10. évfolyam második epochafüzet

Átírás

1 0. évfolyam második epochafüzet (Másodfokú problémák, valós számok, négyzetgyök) Tulajdonos:

2 MÁSODIK EPOCHAFÜZET Tartalom I. Kuzus leírás... II. Egyenletrendszerek... III. Másodfokúra vezető problémák... 6 III.. ** Paraméteres egyenletek... IV. Valós számok... IV.. Racionális és irracionális számok tizedes tört alakja... IV.. Számhalmazok... 5 V. Hatványozás ismétlése... 7 V.. Műveletek hatványokkal... 7 V.. A negatív kitevőjű hatvány... 7 V.. Számok normálalakja... 8 V.. Vegyes feladatok hatványokra... 9 VI. Hatvány függvények... VII. Négyzetgyök... VII.. Négyzetgyök ismétlése... VII.. Négyzetgyök függvény... VII.. Műveletek négyzetgyökkel... 6 Kivitel a gyökjel alól... 7 Bevitel a gyökjel alá... 9 VII.. Gyöktelenítés... 0 Ha egytagú a nevező... 0 Ha kéttagú a nevező... VII.5. Feladatok függvényekkel... VIII. Egyenletek... VIII.. Egyenletek ekvivalenciája... VIII.. Négyzetgyökös egyenletek... 5 IX. Valószínűségszámítás... 9 IX.. Kombinatorikus valószínűség... 9 IX.. Geometrikus valószínűség... 0 X. Feladatgyűjtemény... Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek... Paraméteres egyenletek... 5 Valószínűség számítás... 6 Középszintű érettségi feladatok algebrából, függvényekből... 9

3 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK I. Kuzus leírás Fogalmak: gyökös kifejezések, értelmezési tartomány, egyenlőtlenség, lineáris egyenletrendszer, másodfokú egyenlet, másodfokúra vezető egyenletrendszer, gyökös egyenlet, paraméteres egyenlet, függvény, gyökfüggvény, függvény jellemzése, racionális, irracionális számok, kombinatorikus illetve geometrikus valószínűség Összefüggések: nevezetes szorzatok, műveleti tulajdonságok, a másodfokú egyenlet megoldóképlete, gyökös azonosságok, függvények és egyenletek közötti kapcsolat Eljárások: ekvivalens átalakítások, elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek megoldása, másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldása, lineáris és nemlineáris függvények vizsgálata, függvények ábrázolása, függvény-transzformáció, irracionális szám igazolása Az epocha értékelése: 70% az epochazáró A másik 0%-ot az epocha során feldolgozásra kerülő anyagrészekből írt résztesztek fogják adni. (5%-5%). További 0 pontot ér az órai aktivitás illetve a házi feladatok elkészítése. A százalékos eredmények átváltása jegyre: 0%-9% nullás (0) 0%-5% elégséges () 55%-69% közepes () 70%-8% jó () 85%-00% jeles (5)

4 MÁSODIK EPOCHAFÜZET II. Egyenletrendszerek. Fejezd ki az egyik egyenletből valamelyik ismeretlent, és az így kapott kifejezést HELYETTESÍTSD BE a másik egyenletbe, így keresd az alábbi egyenletrendszerek megoldását! a. + y y b y y c y y d y y e. + y y. A következő egyenletrendszereknél add össze, vagy vond ki egymásból a két egyenletet, hogy a kapott egyenletben már csak egy ismeretlen szerepeljen! Ha kell, szorozd meg az egyenleteket egy alkalmas számmal, hogy valamelyik változó EGYÜTTHATÓJA EGYENLŐ, vagy ellentettje legyen egymásnak a két egyenletben! a y y b y y c. + 9 y y d y y e y y f. y y. Az alábbi GRAFIKUS megoldásokhoz írd fel az egyenletrendszereket!. Oldd meg a következő egyenletrendszert az halmazon! 7

5 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 5. Mely,y-ra igazak? a. c. + y 0, 5 + 5y 7 + y 5 y y y + y + b. d. y 5 + y 6 y + y + 8 ( + )( y + 5) ( + )( y + 8) ( )( 5y + 7) ( 5 6)( y + ) 6. Teheráru szállítására alkalmas vagonokat állítanak egy mozdony mögé. Ha egy vagonra 5,5 tonna árút raknak akkor, tonnát nem tudnak berakni, ha viszont6,5 tonnát, akkor az utolsó vagonban még 8 tonna elférne. Hány vagont állítottak be a mozdony mögé, illete, hány tonna a szállítandó áru? 7. Egy társaság vacsorához készülődik egy étteremben, ha minden asztalhoz 0-en ülnek le az utolsó asztalnál szabad hely marad, ha viszont 8-an, akkor embernek nem jut hely. Hány fős a társaság, illtve hány asztalt foglaltak le? 8. Egy kirándulásra pénzt gyűjt egy csibe. Ha mindenki 7500 Ft-ot hoz be akkor a költségből 00 Ft hiányzik, ha viszont 8000 Ft-t, akkor 00 Ft többlet lesz. Hány fős a csibe? 9. Ha egy téglalap hosszúságát megnöveljük 6 m-rel, a szélességét pedig csökkentjük m-rel, akkor a téglalap területe nem változik. Nem változik akkor sem, ha a hosszát m-rel kisebbítjük a szélességét pedig,-gyel növeljük. Mekkorák a téglalap oldalai? 0. Ha két szám mindegyikéből -at elveszünk, akkor az első szám háromszorosa lesz a másodiknak. Ha viszont mindkét számhoz -t hozzáadunk, akkor az első szám kétszerese lesz a másodiknak. Melyik ez a két szám?. Ha egy tört számlálójához illetve nevezőjéhez is -t hozzáadunk a tört értéke lesz. Ha viszont a nevezőjéből egyet elveszünk lesz. Melyik ez a tört?. Ha egy tört számlálóját -vel növeljük akkor -et, ha viszont a nevezőjét növeljük -mal, akkor -et kapunk. Melyik ez a tört?. **Ha egy háromjegyű szám jegyeit fordítva írjuk le és az eredetiből kivonjuk a különbség 500 és 600 között lesz. A középső számjegy -mal kisebb a másik kettő összegénél, a százasok helyén álló számjegy négyzete -gyel nagyobb a másik két számjegy 9-szeresénél. Melyik ez a szám?. **Peti vásárolt egy körzőt, egy ceruzát és egy radírt. Ha a körző az ötödébe, a a ceruza a felébe, a radír kétödödébé kerülne, akkor 80 Ft-t, ha a körző felébe, a ceruza a negyedébe, a radír harmadába kerülne, akkor 0 Ft-t fizetett volna. Mennyit fizetett? Melyik volt a drágább a körző vagy a ceruza? 5

6 MÁSODIK EPOCHAFÜZET III. Másodfokúra vezető problémák 5. Felületesék építkezni akarnak. Most kezdik keresni a telket, és ehhez kérik a segítséget. Sajnos a kerítés fonatát már megvették, hossza 50 méter. A feltételek: a ) ha egy kedvező telket találnak, biztosan megveszik; b ) a telek téglalap alakú legyen; c ) a ház egyik oldala kerítésként is funkcionáljon, azaz a hossza egyezzen meg a telek egyik oldalának hosszával; d ) a kerítésfonatot fel kell használni, és többet nem lehet belőle venni; e ) a kert területe a lehető legnagyobb legyen! Add meg a telek méreteit! Kerítés hossza:.. 50 m Kert területe: t (a; b) t (a; b) egy kétváltozós függvény, ugyanis értéke a-tól és b-től is függ. Írd át úgy a t (a; b) függvényt, hogy vagy csak a-tól (t (a)), vagy csak b-től (t (b)) függjön az értéke! 6. Két piaci árus, Hagyma és Krumpli urak megállapodást kötnek. A megállapodás feltételei a következők: nem rontják egymás üzleti bevételét, ezért Hagyma úr csak hagymát, Krumpli úr csak burgonyát árul; naponta ketten együtt összesen 000 kg-nyi áru eladásával foglalkoznak; a hagyma ára a krumpli mennyiségének huszada; a burgonya ára a hagyma mennyiségének tizede Természetesen arra törekszenek, hogy külön-külön maimális bevételük legyen. Már előre kalkulálnak, hogy hány kg hagymát, ill. burgonyát kell eladni és mennyiért, hogy a bevételük a lehető legnagyobb legyen. Segíts megcsinálni a kalkulációt! 7. Tervezd meg leendő lakásodat! Az a legfontosabb, hogy a szobák összterülete a lehető legnagyobb legyen. A feltételek a következők: a falak összhosszúsága 90m; két kisebb és egy nagyobb szobát, valamint egy folyosót lehet kialakítani; a főgerendák hosszúságának az aránya 5 : ; a három szoba csak egymás mellett helyezkedhet el, mint például az ábrán; a folyosó szélessége a hosszabbik gerenda ötöde, hosszúsága csak egy gerenda hosszúságú lehet. 6

7 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 8. Ezek paraméteres másodfokú függvények, így a grafikonok tulajdonságainak jó része a p (paraméter) értékétől is függ. Határozd meg a p értékét úgy, hogy a ) az f() függvény szélsőértéke a helyen legyen; b ) a g() függvény érintse az tengelyt; c ) a h() függvény szélsőértéke legyen; d ) az f() függvény minden értéke pozitív legyen; e ) a g() függvény minden értéke negatív legyen; f ) a h() függvénynek két közös pontja legyen az tengellyel; g ) az f() függvénynek maimuma legyen; h ) a h() függvénynek minimuma legyen! 9. A télikabátokat a FER üzletben decemberben 500 Ft-ért és 800 Ft-ért árulták. Mivel a kabátok nem fogytak, bizonyos százalékkal leszállították az árukat. Januárban sem változott a helyzet, ezért még a télvégi kiárusítás előtt az előző árleszállításhoz viszonyítva kétszer akkora százalékkel szállították le a kabátok árát. Így az új ár 00 Ft, ill. 900 Ft lett. Hány százalékos volt a két árleszállítás külön-külön a kétféle minőségű kabátnál? 0. Jóskáék elhatározták, hogy takarékoskodnak. Januárban Ft-ot spóroltak meg Ezt az összeget betették a Postabankba. Sajnos legközelebb csak a következő év januárjában tudnak Ft-ot hozzátenni. A Postabank az infláció miatt 8%- kal megemelte az előző évi kamatot. Annyira nehezebbé váltak Jóskáék életkörülményei, hogy a következő év januárjában ki kellett venniük a bankból a pénzt. Szerencsére elég sokat, 0 90 Ft-ot kaptak. Hány százalékos kamatot fizetett a Postabank az első évben?. Alma, téglalap alakú kertéjének közepére, a kerítéstől mindenhol egyforma távolságra virágágyást szeretne telepíteni. Nem nagyon szereti a kerti munkát, ezért úgy gondolja, hogy a virágágyás területe csak 0%-a legyen az egész kert területének. Mekkorák a virágágyás oldalai, ha a kert méretei 5 m és 0 m?. Hány pontot kötött össze Péter, ha a pontok között nincs három olyan pont, amely egy egyenesbe esik; Péter minden pontot mindegyikkel összekötött; és az összekötések száma 5?. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a csúcsokat összekötő szakaszok száma 8? 7

8 MÁSODIK EPOCHAFÜZET. Hányan jártatok hatodikban egy osztályba, ha augusztusban mindenki kapott mindenkitől egy fényképet, és összesen 870 fénykép cserélt gazdát? 5. Jutka szilveszterre nagy társaságot hívott meg. Ebben a társaságban az a szokás, hogy mindenki mindenkivel kezet fog. Péter aki utálja ezt az egész ceremóniát számolta, hogy hány kézfogás volt. Elborzadt, ugyanis 780-at számolt meg. Hány főből állt a szilveszteri társaság? 6. Az NB I-es labdarúgó bajnokság őszi és tavaszi fordulójában együtt 0 meccset játszanak le a csapatok. Hány csapat vesz részt a bajnokságon? 7. Az egyik lakóközösség műholdas TV-rendszert akar kiépíteni. A rendszer kiépítése 000 Ft-ba kerül. Az utolsó pillanatban még két család csatlakozik hozzájuk, így a lakásonkénti befizetés 000 Ft-tal csökken. Hány család akarta eredetileg a TV-rendszert kiépíteni? 8. Előbb gondolkodj! Nem biztos, hogy a mechanikus megoldás célravezető! a ) b ) 7 c ) d ) e ) 5 0 f ) g ) h ) i ) Mely értékekre pozitívak a következő kifejezések? (Könnyebbé teszi a megoldást ha a kifejezést, mint függvényképletet kezeled, és vázlatosan ábrázolod a függvény grafikonját. Gondold meg, a függvény grafikonjának mely jellemzőire van szükséged!) a ) 0 b ) c ) 5 0. Mely -ekre igazak a következő egyenlőtlenségek? d ) 7 e ) A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! (Megint segít a vázlatos ábrázolás.) a ) b ) 6 c ) d ) 0 e ) 5 0 f ). A termelők a táp, a benzin stb. árának emelkedése miatt úgy megemelték a tejtermékek árát, hogy zuhanni kezdett a fogyasztás, és az áru ottmaradt a termelők nyakán. A termelők emiatt félszer annyi százalékkel csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték a tejtermék árát. Így pl. a vaj az eredeti áránál csak 8%-kal lett drágább. Hány százalékos volt az emelés?. Melyik az a tört, melynek nevezője -gyel nagyobb a számlálójánál; ha a számlálót -mal csökkentjük, a nevezőt pedig ugyanannyival növeljük, a tört értéke a felére csökken. 8

9 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK. Zsuzsi arról híres, hogy nagyon figyelmetlenül számol. Most is úgy szorzott össze két számot, melyek közül az egyik 0-zel nagyobb, mint a másik, hogy a tízesek szám -gyel kevesebb lett. A szorzást természetesen ellenőrizte; az eredményt elosztotta a kisebbik tényezővel, és így hányadosul 9-et, maradékul -t kapott. Milyen számokat szorzott össze Zsuzsi?. A következő egyenletekben lehet-e a paraméternek olyan értéket adni, hogy az egyenletnek csak egy megoldása legyen? (Emlékezz! A megoldások szám a diszkrimináns előjelétől függ!) a ) 0 b ) 5 0 c ) 0 (p a paraméter) (q a paraméter) (d a paraméter) 5. Óvatosék összespórolt pénzüket nem merik kockáztatni. Pénzüket Ft-ot beteszik az OTP-be. Mivel egy év múlva az OTP kamatlábat emel, pénzükhöz még 800 eft-ot hozzátesznek. Megint eltelik egy év, közben Óvatosék bátrabbak lesznek, és inkább részvényekbe akarják fektetni a pénzüket. Ezért kiveszik a bankból az összes pénzüket, Ft-ot. Átlagosan évi hány százalékos kamatot fizetett az OTP? 6. Ez év március elejéig Annának 0 e Ft-ja gyűlt össze. Nem akart otthon a párna alatt tartani, betette a bankba évi 8%-os kamatra. Június 0-án kiderült, hogy hirtelen szüksége van a pénzre, kivette. a ) Mennyit kapott? (Ilyenkor a bankok az úgynevezett egyszerű kamattal számolnak. Kiszámolják, hogy egy napra mennyi kamat, ill. hány százalékos kamatláb jut; ezt alkalmazzék annyi napra, ahány napig a pénz a bankban van. Minden hónapot 0 napnak, így egy évet 60 napnak tekintenek.) b )Anna nagyon kevésnek találja a kamatot. Elkezdte kiszámítani, hogy mennyi pénzt kapna akkor, ha a jövő év június 0-án venni ki a pénzét. Anna szerint így Ft-ot kapna. Igaza van-e? c ) És ha két év múlva július 0-án venni ki a pénzt, akkor mennyit kapna? 7. Nemtörődömék elég gazdagok. A múlt év január elején (talán ötödikén) kétmillió forintot tettek a Postabankba. Most, május 5-én felszólították őket, hogy május 0- ig fizessék vissza a tartozásukat. Elrohantak a Postabankba, és kivették a számlájukról a pénzt. Kaptak Ft-ot. Nagyon kevesellték, utána szerettek volna számolni, de fogalmuk sem volt, hogy a Postabank milyen kamatlábbal számolt. Segíts nekik! 8. Előrelátóék 900 e Ft tartalék pénzüket nem költik el mindenféle használati tárgyakra, hanem befektetik. Úgy döntöttek, hogy két évig nem vesznek ki és nem is tesznek be újabb pénzt ebbe az üzletbe. Jól jártak, ugyanis a második év végén a befektetett pénzük Ft lett. Számod ki, hogy ez évi hány százalékos kamatnak felel meg! 9

10 MÁSODIK EPOCHAFÜZET 9. Megadtunk egy paraméteres másodfokú egyenletet. Ez az egy kifejezés nagyon sok egyenletet jelent, ugyanis a benne szereplő p paraméter értékeit tetszés szerint változtathatjuk. 0 Készíts ebből egyenleteket úgy, hogy a ) ne legyen megoldása; b )két megoldása legyen; c ) egy megoldása legyen! 0. Mely (; y) számpárokra igaz? a ) 6 8 b ) 00 c ) 6. Szabóék betétkönyvében elmosódott, hogy három évvel ezelőtt mennyi pénzt tettek be az OTP-be. Most ki akarják váltani a pénzt. Az OTP-től Ft-ot (felkamatolt tőke) kaptak. Átlagosan évi 5%-os kamatot fizetett az OTP e három évben. Hány forintot tettek be Szabóék három évvel ezelőtt a bankba?. Oldd meg a következő egyenleteket úgy, hogy megfelelő helyettesítéssel visszavezeted másodfokúra! (Pl.: y vagy y ) a ) b ) + 0 c ) d ) e ) f ) g ) h ) *** Megfelelő helyettesítéssel oldd meg az egyenleteket! 6 a ) 8( + ) + 7( + ) 0 b ) 8( ) 5( ) 7 0 c ) ( + ) ( + ) d ) ( ) ( ) + e ) ( ) f ) ( )( ). *** Alkalmas helyettesítéssel ezek is másodfokúak lesznek. Oldd meg őket! a ) b ) c ) d ) Mely valós számpárok teszik igazzá az egyenleteket? a ) d ) + y + y + y 7 y 0 b ) e ) y y 8 y y 6 c ) f ) y + y 5 + y + y 0

11 III.. ** Paraméteres egyenletek MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 6. Add meg az egyenlet megoldását a b valós paraméter segítségével! ( ) + b + 7. Add meg az egyenlet megoldását a b valós paraméter segítségével! a+ a 8. Add meg az egyenletek megoldását az a, b, c és d valós paraméterek segítségével! a ) a b ) b + b 7 c ) c + d ) d d e ) ( ) a a 9 f ) c c 6 9. Milyen k R értéknél lesz az a ) 7 + k 0 egyenlet egyik gyöke (-)? b ) + k 5 0 egyenlet egyik gyöke 5? c ) k 0 egyenlet egyik gyöke? 50. Határozd meg c-t úgy, hogy a 8 + c 0 egyenletnek a ) két egyenlő gyöke legyen! b ) két különböző gyöke legyen! c ) ne legyen valós gyöke! 5. A p valós paraméter mely értékeire lesznek az adott egyenlet gyökei egyenlők? Ellenőrizd a megoldást! 8 p p p A p paraméter mely értékei esetén van megoldása a következő egyenletnek? + p 5. Ábrázolás nélkül határozd meg! a) Az f ( ) + 5 és g( ) függvények értékkészletét! b) Az f ( ) + 5 és g( ) 9 +, 75 függvények szélsőértékét! c) Az f ( ) 5 + függvény szigorúan monoton növekvő szakaszát! d) Az f ( ) 6 + függvény szigorúan monoton csökkenő szakaszát!

12 MÁSODIK EPOCHAFÜZET IV. Valós számok IV.. Racionális és irracionális számok tizedes tört alakja 5. A számegyenes [0; ] intervallumán egy öröklétű, de fáradékony bolha ugrál. Másodpercenként egyet ugrik. A 0-ból indul, és az első ugrással a -be jut: A -ben visszafordul, és a 0-ig tartó utat két egyenlő hosszú ugrással teszi meg: A 0-ban ismét visszafordul, és mivel fáradékony a bolha, most még kisebbeket ugrik, három egyenlő ugrással jut a -be: a ) Továbbra is hasonlóan ugrál a bolha. Visszafelé négy ugrással jut a -be. Jelöld a bolha útját! b ) Majd a -ből öt ugrással jut el a 0-ba. Jelöld! c ) A bolha,örökéletű lévén az ugrálást sohasem hagyja abba. Eljut-e az,,, 7 8 pontokhoz? Indokolj! d ) Eljut-e a bolha legalább egyszer a [0; ] intervallum minden pontjába? Válaszod indokold! e ) Most vizsgáljuk a [0; ] intervallum levő racionális számokat! Ilyenek pl.: ,,,,,,, Eljut-e a bolha a számoknak megfelelő pontba? Írd át ezeket a számokat tizedes tört alakba! Csoportosítsd őket aszerint, hogy tizedes tört alakjuk véges vagy végtelen, szakaszos vagy nem szakaszos! 55. Vizsgáljuk most a racionális számok tizedes tört alakját! Alakítsd át a következő törteket!

13 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 7 a ) 0 b ) 5 5 c ) 0 d ) 0 97 e ) 5 9 f ) 6 g ) 6 h ) 8 00 i ) 7 j ) Írd be az előző számokat tört alakban a halmazábrába! Végtelen a tizedes tört alakja Szakaszos Számok Véges a tizedes tört alakja Tiszta szakaszos Fogalmazd meg tapasztalataidat! a ) Ha egy tört tovább nem egyszerűsített alakjának a nevezője...., akkor tizedes tört alakja véges. b ) Ha egy tört tovább nem egyszerűsített alakjának a nevezője...., akkor tizedes tört alakja végtelen szakaszos. c ) Ha egy tört tovább nem egyszerűsített alakjának a nevezője...., akkor tizedes tört alakja végtelen, tiszta szakaszos. d ) Írj a halmazábra minden részébe további egy-egy törtet! e ) Van-e olyan része a halmazábrának, ahová nem került tört? Miért? 57. Bizonyítsd be, hogy minden tovább már nem egyszerűsíthető, 7 nevezőjű tört tizedes tört alakja végtelen szakaszos, és a szakasz nem állhat hatnál több jegyből! 58. ** Bizonyítsd be, hogy csak azoknak a törteknek véges a tizedes tört alakja, amelyeknek a tovább már nem egyszerűsíthető tört alakjában a prímtényezős felbontásban a -n és 5-ön kívül más prímszám nem szerepel! 59. Keresd meg a következő végtelen szakaszos tizedes törtek két egész szám hányadosaként felírt alakját!

14 MÁSODIK EPOCHAFÜZET 0, & 0, & 0,0 & 0, & 0,6 && 60. Térjünk most vissza az örökéletű bolhára! Írj olyan számot, amely a [0; ] intervallumban van, és tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos! Eljut-e a bolha a számnak megfelelő pontba? 6. Csoportosítsd a következő számokat aszerint, hogy eljut-e vagy sem a bolha a számnak megfelelő pontba! Indokolj is! 9,65; 0,000000; 0, 957 ; ,9; 0,... ; ; ;, Definíciók: Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, ahol a nevező nem nulla, racionális számoknak nevezzük. Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. A racionális számok mindig felírhatók véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört alakban, illetve a véges vagy végtelen tizedes törtek mindi felírhatók két egész szám hányadosaként. 6. Igaz-e, hogy a irracionális szám, azaz nem írható fel két egész szám hányadosaként? Állításod indokold! (Segítség: Próbálj abból kiindulni, hogy mi p lenne, ha fel tudnánk írni két egész szám hányadosaként, vagyis, ahol az q egy tovább nem egyszerűsíthető alak, vagyis p és q relatív prímek. Emeld négyzetre az egyenlőség mindkét oldalát, és vizsgáld a p és q számok párosságát!)

15 6. Adjuk meg a közelítő értékeit, különböző pontossággal: < <, mert MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK < <, < <,5, mert,96 < <, 5, < <,, mert,98 < <, 06 Ez azt jelenti, hogy a nem is létezik, hiszen nem tudjuk megadni a pontos értékét? Mielőtt válaszolnál, keresd meg a következő feladat megoldását! 6. Az ábrán egy egységnyi területű, négyzet alakú halastó látható. Úgy kétszerezd meg a területét, hogy ne kelljen kivágni a sarokban álló nyírfákat, és az új halastó is négyzet alakú legyen! 65. Keresd meg a helyét a számegyenesen! Szerkesztéssel próbálkozz, segít az előző feladat! (A füzetbe dolgozz!) 66. A következő rajz segít bármely egész szám négyzetgyökének a megszerkesztésében. Próbáld ki a füzetedben! IV.. Számhalmazok 67. Határozd meg, hogy melyik betű milyen számhalmazt jelöl, és sorolj fel néhány példát is az elemei közül! a ) N: b ) R: c ) Q* : d ) Q - : e ) Z: 5

16 MÁSODIK EPOCHAFÜZET 68. Címkézd meg a halmazokat, a számhalmazok szokásos betűjelével, és írj példát az egyes tartományokba! 69. Helyezd el a számokat a fenti halmazábrában! 0;,5; 60 ; π ; ;,005 ; ; ; ; 0,000 ; 5 π ; 6

17 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK V. Hatványozás ismétlése V.. Műveletek hatványokkal 70. Add meg a számok legegyszerűbb alakját! Számolj prímtényezőkkel és a hatványozási azonosságokkal! (A b)-ben és d)-ben először végezz prímtényezős felbontást!) Dolgozz a füzetbe! a ) 5 c ) b ) d ) Számolj gyorsan és ügyesen, számológép használata nélkül! 5 a) 5... b) c)... d) V.. A negatív kitevőjű hatvány 7. Írd fel a számokat negatív kitevő nélkül! a ) 5 5 ( 5 ) 7 b ) 5 y ( ) 7. Számítsd ki! 5 a) 8 b) 6 5 c) 6 5 d) 5 e) 00 f) g) 0,0 h) 5 9 i) 0, j) Fejtsd meg, melyik számot kell a) kilencedik hatványra emelni, hogy b) hatodik hatványra emelni, hogy c) tizenhatodik hatványra emelni, hogy d) nyolcadik hatványra emelni, hogy e) harmadik hatványra emelni, hogy 8 -t kapjunk; 7 -t kapjunk; 8 6 -t kapjunk; 8 -nél kisebb számot kapjunk; -nél nagyobb számot kapjunk! 7

18 MÁSODIK EPOCHAFÜZET V.. Számok normálalakja 75. Írd fel az adatokat normálalakban! a ) A Föld és az Androméda köd távolsága: km (Az SI mértékrendszerben méterben kellene felírni, tedd meg ezt is!) b ) A Nap tömege: kg c ) Egy szénatom súlya: 0, g d ) g hidrogénben számú atom van. 76. Írd fel az adatokat normálalakban! a) A Nap-Föld közepes távolság: km b) Az Egyenlítő hossza: km c) A proton tömege: 0, g d) Az elektron tömege: 0, g e) A sárga fény hullámhossza: 0, m 77. Számolj normál alakokkal! a ) Az elektromos vonzást az Coulomb törvény írja le, ahol 9 0. Mekkora erővel taszítja egy mást két cm-re lévő elektron? b ) Mekkora erővel vonza egymást egy cm-re lévő proton és egy elektron? c ) A tömegvonzás általános törvénye, ahol,8 0. Mekkora erővel vonza a Nap a Földet? 78. Érdekes számítások: a) Mekkora lenne a Föld tömege, ha színaranyból lenne? (A föld térfogata: kb. kg 0 m, az arany sűrűsége: 9,.) dm b) Egy érett mákgubóban kb. 000 mákszem van. Ideális körülmények között a következő nyáron akár mindegyikből nőhet egy új tő, amely legalább egy gubót tartalmaz. Mennyi idő múlva borítaná mák az egész földet, ha 00 mákszem felülete mm? (A szárazföldek felszíne összesen kb. 5 millió km.) c) A Kossuth rádió hullámhossza kereken 555 m. Hányszorosa ez a sárga fény hullámhosszának? d) Hány méter egy fényév? 8

19 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK V.. Vegyes feladatok hatványokra 79. Rendezd növekvő sorrendbe a számokat! (Alakítsd át úgy a számokat, hogy látható legyen a nagyságuk viszonya! A füzetbe dolgozz, az átalakításokat is írd le! A számológép használata itt nem érvényes.) Segítség: az a)-ban mindent írj át -nak a hatványaként, a b)-ben normálalakba! a ) ; ; ; ; 7 0 ; ; 7 ; ; b ) 0,000 05;, ; 7 76 :0 ; 0, ; 80. Rendezd növekvő sorrendbe! 5 5 ; 0 0 ; 5 ; ; ; ; 8. Mit írhatunk helyébe, hogy az egyenlőség igaz legyen? 5 @ a) 6 @ d) e) f) > 5 g) < 0, Vizsgáld meg, hogy az összeadás és a szorzás műveleti azonosságai a felcserélhetőség (kommutativitás) és a csoportosíthatóság (asszocivitás) érvényesek-e a hatványozás esetében is! Azaz igaz-e, hogy? (Állításodat indokold is!) 5 5, illetve ( ) ( ) 8. Tudjuk, hogy. Számold ki a következő kifejezések pontos értékét! + a. b. c. d. e f. g Tudjuk, hogy. Számold ki a következő kifejezések pontos értékét! 9 a. + b. c. d. 9 e. 9 f. + g

20 MÁSODIK EPOCHAFÜZET A hatvány: Hatványozás, hatványozási azonosságok n + a, n N Egy olyan n-tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. Ha n, akkor a a. Az a a hatvány alapja, n a kitevő, az eredmény, amit a művelet elvégzése után eredményként kapunk az a hatványérték. Hatványozási azonosságok: Azonos a hatvány alapja:.).) a a a Azonos a hatvány kitevője: k l k+ l.) a k b k ( a b) k a a k k l a l, l k > és a 0.) a b k k k a és a 0; b 0 b de vigyázz: a Hatvány hatványozása: a k k l 5.) ( ) k k l ± b a b ; ( ) k l k± l ± a a ; a k ( ± ) k l a, a a k l A negatív kitevőjű hatvány Megállapodás szerint: a 0 n a n a ahol a a 0 kivételével bármilyen szám lehet. Miért állapodnak meg így a matematikusok? Azért, mert Pl. a : a és a hatványozás azonosságai szerint 0 a ; 5 a : a a a vagy a a a a 5 5 a a Ezzel a megállapodással a hatványozás azonosságai is érvényben maradnak (permanenciaelv). Normál alak: Ha egy számot, olyan kéttényezős szorzatként írunk át, hogy az egyik tényező és 0 közé essen (lehet is), a másik tényező pedig 0 valamilyen egész kitevős hatványa (akár pozitív, akár negatív) legyen. 0

21 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK VI. Hatvány függvények 85. Ábrázold egy koordináta rendszerben az Mit tapasztalsz? A hatvány kitevője és a konveitás milyen kapcsolatban van? Ha egy függvény tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre, akkor páros függvénynek hívjuk. Ebben esetben, ha adott két értelmezési-tarománybeli elem, ami egymás ellentettje, ; É és,. Ha egy függvény középpontosan szimmetrikus az origóra, akkor páratlan függvénynek hívjuk. Ebben esetben, ha adott két értelmezési-tarománybeli elem, ami egymás ellentettje, ; É és,. Milyen függvény a párosság szempontjából az abszolút érték illetve a reciprokfüggvény? Ábrázold a ; függvényt és jellemezd! ÉT ÉK ZH SzÉ menete konveitás paritás TM

22 MÁSODIK EPOCHAFÜZET VII. Négyzetgyök VII.. Négyzetgyök ismétlése 87. Rajzolj a füzetedbe egy négyzetet, melynek oldala 7 négyzetrács! Az oldalakat oszd fel az ábra szerint! a) Mekkora a nagy négyzetnek a területe? b) Mekkora a kisebb négyzet területe? c) Mekkora lehet a kicsi négyzet oldalának a hossza? (Mérd meg!) 88. Rajzolj a füzetedbe egy négyzetet, melynek oldal cm hosszú (ez négy négyzetrács)! f) Mekkora ennek a négyzetnek a területe? g) Kösd össze az oldalainak a felezőpontját! Így egy kisebb négyzethez jutottál. Mekkora enne a területe? h) Mekkora lehet a kicsi négyzet oldalának a hossza? (Mérd meg!) Emlékeztető: A 5 egység területű négyzet oldalának hossza 5 egység. Ez azért igaz, mert az oldal hosszát négyzetre emelve a területhez jutunk. A egység területű négyzet oldalának a hosszát nem tudjuk pontosan megmondani, mert nem ismerjük azt a számot, amit négyzetre emelve kettőt kapunk. Jelöljük ezt a számot így:. Ezt négyzetgyök kettőnek olvassuk. A egy irracionális szám (nem írható fel két egész szám hányadosaként). Értéke:,... (Végtelen, nem szakaszos tizedes tört.) Az előző négyzet oldalát (az 5-öt) is felírhatjuk a most bevezetett jelöléssel: 5 (négyzetgyök 5). Ez a szám racionális, értéke: 5 5. Általánosan: Az a értéke és a egy olyan szám, amit ha négyzetre emelünk, akkor a -t kapunk. a értéke sem lehet negatív.

23 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 89. Számítsd ki a következő műveletek eredményét! Jelöld meg azokat, amelyeket számológép nélkül is ki tudnál számolni! a) 9 b) 5 c) 6 d) e) f) 6 g) 0 h) 00 i) 6 j) 8 k) 75 l) 0, 5 m) 0, 0 n) 0, 5 o) 0, 9 p) 0, Számold ki számológép használata nélkül a kifejezések pontos értékét! a ) 6 b ) 800 c ) 600 d ) 600 e ) 0000 f ) 0,0 g ) h ) i ) 60 0 j ) 0,6 k ) 900 l ) 0,000 m ) 0,006 n ) 0,5 o ) 6 0 p ) 0,00006 q ) 0,006 r ) 0,05 8 s ) 6 0 t ) 0 u ) 9. Oldd meg az alábbi egyenletet! Ellenőrizd a megoldás helyességét! ( ) Egy téglalap egyik oldala épp háromszor akkora, mint a másik. Mekkora a két oldala, ha területe 7 cm? 9. Mekkora annak a kockának az éle, melynek felszíne 5 dm? 9. Egy négyzet alapú egyenes hasáb alakú vázába 0,8 liter víz fér. Mekkora az alapéle, ha magassága 0 cm? 95. Egy szabályos kör alakú virágágyás területe, m. Mekkora a kör sugara? 96. Egy téglalap alaprajzú szobába 6 m levegő fér. A szoba magassága méter, szélessége a hosszának 75%-a. Mekkora a szoba két oldala?

24 MÁSODIK EPOCHAFÜZET VII.. Négyzetgyök függvény 97. Ábrázold az a négyzetgyökfüggvényt! Ha szükséges, készíts értéktáblázatot! Rajzold be a koordináta tengelyeket a négyzetrácsra! Hogyan érdemes megrajzolni ezeket? Milyen szabályt fedezhetünk fel, ami alapján könnyen tudunk gyökfüggvényt ábrázolni? Jellemezd a függvényt a tanult szempontok szerint! ÉT ÉK ZH TM MIN h; é MAX h; é Csökke nő Növek vő paritás konve itás 98. Ábrázold közös koordináta rendszerben az egy sorban lévő függvényeket: a : a b : a + c : a d : a + e : a f : a g : a h : a + i : a + i : a j : a k : a 5 Vizsgáld meg az értelmezési tartományokat és az érték készleteket!!!! Írd le az ábrázolás mellé!

25 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 99. Ábrázold a betűjelednek megfelelő függvényeket! Mindegyiknél gondold végig, hogy mi az alapfüggvény, és milyen transzformációs lépésekkel kapod meg annak grafikonjából az ábrázolni kívánt függvény grafikonját! a : a + b : a + c : a + d : a + e : a + f : a + Jellemezz legalább kettőt az ábrázolt függvények közül a füzetedben! 00. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a : [ ;] R a + + b : ] ;] R a c : [,0[ R a + d : ] ;] R a + 0. Add meg a következő függvények hozzárendelési szabályát! 5

26 MÁSODIK EPOCHAFÜZET VII.. Műveletek négyzetgyökkel 0. Igaz-e? Válaszod indokold is! a ) b ) 5 5 c ) d ) e ) 6 6 f ) g ) h ) 5 5 i ) j ) k ) 00 l ) ( ) Számold ki, de ne használj számológépet! (Lehet gyökös a végeredmény is.) 5 a ) 7 b ) 5 c ) 7 d ) ( 5 ) 8 f ) e ) ( ) 6 g ) h ) i ) 8 j ) 6 + k ) 7 7 l ) Válogasd szét az állításokat, hogy tetszőleges a és b esetén igazak, vagy nem mindig igazak! a ) a b a b b ) a + b a + b c ) a b a b d ) a b a b k e ) ( a ) a f ) ( a ) a k 6

27 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 05. Fogalmazd meg, hogyan lehet négyzetgyökös kifejezéseket összeadni kivonni szorozni osztani hatványozni A négyzetgyökvonás azonosságai: I. a b a b, ahol a 0 és b 0 vagyis szorzatból tényezőnként is lehet négyzetgyököt vonni II. a a, ahol a 0 és b > 0 b b vagyis hányadosból úgy is vonhatunk négyzetgyököt, hogy a számláló gyökét elosztjuk a nevező gyökével k a a, ahol a 0 III. ( ) k vagyis a négyzetgyökvonás és a hatványozás sorrendje felcserélhető, amennyiben az alap nemnegatív szám. Vigyázz! Összeg és különbség négyzetgyökéből tagonként gyököt vonni tilos! 06. Keresd meg az egyenlőket, de számológépet csak végszükség esetén használj! Írd le egymás mellé az egyenlőket a füzetedbe! Kivitel a gyökjel alól 07. A gyökjel alatti számokat bonts fel úgy két tényezőre, hogy az egyik tényező négyzetszám legyen (a lehető legnagyobb)! Pl.: 50 5 a ) b ) 75 c ) 6 d ) 7 e ) 80 f ) 00 g ) 08 h ) 98 i ) 7 j ) 0 k ) l ) 507 7

28 MÁSODIK EPOCHAFÜZET 08. A következőket bontsd tényezőkre úgy, hogy egy egész és egy gyökös kifejezés szorzata legyen, és a gyök alatt a lehető legkisebb természetes szám álljon Pl.: e ) f ) 000 g ) 8 h ) i ) j ) 56 k ) 5 l ) m ) 60 b n ) a o ) 7 a p ) 0 b 09. Az előző feladatban végzett átalakításokat gyökjel alól való kivitelnek nevezzük. Fogalmazd meg, hogy hogyan kell végezni ezt az átalakítást! Miért érdemes ezt az átalakítást ismerni? (Gondolj arra, hogyan lehet elvégezni a + 7 összeadást!) 0. Melyik szám a nagyobb? Ne használj számológépet a döntéshez! 9 a ) 5 vagy 0 b ) vagy c ) 5 vagy 80 d ) vagy e ) 0, 0 vagy 0 0, f ) vagy 6 + g ) 8 vagy 8 h ) 7 6 vagy 6. Hol rejtőzik természetes szám? (Azonosságokat használj, ne számológépet!) 9 5 c ) 7 8 d ) 6 e ) ( ) f ) 98 g ) ( + ) ( ) h ) j ) ( ) i ) 50 7 l ) ** k ) ( + ) m ) ( 7 ) ( 7 + ) n )** ( 5 ) ( 75 + ). Jelöld a számokat a számegyenesen! (Számológépet nem ér használni.) a ) 7 b )

29 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK c ) ( ) 8 8 d ) e ) g ) ( ) ( 7 5) f ) ( + 8) 5 h )** Igaz-e? (Tudod, számológép ø) a ) 5 ( + ) 75 0 b ) ( 0 + 0) 0 c ) ( ) ( 6 5) d ) ( ) e ) ** f ) ** 0 6 g ) ( ) 0 + h )** Bevitel a gyökjel alá. Írd fel a következő kifejezéseket egyetlen szám négyzetgyökeként! (Pl.: 6 ) a ) 5 b ) 0 : c ) 7 d ) 9 e ) 5 f ) 6 g ) h ) 7 i ) j ) k ) 5 a l ) Ha egy szorzatban vagy hányadosban gyökös és nem gyökös tényezők is vannak, akkor a négyzetgyök definíciója alapján a nem gyököst is felírhatjuk gyökjellel (pl.: ), és ezután a négyzetgyökvonás azonosságainak segítségével közös gyökjel alá írhatjuk. Ezt az eljárást gyökjel alá bevitelnek nevezzük. 5. Számológép használata nélkül döntsd el, hogy melyik szám a nagyobb! (Segít az összehasonlításban, ha a gyökjel alá bevitel módszerével átalakítod a kifejezéseket.) a ) 7 vagy b ) 6 vagy 0 9

30 MÁSODIK EPOCHAFÜZET VII.. Gyöktelenítés 8 0 Keressük a következő kifejezés pontos értékét: ( + 5) Ó, hát ez nagyon könnyű mondja Peti, csak törteket kell összevonni, tehát először hozzunk közös nevezőre: ( 5 ) 0( 5 + ) ( )( ) ( + 5) De hát ez szörnyű bonyolult kifejezés lett, lehet, hogy ezt nem is tudom kiszámolni? Könnyebben boldogulna Peti, ha a nevezőben nem szerepelnének négyzetgyökös kifejezések. Nézzük meg, hogyan lehet ezt megoldani! Ha egytagú a nevező Próbálkozzunk a következő két törttel! A 7 Az egyik lehetőségünk, hogy négyzetre emelünk, átalakítunk, majd az egyszerűbb alakból gyököt vonunk, hogy ne változzon az eredeti szám értéke: A, amiből az A. Ez megfelelő alak. B, amiből a B B. Itt a nevező nem lett gyöktelen. Másik lehetőség, hogy a nevezőben lévő gyökös kifejezéssel megszorozzuk a számlálót és a nevezőt is, így a tört értéke nem változik, viszont a nevezőből eltűnik a gyök: 7 A B ( ) ( ). Ugyanoda jutottunk, mint az előző esetben.. Ez olyan tört, aminek a nevezőjében nincs négyzetgyök. Az utóbbi módszer minden esetben célravezetőbb, és általában egyszerűbb. Ezt használjuk a nevező gyöktelenítéséhez, ha egytagú a nevező.. 0

31 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 6. Gyöktelenítsd a feladatban szereplő törtek nevezőjét, majd a végeredményt hozd a legegyszerűbb formára! 5 7 a ) b ) c ) d ) e ) 5 f ) 5 g ) 6 7 h ) i ) 6 5 j ) 7 5 k ) l ) 5 7 m ) n ) o ) 8 p ) 9 7 Ha kéttagú a nevező Most nézzük a törtet! Három lehetőség kínálkozik, végezd el az átalakításokat, + majd döntsd el, hogy melyiket érdemes használni! () + (Ne feledd, hogy az ()-ből a végén még gyököt kell vonnod!) + () + + () + Ha helyesen dolgoztál, akkor kétségtelen számodra, hogy a () módszer a jó. 7. Gyöktelenítsd a feladatban szereplő törtek nevezőjét, majd a végeredményt hozd a legegyszerűbb formába! (A füzetbe dolgozz!) 9 8 a ) b ) c ) d ) e ) f ) g ) h ) + 7 i ) j ) 8 k ) l ) m ) n ) + o ) p ) + 8. Most térjünk vissza a fejezet elején felmerült számítási feladathoz! Add meg a műveletsor eredményét! ( 5 ) 0( 5 + ) ( )( ) ( + 5)

32 MÁSODIK EPOCHAFÜZET VII.5. Feladatok függvényekkel 9. Mely értékekre van értelme az alábbi kifejezéseknek? 0. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! 6 5 a ) f ( ) b ) f ( ) + c ) f ( ) + d ) f ( ) e ) f ( ) + f ) f ( ). Az ábrán egy madár szárnyait látod, aki a (-;0) pontban van. Mely függvényekkel lehet leírni a szárnyát?. A következő geometrikus görbéket mely függvények írják le?. **Ábrázold és jellemezd a függvényeket! a ) b ) c ) d ) d( ) e ) e( ) f ) f ( ) 0, ha ( ) ha < ha < < ha < 0 ha >.

33 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK VIII. Egyenletek VIII.. Egyenletek ekvivalenciája. Egyenértékűek-e a következő egyenletek: f) 0 és 0 ha g) 0 és 0 ha h) 7 és 7 ha,5 i) 7 és 7 ha j) 0 és 0 ha 5. Igaz-e? (Válaszod írásban indokold!) k) Az feltevésből következik, hogy 9, és fordítva: az 9 feltevésből következik, hogy. l) Az 7 feltevésből következik, hogy 0, és fordítva: az 0 feltevésből következik, hogy 7. m) Az feltevésből következik, hogy az feltevésből következik, hogy., és fordítva: n) Az feltevésből következik, hogy 9, és fordítva: az 9 feltevésből következik, hogy. 6. A következő állításokból keresd ki azokat, amelyeknél az egyik állításból következik a másik, és fordítva; a másikból is következik az egyik! Tegyél nyilat a helyes következtetés irányába! a ) 8y és 8y b ) 8y és 8y és y 7 c ) ( y) 9 d ) ( y) 9 és y 7 e ) y + és 5 y f ) y + és y + g ) y + és y h ) y + és y + y i ) y + és j ) y > és y > 6 k ) y > és y > 6 l ) y > és > y m ) + y és ( ) y n ) y és y + o ) y és y p ) 5 y és 5 y

34 MÁSODIK EPOCHAFÜZET TUDNIVALÓ Az olyan összetett állításokat, amelyeknél az egyik állítás igazságából következik a másik állítás igazsága, és fordítva; a másik állításból következik az egyik állítás igazság, ekvivalens (egyenértékű) állításnak nevezzük. Most fordítsuk le az ekvivalens állítás meghatározást az egyenletek nyelvére! Az egyenleteket megoldásuk közben átalakítjuk: az eredeti egyenlet helyett újabb és újabb egyenleteket írunk. Az átalakítások során végül eljutunk egy olyan egyenlethez, melyből már egyszerűen le lehet olvasni a gyököt vagy gyököket vagy azt, hogy az egyenletnek nincs megoldása. A leolvasott gyökök azonban csak az utolsó egyenlet megoldásai. Az a kérdés tehát, hogy az eredeti egyenletnek is megoldásai-e, azaz, ha az utolsó egyenletnek kiszámítottuk a gyökeit, akkor azok gyökei-e az eredeti egyenletnek is, vagyis az utolsó egyenlet ekvivalens-e az eredetivel? Ha tudjuk, hogy az egyenlet megoldása során mindegyik átalakítás olyan volt, hogy közben nem változtak a gyökök, akkor ekvivalens átalakításokat végeztünk, és egymással ekvivalens egyenleteket kaptunk. 7. Nézd végig az előző feladat egyenleteit/egyenlőtlenségeit, és ennek alapján add meg az ekvivalens és a nem ekvivalens átalakításokat! (pl.: Ekvivalens átalakítás, ha mindkét oldalhoz ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést hozzáadjuk. Nem ekvivalens, ha mindkét oldalt egy ismeretlennel megszorozzuk.) Ekvivalens átalakítások: Nem ekvivalens átalakítások:

35 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK Az egyenletek megoldása során előfordulhat, hogy nem lehet úgy a megoldás felé haladni, hogy ekvivalens átalakításokat végzünk. Előfordulhat például, hogy egy átalakítás után az új egyenletnek olyan szám is gyöke, amely az eredeti egyenletnek nem volt gyöke. Ezt hamis gyöknek nevezzük. A hamis gyököket kiszűrhetjük, ha a gyököket összevetjük az eredeti egyenletben szereplő kifejezések értelmezési tartományával; vagy ha az eredeti egyenletbe visszahelyettesítéssel ellenőrzünk. Például: ha a egyenlettel a szokásos lépéseket elvégezzük, akkor az eredményhez jutunk. Ha ezt az eredeti egyenletbe visszahelyettesítjük, akkor a törtek nevezője nulla lesz, ami nem értelmezhető, vagyis ez a szám nem megoldása az eredeti egyenletnek. Ha a megoldás előtt vizsgáljuk az értelmezési tartományt, akkor az kikötéshez jutunk, vagyis rögtön észrevehetjük, hogy a kapott eredmény nem lehet megoldás az eredeti egyenletnek. Előfordulhat az is, hogy a megoldáshoz vezető lépéseink során kiesik az eredeti egyenletnek egy vagy több gyöke, tehát az új egyenletnek ezek már nem megoldásai. Ilyenkor gyökvesztésről beszélünk. Például: ha az 0 egyenletet -szel elosztjuk, akkor az 0, vagyis az megoldáshoz jutunk. Visszahelyettesítés után látszik, hogy ez valóban megoldása az egyenletnek, de nem az egyetlen. Ránézésre tudható, hogy az eredeti egyenletet az 0 szám is igazzá teszi. Ha a gyökvesztést el szeretnénk kerülni, akkor inkább a szorzattá alakítást kell választanunk a megoldás során: ( ) 0, amiből közvetlenül leolvasható a két megoldás. Vagy esetleg mérlegelni kell amikor ismeretlennel osztunk, hogy a nullával való osztás miatt veszítünk-e gyököt. Az egyenletek/egyenlőtlenségek megoldása során célszerű arra törekedni, hogy olyan átalakításokat használjunk, amelyek ekvivalensek, ha ez nem lehetséges, akkor kellő alapossággal járjunk el! Gondos mérlegeléssel a gyökvesztés mindig elkerülhető, a végén ellenőrzéssel pedig a hamis gyökök kiszűrhetők. VIII.. Négyzetgyökös egyenletek 8. Oldd meg a következő egyenleteket! A megoldást minden esetben az értelmezési tartomány meghatározásával kezd! a ) 9 b ) c ) d ) e ) 5 0 f ) + 0 g ) h ) 5 i ) j ) 5

36 MÁSODIK EPOCHAFÜZET 9. Töltsd ki a totót! Az egyenletek helyes megoldását kell megadnod. Egyenletek., ahol 0 nem értelmezhető 9 9., ahol , ahol 9., ahol , ahol , ahol , ahol 8. ( ) 9. ( ) 5 7, ahol minden valós szám 8 negatív valós szám 7 nempozitív valós szám, ahol R 5 5 nincs megoldás 0., ahol ±. 5, ahol 0 nincs megoldás , ahol. ( ) nincs megoldás, ahol 0 nincs megoldás +., ahol R minden valós szám negatív valós szám nempozitív valós szám 0. Bálint elolvasta a következő egyenleteket, és úgy gondolta, hogy nem is érdemes megoldani, mert úgysincs megoldásuk. Bizonyítani nem tudta. Segíts neki! a ) 6 b ) c ) d ) * e ) * f ) * + +. Oldd meg az egyenleteket! (Ne feledd az értelmezési tartomány vizsgálatát!) a ) + 0 b ) + c )** d ) e ) 0 6 f ) **

37 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK. Oldd meg az egyenleteket! c ) 5 + d ) e ) f ) 5 6 g ) h ) *** Oldd meg az egyenleteket! a ) b ) c ) d ) e ) f ) a) Ábrázold egy közös koordinátarendszerben az f ( ) és a g( ) függvényeket! b) Olvasd le a grafikonok metszéspontjait! Ennek segítségével add meg a egyenlet megoldását! c) Visszahelyettesítéssel ellenőrizd, hogy a leolvasott érték valóban igazzá teszie az egyenletet! 5. a) Ábrázold egy közös koordinátarendszerben az f ( ) + és a g( ) függvényeket! b) Olvasd le a grafikonok metszéspontjait! Ennek segítségével add meg a + egyenlet megoldását! c) Visszahelyettesítéssel ellenőrizd, hogy a leolvasott érték valóban igazzá teszie az egyenletet! 6. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket! a ) b ) + + c ) + d ) Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! Használd az előző feladatban készített ábrákat! a ) b ) + > + c ) + d ) + < + 8. Milyen -re igazak az alábbi egyenlőségek? (Mielőtt megoldod, tegyél kikötést!) 5 a ) 7 b ) c ) * d ) ** e ) ** f ) ***

38 MÁSODIK EPOCHAFÜZET 9. Határozd meg az egyenlet gyökeit! A megoldást minden esetben az értelmezési tartomány meghatározásával kezd! a ) + b ) + 6 c ) d ) 0 e ) f ) + 7 g ) + h ) Oldd meg a következő egyenleteket! a ) c ) + + b ) d ) 5. A következő állítások közül válogasd ki azokat, amelyek minden a és b értékére teljesülnek! Ahol ez nem áll fenn, tegyél kikötést! a ) d ) a a b ) a ( a ) c ) ( a + 5) a + 5 a > a e ) ( a 5) a a a + b g ) a + b + f ) ( a + 7 ) a a 7 h ) a 6a + 9 a i ) a 6a + 9 a j ) a 6 a k ) a + a + a + l ) a 6a + 9 a. Oldd meg a következő egyenleteket! Figyelj, hogy az összes megoldást megtaláld! a ) b ) 9 c ) ( +) 5 d ) ( ) e ) ( 7 ) 7 f ) ( ). Teljes négyzetté alakítás felhasználásával oldd meg a következő egyenleteket! a ) b ) + 5 c ) d ) + +. *** Új ismeretlen bevezetésének módszerével oldd meg a következő egyenleteket! a ) + 9 b )

39 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK IX. Valószínűségszámítás IX.. Kombinatorikus valószínűség számozott tombola közül, mennyi a valószínűsége, hogy olyat húznak, aminek az egyesek és tízesek helyén álló szám megegyezik? 6. Találomra választva egy 5 jegyű számot, mennyi a valószínűsége, hogy minden számjegye különböző? Ugye emlékszel? Ha egy kísérletben az egyes kimenetelek egyforma eséllyel fordulnak elő, akkor a valószínűséget így számíthatjuk ki: a kedvező kimenetelek száma P összes lehetséges kimenetel száma Ha egy esemény valószínűsége P0, az azt jelenti, hogy nincs kedvező esemény, így lehetetlen hogy bekövetkezzen. (Pl. egy hatoldalú dobókockával 7-est dobok) Ha egy esemény valószínűsége P, az azt jelenti, hogy minden esemény kedvező, így biztos hogy bekövetkezik. (Pl egy hatoldalú dobókockával legfeljebb 6-ost dobok) Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül az egyik mindig bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás komplementere. 7. Egy kalapban két fehér és két fekete golyó van. Ha csukott szemmel kiveszünk egyszerre két golyót, mi a valószínűsége, hogy különböző színűek? 8. Leírva egymás mellé a ROMBUSZ szó betűit, mi a valószínűsége annak, hogy éppen a ROMBUSZ szót kapjuk? 9. Leírva egymás mellé a PARALELOGRAMMA szó betűit, mi a valószínűsége annak, hogy éppen a PARALELOGRAMMA szót kapjuk? 50. Az,,,,, számokat sorba rendezve, mennyi a valószínűsége annak, hogy -vel kezdődő számot kapunk? 5. Hófehérke leülteti egymás mellé a hét törpét egy egyenes asztalhoz. a ) Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó ül az elején ebben a sorrendben? b ) Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó ül a sor végén ebben a sorrendben? c ) Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó ül a sorban valahol ebben a sorrendben? d ) Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó egymás mellett ül? 9

40 MÁSODIK EPOCHAFÜZET e )Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó nem ül egymás mellett? 5. Hófehérke leülteti egymás mellé a hét törpét egy kör asztalhoz. Mi a valószínűsége annak, hogy Tudor és Morgó egymás mellett ül ebben a sorrendben? Ha megengedjük, hogy fordítva is? 5. A hét törpét meglátogatja a hét vezér. Egy hosszú asztal mellé ülteti őket. Mennyi a valószínűsége, hogy egy törpe, egy vezér ül le egymás mellé? 5. Mennyi a valószínűsége, hogy két dobókockát egyszerre feldobva, a kapott számok a ) szorzata prímszám? b ) összegük prímszám? IX.. Geometrikus valószínűség 55. Egy egységnégyzetben egy pontot kiválasztva, mennyi a valószínűsége, hogy épp az átlójának valamelyik pontját találjuk el? 56. Az egységnyi sugarú körben véletlenszerűen kiválasztva egy pontot, mi annak a valószínűsége, hogy az közelebb van a kör középpontjához, mint a körvonalhoz? 57. Az egységnégyzetben véletlenszerűen kiválasztva egy pontot, mi annak a valószínűsége, hogy az közelebb van a négyzet középpontjához, mint a négyzet csúcsaihoz? 58. Az ábrán látható parkettán egy pontot véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége, hogy kisebb fajta négyzet belsejébe esik? a ) A nagyobb négyzet oldala 6 cm, a kisebb oldala a negyede. b ) A nagyobb négyzet oldal 8 cm, a kisebb oldala a negyede. c ) A nagyobb négyzet oldala a,cm a kisebb oldala a negyede. 59. Egy folyosó 0* m-es mozaikkal van kirakva, amelyek 50 cm*50 cm-esek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy cm átmérőjű pénzérme épp fugát talál el? (a fuga szélessége elhanyagolható) 60. **Anna és Balázs megbeszélik, hogy 0 és óra között találkoznak a Gödörnél. Érkezésük a megbeszélt időben véletlenszerű. Mi annak a valószínűsége, hogy egyiküknek sem kell negyed óránál többet várnia? 0

41 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK X. Feladatgyűjtemény Számhalmazok f. Töltsd ki a hiányzó adatokat a keretezéssel jelölt részeken! Természetes számok Jele: {0; ; ; } Műveletek: + ; Kivezető művelet az egész számok halmazába: Jele: Z számok: {0; ; ; ; ; } Műveletek: Kivezető műveletet a halmazába: : (osztás) számok: Jele: számok a alakban felírható számok, ahol a b és b egész szám. Műveletek: Kivezető művelet a valós számok halmazába: Jele: R számok: (gyökvonás) Tizedes tört alakban felírható számok. Műveletek:

42 MÁSODIK EPOCHAFÜZET f. Írd a halmazábra megfelelő helyére a számokat! Négyzetgyök f. Melyik a nagyobb, és mennyivel? (Számológép nélkül.) a ) ( ) vagy 5 ( ) b ) vagy c ) d ) ( 8 + ) ( 8 ) 8 vagy vagy ( ) ( )

43 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK f. Határozd meg a kifejezések értelmezési tartományát! a ) + b ) + c ) d ) + 6 e ) 5 f ) g ) i ) + + j ) k ) Négyzetgyökös egyenletek + + f5. Add meg az egyenletek megoldását a természetes számok halmazán! h ) l ) a ) b ) c ) d ) + e ) 6 f ) g ) 7 h ) + i ) + 6 j ) + + k ) l ) 8 + f6. Oldd meg az egyenleteket az egész számok halmazán! a ) b ) c ) d ) + e ) 6 f ) g ) 7 h ) + i ) + 6 j ) + + k ) f7. Mely -re igazak az alábbi egyenletek? l ) 8 + a ) 5 b ) c ) + 0 d ) e ) 7 f ) 6 +

44 MÁSODIK EPOCHAFÜZET f8. Oldd meg grafikusan az egyenleteket! a ) b ) c ) d ) e ) f9. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! + f ) a ) + b ) < c ) > d ) 5 > e ) < f ) 7 + f0. Milyen -re igazak az alábbi egyenlőségek? (Mielőtt megoldod, tegyél kikötést!) a ) ( 7 )( 8 ) + b ) ( ) + ( 7) 5 6 c ) + f. *** Oldd meg az egyenleteket! 0 7 d ) ** a ) + b ) c ) d ) f. ***Teljes négyzetté alakítás felhasználásával oldd meg a következő egyenleteket! a ) b ) Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek f. Oldd meg az egyenleteket! a ) b ) c ) d ) 8 9 e ) f ) + g ) h ) j ) k ) i ) l ) f. *** Megfelelő helyettesítéssel oldd meg az egyenleteket! a ) ( ) 5( ) + 0 b ) ( + ) 7( + ) c ) ( 6)( 6 ) 77 0 d ) ( )( ) 0 0 e ) f ) f5. *** Alakítsd szorzattá a kifejezéseket! a ) 5 + b ) c ) d ) e ) + + f ) + +

45 MÁSODFOKÚ, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK f6. Mely valós számpárok teszik igazzá az egyenleteket? a ) 5y 6 + y b ) y 5 y + 0 c ) + y 00 + y d ) + y 7 y e ) y 9 y f ) + 5y + y 0 f7. *** Mely valós számpárok teszik igazzá az egyenleteket? a ) + y 0 y 8 b ) y y c ) y y 6 6 d ) y 6 e ) + y 5 + y y + + y + y 8 f ) 5 y + + y Paraméteres egyenletek f8. Add meg az egyenletek megoldását az a, b, c és d valós paraméterek segítségével! a ) c + b ) b 7 5 c ) a 6 d ) d + d 9 e ) ( ) b b f ) c 6c f9. Add meg az egyenletek megoldását az a valós paraméter segítségével! a ) a ( + 6 a) ( + ) b ) ( a) ( ) f0. Milyen a R értéknél lesz az a ) a egyenlet egyik gyöke? b ) + 5( a ) 0 a a+ a c ) + egyenlet egyik gyöke a másik ellentettje? Melyek ezek a gyökök? f. Határozd meg p-t úgy, hogy a p + p( + p) 0 a ) két egyenlő gyöke legyen! b ) két különböző gyöke legyen! c ) ne legyen valós gyöke! egyenletnek f. A p valós paraméter mely értékeire lesznek az adott egyenlet gyökei egyenlők? Ellenőrizd a megoldást! ( p) + 6 p 0 5