Az él - és vápaszarufához simuló csonkaszarufák vágási szögeiről

Átírás

1 1 Az él - és vápaszarufához simuló csonkaszarufák vágási szögeiről Az interneten talált [ 1 ] anyagban számszerűen kidolgozott példákat 0. ábra próbáljuk rekonstruálni a saját képleteink alapján is. 0. ábra forrása: [ 1 ] A 0. ábrán két feladat megoldása látható. A saját megoldáshoz a képleteket részben ko - rábbi dolgozatainkból vesszük.

2 2 1. Feladat A 0. ábra bal oldali része szerint adott egy kontyolt nyeregtető, melynek ~ ereszei merőlegesek egymásra; ~ a főtető / nyeregrész meredeksége 10 /, a kontyrészé pedig 11 /. Határozzuk meg az élszarufához csatlakozó csonkaszarufák simuló lapjai kialakításához szükséges vágási szögeket! A megoldás Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az általunk gyakrabban alkalmazott szögeket tüntettük fel. Először rögzítjük a tetősíkok hajására vonatkozó adatokat: tg φ 1 = 11 1 = arctg 11 = 42,51045, ( A1 ) tg φ 2 = 10 2 = arctg 10 = 39, ( A2 ) Az ( A1,2 ) adat - eredmények egyeznek a 0. ábrán is feltüntetettekkel. Másodszor kiszámítjuk az élgerinc vetületének az ereszekkel bezárt szögeinek tangensét, illetve a szögeket is. Korábbi képleteinkkel, tekintettel az ε = 90º adatra is: tg ε 1 = sin ε = sin 90 = tg φ 2 tg φ 1 tg φ + cos ε tg φ = 1 2 tg φ + cos 90 tg φ 1 2 tg ε 1 = 10 ε 11 1 = arctg = 10 11, tehát: = 42, ( e1 )

3 3 Hasonlóan: tg ε 2 = sin ε = sin 90 = tg φ 1 tg φ 2 tg φ + cos ε tg φ = 2 1 tg φ + cos 90 tg φ 2 1 tg ε 2 = 11 ε 10 2 = arctg = 11 10, tehát: = 47, ( e2 ) Ellenőrzés: ε 1 + ε 2 = ε 42, ,72631 = 90. ( % ) Ha megnézzük a 0. ábra bal oldali részét, akkor láthatjuk, hogy az itteni ε 2 szög felirato - zását eltévesztették. Megesik az ilyen. A továbbhaladáshoz tekintsük a 2. ábrát! Korábbi képleteinkkel: tg α 1 = cos φ 1 tg ε 1 = cos 42, ábra = 0,81087 α 1 = arctg 0,81087 = 39,03756, tehát: α 1 = 39, ( e3 ) β 1 = 90 φ 1 = 90 42,51045 = 47,48955, tehát: β 1 = 47, ( e4 ) Az ( e3 ) és ( e4 ) eredmények jól egyeznek a 0. ábra bal oldali részén láthatókkal.

4 4 Hasonlóképpen folytatva: tg α 2 = cos φ 2 tg ε 2 = α 2 = 34, cos 39, = 0,69838 α 2 = arctg 0,69838 = 34,92968, tehát: ( e5 ) β 2 = 90 φ 2 = 90 39,80557 = 50,19443, tehát: β 2 = 50, ( e6 ) Az ( e5 ) és ( e6 ) eredmények jól egyeznek a 0. ábra bal oldali részén láthatókkal. Arra jutottunk, hogy az eddig nemigen tesztelt képleteink is jól működnek. A 0. ábra 1. feladathoz tartozó ( bal oldali ) részén vannak még más szögek is. Most ezeket beszéljük meg. 1.) Az élgerinc hajlása / a vízszintes síkkal bezárt szöge. Ennek számítási képlete(i) a korábbik szerint: tgφ = sin ε 1 tg φ 1 = sin 42, = 0,61662 φ = arctg 0,61662 = 31,65881, tehát: φ = 31, ( e7 ) Ellenőrzés: tgφ = sin ε 2 tg φ 2 = sin 47, = 0,61662 φ = 31, ( %% ) Az ( e7 ) szerinti érték jól egyezik a 0. ábrán láthatóval. 2.) Az élszarufa oldalsó függőleges síkjai és a csatlakozó csonkaszarufák függőleges síkjai által bezárt szögek. Ezek éppen a felülnézeti képről levehető ε 1 és ε 2 szögek, melyek értéke ( e1 ) és ( e2 ) sze - rinti. A 0. ábrán itt jól írták be az ε 2 szöget. 3.) Az élszarufához simuló csonkaszarufák csatlakozó végének körfűrésszel történő levá - gásához a körfűrész - tárcsa dőlésszöge. Ehhez tekintsük a 3 / 1. ábrát is, melyet [ 2 ] alapján készítettünk. Itt az e 2 jelű ereszből induló csonkaszarufa - vég helyzetét vizsgáljuk. Ha az élszarufát felemelt, beállított helyzetében rögzítik, akkor a levegőben szemmérték alapján készített függőleges síkú vágással közelítőleg előáll a jobb oldali csonkaszarufa

5 5 3 / 1. ábra α 2 és β 2 szögeivel bíró síkmetszete. Néha az erre képes szakmunkást siftervágó ember - nek is nevezik. Ha ennél gondosabban járnak el, akkor a gerenda hosszanti éleitől mérve ténylegesen felhordják az α 2 és β 2 szögeket, majd az ezekhez tartozó egyeneseken átfektetnek egy síkot, a fűrészlap síkját. Ez gyakran a láncfűrészé. Azonban itt is sokat számít a gyakorlat a jó vágáshoz. Ha még inkább biztosra akarnak menni, akkor meghatározzák azt a ϑ 2 dő - lésszöget, amit a dönthető lapú körfűrészen be kell állítani annak érdekében, hogy ponto - san az α 2 és β 2 szögek alatt hajló egyenesek által meghatározott metszősíkkal dolgozzanak. Vagyis ott tartunk, hogy a helyszínen vagy előregyártó műhelyben egy munkapadra rögzített, dönthető lapú körfűrésszel kívánunk dolgozni, a leendő csonkaszarufa vízszintes helyzetében. A 3 / 1. ábrán az A, B, C, D pontok a kész síkmetszeti négyszög négy sarka. Az AB és az A*B* egyenesek által meghatározott sík függőleges, melynek az AB és az A*B* egyenesek szintvonalai, az AA* és a BB* egyenesek pedig függőleges esésvonalai. Az a célunk, hogy olyan ϑ 2 szögben dőlt síkkal metsszünk, mely átmegy az ABCD végle - ges sarokpontokon. A végleges AB metszésvonallal párhuzamos tengely körül ϑ 2 szöggel elforgatott körfűrésztárcsa egy szintvonala továbbra is az AB egyenes, esésvonala pedig az erre merőleges BE egyenes. A BB* és a BE egyenesek zárják be a keresett ϑ 2 gépi szög - et. A 3 / 1. ábra szerint a b szélességi és h magassági méretű gerendánál: B E = h tg θ 2. (! )

6 6 Ezután tekintsük a 3 / 1. ábra alapján készített 3 / 2. ábrát! Ez alapján: 3 / 2. ábra B E = h sin α 2 tg β 2 ; (!! ) majd (! ) és (!! ) szerint: tg θ 2 = sin α 2 tg β 2 θ 2 = arctg sin α 2 tg β 2. (!!! ) Számszerűen: θ 2 = arctg sin 34,92968 tg 50,19443 = 25,50778, tehát: θ 2 = 25, ( e8 ) Indexcserével a bal oldali csonkaszarufára: tg θ 1 = sin α 1 tg β 1 θ 1 = arctg sin α 1 tg β 1. (!!!! ) Számszerűen:

7 7 θ 1 = arctg sin 39,03756 tg 47,48955 = 29,99973, tehát: θ 1 = 29, ( e9 ) Az ( e8 ) és ( e9 ) eredmények jól egyeznek a 0. ábráról leolvashatókkal. Ezzel a 0. ábra élszarufájához csatlakozó csonkaszarufáinak minden fontos szög - adatát meghatároztuk. Megjegyzések I.: M1. A 0. ábra Joe Bartok védjegyét viseli. Ő sokat tett a tetőgeometriai feladatok szá - mításos megoldásáért, azok népszerűsítéséért, terjesztéséért. M2. Az ε 1, ε 2 és ϕ szögek képleteit már A szintvonalas eljárásról című régebbi dolgoza - tunkban levezettük. M3. Az α 1, β 1, α 2, β 2 szögek képleteit még annak idején Hajdu Endre mutatta meg ne - künk. Köszönet érte! E képleteket először Az élszarufához simuló csonkaszarufa - végek vágási szögeinek meghatározása című régebbi dolgozatunkban adtuk meg. M4. Azért nem nevezzük meg képlet - forrásként pl. [ 1 ] - et, mert szinte átláthatalanul bonyolult számunkra az angol / amerikai szakkifejezésekkel adott szögek számítási módja. Levezetésük valószínűleg megvan valahol, de szintén meglehetősen kacifántos ábrákhoz kapcsolódva, így aztán ezt nem erőltettük. A mondott ábrák leginkább bizonyos idevágó poliéderek lapjainak síkba terítéséből származnak, ha jól értjük. Szóval: nem álltunk neki sokat nyelvészkedni, hanem inkább más úton tettünk szert a szükséges képletekre. E más utak: egyéb szakirodalom, saját levezetés, Hajdu Endre levélbeli közlései. M5. A [ 2 ] forrás egy a Der Zimmermann nevű német ács szaklapban a es évben megjelent többrészes írás egy része. Már korábban is találkoztunk vele, azonban abban a formában nem tartottuk célszerűnek közvetlen továbbadását. Meglehet, szakmunkásoknak íródott. Lényegét tekintve azonban nagyon is fontos; máshol nem is találkoztunk ilyennel. A 0. ábrán is csak alkalmazzák az ismertnek vett képleteket. A 4. ábrán szemlélhetjük a dönthető körfűrésszel kapcsolatban mondottakat is. [ 2 ] - ben a saját jelöléseikkel dolgoztak.

8 8 4. ábra forrása: [ 2 ] 2. Feladat A 0. ábra jobb oldali része szerint adott egy összetett tető, melynek ~ ereszei merőlegesek egymásra; ~ a bal oldali tetőrész meredeksége 8 /, a jobb oldalié pedig /. Határozzuk meg a vápaszarufához csatlakozó csonkaszarufák simuló lapjai kialakításához szükséges vágási szögeket! A megoldás

9 9 A 0. ábra jobb oldali, a vápaszarufára és a hozzá simuló csonkaszarufára vonatkozó induló adatai eltérnek a bal oldali részre, azaz az élszarufára és a csatlakozó csonkaszarufákra vonatkozó bemenő adatoktól. Emiatt az egész számítást újra meg kell ismételni az új ada - tokkal. Először: nézzük meg az él - és a vápa - feladat közötti megfeleltetések egy részét 1. ábra! 1. ábra Itt e 1 és e 2 az élben metsződő két tetősík ereszvonalai, t 1 és t 2 pedig a vápában metsződő két tetősík taréjvonalai. Most rögzítjük a tetősíkok hajlására vonatkozó adatokat: tg φ 1 = 1 = arctg = 45, ( A1 ) tg φ 2 = 8 2 = arctg 8 = 33, ( A2 ) Ezek az értékek megegyeznek a 0. ábráról leolvasható megfelelőikkel. Majd kiszámítjuk az élgerinc vetületének az ereszekkel bezárt szögeinek tangensét, illetve a szögeket is. Korábbi képleteinkkel, tekintettel az ε = 90º adatra is: tg ε 1 = sin ε = sin 90 = tg φ 2 tg φ 1 tg φ + cos ε tg φ = 1 2 tg φ + cos 90 tg φ 1 2 tg ε 1 = 8 ε 1 = arctg 8 8 = 8, tehát: = 33, ( e1 )

10 10 Hasonlóan: tg ε 2 = sin ε = sin 90 = tg φ 1 tg φ 2 tg φ + cos ε tg φ = 2 1 tg φ + cos 90 tg φ = 8, tehát: tg ε 2 = 8 ε 2 = arctg 8 = 56, ( e2 ) Ellenőrzés: ε 1 + ε 2 = ε 33, ,30993 = 90. ( % ) A továbbhaladáshoz tekintsük a 2. ábrát! Korábbi képleteinkkel: tg α 1 = cos φ 1 tg ε 1 = cos ábra = 1,06066 α 1 = arctg 1,06066 = 46,68614, tehát: α 1 = 46, ( e3 ) β 1 = 90 φ 1 = = 45, tehát: β 1 = 45. ( e4 )

11 11 Az ( e3 ) és ( e4 ) eredmények jól egyeznek a 0. ábra jobb oldali részén láthatókkal. Hasonlóképpen folytatva: tg α 2 = cos φ 2 tg ε 2 = tehát: α 2 = 29, cos 33, = 0,55470 α 2 = arctg 0,55470 = 29,01713, ( e5 ) β 2 = 90 φ 2 = 90 33,69007 = 56,30993, tehát: β 2 = 56, ( e6 ) Az ( e5 ) és ( e6 ) eredmények jól egyeznek a 0. ábra jobb oldali részén láthatókkal. A 0. ábra 2. feladathoz tartozó ( jobb oldali ) részén vannak még más szögek is. Most ezeket beszéljük meg. 1.) A vápagerinc hajlása / a vízszintes síkkal bezárt szöge. Ennek számítási képlete(i) a korábbik szerint: tgφ = sin ε 1 tg φ 1 = sin 33,69007 = 0,55470 φ = arctg 0,55470 = 29,01713, tehát: φ = 29, ( e7 ) Ellenőrzés: tgφ = sin ε 2 tg φ 2 = sin 56, = 0,55470 φ = 29, ( %% ) Az ( e7 ) szerinti érték jól egyezik a 0. ábrán láthatóval. 2.) A vápaszarufa oldalsó függőleges síkjai és a csatlakozó csonkaszarufák függőleges síkjai által bezárt szögek. Ezek éppen a felülnézeti képről levehető ε 1 és ε 2 szögek, melyek értéke ( e1 ) és ( e2 ) sze - rinti. 3.) Az élszarufához simuló csonkaszarufák csatlakozó végének körfűrésszel történő levá - gásához a körfűrész - tárcsa dőlésszöge. A korábbiak szerint: θ 1 = arctg sin α 1 tg β 1 = arctg sin 46,68614 tg 45 = 36,03989, tehát:

12 θ 1 = 36, ( e8 ) Hasonlóképpen: θ 2 = arctg sin α 2 tg β 2 = arctg sin 29,01713 tg 56,30993 = 17,92021, tehát: θ 2 = 17, ( e9 ) Az ( e8 ) és ( e9 ) eredmények jól egyeznek a 0. ábráról leolvashatókkal. Ezzel a 0. ábra vápaszarufájához csatlakozó csonkaszarufáinak minden fontos szög - adatát meghatároztuk. Megjegyzések II.: M1. A két feladattal kapcsolatban felmerülő megjegyzéseinket különválasztottuk. Persze, lehetnek köztük mindkét feladatra vonatkozók is. M2. Az ábrák és a képletek számozását mindkét feladat megoldásánál 1 - gyel kezdtük. M3. Az a tény, hogy a 0. ábra két feladata eltérő bemenő adatokra készült, részben jó, részben nem. Számunkra talán kedvezőbb lett volna, ha egyező bemenő adatok esetén közvetlenül összehasonlíthattuk volna az egymásnak megfelelő él ~ és vápa ~ megoldá - sokat. Ez van. M4. Örömhír, hogy a két végigszámolt mintafeladat eredményei gyakorlatilag teljesen megegyeznek a 0. ábrán megadottakkal, az egy sajtóhibától eltekintve. Ez azért jelentős számunkra, mert ez az első alkalom,. hogy egy ilyen feladat - párt végigvittünk. A 0. áb - rán látható két feladat forrása szerintünk igencsak kompetens, így a feladatok gyakorlásra alkalmasak. Gyanítjuk, hogy más vidékeken ezek rutinfeladatok, melyekre célkalkulátort, illetve számítási segédleteket készítettek. De legalábbis a tananyag részei e témák. M5. Ha valaki az itteni képleteket élesben is alkalmazni akarja, akkor ajánlatos az eredmények tartalmát, azok alkalmazhatóságát átgondolnia, kipróbálnia. Amúgy pedig mindenki csak a saját felelősségére alkalmazza az ittenieket, ahogy mi is tettük az [ 1 ] és [ 2 ] - ben találtakkal!

13 13 M6. A képletek egy alkalmas kipróbálási módja a makettkészítés. Ennek hasznosságát nem lehet eléggé hangsúlyozni, főleg nehezebb esetekben. Persze, az ittenihez hasonló, a keresztmetszetekre is ügyelő makett viszonylag vastagabb rudakból készülhet, ahol a ru - dak egymáshoz való illeszkedése már jól tanulmányozható. Nem véletlen, hogy a ver - senyfeladatok esetében is leginkább ezt az utat követik. Ugyanis minél kevésbé karcsúak a rúdelemek, annál jobban kijönnek az elvi vagy technikai hiányosságok az eredményen. M7. A színes tollakkal is rajzolt ábráink színei nem ritkán elvesznek a szkennelés során. Ez zavaró lehet, nem csak a készítőnek. Források: [ 1 ] ml [ 2 ] Zimmermeister Elmar Mette: Rechnerischer Abbund mit Formeln. Maschinenwinkel. Der Zimmermann, Bruderverlag, vagy: %CF%83-%3D-90%C2%B0---%3D-90%C2%B0 Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula ny. mérnöktanár Továbbiak: