Permutációk, melyek megmentették a világot
|
|
- Hanna Biró
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Permutációk, melyek megmentették a világot Kékesi Júlia, Mérai László, Szabó Csaba december 3.
2 VIZSGAANYAG
3 Időjárás előrejelzés 1940 egyik sötét éjszakáján egy német bombázó felszáll, és a La Manche csatorna felé veszi útját.
4 Időjárás előrejelzés 1940 egyik sötét éjszakáján egy német bombázó felszáll, és a La Manche csatorna felé veszi útját. Az öt főből álló legénység az angol hadsereg speciálisan kiképzett csapata
5 Időjárás előrejelzés 1940 egyik sötét éjszakáján egy német bombázó felszáll, és a La Manche csatorna felé veszi útját. Az öt főből álló legénység az angol hadsereg speciálisan kiképzett csapata német egyenruhában
6 Időjárás előrejelzés 1940 egyik sötét éjszakáján egy német bombázó felszáll, és a La Manche csatorna felé veszi útját. Az öt főből álló legénység az angol hadsereg speciálisan kiképzett csapata német egyenruhában Feladatuk lezuhanást színlelni, majd a mentésükre érkező német tengeralattjárót elfoglalni.
7 Időjárás előrejelzés 1940 egyik sötét éjszakáján egy német bombázó felszáll, és a La Manche csatorna felé veszi útját. Az öt főből álló legénység az angol hadsereg speciálisan kiképzett csapata német egyenruhában Feladatuk lezuhanást színlelni, majd a mentésükre érkező német tengeralattjárót elfoglalni. És ami a legfontosabb: az ENIGMÁT megszerezni.
8 Időjárás előrejelzés 1940 egyik sötét éjszakáján egy német bombázó felszáll, és a La Manche csatorna felé veszi útját. Az öt főből álló legénység az angol hadsereg speciálisan kiképzett csapata német egyenruhában Feladatuk lezuhanást színlelni, majd a mentésükre érkező német tengeralattjárót elfoglalni. És ami a legfontosabb: az ENIGMÁT megszerezni. Eközben az égi seregek is gyülekeznek.
9 James Bondék kénytelenek belátni, hogy ekkora hatalommal nem szállhatnak szembe. Időjárás előrejelzés 1940 egyik sötét éjszakáján egy német bombázó felszáll, és a La Manche csatorna felé veszi útját. Az öt főből álló legénység az angol hadsereg speciálisan kiképzett csapata német egyenruhában Feladatuk lezuhanást színlelni, majd a mentésükre érkező német tengeralattjárót elfoglalni. És ami a legfontosabb: az ENIGMÁT megszerezni. Eközben az égi seregek is gyülekeznek.
10 A nélkülöző Anglia Az Atlanti háborúban ( ) a német tengeralattjárók kereskedelmi konvojok megtámadásával megfosztották Angliát több alapvető termék beszerzésétől.
11 A nélkülöző Anglia Az Atlanti háborúban ( ) a német tengeralattjárók kereskedelmi konvojok megtámadásával megfosztották Angliát több alapvető termék beszerzésétől. A német haditengerészet: Enigmával kommunikált.
12 A nélkülöző Anglia Az Atlanti háborúban ( ) a német tengeralattjárók kereskedelmi konvojok megtámadásával megfosztották Angliát több alapvető termék beszerzésétől. A német haditengerészet: Enigmával kommunikált. A német támadások megfékezéséhez elengedhetetlenné vált a haditengerészeti Enigma és a hozzá tartozó kódkönyvek megszerzése.
13 Kezdjük az elejéről... Mi az az Enigma? Görög eredetű szó, jelentése REJTÉLY
14 Kezdjük az elejéről... Mi az az Enigma? Görög eredetű szó, jelentése REJTÉLY Arthur Scherbius szabadalma (1918): titkosíró gép, üzleti célokra
15 Kezdjük az elejéről... Mi az az Enigma? Görög eredetű szó, jelentése REJTÉLY Arthur Scherbius szabadalma (1918): titkosíró gép, üzleti célokra II. világháborúban: ennek a katonai változata
16 Történeti áttekintés Szerveződés a német oldalon Az I. világháborút követően:
17 Történeti áttekintés Szerveződés a német oldalon Az I. világháborút követően: Németország nem adja fel hatalmi törekvéseit
18 Történeti áttekintés Szerveződés a német oldalon Az I. világháborút követően: Németország nem adja fel hatalmi törekvéseit 1920-as évek: A Wehrmacht új erőre kap, emiatt fontossá válik a kommunikáció biztonságának megteremtése
19 Történeti áttekintés Szerveződés a német oldalon Az I. világháborút követően: Németország nem adja fel hatalmi törekvéseit 1920-as évek: A Wehrmacht új erőre kap, emiatt fontossá válik a kommunikáció biztonságának megteremtése a németek is tudják: rádiós üzeneteik könnyen lehallgathatóak
20 Történeti áttekintés Szerveződés a német oldalon Az I. világháborút követően: Németország nem adja fel hatalmi törekvéseit 1920-as évek: A Wehrmacht új erőre kap, emiatt fontossá válik a kommunikáció biztonságának megteremtése a németek is tudják: rádiós üzeneteik könnyen lehallgathatóak megoldás: REJTJELEZÉS
21 Történeti áttekintés Szerveződés a német oldalon Az I. világháborút követően: Németország nem adja fel hatalmi törekvéseit 1920-as évek: A Wehrmacht új erőre kap, emiatt fontossá válik a kommunikáció biztonságának megteremtése a németek is tudják: rádiós üzeneteik könnyen lehallgathatóak megoldás: REJTJELEZÉS 1928-tól tesztelni kezdik az Enigma katonai változatát
22 Történeti áttekintés Eközben a másik oldal sem tétlenkedik... Franciaország és Nagy-Brittannia: győzelmi mámorban ég
23 Történeti áttekintés Eközben a másik oldal sem tétlenkedik... Franciaország és Nagy-Brittannia: győzelmi mámorban ég Lengyelország ennél gyanakvóbb, ezért folyamatosan lehallgatják és megfejtik a német rádiós üzeneteket
24 Történeti áttekintés Eközben a másik oldal sem tétlenkedik... Franciaország és Nagy-Brittannia: győzelmi mámorban ég Lengyelország ennél gyanakvóbb, ezért folyamatosan lehallgatják és megfejtik a német rádiós üzeneteket módszereik: nyelvészeti módszerek
25 Történeti áttekintés Eközben a másik oldal sem tétlenkedik... Franciaország és Nagy-Brittannia: győzelmi mámorban ég Lengyelország ennél gyanakvóbb, ezért folyamatosan lehallgatják és megfejtik a német rádiós üzeneteket módszereik: nyelvészeti módszerek karakterek gyakoriságának vizsgálata
26 Történeti áttekintés Eközben a másik oldal sem tétlenkedik... Franciaország és Nagy-Brittannia: győzelmi mámorban ég Lengyelország ennél gyanakvóbb, ezért folyamatosan lehallgatják és megfejtik a német rádiós üzeneteket módszereik: nyelvészeti módszerek karakterek gyakoriságának vizsgálata 1928: az eddig használt módszerek kudarcba fulladnak
27 Történeti áttekintés Eközben a másik oldal sem tétlenkedik... Franciaország és Nagy-Brittannia: győzelmi mámorban ég Lengyelország ennél gyanakvóbb, ezért folyamatosan lehallgatják és megfejtik a német rádiós üzeneteket módszereik: nyelvészeti módszerek karakterek gyakoriságának vizsgálata 1928: az eddig használt módszerek kudarcba fulladnak a lengyelek rájönnek, hogy a németek gépi titkosításra váltottak
28 Történeti áttekintés Lengyelek a pácban... a lengyeleknél az újfajta titkosírás megfejtésére irányuló lázas munka kezdődik
29 Történeti áttekintés Lengyelek a pácban... a lengyeleknél az újfajta titkosírás megfejtésére irányuló lázas munka kezdődik nyugati mintára létrehozzák saját titkosírással foglalkozó szervezetüket, a Biuro Szyfrów-t
30 Történeti áttekintés Lengyelek a pácban... a lengyeleknél az újfajta titkosírás megfejtésére irányuló lázas munka kezdődik nyugati mintára létrehozzák saját titkosírással foglalkozó szervezetüket, a Biuro Szyfrów-t évek telnek el, eredménytelenül...
31 Történeti áttekintés Lengyelek a pácban... a lengyeleknél az újfajta titkosírás megfejtésére irányuló lázas munka kezdődik nyugati mintára létrehozzák saját titkosírással foglalkozó szervezetüket, a Biuro Szyfrów-t évek telnek el, eredménytelenül... a nyelvészek kudarcot vallanak...
32 Történeti áttekintés Lengyelek a pácban... a lengyeleknél az újfajta titkosírás megfejtésére irányuló lázas munka kezdődik nyugati mintára létrehozzák saját titkosírással foglalkozó szervezetüket, a Biuro Szyfrów-t évek telnek el, eredménytelenül... a nyelvészek kudarcot vallanak... minden próbálkozás, még a látnokok bevonása is, csődöt mond...
33 Történeti áttekintés Az első használható ötlet Maksymilian Ciezki, a Lengyel Titkosszolgálat századosa fejéből kipattan az ötlet:
34 Történeti áttekintés Az első használható ötlet Maksymilian Ciezki, a Lengyel Titkosszolgálat századosa fejéből kipattan az ötlet: ha már a látnokok sem segíthetnek,
35 Történeti áttekintés Az első használható ötlet Maksymilian Ciezki, a Lengyel Titkosszolgálat századosa fejéből kipattan az ötlet: ha már a látnokok sem segíthetnek, MI LENNE, HA BEVONNÁNK A MATEMATIKUSOKAT??
36 Történeti áttekintés Ciezki ötletének megvalósítása a poznani egyetemen Kriptoanalízis címmel új kurzust indítanak
37 Történeti áttekintés Ciezki ötletének megvalósítása a poznani egyetemen Kriptoanalízis címmel új kurzust indítanak három kiemelkedő diák a kurzuson Jerzy Rúzycki Marian Rejewski Henryk Zygalski
38 Történeti áttekintés Ciezki ötletének megvalósítása a poznani egyetemen Kriptoanalízis címmel új kurzust indítanak három kiemelkedő diák a kurzuson Jerzy Rúzycki Marian Rejewski Henryk Zygalski mindhárman elfogadják a titkosszolgálat felkérését Hosszú évek sikertelensége után végre komoly munka kezdődhet az Enigma feltörésében.
39 Tudni illik... avagy a titkosírásokról általában Nyílt üzenet:
40 Tudni illik... avagy a titkosírásokról általában Nyílt üzenet: Titkos üzenet:
41 Tudni illik... amit már Ceasar is tudott Julius Ceasar a szenátus tagjainak és a római sereg vezérének adott utasításait titkosítva kívánta elküldeni. Ezért:
42 Tudni illik... amit már Ceasar is tudott Julius Ceasar a szenátus tagjainak és a római sereg vezérének adott utasításait titkosítva kívánta elküldeni. Ezért: az üzenet minden betűjét az ábécében rá következő 3. betűvel helyettesítette
43 Tudni illik... amit már Ceasar is tudott Julius Ceasar a szenátus tagjainak és a római sereg vezérének adott utasításait titkosítva kívánta elküldeni. Ezért: az üzenet minden betűjét az ábécében rá következő 3. betűvel helyettesítette algoritmus: az ábécében eltolni x hellyel
44 Tudni illik... amit már Ceasar is tudott Julius Ceasar a szenátus tagjainak és a római sereg vezérének adott utasításait titkosítva kívánta elküldeni. Ezért: az üzenet minden betűjét az ábécében rá következő 3. betűvel helyettesítette algoritmus: az ábécében eltolni x hellyel kulcs: x = 3
45 Tudni illik... amit már Ceasar is tudott Julius Ceasar a szenátus tagjainak és a római sereg vezérének adott utasításait titkosítva kívánta elküldeni. Ezért: az üzenet minden betűjét az ábécében rá következő 3. betűvel helyettesítette algoritmus: az ábécében eltolni x hellyel kulcs: x = 3 pl.: MENJ PHQK
46 Tudni illik... amit már Ceasar is tudott Julius Ceasar a szenátus tagjainak és a római sereg vezérének adott utasításait titkosítva kívánta elküldeni. Ezért: az üzenet minden betűjét az ábécében rá következő 3. betűvel helyettesítette algoritmus: az ábécében eltolni x hellyel kulcs: x = 3 pl.: MENJ PHQK Ceasar titkosírása kevés próbálgatás árán megfejthető.
47 Tudni illik... a monoalfabetikus titkosírásokról A monoalfabetikus titkosírás nem más, mint Ceasar módszerének általánosítása:
48 Tudni illik... a monoalfabetikus titkosírásokról A monoalfabetikus titkosírás nem más, mint Ceasar módszerének általánosítása: Táblázatot készítünk a karakterek más karakterekkel való helyettesítéséhez. x a b c... e... j... m n... x y z ϕ(x) f h d... s... u... l y... q v t MENJ ϕ(m)ϕ(e)ϕ(n)ϕ(j) = LSYU
49 Tudni illik... a monoalfabetikus titkosírásokról A monoalfabetikus titkosírás nem más, mint Ceasar módszerének általánosítása: Táblázatot készítünk a karakterek más karakterekkel való helyettesítéséhez. x a b c... e... j... m n... x y z ϕ(x) f h d... s... u... l y... q v t MENJ ϕ(m)ϕ(e)ϕ(n)ϕ(j) = LSYU Általános monoalfabetikus titkosírásokat a karakterek gyakoriságának vizsgálatán alapuló módszerekkel lehet visszafejteni.
50 Tudni illik... vannak biztonsági követelmények A titkosírás alapelvei: 1. Ne használd ugyanazt a kulcsot különböző szövegek kódolásához.
51 Tudni illik... vannak biztonsági követelmények A titkosírás alapelvei: 1. Ne használd ugyanazt a kulcsot különböző szövegek kódolásához. 2. Ne kódold ugyanazt a szöveget két különböző kulccsal.
52 Tudni illik... vannak biztonsági követelmények A titkosírás alapelvei: 1. Ne használd ugyanazt a kulcsot különböző szövegek kódolásához. 2. Ne kódold ugyanazt a szöveget két különböző kulccsal. 3. Feltételezd, hogy az ellenség tudja a bekódolási algoritmust.
53 Tudni illik... vannak biztonsági követelmények A titkosírás alapelvei: 1. Ne használd ugyanazt a kulcsot különböző szövegek kódolásához. 2. Ne kódold ugyanazt a szöveget két különböző kulccsal. 3. Feltételezd, hogy az ellenség tudja a bekódolási algoritmust. 4. Ne becsüld alá az ellenséget.
54 Az első lengyel sejtések Változatos statisztikai tesztek alkalmazásásval a lengyelek rájöttek, hogy
55 Az első lengyel sejtések Változatos statisztikai tesztek alkalmazásásval a lengyelek rájöttek, hogy az Enigma esetében az első 6 karakter az indikátor (az a szövegrészlet, mely információt tartalmaz a kulcsról)
56 Az első lengyel sejtések Változatos statisztikai tesztek alkalmazásásval a lengyelek rájöttek, hogy az Enigma esetében az első 6 karakter az indikátor (az a szövegrészlet, mely információt tartalmaz a kulcsról) az Enigma által generált titkosírás valószínűleg polialfabetikus, azaz
57 Az első lengyel sejtések Változatos statisztikai tesztek alkalmazásásval a lengyelek rájöttek, hogy az Enigma esetében az első 6 karakter az indikátor (az a szövegrészlet, mely információt tartalmaz a kulcsról) az Enigma által generált titkosírás valószínűleg polialfabetikus, azaz minden karaktert egyszerű megfeleltetéssel egy másikra cserélnek, ám szemben Ceasar módszerével a rejtjelezett betű az eredeti betű szövegben elfoglalt helyétől is függ
58 Egy porszem a német gépezetben Az élet Németországban sem mindenkinek fenékig tejfel...
59 Egy porszem a német gépezetben Az élet Németországban sem mindenkinek fenékig tejfel... a pénzügyi gondokkal küzdő Hans-Thilo Schmidt az Enigma áruba bocsátásával remélt kilábalni a válságból
60 Egy porszem a német gépezetben Az élet Németországban sem mindenkinek fenékig tejfel... a pénzügyi gondokkal küzdő Hans-Thilo Schmidt az Enigma áruba bocsátásával remélt kilábalni a válságból 1931, Belgium: kapcsolatba lép egy Rex fedőnevű francia hírszerzővel
61 Egy porszem a német gépezetben Az élet Németországban sem mindenkinek fenékig tejfel... a pénzügyi gondokkal küzdő Hans-Thilo Schmidt az Enigma áruba bocsátásával remélt kilábalni a válságból 1931, Belgium: kapcsolatba lép egy Rex fedőnevű francia hírszerzővel 7 éven át szolgál információkkal
62 Egy porszem a német gépezetben Az élet Németországban sem mindenkinek fenékig tejfel... a pénzügyi gondokkal küzdő Hans-Thilo Schmidt az Enigma áruba bocsátásával remélt kilábalni a válságból 1931, Belgium: kapcsolatba lép egy Rex fedőnevű francia hírszerzővel 7 éven át szolgál információkkal Franciaország nem tartja lényegesnek a kapott információkat. Egy korábbi együttműködési szerződés alapján átadja ezeket a Lengyel Hírszerzésnek.
63 Az Enigma felépítése A szerkezet részei: 1. billentyűzet 2. kijelző 3. kapcsolótábla 4. keverőtárcsák 5. visszafordító
64 Az Enigma felépítése A keverőtárcsák: lánckerék ábécés gyűrű tengely retesz kábeltartó érintkező pár továbbító horony
65 Az Enigma működési elve Az áram útja egy billentyű lenyomása után: kapcsolótábla (melyen bizonyos betűk felcserélhetők, pl.: telefonközpont) keverőtárcsák (a 3 keverőtárcsa egymás után, egymástól függetlenül permutálja a karaktereket) visszafordító (másik útvonalon küldi vissza az elektromos jelet)
66 Az Enigma keverőtárcsák működése az első helyen lévő keverőtárcsa minden karakter leütését követően egy betű helynyit fordul
67 Az Enigma keverőtárcsák működése az első helyen lévő keverőtárcsa minden karakter leütését követően egy betű helynyit fordul a második helyen lévő keverőtárcsa az első tárcsa által megtett minden kör után fordul egy karakternyit
68 Az Enigma keverőtárcsák működése az első helyen lévő keverőtárcsa minden karakter leütését követően egy betű helynyit fordul a második helyen lévő keverőtárcsa az első tárcsa által megtett minden kör után fordul egy karakternyit a harmadik helyen lévő keverőtárcsa a második által megtett körönként fordul egy helynyit
69 Az Enigma használata a napi kód A napi kód meghatározza, hogy adott napon milyen feltételek szerint kell az Enigmát beállítani. Megadja
70 Az Enigma használata a napi kód A napi kód meghatározza, hogy adott napon milyen feltételek szerint kell az Enigmát beállítani. Megadja 1. a keverőtárcsák sorrendjét, pl.: II. III. I.
71 Az Enigma használata a napi kód A napi kód meghatározza, hogy adott napon milyen feltételek szerint kell az Enigmát beállítani. Megadja 1. a keverőtárcsák sorrendjét, pl.: II. III. I. 2. az ábécés gyűrűk állását, pl.: K, U, B
72 Az Enigma használata a napi kód A napi kód meghatározza, hogy adott napon milyen feltételek szerint kell az Enigmát beállítani. Megadja 1. a keverőtárcsák sorrendjét, pl.: II. III. I. 2. az ábécés gyűrűk állását, pl.: K, U, B 3. a kapcsolótábla érintkezéseit, pl.: AU, CR, DK, JZ, LN, PS
73 Az Enigma használata a napi kód A napi kód meghatározza, hogy adott napon milyen feltételek szerint kell az Enigmát beállítani. Megadja 1. a keverőtárcsák sorrendjét, pl.: II. III. I. 2. az ábécés gyűrűk állását, pl.: K, U, B 3. a kapcsolótábla érintkezéseit, pl.: AU, CR, DK, JZ, LN, PS A napi kódokat negyedévre előre megkapta minden operátor. Az ábécés gyűrűk állását és a kapcsolótábla érintkezéseit naponta, ám a keverőtárcsák sorrendjét csak negyedévente változtatták.
74 Az Enigma használata a napi kód Egy eredeti kódkönyv:
75 Az Enigma használata az üzenetkód Az üzenetkód egy ideiglenes kulcs, mely üzenetenként változik. Használata:
76 Az Enigma használata az üzenetkód Az üzenetkód egy ideiglenes kulcs, mely üzenetenként változik. Használata: az operátor véletlenszerűen kiválaszt három karaktert pl.: HTS
77 Az Enigma használata az üzenetkód Az üzenetkód egy ideiglenes kulcs, mely üzenetenként változik. Használata: az operátor véletlenszerűen kiválaszt három karaktert pl.: HTS beállítja az Enigmát a napi kód szerint
78 Az Enigma használata az üzenetkód Az üzenetkód egy ideiglenes kulcs, mely üzenetenként változik. Használata: az operátor véletlenszerűen kiválaszt három karaktert pl.: HTS beállítja az Enigmát a napi kód szerint a választott karaktereket kétszer egymás után leírja (számolva a rádiós adás zavarásával), majd ezt a hat karaktert elkódolja pl.: HTSHTS NEWGWY
79 Az Enigma használata az üzenetkód úgy állítja be az Enigmát, hogy az ábécés gyűrűk állása megegyezzen az általa választott karakterekkel (példánkban HTS )
80 Az Enigma használata az üzenetkód úgy állítja be az Enigmát, hogy az ábécés gyűrűk állása megegyezzen az általa választott karakterekkel (példánkban HTS ) elkódolja az üzenetet pl.: HELLO NEWGWY BPTQS
81 Az Enigma használata az üzenet dekódolása Az operátor beállítja az enigmát a napi kód szerint.
82 Az Enigma használata az üzenet dekódolása Az operátor beállítja az enigmát a napi kód szerint. Betáplálja a gépbe az üzenetkódót. Ha nem sérült az üzenet, akkor az eredeti 3 véletlen karaktert kapja vissza kétszer egymás után. pl.: NEWGWY HTSHTS
83 Az Enigma használata az üzenet dekódolása Az operátor beállítja az enigmát a napi kód szerint. Betáplálja a gépbe az üzenetkódót. Ha nem sérült az üzenet, akkor az eredeti 3 véletlen karaktert kapja vissza kétszer egymás után. pl.: NEWGWY HTSHTS Ezután úgy állítja be az Enigmát, hogy az ábécés gyűrűk állása megegyezzen az általa kapott karakterekkel (példánkban HTS )
84 Az Enigma használata az üzenet dekódolása Az operátor beállítja az enigmát a napi kód szerint. Betáplálja a gépbe az üzenetkódót. Ha nem sérült az üzenet, akkor az eredeti 3 véletlen karaktert kapja vissza kétszer egymás után. pl.: NEWGWY HTSHTS Ezután úgy állítja be az Enigmát, hogy az ábécés gyűrűk állása megegyezzen az általa kapott karakterekkel (példánkban HTS ) végül dekódolja az üzenetet pl.: NEWGWY BPTQS HELLO
85 Az Enigma feltörése A lehetőségek száma Hányféle ENIGMA lehet? 26! 5, de: Az áram folyik. Oda-vissza!
86 Két apró hiba A németek két ponton rendszeresen megszegik a titkosírás alapelveit:
87 Két apró hiba A németek két ponton rendszeresen megszegik a titkosírás alapelveit: 1. adott napon minden üzenetet azonos kulccsal (napi kóddal) kódolnak
88 Két apró hiba A németek két ponton rendszeresen megszegik a titkosírás alapelveit: 1. adott napon minden üzenetet azonos kulccsal (napi kóddal) kódolnak 2. minden üzenetkódot kétszer kódolnak, különböző kulccsal
89 A feltörés kezdetei Mit tudnak a lengyelek? 1932 decemberében a következő információkkal rendelkeznek: birtokukban van a kereskedelmi Enigma (kapcsolótábla nélkül, és a katonai Enigmáétól különböző keverőtárcsákkal és visszafordítóval)
90 A feltörés kezdetei Mit tudnak a lengyelek? 1932 decemberében a következő információkkal rendelkeznek: birtokukban van a kereskedelmi Enigma (kapcsolótábla nélkül, és a katonai Enigmáétól különböző keverőtárcsákkal és visszafordítóval) ismerik a használati utasítást
91 A feltörés kezdetei Mit tudnak a lengyelek? 1932 decemberében a következő információkkal rendelkeznek: birtokukban van a kereskedelmi Enigma (kapcsolótábla nélkül, és a katonai Enigmáétól különböző keverőtárcsákkal és visszafordítóval) ismerik a használati utasítást tudják az 1932 szeptemberére és októberére vonatkozó napi kódokat (két különböző negyedév, tehát más a keverőtárcsák sorrendje)
92 A feltörés kezdetei Mit tudnak a lengyelek? 1932 decemberében a következő információkkal rendelkeznek: birtokukban van a kereskedelmi Enigma (kapcsolótábla nélkül, és a katonai Enigmáétól különböző keverőtárcsákkal és visszafordítóval) ismerik a használati utasítást tudják az 1932 szeptemberére és októberére vonatkozó napi kódokat (két különböző negyedév, tehát más a keverőtárcsák sorrendje) számos elkapott üzenetük van, nem csak szeptember és október hónapból
93 Az Enigma feltörése a keverőberendezés matematikai modellje Az Enigma feltörése a gyakorlatban nem más, mint a három keverőtárcsa (N, M, L) és a visszafordító (R) permutációjának megfejtése.
94 Az Enigma feltörése a keverőberendezés matematikai modellje Az Enigma feltörése a gyakorlatban nem más, mint a három keverőtárcsa (N, M, L) és a visszafordító (R) permutációjának megfejtése. R diszjunkt cserék szorzataként áll elő
95 Az Enigma feltörése a keverőberendezés matematikai modellje Az Enigma feltörése a gyakorlatban nem más, mint a három keverőtárcsa (N, M, L) és a visszafordító (R) permutációjának megfejtése. R diszjunkt cserék szorzataként áll elő tekintve, hogy a tárcsák forognak, legyen P := (a, b, c,..., x, y, z) 26 hosszú ciklus
96 Az Enigma feltörése a keverőberendezés matematikai modellje Az Enigma feltörése a gyakorlatban nem más, mint a három keverőtárcsa (N, M, L) és a visszafordító (R) permutációjának megfejtése. R diszjunkt cserék szorzataként áll elő tekintve, hogy a tárcsák forognak, legyen P := (a, b, c,..., x, y, z) 26 hosszú ciklus jejöljük S-sel a kapcsolótábla által leírt permutációt (ezt a napi kód határozza meg, mely a kémtevékenységnek köszönhetően általában ismert volt)
97 Az Enigma feltörése a keverőberendezés matematikai modellje Az áram folyik. Oda-vissza. HTSHTS megkapunk egy 3-mal való eltolás (1. HIBA!!!!)
98 Az Enigma feltörése az első hat karakterre felírható permutációk Jelöljük az első karakteren ható permutációt A-val, a másodikon hatót B-vel, és így tovább C-vel, D-vel, E-vel és F-fel a következő karaktereken hatókat.
99 Az Enigma feltörése az első hat karakterre felírható permutációk Jelöljük az első karakteren ható permutációt A-val, a másodikon hatót B-vel, és így tovább C-vel, D-vel, E-vel és F-fel a következő karaktereken hatókat. Ezekre a következő permutációs egyenleteket kapjuk (2. HIBA!!!): A = S 1 P 1 N 1 PM 1 L 1 RLMP 1 NPS B = S 1 P 2 N 1 P 2 M 1 L 1 RLMP 2 NP 2 S C = S 1 P 3 N 1 P 3 M 1 L 1 RLMP 3 NP 3 S D = S 1 P 4 N 1 P 4 M 1 L 1 RLMP 4 NP 4 S E = S 1 P 5 N 1 P 5 M 1 L 1 RLMP 5 NP 5 S F = S 1 P 6 N 1 P 6 M 1 L 1 RLMP 6 NP 6 S
100 Az Enigma feltörése az első hat karakterre felírható permutációk Jelöljük az első karakteren ható permutációt A-val, a másodikon hatót B-vel, és így tovább C-vel, D-vel, E-vel és F-fel a következő karaktereken hatókat. Ezekre a következő permutációs egyenleteket kapjuk (2. HIBA!!!): A = S 1 P 1 N 1 PM 1 L 1 RLMP 1 NPS B = S 1 P 2 N 1 P 2 M 1 L 1 RLMP 2 NP 2 S C = S 1 P 3 N 1 P 3 M 1 L 1 RLMP 3 NP 3 S D = S 1 P 4 N 1 P 4 M 1 L 1 RLMP 4 NP 4 S E = S 1 P 5 N 1 P 5 M 1 L 1 RLMP 5 NP 5 S F = S 1 P 6 N 1 P 6 M 1 L 1 RLMP 6 NP 6 S Rejewskiék előtt csak a P permutáció volt ismert.
101 Az Enigma feltörése az egyenletek megoldása az R permutáció diszjunkt cserék szorzata, ezért R 2 = I A, B, C, D, E és F mind konjugáltak R-rel, így A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = E 2 = F 2 = I Ezek a permutációk azonban továbbra is ismeretlenek a lengyeleknek.
102 Az Enigma feltörése napi karakterisztikák Az indikátorból a következő módon megkaphatjuk a Rejewski által "napi karakterisztikák"-nak nevezett DA, EB és FC szorzatokat: legyen az üzenetkód az xyz betűhármas Ha ezt kétszer beütjük: az rstuvw betűhatos adódik. Ez az xyzxyz kódolt változata ekkor Ax = r és Dx = u Mivel D is cserék (transzpozíciók) szorzata, ezért Du = x, így DAr = u amennyiben adott napon elegendő elkapott üzenettel rendelkezünk, ismertté válnak a DA, EB, FC permutációk
103 Az Enigma feltörése napi karakterisztikák Az első indikátorból megkaphatjuk például, hogy A második indikátorból: DAa = a, EBu = m, FCq = n DAb = c, EBn = h, FCh = i Ha adott napon elég elkapott üzenetünk van, megkaphatjuk a karakterisztikákat. DA = (a), (s), (bc), (rw), (dvpfkxgzyo), (eijmunqlht) EB = (axt), (blfqveoum), (cgy), (d), (hjpswizm), (k) FC = (abviktjgfcqny), (duzrehlxwpsmo)
104 Az Enigma feltörése napi karakterisztikák A karakterisztikákra következő permutációk írhatók fel: Ha A = S 1 P 1 N 1 PM 1 L 1 RLMP 1 NPS és D = S 1 P 4 N 1 P 4 M 1 L 1 RLMP 4 NP 4 S adódik, hogy DA = S 1 P 4 N 1 P 4 M 1 L 1 RLMP 4 NP 3 N 1 PM 1 L 1 RLMP 1 NPS EB = S 1 P 5 N 1 P 5 M 1 L 1 RLMP 5 NP 3 N 1 P 2 M 1 L 1 RLMP 2 NP 2 S FC = S 1 P 6 N 1 P 6 M 1 L 1 RLMP 6 NP 3 N 1 P 3 M 1 L 1 RLMP 3 NP 3 S
105 Az Enigma feltörése napi karakterisztikák A Q := M 1 L 1 RLM jelölést bevezetve az alábbi egyenletekhez jutunk: DA = S 1 P 4 N 1 P 4 QP 4 NP 3 N 1 PQP 1 NPS EB = S 1 P 5 N 1 P 5 QP 5 NP 3 N 1 P 2 QP 2 NP 2 S FC = S 1 P 6 N 1 P 6 QP 6 NP 3 N 1 P 3 QP 3 NP 3 S Mivel N és Q ismeretlen, a fenti egyenletek továbbra sem oldhatók meg.
106 Az Enigma feltörése Rejewski egy tétele Tétel Egy K permutáció pontosan akkor fejezhető ki két, a ciklusfelbontásukban csak cseréket tartalmazó X, Y szorzataként, ha K ciklusfelbontásában minden hosszúságú ciklusból páros sok van.
107 Bizonyítás Tegyük fel, hogy K = YX. Tekintsük az X (a 1, a 2 ) cseréjét. A szorzatban az a 1, a 2 elemeket az (a 1, a 3,..., a 2k 1 ) és az (a 2, a 2k, a 2k 4,..., a 4 ) ciklus tartalmazza, melyek hossza megegyezik. Így adódik, hogy adott hosszúságú ciklusból páros sok van a szorzatban.
108 Az Enigma feltörése Rejewski egy tétele Bizonyítás Legyen K két k hosszú ciklus szorzata K = (a 1, a 3,..., a 2k 1 )(a 2, a 2k, a 2k 4,..., a 4 ) Tegyük fel, hogy X tartalmazza az (a 1, a 2 ) cserét. Szeretnénk, hogy K = YX teljesüljön Y tartalmazza az (a 2, a 3 ) cserét. Hasonlóan X-nek tartalmaznia kell az (a 3, a 4 )-et. Ezt ismételve megkaphatjuk az X és Y permutációkat. Itt X és Y kizárólag a 1 és a 2 választásától függ, így összesen k-féle felbontás létezik.
109 Az Enigma feltörése Rejewski tételének alkalmazása Ezt a tételt alkalmazhatjuk az előbbi példára: DA = (a), (s), (bc), (rw), (dvpfkxgzyo), (eijmunqlht) EB = (axt), (blfqveoum), (cgy), (d), (hjpswizrn), (k) FC = (abviktjgfcqnz), (duzrehlxwpsmo)
110 Az Enigma feltörése Rejewski tételének alkalmazása Ezt a tételt alkalmazhatjuk az előbbi példára: DA = (a), (s), (bc), (rw), (dvpfkxgzyo), (eijmunqlht) EB = (axt), (blfqveoum), (cgy), (d), (hjpswizrn), (k) FC = (abviktjgfcqnz), (duzrehlxwpsmo) Ebben az esetben 13 lehetséges C és F, 3 9 B és E, és 2 10 A és D permutáció létezik. Összegezve: 7020 a lehetőségek száma.
111 Az Enigma feltörése pszichikai tényezők Rejewski ezt a számot tovább akarta csökkenteni, s ekkor meglátta az embert a gép mögött: észrevette, hogy az elkapott üzenetek indikátorai közül sok megegyezik
112 Az Enigma feltörése pszichikai tényezők Rejewski ezt a számot tovább akarta csökkenteni, s ekkor meglátta az embert a gép mögött: észrevette, hogy az elkapott üzenetek indikátorai közül sok megegyezik felismerte, hogy az operátorok monoton, unalmas munkája figyelmetlenségre adhat okot
113 Az Enigma feltörése pszichikai tényezők Rejewski ezt a számot tovább akarta csökkenteni, s ekkor meglátta az embert a gép mögött: észrevette, hogy az elkapott üzenetek indikátorai közül sok megegyezik felismerte, hogy az operátorok monoton, unalmas munkája figyelmetlenségre adhat okot feltételezte, hogy az operátorok nem teljesen véletlenszerűen választják meg az üzenetkódot
114 Az Enigma feltörése pszichikai tényezők Rejewski ezt a számot tovább akarta csökkenteni, s ekkor meglátta az embert a gép mögött: észrevette, hogy az elkapott üzenetek indikátorai közül sok megegyezik felismerte, hogy az operátorok monoton, unalmas munkája figyelmetlenségre adhat okot feltételezte, hogy az operátorok nem teljesen véletlenszerűen választják meg az üzenetkódot tudta, hogy a németek szeretik a rendet
115 Az Enigma feltörése pszichikai tényezők Rejewski ezt a számot tovább akarta csökkenteni, s ekkor meglátta az embert a gép mögött: észrevette, hogy az elkapott üzenetek indikátorai közül sok megegyezik felismerte, hogy az operátorok monoton, unalmas munkája figyelmetlenségre adhat okot feltételezte, hogy az operátorok nem teljesen véletlenszerűen választják meg az üzenetkódot tudta, hogy a németek szeretik a rendet az a sejtése támadt, hogy az egyszerűség kedvéért 3 azonos, vagy 3 a billentyűzeten egymás melletti karaktert választanak
116 Az Enigma feltörése pszichikai tényezők Rejewski megvizsgálta, hogy például az SYX SCW indikátor származhat-e az AAA üzenetkódból, vagyis lehet-e Aa = s, Ba = x és Ca = y FC két 13 hosszúságú ciklus szorzata ez egyértelműen meghatározza C-t és F-et másik két hasonló sejtés segítségével Rejewski meg tudta határozni az A, B, C, D, E, F permutációkat
117 Az Enigma feltörése pszichikai tényezők Az alábbi táblázat egy adott nap indikátorai alapján visszafejtett üzenetkódokat tartalmazza: AUQ AMN: sss IKG JKF: ddd QGA LYB: xxx VQZ PVR: ert BNH CHL: rfv IND JHU: dfg RJL WPX: bbb WTM RAO: ccc BCT CGJ: rtz JWF MIC: ooo RFC WQQ: bnm WKI RKK: cde CIK BZT: wer KHB XJV: lll SYX SCW: aaa XRS GNM: qqq BBD VDV: ikl LDR HDE: kkk SJN SPO: abc XOI GUK: qwe EJP IPS: vbn MAW UXP: yyy SUG SMF: asd XYW GCP: qay FBR KLE: hjk NXD QTU: ggg TMN EBY: ppp YPC OSQ: mmm GBP ZSV: nml NLU QFZ: ghj TAA EXB: pyx ZZY YRA: uvw HNO THD: fff OBU DLZ: jjj USE NWH: zui ZEF YOC: uio HXV TTI: fgh PVJ FEG: tzu VII PZK: eee ZSJ YWG: uuu Két üzenetkód (abc és uvw) kivételével mindegyik ilyen.
118 Az Enigma feltörése az egyenletrendszer tovább egyszerűsödött... Hála Rejewski ötletének, a baloldalon szereplő kifejezések már ismertek: A = S 1 P 1 N 1 PQP 1 NPHS B = S 1 P 2 N 1 P 2 QP 2 NP 2 HS C = S 1 P 3 N 1 P 3 QP 3 NP 3 HS D = S 1 P 4 N 1 P 4 QP 4 NP 4 HS E = S 1 P 5 N 1 P 5 QP 5 NP 5 HS F = S 1 P 6 N 1 P 6 QP 6 NP 6 HS
119 Az Enigma feltörése és még tovább egyszerűsödött... Tekintve, hogy a vizsgált nap 1932 szeptemberére esett, Rejewski ismerte a napi kódot (S) SAS 1 = P 1 N 1 PQP 1 NP SBS 1 = P 2 N 1 P 2 QP 2 NP 2 SCS 1 = P 3 N 1 P 3 QP 3 NP 3 SDS 1 = P 4 N 1 P 4 QP 4 NP 4 SES 1 = P 5 N 1 P 5 QP 5 NP 5 SFS 1 = P 6 N 1 P 6 QP 6 NP 6
120 Az Enigma feltörése és még tovább egyszerűsödött... Rejewski a következő hat egyenlethez jutott, ahol N és Q ismeretlen: T = PSAS 1 P 1 = N 1 PQP 1 N U = P 2 SBS 1 P 2 = N 1 P 2 QP 2 N W = P 3 SCS 1 P 3 = N 1 P 3 QP 3 N X = P 4 SDS 1 P 4 = N 1 P 4 QP 4 N Y = P 5 SES 1 P 5 = N 1 P 5 QP 5 N Z = P 6 SFS 1 P 6 = N 1 P 6 QP 6 N
121 Az Enigma feltörése és még tovább egyszerűsödött... Az egymás alatt elhelyezkedő egyenletek összeszorzásával Rejewski öt egyenletből álló egyenletrendszert kapott: UT = N 1 P(PQP 1 Q)P 1 N WU = N 1 P 2 (PQP 1 Q)P 2 N XW = N 1 P 3 (PQP 1 Q)P 3 N YX = N 1 P 4 (PQP 1 Q)P 4 N ZY = N 1 P 5 (PQP 1 Q)P 5 N
122 Az Enigma feltörése és még tovább egyszerűsödött... Az egyenletrendszerből kiküszöbölte a PQP 1 Q kifejezést. Az alábbi egyenletrendszerben már csak N ismeretlen: WU XV YX ZY = N 1 PN(UT )N 1 P 1 N = N 1 PN(WU)N 1 P 1 N = N 1 PN(XW )N 1 P 1 N = N 1 PN(YX)N 1 P 1 N = V 1 (UT )V = V 1 (WU)V = V 1 (XV )V = V 1 (YX)V A jobb áttekinthetőség érdekében bevezette a V = N 1 P 1 N jelölést. Vegyük észre, hogy minden egyenlet azonos, J = V 1 KV alakú, ahol J és K ismert.
123 Az Enigma feltörése egy definíció és egy tétel Definíció G és H permutáció akkor konjugált, ha létezik olyan V, hogy G = V 1 HV Tétel Két permutáció pontosan akkor konjugált, ha ciklusszerkezetük megegyezik.
124 Az Enigma feltörése a tétel alkalmazása A tétel segítségével az alábbi módon kereshetünk megoldásokat: Válasszunk két megegyező hosszúságú ciklust G és H ciklikus felbontásából. Válasszunk ki egy x elemet a G és egy y elemet a H kiválasztott ciklusaiból. Legyen Vx := y. Ekkor VG = HV miatt VG i x = H i Vx = H i y, ahol i = 1,..., 26 Vegyük észre, hogy ha V kielégíti az egyenletet, és HZ = ZH, akkor VZ is megoldás. Másrészről könnyen belátható, hogy a megoldás csak ilyen alakú lehet.
125 Az Enigma feltörése a tétel alkalmazása WU XV YX ZY = N 1 PN(UT )N 1 P 1 N = N 1 PN(WU)N 1 P 1 N = N 1 PN(XW )N 1 P 1 N = N 1 PN(YX)N 1 P 1 N = V 1 (UT )V = V 1 (WU)V = V 1 (XV )V = V 1 (YX)V Rejewski négy egyenletének mindegyikéhez találhatunk megoldás az előbb ismertetett módon. Közülük az lesz valódi V, mely az összes egyenletet kielégíti. Ez a megoldás egy ciklikus permutáció, mivel P 1 konjugáltja. Rejewski számára ily módon ismertté vált az N
126 Az Enigma feltörése a keverőtárcsákat leíró permutációk megfejtése A fenti módszerrel Rejewskinek sikerült leírnia a jobboldali keverőtárcsa permutációját.
127 Az Enigma feltörése a keverőtárcsákat leíró permutációk megfejtése A fenti módszerrel Rejewskinek sikerült leírnia a jobboldali keverőtárcsa permutációját. Ekkortájt a németek a tárcsák sorrendjét negyedévente változtatták.
128 Az Enigma feltörése a keverőtárcsákat leíró permutációk megfejtése A fenti módszerrel Rejewskinek sikerült leírnia a jobboldali keverőtárcsa permutációját. Ekkortájt a németek a tárcsák sorrendjét negyedévente változtatták. Rejewskiéknek szeptemberi és októberi napi kódjaik is voltak (az év két különböző negyedévéből), így a fent ismertetett módszerrel egy másik keverőtárcsa permutációja is ismertté vált.
129 Az Enigma feltörése a keverőtárcsákat leíró permutációk megfejtése A fenti módszerrel Rejewskinek sikerült leírnia a jobboldali keverőtárcsa permutációját. Ekkortájt a németek a tárcsák sorrendjét negyedévente változtatták. Rejewskiéknek szeptemberi és októberi napi kódjaik is voltak (az év két különböző negyedévéből), így a fent ismertetett módszerrel egy másik keverőtárcsa permutációja is ismertté vált. Ezek után könnyedén meghatározták a harmadik keverőtárcsa és a visszafordító permutációit.
130 Az Enigma feltörése a keverőtárcsákat leíró permutációk megfejtése A fenti módszerrel Rejewskinek sikerült leírnia a jobboldali keverőtárcsa permutációját. Ekkortájt a németek a tárcsák sorrendjét negyedévente változtatták. Rejewskiéknek szeptemberi és októberi napi kódjaik is voltak (az év két különböző negyedévéből), így a fent ismertetett módszerrel egy másik keverőtárcsa permutációja is ismertté vált. Ezek után könnyedén meghatározták a harmadik keverőtárcsa és a visszafordító permutációit re a lengyelek megépítették az Enigma katonai változatát, és az üzenetek többségét el tudták olvasni.
131 Az Enigma további sorsa a Ciklométer A lengyelek olyan módszert keresnek, amivel az üzenetek a napi kód ismerete nélkül is megfejthetők.
132 Az Enigma további sorsa a Ciklométer A lengyelek olyan módszert keresnek, amivel az üzenetek a napi kód ismerete nélkül is megfejthetők. Rejewski kifejleszti a Ciklométer nevű gépet (az Enigma egy módosított változata).
133 Az Enigma további sorsa a Ciklométer A lengyelek olyan módszert keresnek, amivel az üzenetek a napi kód ismerete nélkül is megfejthetők. Rejewski kifejleszti a Ciklométer nevű gépet (az Enigma egy módosított változata). A Ciklométer a napi karakterisztikákat vizsgálja, és a lehetőségek jó részét képes kizárni.
134 Az Enigma további sorsa a Ciklométer A lengyelek olyan módszert keresnek, amivel az üzenetek a napi kód ismerete nélkül is megfejthetők. Rejewski kifejleszti a Ciklométer nevű gépet (az Enigma egy módosított változata). A Ciklométer a napi karakterisztikákat vizsgálja, és a lehetőségek jó részét képes kizárni. A többi esetet a kriptográfusok ellenőrzik, míg megtalálják a megfelelő kezdőbeállítást.
135 Az Enigma további sorsa újabb nehézségek és kiküszöbölésük 1938 szeptember 15: a németek módosítják az Enigma használatát, eztán a tárcsák sorrendjét az operátorok üzenetenként változtatják.
136 Az Enigma további sorsa újabb nehézségek és kiküszöbölésük 1938 szeptember 15: a németek módosítják az Enigma használatát, eztán a tárcsák sorrendjét az operátorok üzenetenként változtatják. Probléma: kevés kódolt szöveg tartozik egy adott beállításhoz.
137 Az Enigma további sorsa újabb nehézségek és kiküszöbölésük 1938 szeptember 15: a németek módosítják az Enigma használatát, eztán a tárcsák sorrendjét az operátorok üzenetenként változtatják. Probléma: kevés kódolt szöveg tartozik egy adott beállításhoz. Megoldás: A Bomba elnevezésű szerkezetet és Zygalski lyukkártyáit használják.
138 Az Enigma további sorsa újabb nehézségek és kiküszöbölésük 1938 szeptember 15: a németek módosítják az Enigma használatát, eztán a tárcsák sorrendjét az operátorok üzenetenként változtatják. Probléma: kevés kódolt szöveg tartozik egy adott beállításhoz. Megoldás: A Bomba elnevezésű szerkezetet és Zygalski lyukkártyáit használják. a fenti módszerek a permutációk fix pontjainak vizsgálatán alapulnak.
139 Az Enigma további sorsa további szigorítás a német oldalon A németek három helyett öt tárcsát kezdenek használni (a napi kód határozza meg, hogy aznap melyik hármat).
140 Az Enigma további sorsa további szigorítás a német oldalon A németek három helyett öt tárcsát kezdenek használni (a napi kód határozza meg, hogy aznap melyik hármat). Három tárcsát hatféleképpen, ötöt már hatvanféleképpen lehet az Enigmában tenni.
141 Az Enigma további sorsa további szigorítás a német oldalon A németek három helyett öt tárcsát kezdenek használni (a napi kód határozza meg, hogy aznap melyik hármat). Három tárcsát hatféleképpen, ötöt már hatvanféleképpen lehet az Enigmában tenni. A lehetőségek megtízszereződésével a Bombák számát hatról hatvanra kellene növelni.
142 Az Enigma további sorsa további szigorítás a német oldalon A németek három helyett öt tárcsát kezdenek használni (a napi kód határozza meg, hogy aznap melyik hármat). Három tárcsát hatféleképpen, ötöt már hatvanféleképpen lehet az Enigmában tenni. A lehetőségek megtízszereződésével a Bombák számát hatról hatvanra kellene növelni. Lengyelország anyagi források híján erre képtelen.
143 Az Enigma további sorsa az Enigma angol kézre jut 1939 július 25-26: Varsóban találkozó
144 Az Enigma további sorsa az Enigma angol kézre jut 1939 július 25-26: Varsóban találkozó A lengyelek további kutatásra átadják a katonai enigma másolatát és a Bombák terveit a franciáknak és az angoloknak.
145 Az Enigma további sorsa az Enigma angol kézre jut 1939 július 25-26: Varsóban találkozó A lengyelek további kutatásra átadják a katonai enigma másolatát és a Bombák terveit a franciáknak és az angoloknak. Az első Enigma másolat a Bletchley Parkba kerül.
146 Az Enigma további sorsa angol eredmények Turing a Bomba alapján kidolgozza a Bombe terveit
147 Az Enigma további sorsa angol eredmények Turing a Bomba alapján kidolgozza a Bombe terveit Welchman újra kitalálja Zygalski lyukkártyáit
148 Az Enigma további sorsa angol eredmények Turing a Bomba alapján kidolgozza a Bombe terveit Welchman újra kitalálja Zygalski lyukkártyáit Harold "Doc" Keen megépíti a Bombe-t, azt az egytonnás kb. 2 méter magas, 2 méter széles elektromechanikus szerkezetet, melyet a mai számítógépek egyik elődjének tekintenek.
149 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma A flottánál szigorúbbak az Enigma használatának szabályai:
150 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma A flottánál szigorúbbak az Enigma használatának szabályai: valóban véletlenszerű üzenetkódok választása
151 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma A flottánál szigorúbbak az Enigma használatának szabályai: valóban véletlenszerű üzenetkódok választása sablonos szövegek írásának kerülése
152 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma A flottánál szigorúbbak az Enigma használatának szabályai: valóban véletlenszerű üzenetkódok választása sablonos szövegek írásának kerülése öt helyett nyolc tárcsa, és többféle visszafordító
153 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma A flottánál szigorúbbak az Enigma használatának szabályai: valóban véletlenszerű üzenetkódok választása sablonos szövegek írásának kerülése öt helyett nyolc tárcsa, és többféle visszafordító a kapitányoknak fenyegetettség esetén meg kell semmisíteni az Enigmát és a kódkönyveket
154 A nagy Ihlet avagy hogyan született a 007-es ügynök? Itt jön a képbe Ian Fleming:
155 A nagy Ihlet avagy hogyan született a 007-es ügynök? Itt jön a képbe Ian Fleming: Később a James Bond történetek szerzőjeként elhíresült Fleming egyik első 007-es színezetű sztoriját a valóság ihlette.
156 Az igazi James Bond A Könyörtelen Hadművelet Egyenesen a címzettnek! Címzett: a Heditengerészeti Hírszerzés vezetője Feladó: Ian Fleming Könyörtelen hadművelet A hadizsákmány megszerzésére a következő eszközöket javaslom: 1. A Légügyi Minisztérium segítségével végy egy repülésre képes német bombázót. 2. Végy egy öt főből álló kemény legénységet, legyen köztük egy németből perfekt pilóta, és egy rádiós. Az alkalomhoz illően addj hozzájuk némi vért és kötszert.
157 Az igazi James Bond A Könyörtelen Hadművelet 3 Adj le SOS jelzést a mentőegységeknek, majd ejtsd a gépet a La Manche csatornába. 4 A hajóra való átszállást követően lődd le és hajítsd ki a fedélzetről a német legénységet, majd hozd a hajót az angol partokhoz. Annak érdekében, hogy minél nagyobb esély legyen egy Raumboot (kis méretű aknaszedő hajó) vagy egy Minensuchboot (nagy méretű aknaszedő hajó) elfogására, annak nagyobb hadizsákmányával együtt, a zuhanást érdemes a csatorna közepén megrendezni. A németek nagyobb valószínűséggel használják a hosszabb és kockázatosabb útra ezeket a típusokat.
158 Az igazi James Bond A Könyörtelen Hadművelet FEDŐSZTORI: Fiatal tisztek partizán akicója
159 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma Az angolok nem tétlenkednek:
160 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma Az angolok nem tétlenkednek: Ian Fleming Könyörtelen Hadműveletét ugyan nem sikerül megvalósítaniuk, ám
161 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma Az angolok nem tétlenkednek: Ian Fleming Könyörtelen Hadműveletét ugyan nem sikerül megvalósítaniuk, ám 1941 májusában elsüllyesztenek egy U110-es német tengeralattjárót.
162 Az Enigma további sorsa haditengerészeti Enigma Az angolok nem tétlenkednek: Ian Fleming Könyörtelen Hadműveletét ugyan nem sikerül megvalósítaniuk, ám 1941 májusában elsüllyesztenek egy U110-es német tengeralattjárót. Fritz Julius Lemp kapitány gondatlanságának köszönhetően angol kézre jut a tengerészeti Enigma, és számos kódkönyv.
163 Az Enigma további sorsa a történet vége(?) Az amerikaiak is bekapcsolódnak a háborúba, és persze az Enigma vizsgálatába.
164 Az Enigma további sorsa a történet vége(?) Az amerikaiak is bekapcsolódnak a háborúba, és persze az Enigma vizsgálatába. Az Enigmával kódolt üzenetek megfejtése nyilvánvaló kihatással van a II. világháború folyamára.
165 Az Enigma további sorsa a történet vége(?) Az amerikaiak is bekapcsolódnak a háborúba, és persze az Enigma vizsgálatába. Az Enigmával kódolt üzenetek megfejtése nyilvánvaló kihatással van a II. világháború folyamára. A háború után az amerikaiak azonnal titkosítják az összes Enigmával kapcsolatos információt, attól félve, hogy a maffia kezére kerül. Csak 1987-ben hozzák nyilvánosságra az adatokat.
166 Az Enigma további sorsa a történet vége(?) Az amerikaiak is bekapcsolódnak a háborúba, és persze az Enigma vizsgálatába. Az Enigmával kódolt üzenetek megfejtése nyilvánvaló kihatással van a II. világháború folyamára. A háború után az amerikaiak azonnal titkosítják az összes Enigmával kapcsolatos információt, attól félve, hogy a maffia kezére kerül. Csak 1987-ben hozzák nyilvánosságra az adatokat. Rejewski cikkei a témában csak 1980-ban jelenhettek meg.
167 Az Enigma további sorsa a történet vége(?) Az amerikaiak is bekapcsolódnak a háborúba, és persze az Enigma vizsgálatába. Az Enigmával kódolt üzenetek megfejtése nyilvánvaló kihatással van a II. világháború folyamára. A háború után az amerikaiak azonnal titkosítják az összes Enigmával kapcsolatos információt, attól félve, hogy a maffia kezére kerül. Csak 1987-ben hozzák nyilvánosságra az adatokat. Rejewski cikkei a témában csak 1980-ban jelenhettek meg. Rejewski, Zygalski és Rúzycki 2000-ben poszthumusz kitüntetést kapott a Lengyel államtól.
168 Hol olvashatok erről még? Sehol :-( Mérai László negyedéves alkalmazott matematikus hallgató: Áttanulmányozta Rejewsky cikkeit
169 Hol olvashatok erről még? Sehol :-( Mérai László negyedéves alkalmazott matematikus hallgató: Áttanulmányozta Rejewsky cikkeit Rekonstruálta a feltörés folyamatát
170 Hol olvashatok erről még? Sehol :-( Mérai László negyedéves alkalmazott matematikus hallgató: Áttanulmányozta Rejewsky cikkeit Rekonstruálta a feltörés folyamatát Elkészített egy számítógéppel feltörhetetlen Enigmát
171 Hol olvashatok erről még? Sehol :-( Mérai László negyedéves alkalmazott matematikus hallgató: Áttanulmányozta Rejewsky cikkeit Rekonstruálta a feltörés folyamatát Elkészített egy számítógéppel feltörhetetlen Enigmát Írt belőle egy TDK dolgozatot
172 Hol olvashatok erről még? Sehol :-( Mérai László negyedéves alkalmazott matematikus hallgató: Áttanulmányozta Rejewsky cikkeit Rekonstruálta a feltörés folyamatát Elkészített egy számítógéppel feltörhetetlen Enigmát Írt belőle egy TDK dolgozatot Véletlenül megoldott egy régóta nyitott problémát doktorizott titkosírásokból most Linzben vendégkutató, mint az ELTE Informatikai Kar adjunktusa
173 Hol láthatok erről még valamit? Ian Fleming Oroszországból szeretettel (From Russia with Love, 1957, 1963) Bondot Isztambulba küldik, hogy ellopja a Lektor-t, a hatékony (orosz) kódfejtő gépet Szigorúan bizalmas (For your eyes only, 1960, 1981) A britek egy hajója elsüllyedt a Bahamáknál benne a szupertitkos ATAC kódoló gép...
Permutációk, melyek megmenteték a világot. Mérainé Kékesi Júlia Mérai László
Permutációk, melyek megmenteték a világot Mérainé Kékesi Júlia Mérai László Időjárás előrejelzés 1940 egyik sötét éjszakáján egy német bombázó felszáll, és a La Manche csatorna felé veszi útját. Az öt
RészletesebbenPermutációk, melyek megmentették a világot
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Mérai László Permutációk, melyek megmentették a világot Diplomamunka Témavezető: Szabó Csaba Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest, 2006. Tartalomjegyzék
RészletesebbenXII. Bolyai Konferencia. Bodnár József Eötvös Collegium II. matematikus, ELTE TTK
XII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös Collegium II. matematikus, ELTE TTK A legegyszerűbb titkosírás: a betűcsere A B C D E... C A B E D... AD --> CE Állandó helyettesítési séma Váltogatott kulcs:
RészletesebbenLengyelek az Enigma ellen
Lengyelek az Enigma ellen Készítették: Mérai László alkalmazott matematikus szak IV. évfolyam, ELTE TTK és Kékesi Júlia óvodapedagógus szak III. évfolyam, ELTE TÓFK Témavezető: Dr. Szabó Csaba, egyetemi
RészletesebbenModern titkosírások és a matematika
Modern titkosírások és a matematika Az Enigma feltörése Nagy Gábor Péter Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Geometria Tanszék Kutatók Éjszakája 2015. szeptember 25. 1 / 20 Tagolás 1 A titkosírások
RészletesebbenInformációs társadalom alapismeretek
Információs társadalom alapismeretek Szabó Péter Gábor Titkosítás és számítástechnika Titkosítás alapfogalmai A Colossus Kriptográfia A rejtjelezés két fı lépésbıl áll: 1) az üzenet titkosítása (kódolás)
Részletesebben24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,
Részletesebbenmegtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:
Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenPRÍMSZÁMOK ÉS A TITKOSÍRÁS
PRÍMSZÁMOK ÉS A TITKOSÍRÁS Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS Úgy tapasztaltam,
RészletesebbenA kriptográfia története tömören a szkütalétól az SSL-ig
Budapest University of Technology and Economics A kriptográfia története tömören a szkütalétól az SSL-ig Dr. Buttyán Levente (CrySyS) Department of Telecommunications Budapest University of Technology
RészletesebbenA kommunikáció biztonsága. A kriptográfia története tömören a szkütalétól az SSL-ig. A (szimmetrikus) rejtjelezés klasszikus modellje
Budapest University of Technology and Economics A kommunikáció biztonsága A kriptográfia története tömören a szkütalétól az SSL-ig főbb biztonsági követelmények adatok titkossága adatok integritásának
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenTitkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...
Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus
RészletesebbenModern szimmetrikus kulcsú rejtjelezők kriptoanalízise
Modern szimmetrikus kulcsú rejtjelezők kriptoanalízise - kimerítő kulcskeresés: határa ma 64 bit számítási teljesítmény költsége feleződik 18 havonta 25 éven belül 80 bit - differenciális kriptoanalízis:
RészletesebbenKriptográfia házi használatra Szeptember 26
Kriptográfia házi használatra 1 / 16 Kriptográfia házi használatra Csirmaz László CEU Rényi ELTE 2018 Szeptember 26 Kriptográfia házi használatra 2 / 16 A fagylaltos kocsik hová álljanak? Szomszédos sarkokon
RészletesebbenPrímtesztelés, Nyilvános kulcsú titkosítás
Prímtesztelés, Nyilvános kulcsú titkosítás Papp László BME December 8, 2018 Prímtesztelés Feladat: Adott egy nagyon nagy n szám, döntsük el, hogy prímszám-e! Naív kísérletek: 1. Nézzük meg minden nála
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenInformatikai Rendszerek Alapjai
Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László A redundancia fogalma és mérése Minimális redundanciájú kódok 1. http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 2014 könyvtár Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenDr. Beinschróth József Kriptográfiai alkalmazások, rejtjelezések, digitális aláírás
2017.10.13. Dr. Beinschróth József Kriptográfiai alkalmazások, rejtjelezések, digitális aláírás 1 Tartalom Alapvetések Alapfogalmak Változatok Tradicionális Szimmetrikus Aszimmetrikus Kombinált Digitális
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenKriptográfia I. Kriptorendszerek
Kriptográfia I Szimmetrikus kulcsú titkosítás Kriptorendszerek Nyíltszöveg üzenettér: M Titkosított üzenettér: C Kulcs tér: K, K Kulcsgeneráló algoritmus: Titkosító algoritmus: Visszafejt algoritmus: Titkosítás
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenA továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk
1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK
Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
RészletesebbenDicsőségtabló Beadós programozási feladatok
Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok Hallgatói munkák 2017 2018 Pi számjegyeinek előállítása Készítő: Écsi Julius (MI, levelező, 2017) Elméleti háttér A π nevezetes konstans számjegyeinek előállítása
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások
RészletesebbenARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenAdat és Információvédelmi Mesteriskola 30 MB. Dr. Beinschróth József SAJÁTOS LOGIKAI VÉDELEM: A KRIPTOGRÁFIA ALKALMAZÁSA
30 MB Dr. Beinschróth József SAJÁTOS LOGIKAI VÉDELEM: A KRIPTOGRÁFIA ALKALMAZÁSA Tartalom Alapvetések - kiindulópontok Alapfogalmak Változatok Tradicionális módszerek Szimmetrikus kriptográfia Aszimmetrikus
RészletesebbenA Z E L E K T R O N I K U S A L Á Í R Á S J O G I S Z A B Á L Y O Z Á S A.
JOGI INFORMATIKA A Z E L E K T R O N I K U S A L Á Í R Á S J O G I S Z A B Á L Y O Z Á S A. A kutatás a TÁMOP 4.2.4.A/2-11-1-2012-0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális
RészletesebbenAz Informatika Elméleti Alapjai
Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenKriptográfia. Smidla József Pannon Egyetem, Műszaki Informatikai Kar. Veszprém, augusztus 21.
Smidla József Pannon Egyetem, Műszaki Informatikai Kar Veszprém, 2012. augusztus 21. Szteganográfia Ógörög eredetű: leplezni Az információt nem titkosítják, hanem elrejtik Hérodotosz: Demeratus figyelmeztette
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
Részletesebben7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont
1. { 3;4;5} { 3; 4;5;6;7;8;9;10} A B = B C = A \ B = {1; }. 14 Nem bontható. I. 3. A) igaz B) hamis C) igaz jó válasz esetén, 1 jó válasz esetén 0 pont jár. 4. [ ; ] Más helyes jelölés is elfogadható.
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenMegoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0
Részletesebben2015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 9. osztály
A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat a kialakult tanári gyakorlat alapján, az
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 7. előadás
Algoritmuselmélet 7. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 11. ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 1 Múltkori
RészletesebbenSzeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenValószínűség-számítás, statisztika, titkosítási és rendezési algoritmusok szemléltetése számítógép segítségével Kiss Gábor, Őri István
Valószínűség-számítás, statisztika, titkosítási és rendezési algoritmusok szemléltetése számítógép segítségével Kiss Gábor, Őri István Budapesti Műszaki Főiskola, NIK, Matematikai és Számítástudományi
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
RészletesebbenHalmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A
Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,
RészletesebbenA III. forduló megoldásai
A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 2 előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@mssapientiaro 2016 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Félévi áttekintő
RészletesebbenIrracionális egyenletek, egyenlôtlenségek
9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén
RészletesebbenEGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE
Lipécz György* EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE AVAGY A SZÁMÍTÓGÉP-HASZNÁLAT LEHETŐSÉGE A LINEÁRIS ALGEBRA ÉS AZ OPERÁCIÓKUTATÁS ALAPJAINAK OKTATÁSÁBAN " Simplicitassigillum veri"
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.
1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.
RészletesebbenAz alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai
A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat
Részletesebben4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.
1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot
RészletesebbenAlkalmazott modul: Programozás
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMegoldás Digitális technika I. (vimia102) 4. gyakorlat: Sorrendi hálózatok alapjai, állapot gráf, állapottábla
Megoldás Digitális technika I. (vimia102) 4. gyakorlat: Sorrendi hálózatok alapjai, állapot gráf, állapottábla Elméleti anyag: Amikor a hazárd jó: élekből impulzus előállítás Sorrendi hálózatok alapjai,
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenFábián Zoltán Hálózatok elmélet
Fábián Zoltán Hálózatok elmélet Információ fajtái Analóg az információ folytonos és felvesz minden értéket a minimális és maximális érték között Digitális az információ az idő adott pontjaiban létezik.
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenKvantumkriptográfia II.
LOGO Kvantumkriptográfia II. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Titkos kommunikáció modellje k 1 k 2 k n k 1 k 2 k n A titkos kommunikáció során Alice és Bob szeretne egymással üzeneteket
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Permutációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév 1. Definíció. Permutációnak nevezzük egy nemüres (véges) halmaz önmagára való bijektív leképezését. 2. Definíció. Az {1, 2,...,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.
1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. november 9. 1.1. Feladat. Tekintsünk egy E halmazt és annak minden A részhalmazára az A halmaz f A : E {0, 1} karakterisztikus függvényét, amelyet az { 1, x A
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenFeladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek!
Feladatok 1. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy cabcab eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C, D, E}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! P: S AD EB SS A AB a B DD b C CB c D EC a E AD b 2.
RészletesebbenSegédanyag az iktatáshoz. Tartalomjegyzék
Segédanyag az email iktatáshoz Tartalomjegyzék I. Digitális, bejövő email iktatás... 2 II. Digitális, belső irányú email iktatása... 14 III. Kimenő email iktatása... 23 I. Digitális, bejövő email iktatás
RészletesebbenAz Informatika Elméleti Alapjai
Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma, redundanciája Minimális redundanciájú kódok http://mobil.nik.bmf.hu/tantárgyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07
Részletesebben