Matematika 9. osztály

Átírás

1 ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 9. osztály IV. rész: Algebra és számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, február 13.

2 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV. rész: Algebra és számelmélet Algebrai kifejezések Nevezetes azonosságok ismétlése További nevezetes azonosságok Gyakorlás Szorzattá alakítás módszerei Műveletek algebrai törtkifejezésekkel Gyakorlás Az oszthatóság fogalma, tulajdonságai Oszthatósági szabályok, a prímszám fogalma A számelmélet alaptétele Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Oszthatósági feladatok Feladatok Feladatok Számrendszerek Vegyes gyakorlati feladatok

3 Tartalomjegyzék Gyakorlás Diofantoszi egyenletek

4 óra. Algebrai kifejezések 45. óra Algebrai kifejezések Def (Betű). Változó, más néven ismeretlen, vagy határozatlan. Számot, vagy számokat jelöl, melyeket nem ismerünk, vagy nem írunk le. Pl: x, y, z, t, a, b, c Def (Alaphalmaz). Meg kell adni, hogy egy betű mely számhalmaz elemeit jelöli, ezt a halmazt nevezzük alaphalmaznak 1. Def (Algebrai kifejezés). A négy alapműveletet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) betűkre és számokra véges sokszor alkalmazzuk 2. Például: 5 x 3 y + 1 z ahol x, y N és z R + Def (Egytagú kifejezés, monom). Betűk és számok szorzással összekapcsolva. Pl: 4, a, 4x, 3 2 y, x 2 9, 42a2 b 3 c 4 Megjegyzés. Azt a számot, amivel a betűt (betűket) szorzunk, együtthatónak hívjuk. Def (Többtagú algebrai kifejezés, polinom). Monomokat összeadunk. Például: 4 + a 4x y + x a2 b 3 c 4 Def (Egyváltozós algebrai kifejezés). Csak egyféle betűt tartalmaz: x 2 + 2x + 4 Def (Többváltozós algebrai kifejezés). Több betű szerepel benne: x 2 + y 2 + z 2 Def (Algebrai egész kifejezések). Nincs a tört nevezőjében betű: 5a, 3 2 x Def (Algebrai törtkifejezések). A tört nevezőjében van betű: 5a + 3b a 3 ahol a Házi feladat. Írjunk algebrai kifejezéseket, melyek megfelelnek a feltételeknek! a. ) Egyváltozós háromtagú algebrai egész, a változók valós számok. b. ) Háromváltozós egytagú algebrai tört, a változók racionális számok. c. ) Négyváltozós háromtagú algebrai tört, a változók egész számok. 45. Szorgalmi feladat. Alkoss egy nem algebrai kifejezést! 1 Ha ez nincs konkrétan megadva, akkor az alaphalmaz automatikusan a valós számok halmaza, ám ez bizonyos esetekben hibákhoz vezethet, pl. nullával kellene osztani. 2 Al-Hvárizmi ( ) arabul alkotó perzsa matematikus Kitáb al-dzsabr val-mukábala című könyvéből származik az algebra kifejezés, mely szó szerint egyesítést jelent. Az egyenletmegoldás során a számok másik oldalra való átvitelének műveletét jelenti ez a kifejezés.

5 46. óra. Nevezetes azonosságok ismétlése óra Nevezetes azonosságok ismétlése 1. Feladat. 46. Házi feladat. 46. Szorgalmi feladat.

6 óra. További nevezetes azonosságok 47. óra További nevezetes azonosságok 2. Feladat. 47. Házi feladat. 47. Szorgalmi feladat.

7 48. óra. Gyakorlás óra Gyakorlás 3. Feladat. 48. Házi feladat. 48. Szorgalmi feladat.

8 óra. Szorzattá alakítás módszerei 49. óra Szorzattá alakítás módszerei 4. Feladat. Alkalmazzunk nevezetes azonosságokat! a. ) 4a 4 9 b. ) (a + 2b) 2 (c + 3d) 2 c. ) a 2 6a + 9 d. ) p 3 + 6p 2 q + 12pq 2 + 8q 3 e. ) 9x 2 6x + 1 9x Feladat. Emeljünk ki közös tényezőket! a. ) 15x 3 y 2 z x 2 y 3 z 5 b. ) 18x 6 24x 4 c. ) a k + a k+2 d. ) 10a 4 b 3 15a 4 b a 3 b 4 e. ) ax + ay + bx + by a + b 6. Feladat. Emeljünk ki csoportosítással! a. ) a 2 + ab + ac + bc b. ) x 3 + 3x 2 + 3x + 9 c. ) 12a 2 6ab + 3b 2 6ab d. ) x 2 + 5x + 6 e. ) a 2 2a 15 f. ) x 2 6x Házi feladat. Alakítsuk szorzattá! 25x 4 10x 2 y 2 + y Szorgalmi feladat. Alakítsuk szorzattá! x 3 + 6x x + 6

9 50. óra. Műveletek algebrai törtkifejezésekkel óra Műveletek algebrai törtkifejezésekkel 7. Feladat. Egyszerűsítsük az alábbi algebrai törteket! a. ) 8ax 12ay = b. ) a 2 b 2 a b = c. ) a 4 b 4 a 2 b 2 = d. ) 25a 2 25b 2 (5a 5b) 2 = e. ) a 3 a 2 a + 1 a 4 2a = 8. Feladat. Szorozzuk össze az alábbi algebrai törteket! a. ) a a = 3a 2 b. ) x a x = 3 c. ) a b 4b 3 : a2 ab 8b 4 = a 3 8 d. ) 5a a + 21 a 2 + 2a + 4 = ax + ay e. ) x 2 2xy + y : ax2 + 2axy + ay 2 2 2x 2y 9. Feladat. Adjuk össze az alábbi algebrai törteket! a. ) 2 x x + 3 x 2 4 3x + 1 x 2 4x + 4 = b. ) 5 x 3 x 2 x x 1 2x + 6 = 50. Házi feladat. Kimaradt feladatokat befejezni! 50. Szorgalmi feladat. Egyszerűsítsük a következő törtet! = x 2 + 3x + 2 x 2 + 4x + 3

10 óra. Gyakorlás 51. óra Gyakorlás 10. Feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket! ( 1 a. ) a ) ( 1 : a + 1 a 1 1 ) = a + 1 ( b. ) a + 1 ) a 1 (a + 1a ) + 1 = ( a c. ) 2b + 2b ) 2 ( a a 2b 2b ) 2 = a ( 3a d. ) 1 3a + 2a ) : 1 + 3a 6a a 1 6a + 9a 2 = a 2 6a + 8 e. ) a 2 + 4a + 3 : a2 4a + 4 5a + 15 = 51. Házi feladat. Hozzuk egyszerűbb alakra! x = 51. Szorgalmi feladat. Igazold, hogy ha (a + b) (b + c) = 0 és abc 0, akkor 1 a + 1 b + 1 c = 1 a + b + c

11 52. óra. Az oszthatóság fogalma, tulajdonságai óra Az oszthatóság fogalma, tulajdonságai Def. Legyen a, b Z. Az a szám osztója b számnak, ha létezik olyan c egész szám, hogy a c = b. Jele: a b Áll. Az oszthatóság tulajdonságai minden a, b, c egész szám esetén: 1. a a 5. a b és b c = a c 2. 1 a 6. a b és a c = a b + c 3. a 0 7. a b + c és a b = a c 4. a b = a bc 8. a b és a c = a b + c Áll. Az oszthatóság tulajdonságai minden a, b pozitív egész szám esetén: 1. a b és b a = a = b 2. a b = a b 11. Feladat. Tudjuk, hogy 9 2 = = = = Igazoljuk, hogy n N esetén négyzetszám az alábbi szám! }{{} }{{} 1 n db n db 12. Feladat. Igazoljuk az alábbi állításokat! a. ) 2 n 2 n b. ) 30 n 5 n c. ) 360 n 6 5n 4 + 4n 2 d. ) 57 7 n n n 52. Házi feladat. Tudjuk, hogy 121 négyzetszám. Vajon is négyzetszám? 52. Szorgalmi feladat. Általánosítsuk a házi feladatot!

12 óra. Oszthatósági szabályok, a prímszám fogalma 53. óra Oszthatósági szabályok, a prímszám fogalma Megjegyzés. Ismételjük át az oszthatósági szabályokat 0-tól 20-ig! Link Def. Azokat a pozitív egész számokat, melyeknek pontosan két pozitív osztója van, prímszámoknak nevezzük. P = {2; 3; 5; 7...} Tétel. Végtelen sok prímszám van. Def. Azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek több, mint két pozitív osztójuk van, összetett számoknak nevezzük. Megjegyzés. Az 1 nem prímszám és nem is összetett szám. Def. Ikerprímnek két olyan prímszám együttesét nevezzük, amelyek 2-vel térnek el egymástól. Pl.: 3 és 5 1 Sejtés (Ikerprím-sejtés). Végtelen sok ikerprím pár létezik. 13. Feladat. Mi kerülhet az ismeretlenek helyére? a. ) 9 2a3 b. ) 3 5b31 c. ) 6 6b42 d. ) 5 4x3y e. ) 12 5x3y4 f. ) 45 6x53y g. ) 30 52x3y h. ) 15 3x4y i. ) 36 3c72d 53. Házi feladat. A 100! végén hány 0 áll? 53. Szorgalmi feladat. 45 A = 3a72b és 36 B = 3c72d, lehet-e, hogy A = B? 1 További ikerprím párok: (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139). A jelenleg ismert legnagyobb ikerprímek: és

13 54. óra. A számelmélet alaptétele óra A számelmélet alaptétele Def (Általános kanonikus alak). Egy N pozitív egész számot számot felírunk egymást követő prímszámok hatványának szorzataként. N = p α 1 1 p α 2 2 p α p i P és α i N Megjegyzés. Az általános kanonikus alak végtelen hosszúságú, és nulladik hatványon tartalmazza azokat a prímeket is, amikkel az adott szám nem osztható, például: 126 = Tétel (A számelmélet alaptétele:). Minden pozitív egész szám felírható általános kanonikus alakban és csak egyféleképpen. Tehát a pozitív egész számok felbonthatók - a szorzótényezők sorrendjétől eltekintve - egyértelműen prímszámok szorzatára. Bizonyítás. Elsőként a felbonthatóság létezését kell belátni, melyet teljes indukcióval igazolunk. Hogy a felirás egyértelmű, azt indirekten kell belátni. Részletek itt. Áll. Legyen adott n Z + szám, melynek általános kanonikus alakja: n = p α 1 1 p α 2 2 p α Ekkor az n szám összes pozitív osztóinak száma: d(n) = (α 1 + 1) (α 2 + 1) (α 3 + 1) Feladat. Határozzuk meg a következő számok osztóinak számát! a. ) 1 d. ) 90 g. ) 2625 j. ) 1840 b. ) 12 e. ) 85 h. ) 323 k. ) 3400 c. ) 360 f. ) i. ) 391 l. ) Házi feladat. Befejezni az órai feladatokat! 54. Szorgalmi feladat. Mondjuk ki a számelmélet alaptételét egész számokra!

14 óra. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 55. óra Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 15. Feladat. Egyszerűsítsük az alábbi törtet! = Def (LNKO). Az a és b pozitív szám közös osztói közül a legnagyobbat az a és b legnagyobb közös osztójának nevezzük. Jele: (a; b) Áll. A legnagyobb közös osztó meghatározásakor a számok általános kanonikus alakjából a prímtényezőket a kisebbik kitevőn véve összeszorozzuk. Def (Relatív prím). Azokat a számokat, melyeknek legnagyobb közös osztójuk 1, relatív prímeknek nevezzük. Jele: (a; b) = Feladat. A busz 15 percenként, a vonat 20 percenként indul. Reggel 6-kor egy busz és egy vonat elindult egyszerre. Hány perc múlva indulnak ismét egyszerre? Def (LKKT). Az a és b pozitív szám közös többszörösei közül a legkisebbet az a és b legkisebb közös többszörösének nevezzük. Jele: [a; b] Áll. A legkisebb közös többszörös meghatározásakor a számok általános kanonikus alakjából a prímtényezőket a nagyobbik kitevőn véve összeszorozzuk. Áll. Legyenek a és b pozitív egész számok. Ekkor teljesül az alábbi összefüggés: (a, b) [a, b] = a b 17. Feladat. Írjuk fel az alábbi számok LNKO-ját és LKKT-jét és ellenőrizzük! a. ) 16; 28 b. ) 45; 150 c. ) 105; 180 d. ) 12; 24 e. ) 42; 1 f. ) 7; 13 g. ) 30; 75; 630 h. ) 187; 323; 391 i. ) 6; 10; Házi feladat. Befejezni a maradék feladatokat! 55. Szorgalmi feladat. Keress olyan a és b számokat, amelyre [a; b] = a + b

15 56. óra. Oszthatósági feladatok óra Oszthatósági feladatok 18. Feladat. A törtek egyszerűsítése után végezzük el a műveleteket! a. ) = b. ) = c. ) = 19. Feladat. Határozzuk meg az a értékét! a. ) (a; 80) = 80 d. ) (a; 20) = 1 b. ) (a; 60) = 15 e. ) [a; 18] = 90 c. ) [a; 16] = 48 f. ) (a; 18) = Feladat. Igazak, vagy hamisak az alábbi állítások? a. ) g. ) b. ) h. ) c. ) i. ) d. ) j. ) e. ) k. ) f. ) l. ) Házi feladat. A kimaradt feladatokat befejezni. 56. Szorgalmi feladat. Hasonló feladatokat kitalálni!

16 óra. Feladatok 57. óra Feladatok Teljes indukció: A természetes számokra kimondott állítás ha igaz az első természetes számra és igazolni tudjuk, hogy tetszőleges természetes számra ha igaz, akkor a rákövetkezendőre is igaz, akkor az állítás minden természetes számra igaz. Megjegyzés. Az állítást igazoljuk n = 0 esetén, majd feltesszük, hogy n = k N-ra igaz (ezt nevezzük indukciós feltevésnek), majd bizonyítjuk, hogy ekkor n = k + 1-re is igaz. Az is megtörténhet, hogy nem n = 0 a legkisebb szám amire az állítás teljesül, hanem egy nagyobb természetes számtól kezdve lesz az állítás csak igaz. 21. Feladat. Igazoljuk teljes indukcióval az alábbi állításokat n N esetén! a. ) n 9n 1 b. ) 6 n 3 n c. ) 6 (n 2 + 5) n d. ) 5 2 4n e. ) n 13 n 22. Feladat. Igazoljuk teljes indukcióval az alábbi állításokat n N + esetén! a. ) 6 n n b. ) n + 18n 1 c. ) 16 9 n+1 8n 9 d. ) 9 5 2n + 3n 1 e. ) 8 5 n n f. ) n n Házi feladat. A kimaradt feladatokat befejezni. 57. Szorgalmi feladat. Saját példát készíteni. (tipp: módosítani egy meglévőt)

17 58. óra. Feladatok óra Feladatok 23. Feladat. Igazoljuk teljes indukcióval az alábbi állításokat n N + esetén! a. ) n (n + 1) = n n + 1 b. ) n = n (n + 1) 2 c. ) n 2 = n (n + 1) (2n + 1) 6 d. ) n 3 = n2 (n + 1) 2 4 e. ) n(n + 1) = n (n + 1) (n + 2) Házi feladat. Igazold az alábbi állítást teljes indukcióval n N + esetén! n (n + 2) = n (n + 1) (2n + 7) Szorgalmi feladat. Igazold az alábbi állítást! (2n 1) (2n + 1) = n (4n2 + 6n 1) 3

18 óra. Számrendszerek 59. óra Számrendszerek Az n-alapú számrendszer: számokat. Pl. ötös számrendszer esetén: n N + egész kitevőjű hatványaiból rakjuk össze a táblázat. A szám értékének értelmezése. A tízes számrendszer tíz hatványok segítségével írjuk fel a számokat, így vannak egyesek, tízesek, százasok, stb. Ötös számrendszerben öt hatványaival írjuk fel a számokat, így vannak egyesek, ötösök, huszonötösök, stb. Az ötös számrendszerben felírt szám tízes számrendszerben: = Feladat. Váltsuk át az alábbi számokat tízes számrendszerbe! a. ) b. ) ABC 16 c. ) Feladat. Váltsuk át az alábbi tízes számrendszerben megadott számokat kettes, nyolcas, tizenhatos számrendszerbe! a. ) 42 b. ) 137 c. ) Házi feladat. Vajon a és a számok egyenlők? 59. Szorgalmi feladat. Melyik szám a nagyobb: vagy ?

19 60. óra. Vegyes gyakorlati feladatok óra Vegyes gyakorlati feladatok 26. Feladat. Írjunk fel 3 olyan számot, melyek relatív prímek, de páronként nem. 27. Feladat. Hány olyan négyjegyű szám van, ami osztható a négy legkisebb prímszámmal és a négy legkisebb összetett számmal is? 28. Feladat. Melyik az x számrendszer, melyben így írható fel: 304 x? 29. Feladat. Egy háromjegyű számnak tízes számrendszerben felírva minden számjegye megegyezik. Bizonyítsuk be, hogy osztható 37-tel! 30. Feladat. Van-e olyan számrendszer, amiben 46 a és 50 a egymást követő egészek? 31. Feladat. Józsi az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek egyszeri felhasználásval hatjegyű számokat alkotott, de nem talált közöttük egyetlen prímszámot sem. Miért? 60. Házi feladat. Milyen alapú számrendszerben igazak az következő egyenlőségek? a. ) 12 x + 12 x = 30 x b. ) 17 x + 38 x = 54 x c. ) 89 x + 69 x = 103 x d. ) 100 x 1 x = 11 x e. ) 12 x 7 x = 80 x f. ) 55 x : 13 x = 4 x 60. Szorgalmi feladat. Milyen alapú számrendszerben igaz az az alábbi művelet? 13 x 22 x = 1012 x

20 óra. Gyakorlás 61. óra Gyakorlás 32. Feladat. Keressük meg a hiányzó számjegyeket! a. ) x d. ) 45 15x67y b. ) 36 35x1y e. ) 56 1xy358 c. ) xx f. ) 72 x554y 33. Feladat. Milyen számjegyek állnak az a és b helyén, ha tudjuk, hogy 35! = ab Feladat. Egy különböző számjegyekből álló hatjegyű szám számjegyei (valamilyen sorrendben) 1, 2, 3, 4, 5, 6. Az első két számjegyből álló kétjegyű szám osztható 2-vel, az első három számjegyből álló háromjegyű szám osztható 3-mal és így tovább, maga a szám osztható 6-tal. Melyik ez a szám? 35. Feladat. Igazoljuk, hogy n N esetén: n 2 6n 36. Feladat. Van-e olyan természetes szám, amelynek az értéke megötszörözödik, ha az első számjegyét az elejéről elvesszük, és a végére írjuk? 37. Feladat. Melyik számrendszerben írható fel a 41 8 szám 201 x alakban? 61. Házi feladat. Keressük meg a hiányzó számjegyeket ha 987x6 osztható a. ) 3-mal d. ) 6-tal g. ) 9-cel j. ) 24-gyel b. ) 4-gyel e. ) 7-tel h. ) 11-gyel k. ) 36-tal c. ) 5-tel f. ) 8-cal i. ) 12-vel l. ) 72-vel 61. Szorgalmi feladat. Igazoljuk, hogy n N-re: n + 4 6n 2 + 8n + 15

21 62. óra. Diofantoszi egyenletek óra Diofantoszi egyenletek Def (Diofantoszi egyenlet). Egész együtthatós, többismeretlenes algebrai egyenlet, amelynek megoldásait az egész számok körében keressük. Például: ax + by = c w 3 + x 3 = y 3 + z 3 x n + y n = z n Tétel. Az ax+by = c lineáris diofantikus egyenletnek akkor és csak akkor van egész megoldása, ha (a; b) c. Ekkor az x 0, y 0 megoldáson kívül végtelen sok megoldás van: x = x 0 + b (a; b) t; y = y 0 a (a; b) t; ahol t Z 38. Feladat. Döntsük el, hogy az alábbi diofantoszi egyenletek megoldhatók-e, és keressük meg a megoldásokat! a. ) 2x + 3y = 13 b. ) 3x + 7y = 21 c. ) 8x 14y = 21 d. ) 3x + 6y = 12 e. ) 2(3x y) = Feladat. Egy országban csak 5 Ft-os és 9 Ft-os érmék vannak. a. ) Kerülhet-e egy termék 101 forintba? b. ) Hányféleképp fizethető ki az a termék? c. ) Létezik-e olyan termék, melynek az ára természetes szám, és nem fizethető ki e kétféle pénzérmével? (tudnak visszaadni) 62. Házi feladat. Egy jármű kiállításon személygépkocsikat és motorkerékpárokat mutattak be. Egy látogató összesen 302 darab kereket számolt meg. Hány motorkerékpárt állítottak ki? 62. Szorgalmi feladat. Melyek azok a természetes számok, melyek hármas maradéka 2 és ötös maradéka 4?

22 22. Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék [1] Nagy András: Számelméleti feladatgyűjtemény 2009 [2] [3] Tuzson Zoltán: A Venn-diagram és a logikai szita és alkalmazásai. Polygon XXII/1 2. szám május [4] Bartha Gábor, Bogdán Zoltán, Duró Lajosné dr., Dr. Gyapjas Ferencné, Hack Frigyes, Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I. [5] Fazekas oktatási portál [6] Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Dr. Urbán János: Sokszínű matematika 2009 Szeged, Mozaik kiadó. [7] Simó Orsolya: Diofantikus egyenletek megoldása elemi módszerekkel