Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 4n+1 + 3. 3. Igazoljuk, hogy ha n N, akkor 1 + + + n = 4. Igazoljuk, hogy ha n N, akkor 1 + + + n = 5. Bizonyítsuk be, hogy a, 3, 5 irracionális szám. n (n + 1) n (n + 1) (n + 1) 6 6. Keressük meg a legkisebb egész számot, amely eleme az (A B) C halmaznak, ahol A, B, C az A = ; 6, B = 1; 4, C = 3; 5 intervallumok. 7. Adottak az A = (x ; x 1), B = (3x 4; 4) nyílt intervallumok. Keressük meg a legnagyobb olyan x valós számot, amelyre érvényes, hogy A B. 8. Vizsgáljuk meg az y = c x ás az x y + c = 0 ponthalmazok kölcsönös helyzetét c-től függően (c R). 9. A 3x 5y + 15 = 0 és a 3x 5y + 6 = 0 egyenletekkel meghatározott egyeneseken fekszik a négyzet két párhuzamos oldala. Határozzuk meg ennek a négyzetnek a területét. 10. Írjuk fel az ABC sík egyenletét, ha az egyes pontok helyvektorai: a = (1; 3; 1), b = (; 3; 3), c = ( ; 5; 7); 11. Írjuk fela az M pont és a p egyenes által meghatározott sík egyenletét, ha m = (3; ; 1), p : x = t; y = 3 + t, z = 1; t R; 1. Írjuk fela az M ponton áthaladó és a p egyenesre merőleges sík egyenletét, ha m = (3; ; 1), p : x = t; y = 3 + t, z = 1; t R; 13. Határozzuk meg az AB szakasz szimmetriasíkjának egyenletét, ha a pontok helyvektora rendre a = (1; 1; 6), b = (1; 3; ). Készítsünk ábrát. 14. Határozzuk meg az a : x + y 4 = 0 egyenes S pontra vonatkozó tükörképének egyenletét, ha az S pont helyvektora s = ( 1; 3). 15. Az A pont az alábbi három sík metszéspontja: α : 3x + y + z+ = 1, β : 7x y z = és γ : z = 0. Keressük meg az A pont koordinátáit. 16. Az A[1; 6], B[4; 5], C[8; 1], D[5; d] pontok az ABCD paralelogramma csúcspontjai. Határozzuk meg a D pont koordinátáit. 17. Igazoljuk az alábbi azonosságot: a + a b a a + b ha a, b 0, a b. 18. Adott az f : y = x + 16x 39 függvéy. (a) Határozzuk meg a függvény értelmezési tartományát. = a + b,
(b) Az értelmezési tartomány egész számai közül véletlenszerúen kiválasztunk egyet. Mi annak a valószínűsége, hogy prímszámot vagy négyzetszámot választottunk? ( ) x m + 19. Határozzuk meg az m paraméter azon értékeit, amelyekre az f : y = függvény monoton 5 (a) növekvő, (b) csökkenő. 0. Hogyan kell megválasztani az a számot ahhoz, hogy az f(x) = ax+3+ x 5 függvény a intervallumon konstans legyen? ( ) 4 3x 1. Oldjuk meg az log 1 1 egyenlőtlenséget. 3 x ( ; 5 ). A log(x + 1) < log(5 x) egyenlőtlenségnek valamennyi megoldásának halmaza a K intervallum. Keressük meg ezt a K intervallumot. 3. A log(x + ) = log(x + 1) egyenletnek az R halmazon hány pozitív megoldása van? ( ) x ( ) x ( ) 8 9 8 4. Oldjuk meg a > egyenlótlenséget. 4 7 3 5. Adjuk meg az alábbi összeg értékét egy tizedesnyi pontossággal: ( ) ( ) ( ) 1 3 lg 7 + lg 7 + lg 7 3 + + lg 3 4 ( 7 999 6. Oldjuk meg a log (3 x) + log (1 x) = 3 egyenletet a valós számok halmazán. 7. Állapítsuk meg az f : y = log 3x 1 x 8. Számítsuk ki a log x + log(x + 3) = 1 egyenlet gyökét. függvény értelmezési tartományát. ) 999 1000 9. Oldjuk meg a 3 3 x + 4 3 x+1 + 5 3 x+ = 405 x 1 egyenletet a valós számok halmazán. 30. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: ( ) 5+lg x 5 + 4 1+lg x 11 31. Oldjuk meg az alábbi egyenletrenszer az R R halmazon: = 11 5 3x+ = 4y 3 407y + 0 x = log (y 4) 3. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes esetén 1 n 5 n 3. 33. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a hárommal való oszthatósági szabályt. 34. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a néggyel való oszthatósági szabályt. 35. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a kilenccel való oszthatósági szabályt. 36. Adott egy 5 cm és egy 3 cm sugarú körvonal. A körök középpontjai 10 cm-re vannak egymástól. Milyen távol van a kisebbik kör középpontjától a két kör közös belső érintőinek metszéspontja.
37. Bizonyítsuk be Euklidesz tételeit. 38. Bizonyítsuk be Pitagorasz tételét. 39. Bizonyítsuk be a térbeli Pitagorasz-tételt. 40. Egy szabályos hatszög köré-, illetve beírt köreinek sugara rendre R és r, különbségük 1. Határozzuk meg a hatszög területét. ( 41. Az x + x) 1 10 kifejezés binomiális felbontásának melyik tagja nem tartalmaz x-et? 4. Hogyan kell megválasztani az n természetes számot ahhoz, hogy az (1 + x) n hatványozással olyan polinomot kapjunk, amelyben a kvadratikus tag egyötthatója (az x melletti együttható) 300-zal legyen egyenlő? 43. Hány hétjegyű (a) páros, (b) páratlan szám készíthető a 0, 1, 1, 1,,, 3 számjegyekből? 44. 0 láda áruból 15 láda elsőosztályú, a többi másodosztályú. Hányféle módon választhatunk ki 5 ládát ezekből úgy, hogy legfeljebb másodosztályú legyen köztünk? 45. Minden bankártyának van saját négyjegyú PIN számkódja. Számítsuk ki, hány különböző PIN kód létezik, ha tudjuk, hogy a 4 egyforma számjegyből álló kód biztonsági okokból nem használatos. 46. Az ábrán látható AC szakasz a kör átmérője. Az AB és BC körívek aránya 7 : 3. Határozzuk meg az AXB szöget. 47. Bizonyítsuk be, hogy a húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180. 48. Az x tengely mey pontjából látszik az AB szakasz derékszögben, ha a pontok helyvektora a = ( 1; 3), b = (7; 3)? Legalább két féle megoldási móddal oldjuk meg a feladatot. 49. Igazoljuk a kerületi és a középponti szögek közti összefüggést. 50. Az ABC háromszögben az S[; 3; 9] pont a BC oldal középpontja, a T [ 4; 7; 1] pont a háromszög súlypontja. Keressük meg az A[a; b; c] csúcspont koordinátáit. 51. Az AB = 6 oldalú ABC hegyesszögű háromszög az r = 5 sugarú körbe van beírva. Határozzuk meg a C csúcspontnál levő szöget. 5. Legyen aadva az ABCDEF GH kocka.határozzuk meg az a és a b egyenesek hajlásszögét, ha a AF és b HF, 53. Mekkora szöget zár be az ABCDEF GH kocka BH testátlója az ACH síkkal?
54. Legyen adva az ABCDEF GH kocka. Határozzuk meg a p egyenes és a ρ sík hajlásszögét, ha p EC és ρ ABC. 55. Legyen adva az ABCDEF GH kocka. Határozzuk meg a C pont és a BGD sík távolságát. 56. Legyen adva az ABCDEF GH kocka. Határozzuk meg az F pont és a ACH sík távolságát. 57. Ha az ABCDEF V szabályos hatoldalú gúlában a CV él középpontja X és a BC él középpontja Y. Határozzuk meg az ABCDEF V gúla és az AXY sík metszetét. 58. Adott az ABCDEF GH téglatest, amelyben AB = 3, AD = 4, AE = 1. Számítsuk ki az AG és a BH testátlók által bezárt szög nagyságát. 59. A forgáshenger alapjának sugara 5 cm, a magassága 4 cm. Számítsuk ki ezen forgáshenger köré írt gömb sugarát. 60. Egy gömbbe írt kocka felszíne 144 cm. Mekkora a gömb felszíne? 61. Egy 0 cm sugarú gömbbe kockát írunk. Mekkora a gömb felszíne? 6. Az egységnyi élű ABCDEF GH kocka AE élének felezőpontja P, a BCGF lap középpontja R. Mekkora területű síkidomban metszi a kockát a P BR sík? 63. A d cm 0 cm méretű téglalap alakú kartonlapból 1 000 cm 3 térfogatú dobozt készítettünk úgy, hogy mindegyik sarkából 5 cm oldalú négyzetet és az így kapott széleket felhajtottuk. Számítsuk ki a d számot. 64. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: ( ) ( ) 3 x + 3x 1 1 9. x x + 1 65. A (90 ; 180 ) intervallumba tartozó melyik x-re vesz fel az f : y = s x + sin x függvény nulla értéket? 66. Oldjuk meg a valós számok halmazán: sin x + 3 sin x > 67. Oldjuk neg az alábbi egyenlőtlenségrendszert grafikusan a valós számok halmazán: x + y x x y 0 68. Oldjuk meg a 81 sin x + 81 cos x 30 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán.
69. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: 6 sin x sin x cos x cos x = 3 70. Határozzuk meg a k értékét úgy, hogy az alábbi egyenletnek legyen valós gyöke: x 005 006 + x 007x + 006 + x k = 0 71. Az R halmazban oldjuk meg a y 5 = 10 y egyenletet. 7. Vezessük le a másodfokú egyenlet oldóképletét. 73. Ismertessük és bizonyítsuk be a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket. 74. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: lg x + lg x + lg 4 x + lg 8 x + = 75. A p paraméter mely értékeirelesz a (p 5)x (p 1)x + 3 = 0 egyenletnek kétszeres gyöke? 76. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget, ha x az ismeretlen, p a paraméter: x(p 1) p x x(p 3). 77. Határozzuk meg az y = 5x parabolába írt egyenlőoldalú háromszög oldalának a hosszát. 78. Adott a g : y = (p 1)x + px + 4 másodfokú függvény (p 1). Van-e a p paraméternek olyan értéke, amelyre a parabolának nincs közös pontja az x tengellyel? 79. Határozzuk meg az x tengely azon P pontját, amelyre az AP B töröttvonal minimális hosszúságú, az A és B pont helyvektora a = ( 4; 8) és b = (; 4). 80. Írjuk fel és igazoljuk a számtani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést. 81. Egy derékszögű háromszög oldalai számtani sorozatot alkotnak, hosszuk egész szám. Mekkorák a háromszög szögei. 8. Írjuk fel és igazoljuk a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést. 83. Egy mértani sorozat három egymást követő tagja közül a harmadik. Ha ezt a tagot az első kettő elé rakjuk, akkor egy számtani sorozat egymást követő három tagját kapjuk. Határozzuk meg az eredeti három számot. 84. Az 1 + 1 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + = x + 1 x 1 egyenletnek éppen egy valós gyöke van. Határozzuk meg. 85. Az a = 374x5y tízes számrendszerbeli számban az x és az y számjegyek véletlenszerű megválasztása esetén mi a valószínűsége annak, hogy a szám osztható legyen 15-tel? 86. A kalapban 4 fekete és 4 fehér golyó van. Kihúzunk egyszerre golyót. Mekkora annak a valószínűsége, hogy mindkettő fehér lesz? 87. Adott az 10, 3, 7, x statisztikai halmaz. Számítsuk ki az adott halmaz mértani középértékét, ha tudjuk, hogy a modusza 1. 88. Egy szabályos dobókockát egymás után 40-szer feldobunk, a dobások számát az alábbi táblázat mutatja:
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 3 6 1 4 4 1 5 5 5 1 4 5 1 6 6 3 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 4 5 4 4 3 3 1 5 5 1 3 5 4 6 1 4 4 (a) Mennyi az egyes dobások gyakorisága? (b) Mennyi a négyes dobásának relatív gyakorisága? (c) Mennyi a relatív gyakorisága annak az eseménynek, hogy dobott szám legfeljebb? (d) Mennyi a relatív gyakorisága annak az eseménynek, hogy a dobott szám prím szám? (e) Mennyi a relatív gyakorisága annak az eseménynek, hogy a dobott szám legalább 4? 89. Hét különböző természetes szám számtani középértéke 9, mediánja 10. Milyen maximális értéket vehet fel a legnagyobb szám? 90. Bizonyítsuk be a háromszögekre érvényes S = abc, ahol r a háromszög köré írt kör sugara, S pedig 4r a háromszög területe. 91. Az ABC háromszög beírt körének sugara ϱ, területe S és félkerülete s. Bizonyítsuk be, hogy ϱ = S s 9. Adott a síkban egy konvex n-szög, ahol n > 3 természetes szám. Igazoljuk az n-szög n(n 3) (a) átlóinak száma, (b) belső szögeinek összege (n ) 180. 93. Bizonyítsuk be, hogy az érintőnégyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő. 94. Bizonyítsuk be a koszinusztételt. 95. Bizonyítsuk be a szinusztételt. 96. Az a oldalú szabályos háromszög minden oldala fölé négyzetet szerkesztünk. Ha összekötjük a négyzetek azon csúcsait, amelyek a háromszögnek nem csúcsai egy hatszöget kapunk. Mekkora ennek a hatszögnek a kerülete? 97. Ismertessük az ABC háromszög szerkesztésének menetét, ha adott az a + b = 9 cm, c = 5, 7 cm, γ = 45. 98. Határozzuk meg az összes p R értéket, amelyekre igaz, hogy a k : (x 4) + (y 1) = 17 p körnek van legalább egy közös pontja az x tengellyel, azonban nincs közös pontja az y tengellyel. 99. Oldjuk meg az (x 3) + 5 10x + x = x + egyenletet (a) az R halmazon, (b) a Z halmazon. 100. Adva vana ; 3 intervallumon az f : y = x 6 x 1 függvény. Vázoljuk fel a függvényt.