-3,3489 9,854 -,687 -,33 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 54
55
Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 56