Méréselmélet Előadásvázlat Összeállította: Péceli Gábor 2017.

Átírás

1 Méréslélt Elődásvált Össállított: écl Gábor 7.

2 Méréslélt:. lődás A Méréslélt c. tárg céltűés A Méréslélt c. tárg rr válllo hog rdsrtt foráb áttts ot gfotolásot és ódsrt l lpvtő érés dto flhsálás és fldolgoás sorá. A érés dto büt örülvvő vlóság gfgléséből sár obb gsrését és bfolásolását ts lhtővé. A obb potosbb gsrésr és bfolásolásr ráuló törvés vlóáb g prs folt l lőts és éréssl gsrtt srt gr fobb ötvöés révé ér l célát. A Méréslélt c. tárg rtéb strépés célt lgább l solgálu hog fldéü ot gfotolásot l érés dtob rlő forácó htéo rését ts lhtővé. árglu ot ódsrt l lpá dötést tudu táogt prétr értéét tudu gbcsül és l tudu ír vgs odll tudu örtü vlós dű chust. Fél sl rr s fglü hog dto vlós dű fldolgoás ét lhtségs és hog tgrálhtó ódsr ülöfél CS Io Idustr 4. rdsr résgségb ll. utoó űödést btosító vérlő chusb.. Mt tultu Méréstchából? Eléttő: A Méréstch c. tárg rtéb gsrdhttü éréslélt lpvl övtő císv ll. téörö té: - Mérés és odllés - Modllllstés - Mérés hbá odllés átvtl és űsr-hb - hbtrdés tls dffrcál llás - érősö strutúrá soros párhuos vsscstolt - látlító hbá ullpot trhlés hőérsélt lbrácós stb. hbá - űsr potosság lóg dgtáls; ltrés és frvcfüggés - El érés ódsr dffrc övtl és övttt össhsolítás hlttsítő flcsrélés vg Guss ódsr - Mérés sorot értélés gddó hls érté lgvlósíűbb érté/bcslő bcslés botlság; átlg sórás; ofdc sáítás - A érés botlság fés GUM ódsr E téörö srtét Méréslélt tárg lőtulá övtléé ttü ft císv öül élbb cs odllllstés téörét értü.. A érés lárás sátosság A érés lárás gsrés folt rés l sorá rdlésür álló srtt potosítu ll. bővítü. A. ábr folt trprtálását sgít. A érés sorá vlóság lségt srté grgd. Et grgdást lősrtttl végü ol llőr építv l vll értlb stbltást utt. Il llőhö s bstrcó révé utu. Klt srph ut - állpotváltoó l váltoás ölcsöhtáso révé fllépő rgfoltoho öthtő fsültség oás hőérsélt sbsség stb. - prétr l ölcsöhtáso ttásvsot rgdá g és - strutúrá S l rdsr-opos pcsoltt írá l.

3 Méréslélt:. lődás A vlóság tr A gfglés tr A dötés/bcslés tr. S os cstor. S botlság gfglés folt. ábr gfglés folt vr A vlóság tr g ol bstrcó lb vsgált llő orét érté tér g potá fll g. A érés lőtt pot oordátát srü. A érés sorá g-g l pot oordátá ghtároásár gérésér törsü srt ódo cs ölítőlg lhtségs vl érés hbávl trhlt. ovább héség hog érdő ségh so stb férü övtlül hoá ért többr cs vll lépéséből tudu dul. Et lépést vü gfglés. A érdő és gfglt érté öött út érés/látvtl cstor. Mgfglés dtrstus cstor sté:. ábr llustrtív példét g dőb dsrét gfglőt utt b. A vlóságot és gfglést líró állpot ll. gfglés glt: A C + = A = C Korrcó =. ábr + = A + G = C hol állpotvtor dós A állpotátt átr * dós gfglés M dós vtor C gfglés átr pdg M* dós. Célu állpotvtor bcslés. E sö gfglő l vlóság ásolt gs l áltl hog g orrcós/tuló/dptáló chus rdéépp övt t. A övtés bövttévl érés rdé ˆ gfglőből olvshtó. A gfglőb gvlósuló ásolt állpot ll. gfglés glt: ˆ Aˆ G 3 ˆ Cˆ 4 hol G orrcós átr *M dós ˆ. A G átrot úg trvü g hog ˆ. és 3 ülöbségét épv: ˆ A Aˆ G A GC ˆ. 5 Bvtv ˆ vlt F A GC lölést ú. hbrdsr állpotátt átr: 3

4 Méréslélt:. lődás F. 6 A G orrcós átrot úg ll gtrv hog érdéb célsrű -r F csöt hossát d lépésb vgs dg sóvl otrtív. Mggés:. A hbvtorrl pcsoltos glőtlség értlsrű vtor hossár oráár értldő slár stb pdg hb bsolút értéér.. A hb ltűéséh trésts ll gövtlü csöés oototását cs hbrdsr stbltását ülső grstés élül stb ulláho ovrgálását. E trprtálhtó úg s hog hbrdsr blső rgáát stbl állpot lérés érdéb ld dg sóvl dsspál. dsspácó trácó d lépéséb fáll or hbvtor hossá csöés ooto folt ls. Est:. F AGC. Ebb stb G AC. E or lhtségs h C égts gfglés épp oposű t g állpotvtor. Íg tá s csod hog trácó élül gtl lépésb g tudu htáro állpotvtor értéét. E t lt hog gfglő blül ásolt gtl lépés utá övt éps gfglt f rdsrt.. F AGC. Ebb stb hbrdsr lépésb ovrgál: ˆ AGC ˆ 7 A F tuldoságú átro ú. drogtórus lpots átro l sát hog vl sátértéü ull. A l tuldoságú állpotátt átrsl llhtő rdsr végs pulusválsú ú. FIR rdsr hs M dt hb végs lépésb ltű. Mggés: h F hol M< or F ú. drogtórus lpots átr lor ovrgc vsbb t lépésb bövt. 3. F AGC or stblr trvtt hbrdsr állpotvtorá hoss pocáls llggl fog csö. Eg l hbrdsr or ls stbl h össs sátérté gségsugrú örö blül hld l. A l tuldoságú állpotátt átrsl llhtő rdsr végtl pulusválsú ú. IIR rdsr rt dt hb cs végtl lépésb tű l. éldá:. éld: Adott A ; C. og állítsu b G-t? G AC A. éld: Adott g g g g g g A ; g C. og állítsu b G-t? G? g GC. A GC. AGC htárou g G-t: g g g g lpá 4

5 Méréslélt:. lődás g g g g g g gg g g g gg g g g g g g g gg g g gg. A lléátló fést főátló fésb bhlttsítv pu: g lltv g ből: g 5. és g. 5. Ellőrésépp: éld: tárou g A GC sátértét. éld rdéé flhsálásávl: dt I A GC dt Mdét sátérté ull. Mggés:. E tuldoság áltláos g végs lépésb ovrgál éps rdsr stéb.. A l rdsr átvtl függvé ol lfuló rcoáls törtfüggvé l vl pólus orgób v: E ú. végs pulusválsú FIR sűrő. 8 dőtrtoábl gfllő:... 9 hol vlós dű sáíthtóság tt cs orább tá srplht. 3. A 3. példáb sátértér votoó fltétl flhsálhtó g és gérté ghtároásár: g g dti A GC dt g g g g g g g. Ebből: g g ll. g ből: g. 5 és g. 5. Mgfglés os cstor sté: Ebb stb lvárásu h E[ ] lg. El hbrdsr 6 állpotgltét E [ ] FE[ ] F össfüggés vált fl. E hb-átr öpot srpt p hírs Kl prdtor ll. sűrő stéb. R.E. Kl vlághírű 6-b lhut gr sárású tudós. Mggés:. A. ábrá láthtó lrdés dét odll grsthtő g öös grstéssl. Mvl odll lárs suprpoícó értléb gfglő ovrgcá váltotlul gvlósul.. A. ábr srt gfglőt Lubrgr gfglő vü. Lubrgr srt d d rdsr gfglő. A gfglő tuldoság fltétl hog. 5

6 Méréslélt:. lődás gfglő lg gorsbb t gfglt rdsr ülöb éps övt váltoásot. 3. Eg llállás- vg pdc-érő híd srtl lt trtló hídág vlóság f odll glítő lt trtló ág pdg gfglőb flépülő bállíthtó/hgolhtó odll. A hídág ostópotá glő fsültség ülöbség vérl hgolást és végé ét fsültség gg bállíthtó lről lolvsott érté sgítségévl ghtárohtó srtl. E árör hgolást végő oprátor résvétlévl gvlósít gfglőt. A os cstor odllés: Véltl sé lírásár vlósíűség váltoót ll. stochstus foltot hsálu. A vlósíűség váltoó g ol függvé l vlósíűség sétér séh vlós sáot rdl. A véltl lségből sáró tából hstogrot ésítv gpu vlósíűség sűrűségfüggvé sttst llését lásd 3. ábr. hstogr flbotását d rltív gorság 3. ábr t htáro túl foítu és végtl sáú ísérltt végü or gpu ú. vlósíűség sűrűségfüggvét. E tgrál görb ltt trült g dott u-g trdő u F u f v dv u ú. loslásfüggvé god vlósíűség hog vlósíűség váltoó érté u-ál gobb. A t stochstus folt g ol függvé l vlósíűség sétér séh vlós dőfüggvét rdl lásd 4. ábr. E függvé dott dőpotbl pl. t érté g vlósíűség váltoót rprtál. stochstus folt ω t ω t 3. A dötéslélt lp t ω t 4. ábr éld: dttálás rdrrl. Bárs vg éthpotéss dötés: ldötdő llét vg l lét érdés. A érés lárás séáát 5. ábrá láthtu. A cstor os ugrról lségről rdr ltérő értéű gfglést pu. El ll dötü 6 t

7 Méréslélt:. lődás hog g vg több gfglésr lpov dötés sorá ét lhtségs hpotésből lt fogdu l: forrás Z dötés Lhtségs hbá: 5. ábr hpotés: llségs obtu cs l. hpotés: llségs obtu l v. Elfogdu -t holott g. E vlósíűség M ss probblt Elfogdu -t holott g. E vlósíűség F fls lr probblt. A dötésh lőts flvssü gfglés hstográt és bból ölítőlg lőállítu f és f fltétls sűrűségfüggvét. Et cstor- gfglés tr tr rtrstá s vü. A fltétl g vg ás hpotés gfllő vsldés. Vgü ésr hog g forácógűtés tulás fás. A ét sűrűségfüggvé gásho vló vsoát 6. ábr utt b. Krssü dötés üsöböt vll optu rtéru srt. Mvl sűrűségfüggvé átlpolód ért dötés üsöb ghtároás trváls. A hh llhtó orét strtég rdlésr álló forácó függvé. dötés üsöb dötés tr f M F f Z Z 6. ábr Kéthpotéss Bs dötés: Fltétl:. Isrü ú. pror vlósíűségt: és.. Isrü cstorrtrstát: f és f. Dfálu öltségt: C öltség hog -d hpotést fogdtu l holott -d g. Értlü bövtés vlósíűségt: 7

8 Méréslélt:. lődás hol d fltétltt hpotés d pdg bövttt tl oosító. és ost vg. A cél: átlgos ocát rs/öltség cost lálás: R C + C + C + C Vgü ésr hog lső ét tg stéb hpotés gfllő tl övttt b íg ásod ttőél srt. A fés uát dötés üsöb értéé lls gválstásávl érü l. Jlöl Z lfogdás trtoáát. Err votoó htárou g bövtés vlósíűségt lább srt: f d l 3 R C f d C f d C f d C Z Z Z Z Z f d. 4 Mvl ét lfogdás trtoá gütts lfd tls sétrt ért sűrűségfüggvé tgrál g lfogdás trtoá fltt gg gség és ás lfogdás trtoá fltt tgrálo ülöbségévl. A Z fltt tgrálot lcsrélv Z fltt tgrálol 4 övtő lb írhtó: R C C C C f d C C Z C Z f d. 5 gü fl hog C C és C továbbá ttsü dötés üsöb hlét 5 össfüggésbl gváltoós tgrál függvé függtl váltoóá. E srt váltoó srt rsv 5 sélsőértéét t pu hog átlgos ocát u váltoó o értééél rstt dötés üsöbértéél v lr C C f C C f. 6 A 6 lpá dódó dötés üsöbértétől ár obbr ár blr ltérv 5 srt átlgos ocát övd fog. E blátását sgít 7. ábr hol t vsgálhtu hog ét lul 5 össfüggésbl tgrálo or fltétltt dötés üsöböt optáls tttt értétől obbr vg blr éplü l. dötés üsöb C -C f övl öltségt C -C f övl öltségt Z Z A 6 össfüggés átírásávl pu: 7. ábr 8

9 Méréslélt:. lődás f C f C C C 7 dötés üsöb értééél ét fltétls sűrűségfüggvé hádos g lőr dott osts. A 7 össfüggésb dötés üsöb értéét vs fl. tuáls gfglt értét bhlttsítü f 8 f ú. llhood rá függvéb és h dötés. öör írv: E ú. Bs dötés sbál vg llhood rá tst. or dötés h or 9 9

10 Méréslélt:. lődás A dötéslélt lp folt. Mggés éthpotéss Bs dötésh:. öltségt úg válstu g hog 7 lg or dötés sbál f f lb írhtó gg féssl vgs dötést postror vlósíűség lpá hohtu g. Et spcáls stt u postror MA dötés vü.. Soás 9 hltt l l ú. log-llhood rát hsál.. éld: Kosts l dttálás os cstorá rstül: l v- l gfglésb vg cs? gü fl hog gfglés függtl Guss loslású vlósíűség váltoó ull várhtó értél és vrcávl. A hpotés hog gfglés l cs l cs tuáls táát pu. A hpotés hog gfglés l l v l és tuáls táá össgét fgltü g. = - össs tát fglü g gsrr. A dötés sorá gütts fltétls sűrűségfüggvét fogu hsál. Egtl gfglés sté fltétls sűrűségfüggvé: f ll. f A gfglés függtlség tt gfglés gütts sűrűségfüggvé gd gfglés sűrűségfüggvé sort. 9 tuáls l: f f lltv log-llhood rá: l l Átrdv: l 3 A tsth thát gfglés átlgát ll épü és össvtü g üsöbértél. A dötőésülé blováltát 8. ábr utt b.

11 Méréslélt:. lődás = Küsöb dttor v l cs l σ η Mggés:. or l thát 8. ábr dötés üsöb osts lst fl. E például fáll h. 5 C C és C C.. or l vl dötés üsöb osts lst fl lá csö. E például fáll h C C és C C. Ilor osts lőfordulás gorbb üsöb lcsö llő stb ő. 3. Fglü g hog 3 össfüggésb l htású vrcá gütts gfglés sá és g osts l st.. éld: Váltoó pltúdóú l dttálás os cstorá rstül: l v- l gfglésb vg cs? gü fl hog gfglés függtl Guss loslású vlósíűség váltoó ull várhtó értél és vrcávl. A hpotés hog gfglés l cs l cs tuáls táát pu. A hpotés hog gfglés l l v l és tuáls táá össgét fgltü g. = - össs tát fglü g gsrr. A dötés sorá gütts fltétls sűrűségfüggvét fogu hsál. Egtl gfglés sté fltétls sűrűségfüggvé: f ll. f 4 A gfglés függtlség tt gfglés gütts sűrűségfüggvé gd gfglés sűrűségfüggvé sort. 9 tuáls l: lltv log-llhood rá: Átrdv: f f 5 l l 6 l A tsth thát gfglés l távl súloott átlgát ll épü és össvtü g üsöbértél. A dötőésülé blováltát 9. ábr utt b. 7

12 Méréslélt:. lődás ábr Mggés:. Vgü ésr hog 7 össfüggésből 3 gsrű sártthtó h l tá rdr gforá.. A 7 össfüggés srt l-súloást lh llsttt sűrő vü. 3. péld: Véltl pltúdóú l dttálás os cstorá rstül: l v- l gfglésb vg cs? gü fl hog l és grát dőb dsrét stcoárus stochstus fhér folto Guss loslássl ull várhtó értél és ll. vrcávl. A hpotés hog gfglés l cs l cs tuáls táát pu. A hpotés hog gfglés l l v l és tuáls táá össgét fgltü g. = - össs tát fglü g gsrr. A dötés sorá gütts fltétls sűrűségfüggvét fogu hsál. Egtl gfglés sté fltétls sűrűségfüggvé: f ll. f 8 A gfglés függtlség tt gfglés gütts sűrűségfüggvé gd gfglés sűrűségfüggvé sort. 9 tuáls l: f f 9 lltv log-llhood rá: l l l l Átrdv: l l 3 A tsth thát gfglés égté átlgát ll épü és össvtü g üsöbértél. A dötőésülé blováltát. ábr utt b. Mggés:. és or l. σ η v l cs l = Küsöb dttor

13 Méréslélt:. lődás ltrtív l: l l lb vrcá ráá htását lhtü. 3. A. ábr dötés trtoáo lhldését utt. Láthtó hog lhldésü strus rt rdé függ gfglt érté lőlétől. = Küsöb dttor v l cs l σ σ η. ábr f f = = éld ottho fldolgoásr:. ábr 4. éld: Bs dötés dsrét vlósíűségl: árgflvétl ldötés lső lődáso srtt boáso érds vg uls lpá. Dfálu lődáso háro csoportát: ó öps ross. A hllgtó lőts tpstlt lpá t tud hog ó=. öps=.4 és ross=.4. E ú. pror vlósíűség. Isr továbbá hog lődásoról srtt boáso érds vg uls hog függ öss gs lődás csoportol. E cstorrtrstá gfllő fltétls vlósíűség: érds ó. 8 érdsöps. 5 érdsross. uls ó. ulsöps. 5 ulsross. 9 A öltség/ocáto érősá lg övtő: C C 5 C flvssü ó flvssüöps 3 flvssü ross C C 5 C _ vssü _ fl ó _ vssü_ fl öps _ vssü_ fl ross A hllgtó ó dötésh lál ll fltétls ocátot/öltségt. A fltétl lső lődáso srtt tpstlt. A ocát/öltség függvé: E öül lsőt ftv C flvssü ó R flvssü érds R flvssü uls R _ vssü _ fl érds R _ vssü_ fl uls R flvssü érds ó érds C öps érds C rossérds flvssü öps Z Z Z flvssü ross

14 Méréslélt:. lődás A tt srplő fltétls vlósíűség ú. postror vlósíűség Bs tétl sgítségévl sáíthtó: érds ó ó ó érds érds érdsöps öps öpsérds érds érds ross ross ross érds érds Eb sáláló téő srt gdül érds sáítdó tls vlósíűség tétl flhsálásávl: érds érds ó ó érds öps öps érds ross ross El: uls.6 ó érds. 4 öpsérds. 5 rossérds. hllgtó lső lődás utá t tpstl hog lődás érds or R flvssü érds és R _ vssü _ fl érds ocátot/öltségt fog össvt. R flvssü érds R _ vssü _ fl érds hllgtó thát fl fog v tárgt. tároá g ocát/öltség értét rr str s or lső lődássl pcsoltos tpstlt hog uls. 4. A bcsléslélt lp A cél prétrvtor â bcslőé ghtároás. ábrá láthtó lőts srt és oból sárttott sűrűségfüggvé srtéb. Vlóság Mgfglés Bcslés f Z f f f. ábr A tovább övthtőség érdéb érds fldé: sűrűségfüggvé foglát és vsoát érés sorotol fltétls sűrűségfüggvé foglát pl. cstor rtrst llésér és 3 várhtó érté foglát vlt sáítását sűrűségfüggvér lpov. A bcslés llésér és óságá értéér solgáló llő lásd 3. ábr: 4

15 Méréslélt:. lődás b vr E 3. ábr. Fltétls várhtóérté: E f d ˆ ˆ ˆ ˆ 3. Fltétls ovrc átr: cov ˆ ˆ E ˆ E ˆ ˆ E ˆ 3. Fltétls torítás: 3 b E ˆ 33 ˆ ˆ ˆ ˆ Átlgos égts hb: E cov b b M Squr Error MSE Mggés: srt f vlósíűség-sűrűségfüggvé or dfálhtó: 5. Fltétl élül várhtó érté: E ˆ EE ˆ Fltétl élül ovrc átr: ˆ ˆ Ecov ˆ ˆ cov 36 I. Bs bcslő: Isrt gfglt prétr sűrűségfüggvé: f és cstor rtrstá: f. A gfglés utá lpá Bs sbál flhsálásávl lőállíthtó f ú. postror sűrűségfüggvé: f f f hol 37 f f f f d. 38 f f 4. ábr A 4. ábr t utt hog b gfglés trtl prétrr votoó forácót postror sűrűségfüggvé orét prétr-érté g sűbb örtér trd. A postror sűrűségfüggvé sgítségévl htárou g srtl prétr vtor lhtő lgobb bcslőét. Ehh értlü lgobb foglát lls öltségfüggvé rstül: C ˆ R ˆ E C ˆ f dd 39 hol flhsálu hog f = f f. A továbbb 39 uát Bs öltség vü: 5

16 R Méréslélt:. lődás B R ˆ E C ˆ. 4 ˆ ˆ Itt C ˆ ú. rtérufüggvé vg hbfüggvé vg llstés függvé. E séls örb hsált váltott 5. ábr utt b. I. C ˆ ˆ ˆ ˆ 4 II. III. C ˆ ˆ 4 h ˆ r C ˆ gébét 43 égts Absolút Mu postror Δ Máls átlgos égts hbáú bcslés: 5. ábr ˆ ˆ [ ˆ ˆ f d] f d R ˆ E g ˆ f d 44 Itt g = f d és cs függ -tól ért lég uát rs: ˆ ˆ ˆ f d ˆ ˆ Mvl ˆ ˆ ˆ továbbá 45 fésb â tgráll lé ˆ lhtő vlt sűrűségfüggvé tgrál ért MS 45 ˆ MS f d 46 l rtérufüggvél lgobb bcslés postror várhtó érté. Máls átlgos bsolút hbáú bcslés slár str buttv: R ˆ E ˆ ˆ [ ˆ f d ˆ f d] f d Itt s lég g uát grs: ˆ ˆ ˆ f d ˆ ˆ ˆ f d ˆ ˆ ABS g ˆ f d

17 Méréslélt:. lődás Ebből vgs ˆ ABS f d f d 49 ˆ ABS ˆ ABS f dá. 5 Mu postror MA bcslés: ˆ ˆ g ˆ f d f d f d. 5 cs d or optu postror sűrűségfüggvé uhl vl 5 össfüggés or vs fl lgsbb értéét. Mggés: ˆ ˆ ˆ MA f uhl. 5. A Bs bcslés dg postror sűrűségfüggvé lpá törté.. A MS bcslés lárs bb lább értlb: b A c or b Aˆ c ˆ. ˆ továbbá E b E E b ˆ MS b MS MS MS Bs bcslő Guss losláso sté: gü fl hog rstt prétr és E cov E cov gfglés Guss loslású. Adott. d Guss loslású or postror sűrűségfüggvé otu plct foráb gdhtó. gü fl hog ddtív l trhlt gfglés lább össfüggéssl írhtó l: U 53 hol d =p d =q d U=q*p. A U ú. gfglés átr. A plct for postror várhtó értér: Mggés: ˆ ˆ MS MS [ U U ] U U 54 ˆ ABS pror_ srt ˆ MA orrcó_ U _ függvééb rt postror sűrűségfüggvé Guss. 7

18 Méréslélt: 3. lődás A bcsléslélt lp folt. Bs bcslő:. éld: Mérdő g llállás értéét úg hog srt ár áltl ttt fsültségt érü. gfglést végü. U IR. A gfglt érté: =... - srtl prétr llállás ddtív tá. gü fl hog llállás gártás sorot g l és gfglés grát Guss loslású vlósíűség váltoó tthtő. A gfglés érté orrláltlo. gü fl h hog srt és várhtó érté cov hol h. Vtoros lb: U U... I. ˆ MS Mggés: [ ] 8. A 55 fés lpá bcslés úg trprtálhtó t g prdcós-orrcós forul l lső tg pror srt lpá g óslás: or lht prétr lőts srt lpá t többltforácó érés rdé brtoáb g orrcós tg gésít. E utóbb ért érté átlg és prétr várhtó érté ülöbségévl ráos. A ráosság téő értéé függvééb ull és g öött érté. or ˆ MS h vg or ˆMS.. A bcslés hb vrcá: postror ovrc: cov [ U U ] vr ~ hol ~ ˆ. A értéé függvééb és öött érté. or ~ vr h vg or vr ~. 3. A bcslés fltétls torított: b E ˆ MS E. 57

19 Méréslélt: 3. lődás éld: Mérdő g srt l srtl pltúdó. s = -. A srtl pltúdó és Guss loslású srt várhtó értél és vrcávl. E vr cov cov -r -r. E Most hsálu u postror MA bcslés tcháát! Most f f flhsálásávl ˆ MA l f l f lltv 37 flhsálásávl. 58 f s l f l f ˆ MA t 58 össfüggés s s A ét gltt gássl össdv és bhlttsítv 58 össfüggésb: s s Mggés: ˆ MA ből s MA s ˆ. 59. A MA bcslés llásávl gspóroltu 54 átr-össfüggés hsáltát bcslő értéé ghtároásor.. A bcslés hb vrcá: vr ~ 3. s = or gpu lőő péld rdéét. s Itt s oosíthtó dötéslélt rés. fldtáb líttt llsttt sűrő. 5. résts ˆ MA ˆ MS. II. Mu llhood ML bcslő: srü érdő ség pror vlósíűség sűrűségfüggvéét. Ilor t fltétlü hog függvé séls ltrülő és bből dódó postror sűrűségfüggvé gg cstorrtrstávl. A optáls bcslőt cstor-rtrst uáho rdlü: f ˆ ML l f ll. ˆ ML 6 Mggés: A 6. ábrá láthtó vsoot 37 össfüggés ssögéből célsrű l: postror sűrűségfüggvét gdó össfüggés sáláló ábrá láthtó ét függvé sort. A sort uhl láthtó 6 össfüggéssl gdhtó. 9

20 Méréslélt: 3. lődás 7... f f MA = ML 6. ábr III. Guss-Mrov GM bcslő: A u llhood bcslő spcáls st or gfglés Guss loslású gfglés glt pdg lárs. dós gfglést végü dós -vtor: E cov f hol átr dtrását löl. A gfglés glt: U lll cstor rtrst U U f l sélsőérté hl l f [ U össfüggés lpá htárohtó g. 65 lpá: U U U ből h [ U U ] lét. ˆ GM U] ˆ GM [ U U] U 66 Mggés: A 66 össfüggés sórás végtl hlttsítés lltt Bs stből sártthtó. A Guss-Mrov bcslő toríttl. éld: A = - függtl gfglés. A cstor rtrst: f E ; cov. l uhléél l f pu prétr Guss-Mrov bcslő: [ ] ; ˆ ˆ ML ˆ GM ˆ ˆ ML GM 67 lárs gfglés glt és Guss loslású cstor sté lgobb Guss- Mrov bcslő gsrű átlgolás.

21 Méréslélt: 3. lődás 7... IV. Máls vrcáú toríttl bcslő: továbbb érdő prétrt dtrstus ség tétlü fl. A bcslés problé övtő: dott = { } = ért érté l srtl prétr függvé. tárou g bcslőét = g hol g g függvé. A lső lépés cstor-rtrst gfglt dto vlósíűség sűrűségfüggvéé gtlálás prétr függvééb t f; löl. éld: Addtív Guss loslású fhér l trhlt DC st érés gtl ért dtr lpov: = + hol vlósíűség sűrűségfüggvé σ. Ebb stb cstor-rtrst sűrűségfüggvé: f ; = p [ πσ σ ] éld: Addtív Guss loslású fhér l trhlt lárs sorot érés érés sorotr lpov: = A + B + = hol orrláltl d távl és vlósíűség sűrűségfüggvé σ. Lg = [A B] = [ ]. Ebb stb cstor-rtrst sűrűségfüggvé: f; = f ; = πσ = p [ σ = A B ] A bcslés ősítés: tsü g A stű DC érést orrláltl b: = A + =. tsü övtő bcslőt: A = = A =. gü fl hog A = A =.95 A =.98. Ml bcslés obb? Mvl bcslő vlósíűség váltoó ért vsldés/ősítés vlósíűség sűrűségfüggvéévl dhtó g ll. sttst sööl például Mot-Crlo sulácóvl. oríttl bcslő: bcslő l várhtó értéb hls értét d: E = prétr g értétrtoáár tlsül α < < α. tárou g ét bcslő A és A várhtó értéét: EA = = E = = EA + = = EA = E = EA + = A + = A A + = A Mdét bcslő toríttl. Ml obb? Ehh sáítsu bcslő vrcáát! vra = vr[ = ] = vr = = vra = vr = σ > vra σ = σ Mggés: több toríttl bcslő v ugrr prétrr votoó és gástól függtl dthloból sár például or obb bcslő rhtő átlgolásávl: = = bcslő oos vrcá or: E =.

22 Méréslélt: 3. lődás 7... vr = vr = = vr = vr. övlésévl vrc csö h. bcslés torított or áll lő függtlül ttól hog há bcslőt átlgolu. A áls vrc rtéru: A bcslés lglogusbb rtéru átlgos égts hb M Squr Error MSE/s: s = E[ ] Sos gölítés űödőéps rt bcslő függ srtl prétrtől. A hh öl áll bcslő vrcá t bvthtü s féséb: s = E{[ E[] + E[] ] } = E{[ E[] + b] }. Itt b = E[] bcslő torítását bs löl. ovábblítv: s = E{[ E] } + be[ E] + b = vr + b. Ebből láthtó hog toríttl bcslés sté MSE lálásávl vvls bcslő vrcáá lálás. Máls vrcáú toríttl bcslő Mu Vrc Ubsd Esttor MVU Esttor: Áltláos stb odhtó l hog MVU bcslő lét. Lht hog cs toríttl bcslő vg toríttl bcslő g s dütt áls vrcáú. srt ol lárás l dg MVU bcslőr vt. Mt thtü?. Mghtárou ú. Crr-Ro lsó orlátot Crr-Ro lor boud: CRLB és llőrü hog bcslő vrcá gfll-.. Korlátou gut lárs toríttl bcslőr. Crr-Ro lsó orlát CRLB: Bárl toríttl bcslő vrcáár lsó orlátot d: vr CRLB A CRLB függvé. Mgod lérhtő lgsbb vrc. Elvtht MVU bcslőhö. A CRLB-r votoó állítás: étlü fl hog érés dto vlósíűség sűrűségfüggvéér tlsül d stéb: lf; E [ ] = Eor bárl toríttl bcslőr fáll hog: vr [ E lf; ] Eg ol toríttl bcslő l lér Crr-Ro lsó orlátot or és cs or tlálhtó h: lf; = Ig hol g és I lls függvé. A bcslő = g és vrc u /I. éld: Addtív Guss loslású fhér l trhlt DC st érés gtl ért dtr lpov: = A + hol vlósíűség sűrűségfüggvé σ.

23 Méréslélt: 3. lődás 7... Er lpov: Md lpá: f ; A = p [ πσ σ A ] lf ; A = l πσ σ A l ; A A = [ A] lf ; A A = σ vra σ IA = σ A = g =. éld: Addtív Guss loslású fhér l trhlt DC st érés érés sorotr lpov: = A + = hol orrláltl d távl és vlósíűség sűrűségfüggvé σ. Md lpá: f; A = πσ p [ σ A ] 3 = lf; A = A A [ l [πσ ] σ A ] = = σ A = σ = = = A vra σ IA = σ A = g = Addtív Guss loslású fhér l trhlt lárs odll st: hol = U + * dós gfglés vtor; U *M dós srt gfglés átr; M* dós bcsüldő prétrvtor; * dós vtor l vlósíűség sűrűségfüggvé σ I. Ebb stb CRLB és t orlátot lérő MVU bcslő sáíthtó:. lépés: lf; sáítás;. lépés: I = E [ lf; ] sáítás és ovrc átrá sáítás: cov = I. 3. lépés: A g MVU bcslő ghtároás övtő sort lból: lf; = I[g ]. E lépés ft odll stéb:. lépés: lf; = l πσ σ U U. =

24 Méréslélt: 3. lődás lépés: lf = σ [ U + U U] = σ [U U U]. El I = E [ lf; ] = σ U U. 3. lépés: A g MVU bcslő ghtároás övtő sort lból: lf; = I[g ] = U U σ [U U U ]. Eért: = g = U U U cov = I = σ U U. Vgs ddtív Guss loslású fhér l trhlt lárs odll stéb: - A MVU bcslő: = U U U. A bcslő htásos és lér CLRB orlátot; - A bcslő toríttl rt: E = U U U EU + = - A bcslő sttst vsldés tls értéb spcfált rt lárs trsforált Guss loslású vtor: ~ σ U U éldá:. Lg llstdő odll dsrét dőd polo:... hol ddtív gfglés -d dőplltbl érté. Mátros lb: U 4 U U U ] [ ˆ. Lg llstdő odll dőb dsrét Fourr sorftés: M M b s cos Mggés: ost DC opost llstü. Mátros lb: U b b b M M s cos 4 s 4 cos s cos U U U ] [ ˆ Mvl ost I U U ért cos ˆ. s ˆ b Mggés: A ovrc átr vl Guss loslású és fhér: I U U ˆ cov

25 Méréslélt: 3. lődás A bcslő Guss loslású vlósíűség váltoó és utá ovrc átru dgoál átr ért gástól függtl. 3. A ogó átlgoló FIR sűrő rr str or grstés blépő függvé thát h : t U lb flírv: 3 U U U ˆ Mggés: A ovrc átr h Guss loslású és fhér: ] [ ˆ cov U U.

26 Méréslélt: 4. lődás A bcsléslélt lp folttás éldá:. Mogó-átlg Movg Avrg: MA prétr bcslés: A = - dsrét értésorot ől l g csúsó blo rstül láthtó dsrét érté ből lárs obácóét áll lő:. 68 Krstt súloó gütthtó. A gfglés lárs: U ; = - ]... [ ]... [. A lgsbb égts értlb optáls prétrt U U U ] [ ˆ össfüggés d. A lőő ór példávl lltétb tt ből blépő ért csúsó blo rstül gtív dű tá s láts. Érds gvsgál hog forácótrtl ] [ U U átr lltv U vtor. Ehh íru fl U U átrot ddus sorto össgét: X X 69 A 73 össfüggésb X Fglü g hog 69 g ol átr l l lls orálássl gésítv dsrét értésorot utoorrlácó értét bcsül: ˆ p p R p = -. 7 solóépp flírv U vtort: U 7 7 g ol vtor l l lls orálássl gésítv és dsrét értésoroto rstorrlácó értét bcsül: R ˆ = -. 7 Jlöl Rˆ 7 össfüggés srt lből álló átrot Rˆ pdg 7 össfüggés srt lből álló vtort: R R ˆ ˆ ˆ 73 Mggés:. A 73 össfüggés trésts döss g foráls átírás péld srt vsoo stér d ésőbbb lát fogu létogosultságát.

27 Méréslélt: 4. lődás Vlós dű értélés gé sté 68 össfüggés hltt hsálu rt sáításo lvégéséh g üt dő dépp süségs. forát 3. Lárs odll srt opos sté: s lopos srt: U s. s bvtésévl: ˆ [ U U] U s fhér sté: C ˆ [ U U]. 4. A r. Itt A g srtl osts r pdg g srt osts: r A ˆ A r Aˆ vr 74 r h Guss és fhér. 5. Lárs odll sís Guss sté: U ~ C vgs ovrc átr ls dgoáls átr. A ú. fhérítés lárást llu: vl C potív dft ért lét ol vrtálhtó D átr lll: C D D. El D átrsl gsorov gfglés vtorát: E[ D D ] E[ D D ] DCD DD D D I 75 vgs fhérd és gség vrcáú ls. gfglés glt gését trsforálu D átrsl or: D DU D U. Itt D ~ I. 76 El probléát vssvttü fhér stér: ˆ [ U U] U [ U D DU] U D D [ U C U] U C C ˆ [ U C U]. 77 A lgobb lárs toríttl bcslő Bst Lr Ubsd Esttor BLUE: - A MVU bcslő dg lét vg lhttlség gtlál. - A dto vlósíűség sűrűségfüggvé srt. A BLUE g suboptáls bcslő l: - dto lárs függvé: = ; - cs toríttl lht: E = E = ; - lál bcslő vrcáát; - cs dto átlgár és vrcáár v süség sűrűségfüggvér cs övtésépp bcslő sűrűségfüggvé áltláb sáíthtó. A BLUE ghtároás slár stb: - A = dtoho = = h = h lárs bcslőt rdlü hol h = {h h h }. - A bcslőtől lváru toríttlságot: E = h E =. - Mlálu vrcát: vr = E { E } = E {h h E } = = E{h [ E][ E] h} = h Ch. éld: Isrt l dttálás b: = s +. A lárs bcslő: = = h = h. E toríttl: E = h E = h s = hol hh h s = ll lg és s = {s s s }. A lálás fldt thát: h Ch lásás h s = fltétl btrtás lltt. Ehh Lgrg ultplátoros tchát hsálu. Krssü övtő fés sélsőértéét: = 7

28 Méréslélt: 4. lődás J = h Ch + λh s J = Ch + λs = bből h = λ h C s l h s = = λ s C s λ = s C s t vsshlttsítv h féséb: h = optáls goldás: = s C s C s C s s C s és végül = h flhsálásávl vr = s C s A BLUE ghtároás vtoros stb: = U + hol ull várhtó értéű l ovrc átr C or BLUE bcslő: = U C U U C bcslő ovrc átr: C = U C U. Mggés: Guss loslású or BLUE g MVU bcslő. éld: DC st b: = A + hol sűrűségfüggvéét srü cs vrcáát: vr = σ. U = [ ] = A. A ovrc átr: σ C = σ [ σ ] C = El BLUE bcslő: = U C U U C = és áls ovrc: C = U C U = σ σ [ = σ = σ σ ] = σ Lgsbb égts hbáú LS bcslő: cs lőts srtü s érdő prétrről s cstor rtrstáról ról. Most = s + hol érés és odllés hb. A cél LS öltség lálás: J = s =. Eél ódsrél ll vlósíűség fltétlés cs g dtrstus lodll. gfglés glt lárs: U or plct goldás dhtó. Fltétlü hog prétr â értét vs fl és flállítu gfglés odllét: Uˆ. A gfglést l össvtv rssü â lgobb bállítását égts hbfüggvé fltétlésévl: J ˆ Uˆ Uˆ Uˆ ˆ U ˆ U Uˆ ˆ U ˆ U Uˆ J ˆ l sélsőértéét uát rssü: fltétl vsgáltávl. A ˆ hbfüggvé drválásávl U U Uˆ vl: ˆ LS [ U U] U 8 ˆ ˆ LS

29 Méréslélt: 4. lődás A áls LS öltség: J LS = U LS Mggés:. A drvált hlsségét gsrű lllőrhtü h 68 össfüggésb lölt átr- ll. vtor-sorásot ftü és t övtő drválást oposét végü l.. Áltláosított/súloott égts rtéruot s hsálhtu h bvtü g Q égts súloó átrot: J ˆ Uˆ Q Uˆ vl ˆ [ U QU] U Q. LS 3. Q or 66 össfüggés srt Guss-Mrov bcslőt pu thát GM bcslő g súloott lgsbb égts hbáú bcslő hol súloást gfglés ovrc átrá vr d. 4. A gfglés odllé llstés lvt odllllstés áltláos fldtáho. E g lggsrűbb st rgrssós fldt or g függvéh függtl váltoó-függvé érté párr lpov g ölítő függvét lotu g tpus úg hog függvé strutúráát lőr rögítü és o blül vll opturtéru flhsálásávl állítu b prétrt. Lásd lárs rgrssó ódsrét. 5. E poto foráls bfü bcsléslélt lp tárglását d folttás t lát fogu rdr érésről lség ll. o prétr és állpot grgdásáról sól orét sö tpus bcslés láráso ls. 5. Modllllstés A lgsbb égts hbáú bcslő sté cs lőts srtü vlóáb odllt llstttü. A bcslés vrcáát or dtu g or ddtív gfglés ról tudtu hog Guss loslású és fhér. Láttu hog sís sté l ódsrrl vthtü vss llstés probléáát lpstr. A odllllstés probléá glhtős srtágó. Eg lssus válf rgrssó sáítás. Rgrssó-sáítás: függő és függtl váltoó öött övtl dtrstus pcsolt ghtároás odllllstés g spcáls st. A 7. ábrá láthtó lrdésb odlldő g u függvé étft függtl váltoóvl rdl: gt u löl lt srü és éb tudu trt ás lt löl l srtl éb trthtó tpus folt léplt/odlltt folt. u gu gu - rtéru függvé Mggés: Optursés 7. ábr 9

30 Méréslélt: 4. lődás A továbbb rgutuét srplő s go gr trácós lépést oosít vg dsrét dőd l vvls ódo télgs dét s gl dőét. E gfllő továbbb u u ll. gértéű. A odllésh g áltlu éb trtott tpus prétr sgítségévl ódosíthtó hgolhtó ˆ gˆ u függvét hsálu. A cél g ol bállítás lérés l vll értlb optáls. pus égts rtéruot hsálu: E ˆ ˆ 78 Rgrssó-sáítás tls spcfált sttst llől: h srü u és f u gütts vlósíűség sűrűség függvéét or fldt Bs bcslés problé l goldás postror várhtó érté: gˆ u E u 79 A [ u gˆ u] görb váltoó u-r votottott rgrssós görbé. bt vtor or rgrssós flült. Rgrssó-sáítás résb spcfált sttst llől: srü gütts loslást cs végs sáú otuát. Lárs rgrssó: A llstdő függvé ˆ u u slár lárs függvé g l prétr úg válstdó g hog gˆ u srt E E áls lg. Lg hol utóbb orlált rst-ovrc függvé: u u u u u. Mláldó u E Eu E Eu Eu J E 8 össfüggés és srt: J Mggés: J ho u t 8 u u u u ˆ u u u ˆ = fésb bhlttsítv u. A 8 össfüggés sárttásor flhsáltu hog E u E u. vlt u u. A 8 össfüggésb bhlttsítv vr g u ˆ u E 8 u u u E u u érté hb vrcá. Érds gvsgál vsoot prétr függvééb. rst-ovrc ull or g fvő gst pu t lgobb bcslő bttől függtlül ért érté várhtó érté. rst-ovrc % or cs u-tól függ tól -től. 3. A lárs rgrssó fldtá gft áltláosítás ú. poloáls rgrssó: gˆ u u 83 3

31 Méréslélt: 4. lődás l fotos tuldoság hog prétrb lárs. A prétrb lárs odllt ért dvlü rt égts hbrtéru sté sélsőérté-rsés lárs gltrdsr goldásár vt vl égts fés prétr srt drválás lárs össfüggést rdé. Lárs rgrssó érés dto lpá: ftt végg vhtü or s h cs lőts forácó. Ilor u U t ddg. u u u ] [ u u u U U u U. ˆ ˆ u u u u u u. Mggés: Ebb rdéb 8 fésb srplő sttst llő bcslő össtvőt oosíthtu és átlításol - tpus átlgtól vló ltérés flírásávl - t fést gás tls gflltthtü. gé g! A rgrssós sé áltláosítás: A 8. ábrá odll-llstést rgrssós séát övtő ódo uttu b. A u btr dott válst srté vll rtéru srt többr égts értlb lgobb gölít odll ŷ válsávl. 8. ábr Érds össvt t séát gfglő séávl lásd. ábr. Ehh rolu át 9. ábr srt forár. 9. ábr A gfoú hsolóság gértlű: dét stb odllllstést végü. A gfglő sé sté prétrt srü és állpotot bcsülü íg rgrssós séáb Optursés u - Vlóság Modll rtéru függvé - u Vlóság Modll rtéru függvé

32 Méréslélt: 4. lődás odllü állpotát éb trtu és prétrt rssü. Mdét sé párhuos bb értlb hog bő lt lltő párhuos pcsolód. Mggés: A odll-llstés problé grgdhtó soros foráb s or tuldoépp ú. vr-odllt llstü lásd. ábr or btt vrodll áltl bcsülü. u Vlóság Ivr Modll u - rtéru függvé. ábr E gölítés hátrá dus rdsr stéb soros pcsolás rdő ésllttés ért vr-odlll óslásr ésrülü so héséggl ár. Adptív lárs obátor: A áltláosított rgrssós sé pcsá g gr hsált odll-csládot. ábr utt b. u fu Modll. ábr Ebb u dsrét értésorotból g X o értésorotot állítu lő lősör d érté lárs obácóét állítu lő ˆ értét. A optursés sorá W prétr lgdvőbb áls égts hbát rdéő bállításár törsü. Mlálu E[ X W ] [ X W ] W EX W EX X W J W E. 84 Vssü b EX és EX X R lölést! El sélsőérté J W rsés RW ből optáls bállítás: W W R 85 * A 85 össfüggés ú. Wr-opf glt. Optursés 3

33 Méréslélt: 4. lődás Mggés:. A 85 össfüggést vsshlttsítv 84-b: E R E W * * W J [ W W ] R[ W W ] J * J * J 86 V RV 87 hol V [ W W ] ú. prétrhb vtor.. A 87 össfüggés gértlű utt égts hb lulását prétr ll. prétrhb függvééb. A vsoo llustrálásár. ábr solgál. bflült rétr sí. ábr A hbflült ttsőlgs potáb hb csöés flgos értéét flült rdségévl grdsévl érhtü: J W * R[ W W ] RV RW. 88 W A 88 össfüggés tütttt srpt p dptív lárásoál hol hbflült grds té rsdü. 33

34 Méréslélt: 5. lődás Modllllstés folt. éld: Lg X s / s / g susos hulláfor ét gás utá tá. Lásd 3. ábr. A rgrssós vtor és prétr vtor bb példáb étdós. Itt ost t löl hog susos hulláfor g pródus há tából áll. cos /. og válssu g W 89 prétrt hho hog ölítés égts hbá áls lg? A R és átro susos ll. osusos hulláforá tls > pródusr törtéő átlgolásávl sártthtó:.5.5cos R. 9.5cos.5 s cos Es / Es /. 5 Es / s / E s / cos / E s / cos / s..5.5cos * R t / W R 9.5s.5cos.5 s / Mggés:. Mvl susos tá lárs obácóávl hb élül lő lht állít osusos hulláforá tát ért péld srt stb J. ábrá prbolod lglsó pot ért prétr síát.. A példáb 7 össfüggéssl dott ogó átlgot sáítu srt hulláfor tából = stt bl sélsség ttő fltétlv. A tls pródusr törtéő átlgolás gfll hog ogó átlg prétr bcslésor. 3. X W * s / s / cos /. t / s / u = = s π = s π fu = s π 3. ábr 34

35 Méréslélt: 5. lődás Út dptív lárásoho: 85 és 88 lpá: W R RW. E * utóbb dét oldlát gsorov R átrsl: * W W R. 9 Fltétlv hog cs töélts srtü R átrról és bből dódó grdsről 9 átírhtó g trtív forár: ˆ W W R ˆ téő bvtésévl vssírv töélts R átrot és grdst lltv bátorság W W R. 93 Mggés:. potos srü R átrot és grdst or glépéss ovrgcát btosít ttsőlgs W dőpotból. *. Mvl R[ W W ] ért t 93 össfüggésb bhlttsítv és * glt dét oldlából lvov W értéét: * * W W W W V V vgs dt hb pocáls llggl csö h.. 5 or ooto csöő hbávl llő stb pdg ooto csöő pltúdóú d lgő llgű hbávl ölítü g. 3. A odll-llstés grds ódsrt srt ülöböttü g hog 93 srt össfüggés llásáho l lőts srt áll rdlésür. A dptív lárs obátor űödését líró glt b R és átro srt: Mggés: W W R ll. V V. 94. A továbbb sorr rülő vsgálto t tárá fl hog l lhtőség v or h R és átror votoó lőts pror srt réslgs stlg tls értéb háo lgflbb foltb lévő érésr lpohtó. E godolt végg l v továbbb gértésh fotos hog t hgu fgl ívül.. Fglü g hog R átr globáls forácót hordo hbflültről grds pdg dott W prétrérté sté hbflült loáls llés. E loáls srt lpá rsdü hbflült ú. grds láráso llás sté érdéb hog él ölbb rülü optuot lgsbb égts hbát rdéő prétr bállításho. A R átr vsgált: A hbflült R átrtól függ. Elölárób t uttu b hog l fltétl sté lhtségs optu-rsést úg gvlósít hog g pdc-érő híd stéb s srté: gét váltottu váltotthtó prétrt égpdg úg hog dg grssü loáls uot és öb hb gtl lépés sorá s ő. Ehh g ol oordátrdsrb törtéő rsés 35

36 Méréslélt: 5. lődás trto l tgl prbolod foráú hbflült főtgl rááb utt. Et oordátrdsrt R átr sátvtor löl. * * J W J W W R W W J V RV 95 Fotos srpt áts thát R sátérté/sátvtor rdsr. éldét 9 srt stb vsgálódv:.5.5cos R. A dt I R glt gö dá sátértét:.5cos.5 A ét gö:.5.5cos.5s cos ll..5.5cos 97 A sátvtoro RQ Q RQ Q gltből sártthtó..5.5cos q q.5 cos.5cos.5 q q q q cos q q.5 cos.5cos.5 q q q q 99 A sátvtorot gségr orálv: Q Q lásd 4. ábr. Q Q 4. ábr A péld srt sátvtoro thát gásr rőlgs oordát rdsr tglvl 45 foos sögt báró vtoro. E dá g ot rsdés ráot l té törtéő ogás gtl prétr váltottásávl lhtségs. Áltláb dt R I.... R I Q.... A sátvtorot átrb rdv: RQ Q Q Q Q Q dg Q Q 36

37 Méréslélt: 5. lődás RQ Q ll. R QQ R ú. orál forá. Mvl R dfícó srt strus átr ért R R. Fotos tuldoság hog lor sátvtoro ortogoáls: Q h gébét Q Q I RQ Q Q Q c. Q -r or sátvtoro ortoorált és Q Q Q. A ortogoltás boítás: A dfícó lpá Q. A lső glt dét oldlát obbról sorov dét oldlát blról sorov Q -vl: Q R Q Q R Q ll. Q -vl ásod glt Q RQ Q Q ll. Q Q R R ért glt bloldl glő áltl ért glőség cs or állht f h Q. Q Mggés:. Mvl V RV potív dft ért sátérté gtív.. A R orrlácós átr sátvtor hbflült főtglt löl. J W J W W R W W J V. Mvl Q Q Q Q. Mvl RV J V QQ V * * ' ' Q V Q V J V V ' V V J. 3 El V ' v ' v ' ' v. 4 A vsoot 5. ábr llustrál: sátvtoro átrávl trsforált prétr-hb vtoro oordátá prbolod főtgl té értlhtő. v v v v 5. ábr A optlálás gváltoós optláláso sorotét s végrhthtó. Et utt b övtő péld lb optu gölítését grds té törtéő rsdéssl oldu g: éld: Egváltoós st: * vl * * ll. V rv r V. Ahho hog lárás ovrgálo r süségs. Ebből: 5 37

38 Méréslélt: 5. lődás or túlcsllpított h or rtus csllpított h or lulcsllpított trácós lárás. Mggés: Vgü ésr hog gváltoós stb R thát 94 össfüggés lső * * l W W W W lú l dét oldlából lvov W -ot 94 össfüggés ásod lét pu. ' ' öbbváltoós st: V I V. Ahho hog lárás ovrgálo 6 süségs. Vgü ésr hog lor gváltoós sttl v dolgu hol lgrdbb rsdés o tgl té törté lh lggobb sátérté trto. sátérté srt or tr[ ] tr[ R] lpá 7 tr[ R] válstássl élhtü. Mggés: sré -t l globáls forácó hbflültről or lvávló slár hltt átrot llá hs l glépéss ovrgcát tudá btosít. Ehltt loáls forácór grdsr lpov rááb gsü hbflült uát lér. Itrtív odllllstés ódsr: A lábbb éhá lssus sélsőérté rsés lárást fogllu öss lt égts rtéruo és prétrb lárs odll sté égts hbflült sté lősrtttl llu. E tthtő tuló láráso s rt d lépésb forálód tuáls vsooról stüb hbflült grdséről és függvééb lép tovább. résts llhtu ásft ódsrt s hol például W értét véltl ódo vg ás strtégávl válstu és t övtő vsgálu hbát. orábbál sbb hbát pu or válstott érté ls ú vslt llő stb lvtü t Mot- Crlo ódsr gtus lgortuso. A l ódsr ob ább or rül fl h égts hbrtéruot hsálu ll. h odllü prétrb lárs. Eb hltb ugs hbflült prbolod loáls u lht l sté loáls forácór építő grds láráso ö lállht loáls uo vlléb. Itrtív odllllstés to ódsrrl: Err Wr-opf gltből dulv utu orábbb gsrtü tt cs flsorolás tlsség érdéb srpl. Fltétlü hog srü R és átrot. Ebből dódó ódsr ább cs lv ltőségű rt gorltb lvárhtó lőts srtt tétl fl. Mégs ll l rt rát utt ölítő láráso gtrvéséh. Rdr ét össfüggést du g. A lső prétr vtort d g övtő trácós lépésb íg ásod prétr-hb lulását dulás prétr-hbából. W W R 8 38

39 Méréslélt: 5. lődás V V. 9 Jól láthtó hog. 5 sté glépéss ovrgc. Itrtív odllllstés lgrdbb ltő ódsrévl: E ár g prtus ódsr l fltétl R és átro srtét d t g hog grdst loáls forácó lpá g tudu htáro: J W J W ˆ W W E prtus t gél hog -d trácós lépésh lvégü g ol érés sorotot hog W s gváltoás ülöböő ből-érté lltt J W or gváltoását rdé d t gváltoásot átlgolu vl ölítü várhtó-érté épést és l g ré srt g ó bcslését pu. W W ' ' V I V Mggés:. A grds té törtéő rsdés rdéét főtgl ráú oordátrdsrb látváosbb tudu éréltt.. A grds té törtéő rsdés rdé trésts függ ttól hog l votottás oordát rdsrt llu. Itrtív odllllstés pllt drváltr lpov ú. LMS ódsr: LMS: Lst-M-Squr. A hb plltértééből dulu : J W [ X W ] [ X W ]. E drválásávl bcsülü grdst: ˆ J W X X X W X W 3 Avl W W X. 4 E g go séls örb hsált össfüggés ülöös gobb értű prétrvtoro sté. A bátorság téő ob g örülttéssl és tpus s értér válstdó hs 3 srt grds gcs ölítő: tuáls X függvé öb télgs grds 3 várhtó érté. A s bátorság téővl gütt ár so pró trácós lépés lhtőségt d so X érté gsrésér és l lrdt várhtó érté épés váltásár. Mggés:. A uráls hálóto térhódításá dté LMS lárást go séls örb hsáltá érts dptív lárs obátorot hsáló hálóto tításár.. Áltláos tpstlt hog h léggé s értél dolgou or lég ól gölíthtü optáls prétr-vtort gobb sté grdó prétr-hb gobb ls. E o hog lor prbolod lglsó pot örtéb d-od ugrálu pllt drvált srt és léggé s tt éptl vgu ég lbb rsd. Mdépp célsrű thát u örtéb érté tovább csötés. 39

40 Méréslélt: 5. lődás A prétr-hb fését 4 össfüggésből úg sárttu hog dét oldlából lvou * W -ot ll. * W X fltétléssl/ölítéssl élü. E utóbbvl t fltétlü hog odllllstés töélts srült. ] ][ [ ] [ * * * * W W X X I W X W X X W W W W ből: V X X I V ] [ 5 A 5 össfüggés rr utt rá hog prétr-hb csöéséh hog árul hoá bátorság téő és X ú. rgrssós vtor. lvávló átr sort otrtív prétr-hb vtor hossát csötő htású ll l. Célsrű h htás d lépésb érvésül. Itrtív odll-llstés -LMS ódsrrl: A 4 össfüggésb célsrű lht X rgrssós vtor orálás hs élül prétr vtor orrcó gértéb függ lsttől. 4 ll. 5 gfllő: X X X W W 6 V X X X X I V ] [ 7 Itrtív odll-llstés LMS-to ódsrrl: A 4 össfüggésb X rgrssós vtor orálás lvlg R átrsl s lhtségs. thát bb ülöös hltb lé hog srü R átrot és grdst pdg pllt értéévl bcsülü or X R W W 8 V X X R I V ] [ 9 E godolt or v gorlt ltőség h R átrot gfglésből trtív úto ugcs lőállítu. Itrtív odll-llstés LMS-to ódsrrl R trtív bcslésévl: X R W W hol X X R R R+ vrét trtív sáítást gértéb öítő ú. átr vrós l flhsálásávl írtu fl. X R X R X X R R R Mggés:

41 Méréslélt: 5. lődás A átr vrós l: [ A BC] A A B[ I CA B] CA. Fglü g hog b t stüb BC dád or obboldl áróls vr slár érté ls. Most A R BC X X.. A trácót célsrű R I értél dítu hol. 3. A odllllstés fldtát lpvtő étfél ódsrrl oldhtu g: - btch vg off-l llggl or flvtt rgstrátuot utólg dolgou fl. - trtív rurív o-l llggl or flvétlll párhuos fldolgoás. 4. A odllllstés célát lltő s lpvtő ét g csoportot ülöböttü g: - dtfácó: lhtő lgpotosbb srté grgd vlóságot - dptácó: lhtő lgobb srté övt vlóságot vlóság váltoást. 5. A dptácót gvlósító ú. dptív rdsr stéb többr trtív/rurív lárásot llu dtfácó stéb étfél gölítés légéb gértéű. rtérufüggvé égts g lhtőség lor sorb ftés: vll oál fogv rtéru függvé égts or g dott W prétr érté örtéb dg gísérlhtü lor sorb ft: J ˆ J ˆ W J W J W [ J W ] [ W W ] [ W W ] W [ W W ]... J W hol W ásod drvált gflltthtő R átr. W W W Itrtív odllllstés rtérufüggvé lor sorftés lpá: A össfüggés lső ét tgát vssü fglb és fltétlü hog J W. Eor J W [ J W ] [ W W ] gltt ll gold. J W W W J W 3 [ J W ] J W E to-rphso ódsr. A tpstlto srt optutól távol dvő * vsld optuho öl óság ttól függ hog J W tlsül-. b sorb fttt J W uát drválássl rssü or J W J W W W W fltétlt pu ből to ódsr dód: W W W J W 4 Mggés: A ½-s soró orrcós tgból ost há rt lor sorb srpl lltétb ddg égts össfüggésl. 4

42 Méréslélt: 6. lődás Modllllstés folt. Adptív IIR rdsr téobb d so spotból probltusbb odllllstés/dptácó h ú. végtl pulusválsú ft puls rspos: IIR rdsrt llu. E sofél rlálás/sáítás strutúr srt gvlósíthtó lábbb cs ú. drt strutúr srt váltotot tárglu. Foráls továbbr s dptív lárs obátort llu d tuáls bcslő-érté sáításáb orább bcslő érté s srpt áts dsrét dő d: X ˆ W M b ˆ M 5 [... ; b b... b ] 6 [... M ; ˆ ˆ... ˆ ]. 7 r lpov hsálu ddg gsrt sáítás lárásot or ú. psudolárs rgrssót LR htu végr. E sorá foráls vsü tudoást rról hog rgrssós vtor llstdő odll dptív sűrő orább ől-tától s függ ú. plct függés övtl övté hog hbflült ár prbolod. Vssvtés végs pulusválsú FIR probléár Equto-Error Forulto: A lábbb dptív sűrő átvtl függvéé sálálóávl és vőévl D t oprátorol hoodu lő ért vrd látsólg dsrét dő és dsrét frvctrtoá: Yˆ 8 D X ölítés hbá pdg t ddgb égts értlb láltu ˆ. t lálu h D hbát rt 8 flhsálásávl D D D ˆ D 9 lb írhtó vsot függ ˆ -től. Bvtv M A és D B lölést: hol b B B A 3 hol 6 flhsálásávl W X. Itt v.ö. 7 össfüggéssl X [... M ;... ]. 3 Itől bátr llhtó d ol ódsr dptív lárs obátor gölítésb gfllő boult. A ódsr blovált 6. ábrá láthtó. 4

43 Méréslélt: 6. lődás A B prétr átásolv 6. ábr Mggés: os gfglés sté torítás lépht fl prétrbcslés sorá bcslő várhtó érté fog gg prétr dáls értéévl. A t értltt hbá lpuló odllllstés Output-Error Forulto:. Grds lpú láráso: pllt grds thát LMS llgű stb o lálásár törsü. Ilor ˆ ˆ ˆ 3 W ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ hol ˆ [... ;... ] ll. blül: M b b b ˆ ˆ b ˆ ˆ ˆ b. 33 b b A 33 össfüggés lpá ól láthtó plct függés blét: A IIR sűrő végtl órá tt tuáls prétr-éréségr vl orább ből-t ht. lgdő s lépésöl dolgou trácó sorá cs bátorság téő or llhtó övtő ölítés: ˆ ˆ ll. B ˆ ˆ. 34 b b A 34 ölítés ért lőös rt ölítő grds sűrősrű sáíthtó: sűrő ˆ ˆ ből ll. ˆ ől pdg ll. és össs b sűrő ll há bállítdó prétr. A sűrő blovált 7. ábrá láthtó. + = B B b 7. ábr A íg gvlósított lárás Rcursv rdcto Error RE év tlálhtó rodlob. A lvés rr utl hog dű ósolt prétr sáításáál orrcós tgot rurív sűrővl sáítu. A ódsr lvávló hátrá hog gfor sűrő ll há prétrt állítu. Eg tovább ölítést lló gsrűsítést 8. ábrá láthtu. E gsrűsíttt RE lárás. 43

44 Méréslélt: 6. lődás B B b M 8. ábr. Még ább ölítő grds láráso állíthtó lő úg hog 33 vsscstolt tgt lhgu l légéb vssutu psudolárs rgrssó LR lárásho. Forlg bb stb s tpus LMS ll. LMS/to lárást llu. 3. A t hbár lpoott dptív IIR láráso sté prétr-sí fltt értlhtő hbflült prbolod és fltétlül gtl uhlll rdl. Ilor grds ódsr ö uttt loáls ub. A hbflültt gtl uhlűvé trsforálhtu g ásft hbdfícóvl: Sűrt-hb lárás Fltrd-rror FE Algorth: C f [ C ] hol C -t úg válstu hog átvtl B függvé sgorú potív vlós résű Strctl ostv Rl: SR rt or globáls ovrgc btosíthtó. B dáls W -ho trtoó B. Mggés: A SR tuldoság blétét ól llustrál például g soros RC tg pdcáá függvé: Z R / C. Ebből ól láthtó hog potív vlós rés övté árt árörb odátoro tárolt rg dsspácó és l árör áls rgállpotá lérés ovrgc. A dptív IIR lgortuso áltláos forá: W W R X 35 hol X f sűrt forácós vg rgrssós vtor f pdg sűrt hb vtor. Elvés: X f X f or Rcursv Lst Squr RLS lgortusról h rádásul R I or Lst M Squr LMS lgortusról bsélü. Stbltáslélt gölítés: A LMS láráso rstül buttv. W W X V [ I X X ] V. E utóbb g utoó rdsr l globáls sptotus stbl stb: V vl W W. f f b 44

45 Méréslélt: 6. lődás Lpuov ódsrévl rsü g lls rgfüggvét: G V V gfllő. At rssü hog ét csöthtő: G G G d -r. G végs or G. V G V V V V [ I X X ] [ I X X ] V V V 36 Mvl ért h V 4 X X. -r or G gávl vo X X lltv X. Mggés:. A plct ódo t s trtl hog X orlátos és X X /[ B ] stbl. A átvtl függvé pólus gségsugrú örö blül hld l.. W W X lht ért ull rt ét vtor ortogoáls. Et lvá rül ll. 6. Sűréslélt lp: I. Optáls rurív bcslő slár Wr sűrő A lábbb sétlt lárs obátor strutúrávl fogllou és trésts ugrr rdér utu döss dulás élg ltérő és t öb trprtácób fdhtő fl ú l. Krssü lgobb bcslőét ˆ ú. lárs btch procssorrl hol... löl gfglés dtot... pdg srtl súltéő. A 9. ábr t llustrál hog tér lét/vtorát l áltl fsíttt ltérb o lárs obácóávl létrhoott ˆ ll/vtorrl gsü ölít. Lgobb t bcslést ttü l lgsbb hbávl ár: vtor ltérr törtéő rőlgs vtítésévl áll lő. 9. ábr Mguttu hog vvls l goldássl lt égts hbrtéru lálásávl ptu: ˆ E E ˆ E 37 45

46 Méréslélt: 6. lődás E E E -r. 38 E utóbb ú. ortogoltás glt l vtorol törtéő trprtácób épp t f hog optáls bállítás sté hbvtor rőlgs vl vtorr. A 38 össfüggés átrdésévl: R E E hol R R utoorrlácó átr dű l rstorrlácó vtor -d l hol ost orábbl lltétb átr ll. vtor déb ülö ltü hog l ség uto- ll. rstorrlácóáról v só. A optáls stb grdó hb: ˆ E E E E E E E 4 Md átr foráb hol W : W R R W R E E 4. éld: Zos gfglés v -ről:. A tuldoság: E r E _. A l tuldoság: E E. A orrlácó átro: E E R E. A 4 srt össfüggés öül lső réslts ftv: 4 Össdv gltt: ll. t soroét vsshlttsítv:... vl ˆ ll. hb: 43 E 44

47 Méréslélt: 6. lődás Mggés: Érds ft össfüggést függvééb vsgál.. éld: Lárs övvő lből ét tát vsü. Bcsüldő rdség. sálu ˆ bcslőt hol =. A orrlácó átro: S E E E R S E E E hol E S hs ost végépp várhtó l hog srtl ség várhtó érté ull lg. Bhlttsítv 4 lső össfüggéséb: S S S S S S 4 S S 5 5 ost lg S vl 5 5 és végül 5 5 ˆ S E 45 Rurív bcslő optáls rurív bcslőből: Bvtő péld: gsrű átlgolás rurív foráb. Mggés: trácós dh ssocálhtu dsrét dőt... : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 46 Mggés: A rurív lárás g lő hog ll gvár össs dtot: foltos sáolhtó gr obb őségű bcslő. Vsstérv optáls bcslőhö hltt -t írv: ˆ hol E E ˆ flhsálásávl E lb s írhtó. Mdt gsétlv +- r: ˆ ˆ E E flhsálásávl E lb s írhtó. Kövtv 46 lépést: ˆ ˆ

48 Méréslélt: 6. lődás ˆ ˆ A ésőbb spotából érds ég égts hb lulás. A ft lpá: E{ } E{ } E{ } E flhsálásávl 47 átírhtó: ˆ E{ } E{ } E{ } ˆ ˆ ˆ E{ } éld: dott. A órá srplt d g rés. A ft lpá: ˆ E{ } 3 3 E{ } 36 flhsálásávl: E{ } vl 37 =-r E{ } ˆ 4 ˆ E{ 3 4 ˆ ˆ ˆ } 3 5 ˆ 5 ˆ 5 ˆ stb E{ } E{ } Jlölés: 49 össfüggés gütthtó: b E{ } vl: ˆ ˆ b 5 Vgü ésr hog lltv 48 össfüggés lpá b b ből b l b b b ˆ ˆ b ˆ 5 orrcós_ tg A 5 össfüggés optáls rurív bcslő rurív forá l d lépésb - g úbb érés révé - g úbb dóvl bővít t ltrt lr vtítü vtort. 48

49 Méréslélt: 7. lődás Sűréslélt lp folt.: II. Optáls rurív bcslő slár Kl sűrő: A optáls rurív bcslő g ddgh épst gdgbb odllr épít. A odll t llu lggsrűbb állpotváltoós odll l grstését g folt d. Dtrstus grstést s pht d lrtás tt érvés suprpoícó tétl foltá ülö tárglhtó: hol { } ull várhtó értéű fhér- folt lr E{ } E{ } h Mggés: E ú. lsőrdű utorgrssív folt: lső rdb függ érté lőő dőplltbl értétől. E{ } R R R E{ } R R E ho R. 5 E E R rt E E R R E. áltláb E{ } R R. 53 A gfglés lárs odllét 3. ábrá láthtu. c 3. ábr A gfglés ddtív l trhlt. Err r votoó ugol fltétlésl élü t stéb. A ét folt gásho cs ö orrláltlo. A rurív bcslő ú gfglés és orább bcslés lárs obácó lásd 3. ábr: b 3. ábr ˆ ˆ b 54 Mggés: Lét ú. prdtor-sé s: ˆ ˆ

50 Méréslélt: 7. lődás Krssü 54 össfüggés optáls súltéőt 9. ábrá srplő llustrácó slléb. Ehh: ˆ E E ˆ b. A optáls bállítás fltétl: ˆ E E E E vgs tuáls ortogoltás glt: b ˆ E E 56 A 3. ábr sgítségévl svb: hb-vtor rőlgs ˆ és vtoror ll. áltlu fsíttt sír. ghtároás: 56 lpá E ˆ b ˆ. bb blíru: c E ˆ ˆ cb b ˆ átrdv: ˆ ˆ E cb b ˆ E 57 Itt E ˆ rt ˆ ˆ b tg ortogoáls --r. solóépp gfglés tá orrláltl ˆ értéévl. El 57 lább foráb írhtó: ˆ cb E ˆ E Bhlttsítv hog E ˆ és ˆ cb E ˆ pu: E cb vl ˆ ˆ b cˆ 58 Mggés: Láthtó hog gfglt rdsr odll bépült gfglésb. 58 obboldlá ásod tg pdg g orrcó l ért érté ˆ cˆ bcslését vs lpul. A 58 össfüggés gfllő bcslő blovált 3. ábrá láthtó. b ghtároás: b E ˆ E c 3. ábr E rt ˆ ˆ b obboldlá lévő tgo ortogoáls -r. Mvl c c. E utóbbt flhsálv ce E vgs E E. Et c tovább lítv: 5

51 Méréslélt: 7. lődás E{ } E c c Mvl ˆ orrláltl -l ért írhtó: E b b E ˆ E ˆ b E{ } ho b c 59 c c Mggés: E for ég gá ó égts várhtó értéé ghtároásáho ll b érté. Süség v g ol fésr lb lgflbb - égts várhtó érté srpl. A átlgos égts hb féséb íru b 58 össfüggést: E { } E{[ ˆ ] } E{[ ˆ b cˆ ] } 6 Ebb hlttsítsü b c és össfüggést: E{ } E{[ ˆ b c c cˆ ] } E{[ cb cb b ] } Elvégv égtr lést: rstsorto várhtó érté ullá ls rd E { } cb E{ } cb b 6 b 59 lpá E{ }. Et bhlttsítv 6 össfüggésb: c b cb cb [ E{ } ] gsrűsítés utá lls b c ghtároásár: b [ c E{ } c ] c[ E{ } ] ből. c[ E{ } ] b 6 [ c E{ } c ] Mggés: or b. El E { }. c Össfogllv: A rdsrodll: gfglés: c. A optáls rurív sűrő ˆ ˆ b cˆ b cp [ c p E{ E{ p p ] } } p cb p cb p hol. 63 Optáls rurív prdtor: A bcslő fés lásd 55: ˆ ˆ hsoló átírásol ˆ ˆ cˆ 5

52 Méréslélt: 7. lődás forár hohtó. A lvtés hsoló lépésből áll t sűrő stéb l hog p E{ } lálását íru lő. A lvtést d vtoros str uttu b. Össfogllv: A rdsrodll: gfglés: c. A optáls rurív prdtor ˆ ˆ cˆ cp [ c p ] p c p. 64 Mggés: A 33. ábr optáls glépéss prdtor blováltát utt b. Fglü g hog lrdés gflltthtő orább gsrt gfglő séá. + β c 33. ábr éld: slár Kl sűrő. gü fl hog: E { }. Mvl ˆ ˆ b. A b értét ortogoltás össfüggésből pu: E {[ ˆ] } hol =+. A c értéét -r válstottu. El ˆ b[ ]. Mdt bhlttsítv ortogoltás össfüggésb: E{[ b b ][ ]} = b b. Ebből b. például és. El b. A 59 össfüggés flhsálásávl 3 E utá ár tudu hsál 6 össfüggést: E{ } b 3 E{ } 3 E or. 3 { } Isét 47 össfüggés llásávl: E{ }.57. Íg folttv: b 3 E{ 3}.56. A trácót folttv lérü g álldósult állpotot or E{ } E{ } p. Et bhlttsítv 59 és 6 össfüggésb d gássl glővé tév pu: 4 p 3p ből p öl vtt álldósult állpotho..56. Láthtó hog hrd trácós lépés ár lég Kl sűrő vtoros stb: A rdsrodll: A gfglés: C. Md rdsr d gfglés vtor ull várhtó értéű és fhér. Korrlácó átr: 5

53 Méréslélt: 7. lődás Q E{ } lép hléb R E{ } lép optáls rurív sűrő ˆ Aˆ K CAˆ K C A A [ C C R ] Q K C I K C A I K C A Q hol hléb. A 65 Itt K Kl rősítés hb ovrc átr pdg sgédátr sáításo gsrűsítés célából. Kl prdtor vtoros stb: A rdsrodll: A gfglés: C. Md rdsr d gfglés vtor ull várhtó értéű és fhér. Korrlácó átr: Q E{ } lép hléb R E{ } lép hléb. A optáls rurív prdtor: és rssü t G átrot l lltt bcslés ˆ Aˆ G Cˆ 66 E{[ ˆ ][ ˆ ] } E{ } 67 ovrc átr áls. Képü 67 drváltát G srt. A optuot or pu h drvált ullávl glő: E{[ ˆ ][ Cˆ ] }. 68 G 68 össfüggésb bhlttsítü rdsrodll és prdtor össfüggést or: E {[ A Aˆ G C Cˆ ][ C Cˆ ] E {[ AG C G ][ C ] } [ AG C] C G R A 69 össfüggés flírásor flhsáltu lább lőts srtt: E{ } E{ } E{ } E{ } A 69 össfüggésből rstt prdtor rősítés: 7 G A C A bcslés 67 srt ovrc átr: [ C C R ] [ AG C G ][ AG C G ]. } 69 7 [ AG C] [ AG C] Q G R G. 7 53