MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x c) x x b) Az x függvény képét eltoljuk az y tengely mentén két egységgel fölfelé, így az x x függvény képét kapjuk. ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon értelmezett függvény értékkészletét! ( pont) Az értékkészlet a felvett függvényértékek halmaza. f( x) 6 ) Ábrázolja az f x 0, 5x 4 függvényt a ; vagy ;6 (pont) 10 intervallumon!
4) A 1;6 ] [ -on értelmezett f x függvény hozzárendelési szabályát a grafikonjával adtuk meg. Határozza meg az f x 0egyenlőtlenség megoldását! Adja meg f x legnagyobb értékét! ( pont) x 6 f x legnagyobb értéke: Összesen: pont 5) Az f és g függvényeket a valós számok halmazán értelmezzük a következő képletek szerint: f x x 1 ; g x x a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f függvényt! (Az ábrán szerepeljen a grafikonnak legalább a, 5 x 1 intervallumhoz tartozó része.) (4 pont) b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! c) Oldja meg az x 1 x 1 egyenlőtlenséget! (6 pont) a) f x ábrázolása (4 pont) b) 1 c) x 1 x 1 0
x x 0 Az egyenlőség teljesül, ha x1 vagy x 0. A megoldás: x 0 A feladat grafikusan is megoldható. Összesen: 1 pont 6) Az f függvényt a ; 6 intervallumon a grafikonjával értelmeztük. Mekkora f legkisebb, illetve legnagyobb értéke? Milyen x értékekhez tartoznak ezek a szélsőértékek? (4 pont) f legkisebb értéke. Ez az x értékhez tartozik. f legnagyobb értéke 7. Ez az x 6 értékhez tartozik. Összesen: 4 pont 7) Adott a következő egyenletrendszer: lg y 1 lg x 11 y x a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben azokat a P( x; y ) pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik a () egyenletet! b) Milyen x, illetve y valós számokra értelmezhető mindkét egyenlet? c) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! (11 pont) d) Jelölje meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát az a) kérdéshez használt derékszögű koordináta-rendszerben! a)
b) Az (1) egyenlet miatt y 1 és x 11 c) lg y 1 lg x 11 x x lg 1 lg 11 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt x 1 x 11 4x x 10 0 5 x1 és x 4 5 y1 és y 4 5 5 A másodfokú egyenletrendszer megoldásai: ; 4 illetve ; 4 amiből a második számpár nem tartozik az eredeti egyenlet értelmezési tartományába, az első számpár kielégíti az eredeti egyenletrendszert. 5 5 d) A ; 4 pont bejelölése. Összesen: 17 pont 8) Adja meg az 5x y egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit! A metszéspont: 0; 9) a) Ábrázolja a ; 1, 5 0, 75 hozzárendeléssel megadott függvényt! b) Állapítsa meg a fenti függvény minimumának helyét és értékét! 4-on értelmezett, x x c) Oldja meg a valós számok halmazán a x x 1 x egyenletet! (8 pont) a) Ábrázolás b) A minimum helye: x 15, Értéke: 0,75 c) Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve: x x 1 4x 4x Rendezve x x 0 Gyökei: x1 1 illetve x
De x1 1 nem megoldás (nem teszi igazzá az eredeti egyenletet) Az x esetén mindkét oldal értéke 7, ezért ez megfelelő valós gyök. Összesen: 1 pont 10) A valós számok halmazán értelmezett x x 1 4 függvénynek minimuma vagy maximuma van? Adja meg a szélsőérték helyét és értékét! ( pont) Maximuma van, szélsőérték helye: 1; értéke: 4. Összesen: pont 11) Adjon meg egy olyan zárt intervallumot, ahol a grafikonjával megadott alábbi függvény csökkenő! Például: 0; vagy 1; 8 1) Adott az :, f 0 f x x függvény. Határozza meg az értelmezési tartománynak azt az elemét, amelyhez tartozó függvényérték 4. x 16 1) Adja meg a ; intervallumon értelmezett értékkészletét! f x x 1 függvény ( pont) A függvény legkisebb értéke az 1, az adott intervallum végpontjaiban a függvény értéke 5, illetve 10, a függvény értékkészlete az 1; 10 intervallum. Összesen: pont
14) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett az x x 5 x másodfokú függvény zérushelyeit! Számítsa ki a függvény helyettesítési értékét az 1, helyen! ( pont) Zérushelyek: 0 és 5. A helyettesítési érték 4, 56. 15) Mennyi az f x x 10 x veszi fel ezt az értéket? 16) A legnagyobb érték: 10. Ezt az x 0 helyen veszi fel. a) Fogalmazza meg, hogy az Összesen: pont függvény legnagyobb értéke, és hol Összesen: pont f : f x x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : f0x x, függvény grafikonjából! Ábrázolja az f függvényt a 6; 6 intervallumon! (5 pont) b) Írja fel az ; A 4 1 és ; B 54 pontokon áthaladó egyenes egyenletét! Mely pontokban metszi az AB egyenes az f függvény grafikonját? (Válaszát számítással indokolja!) (7 pont) a) Ha az f 0 x grafikonját előbb a ; 0, majd a 0;1 vektorral eltoljuk, az f függvény grafikonját kapjuk. Helyes grafikon. ( pont) b) Az AB egyenes egyenlete: x y 7 ( pont) Az egyik közös pont: A 4; 1 Az egyik közös pont: B ; Összesen: 1 pont 17) Adja meg a x y 18 egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit! 09 ;
18) A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját úgy kaptuk, hogy a g : 1 g( x) x függvény grafikonját a v ; 4, 5 vektorral eltoltuk. a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel! ( pont) b) Határozza meg f zérushelyeit! (4 pont) c) Ábrázolja f grafikonját a [; 6] intervallumon! (4 pont) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! d) 1 5 x x (6 pont) a) A függvény hozzárendelési szabálya: 1 f x x 4, 5 ( pont) b) A 0,5 x 4,5 0 egyenletet kell megoldani. c) 0,5 x 4,5 0 x1 5 x 1 d) Átrendezve az egyenlőtlenséget, éppen az 0 Ennek az egész megoldásai: 1; 0; 1; ; ; 5. A feladat megoldható grafikusan is. 19) A valós számok halmazán értelmezett x x függvényt transzformáltuk. Az alábbi ábra az így kapott f függvény grafikonjának egy részletét mutatja. Adja meg f hozzárendelési utasítását képlettel! ( pont) A hozzárendelési utasítás: x x 1 5 ( pont) A hozzárendelési utasítás megadható a függvény két részre bontásával is. (4 pont) f x alakhoz jutunk. ( pont) ( pont) Összesen: 17 pont
0) Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, f x sin x. Mennyi az f függvény helyettesítési értéke, ha x? Írja le a számolás menetét! f sin sin 6 1 ( pont) Összesen: pont 1) Az, x log x függvény az alább megadott függvények közül melyikkel azonos? A:, x log x B:, x log 8x C:, x log x D:, x log x ) A helyes válasz betűjele: B a) Rajzolja meg derékszögű koordinátarendszerben a 1; 6 intervallumon értelmezett, x x hozzárendelésű függvény grafikonját! (4 pont) b) Állapítsa meg a függvény értékkészletét, és adja meg az összes zérushelyét! ( pont) P,;1,58 pont rajta van-e a függvény c) Döntse el, hogy a grafikonján! Válaszát számítással indokolja! d) Töltse ki az alábbi táblázatot, és adja meg a függvényértékek (a hét szám) mediánját! ( pont) a) (4 pont)
b) Az értékkészlet az 1; intervallum, a függvény zérushelye az x 5 c) P nincs a grafikonon, mert pl., 1,8 d) x -0,5 0 1,7,0 4 5,5 x 0,5 1,7,98 1-0,5 Sorba rendezés: 0,5; 0,5; 1; 1;,7;,98;. A medián 1. Összesen: 1 pont
) Milyen valós számokat jelöl az a, ha tudjuk, hogy a valós számok x halmazán értelmezett x a függvény szigorúan monoton növekvő? a 1 4) Adja meg képlettel egy olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési utasítását, amelynek (abszolút) maximuma van! A megadott függvénynek állapítsa meg a maximumhelyét is! ( pont) Például: f : x x x 1 Abszolút maximuma van x 1 helyen. Összesen: pont 5) A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: f x sin x g x sinx. ; Adja meg mindkét függvény értékkészletét! f értékkészlete: f ; g értékkészlete: ; 6) Az ábrán a valós számok halmazán értelmezett f x x a b függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét! a b R R 11 g Összesen: pont Összesen: pont
7) István az x log x x 0 1 függvény grafikonját akarta felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett (a hibás vázlat látható a mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül! a) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton csökkenő. b) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény - höz -t rendel. c) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény zérushelye 1. b). 8) Adott a valós számok halmazán értelmezett f x x 4függvény. Adja meg az f függvény minimumának helyét és értékét! A minimum helye: - A minimum értéke: 4 Összesen: 9) Az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk. A három függvény közül kettőnek a grafikonja megegyezik, a harmadik eltér tőlük. Melyik függvény grafikonja tér el a másik két függvény grafikonjától? 1 a) x sin x b) x sin x c) x cos x A helyes válasz betűjele: a)
0) Az alábbi hozzárendelési utasítással megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények közül kettőnek egy-egy részletét ábrázoltuk. Adja meg a grafikonokhoz tartozó hozzárendelési utasítások betűjelét! A) x x B) x x C) x x D) x x 1) párja C) ) párja A) Összesen: pont 1) Adja meg az x x x 10 1 x másodfokú függvény minimumhelyét és minimumának értékét! Válaszát indokolja! (4 pont) x 10x 1 x 5 4 A minimumhely 5. A minimum értéke 4. Összesen: 4 pont ) Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá: f x 5x 5, 5 és g x x x, 5 a) Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! ( pont) x x f(x) g(x),5 b) Adja meg a g függvény értékkészletét! ( pont) c) Oldja meg az 5x 5, 5 x x, 5 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (6 pont)
a) f, 0 5 x x,5,5 x 1 b) A függvény hozzárendelési utasítását átalakítva: x x,5 x 1,5 A függvény minimuma a,5. Az értékkészlet: 5, ; c) Rendezés után: x x 1,75 0. 1 7 Az x x 1,75 0 egyenlet gyökei: x1 és x. Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, ezért az egyenlőtlenség megoldása: x. Összesen: 1 pont ) Adja meg az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények értékkészletét! f x x g x sin cos f értékkészlete: ; g értékkészlete: 11 ; x Összesen: pont 4) Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A valós számok halmazán értelmezett f x 4 hozzárendelési szabállyal megadott függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes. b) Nincs két olyan prímszám, amelyek különbsége prímszám. c) Az 1 cm sugarú kör kerületének cm-ben mért számértéke kétszer akkora, mint területének cm -ben mért számértéke. d) Ha egy adathalmaz átlaga 0, akkor a szórása is 0. a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis Összesen: 4 pont
5) a) Rajzolja fel a ; intervallumon értelmezett x x 1 függvény grafikonját! b) Mennyi a legkisebb függvényérték? a) b) A legkisebb függvényérték: 1. Összesen: pont 6) Melyik az ábrán látható egyenes egyenlete az alábbiak közül? A: y x B: y x C: y x 1, 5 D: y x A helyes válasz betűjele: A.
7) Az ábrán egy -4;4 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki, hogy melyik formula adja meg helyesen a függvény hozzárendelési szabályát! a) x 1 x 1 b) x 1 x 1 c) x x 1 d) x 1 x b) x 1 x 1 Összesen: pont 8) Adott a valós számok halmazán értelmezett f x x 4 függvény. Mely x értékek esetén lesz f x 6? x1, x 10 9) Az ábrán az x m x b lineáris függvény grafikonjának egy részlete látható. Határozza meg m és b értékét! ( pont) b 140 m 0 Összesen: pont f : ;1 ; f x x a függvény grafikonja látható. 40) Az ábrán az a) Adja meg az f függvény értékkészletét! b) Határozza meg az a szám értékét! Az f értékkészlete 0,5;4. a 0,5. Összesen: pont
41) Válassza ki az f függvény hozzárendelési szabályát az A, B, C, D lehetőségek közül úgy, hogy az megfeleljen az alábbi értéktáblázatnak! x - 0 f x -4 0-4 A: f x x B: f x x C: f x x D: f x x D 4) Az ábrán a 1;5 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 1 B: x x 1 C: x x 1 D: x x 1 C 4) a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? (4 pont) 0; intervallumon a következő egyenletet! b) Oldja meg a 1 cos x x. (6 pont) 4 c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! I) Az f :, f x sin x függvény páratlan függvény. g, g x cosx függvény értékkészlete a ; II) Az : intervallum. III) A : h, h x cos a ; 4 4 intervallumon. zárt x függvény szigorúan monoton növekszik a) (A kérdezett szöget -val jelölve) alkalmazzuk a koszinusztételt: 7 5 8 5 8 cos 1 Ebből cos, azaz (mivel egy háromszög egyik szögéről van szó) 60
1 b) Ha cos x, c) akkor a megadott intervallumon x, 5 vagy x. 1 Ha cos x, akkor a megadott intervallumon x, 4 vagy x. I) igaz II) hamis III) hamis 44) Adott a valós számok halmazán értelmezett x x Összesen: 1 pont 5 4 függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? A helyes válasz: C 45) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x 1 cos x függvény értékkészletét! A függvény értékkészlete: 0; 46) Az ábrán látható függvény értelmezési tartománya a ; intervallum, két zérushelye a 1 és. Az értelmezési tartományának mely részhalmazán vesz fel a függvény pozitív értéket? A kérdéses intervallum: 1;
47) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett x x függvény minimumának helyét és értékét! 48) A minimum helye:. A minimum értéke: 0. Összesen: pont a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: x x 1. (7 pont) Az f : R ; f x a x b lineáris függvény zérushelye -4. Tudjuk továbbá, hogy az x 4 helyen a függvényérték 6. b) Adja meg a és b értékét! (6 pont) a) Az egyenlet alakja x esetén: x x 1, amiből x 1, ami nem megoldása az eredeti egyenletnek. Az egyenlet alakja x x 1, x esetén: amiből x 1. Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivalenciára hivatkozva. a 4 b 0, b) A megadott feltételek szerint továbbá a 4b 6. Az egyik egyenletből az egyik ismeretlent kifejezve és a másik egyenletbe helyettesítve vagy a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy b, a 0,75. Összesen: 1 pont 49) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 1 sin x függvény értékkészletét! Felírjuk a sin x függvény értékkészletét. 1 sin x 1 Ha az így kapott egyenlőtlenség minden oldalához hozzáadunk egyet, megkapjuk az 1 sin x függvény értékkészletét. 0 1 sin x Tehát a megoldás 0;. 50) Az alábbi függvények a pozitív számok halmazán értelmezettek: Összesen: pont
f ( x) 5x g( x) 5 x 5 hx ( ) x i( x) 5 x Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amelyik fordított arányosságot ír le! Egy függvény akkor ír le fordított arányosságot, ha x és y értékek szorzata állandó, így a hx ( ) függvény a megoldás. Összesen: pont 51) Ábrázolja a ;6 intervallumon értelmezett x x függvényt! A függvény grafikonja az abszolútérték függvény grafikonjából származik. (4 pont) Az abszolút értéken belüli x miatt vízszintesen pozitív irányba, az abszolút értéken kívüli x miatt pedig függőlegesen negatív irányba toljuk az eredeti függvényt. Végül a függvényt a megadott intervallumra szűkítjük. Összesen: 4 pont 5) a) Az ABC háromszög két csúcsa A( ; 1) és B (;7), súlypontja az origó. Határozza meg a C csúcs koordinátáit! ( pont)
b) Írja fel a hozzárendelési utasítását annak a lineáris függvénynek, amely -hoz 1-et és -hoz 7 -et rendel! (A hozzárendelési utasítást x ax b alakban adja meg!) (5 pont) c) Adott az A( ; 1) és a B (;7) pont. Számítsa ki, hogy az x tengely melyik pontjából látható derékszögben az AB szakasz! (9 pont) a) A háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok megfelelő koordinátáinak számtani közepe, a C( c1; c ) pont koordinátáira felírhatóak az alábbi egyenletek. c1 0, amelyre c 1 0 1 7 c 0, amelyre c 6 b) A függvény képe egy egyenes, meredeksége 7 ( 1) 4 m. ( ) A (;7) ponton átmenő 4 meredekségű egyenes 4 egyenlete pedig y 7 ( x ), így a hozzárendelés 4 szabálya x x. ( pont) c) Jelöljük a kérdéses pontot P -vel! Mivel a P pont az x tengelyen van, így a második koordinátája 0. Ha Px ( ;0), akkor PA ( x; 1) és PB ( x;7). PA és PB vektorok pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha PA és PB vektorok skaláris szorzata 0. ( x) ( x) ( 1) 7 0 x 9 7 0, amelynek gyökei x1 4 és x 4. (4 pont) Tehát a feladatnak két megoldása van, (4;0) 1 P ( 4;0). Összesen: 17 pont