Geometriai algoritmusok
|
|
- Tibor Kocsis
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha A és B sorrendje is számít, akkor irányított szakaszról beszélünk. Egyenes megadása: y = mx+b egyenlettel: azon (x,y) pontok halmaza, amelyekre teljesül az egyenlet, ax+by+c = 0 egyenlettel, egyenes megadása két pontjával: e(a,b). Az A B keresztszorzat a (0,0), A,B és a A + B = (A.x + B.x,A.y + B.y) pontok által alkotott paralelogramma előjeles területeként értelmezhető. Azaz A B = A.xB.y B.xA.y. A keresztszorzat alapján meghatározható a pontoknak az origóból vett egymáshoz viszonyított forgásiránya. Ha A B pozitív, akkor A az óramutató járásával egyező forgásirányba esik B-hez képest az origóból nézve. Ha A B negatív, akkor A az óramutató járásával ellentétes forgásirányba esik B-hez képest az origóból nézve. Ha A B = 0, akkor az origó, A és B egy egyenesen helyezkednek el. A fentiek alapján az is eldönthető, hogy egy AB irányított szakasz milyen forgásirányba esik egy AC szakaszhoz képest. A megoldás az, hogy eltoljuk a szakaszokat az origóba és a B A, C A pontokat hasonlítjuk össze véve a keresztszorzatukat. Szintén használhatjuk a keresztszorzatot annak eldöntésére, hogy egy AB irányított szakasz végpontjához csatlakozó BC szakasz jobbra vagy balra fordul. Azt kell megnéznünk, hogy a AC irányított szakasz az óramutató járásával megegyező vagy azzal ellentétes forgásirányban van a AB szakaszhoz képest. Tehát ha a (C A) (B A) keresztszorzat negatív, akkor B-ben balra fordulunk, ha pozitív jobbra, ha pedig 0, akkor a A, B,C pontok egy egyenesre esnek. Ennek eldontésére a FORGASIRANY(A,B,C) függvényt használjuk, amely 1, ha (C A) (B A) negatív, 1 ha a keresztszorzat pozitív és 0, ha a keresztszorzat 0. Szakaszok metszése Azt mondjuk a A,B szakasz átfog egy egyenest, ha A az egyenes egyik B pedig az egyenes másik oldalára esik. Két szakasz akkor és csak akkor metszi egymást ha az alábbi feltételek legalább egyike teljesül: Mindkét szakasz átfogja a másik egyenesét. Az egyik szakasz valamely végpontja illeszkedik a másik szakaszra. Felhasználjuk az alábbi eljárást, ami meghatározza, hogy az egy egyenesre eső A,B,C pontokra C eleme e az AB szakasznak. SZAKASZON(A,B,C) if min(a.x,b.x)<=c.x<=max(a.x,b.x) and min(a.y,b.y)<=c.y<=max(a.y,b.y) else return false 1
2 A következő eljárás megállapítja, hogy az AB és CD szakaszok metszik e egymást. SzakaszMetsz(A,B,C,D) e:=forgasirany(c,d,a) f:=forgasirany(c,d,b) g:=forgasirany(a,b,c) h:=forgasirany(a,b,d) if ef<0 and gh<0 if e=0 and SZAKASZON(C,D,A) if f=0 and SZAKASZON(C,D,B) if g=0 and SZAKASZON(A,B,C) if h=0 and SZAKASZON(A,B,D) return false Pont helyzete Adott a síkon egy zárt, nem-metsző poligon a csúcsainak p 1,..., p n órajárással ellentétes felsorolásával és adott egy q pont. Eldöntendő a q pontnak a poligonhoz viszonyított helyzete, azaz, hogy a belsejéhez tartozik-e, az oldalán van-e, avagy külső pont? Megoldás: Válasszunk egy olyan K pontot, amely biztosan nem tartozik a poligon belsejéhez és a poligon egyetlen csúcsa sem esik a Kq szakaszra, legfeljebb ha q megegyezik valamelyik csúccsal. Ha a Kq szakasz a poligon páratlan számú oldalát metszi, akkor q belső pont, egyébként külső. A K külső pont választása: Legyen K.y = max{p i.y p i.y < q.y,i = 1,...,n} és K.x = min{p i.x i = 1,...,n} 1. Ha a poligonnak nincs olyan csúcspontja, amelynek y-koordinátája kisebb, mint q.y, akkor q biztosan külső pont. A K pont ilyen választása esetén legfeljebb a q pont esik a poligon valamelyik oldalára, amikor is q nem belső pont lesz. Ezt az esetet külön kell ellenőrízni. Polárszög szerinti rendezés Legyen adott pontok egy P 1,...,P n halmaza. Sok esetben használható ezek polárszög szerinti rendezése, amely a következő eljárás. Válasszuk ki a legkisebb x-koordinátájú pontot, ha több ilyen van, akkor ezek közül válasszuk a legkisebb y- koordinátájút. Ezt nevezzük (bal-alsó) sarokpontnak és jelöljük Q-val. Húzzunk (fél) egyeneseket a Q sarokpontból minden ponthoz. Rendezzük az egyeneseket a Q ponton áthaladó, x-tengellyel párhuzamos egyenessel bezárt (előjeles) szög alapján. Jelölje ezt a szöget a Q,P egyenesre Φ(Q,P). Rendezzük a pontokat úgy, hogy a Q sarokpont legyen az első, és P előbb legyen mint R akkor és csak akkor, ha Φ(Q,P) < Φ(Q,R), vagy Φ(Q,P) = Φ(Q,R) és P közelebb van Q-hoz, azaz P.x < R.x, vagy Φ(Q,P) = Φ(Q,R) és P.x = R.x és P.y < R.y. 2
3 Két pont között a rendezési reláció megállapítható a tangensek összehasonlításával vagy a FORGASIRANY függvény felhasználásával. A rendezési reláció alapján pedig tetszőleges O(n log n) idejű algoritmust használhatunk a polárszög szerinti rendezés előállítására. Zárt poligon rajzolása Adott a síkon n darab pont, amelyek nem esnek egy egyenesre. A pontok (x,y) koordinátáikkal adottak, amelyek egész számok. A pontokat az 1,...,n számokkal azonosítjuk. Kössünk össze pontpárokat egyenes szakaszokkal úgy, hogy olyan zárt poligont kapjunk, amelyben nincs metsző szakaszpár. Megoldás: Ha a polárszög szerinti rendezés sorrendjében kötjük össze a pontokat, kivéve, hogy az utolsó egyenesen levő pontokat fordított sorrendben vesszük, akkor egy zárt, nem metsző poligont kapunk. Konvex burok Definíció: Egy egyszerű (nem metsző) poligon konvex, ha bármely két belső pontját összekötő szakasz minden pontja a poligon belsejében, vagy határán van. Definíció: Egy P = {p1,..., p n } ponthalmaz konvex burka az a legszűkebb Q konvex poligon, amely a ponthalmaz minden pontját tartalmazza. Feladat: Egy P ponthalmaz konvex burkának meghatározása. Megoldás: (Graham-féle pásztázás) Rendezzük a ponthalmaz pontjait polárszög szerint, majd minden egyenesen csak a sarokponttól legtávolabbi pontot hagyjuk meg, a többit töröljük. Legyen q 1,...,q m a kapott pontsorozat polárszög szerinti rendezésben. Mindaddig, amíg van három olyan egymást követő q i,q i+1 q i+2 pont, hogy q i+1,q i+2 jobbra fordul q i,q i+1 -hez képest, hagyjuk el a q i+1 pontot. Az alábbi algoritmusban feltesszük, hogy a PolarRendez algoritmus egy T (0-tól n-1-ig indexelt) tömböt ad, amely tartalmazza a pontokat polárszög szerinti rendezésben. KonvexBurok(P) T:=PolarRendez(P) m=1 for i=2 to n-1 while (m>0 and FORGASIRANY(T[m-1],T[m], T[i])<=0) m:=m-1 m:=m+1 Csere(P[m],P[i]) return m Az eljárásban mindig a tömb első m eleme tartalmazza az aktuális halmaz konvex burkának csúcsait. A for ciklus végigmegy a ponthalmaz pontain. Minden i-re a while ciklus törli azokat a pontokat, ahol a forgasirány nem megfelelő, majd az i elemet elhelyezi a konvex burok utolsó csúcsaként. Az algoritmus futási ideje O(nlogn), ha a polárszög szerinti rendezést olyan algoritmussal valósítjuk meg amelynek futási ideje O(nlogn). Metsző szakaszpárok létezésének vizsgálata A feladatban adott n darab szakasz S = {s 1,...,s n } (a szakaszok az s i.bal és s i. jobb végpontjaik által adottak) és meg kell határozni van a közöttük kettő olyan, amely metszi egymást. Seprő egyenes: Seprés során egy képzeletbeli seprő egyenest mozgatunk a geometriai elemek halmazán. Azt a dimenziót, amelyben a seprő egyenes halad, idődimenziónak szokás nevezni. Ennél a feladatnál a seprő egyenes az y-tengellyel párhuzamos egyenes, az idődimenzió az egyenest meghatározó x-koordináta lesz. 3
4 Egyszerűsítő feltételek: 1. Egyik bemeneti szakasz sem függőleges. 2. Nincs három olyan szakasz, amelyek egy pontban metszenék egymást. Szakaszok összehasonlítása: Legyen s 1 és s 2 szakasz és x R, akkor azt mondjuk, hogy a két szakasz összehasonlítható x -nél, ha mindkét szakasznak van olyan pontja, amelynek az x koordinátája x. Továbbá ez esetben s 1 > x s 2 ha s 1 -nek az x x-koordinátájú pontjának y koordinátája nagyobb. (Azaz az x -ben húzott seprő egyenessel vett metszete magasabban van.) Ez a reláció minden x esetén az összehasonlítható pontok egy lineáris rendezését adja. Továbbá ha két szakasz metszi egymást, akkor a metszést megelőzően a rendezésben egymást követik, így elég a rendezésben egymás melletti szakaszokat vizsgálni van a metszéspontjuk. Fontos megjegyezni, hogy ha két szakasz nem metszi egymást, akkor a szakaszok egymáshoz viszonyított helyzete nem változik x változtatásával. 1. Esetpontok jegyzéke: azon időpontok (rendezett) sorozata, amely időpontokban a seprő egyenes megáll. (Ezen pontok {s.bal.x, s. jobb.x : s S} 2. A seprő egyenes állapotleírása: az egyenes által metszett szakaszok rendezett halmaza. Az esetpontok halmazát rendezzük, ha több pontnak ugyanaz az x koordinátája, akkor a bal végpontokat vesszük előszőr figyelembe (növekvő y koordináta szerint), majd a jobb végpontokat (szintén növekvő y koordináta szerint). A seprő egyenes által metszett szakaszok nyilvántartására egy olyan T adattípusra van szükség, amely hatékonyan megoldja a Bovit(T,s), Torol(T,s), Eloz(T,s), Kovet(T,s) műveleteket, ilyen a rendezett halmaz absztrakt adattípus. (Piros fekete fával való megvalósítás mellett a műveletek mindegyike O(logn) időben végrehajtható.) Az alábbi algoritmusban feltesszük, hogy az ESEMENY algoritmus az eseménypontokat a fentiekben leírtak alapján rendezi. MetszoPar(S) Letesit(T:RHalmaz) R:=ESEMENY(S) minden p-re az R beli sorrendben if p=s.bal then Bovit(T,s) If SzakaszMetsz(Kovet(T,s),s) or SzakaszMetsz(Eloz(T,s),s) then return True if p=s.jobb then If SzakaszMetsz(Kovet(T,s),Eloz(T,s)) then return True Torol(T,s) Az algoritmus futási ideje piros fekete fával történő megvalósítás mellett O(nlogn). Egymáshoz legközelebbi pontpár megkeresése A két pont távolsága az Euklideszi távolság, azaz tav(p,q) = (p.x q.x) 2 + (p.y q.y) 2. A feladat P = {p 1,..., p n } ponthalmazban megtalálni azt a két p i, p j pontot, amelyek távolsága minimális. Kézenfekvő megoldás a NAIV algoritmus, ami megvizsgál minden pontpárt és veszi a minimális távolságot, ennek az algoritmusnak Θ(n 2 ) a futási ideje. Az alábbiakban egy gyorsabb oszd meg és uralkodj elvű algoritmust adunk meg. Legyen S a pontok halmaza, X a pontok x-koordináta szerint rendezett sorozata, Y pedig pontok y-koordináta szerint rendezett sorozata. (A rendezések megoldhatóak O(nlogn) időben.) Az elvi algoritmus 4
5 TAVKERES(P,X,Y) if P 3 then return NAIV(P) Legyen P L, P P /2 legkisebb x koordinátájú eleme. Legyenek X L,Y L a P L beli pontok rendezett halmazai. Legyen P R P többi eleme Legyenek X R,Y R a P R beli pontok rendezett halmazai. Legyen x 0 P L -t és P R szeparáló x koordináta (d L,a L,b L ) := TAV KERES(P L,X L,Y L ) (d R,a R,b R ) := TAV KERES(P R,X R,Y R ) d := min(d L,d R ) Y d := azon P-beli pontok y koordináta szerint rendezett halmaza, amelyek x-koordinátájára x 0 x d Ha van Y d -ben d-nél közelebbi pár, akkor azt adjuk vissza, egyébként d-t a megfelelő pontpárral. Igazolható, hogy a középső sávban (Y d ) elég minden p pontra csak p-t követő 7 pontra nézni a távolságot, hogy találjuk d-nél közelebbi pontpárt, ha létezik ilyen. Ezt a tényt használva az algoritmus utolsó lépésében, azt kapjuk, hogy a legrosszabb futási időre fennáll T (n) = 2T (n/2) + O(n) összefüggés, így T (n) = O(n log n). Egymástól legtávolabbi pontpár megkeresése A feladat P = {p 1,..., p n } ponthalmazban megtalálni azt a két p i, p j pontot, amelyek távolsága minimális. Kézenfekvő megoldás a NAIV algoritmus, ami megvizsgál minden pontpárt és veszi a minimális távolságot, ennek az algoritmusnak Θ(n 2 ) a futási ideje. Az alábbiakban egy gyorsabb, a konvex burkon alapuló algoritmust alapötletét adjuk meg. Lemma A legtávolabbi pontpár P konvex burkának két pontja lesz. Definíció A P ponthalmaz átellenes pontpárja olyan p i és p j pontpár, amelyre van olyan p i -n és p j -n átmenő egyenes, amelyek párhuzamosak és a P ponthalmaz minden pontja a két egyenes közé esik. Lemma A legtávolabbi pontpárban szereplő pontok átellenesek. Átellenes pontpárok meghatározása görgetéssel Legyen P = {p 1,..., p m } a konvex poligon csúcspontjainak órajárással ellentétes felsorolása. Legyen p i a konvex poligon legkisebb y-koordinátájú pontja, ha kettő ilyen van, akkor ezek közöl válasszuk a legnagyobb x-koordinátájút. Legyen továbbá p j pedig a legnagyobb y-koordinátájú pontja, ha kettő ilyen van, akkor ezek közül válasszuk a legkisebb x-koordinátájút. Ekkor p i és p j nyilvánvalóan átellenes pontjai a poligonnak. Az többi átellenes pontpár lineáris időben meghatározható görgetéssel. Forgassuk el balra az aktuális átellenes p k és p r pontokon átmenő párhuzamos egyeneseket amíg valamelyik a p k p k+1 vagy a p r, p r+1 oldalra nem ér (a +1 modulo m értendő). Ha előbb érjük el a p k p k+1 oldalt, akkor k := k + 1, egyébként r := r + 1. Folytassuk ezt mindaddig, amíg vissza nem érünk a kezdetben választott két átellenes ponthoz. Annak eldöntése, hogy melyik oldalt érjük el hamarabb a forgatással a FORGASIRANY(p r+1, p i+1 p k + p r+1, p r ) függvény kiszámításával meghatározható. Az algoritmus futási ideje O(nlogn). Szorgalmi Adott n pont a síkon a koordinátáik által megadva. Adjunk egy lineáris idejű algoritmust, amely eldönti van -e három olyan egyenes, amely a pontok mindegyikét tartalmazza. Beküldés: cimreh@inf.u-szeged.hu, Pszeudókód + futási idő igazolása első négy megoldó 8-8 pont 5
6 a második négy megoldó 4-4 pont A szerzett plusszpontok a vizsga minimumkövetelményébe nem számítanak bele. 6
Geometriai algoritmusok
Geometriai algoritmusok Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu Számos olyan gyakorlati számítási probléma van, amely megoldható olyan geometriai modellben, amelyben csak egyszerű objektumok, pontok, egyenesek,
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés 10. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés 10. előadás Belül(N,P,D): Külső pont(n,p,q) P(N+1):=P(1); Db:=0 Ciklus i=1-től N-ig Ha Metszi(P(i),P(i+1),D,Q) akkor Db:=Db+1 Ciklus vége Belül:=(Db mod 2)=1 Függvény vége.
RészletesebbenAlgoritmusok és adatszerkezetek II.
Algoritmusok és adatszerkezetek II. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 9. Geometriai algoritmusok Számos olyan gyakorlati számítási probléma
RészletesebbenGeometriai algoritmusok
Geometriai algoritmusok Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport horvath@inf.u-szeged.hu 2006. január 13. Számos olyan gyakorlati számítási probléma van, amely megoldható olyan
RészletesebbenGeometriai algoritmusok. pont helyzete, konvex burok, ponthalmaz legközelebbi és legtávolabbi pontpárja, metsző szakaszpárok keresése
Geometriai algoritmusok pont helyzete, konvex burok, ponthalmaz legközelebbi és legtávolabbi pontpárja, metsző szakaszpárok keresése pont helyzete, konvex burok, ponthalmaz legközelebbi és legtávolabbi
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenAdatszerkezetek I. 10. előadás
Adatszerkezetek I. 10. előadás Feladat: Adjuk meg, hogy az origóból nézve az 1. sík-negyedbe eső P ponthoz képest a Q balra, jobbra vagy pedig egy irányban látszik-e! 1, ha balra Irány(P,Q) = 1, ha jobbra
RészletesebbenGeometriai algoritmusok
(Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) 2012.02.07 2 Feladat: Adjuk meg, hogy az origóból nézve az 1. sík-negyedbe eső P ponthoz képest a Q balra, jobbra vagy pedig egy irányban látszik-e!
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenGEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenGEOMETRIAI FELADATOK 1. (ESETTANULMÁNY)
GEOMETRIAI FELADATOK 1. (ESETTANULMÁNY) Az esettanulmány Horváth Gyula: Geometriai algoritmusok c., az NJSzT által gondozott Tehetséggondozó Program keretén belül megjelent kötete alapján készült. 1 P
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenInformáció megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter
Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás Dr. Iványi Péter Raszterizáció OpenGL Mely pixelek vannak a primitíven belül fragment generálása minden ilyen pixelre Attribútumok (pl., szín) hozzárendelése
RészletesebbenEdényrendezés. Futási idő: Tegyük fel, hogy m = n, ekkor: legjobb eset Θ(n), legrosszabb eset Θ(n 2 ), átlagos eset Θ(n).
Edényrendezés Tegyük fel, hogy a rendezendő H = {a 1,...,a n } halmaz elemei a [0,1) intervallumba eső valós számok. Vegyünk m db vödröt, V [0],...,V [m 1] és osszuk szét a rendezendő halmaz elemeit a
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenÉrdekes informatika feladatok
K. L. Érdekes informatika feladatok XXVIII. rész A konvex burkoló (burok) Legyen S a Z sík egy ponthalmaza. S konvex, ha tetszőleges A, B S-beli pont esetén az AB szakasz is S-be esik. Legyen S a Z sík
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenAlgoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar
Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 0.1. Az algoritmikus tudás szintjei Ismeri (a megoldó algoritmust) Érti Le tudja pontosan
RészletesebbenA hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenRegresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenAz optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
Részletesebben9. Geometriai algoritmusok
9. Geometriai algoritmusok Számos olyan gyakorlati számítási probléma van, amely megoldható olyan geometriai modellben, amelyben csak egyszerű objektumok, pontok, egyenesek, szakaszok, szögek, szögtartományok,
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenPélda Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenSpecifikáció. B logikai formula, a bemeneti feltétel, K logikai formula, a kimeneti feltétel, A az algoritmus, amelyre az állítás vonatkozik.
Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt kimeneti adatot
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
RészletesebbenPélda Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK
ELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK 1. FELADATMEGOLDÁS PROGRAMOZÁSI TÉTELEKKEL 1.1 A programozási tétel fogalma A programozási tételek típusalgoritmusok, amelyek alkalmazásával garantáltan helyes megoldást adhatunk
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
RészletesebbenFeladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKupac adatszerkezet. A[i] bal fia A[2i] A[i] jobb fia A[2i + 1]
Kupac adatszerkezet A bináris kupac egy majdnem teljes bináris fa, amely minden szintjén teljesen kitöltött kivéve a legalacsonyabb szintet, ahol balról jobbra haladva egy adott csúcsig vannak elemek.
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBánsághi Anna 2014 Bánsághi Anna 1 of 68
IMPERATÍV PROGRAMOZÁS Bánsághi Anna anna.bansaghi@mamikon.net 3. ELŐADÁS - PROGRAMOZÁSI TÉTELEK 2014 Bánsághi Anna 1 of 68 TEMATIKA I. ALAPFOGALMAK, TUDOMÁNYTÖRTÉNET II. IMPERATÍV PROGRAMOZÁS Imperatív
RészletesebbenMinimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenSpecifikáció. B logikai formula, a bemeneti feltétel, K logikai formula, a kimeneti feltétel, A az algoritmus, amelyre az állítás vonatkozik.
Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt kimeneti adatot
Részletesebben10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
RészletesebbenElmaradó óra. Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek, ha. F feszitőfája G-nek, és. C(T) minimális
Elmaradó óra A jövő heti, november 0-dikei óra elmarad. Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v)
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenCsoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly
Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenMohó algoritmusok. Példa:
Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenAmortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
RészletesebbenCohen-Sutherland vágóalgoritmus
Vágási algoritmusok Alapprobléma Van egy alakzatunk (szakaszokból felépítve) és van egy "ablakunk" (lehet a monitor, vagy egy téglalap alakú tartomány, vagy ennél szabálytalanabb poligon által határolt
RészletesebbenProgramozási segédlet
Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen
RészletesebbenSzámjegyes vagy radix rendezés
Számláló rendezés Amennyiben a rendezendő elemek által felvehető értékek halmazának számossága kicsi, akkor megadható lineáris időigényű algoritmus. A bemenet a rendezendő elemek egy n méretű A tömbben
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenFerde kúp ellipszis metszete
Ferde kúp ellipszis metszete A ferde kúp az első képsíkon lévő vezérkörével és az M csúcsponttal van megadva. Ha a kúpból ellipszist szeretnénk metszeni, akkor a metsző síknak minden alkotót végesben kell
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenFeladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenTerületi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon) b) Minden belső pont kirajzolásával (kitöltött)
Grafikus primitívek kitöltése Téglalap kitöltése Poligon kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Kitöltés mintával Grafikus primitívek kitöltése Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl.
RészletesebbenGeometriai algoritmusok
(Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Feladat: Adjuk meg, hogy az origóból nézve az 1. síknegyedbe eső P ponthoz képest a Q balra, jobbra vagy pedig egy irányban látszik-e! Irány(P,Q)
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenA számítástudomány alapjai. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Bináris keresőfa, kupac Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
Részletesebben