Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. 11. osztály Tk

Átírás

1 Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele 11. osztály Tk

2 Tanuld meg! Két (e és f ) egyenes párhuzamos, ha az iránytényezőjük egyenlő: Két (e és f ) egyenes merőleges egymásra, ha az iránytényezőjük szorzata 1.

3 3. Adjuk meg annak az egyenesnek egy normálvektorát, egy irányvektorát és iránytangensét (ha létezik), amelynek egyenlete a) y n 4 0;1 v 1;0 m 0 c) x 3y 11 n v 1;3 3;1 m 1/ 3 b) x y n 1;1 2 v 1; 1 m 1 d) y 7 4x 2 4x y 9 n 4;1 v 1;4 m 4

4

5 8. Az a paraméter mely valós értékeinél lesz az x + ay =18 és az ax + 4y = -7 egyenletű egyenesek egymással párhuzamosak? e : x ay 18 f : ax 4y 7 e n e 1;a n f a;4 f m e m f 1 m e a m f a 4 1 a a 4 a 2 4 a 2

6 9. Az p paraméter mely valós értékeinél lesz az px - 3y = 5 és az px + 4y = -10 egyenletű egyenesek egymásra merőlegesek? e : px 3y 5 f : px 4y 10 n e e n f 1 e2 m1 m2 p;3 p;4 m e m f p 3 p 4 1 p p p p 2 12 p

7 Érettségi feladat volt Megoldás Az egyenes normálvektora n e (4;5) Ebből a meredeksége: m e = 4 5 Mivel az egyenesek párhuzamosak így meredekségük is megegyezik: e f m e m f

8 folytatás Ezért a keresett egyenes meredeksége is : m f = 4 Írjuk fel az egyenes iránytényezős egyenletét! (x 0 ;y 0 ) P (-3 ; 5) y-y 0 =m(x-x 0 ) m f = 4 y-5= 4 (x+3) /zárójelfelbontás 5 5 y-5= 4 x - 12 / y 25 = -4x -12 / +4x +25 4x + 5y = 13 5

9 Házi feladat Érettségi feladat Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P(3; 2) ponton és merőleges a 4x y = 7 egyenletű egyenessel! (3 pont)

10 Két egyenes távolsága 11. osztály

11 Digitális oktatás ( a rövidebb megoldás képlete nincs a négyjegyűnkbe, de a másikban igen, ez pótolható ) Ha a hosszabb megoldás tetszik jobban: (A lépéseket jegyezd meg! ) (az első fele két egyenes metszéspontja, 9.10-tól távolság)

12 Pont egyenes távolsága Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Ha a két alakzatnak van közös pontja, akkor a távolságuk nulla. Két párhuzamos egyenes távolsága, az egyik egyenes valamely (tetszőleges) pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza

13 Lépések (hosszabb megoldás) Lásd tankönyv 220. oldal I. f egyenletének felírása; Leolvasod az e egyenes normálvektorát. Mivel az f egyenes merőleges rá neki irányvektora lesz. A megadott pont a fixpont. Felírható az irányvektoros egyenlet II. e és f egyenletéből álló egyenletrendszer megoldása, kapjuk T koordinátáit; III. a PT távolság meghatározása.

14

15

16 Rövidebb megoldás: Színes négyjegyű (csak a bekarikázott képletet írd le)

17 Ugyanaz másképp: Számold ki a P(0; 8) pontnak az e: - 2x + y = - 2 egyenestől való távolságát! e: - 2x + y = - 2 /+2-2x + y +2 = 0 Így a normálvektora n (-2 ; 1) Ezért A=-2 és B=1 és C = 2 A pontunk P (0 ; 8) Ezért x 1 =0 és y 1 =8 A pont távolsága az egyenestől képlete: Behelyettesítve: d = ( 2) = 10 5 = 20

18 Feladat : Határozza meg a két egyenes távolságát: x - 2y = 1 és x - 2y = 2 Megoldás: ábrázoljuk a két egyenest. 1: e x - 2 y = 1 2: f x - 2 y = 2 Vegyünk fel az e egyenesen egy tetszőleges (te találod ki mennyi legyen az x) pontot: P(1,y). Határozzuk meg P y koordinátáját: (behelyettesítünk x helyére 1-et.) 1-2 y = 1 y = 0 P (1, 0)

19 Innen már úgy számolunk, mint pont egyenes távolságánál A pont távolsága az egyenestől képlete: Az f egyenes egyenlete (a másik, mint amelyen a pont van): f x - 2 y = 2 / -2 f x - 2 y -2 = 0 Így a normálvektora n (1 ; -2) Ezért A=1 és B=-2 és C = -2 A kiszámolt pontunk P (1 ; 0) Ezért x 1 =1 és y 1 =0 Behelyettesítve: d = ( 2) 2 = 1 5 csak a helyzetét mutatja. Így a távolság 1 5 Persze a távolság nem lehet negatív, ez

20 Házi feladat Innen letöltheted a másik négyjegyűt Tankönyv 224. oldal 4c és 6c + 6a (Hogyan lehet nagyon egyszerűen megoldani?)

21 Két egyenes hajlásszöge 11. osztály

22 Digitális oktatás Tankönyv 223. oldal

23 Házi feladat ellenőrzése

24

25

26 Elmélet Két síkbeli metsző egyenes négy szögtartományt hoz létre, ezek közül a két-két szemközti egybevágó (csúcsszögek). A létrejövő két szomszédos szög közül a kisebbiket (nem nagyobbikat) nevezzük a két egyenes hajlásszögének.

27 Két egyenes hajlásszöge, vagy annak kiegészítő szöge megegyezik irányvektoraik szögével, így a két egyenes hajlásszögének meghatározásához egy-egy irányvektoruk által közbezárt szöget kell kiszámítani skaláris szorzattal. Ezt pedig már tanultuk A skaláris szorzatra 2 képlet van a Négyjegyűben (keresd meg!) 1. definíció 2. definíció Szerepel benne a vektor hossza is:

28 Határozzuk meg a 5 x 3 y = 6 és a 2 x -4 y = 7 egyenletű egyenesek hajlásszögét. Az egyenesek egy-egy normálvektora az egyenletekből leolvasható, majd ezekből forgatással az irányvektor e : 5 x 3 y = 6 normálvektora n e (5; -3), ebből az irányvektora v e (3; 5) f : 2x 4y = 8 normálvektora n f (2; -4), ebből az irányvektora v f (4; 2)

29 1. lépés: Az 1. definíció alapján kiszámolod a két vektor skaláris szorzatát. a b= =15+8=23 2. lépés: Kiszámolod a két vektor hosszát 3. lépés: Az 1. és a 2. definíciót egyenlővé teszed, és megoldod az egyenletet.

30 Házi feladat Tankönyv 224. oldal 8. a,c

31 Feladatok vektorok 11. osztály

32

33

34 Vektorok 1. Megoldás Segít a Négyjegyű

35 2. a b = a - b, azaz Az első koordinátákra: A második koordinátákra: 11 = 6-b 1 /-6 5 = 4-b 2 /-4 5 = -b 1 1 = -b 2-5 = b 1-1 = b

36 3. Egy rombusz átlóinak hossza 12 és 20. Számítsa ki az átlóvektorok skalárszorzatát! Válaszát indokolja! (3 pont) A skaláris szorzat Mivel merőlegesek, ezért α = 90 Behelyettesítve: a b = cos 90 = = 0 Megjegyzés: Ezt a tételből is tudtuk páran

37 4. 5. Ábrázold és látni fogod, hogy hasonlít az 1 feladathoz!

38 Házi feladat

39 Rövid feladatok 11. osztály (szakkör)

40

41

42

43

44 1. 2.

45 3.

46 4.

47 5. 6.

48 Házi feladat Direkt cím:koordgeopróba11 A füzetbe is dolgozz és a kettő fényképét kérem vissza.