Englert Ákos. Síkbarajzolható gráfok reprezentációi

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Englert Ákos Síkbarajzolható gráfok reprezentációi BSc szakdolgozat Témavezet : Bérczi Kristóf Operációkutatási Tanszék Budapest, 2010.

2 El szó Szeretném ezúton is megköszönni témavezet mnek, Bérczi Kristófnak a rengeteg észrevételt és segítséget, hogy mindig szakított rám id t, és sok hasznos tanáccsal látott el formai és tartalmi kérdésekben egyaránt. Nagy segítséget jelentettek évfolyamtársaim is, hiszen az alapképzés három éve során minden problémát, nehézséget megbeszélhettem velük és minden körülmények között számíthattam rájuk, ezért rendkívül hálás vagyok nekik. Köszönettel tartozom még tanáraimnak, családomnak, barátaimnak és mindenkinek, aki hozzájárult tanulmányaim sikerességéhez. 2

3 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Síkbarajzolható páros gráfok Vízszintes és függ leges szakaszok Kontakt reprezentációk Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok összefügg, 3-színezhet gráfok Metsz reprezentáció Fogalmak Premodell Bizonyítás vázlat Síkbarajzolható hipergráfok reprezentációi Lehetséges reprezentációk Ábrázolás függ leges és vízszintes szakaszokkal Ábrázolás egymást érint konvex alakzatokkal Kontakt és metsz reprezentációk Reprezentáció egymást érint háromszögekkel Hipergráfok kontakt reprezentációja Irodalomjegyzék 39 3

4 Ábrák jegyzéke 1.1. G b és G w G w irányításának deniálása Nem lehet harmadik forrás V i és H j szakaszok el állítása A b k 1 w jr b k w jr+1 lapok G reprezentációjának kiterjesztése G reprezentációjára Háromszögmentes síkgráf és kontakt reprezentációja Monoton utak Pszeudo-konvex lap és az oldalak alkotta részutak Kiterjeszthet és nem kiterjeszthet szakaszok Problémás szakasz-összehúzások Példa a két alapmódszerre Szakaszok átrendezése Példa 4 kivételes úttal rendelkez kivételes lapra Egy háromszöget tartalmazó gráf és kontakt reprezentációja Lap-szakasz Az 5,6,7 és 8. ponttípusokhoz tartozó gráfok G + és G + irányítása típusú pont megszüntetése A háromszög-reprezentáció el állításának lépései Példa biztosan 2. típusú csúcsra

5 Bevezetés A gráfelméletnek számos gyakorlati alkalmazása ismert, hiszen a gráfok kiválóan alkalmasak egy kapcsolatrendszer vagy hálózat összefüggéseinek ábrázolására. Így például folyamatok megtervezése során vagy adatszerkezetek létrehozásánál egyaránt hasznosnak bizonyultak. Ahhoz, hogy gráfokkal foglalkozzunk, nagy segítséget nyújt, ha valamilyen módon szemléltetni, lerajzolni is tudjuk ket. A gráfreprezentációk vizsgálata napjaink egy sokat kutatott területe a matematikában. Gráfoknak számos reprezentációja ismert, ez különösen igaz a síkbarajzolható gráfokra. Síkbarajzolhatónak nevezzük azokat a gráfokat, melyek lerajzolhatók úgy, hogy az éleik nem metszik egymást. Ekkor egy gráf "lerajzolásán" a szokásos reprezentációját értjük, azaz a csúcsokat pontokkal, az éleket pedig a csúcsokat összeköt folytonos vonallal ábrázoljuk. Gráfok ábrázolása során számos kérdés felvet dhet. Például ha adott egy síkbarajzolható gráf, akkor mekkora felület kell a lerajzolására. Ez a kérdés nagy gyakorlati fontossággal bír, hiszen ha egy kijelz n gráfot szeretnénk megjeleníteni, csak véges terület áll rendelkezésre. Schnyder [13] bebizonyította, hogy egy n csúcsú síkbarajzolható gráf lerajzolható úgy, hogy a csúcsai egy (n 2) (n 2)-es négyzetrács rácspontjai legyenek, az éleket pedig egyenes szakaszok reprezentálják. A szokásos reprezentáción kívül azonban másként is ábrázolhatunk síkbarajzolható gráfokat. Például Koebe tétele [11] szerint minden síkbarajzolható gráf reprezentálható egymást érint körlapokkal úgy, hogy a körlapok a gráf csúcsainak felelnek meg, és két körlap pontosan akkor érinti egymást, ha a megfelel csúcsok közt megy él a gráfban. Ehhez hasonló az az ábrázolás, amikor a csúcsoknak szakaszokat feleltetünk meg, és két szakasznak pontosan akkor van közös pontja, 5

6 BEVEZETÉS 6 ha az általuk reprezentált csúcsok közt megy él a gráfban. Jelen dolgozat célja ezen reprezentáció vizsgálata. Azt mondjuk, hogy két szakasz metszi egymást, ha van közös bels pontjuk, ha pedig két szakasz közös pontja végpontja az egyik szakasznak, akkor egymást érint szakaszokról beszélünk. Ha megengedjük a gráf csúcsait reprezentáló szakaszok átmetszését, akkor az ábrázolást metsz reprezentációnak, ha csak érinthetik egymást, akkor kontakt reprezentációnak nevezzük. A dolgozatban áttekintjük, hogy milyen síkbarajzolható gráfoknak létezik kontakt, illetve metsz reprezentációja. Az els fejezetben Hubert de Fraysseix, Patrice Ossona de Mendez és Pach János munkája [4] nyomán bizonyítjuk, hogy minden síkbarajzolható páros gráfnak létezik olyan kontakt reprezentációja, hogy a csúcsokat reprezentáló szakaszok csak vízszintes vagy függ leges helyzet ek lehetnek, a második fejezetben pedig háromszögmentes síkbarajzolható gráfokra látjuk be olyan kontakt reprezentáció létezését, melyben a csúcsokat reprezentáló szakaszok helyzete csak háromféle (vízszintes, függ leges vagy átlós) lehet. A fejezet hátralev részében egy harmadik, kontakt reprezentációval szintén rendelkez gráfosztályt ismertetünk. A harmadik fejezetben megvizsgáljuk, hogy ha megengedjük a gráf csúcsait reprezentáló szakaszok átmetszését, milyen síkbarajzolható gráfokat tudunk ábrázolni. Scheinermantól ered a sejtés [12], miszerint minden síkbarajzolható gráfnak létezik metsz reprezentációja. A sejtés több, mint húsz éven keresztül állt, mígnem Jérémie Chalopinnak és Daniel Gonçalvesnek sikerült igazolni az állítást. Az cikküket [3] követve tekintjük át a bizonyítást. Az egyszer síkbarajzolható gráfok reprezentációi után kézenfekv a kérdés, hogy milyen hipergráfokat tudunk ábrázolni a síkban, illetve a síkbarajzolható gráfok különféle reprezentációi kiterjeszthet k-e hipergráfokra. A negyedik fejezetben ezeket a kérdéseket vizsgáljuk. El ször a síkbarajzolhatóság fogalmát terjesztjük ki, majd a kontakt és metsz reprezentációt. A kontakt és metsz reprezentációk kicsit különböznek az egyszer gráfokétól, itt ugyanis a szakaszok nem a hipergráf csúcsait, hanem a hiperéleket reprezentálják, és két szakasznak pontosan akkor van

7 BEVEZETÉS 7 közös ponjta, ha a reprezentált hiperéleknek van közös csúcsa. Mivel két szakasznak nulla, egy vagy végtelen sok közös pontja van, ezért az ily módon reprezentálható hipergráfokra megköveteljük, hogy a hipergráfban bármely két különböz hiperélnek legfeljebb egy közös csúcsa legyen. Az ilyen hipergráfokat lineáris hipergráfoknak nevezzük. Egyszer síkbarajzolható gráfokkal ellentétben a síkbarajzolható lineáris hipergráfokra nem minden esetben adható metsz reprezentáció (ellenpélda a [9]- ben található hipergráf), de minden síkbarajzolható lineáris hipergráf ábrázolható egymást érint háromszöglapokkal. A negyedik fejezetben ezt a reprezentációt is áttekintjük.

8 1. fejezet Síkbarajzolható páros gráfok Ebben a fejezetben Hubert de Fraysseix, Patrice Ossona de Mendez és Pach János munkája [4] nyomán belátjuk, hogy síkbarajzolható páros gráfok csúcsait reprezentálhatjuk szakaszokkal úgy, hogy a szakaszok közül pontosan azoknak van közös pontjuk, amelyek által reprezentált csúcsok közt megy él az eredeti gráfban. Igaz továbbá az is, hogy a szakaszok csak érinthetik egymást, azaz nincs közös bels pontjuk Vízszintes és függ leges szakaszok Azt mondjuk, hogy két szakasz metszi egymást, ha van közös bels pontjuk, ha pedig két szakasz közös pontja végpontja az egyik szakasznak, akkor egymást érint szakaszokról beszélünk. Ezzel a megfogalmazással a tétel a következ : Tétel (Fraysseix, Mendez, Pach [4]). Minden páros síkbarajzolható gráf csúcsai ábrázolhatók a síkban egymást nem metsz vízszintes és függ leges szakaszokkal úgy, hogy két szakasznak akkor és csak akkor van közös pontja, ha az általuk reprezentált csúcsok közt megy él a gráfban. A bizonyításhoz el ször deniáljuk a bipoláris irányítás fogalmát. Multigráf alatt olyan irányítatlan gráfot értünk, amelynek lehetnek többszörös élei. Egy multigráf 2-összefügg, ha bármely csúcsát (és a rá illeszked éleket) törölve összefügg marad Deníció. Egy multigráf st-bipoláris irányításának nevezzük az éleinek olyan aciklikus irányítását, melyben s és t rendre az egyedüli forrás és nyel a gráfban. 8

9 1.1. Vízszintes és függ leges szakaszok 9 Ismert, hogy egy multigráfnak akkor és csak akkor létezik st-bipoláris irányítása, ha az st él hozzávételével a gráf 2-összefügg vé válik. Az irányítás létezése ekvivalens továbbá azzal is, hogy létezik a csúcsok halmazán olyan lineáris rendezés, hogy s és t a legnagyobb illetve a legkisebb elem, és minden ezekt l különböz csúcsnak van nála nagyobb és kisebb szomszédja is. Az ilyen rendezést st-rendezésnek nevezzük. Bizonyítás. A tételt elég négyszögelt (olyan gráf, amelynek minden lapja négyszög) páros gráfokra bizonyítani, hiszen bármely síkbarajzolható páros gráf el áll négyszögelt páros gráf részgráfjaként. Ez nyilván igaz lesz a tételben szerepl reprezentációra is, vagyis négyszögelt gráf csúcsait reprezentáló vízszintes és függ leges szakaszokból a megfelel szakaszokat elhagyva bármely síkbarajzolható páros gráf reprezentációját megkapjuk. A gráf küls csúcsai legyenek b, w, b és w az óramutató járásával megegyez irányban. A páros gráf két csúcsosztályába tartozó csúcsok legyenek fehér, illetve fekete szín ek, és tegyük föl, hogy b fekete csúcs. A gráf minden bels lapjában az átlók behúzásával kössük össze a fekete, illetve a fehér csúcsokat. Az így kapott élek által meghatározott két multigráf legyen G b, valamint G w. Nyilvánvaló, hogy minden G b -beli él pontosan egy G w -beli élt metsz, és fordítva. b w 2 w 1 b w w w w 3 w b 2 b 1 b 3 b 4 b b G G w G b 1.1. ábra. G b és G w Az is könnyen belátható, hogy G b a bb él hozzávételével 2-összefügg vé válik, tehát a korábbiak alapján G b -nek létezik bb -bipoláris irányítása. Ennek segítségével deniálhatunk egy G w -beli irányítást is a következ képpen: minden b 1 w 1 b 2 w 2 bels

10 1.1. Vízszintes és függ leges szakaszok 10 lapra w 1 w 2 G w b 1 b 2 G b. b 1 w 2 w 1 b ábra. G w irányításának deniálása Lemma. G w ww'-bipoláris irányítás G w -ben. Bizonyítás Állítás. G w nem tartalmaz irányított kört. Bizonyítás. Indirekt tegyük föl, hogy van G w -ben irányított kör, és tekintsük a legkisebb ilyet. Tegyük föl, hogy ezen kör irányítása az óramutató járásával megegyez. Ekkor a G b gráf élei G w deníciója miatt a kör által határolt tartományból kilépnek, így a tartomány szükségszer en tartalmazza G b egyetlen forrását, vagyis b-t, de mivel b küls pont, ezért ez nem lehetséges, tehát ellentmondáshoz jutottunk Állítás. w az egyedüli forrás, w pedig az egyedüli nyel G w -ben. Bizonyítás. Tegyük föl, hogy G w -nek van w-t l és w -t l különböz forrása, legyen ez w 0. Legyenek w 0 w 1, w 0 w 2,..., w 0 w k a w 0 -ra illeszked élek az óramutató járásával megyegyez irányban. Ezeket az éleket metsz G b -beli élek irányított kört alkotnának, ami nem lehetséges. w 1 w k w 0 w 3 w ábra. Nem lehet harmadik forrás

11 1.1. Vízszintes és függ leges szakaszok 11 Teljesen hasonlóan bizonyítható, hogy nincs w-t l és w -t l különböz nyel sem. Ezután bizonyítsuk be, hogy w a forrás. Tekintsük a bw élhez tartozó bels lapot G- ben. Mivel b forrás G b -ben, ezért a tekintett lap fekete csúcsokhoz tartozó átlója nem lehet b-felé irányítva. Ekkor pedig a másik átló G w deníciója miatt szükségszer en nem w-felé van irányítva, tehát nem lehet nyel. Így w forrás, w pedig a nyel. Tehát G w szintén bipoláris irányítás. Ezzel a lemmát beláttuk. Legyen b 0 = b < b 1 < b 2 < < b k = b és w 0 = w < w 1 < < < w l = w a G b, illetve G w bipoláris irányításokhoz tartozó st-rendezés úgy, hogy ha b i b j G b, vagy w i w j G w, akkor i < j. Legyen x a fekete, y a fehér csúcsok halmazán értelmezett valós, szigorúan monoton függvény, azaz x(b 0 ) < x(b 1 ) < < x(b k ) és y(w 0 ) < y(w 1 ) < < y(w l ). Minden b i fekete csúcshoz rendeljük a V i függ leges szakaszt, melynek végpontjai legyenek (x(b i ), min bi w j E y(w j )) és (x(b i ), max bi w j E y(w j )). Ehhez hasonlóan, a w j fehér csúcsok mindegyikéhez egy H j vízszintes szakaszt rendeljünk, ezek végpontjai pedig legyenek (min bi w j E x(b i ), y(w j )) és (max bi w j E x(b i ), y(w j )). b V 0 V 1 V 2 V 3 V 4 H 4 V 5 w w H 3 H 2 H 1 H 0 b 1.4. ábra. V i és H j szakaszok el állítása Észrevehetjük, hogy a V i és H j szakaszok egymáshoz viszonyított helyzete csak a két csúcsosztályon értelmezett st-rendezést l függ, az x és y függvények aktuális értékeit l nem. A V i és H j szakaszok deníciójából az is következik, hogy ha b i és

12 1.1. Vízszintes és függ leges szakaszok 12 w j szomszédos csúcsai G-nek, akkor az (x(b i ), y(w j )) pontot a V i és a H j szakasz is tartalmazza. A tétel bizonyításához még az alábbi lemmát kell belátnunk: Lemma. Semelyik V i és H j szakasz sem metszi egymást, továbbá a V i és H j szakaszok (0 < i < k, 0 < j < l) a V 0 H 0 V k H l téglalapot kisebb téglalapokra osztják. Bizonyítás. A G gráf csúcsainak száma szerinti indukcióval bizonyítunk. Ha a G gráfnak 4 csúcsa van, akkor az állítás nyilvánvaló, hiszen ez esetben G egy 4 hosszú kör, és egy téglalappal reprezentálhatjuk. Tegyük föl, hogy G-nek legalább 5 csúcsa van, és ebb l legalább 3 fekete csúcs, valamint a legfeljebb n 1 csúcsú gráfokra teljesül a lemma. Tekintsük a b k 1 b k élt. Ezt G b nyilvánvalóan tartalmazza, s t, akár többszörös él is lehet. Jelölje b k 1 és b k közös szomszédait w j1 < < w jt (t 2, mivel a gráf négyszögelt). Minden 1 r < t esetén b k 1 w jr b k w jr+1 egy lapja G-nek, amely a b k 1 b k G b és w jr w jr+1 G w éleket tartalmazza. w j1 w j2 b k 1 b k w jt 1.5. ábra. A b k 1 w jr b k w jr+1 lapok Hozzunk létre G-b l egy G gráfot a következ képp: töröljük b k és w jr (1 < r < t) csúcsokat, és a G gráf minden xb k éle helyett vegyünk hozzá egy-egy xb k 1 élt (x a G gráf tetsz leges w j1 -t l és w jt -t l különböz nem törölt csúcsa, tehát G egyszer gráf lesz, mert x nem lehet egyszerre b k és b k 1 szomszédja). Így a b k 1 w jr b k w jr+1 lapok (1.5. ábra) kivételével minden G-beli lapnak lesz G -beli megfelel je. G b -b l és G w - b l származtassunk egy-egy G b -n és G w-n értelmezett irányítást a következ képp: G b := ( G b b i b k G b ) ( b i b k 1 : b i b k G és i k 1) G w := G w { w jr w jr+1 : 1 r < t}

13 1.1. Vízszintes és függ leges szakaszok 13 A G w része G w -nek, G b pedig úgy származik G b -b l, hogy a b k -ba irányított élek helyett b k 1 -be irányított éleket veszünk hozzá a gráfhoz. Mivel G b és G w bipoláris irányítások voltak, ezért G b és G w irányítások is a csúcsok aktuális rendezéséhez tartozó irányítások. Mivel G gráf G-nél eggyel kevesebb csúcsot tartalmaz, ezért az indukciós feltétel miatt a G -ot reprezentáló V i nem metszik egymást, és a V 0, H 0, V k 1, H l Észrevehetjük, hogy V i olyan w j csúcsra, ahol w j b k / G. függ leges és H j vízszintes szakaszok téglalapot kisebb téglalapokra osztják. = V i minden 0 i < k 1 esetén, illetve H j = H j minden Tekintsük G -ban a b k 1 -gyel szomszédos fehér csúcsokat. Ezek egy P = (w h0 = = w 0, w h1,..., w hs = w l ) irányított utat határoznak meg G w-ben és G w -ben, melyek áthaladnak w j1 -en és w jt -n is. Egy w hr G gráfban: csúcs 3 esetben lehet b k 1 -gyel szomszédos a 1. b k 1 -nek és b k -nak is szomszédja G-ben. Ekkor h r = j 1 vagy h r = j t. 2. b k 1 -nek szomszédja G-ben, de b k -nak nem. Ekkor j 1 < h r < j t. 3. b k 1 -nek nem szomszédja G-ben, de b k -nak igen. Ekkor h r < j 1, vagy h r > j t. Ez alapján a G gráf V i, H j terjeszthetjük ki G reprezentációjára: szakaszokkal való reprezentációját a következ képpen A "legjobboldalibb", V k 1 = [(x(b k 1 ), y(w 0 )), (x(b k 1 ), y(w l ))] függ leges szakaszt cseréljük ki V k 1 = [(x(b k 1 ), y(w j1 )), (x(b k 1 ), y(w jt ))] szakaszra. Ez V k 1 -nek egy részszakasza lesz. (Ezzel biztosítjuk, hogy a j 1-nél kisebb, és j t -nél nagyobb index fehér pontokhoz tartozó szakaszok ne érintsék a b k 1 pontot reprezentáló, függ leges V k 1 szakaszt.) Vegyük hozzá a G ábrázolásához a V k = [(x(b k ), y(w 0 )), (x(b k ), y(w l ))] függ leges szakaszt. (Ez lesz a G gráf el állítása során törölt b k pontot reprezentáló szakasz.) h r j 1 és h r j t esetén a H h r vízszintes szakaszokat hosszabbítsuk meg V k -ig. (Ezzel biztosítjuk, hogy a j 1 -nél kisebb, és j t -nél nagyobb index fehér pontokhoz tartozó szakaszok érintsék V k -t.)

14 1.1. Vízszintes és függ leges szakaszok 14 Vegyünk hozzá az ábrázoláshoz t 2 db vízszintes szakaszt (legyenek ezek H j2, H j3,..., H jt 1 ), melyek V k 1 -t és V k -t kössék össze. (Ezek reprezentálják a G elkészítése során törölt w jr (1 < r < t) fehér csúcsokat, hiszen ezek csak b k 1 és b k csúcsokkal voltak szomszédosak G-ben. Az így kapott ábrázolásra nyilvánvalóan igaz, hogy a V 0, H 0, V k, H l téglalapot kisebb téglalapokra osztja. Ezzel a lemmát beláttuk. V k 1 V k 1 V k H hj1 H hjt 1.6. ábra. G reprezentációjának kiterjesztése G reprezentációjára A tétel teljes bizonyításához még meg kell mutatni, hogy ha a V i és H j szakaszoknak van közös pontja, akkor b i és w i között megy él az eredeti G gráfban. Tegyük föl, hogy H j bal oldali pontja illeszkedik V i -re (a 2. lemma miatt V i nem metszheti H j -t). Ekkor min bi w h G x(b h ) = x(b i ) Mivel x értékei különböz k, ezért a G gráf biztosan tartalmazza a b i w j élt. (Másik végpont illeszkedése esetén a bizonyítás teljesen hasonló.) Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

15 2. fejezet Kontakt reprezentációk Az 1. fejezetben bemutatott reprezentációra igaz volt, hogy a szakaszok nem metszik egymást, azaz nincs közös bels pontjuk. Egy gráf ezen tulajdonsággal rendelkez reprezentációját a továbbiakban kontakt reprezentációnak nevezzük. Ebben a fejezetben ilyen kontakt reprezentációkat vizsgálunk. Petr Hlineny [10] bizonyította, hogy gráfok kontakt reprezentációjának elkészítése NP-teljes probléma, már speciálisabb esetekben is (például az el z fejezetben tárgyalt síkbarajzolható páros gráfok esetében is). Kézenfekv azonban a kérdés, hogy mely gráfoknak létezik egyáltalán kontakt reprezentációja? Mondhatunk-e valamit a szakaszok helyzetér l? A következ kben egy-egy olyan gráfosztályt mutatunk be, melyek elemeinek létezik kontakt reprezentációja Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok Tétel. Minden háromszögmentes síkbarajzolható gráfnak létezik olyan kontakt reprezentációja, ahol a csúcsokat reprezentáló szakaszok vízszintes, függ leges, és "átlós" helyzet ek. (,, ) Ez az eredmény tulajdonképpen az el z fejezetben tárgyalt eset továbbgondolása, hiszen Grötzsch tétele [14] miatt egy síkbarajzolható háromszögmentes gráf csúcsai színezhet k három színnel. Az el z ekben a két színosztályt kétféle szakasszal reprezentáltuk, itt pedig a három színosztályt háromféle szakasszal fogjuk. A bizonyítás menete is hasonló. Kiindulunk egy 15

16 2.1. Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok 16 v 2 f 4 f 2 f 3 v 3 f 1 f 2 v 1 f 3 f 4 v 2 v 1 a 1 a 2 a 1 f 1 a 2 v ábra. Háromszögmentes síkgráf és kontakt reprezentációja háromszögmentes G síkbarajzolható gráfból, új csúcsok és utak hozzávételével egy olyan háromszögmentes síkbarajzolható gráfhoz jutunk, amely egy felosztott 3-összefügg gráf. Egy 3-színezésb l indulva a kontakt reprezentáció ebb l az új gráfból származik, majd a hozzávett csúcsokat és utakat törölve G kontakt reprezentációját kapjuk. A teljes bizonyítás [2]-ben részletesen megtalálható, itt csupán vázlatosan tekintjük át. Bizonyítás. Feltehetjük, hogy a reprezentáló szakaszok végpontjai közös pontok valamely másik szakasszal. A kontakt reprezentáció a síkgráfokhoz hasonlóan egymástól jól elkülöníthet tartományokra, lapokra osztja a síkot. Egy lapot tekinthetünk n-oldalú poligonnak (n 4, hiszen G háromszögmentes). A bizonyításhoz szükség van a konvex poligon fogalmának egy általánosabb megfelel jére Deníció. Egy vízszintes, függ leges és átlós helyzet szakaszokból álló P = = {s 1,..., s n } sorozatot a reprezentációbeli útnak nevezünk, ha s i -nek pontosan s i 1 és s i+1 szakaszokkal van közös pontja minden 1 < i < n esetén Deníció. Egy reprezentációbeli utat monoton útnak nevezünk egy l egyenesre, ha bármely l-re mer leges egyenes csak egy pontban metszi. A továbbiakban a monotonitást az l 1 = {x + y = 0} és l 2 = {x 2y = 0} egyenesekre fogjuk vizsgálni Deníció. Egy-egy monoton utat rajzolhatunk (egy út megrajzolásánál természetesen nem emeljük föl a tollat, és egy szakaszt sem rajzolunk meg kétszer)

17 2.1. Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok 17 balról jobbra, vagy jobbról balra, eszerint négyféle monoton utat különböztetünk meg: Növekv monoton út jobbra : A vízszintes szakaszait jobbra, a függ legeseket fölfelé, az átlósakat jobbra le rajzoljuk (,, ). Az angol elnevezés alapján ("Increasing monotone path to the right" ) az ilyen utakat az IMPR mozaikszóval fogjuk jelölni. Csökken monoton út jobbra (DMPR): A vízszintes szakaszait jobbra, a függ legeseket lefelé, az átlósakat jobbra le rajzoljuk. (,, ) Csökken monoton út balra (DMPL): A vízszintes szakaszait balra, a függ legeseket lefelé, az átlósakat balra föl rajzoljuk. (,, ) Növekv monoton út balra (DMPL): A vízszintes szakaszait balra, a függ legeseket lefelé, az átlósakat balra föl rajzoljuk. (,, ) IMPL DMPL DMPR IMPR 2.2. ábra. Monoton utak Deníció. A kontakt reprezentáció egy lapját pszeudo-konvex lapnak nevezzük, ha az óramutató járásával megegyez sorrendben fölbontható IMPR, DMPR, DMPL és IMPL utakra. Ezen felosztás alapján az IMPR és DMPR utak unióját föls részútnak, a DMPL és IMPL utak unióját alsó részútnak nevezzük. Teljesen hasonlóan, egy pszeudo-konvex lap fölosztható jobb (DMPR, DMPL) és bal részutakra is. A föls és alsó, illetve jobb és bal részutakat egymással szemközti részutaknak nevezzük. Vegyük észre, hogy ha F egy pszeudo-konvex lap, és P egy F két nem szomszédos szakaszának végpontjait összeköt monoton út, akkor P út az F lapot két szintén

18 2.1. Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok 18 IMPL IMPR DMPR fels alsó részút DMPL baljobb oldali részút 2.3. ábra. Pszeudo-konvex lap és az oldalak alkotta részutak pszeudo-konvex lapra osztja. Hasonló fölbontást eredményez, ha F lapon két megfelel szakaszt meghosszabbítunk F belseje felé úgy, hogy messék egymást. Egy G síkgráf kontakt reprezentációjának elkészítéséhez el ször a küls lapját ábrázoljuk egy pszeudo-konvex lappal. Ezt követ en, ha a küls lap két csúcsát egy út köti össze G-ben, akkor ezt az utat egy monoton úttal reprezentáljuk, amely a pszeudo-konvex lap belsejében halad. Az el bbiek alapján így két újabb pszeudokonvex lapot kapunk. Ezt az eljárást rekurzíven minden lapra elvégezve eljutunk a G gráfot reprezentáló ábrázolásig. Látható, hogy a kontakt reprezentáció elkészítése során ahhoz, hogy egy azonos lapon lev két nem szomszédos szakasznak lehessen közös pontja, ki kell terjeszteni legalább az egyik szakaszt a lap belseje felé. Ez azonban nem mindig tehet meg. Egy szakasz kiterjesztése pontosan akkor valósítható meg valamely végpontjánál, ha a lapnak az ehhez a ponthoz tartozó bels szöge konkáv. Így egy lapon egy szakasz lehet egyik végén, illetve mindkét végén kiterjeszthet, vagy nem kiterjeszthet. nem kiterjeszthet egyik végén kiterjeszthet mindkét végén kiterjeszthet 2.4. ábra. Kiterjeszthet és nem kiterjeszthet szakaszok

19 2.1. Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok 19 Nyilvánvaló, hogy egy lapon két nem szomszédos szakasz összehúzása (annak elérése, hogy legyen közös pontjuk) szükségszer en legalább az egyik szakasz kiterjesztésével jár, de ez nem mindig lehetséges. Az összehúzás során kétféle probléma is fölmerülhet. r 1 r 3 r ábra. Problémás szakasz-összehúzások A szakaszok kiterjeszthet k, de az összehúzás során akadályba ütközünk, más szakaszok "eshetnek útba" (például az ábrán r 1 és r 2 összehúzásánál). A szakaszok nem kiterjeszthet k, vagy kiterjesztéseik nem metszik egymást (például az ábrán r 3 kiterjesztésének nincs közös pontja az r 1 nem kiterjeszthet szakasszal). Ezen problémás esetek kiküszöbölésére két módszert alkalmazunk. (2.6. ábra) 1. Meghosszabbíthatunk egy szakaszt. Ekkor más szakaszoknak is meg kell változtatni a hosszát a lapon ahhoz, hogy továbbra is lap maradjon. Ezzel a módszerrel elkerülhetjük az összehúzás során a lapon belüli akadályokat. 2. Megváltoztathatjuk egy szakasz rajzolását. Ez a módszer megengedi, hogy egy szakaszt a lapból kifelé is kiterjesszünk. Ekkor azonban a lap pszeudokonvexitását meg rzend, a szomszédos, illetve más, a kiterjesztett szakasszal azonos monoton úton lev szakaszok lerajzolását is meg kell változtatni.

20 2.1. Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok ábra. Példa a két alapmódszerre Err l a két alapmódszerr l szól az alábbi két lemma: Lemma. Legyen I G a G felosztott 3-összefügg síkbarajzolható gráf kontakt reprezentációja, melynek minden lapja pszeudo-konvex, k legyen pozitív valós szám, s pedig az I G F -fel jelölt lapján lev szakasz. Ekkor I G egy másik, I G kontakt reprezentációvá alakítható, amelyre igaz a következ két tulajdonság: I G topologikusan ekvivalens I G-vel, és I G minden lapja pszeudo-konvex. s-et (és legfeljebb két szakaszt a F szemközti részútjáról) meghosszabbíthatjuk úgy, hogy s hossza I G -ben k + l legyen (l az s szakasz hosszát jelöli). Ez a "szakaszhosszabbítás" m velet segít ugyan, de önmagában nem elég, hiszen szükség lehet a szakaszok átrendezésére. Egy út mentén történ átrendezésnek nevezzük azt a m veletet, amikor az út szakaszainak a rajzolását megváltoztatva azok másik monoton útba kerülnek át. Természetesen az út mentén történ átrendezés szomszédos lapokon is végbemegy, amelyek az utat tartalmazzák Lemma. Legyen I G a G felosztott 3-összefügg síkbarajzolható gráf kontakt reprezentációja, melynek minden lapja pszeudo-konvex. Legyen F az I G egyik lapja. Ekkor I G egy másik, I G kontakt reprezentációvá alakítható, amelyre igaz a következ két tulajdonság: I G topologikusan ekvivalens I G-vel, és I G minden lapja pszeudo-konvex. Az F laphoz tartozó F lapot egy monoton út mentén való átrendezéssel kapjuk.

21 2.1. Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok 21 s 2 s 1 s 1 s 4 s 3 s 2 s 3 s ábra. Szakaszok átrendezése A következ tételt Barnette [1] bizonyította: Tétel. Ha G egy felosztott háromszorosan összefügg gráf, akkor léteznek olyan Q 1,..., Q n 1 utak G-ben, hogy G-nek a G 1 = G, G 2 = G 1 Q 1,..., G n = = G n 1 Q n 1 részgráfjaira teljesül, hogy minden G k egy felosztott, háromszorosan összefügg gráf, és G n egy felosztott K 4. A tételt használva felosztott 3-összefügg gráfok reprezentációja háromféle helyzet szakaszokkal a következ képp áll el. El ször egy felosztott K 4 reprezentációját készítjük el, majd éleket illetve utakat illesztünk be, fordított sorrendben, mint ahogy a reprezentált csúcsokat elhagyjuk G-ben a G 1, G 2,..., G n sorozat elkészítése során. A beillesztések során egy lap két nem szomszédos szakasza közé kerülhet út, vagy összehúzhatjuk ket. Utóbbit vizsgáljuk, de a két eset lényegében teljesen hasonló. Az összehúzáskor felmerül problémák közül a legtöbbre megoldást nyújt a korábban vázolt két alapmódszer, de van négy kivételes eset, amely új m velet bevezetését igényli Deníció. Egy 3-színezett G síkgráfban (a három szín legyen v, f és a) egy P = {u 1,..., u n } út kivételes, ha a következ feltételek valamelyikét teljesíti: u 1 színe v, u 2 színe a és u n színe f u 1 színe f, u n 1 színe v és u n színe a u 1 színe v, u 2 színe a, u n 1 színe v és u n színe a u 1 színe a, u 2 színe f, u n 1 színe f és u n színe v

22 2.1. Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok Deníció. Egy gráf valamely lapját kivételes lapnak nevezzük, ha van kivételes részutat tartalmazó monoton út benne. f f v v f a f a a v v a v a 2.8. ábra. Példa 4 kivételes úttal rendelkez kivételes lapra Lemma. Legyen I G a G síkbarajzolható gráf kontakt reprezentációja, és legyen s 1 és s 2 két nem szomszédos szakasz egy F pszeudo-konvex, nem kivételes lapon. Ekkor I G egy másik, I G kontakt reprezentációvá alakítható, amelyre igaz, hogy ugyanazon lapokat tartalmazza, mint I G és ezek pszeudo-konvexek, valamint s 1 és s 2 összeköthet egy k hosszú úttal minden k > 0 esetén, vagy ha s 1 és s 2 nem ugyanolyan helyzet szakaszok F -ben, akkor közvetlenül összehúzhatók. Tehát a nem kivételes lapok esetében a módszerünk m ködik. A kivételes lapok esetében viszont problémába ütközünk. Ezen a kivételes lapok "kijavítása" segít. Egy kivételes lapot megjavítottnak nevezünk, ha a kivételes útját egy új csúcs bevezetésével felosztjuk Lemma. Minden háromszögmentes síkbarajzolható gráf, amely egy felosztott háromszorosan összefügg gráf, reprezentálható háromféle irányú szakaszokkal. Érdekesség ezen lemma bizonyításában, hogy a kivételes lapokat kijavítjuk, de ezen m velet során segédcsúcsok keletkeznek, amelyeket kés bb törölni kell, hogy valóban G gráf csúcsainak reprezentációját kapjuk. Ezek a csúcsok nem hagyhatók el egyszer en, csak átrendezéssel. Mivel a segédcsúcsoknak nincs másik szomszédja, és az átrendezéses elhagyásuk az utolsó lépés, ezért lehetséges az ilyen törlés. Csak abban az esetben nem lehetne törölni, ha a kivételes út 3 hosszú volt, ez azonban nem lehetséges, hiszen u 1 és u 3 összehúzásával háromszöget kapnánk a gráfban.

23 2.1. Háromszögmentes síkbarajzolható gráfok 23 Felhasználva az eddigieket, már be tudjuk bizonyítani az eredeti tételt: Legyen G háromszögmentes síkbarajzolható gráf. Grötzsch tételét alkalmazva G 3-színezhet, legyenek ezek a színek v, f és a (vízszintes, függ leges és átlós). Létrehozhatunk egy új G 1 háromszögmentes síkgráfot, amely egy felosztott háromszorosan összefügg gráf, és G-t részgráfként tartalmazza. G 1 úgy származik G-b l, hogy új csúcsokat és éleket hozzáadva összekötöttük G csúcsait. Ha egy él hozzávételével háromszöget kapnánk, vagy egy él két azonos szín pontot kötne össze, osszuk föl az élt. A hozzávett csúcsokkal és élekkel a gráf tehát 3- színezhet marad. A 4. lemma miatt G 1 -nek létezik kontakt reprezentációja. Ebb l a reprezentációból ki kell törölni a hozzávett csúcsokat, éleket, és G reprezentációját kapjuk Megjegyzés. Természetesen háromféle helyzet szakaszokból álló kontakt reprezentációja nem csak háromszögmentes gráfoknak van. Erre kiváló példa a 2.9. ábrán található gráf. v 5 a 1 f 1 v1 f 2 f 3 f 5 v 4 v 3 f 6 v 6 f 4 a 3 a 2 v 2 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 v 1 a 2 f 7 v 4 a 3 a 1 v 5 f 7 v 6 f 6 v 2 v ábra. Egy háromszöget tartalmazó gráf és kontakt reprezentációja A háromszögmentesség mint feltétel azért volt hasznos, mert a bizonyításban a lapok tulajdonságait használtuk föl. Általános esetben, azaz háromszöget is tartalmazó gráfok esetén el fordulhat, hogy két reprezentáló szakasznak mindenképpen van közös pontja. Ekkor a pszeudo-konvex lapokra épít bizonyítás nem használható, hiszen a reprezentáció lapjai nem felelnének meg az eredeti gráf lapjainak. A háromszögek megengedésének egy lehetséges módja, ha kikötjük, hogy

24 összefügg, 3-színezhet gráfok 24 egy 3-színezés csak akkor jó, ha minden háromszög csúcsai ugyanolyan körüljárási irány szerint vannak színezve összefügg, 3-színezhet gráfok Tétel. Négyszeresen összefügg, három színnel színezhet síkbarajzolható gráfoknak létezik kontakt reprezentációja. Bizonyítás. A bizonyítás [7]-ben megtalálható, itt nem bizonyítjuk részletesen. Az alapjául szolgáló tétel kimondása el tt deniáljuk egy szakaszrendszer illeszkedési (incidencia) gráfját Deníció. Érint szakaszrendszernek olyan szakaszok rendszerét nevezzük, melyek közül semelyik kett nek sincs közös bels pontja Deníció. Egy érint szakaszrendszer illeszkedési gráfjának (vagy incidencia gráfjának) azt a G = (V, V, E) páros gráfot nevezzük, ahol V a több szakaszra is illeszked pontokat, V a szakaszokat, E pedig a pontok szakaszokra való illeszkedéseit reprezentálja. Ezek után a tétel a következ : Tétel. Egy G = (V, V, E) összefügg páros gráf pontosan akkor illeszkedési gráfja egy érint szakaszrendszernek, ha G síkbarajzolható, a V -beli csúcsok foka legalább 2, minden olyan X V esetén, ahol X legalább két V -beli pontot tartalmaz, teljesül, hogy E[X] 2 X V + X V Megjegyzés. A tétel bizonyítása [7]-ben található, itt csupán néhány megjegyzést teszünk a tétellel kapcsolatban.

25 összefügg, 3-színezhet gráfok 25 A tétel bizonyítása során szükség van a kés bbiekben is fontos szerepet játszó ún. (2, 1) -irányításra. Egy páros gráf (2, 1)-irányításán olyan irányítást értünk, melyben az egyik csúcsosztály elemeinek befoka pontosan 2, a másik csúcsosztály elemeinek befoka pedig 0, vagy 1. A tétel másik fontos következménye, hogy minden olyan 4 színnel színezhet síkbarajzolható gráf, amely nem tartalmaz 4 különböz színnel színezett 4 hosszú kört, reprezentálható egymást metsz szakaszok rendszerével (két szakasz pontosan akkor metszi egymást, ha a reprezentált csúcsokat él köti össze a gráfban). Érdemes tehát megvizsgálni, hogy a reprezentáló szakaszok átmetszésének megengedése esetén milyen gráfokat tudunk ábrázolni. Ezt vizsgáljuk a következ fejezetben. A bizonyítás használt olyan eredményeket, amelyek egymást metsz vagy érint, ún. pszeudo-szakaszokról vagy más néven Jordan-ívekr l szólnak. Ezek az eredmények a [6]-ban találhatók.

26 3. fejezet Metsz reprezentáció Az el z fejezetekben a kontakt repezentációkat vizsgáltuk. Ebben a fejezetben azt fogjuk áttekinteni, hogy amennyiben megengedjük a reprezentáló szakaszok átmetszését, milyen síkbarajzolható gráfokat tudunk ábrázolni. Az el z fejezet záró megjegyzésében szerepelt, hogy négy színnel színezhet, négyszín 4 hosszú kört nem tartalmazó síkbarajzolható gráfok esetén létezik ilyen reprezentáció, azonban bizonyítást nyert, hogy ennél több is igaz. Scheinermantól ered a sejtés [12], miszerint minden síkbarajzolható gráfnak létezik egymást metsz szakaszokkal való reprezentációja, ahol a szakaszok a gráf csúcsainak felelnek meg, és két szakasznak pontosan akkor van közös pontja, ha a hozzájuk tartozó csúcsok közt megy él a gráfban. Az ilyen reprezentációt a rövidség kedvéért a továbbiakban metsz reprezentációnak fogjuk nevezni. A sejtés több, mint húsz éven keresztül állt, mígnem Jérémie Chalopinnak és Daniel Gonçalvesnek sikerült igazolni az állítást. Az cikküket [3] követve áttekintjük a bizonyítást. A cikk terjedelme, a részállítások, valamint ezek bizonyításának hossza miatt ezúttal is csak vázlatosan bizonyítunk. A f eredmény a következ : Tétel. Minden síkbarajzolható gráfnak létezik metsz reprezentációja. A tételt nyilvánvalóan elegend háromszögelt síkgráfokra bizonyítani, hiszen minden síkgráf el áll egy háromszögelt síkgráf részgráfjaként. A továbbiakban, amikor szakaszrendszert említünk, feltételezzük, hogy minden szakasznak különböz 26

27 3.1. Fogalmak 27 a kezd - és végpontja, valamint a párhuzamos szakaszoknak nincs közös pontja. A bizonyítás el tt szükséges még deniálni néhány, a bizonyításban fontos szerepet játszó fogalmat Fogalmak Deníció. A reprezentáló szakaszok vég- illetve metszéspontjait reprezentatív pontoknak nevezzük Deníció. Az olyan metsz reprezentációt, ahol minden végpont pontosan egy szakasz végpontja, és semelyik három szakasznak sincs közös metszéspontja, modellnek nevezzük Deníció. A síkgráf lapjait is reprezentálhatjuk szakaszokkal. Egy S szakaszrendszerben az egymást páronként metsz a, b, c szakaszhármashoz tartozó f = abc lap-szakaszon azt a [p, q] szakaszt értjük, ahol: p pont az a és b szakaszok metszéspontja, és a p-n áthaladó szakaszok sorrendje a,f,b, q pont a c szakasz egy bels pontja, amely semelyik másik s S szakaszhoz sem tartozik, f egyik bels pontja sem tartozik semelyik másik s S szakaszhoz. Ekkor p pontot az f lap-szakasz CE-pontjának, q pontot pedig az F E-pontjának nevezzük. (Az elnevezés az angol cross-end és at-end szavak rövidítése.) p a b c q 3.1. ábra. Lap-szakasz Itt érdemes megjegyezni, hogy p q és a denícióban a és b szerepe fölcserélhet, vagyis egy abc lap-szakasz egyben bac lap-szakasz is, de nem acb lap-szakasz.

28 3.2. Premodell Deníció. Egy S szakaszrendszerben két lap-szakasz, f 1 és f 2 nem akadályozó, ha az alábbi két állítás közül valamelyik teljesül: f 1 és f 2 szakaszok nem metszik egymást, f 1 -nek és f 2 -nek a CE-pontja megegyezik (legyen p) és ez a pont pontosan két S-beli szakasznak, a-nak és b-nek a metszéspontja. Továbbá az a-ra, vagy a b-re illeszked egyenes úgy osztja ketté a síkot, hogy f 1 és f 2 két külön félsíkra esik Deníció. Egy T háromszögelés teljes modelljének azt a szakaszrendszerekb l álló M = (S, F ) párt nevezzük, ahol S a T egy modellje, és F nem akadályozó lap-szakaszok halmaza S-en úgy, hogy T minden abc bels lapjára F tartalmazza az abc, acb, bca lap-szakaszok valamelyikét. Chalopin és Gonçalves f eredménye annak belátása, hogy minden T háromszögelésnek létezik teljes modellje Premodell A bizonyítás során egy másik modellt is használunk, ennek a neve premodell. A f különbség a premodell és a teljes modell között az, hogy premodell esetén kett nél több szakasz is metszheti egymást egy pontban. Tekintsük azt a szakaszrendszert, ami egy S szakaszrendszer, és egy F nem akadályozó lap-szakasz rendszer uniója. S szakaszait jelölje s 1, s 2,..., F szakaszait pedig f 1, f 2,.... Egy p reprezentatív pont illeszkedési sorozatának a rá illeszked szakaszok ciklikus sorozatát nevezzük. A pont körüljárási iránya lényegtelen, ezért ez a sorozat irányítatlan. Ha egy x szakasz egyik végpontja p, akkor a p-n túli meghosszabbítását (x)-szel jelöljük. A reprezentatív pontokat típusokba soroljuk az illeszkedési sorozataik szerint. Minden ponttípushoz létezik egy hozzá tartozó gráf is. Így nyolcféle ponttípus létezik (az 5, 6, 7, 8 ponttípusokhoz tartozó gráfok a 3.2. ábrán találhatók): 1. Szakasz végpont. Illeszkedési sorozat: (s 1 ). Hozzá tartozó gráf egy s 1 csúcs.

29 3.2. Premodell Lap-szakasz F E-pont. Illeszkedési sorozat: (s 1, f 1, s 1 ). Hozzá tartozó gráf egy s 1 csúcs. 3. Metszéspont. Illeszkedési sorozat: (s 1, [f 1 ], s 2, [f 2 ], s 1, [s 2 ]) vagy (s 1, [f 1 ], s 2, s 1, [f 2 ], s 2 ). Hozzá tartozó gráf egy s 1 s 2 él. 4. (s 1, s 2,..., s k )-út pont (k 2). Illeszkedési sorozat: (s 1, s 2,..., s k, (s 1 ), (s 2 )) Hozzá tartozó gráf: (s 1, s 2,..., s k )-út, s 1,..., s k csúcsokkal. 5. s 1 (s 2,..., s k )-"legyez " pont (k 2) pont. Illeszkedési sorozat: (s 1, [f 1 ], s 2,..., s k, (s 1 ), [f 1 ], (s 2 )) Ez a ponttípus a nevét a hozzá tartozó gráf legyez szer alakjáról kapta. 6. s 1 (s 2,..., s i ) (s i,..., s k ) "legyez -út"-pont. Illeszkedési sorozat: (s 1,..., s i,..., s k, (s 1 ), (s i )). 7. (s i 1,..., s 2, s 1 ) s 1 (s i,..., s k ) "út-legyez "-pont. Illeszkedési sorozat: (s 1,..., s i,..., s k, (s 1 ), (s i )). 8. s 1 (s 2,..., s i ) s i (s i+1,..., s k, s 1 ) "dupla-legyez " pont. Illeszkedési sorozat: (s 1,..., s i,..., s k, (s 1 ), (s i )). Az illeszkedési sorozatban az ([r 1 ], r 2,..., r k ) jelölés azt jelenti, hogy az illeszkedési sorozat az alábbi három sorozat egyike: (r 1, r 2,..., r k ),(r 2,..., r k ), ((r 1 ), r 2,..., r k ) s 1 s 1 s 2 s k s 2 s i s k (5) (6) s i 1 s 2 s 1 s 1 s k s i+1 s k s i s i+1 s 2 s i (7) (8) 3.2. ábra. Az 5,6,7 és 8. ponttípusokhoz tartozó gráfok

30 3.2. Premodell 30 A premodell fogalma el tt deniáljunk egy páros digráfot, melynek R csúcsosztálya egy R szakaszrendszer szakaszait, másik csúcsosztálya pedig R szakaszrendszer reprezentatív pontjait (jelölje ezt Rep R ) képviseli. Egy R beli csúcsot pontosan akkor köt össze él valamely Rep R -beli csúccsal, ha a Rep R -beli csúcs által reprezentált pont illeszkedik az R-beli csúccsal reprezentált szakaszra. Ha a szakasznak az aktuális pont végpontja, akkor az él legyen Rep R felé irányítva, különben pedig R felé. Ezt a digráfot jelöljük Const R -rel. Ekkor a premodellt a következ képp deniálhatjuk: Deníció. Adott egy S szakaszrendszer, egy F nem akadályozó lapszakaszokból álló rendszer, valamint egy τ függvény, amely minden reprezentatív ponthoz egy ponttípust rendel. Az M = (S, F, τ) hármast egy T háromszögelés (itt olyan háromszögelésr l beszélünk, ahol a küls lap nem feltétlenül háromszög) premodellje, ha a következ k teljesülnek (V (G), E(G) és F (G) rendre a G gráf csúcs-, él- és laphalmaza): A Const S F digráf körmentes. Az a pontra a V (T ) pontosan akkor, ha a hozzá tartozó a szakasz S-beli. Az ab élre ab E(T ) pontosan akkor, ha az a és b pontokhoz tartozó a és b szakasz egy olyan p pontban metszi egymást, hogy a τ(p) típusú ponthoz tartozó gráf tartalmazza az ab élt. Az abc lapra abc F (T ) pontosan akkor, ha létezik F -ben abc, acb vagy bca lap-szakasz, vagy az a, b, c pontokhoz tartozó a,b,c szakaszok egy olyan p pontban metszik egymást, hogy abc egy bels lapja a τ(p) típusú ponthoz tartozó gráfnak. Figyeljük meg, hogy egy T háromszögelt gráf M = (S, F, τ) premodelljében a reprezentatív pontok számára adható éles fels becslés. Legfeljebb 2 V (T ) szakasz végpont, legfeljebb F (T ) lap-szakasz F E-pont és legfeljebb E(T ) egyéb típusú pont van. Megállapítható, hogy ha T háromszögelt gráf egy M = (S, F, τ) premodellje 2 V (T ) + F (T ) + E(T ) db reprezentatív ponttal rendelkezik, akkor (S, F ) teljes modellje T -nek.

31 3.3. Bizonyítás vázlat Bizonyítás vázlat A bizonyítás során egy M = (S, F, τ) premodellb l kiindulva nyerünk M = = (S, F ) teljes modellt. Egy premodellben egy p pontot maximálisnak mondunk, ha két különböz szakasznak bels pontja; egyszer nek, ha vagy szakasz végpont, vagy lap-szakasz F E-pont, vagy olyan maximális pont, ami egy S-beli szakasznak sem végpontja. Ha egy premodellbeli pont nem egyszer, akkor speciális pontnak nevezzük. Három alap transzformációt deniálva ("meghosszabbítás", "csúsztatás" és "keresztezés") olyan eljárást hozhatunk létre, amely egy premodellben minden maximális speciális pontra alkalmazható, és növeli a premodellbeli reprezentatív pontok számát. Ezen m veletek többszöri alkalmazásával eljuthatunk egy olyan premodellig, amelyben a reprezentatív pontok száma maximális. Ez a korábbi állítás miatt teljes modell lesz, így elég a premodell létezését bizonyítani. Ennek a bizonyítását azonban itt nem tárgyaljuk, részletesen megtalálható [3]-ban. Tehát minden síkbarajzolható gráfnak létezik teljes modellje, vagyis minden síkbarajzolható gráfnak van metsz reprezentációja.

32 4. fejezet Síkbarajzolható hipergráfok reprezentációi Egyszer síkbarajzolható gráfoknak számos reprezentációja ismert. Adódik a kérdés, hogy milyen hipergráfokat tudunk ábrázolni a síkban, illetve a síkbarajzolható gráfok különféle reprezentációi kiterjeszthet k-e a hipergráfokra. Ebben a fejezetben ezeket a kérdéseket vizsgáljuk Lehetséges reprezentációk A síkbarajzolhatóság fogalmának többféle kiterjesztése ismert hipergráfokra. Zykov [16] a hipergráfok éleit a síkon lapokkal ábrázolta, így például egy 4 csúcsot tartalmazó hiperélt egy négyszöglappal reprezentált. Walsh [15] bebizonyította, hogy ez a reprezentáció pontosan akkor létezik, ha a hipergráf illeszkedési (incidencia) gráfja síkbarajzolható Deníció. Egy hipergráf illeszkedési vagy incidencia gráfján azt a G = {V, V ; E} páros gráfot értjük, ahol V jelenti a hipergráf csúcsait, V a hiperéleket, és egy V -beli csúcsot pontosan akkor köt össze él egy V -beli ponttal, ha a megfelel pont rajta van a megfelel hiperélen. A továbbiakban a síkbarajzolható incidencia gráal rendelkez hipergráfokat síkbarajzolhatónak fogjuk nevezni. Az illeszkedési gráf bevezetésével a hipergráfoknak egyszer síkbarajzolható gráfokat feleltetünk meg, így a 32

33 4.1. Lehetséges reprezentációk 33 síkbarajzolható gráfokra ismert reprezentációkból egyúttal hipergráfok lehetséges reprezentációit is kapjuk Ábrázolás függ leges és vízszintes szakaszokkal Az els fejezetb l megismert módszerrel minden síkbarajzolható páros gráfot reprezentálhatunk egymást érint függ leges és vízszintes szakaszokkal, így bármely síkbarajzolható hipergráf incidencia gráfját is. Tehát minden síkbarajzolható hipergráfot reprezentálhatunk egymást érint függ leges és vízszintes szakaszokkal úgy, hogy a függ leges szakaszok a hipergráf csúcsainak, a vízszintes szakaszok pedig a hipergráf éleinek felelnek meg, és egy függ leges és egy vízszintes szakasznak pontosan akkor van közös pontja, ha a reprezentált pont illeszkedik a megfelel hiperélre Ábrázolás egymást érint konvex alakzatokkal Koebe tétele [11] szerint minden síkbarajzolható gráfot reprezentálhatunk egymást érint körlapokkal. Ez a reprezentáció nem terjeszthet ki hipergráfokra, hiszen kett nél több körlap nem érintheti egymást egy pontban. Ismert, hogy minden síkbarajzolható gráf ábrázolható egymást érint háromszöglapokkal [5]. A következ szakaszban megmutatjuk, hogy ez a fajta ábrázolás kiterjeszthet hipergráfokra Kontakt és metsz reprezentációk Az el z fejezetekben síkbarajzolható gráfok metsz és kontakt reprezentációival foglalkoztunk. Ezeket a fogalmakat kiterjeszthetjük hipergráfokra, azonban az ábrázolás kicsit különbözik az egyszer gráfokétól. Itt ugyanis a szakaszok nem a hipergráf csúcsait, hanem a hiperéleket reprezentálják, és két szakasznak pontosan akkor van közös pontja, ha a reprezentált hiperéleknek van közös csúcsa. Mivel két szakasznak nulla, egy, vagy végtelen sok közös pontja van, ezért hipergráfok kontakt és metsz reprezentációi esetén megköveteljük, hogy a hipergráfban bármely két különböz hiperélnek legfeljebb egy közös csúcsa legyen. Az ilyen hipergráfokat

34 4.2. Reprezentáció egymást érint háromszögekkel 34 lineáris hipergráfoknak nevezzük. Ezáltal a reprezentációban két szakasznak 0, vagy 1 közös pontja lehet. A 3. fejezetben láttuk, hogy minden síkbarajzolható gráfnak létezik metsz reprezentációja. Fraysseix és Mendez sejtése [6] szerint minden lineáris síkbarajzolható hipergráfra is adható metsz reprezentáció. Ez a sejtés azonban nem igaz, Gonçalves ellenpéldát is adott rá [9]. A lineáris síkbarajzolható hipergráfok kontakt reprezentációját kés bb vizsgáljuk Reprezentáció egymást érint háromszögekkel Említettük, hogy az egyszer síkbarajzolható gráfok esetén ismert háromszöglapokkal való ábrázolás kiterjeszthet hipergráfokra. Ehhez el ször a következ tételt látjuk be: Tétel. Minden síkbarajzolható lineáris hipergráf reprezentálható egymást érint szakaszokkal és háromszöglapokkal úgy, hogy egy hiperélt egy szakasz, vagy egy háromszöglap reprezentál, és két hiperélt reprezentáló alakzatnak pontosan akkor van közös pontja, ha a két hiperélnek van közös csúcsa. Bizonyítás. Induljunk ki a hipergráf G incidenciagráfjából. A linearitás miatt G nem tartalmaz 4 hosszú kört, tehát a legkisebb el forduló kör legalább 6 hosszú lehet. Az állítást elegend hatszögelt páros gráfok esetén bizonyítani, hiszen minden 4 hosszú körrel nem rendelkez páros gráf el áll hatszögelt páros gráf részgráfjaként. G-hez vegyünk hozzá egy új r csúcsot, amit kössünk össze a G küls lapján lev három V -beli csúccsal. Az így nyert gráf legyen G +. Ezután kett zzük meg G + minden élét, így egy G lemma szerint) megadható olyan G + multigráfot kapunk. Ebben a multigráfban ([8]-beli irányítás, hogy minden csúcs befoka 3 legyen, és r forrás. Ebb l az irányításból G + egy G + irányítását kapjuk a következ képp: ha egy él megkett zése ellentétes irányú G + -ben, akkor irányítsuk a V -beli csúcs felé, ha pedig azonos irányú, akkor irányítsuk ennek az iránynak megfelel en.

35 4.2. Reprezentáció egymást érint háromszögekkel 35 r r G + G ábra. G + és G + irányítása A G + irányítás alapján tipizálhatjuk a G páros gráf pontjait a következ képp: Egy csúcs 1-típusú, ha a 3 befutó él közül 2 ugyanabból a csúcsból jön, egy csúcs 2-típusú, ha mindhárom befutó él különböz csúcsból jön. A [8]-beli 6. lemma szerint ha nincs 2-típusú fehér csúcs, akkor a hipergráf egymást érint szakaszokkal is reprezentálható. A háromszöglapokra a 2-típusú fehér csúcsok esetén van szükség. A 2-típusú fehér csúcsokat az ábrán látható m velettel 3 db 1-típusú fehér csúcsra bontjuk. Az ily módon kapott pontokból kapjuk kés bb az egyes hiperéleket reprezentáló háromszöglapokat. x 1 x 1 v 1 v 3 v 2 x 2 x 3 x 2 x ábra. 2-típusú pont megszüntetése Az el bb bemutatott m velettel elérhet, hogy csak 1-típusú fehér pont legyen

36 4.2. Reprezentáció egymást érint háromszögekkel 36 a gráfban, ekkor már elkészíthet a kontakt reprezentáció, de amikor egy 2-típusú csúcsot 3 db csúcsra bontottunk, akkor a kapott új csúcsok nyilván ugyanazt a hiperélt reprezentálják, tehát az új csúcsoknak megfeleltetett szakaszok alkotta háromszöglap egy hiperélt reprezentál. A 4.3. ábra mutatja a szakaszokkal és háromszögekkel való ábrázolás elkészítésének lépéseit, majd ebb l a háromszögekkel való ábrázolást. a a a e b f c g d e b f c g d e b f (c) g d h a h h e b f (c) g d e a b f h c g d e a b f h c g d h 4.3. ábra. A háromszög-reprezentáció el állításának lépései Célunk, miszerint a hipergráf minden élét háromszöglapokkal reprezentáljuk, innen már könnyen elérhet, hiszen az el bb bemutatott ábrázolásban a szakaszokat háromszögekké egészíthetjük ki anélkül, hogy új érintési pontokat kapnánk. Tehát a kapott háromszöglapok alkotta rendszer ugyanazt a hipergráfot reprezentálja, mint az el bb bemutatott ábrázolás.

37 4.3. Hipergráfok kontakt reprezentációja Hipergráfok kontakt reprezentációja Vizsgáljuk meg, mikor lehet egy lineáris síkbarajzolható hipergráf éleit egymást érint szakaszokkal reprezentálni. Az el z ábrázolás áttekintésénél említettük, hogy az ún. 2. típusú V -beli pontok esetén van szükség háromszöglapokra. Kézenfekv a kérdés, hogy milyen hipergráfokra adható az illeszkedési gráfon olyan irányítás, melyben minden V -beli pont 1-típusú. Könnyen látható, hogy ez nem minden lineáris síkbarajzolható hipergráfra igaz. Ha a hipergráf tartalmaz olyan hiperélt, ami pontosan 3 csúcsot tartalmaz, és ezek foka 2, akkor az ezen hiperélhez tartozó V -beli pont mindenképp 2. típusú lesz. Az ábrán látható b 1 w, b 2 w, b 3 w éleken a két irányításból legalább az egyiket a b 1, b 2, b 3 csúcsok felé kell irányítani, hiszen másképp a fekete csúcsok befoka nem lehet 3. Viszont ezeken az éleken mindkét irányítás nem mutathat a fekete csúcs irányába sem, mert ekkor w-nek lenne 3-nál kevesebb a befoka. b 1 w b 2 b 1 w b 2 b 3 b ábra. Példa biztosan 2. típusú csúcsra Tudjuk, hogy G + -ben minden csúcs befoka 3. Észrevehetjük, hogy egy V -beli csúcs pontosan akkor lesz 2. típusú, ha a G + -beli befoka is 3. Mivel G + -ban egy V -beli csúcs befoka 0 vagy 1, egy V -beli csúcsé pedig 2 vagy 3, ezért pontosan akkor nem kapunk 2. típusú fehér pontot, ha létezik G + -ban a már korábban említett (2, 1) irányítás. A [8]-beli 1. tétel szerint a (2, 1) irányítás létezése egy hatszögelt incidencia gráal rendelkez hipergráf esetén szükséges és elégséges feltétele az ún. pszeudoszakaszokkal (azaz olyan Jordan-ívekkel, ahol 2 ívnek legfeljebb 1 metszéspontja lehet) való kontakt reprezentációnak. Ahhoz, hogy a kontakt reprezentáció egyenes