1. RBC. 2. A modell A fogyasztó problémája. optimalizáló gazdasági szerepl½ok. dinamikus

. RBC optimalizáló gazdasági szerepl½ok. dinamikus várakozás számít permanens-ideiglenes számít a termelékenységi sokk természetes. majd van értelme feltenni, hogy mi az optimális gazdaságpolitikai beavatkozás, ha a beavatkozásnak van költsége és haszna állandósult állapot nem onnan indul oda tart termelékenység változása ízlésvilág változása amortizáció változása. A modell.. A fogyasztó problémája A vizsgált gazdaság reprezentatív fogyasztója a döntési változók olyan pályáinak kiválasztásában érdekelt, amelyek bizonyos korlátok mellett biztosítják az életpálya hasznossági függvény maximumát. A célfüggvény a fogyasztási pálya elemeinek pozitív, a munkakínálat egyes periódusokban megvalósuló szintjének negatív függvénye. Minél távolabb van egy periódus a döntés id½opontjától, az ott zajló események annál kevésbé befolyásolják a döntést, így az életpálya hasznosságot leíró függvény az egyid½oszakos hasznosságok türelmetlenségi paraméterrel súlyozott átlaga: U = X t (u (C t ) g (L t )) () t= A fogyasztó a rendelkezésére álló termelési tényez½ok megfelel½o bérleti díj mellett történ½o bérbeadásából, a vállalat által realizált pro tból, illetve vagyonfelhalmozásból szerez magának jövedelmet, mely forrásokat fogyasztási cikkek vásárlására, beruházások - nanszírozására és újabb vagyoneszközök felhalmozására fordít. A t-edik periódus költségvetési korlátja ennek megfelel½oen w t L t + r K t K t + pro t t + ( + r t ) B t = C t + I t + B t+ () ahol a beruházás a rendelkezésre álló t½okeállomány amortizálódott részének pótlásából és a t½okeállomány b½ovítéséb½ol tev½odik össze I t = K t+ ( ) K t (3) Azon fogyasztási, munkakínálati, t½okekínálati, beruházási és vagyonfelhalmozási pálya, amely () és (3) korlátok id½obeli sorozata mellett adott árak és bérek esetén biztosítja

a () alakban megadott célfüggvény maximumát az alábbi magatartási egyenletek id½obeli sorozatából meghatározható u Ct = ( + r t+ ) u Ct+ g Lt = u Ct w t r K t+ + ( ) = + r t+ w t L t + r K t K t + pro t t + ( + r t ) B t = C t + I t + B t+ I t = K t+ ( ) K t.. A vállalat problémája A gazdaság reprezentatív vállalata minden periódusban a pro tmaximalizáló kibocsátási szint eléréséhez szükséges termelési tényez½ok mennyiségét kívánja meghatározni. A t-edik periódus pro t függvénye a pro t t = Y t w t L t r K t K t (4) formában adható meg, illetve tudjuk, hogy a felhasznált termelési tényez½ok, s az általuk elérhet½o maximális kibocsátás között az alakú termelési függvény teremt kapcsolatot. Y t = f (L t ; K t ) (5) Adott árak és bérek mellett az a kibocsátási, munkafelhasználási, valamint t½okefelhasználási szint, amely (5) korlátok id½obeli sorozata mellett biztosítja (4) célfüggvények id½obeli sorozatának maximumát az alábbi magatartási egyenletek id½obeli sorozatából határozható meg: f Lt = w t f Kt = rt K Y t = f (L t ; K t ).3. Piaci egyensúlyi feltételek A megtermelt termékeket még az adott id½oszakban fel kell használni. A termékekeket a vállalat hozza létre, s az outputot a fogyasztó fogyasztási célokra is felhasználhatja, illetve b½ovítheti, vagy pótolhatja vele a rendelkezésére álló t½okeállományt. Ennek megfelel½oen az árupiacon akkor van egyensúly, ha minden t-re teljesül, hogy Y t = C t + I t : A termelési tényez½o kereslete azokat a mennyiség-bérleti díj kombinációkat foglalja magában, amely mellett a vállalat eléri célját, míg a kínálati függvény olyan mennyiségbérleti díj kombinációkat tartalmaz, amelyek a fogyasztó számára teszik lehet½ové céljainak elérését. Ha a két gazdasági szerepl½o kénytelen egyeztetni egymással, csak olyan mennyiség-ár kombinációt tartanak megfelel½onek, amely mindkét fél számára elfogadható, azaz amely mellett a termelési tényez½o kereslete és kínálata megegyezik egymással, így minden periódusban teljesülniük kell az L D t = L S t K D t = K S t

egyensúlyi feltételeknek. A fogyasztó költségvetési korlátjából kiderül, hogy a fogyasztó adott kamat mellett hajlandó lenne megtakarításokat eszközölni, vagy szeretne hitelt felvenni. Ha minden fogyasztó a reprezentatív fogyasztóval azonos magatartást követ, akkor erre az adott gazdaságban nincs lehet½oség, így a vagyoneszköz piaci egyensúly a B t+ = formában adható meg minden periódusban..4. A modell egyenletei A t-edik periódusban az alábbi magatartási egyenletek és piaci egyensúlyi feltételek alkotják a mesterséges gazdaságot: u Ct = ( + r t+ ) u Ct+ g Lt = u Ct w t r K t+ + ( ) = + r t+ w t L t + r K t K t + pro t t + ( + r t ) B t = C t + I t + B t+ (6) I t = K t+ ( ) K t f Lt = w t f Kt = rt K Y t = f (L t ; K t ) Y t = C t + I t L D t = L S t (7) K D t = K S t (8) B t+ = (9) mely egyenletek id½obeli sorozata alapján az alábbi endogén változók pályája meghatározható:. kibocsátás,. fogyasztás, 3. beruházás, 4. munkaer½ofelhasználás, 5. t½okefelhasználás, 6. reálbér, 7. reálbérleti díj, 8. kamat, 9. vagyonfelhalmozás. Érdemes észrevenni, hogy 3

. a vagyonfelhalmozás pályájának elemeit a (9) egyenlet nulla szinten rögzíti, így ezzel a változóval, illetve a (9) egyenlettel a számítások elvégzése során nem kell foglalkoznunk.. A számítások során (7) és (8) egyenleteket sem kell felírrnunk, csak ki kell használnunk, hogy ha a termelési tényez½ok piacán egyensúly van, akkor a termelési tényez½o keresleti függvényében és kínálati függvényében ugyanaz a mennyiség, és bérleti díj fog szerepelni. 3. Ha a vagyoneszközpiaci egyensúly teljesül (B t+ = minden t-re), akkor (6) egyenlet nem különbözik az árupiaci egyensúlyi feltételt½ol, mert ha w t L t + r K t K t + pro t t + ( + r t ) B t = C t + I t + B t+ képletbe behelyettesítjük a B t+ = B t = -t w t L t + r K t K t + pro t t = C t + I t adódik, illetve ha kihasználjuk, hogy a pro t de níció szerint pro t t = Y t w t L t r K t K t visszakapjuk az árupiaci egyensúlyi feltételt w t L t + rt K K t + Y t w t L t rt K K t = C t + I t Y t = C t + I t A számítások során így a költségvetési korlátot is törölhetjük az egyenletek halmazából. A számítások elvégzéséhez szükséges egyenleteket és a kiszámítandó endogén változókat az alábbi táblázatban foglaltuk össze. TÁBLÁZAT IDE 3. Számpélda Az általunk vizsgált gazdaság reprezentatív fogyasztója az! X U = t L + t ln C t + t= formában megadott életpálya-hasznossági függvény korlátok melletti maximalizálásában érdekelt. A gazdasági szerepl½o a rendelkezésére álló termelési tényez½ok bérbeadásából, a vállalat pro tjából és vagyonfelhalmozásból szerzi meg azt a jövedelmet, amit fogyasztásra, beruházásra és újabb vagyoneszközök felhalmozására költ. Az induló t½okeállomány K = K: Az amortizációs ráta. A reprezentatív vállalat által használt technológiát az Y t = a t Kt L t megadott termelési függvény jellemzi. formában Ilyen feltételek mellett a kibocsátás, a fogyasztás, a beruházás, a munkafelhasználás, a t½okefelhasználás, a reálbér, a reálbérleti díj és a kamat pályája elvileg az alábbi 4

egyenletek id½obeli sorozata alapján kiszámítható C t = ( + r t+ ) L t C t = w t r K t+ + ( ) = + r t+ C t+ I t = K t+ ( ) K t Y t = a t K t L t Y t K t = r K t ( ) Y t L t = w t Y t = C t + I t Azért "elvileg", mert a gyakorlati megvalósítás abb½ol származóan, hogy a megadott egyenletrendszer. egy nem lineáris. di erencia-egyenlet rendszer, amely 3. el½ore (például C t+ ) és hátra tekint½o (például K t ) tagokat is tartalmaz, igazi matematikai (és programozási) kihívás. Szerencsére számos olyan algoritmus létezik, amely közelít½o-megoldást kínál a fenti problémára. Az egyik lehetséges módszer a következ½o:. Feltételezzük, hogy a T-edik periódusban a gazdasági állandósult állapotba kerül (vagy nagyon-nagyon közel kerül az állandósult állapothoz). Ha a gazdasági szerepl½ok észlelik, hogy döntési környezetük nem változik, mindig ugyanúgy fognak dönteni, azaz C T = C T + = C T + = :::, vagy w T = w T + = w T + = :::, illetve K T + = K T + = K T +3 = :::. Állandósult állapotban tehát már nem számít az id½o, mert a döntési környezet változatlansága miatt az endogén változók értéke id½oben nem módosul. Az állandósult állapotot éppen ezért a rendszer id½ot½ol független megoldásának is szokás nevezni.. A T-edik periódustól kezd½ot½oen tehát a gazdaságunk állandósult állapotban van, el½otte viszont az állandósult állapot felé tart. Ha a T -edik periódust megel½oz½o T + periódusban felírjuk a modell összes egyenletét (egy periódusban n darab egyenlet van, így ez (T ) n egyenletetet jelent), akkor a kapott egyenlet-rendszert megfelel½o programcsomaggal már meg tudjuk oldani a keresett (T ) n endogén vátozóra. A szükséges lépések tehát:. Adjuk meg az endogén változók állandósult állapotbeli értékekét.. Írjuk fel a modell egyenleteit az els½o T periódusban. 3. Azzal a feltételezéssel élve, hogy a T -edik periódustól kezdve a változóink már az állandósult állapotnak megfelel½o szinten alakulnak, az el½oz½o lépésben megadott (T ) n egyenletb½ol számítsuk ki a keresett (T ) n darab endogén változót. 5

3.. Állandósult állapot Az állandósult állapot a rendszer id½ot½ol független megoldása. Mindegy, hogy a gazdasági szerepl½o melyik periódusban van, ha a környezete nem változik, döntései sem fognak változni. A mesterséges gazdaság egyenleteiben szerepl½o id½o-indexek semmiféle információt nem hordoznak magukban, így törölhet½ok a renszerb½ol. Az id½o-indexek törlésével a modellt alkotó egyenletek a következ½o átalakuláson mennek keresztül = ( + r t+ ) C t C t+! = ( + r) () L t C t = w t! L C = w () r K t+ + ( ) = + r t+! r K + ( ) = + r () I t = K t+ ( ) K t! I = K (3) Y t = a t Kt L t! Y = ak L (4) A megoldás lépésr½ol-lépésre a következ½o: Y t K t = r K t! Y K = rk (5) ( ) Y t L t = w t! ( ) Y L = w (6) Y t = C t + I t! Y = C + I (7). () egyenletb½ol a kamat állandósult álltapotbeli szintje az id½opreferenciát jelképez½o paraméter reciprokaként meghatározható. + r =. Adott kamat mellett () adja meg a t½oke reálbérleti díját. r K = ( + r) ( ) 3. A reálbérleti díj vállalatok által felhasználni kívánt t½oke mennyiségét befolyásolja. A (5) t½okekeresleti függvényb½ol azonban a t½oke értéke nem határozható meg, csak a állandósult állapotban megvalósuló kibocsátás-t½oke arány. Y K = rk A (4) formában adott termelési függvény átalakításával Y K ismeretében L K értéke is megadható Y K = ak L L = a K K L K = Y : a K 4. Ha Y K és L K is ismert, a két arány hányadosaként ki tudjuk számítani a kibocsátás munkaer½ofelhasználáshoz viszonyított arányát Y L = Y L K K 6

mely segítségével a (6) függvényb½ol meghatározható a reálbér állandósult állapotbeli értéke w = ( ) Y L 5. Három olyan egyenletünk maradt, amelyet a számítások során még nem használtunk fel: a munkakínálati függvény, a beruházái függvény és az árupiaci egyensúlyi feltétel. L C = w I = K Y = C + I Ha behelyettesítjük a beruházást az árupiaci egyensúlyi feltételbe Y = C + K az így kapott összefüggés három ismeretlent tartalmaz, Y -t, C-t és K-t. A kibocsátást ugyan nem ismerjük, de a kibocsátás-munkaer½ofelhasználás arányt egy korábbi lépésben már meghatároztuk, így ha az egyenlet bal oldalát b½ovítjük L-el, a bal oldalon egy konstans és a munkaer½oállomány szorzata fog szerepelni Y L L = C + K Hasonlóképpen járunk el a jobb oldalon szerepl½o K-val. A t½okeállomány állandósult állapotbeli értékét nem ismerjük, viszont a t½oke-munka arányt (egészen pontosan ennek a reciprokát) igen, így a jobb oldal b½ovítésével és az egyenlet átrendezésével a fogyasztás értéke kifejezhet½o a munkafelhasználás függvényeként Y L L = C + K L L; Y C = K L: L L {z } konstans 6. A kapott összefüggést a munkakínálati függvénybe visszahelyettesítve Y L K L = w L L L = Y L w K L! + adódik. 7. A munkafelhasználás ismeretében már az összes többi változó állandósult állapotbeli értéke kiszámítható. A feladathoz tartozó MATLAB kód a következ½o clear all beta =.98; a = ; 7

eta =.76; delta =.; alpha =.3; Psi = 4; R = /beta rk = R-(-delta) YK = rk/alpha; LK = (/a*yk)^(/(-alpha)); YL = YK/LK; KL = /LK; w = (-alpha)*yl L = (w/(psi*(yl-delta*kl)))^(/(+eta)) C = (YL-delta*KL)*L Y = YL*L K = KL*L I = delta*k Korábban azt állítottuk, hogy az a gazdaság, amely nem az állandósult állapotból indul, az állandósult állapot felé tart, így a következ½o lépés annak kiszámítása, hogyan közelíti meg a gazdaság az állandósult állapot. Miel½ott erre rátérnénk, érdemes megvizsgálni, hogy bizonyos gazdasági események hogyan módosítják a gyelembe vett endogén változók állandósult állapotbeli értékét. Arra fogunk koncentrálni, hogy. milyen változást okoz a teljes termelékenység növekedése, vagy csökkenése,. hogyan érinti az állandósult állapotot, ha megváltozik a gazdasági szerepl½ok ízlésvilága, illetve 3. miként befolyásolja az endogén változókat az amortizációs ráta szintjében bekövetkez½o változás. 3.. A teljes termelékenység változásának állandósult állapotbeli változókra gyakorolt hatása A teljes termelékenység azt mutatja meg, milyen hatékonyan képes a vállalati szektor a termelési eljárás során felhasználni a rendszelkezésére álló termelési tényez½oket. Ha növekszik a termelékenység, a vállalat változatlan inputfelhasználás mellett is képes növelni kibocsátását, így emelkedik a fogyasztó jövedelme. Ez a fogyasztót kiadásainak növelésére ösztönzi. A kiadások mindkét eleme, a fogyasztás és a beruházásás is növekedni fog. Állandósult állapotban a beruházás csak pótlás, így változatlan amortizációs ráta mellett a beruházásra költött források emelkedése a t½okeállomány növekedéséhez vezet, mely feler½osíti a teljes termelékenység növekedésének outputnövel½o hatását. Magas tervezett kibocsátás mellett a vállalat a munkaer½o felhasználásáért hajlandó a korábbinál nagyobb bért zetni (hogy ezzel öszönözze a fogyasztót munkakínálatának növelésére), a reálbér szintje emelkedik. A foglalkoztatás változásának iránya megjósolhatatlan. A jövedelem változása minkét hasznos jószág szintjének emelése felé hajtja a gazdasági szerepl½ot (az életpálya hasznoságot pozitívan befolyásoló termék nem a munkakínálat, hanem annak komplementere, a szabadid½o), míg a reálbér növekedése arra ösztönzi, hogy a relatíve drágábbá váló terméket (szabadid½o), a relatíve olcsóbbal (fogyasztás) helyettesítse. A negatív jövedelmi 8

hatás és pozitív helyettesítési hatás ered½ojeként kialakuló teljes hatás lehet negatív (csökken a munkakínálat) pozitív (növekszik a munkakínálat) és nulla is (nem változik a munkakínálat). A reálkamat és a reálbérleti díj állandósult állapotbeli értéke kizárólag paraméterek (id½opreferencia, amortizációs ráta) függvénye, így e változók állandósult állapotbeli szintje nem reagál a teljes termelékenység emelkedésére, vagy csökkenésére. A korábban használt MATLAB kódot apró változtatások végrehajtásával alkalmassá tehetjük arra, hogy az a termelékenységi paraméter endogén változók állandósult állapotbeli értékére gyakorolt hatását mutassa. Ehhez. egyrészt a termelékenységi paraméterek lehetséges értékeit egy vektorba rendezzük,. majd egy for...end ciklussal a vektor minden egyes elemére kiszámoltatjuk a modell változóinak állandósult állapotbeli értékét. Az alábbi kódban,-r½ol,-es lépésekben növeltük a termelékenységi paramétert egészen 4 egységnyi szintig (a vektor elemei tetszés szerint változtathatók), s az eredményeket ki is rajzoltattuk. clear all beta =.98; a = [.:.:4]; eta =.76; delta =.; alpha =.3; Psi = 4; for i = :length(a); R = /beta rk = R-(-delta) YK = rk/alpha; LK(i) = (/a(i)*yk)^(/(-alpha)); YL(i) = YK/LK(i); KL(i) = /LK(i); w(i) = (-alpha)*yl(i); L(i) = (w(i)/(psi*(yl(i)-delta*kl(i))))^(/(+eta)); C(i) = (YL(i)-delta*KL(i))*L(i); Y(i) = YL(i)*L(i); K(i) = KL(i)*L(i); I(i) = delta*k(i); end figure() subplot(,,) plot(a,y,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('kibocsátás','fontsize',6) subplot(,,) plot(a,c,'color',[.8.8.8],'linewidth',) 9

8 Kibocsátás 6 Fogyasztás 6 5 4 4 3 3 4.5.5 Beruházás 3 4 3 4.5.5.5 Kamat 3 4 ábra. A kamatláb növekedésének hatására az intertemporális költségvetési korlát meredeksége növekszik. A kamatváltozás nem érinti azt a jószágkosarat, amely szerint a fogyasztó minden periódusban az adott id½oszaki jövedelemnek megfelel½o fogyasztást valósít meg (C = Y ; C = Y ), így a kezdeti készeleket reprezentáló D pontot az új, megváltozott meredekség½u költségvetési egyenes is tartalmazza. title('fogyasztás','fontsize',6) subplot(,,3) plot(a,i,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('beruházás','fontsize',6) subplot(,,4) plot(a,r*ones(length(a),),'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('kamat','fontsize',6) figure() subplot(,,) plot(a,k,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('tokeállomány','fontsize',6) subplot(,,) plot(a,l,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('munkafelhasználás','fontsize',6) subplot(,,3) plot(a,rk*ones(length(a),),'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('toke bérleti díja','fontsize',6) subplot(,,4) plot(a,w,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('reálbér','fontsize',6) Az eredményeket az. és. ábra mutatja. A. ábra alapján a teljes termelékenység valóban pozitív hatással van a kibocsátás állandósult állapotbeli szintjére, s a jövedelem emelkedése a két kiadási tétel: a fogyasztás és a beruházás növekedését ereményezi. A kamatlábat nem érinti a gazdasági környezet a paraméterben megtestesül½o változása, + r állandósult állapotbeli értéke csak a türelmetlenségi index változására reagál. A t½oke bérleti díja állandósult álltapotban csak paraméterek és az a változására nem reagáló kamatláb függvénye, így a vizsgált gazdasági esemény e változót sem értinti (lásd. ábra).

6 Tõkeállomány.47 Munkafelhasználás 5.47 4.47 3.47.47.5.5.5 3 3.5 4.5.5.5 Tõke bérleti díja.5.5.5 3 3.5 4.47.47.5.5.5 3 3.5 4 8 6 4 Reálbér.5.5.5 3 3.5 4 ábra. A kamatláb növekedésének hatására az intertemporális költségvetési korlát meredeksége növekszik. A kamatváltozás nem érinti azt a jószágkosarat, amely szerint a fogyasztó minden periódusban az adott id½oszaki jövedelemnek megfelel½o fogyasztást valósít meg (C = Y ; C = Y ), így a kezdeti készeleket reprezentáló D pontot az új, megváltozott meredekség½u költségvetési egyenes is tartalmazza. 3.3. Az ízlésvilág változásának állandósult állapotbeli változókra gyakorolt hatása Két olyan paramétert is szerepeltettünk a fogyasztó célfüggvényében, melyek eredeti szintr½ol való elmozdulása módosítja egyes endogén változók állandósult állapotbeli értékét: a munkakínálatból származó pótlólagos költségek mértékét befolyásoló súlyparamétert ( ), illetve az id½opreferencia-indexet (). A változása. A növekedése költségesebbé teszi a fogyasztó számára a munkával töltött id½ot, vagy olcsóbbá teszi annak komplementerét a szabadid½ot. Az optimalizáló gazdasági szerepl½ot a relatív ár változása a hasznos jószágok helyettesítésére készteti: a szabadid½o szintjének megnövelése érdekében hajlandó lesz lemondani a relatíve drágábbá váló fogyasztás egy részér½ol. Mind a munkakínálat, mind a fogyasztás csökken, feltéve, hogy a reálbér nem változik. Márpedig a reálbér állandósult állapotbeli értéke nem változik, az kizárólag az id½opreferencia, az amortizációs ráta, a teljes termelékenységi paraméter és a termelési tényez½o tulajdonosok teljes jövedelemb½ol való részesedését meghatározó értékének mozgására reagál, a változására nem. Az alacsony munkaer½ofelhasználás alacsony kibocsátási szintet tesz lehet½ové, Y csökken. A jövedelme csökkenésével szembenéz½o fogyasztó nem csak fogyasztási kiadásait sz½ukíti, hanem beruházásra is kevesebbet költ, mely adott amortizációs ráta mellett a t½okeállomány csökkenését jelenti. Az eredmények bemutatásához a számítások elvégzését segít½o MATLAB kódot az alapváltozathoz képest három helyen kell módosítanunk:. Azt szeretnénk bemutatni, hogyan befolyásolja az endogén változók állanósult állapotbeli értékét, ha a növekedése miatt a fogyasztó egyre költségesebbnek érzi pótlólagos munkaegység felkínálását. Ennek érdekében nem egy, hanem -k egész sora mellett kell újra-és-újra kiszámolnunk a fogyasztás, a beruházás...(és a többi báltozó) állandósult állapotbeli értékét, így egy konstans helyett egy vektor rögzíti a gyelembe vett súly-paramétereket. Az alábbi kódban a értékét

,-r½ol növeltük egészen 4-ig,,-es lépésekben.. A konkrét számítások egy for...end ciklust igényelnek. A kamat, a t½oke reálbérleti díja, az Y K ; L K és Y L arány, valamint a reálbér nem függ a értékét½ol, így ezeknek a számításoknak nem kell feltétlenül a ciklusba kerülniük. A foglalkoztatás, a fogyasztás, a kibocsátás, a beruházás és a t½okeállomány értéke viszont biztosan módosul, ha megváltozik a pótlólagos munkaegység felkínálásának költségét jellemz½o paraméter, ezek a változók és a kiszámításukat lehet½ové tev½o egyenletek már a ciklus részét kell, hogy képezzék. 3. A harmadik módosítás már csak technikai jelleg½u: érdemes az eredményeket egy ábrán is megjeleníteni. clear all beta =.98; a = ; eta =.76; delta =.; alpha =.3; Psi = [.:.:4]; for i = :length(psi); R = /beta rk = R-(-delta) YK = rk/a; LK = (/a*yk)^(/(-alpha)); YL = YK/LK; KL = /LK; w = (-alpha)*yl; L(i) = (w/(psi(i)*(yl-delta*kl)))^(/(+eta)); C(i) = (YL-delta*KL)*L(i); Y(i) = YL*L(i); K(i) = KL*L(i); I(i) = delta*k(i); end figure() subplot(,,) plot(psi,y,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('kibocsátás','fontsize',6) subplot(,,) plot(psi,c,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('fogyasztás','fontsize',6) subplot(,,3) plot(psi,i,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('beruházás','fontsize',6) subplot(,,4) plot(psi,r*ones(length(psi),),'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('kamat','fontsize',6)

8 Kibocsátás 7 Fogyasztás 7 6 5 4 3 5 5 5 3 35 4.4..8.6.4. Beruházás 5 5 5 3 35 4 6 5 4 3 5 5 5 3 35 4.5.5.5 Kamat 5 5 5 3 35 4 ábra 3. A kamatláb növekedésének hatására az intertemporális költségvetési korlát meredeksége növekszik. A kamatváltozás nem érinti azt a jószágkosarat, amely szerint a fogyasztó minden periódusban az adott id½oszaki jövedelemnek megfelel½o fogyasztást valósít meg (C = Y ; C = Y ), így a kezdeti készeleket reprezentáló D pontot az új, megváltozott meredekség½u költségvetési egyenes is tartalmazza. figure() subplot(,,) plot(psi,k,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('tokeállomány','fontsize',6) subplot(,,) plot(psi,l,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('munkafelhasználás','fontsize',6) subplot(,,3) plot(psi,rk*ones(length(psi),),'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('toke bérleti díja','fontsize',6) subplot(,,4) plot(psi,w*ones(length(psi),),'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('reálbér','fontsize',6) A növekedésének endogén változók állandósult állapotbeli értékére gyakorolt hatását a 3. és 4. ábra mutatja. A kamat, a t½oke bérleti díja és a reálbér nem reagál a változásra, a t½obbi endogén változó állandósult állapotbeli szintje a változásával ellentétes irányba mozdul. A változása. Ahhoz, hogy a fogyasztás állandósult állapotba kerüljön, azaz a fogyasztót semmi se ösztönözze arra, hogy korábbi opimális választásán módosítson, a kamat reciprokának, azaz a piaci diszkont faktornak meg kell egyeznie az id½opreferencia-indexszel, azaz a személyes diszkont faktorral. A növekedése megemeli a kés½obbi periódusok fogyasztásának határhasznát, így a fogyasztás elhalasztására ösztönzi a gazdasági szerepl½ot. Miután a piaci diszkontfaktor a személyes diszkontfaktornál alacsonyabb lett, az ágens képessé is válik a fogyasztás elhalasztására clear all beta = [.8:.:.99]; a = ; eta =.76; 3

6 Tõkeállomány 3.5 Munkafelhasználás 5 3 4 3 5 5 5 3 35 4.5.5.5 Tõke bérleti díja 5 5 5 3 35 4.5.5.5 5 5 5 3 35 4 3.5.5 Reálbér.5 5 5 5 3 35 4 ábra 4. A kamatláb növekedésének hatására az intertemporális költségvetési korlát meredeksége növekszik. A kamatváltozás nem érinti azt a jószágkosarat, amely szerint a fogyasztó minden periódusban az adott id½oszaki jövedelemnek megfelel½o fogyasztást valósít meg (C = Y ; C = Y ), így a kezdeti készeleket reprezentáló D pontot az új, megváltozott meredekség½u költségvetési egyenes is tartalmazza. delta =.; alpha =.3; Psi = 4; for i = :length(beta); R(i) = /beta(i) rk(i) = R(i)-(-delta) YK(i) = rk(i)/alpha; LK(i) = (/a*yk(i))^(/(-alpha)); YL(i) = YK(i)/LK(i); KL(i) = /LK(i); w(i) = (-alpha)*yl(i); L(i) = (w(i)/(psi*(yl(i)-delta*kl(i))))^(/(+eta)); C(i) = (YL(i)-delta*KL(i))*L(i); Y(i) = YL(i)*L(i); K(i) = KL(i)*L(i); I(i) = delta*k(i); end figure() subplot(,,) plot(beta,y,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('kibocsátás','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,) plot(beta,c,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('fogyasztás','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,3) plot(beta,i,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('beruházás','fontname','arial','fontsize',4) 4

. Kibocsátás Fogyasztás.9.8.8.7.6.6.4..8.8.84.86.88.9.9.94.96.98.5..5..5 Beruházás.8.8.84.86.88.9.9.94.96.98.5.4.5..5..5.8.8.84.86.88.9.9.94.96.98 Kamat.8.8.84.86.88.9.9.94.96.98 ábra 5. A kamatláb növekedésének hatására az intertemporális költségvetési korlát meredeksége növekszik. A kamatváltozás nem érinti azt a jószágkosarat, amely szerint a fogyasztó minden periódusban az adott id½oszaki jövedelemnek megfelel½o fogyasztást valósít meg (C = Y ; C = Y ), így a kezdeti készeleket reprezentáló D pontot az új, megváltozott meredekség½u költségvetési egyenes is tartalmazza. subplot(,,4) plot(beta,r,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('kamat','fontname','arial','fontsize',4) figure() subplot(,,) plot(beta,k,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('tokeállomány','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,) plot(beta,l,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('munkafelhasználás','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,3) plot(beta,rk,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('toke bérleti díja','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,4) plot(beta,w,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('reálbér','fontname','arial','fontsize',4) 3.4. Az amortizációs ráta változásának állandósult állapotbeli változókra gyakorolt hatása clear all beta =.98; a = ; eta =.76; delta = [.:.:.8]; alpha =.3; Psi = 4; 5

Tõkeállomány.43 Munkafelhasználás.4 8.4 6.4 4.8.8.84.86.88.9.9.94.96.98.35.3.5..5..5 Tõke bérleti díja.8.8.84.86.88.9.9.94.96.98.39.38.37.8.8.84.86.88.9.9.94.96.98.8.6.4..8 Reálbér.8.8.84.86.88.9.9.94.96.98 ábra 6. A kamatláb növekedésének hatására az intertemporális költségvetési korlát meredeksége növekszik. A kamatváltozás nem érinti azt a jószágkosarat, amely szerint a fogyasztó minden periódusban az adott id½oszaki jövedelemnek megfelel½o fogyasztást valósít meg (C = Y ; C = Y ), így a kezdeti készeleket reprezentáló D pontot az új, megváltozott meredekség½u költségvetési egyenes is tartalmazza. for i = :length(delta); R = /beta rk(i) = R-(-delta(i)) YK(i) = rk(i)/alpha; LK(i) = (/a*yk(i))^(/(-alpha)); YL(i) = YK(i)/LK(i); KL(i) = /LK(i); w(i) = (-alpha)*yl(i); L(i) = (w(i)/(psi*(yl(i)-delta(i)*kl(i))))^(/(+eta)); C(i) = (YL(i)-delta(i)*KL(i))*L(i); Y(i) = YL(i)*L(i); K(i) = KL(i)*L(i); I(i) = delta(i)*k(i); end figure() subplot(,,) plot(delta,y,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('kibocsátás','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,) plot(delta,c,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('fogyasztás','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,3) plot(delta,i,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('beruházás','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,4) plot(delta,r*ones(length(delta),),'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('kamat','fontname','arial','fontsize',4) figure() 6

. Kibocsátás Fogyasztás.9.8.8.7.6.6.5.4....3.4.5.6.7.8.8.6.4.. Beruházás.8...3.4.5.6.7.8.4.3....3.4.5.6.7.8.5.5.5 Kamat...3.4.5.6.7.8 ábra 7. A kamatláb növekedésének hatására az intertemporális költségvetési korlát meredeksége növekszik. A kamatváltozás nem érinti azt a jószágkosarat, amely szerint a fogyasztó minden periódusban az adott id½oszaki jövedelemnek megfelel½o fogyasztást valósít meg (C = Y ; C = Y ), így a kezdeti készeleket reprezentáló D pontot az új, megváltozott meredekség½u költségvetési egyenes is tartalmazza. subplot(,,) plot(delta,k,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('tokeállomány','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,) plot(delta,l,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('munkafelhasználás','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,3) plot(delta,rk,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('toke bérleti díja','fontname','arial','fontsize',4) subplot(,,4) plot(delta,w,'color',[.8.8.8],'linewidth',) title('reálbér','fontname','arial','fontsize',4) 3.5. Konvergencia A számításhoz használt algoritmusban feltételeztük azt, hogy. ha a rendszer nincs állandósult állapotban, akkor az állandósult állapot felé tart, illetve. ezt az állandósult állapotot a T-edik periódusban már el is éri. Maradt tehát T periódusunk. A mesterséges gazdaság m½uködése minden periódusban 8 egyenlettel írható le, így van T 8 egyenletünk, amelyet T 8 változóra (az endogén változók állandósult állapot elérése el½ott befutott pályájára) már meg tudunk oldani. Miel½ott ez megtennénk érdemes az egyenletek számát egy kicsit csökkenteni. A MAT- LAB közelít½o algoritmusokat használ, így minél kevesebb egyenletet kell megoldania, annál gyorsabban képes konvergenciát találni. 7

Tõkeállomány.46 Munkafelhasználás.45 8 6 4...3.4.5.6.7.8.8.6.4. Tõke bérleti díja...3.4.5.6.7.8.44.43.4.4.4.39...3.4.5.6.7.8.8.6.4..8.6 Reálbér.4...3.4.5.6.7.8 ábra 8. A kamatláb növekedésének hatására az intertemporális költségvetési korlát meredeksége növekszik. A kamatváltozás nem érinti azt a jószágkosarat, amely szerint a fogyasztó minden periódusban az adott id½oszaki jövedelemnek megfelel½o fogyasztást valósít meg (C = Y ; C = Y ), így a kezdeti készeleket reprezentáló D pontot az új, megváltozott meredekség½u költségvetési egyenes is tartalmazza. A modellt a t-edik periódusban az alábbi egyenletek alkotják: Ha C t = ( + r t+ ) L t C t = w t r K t+ + ( ) = + r t+ C t+ I t = K t+ ( ) K t Y t = a t K t L t Y t K t = r K t (8) ( ) Y t L t = w t (9) Y t = C t + I t. a reálbért kihelyettesítjük a (9) alapján kapott összefüggéssel,. a reálbérleti díj (vagy annak egy id½oszakkal el½orébb léptetettje) helyére behelyettesítjük a (8)-ból kapott formulát, 3. a beruházást visszaírjuk az árupiaci egyensúlyi feltételbe, 4. a kibocsátás helyére berakjuk a termelési függvényt, 5. a kamatot az Euler egyenlet segítségével maghatározzuk, és a kapott összefüggést behelyettesítjük a t½okekínálati függvénybe, végül 6. az árupiaci egyensúlyból kifejezzük a fogyasztás, és a C t -re kapott formulát, valamint annak egy id½oszakkal el½orébb léptetettjét a megfelel½o helyekre visszaírjuk 8

az alábbi két összefüggéshez jutunk: ( ) a t K t L t = L + t a t K t L t K t+ + ( ) K t a t+ Kt+ L t+ + ( ) = a t+kt+l t+ K t+ + ( ) K t+ a t Kt L t K t+ + ( ) K t A megoldandó egyenletrendszer így az alábbi (T ) egyenletet tartalmazza ( ) a K L = L + a K L K + ( ) K ( ) a K L = L + a K L K 3 + ( ) K ::: ( ) a T KT L T = L + T a T KT L T K T + ( ) K T és a K L + ( ) = a 3 K 3 L 3 + ( ) = a T K T L T + ( ) = a K L K 3 + ( ) K a K L K + ( ) K a 3 K3 L 3 K 4 + ( ) K 3 a K L K 3 + ( ) K ::: a T KT L T K T + + ( ) K T a T KT L T K T + ( ) K T A keresett változók pedig K ; K 3 ; K 4 ; :::; K T (T darab) L ; L ; ; L 3 ; :::; L T (T darab) Érdemes észrevenni, hogy. K értékét már ismerjük (induló feltétel a gazdaság az els½o periódusban csak akkor tud termelni, ha már létezik valamennyi töketényez½o).. A T -edik periódusban nem K T -r½ol, hanem K T -r½ol dönt a fogyasztó. 3. Feltételeztük, hogy a T -edik periódusban a gazdaság már állandósult állapotban van, így a fenti egyenletekben megjelen½o L T az állandósult állapotnak megelel½o foglalkoztatás, K T + pedig az állandósult állapotbeli t½okeállomány. x() = K x (T ) = L x() = K 3 x (T + ) = L x(3) = K 4 x (T + ) = L 3 x(4) = K 5 x (T + 3) = L 4 ::: ::: x(t 3) = K T x (T 4) = L T 3 x(t ) = K T x (T 3) = L T x(t ) = K T x (T ) = L T 9

4. Példa. Az általunk vizsgált gazdaság reprezentatív fogyasztójának életpálya-hasznossági függvénye az X U = ; 98 t (ln C t + 4; ln ( L t )) t= alakot ölti. A fogyasztó abból szerez magának jövedelmet, hogy a rendelkezésére álló termelési tényez½oket megfelel½o bérleti díj ellenében kölcsönadja a vállalatnak, megszerzi a vállalat pro tját és begy½ujti a felhalmozott vagyon után járó jövedelmet. E forrásokat termékek vásárlására, beruházások nanszírozására és vagyoneszközök felhalmozására költi. A beruházási függvény az I t = K t+ ( ; ) K t alakban adható meg. Az induló t½okeállomány K = 6: (a) A reprezentatív vállalat minden periódusban az Y t = 5; K ;8 t L ;7 t alakban felírható termelési függvénnyel jellemzett technológiával hozza létre termékeit. (b) Adja meg a fogyasztó költségvetési korlátjának egyenletét a 38. periódusban! (c) Írja fel az árupiaci egyensúlyi feltételt a 49. periódusban! (d) Írja fel az Euler egyenletet állandósult állapotban. (e) Adja meg a beurházási függvényt állandósult állapotban! (f) Mekkora lesz a reálbér állandósult állapotbeli értéke? (g) Hány százalékkal változna a reálbér állandósult állapotbeli értéke, ha egy pozitív technológiai hatás eredményeként a vállalatok termelési folyamatát jellemz½o teljes termelékenység paramétere (amely alapesetben 5,) 4 százalékkal növekszik?. Egy olyan gazdaságban zajló folyamatokat vizsgáljuk, ahol a vállalati szektor reprezentatív tagja az Y t = 3; 8K ;3 t L ;7 t termelési függvénnyel jellemezhet½o technológiát használja arra, hogy a termelési tényez½oket outputtá transzformálja. A reprezentatív fogyasztó olyan fogyasztási, munkakínálati, t½okefelhalmozási, beruházási és vagyonfelhalmozási pálya kiválasztásában érdekelt, amely a költségvetési korlátok id½obeli sorozata és a t½okefelhalmozási korlátok sorozata mellett biztosítja az alábbi célfüggvény maximumát: U = X t= ; 97 t C ;76 t 4; L ;78 t A fogyasztó termelési tényez½oi bérbeadásából, vagyonfelhalmozásból és a vállalat pro jából való részesedés révén jut jövedelemhez, melyet fogyasztásra, beruházási tevékenysége nanszírozására és vagyoneszközök felhalmozására fordít. A beruházási függvény az I t = K t+ ( ; 5) K t formában adott. (a) Mekkora a fogyasztás állandósult állapotbeli értéke? (b) Egy ábra segítségével mutassa be hogyan ha a teljes termelékenység növekedése a munkaer½ofelhasználás állandósult állapotbeli értékére.