A SPEKTRÁLIS FRAKTÁLSZERKEZET VIZSGÁLATÁNAK ELMÉLETI ÉS GYAKORLATI LEHETŐSÉGEI. Berke József Gábor Dénes Főiskola, Budapest, Etele u. 68.

Átírás

1 A SPEKTRÁLIS FRAKTÁLSZERKEZET VIZSGÁLATÁNAK ELMÉLETI ÉS GYAKORLATI LEHETŐSÉGEI THEORETICAL AND PRACTICAL POSSIBILITIES OF THE INVESTIGATION OF SPECTRAL FRACTAL STRUCTURE Berke József Gábor Dénes Főiskola, Budapest, Etele u. 68. Összefoglaló A 80-as években nagy reményeket fűztek olyan matematikai eljárások gyakorlati alkalmazásához, amelyek elsősorban törtdimenziós matematikai konstrukciókra épültek. Kezdetben számos területen - anyagszerkezet vizsgálat, kaotikus jelenségek (földrengés, tornádó) szimulációja, valós folyamatok modellezése informatikai eszközökkel, folyók és partszakaszok hosszának meghatározása, gravitáció térelméleti megközelítése - születtek eredmények. Később a vizuális informatika egyes területein is /számítógépes képfeldolgozás adattömörítés és osztályozás, számítógépes animáció - háttértervezés/ értek el jelentősnek mondható eredményeket a gyakorlati alkalmazásokban. Jelen publikációban megismerkedhetünk a történelmi áttekintés mellett, az eddig jól ismert, egyszerű módon fraktáldimenziót számító algoritmusokkal, a szerző által Spektrális FraktálDimenzióként () bevezetett matematikai fogalommal. Ismertetjük a fogalom alapján kifejlesztett számítógépes algoritmusokat. Kitérünk a fraktálszerkezet alapú osztályozás kidolgozott informatika alapú gyakorlati lehetőségeire (S Supervised classification based on Spectral Fractal Dimension, U - Unsupervised classification based on Spectral Fractal Dimension). Röviden vázoljuk a távérzékelés alapú adatokra épülő mezőgazdasági és környezetvédelmi alkalmazhatóság lehetőségeit. Az eddig sikeresen elvégzett mérésekről, vizsgálatokról külön előadásban kívánunk beszámolni. Kulcsszavak Spektrális fraktáldimenzió, Osztályozás, Távérzékelés Abstract There were great expectations in the 1980s in connection with the practical applications of mathematical processes which were built mainly upon fractal dimension, mathematical basis. Results were achieved in the first times in several fields: examination of material structure, simulation of chaotic phenomena (earthquake, tornado), modeling real processing with the help of the information technology and its equipments, the definition of the length of rivers or riverbanks. Significant results were also achieved later in practical applications in the fields of information technology, certain image processing areas, data compression, and computer classification. In this paper, the well known algorithms calculating fractal dimension in a much simplified manner will be presented. The novel mathematical concepts, named by the author as 'Spectral Fractal Dimension' are also described in this paper. Furthermore, their potential applications for practical usage are also speculated - S Supervised classification based on Spectral Fractal Dimension, U - Unsupervised classification based on Spectral Fractal Dimension, Remote Sensing, Environmental Protection, stc. Keywords Spectral Fractal Dimension, Classification, Remote Sensing 1

2 1. Bevezetés Napjaink informatikai célú kutatás-fejlesztései programjaiban egyre gyakrabban találkozhatunk fraktálokra visszavezethető eljárásokkal, fraktál alapú algoritmusokat alkalmazó programokkal, valamint ezek gyakorlati eredményeivel. Témánk a fraktáldimenzió alkalmazhatóságának bemutatása mellett, a fraktáldimenzió matematikai kiterjesztése, a matematikai fogalom alapján készített új algoritmusok leírása, valamint a képosztályozásban történő alkalmazási lehetőségek bemutatása. 2. A fraktáldimenzió A fraktáldimenzió a törtdimenziók közé tartozó matematikai fogalom. Önhasonló alakzatok matematikai leírására az elsők között találjuk (1904 körül) a von Koch-féle hópehely görbékre adott leírásokat [15]. A fraktáldimenzió segítségével meghatározható, mennyire szabálytalan egy fraktál görbe. Általában a vonalakat egydimenziósnak, a felületeket kétdimenziósnak, a testeket pedig háromdimenziósnak nevezzük. Tekintsünk azonban egy nagyon szabálytalan görbét, amely ide-oda vándorol egy felületen (például egy papírlapon) vagy a háromdimenziós térben. Gyakorlatban [1], [2], [3], [4], [13], [14], [15], [17], [18], [19], [20], [21] számos ilyen tekervényes görbét ismerünk: például a növények gyökérzete, a fák ágai, az emberi test érhálózata, nyirokrendszere, egy úthálózat, stb. Így a szabálytalanságra úgy is tekinthetünk, mint a dimenzió fogalmának a kiterjesztésére. Vagyis egy szabálytalan görbe dimenziója 1 és 2 között lesz, míg egy szabálytalan felületé 2 és 3 közé esik. Egy fraktálgörbe dimenziója olyan szám, amely azt jellemzi, hogy a görbe két kiválasztott pontja között hogyan nő a távolság, midőn növeljük a felbontást. Tehát amíg a vonal és a felület topológiai dimenziója mindig 1, illetve 2, addig a fraktáldimenzió lehet egy ezek közti érték is. A valós világban előforduló görbék, illetve felületek nem valódi fraktálok, olyan folyamatok hozták létre őket, amelyek csak egy meghatározott mérettartományban fekvő alakzatokat képesek kialakítani. Így D változhat a felbontással. A változás segíthet abban, hogy jellemezhessük a létrehozásban közreműködő folyamatokat. Mandelbrot az alábbiak szerint definiálta a fraktál fogalmát: A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension [18] azaz fraktálnak tekinhető minden olyan halmaz, amelynek a Hausdorff-Besicovitch dimenziója nagyobb a topológiai dimenziónál. A gyakorlatban - elsősorban a digitálisan rögzített halmazok, adatok (pl. képek, hangok, videók) esetén - szinte mindig teljesül a fenti definíció. A fraktáldimenzió elméleti leírása [1]: Legyen ( X, d) egy metrikus tér, valamint A H (X ). Legyen N ( ) a minimális sugarú gömbök száma, amely lefedi A halmazt. Ha LnN( ) FD LimSup : (0, ) (1) 0 Ln(1/ ) létezik, akkor FD -t az A halmaz fraktáldimenziójának nevezzük. A fraktáldimenzió (FD) általános definíciója a következő: 2

3 L log L 2 1 FD (2) S1 log S2 ahol L 1 és L 2 a (fraktál) görbén mért hosszúságok, S 1 és S 2 pedig a használt (tetszőleges) mérték nagysága (pl. digitális képek esetén a felbontás). Számos olyan módszer került kifejlesztésre, amely a fraktáldimenzió számítására is alkalmas [20] 1. táblázat. 3. A fraktáldimenzió mérése Gyakorlatban az alábbiak szerinti négyzet leszámolási módszer (Boksz-módszer) alkalmazásával számítható a fraktáldimenzió, amely elsősorban egy digitális képen lévő objektum szerkezetének, struktúrájának lehet jellemző mérőszáma [21], [17], [4]: 1. Szegmentáljuk a digitális képet 2. Vízszintes és függőleges szimmetria tengelye mentén megfelezzük a képet 3. Megvizsgáljuk, hogy van-e az adott képrészekben (Boksz-ban) értékes képpont 4. Letároljuk azon dobozok számát, amelyben volt értékes képpont 5. Ismételjük a II.-IV. pontokat addig, amíg az egyik (kisebb) oldalhosszúság egyetlen képpont nem lesz Módszer Legkisebb négyzetek módszer Walking-osztó Boksz-módszer Prizma-módszer Epszilon-formula Kerület-terület alapú kapcsolat Fraktál alapú Brown-mozgás Energia eloszlás Hibrid módszerek Legfontosabb jellemző Elméleti megközelítésekre Gyakorlatban hosszúság mérésére Legelterjedtebb módszer Egydimenziós jelekre Görbék mérésére Eltérő típusú képek osztályozására Boksz-módszerhez hasonló Digitális, fraktál jellegű jelekre 1D módszerek felhasználásával 2D fraktál számítása 1. táblázat Fraktáldimenzió számítására alkalmas módszerek A dimenzió kiszámításához az általános definíció alkalmazható a mért adatokra, mint függvényre (értékes dobozok száma az összes doboz függvényében). 3

4 1. ábra A Boksz-módszer alapján mért fraktáldimenzió mindkét kép esetén azonos (FD=1,99), holott a két kép láthatóan árnyalatbeli eltéréseket mutat. 4. Spektrális fraktáldimenzió Az 1. táblázatban szereplő módszerek szinte mindegyike szerkezetet mér. Az 1. táblázatban jelzett módszerek, valamint a fentiekben vázolt definíció és eljárás azonban nem ad (elegendő) információt a színek, színárnyalatok (fraktál) tulajdonságaira vonatkozóan. Ezt bizonyítja a mellékelt 1. ábra is. Az előzőekben vázolt Boksz-módszerrel mérve a jobb és bal oldali képek fraktáldimenziója azonos (FD=1,99), holott a bal oldali egy fekete-fehér (8 bites) kép, míg a jobb oldali egy 24 bites árnyalatokat is tartalmazó színes kép az eredeti képek megtalálhatók az alábbi Internet oldalon: [22] -, így értelemszerűen a két kép információtartalma között jelentős eltérés mutatkozik. Hogyan lehetne a két kép közötti eltérést digitális képen történő méréssel is igazolni? A fenti kérdés megválaszolására először terjesszük ki a korábbi (1) definíciót az alábbiaknak megfelelően: Legyen a spektrális fraktáldimenzió () [9], [11]: LS 2 log LS1 (3) SS1 log SS 2 ahol L S1 és L S2 a az N-dimenziós színtérben mért spektrális hosszúságok, S S1 és S S2 pedig a használt spektrális mérték nagysága (azaz a spektrális felbontás). Gyakorlatban az N {1,3,4,6,32,60,79,126,254,488,498,...} értékeket vehet fel, ahol - N=1 fekete-fehér vagy szürke árnyalatos kép, - N=3 színes RGB, YCC, HSB, IHS színterű kép, - N=4 színes nyomtatók által alkalmazott CMYK kép - N=6 fotónyomtatók által alkalmazott CC p MM p YK színtér vagy Landsat ETM esetén. - N=32 DAIS7915 VIS_NIR or DAIS7915 SWIP-2 sensors - N=60 COIS VNIR sensor - N=79 DAIS7915 all - N=126 HyMap sensor - N=254 AISA Hawk sensor - N=488 AISA Eagle sensor - N=498 AISA Dual sensor 4

5 A spektrális felbontás mértékének megfeleltethetjük a gyakorlatban az {S i =1,, S i =16, ahol i=1 vagy i=2} bit információelméleti fogalmát. Tipikus spektrális felbontások: - színtrevágott kép - 1 bit - szürkeárnyalatos kép 2-16 bit - színes kép 8-16 bit Ezek alapján a spektrális leszámolási módszer az alábbiak alapján áll elő: 1. Meghatározzuk, melyik színtérben van a digitális képünk 2. Képezzük a fenti térben a spektrális hisztogramot 3. Spektrális tengelyenként megfelezzük a képet 4. Megvizsgáljuk, hogy van-e az adott N-dimenziós térrészben (N dimenziós spektrális boksz-ban) értékes képpont 5. Letároljuk azon spektrális dobozok (spektrális bokszok) számát, amelyben volt értékes képpont 6. Ismételjük a pontokat addig, amíg az egyik (legkisebb) spektrális oldalhosszúság egy (bit) nem lesz A dimenzió kiszámításához (két vagy több képsáv esetén) a spektrális fraktáldimenzió definíció alkalmazható a mért adatokra, mint függvényre (értékes spektrális dobozok száma az összes spektrális doboz függvényében) egyszerű matematikai átlagolással számítva az alábbiak szerint: S 1 log( ) BM j n j1 log( BT j ) mérhető (4) S 1 ahol - n a képrétegek vagy képcsatornák száma - S a spektrális felbontás bitben - BM j - értékes képpontot tartalmazó spektrális dobozok száma j-bit esetén - BT j összes lehetséges spektrális dobozok száma j-bit esetén A lehetséges spektrális dobozok száma j-bit esetén az alábbiak szerint számítható: BT ) S n j (2 (5) A (4) és (5) összefüggések közvetlenül alkalmazhatók a számítások során, amennyiben a spektrális felbontás azonos minden rétegre vagy csatornára, ennek jelölésére vezessük be az alábbiakat: ( Equal Spectral Resolution ESR ): log( BM j ) S n log((2 ) ) S 1 S 1 n j 1 ESR (6) Eltérő spektrális felbontások esetén a mérésre alkalmas spektrális fraktáldimenzió az alábbiakban adható meg ( Different Spectral Resolution DSR ): 5

6 ahol, DSR n (min( Si )) 1 j 1 log( BM n ( S k 1 (min( S )) 1 i k j ) )log(2) S i a spektrális felbontása az i-edik rétegnek vagy csatornának bitben (7) A számítások során: 1. Képezzük az értékes képpontot tartalmazó spektrális dobozok/összes spektrális doboz hányadosának logaritmusát minden egyes spektrális felezés esetén 2. Szorozzuk a kapott értékeket n-el azaz a képsávok számával 3. Képezzük az előzőleg kapott értékek számtani átlagát A fentiek alapján mért, az 1. ábrán bemutatott képek között egyértelmű különbséget mutat ( bal oldali kép =1,21, ESR, jobb oldali kép =2,49). 5. mint metrika Az alábbiakban megmutatjuk, hogy az előzőekben általánosan (4) definiált spektrális fraktáldimenzió, valamint az eltérő spektrális felbontásokra bevezetett ESR és DSR metrika, azaz kielégíti az alábbi feltételeket: 1. nemnegatív definit, azaz P1, P2 0 P1, P2 0 ha P1 P2 2. szimmetrikus, azaz P1, P2 P2, P1 3. teljesíti a háromszög egyenlőtlenséget, azaz P, P P, P P P , 1. állítás - a (4) szerinti nemnegativ definit: Legyen : A P A (8.1) ahol A az N dimenziós képsík pontjainak tetszőleges részhalmaza, míg P az N dimenziós képsík egy tetszőleges pontja. Ekkor, ha P A azaz P értéke vagy intenzitása (N dimenziós) megegyezik egy A halmazbeli pont értékével vagy intenzitásával, akkor A, P 0, mivel A A P. A P1, P2 0 feltétel szintén teljesül, mivel a (4) alapján definiált rögzített S és n esetén monoton nő! 2. állítás a (4) szerinti szimmetrikus: A feltétel esetünkben azt jelenti, hogy A, P P, A (8.2) teljesül. Legyen ekkor a : A P A 3 6

7 Ha Ha P A akkor P A, de P K A A P azaz 0, ahol K a képsík pontjainak halmaza, akkor ( A P) ( azaz A P A! 0 3. állítás a (4) szerinti teljesíti a háromszög egyenlőtlenséget: A fenti állítás esetünkben: ( A, P2 ) ( A, P1 ) ( A, P2 ) (8.3) Legyen 8.1 szerint : A P A Ekkor, ( A, P2 ) ( A P1 ) ( ( A, P2 ) ( azaz ( A, P2 ) ( ( A P1 ) ( A, P2 ) 2( Egyszerűsítés után: 0 ( A P1 ) ( Ez viszont teljesül, mivel a (4) alapján definiált rögzített S és n esetén monoton nő! Megjegyzés: A metrika teljesülésének további feltétele a regularitás is. Azaz, a diszkrét képsík pontjai egyenletes sűrűségűek legyenek. Ezen feltétel digitális képek esetén általában teljesül vagy annak tekinthető. A fentiek alapján beláttuk, hogy a (4) valamint a (6) és (7) összefüggések közvetlenül alkalmazhatók digitális képek osztályozására. A légi- és hiperspektrális adatokon végzett mérési és osztályozási eredmények ismertetése jelen munka terjedelmi korlátai következtében - a [24] publikációban kerül ismertetésre. 6. alapú osztályozás A statisztikus alakfelismerés során három alapesetet különböztetünk meg: I. Az osztályokról elegendő adat áll rendelkezésünkre ahhoz, hogy el tudjuk végezni az optimális osztályozást. Ekkor a Bayes-féle döntési módszert alkalmazhatjuk. II. Az osztályokat csak egyes mintaelemeik, a tanítók révén ismerjük. Ezért nem biztos, hogy minden paraméterük egyértelműen adott, sőt, a tanítók halmazából álló tananyagban átfedések, vagy akár ellentmondásosak is lehetnek. Ekkor távolságmérő-módszereket alkalmazhatunk. III. Ha az osztályokról semmit sem tudunk (sőt: legtöbbször még a számukat sem ismerjük), akkor a klaszterezést alkalmazhatjuk. A (4) valamint a (6) és (7) összefüggések közvetlenül alkalmazhatók digitális képek osztályozására mivel az metrika- az alábbiak szerint [25, 26]: Bayes-féle döntési módszer közül, pl. Boksz-módszert alkalmazva az mivel metrika, közvetlenül alkalmazható I. eset, elnevezés: S Supervised classification based on Spectral Fractal Dimension. Távolságmérő módszerek közül pl. a Legközelebbi szomszéd módszer esetén az mivel metrika, közvetlenül alkalmazható II. eset, elnevezés: S Supervised classification based on Spectral Fractal Dimension. 7

8 Számítógépes osztályozás tanító nélkül során az -t mint távolságot alkalmazva, az ismert eljárások közvetlenül alkalmazhatók III. eset, elnevezés: U - Unsupervised classification based on Spectral Fractal Dimension. Általában megállapítható, hogy az minden olyan osztályozási feladat során alkalmazható, amely mérték alapú. Az alkalmazás során csak alapú osztályozás is megvalósítható, vagy más mértékekkel együtt történő alkalmazás (súlyozott esetek) is megengedett. 7. Az algoritmus gyakorlati alkalmazása A fentiek gyakorlati alkalmazására számítógépes programokat fejlesztettünk ki, amely méri az paramétert. Kétféle programozási környezetben (MS.NET, C++) is megtörtént a módszerre épülő mérőprogram kifejlesztése. Az eddigi mérések alapján megállapítható, hogy nincs jelentős eltérés az eltérő környezetben futó algoritmus számítási ideje között [10, 23]. Vagyis az algoritmus objektumorientált fejlesztői környezetben is jól alkalmazható. Megtörtént a módszer gyakorlati tesztelése is, olyan képek esetén -, ahol a várható mérési eredmények egyértelműek [22]. A módszer által mért eredmények invariánsak az azonos árnyalatú képpontok eltérő geometriai elhelyezkedésére, amennyiben az egyes árnyalatok száma változatlan [22]. Jelenleg az alábbi területeken folyik az eredményes gyakorlati alkalmazása: - Légi- és űrfelvételek spektrális tulajdonságainak mérése [23] - Képtömörítő eljárások pszichovizuális vizsgálata [7] - Burgonyagumó és chips minősítése [8], [10] - Növényi részek károsodásának időbeli vizsgálata [8] - IVR alapú 3D valós felszínű szimuláció [4], [5], [6] - Számítógépes osztályozás tanítóval (S Supervised classification based on Spectral Fractal Dimension) és tanító nélkül (U - Unsupervised classification based on Spectral Fractal Dimension) [26], 2. ábra és 2. táblázat. 2. ábra S valamint U osztályozott légifelvétel összehasonlítása 5 ismert osztály esetén Találat típusa % Trace U 44 Trace IMAGINE 35 Trace TULIPP 30 Trace ENVI táblázat U osztályozott légifelvétel találati pontosságának összehasonlítása 5 ismert osztály esetén 8

9 8. Következtetések Olyan digitális képek vizsgálata során, ahol az árnyalatok fontos paraméterek lehetnek (képtömörítés, pszichovizuális vizsgálatok, nyomtatás, színtani vizsgálatok, stb.) javaslom felvenni az -t az alapadatok jellemzésére az eddig szokásos (pl. jel/zaj, intenzitás terjedelem, felbontás) típusú paraméterek mellett (pl. tömörítés, színes képek általános jellemzése). A két paraméter együttes alkalmazásával mind a szerkezetre, mind az árnyalatokra hasznos információt kaphatunk. Számos olyan képi alapadat (légi-, és űrfelvételek) kerül gyakorlati felhasználásra, amely háromnál több képsávból áll. Ezek együttes jellemzésére alig van elfogadott paraméter. Megítélésem szerint, az kiválóan alkalmazható háromnál több sávból álló (multi-, hiperspektrális) képek együttes jellemzésére. Jelenlegi és korábbi méréseink alapján megállapítható, hogy az és FD paraméterek szignifikáns paraméterek digitális képek osztályozásánál is. Természeti folyamatok, térbeli szerkezetek jellemzésére az eddig szokásos strukturális paraméterek mellett fontos és digitálisan jól mérhető paraméter lehet az. Ezek a mérések részben megtörténtek, illetve esetenként jelenleg is folynak és - a fenti gyakorlatban alkalmazható módszer felhasználásával - bárki számára elérhetővé váltak [22]. Az alkalmazott alapú osztályozási módszerek, tetszőleges dimenziószám esetén gyakorlatban alkalmazható eredményeket adnak. Irodalomjegyzék [1] Barnsley, M. F., Fractals everywhere, Academic Press, [2] Barnsley, M. F. and Hurd, L. P., Fractal image compression, AK Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, [3] Batty, M. and Longley, P. Fractal cities, Academic Press, [4] Berke, J., Fractal dimension on image processing, 4th KEPAF Conference on Image Analysis and Pattern Recognition, Vol.4, 2004, pp.20. [5] Berke, J., Real 3D terrain simulation in agriculture, 1st Central European International Multimedia and Virtual Reality Conference, Vol.1, 2004, pp [6] Berke, J., The Structure of dimensions: A revolution of dimensions (classical and fractal) in education and science, 5th International Conference for History of Science in Science Education, July 12 16, [7] Berke, J. and Busznyák, J., Psychovisual Comparison of Image Compressing Methods for Multifunctional Development under Laboratory Circumstances, WSEAS Transactions on Communications, Vol.3, 2004, pp [8] Berke, J., - Wolf, I., - Polgar, Zs., Development of an image processing method for the evaluation of detached leaf tests, Eucablight Annual General Meeting, October, [9] Berke, J., Spectral fractal dimension, Proceedings of the 7th WSEAS Telecommunications and Informatics (TELE-INFO 05), Prague, 2005, pp.23-26, ISBN

10 [10] Berke, J., - Horváth, Z., - Polgar, Zs., - Nagy, T., Developing on Exact Quality and Classification System for Plant Improvement, Journal of Universal Computer Science, vol. 12, no. 9 (2006), [11] Berke, J., (2006): Measuring of Spectral Fractal Dimension, Advances in Systems, Computing Sciences and Software Engineering, Springer pp , ISBN [12] Berke, J., - Horváth, Z., - Kozma-Bognár, V., Varga, J., - Busznyák, J., - Hegedűs, G., Hiperspektrális adatok osztályozásának elmélete és gyakorlata, 4. Fény-Tér-Kép 2006 konferencia, Dobogókő. [13] Burrough, P.A., Fractal dimensions of landscapes and other environmental data, Nature, Vol.294, 1981, pp [14] Buttenfield, B., Treatment of the cartographic line, Cartographica, Vol.22, 1985, pp [15] Encarnacao, J. L. Peitgen, H.-O. Sakas, G. Englert, G. eds. Fractal geometry and computer graphics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [16] Horváth, Z., - Hegedűs, G., - Nagy, S., - Berke, J., - Csák, M., Fajtaspecifikus kutatási integrált informatikai rendszer, Conference on MAGISZ, Debrecen, August 23, [17] Lovejoy, S., Area-perimeter relation for rain and cloud areas, Science, Vol.216, 1982, pp [18] Mandelbrot, B. B., The fractal geometry of nature, W.H. Freeman and Company, New York, [19] Peitgen, H-O. and Saupe, D. ed. The Science of fractal images, Springer-Verlag, New York, [20] Turner, M. T., - Blackledge, J. M. Andrews, P. R., Fractal Geometry in Digital Imaging, Academic Press, [21] Voss, R., Random fractals: Characterisation and measurement, Plenum, New York, [22] Authors Internet site of parameter - [23] Kozma-Bognár, V., Hegedűs, G., - Berke, J., Spektrális fraktálszerkezet alapú osztályozás gyakorlati alkalmazása, KÉPAF 2007 konferencia, Debrecen. [24] Kozma-Bognár, V., Hiperspektrális felvételek mezőgazdasági és környzetvédelmi célú felhasználásának lehetőségei a Keszthelyi térségben, IF2008 konferencia, Debrecen, [25] Berke, J., Measuring of Spectral Fractal Dimension, Journal of New Mathematics and Natural Computation, ISSN: , 2007, 3/3: [26] Berke, J., Spektrális fraktálszerkezet alapú osztályozás, Proceedings of the 6th Conference of Hungarian Association for Image Processing and Pattern Recognition, 2007,