A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
|
|
- Gusztáv Budai
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE -9. FEJEZET
2 Szerzõk: BIRÓNÉ FÜLE ZSUZSANNA középiskolai tanár DR. SZEDERKÉNYI LÁSZLÓNÉ ny. gyakorlóiskolai vezetõtanár
3 Tartalom. TERMÉSZETES SZÁMOK, RACIONÁLIS SZÁMOK.... ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK.... SÍKGEOMETRIA HALMAZOK, KOMBINATORIKA LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK SÍKGEOMETRIA II STATISZTIKA, VALÓSZÍNÛSÉG TÉRGEOMETRIA...
4 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Természetes számok, racionális számok. A racionális számok alakjai. a) = : = 0, b) = : = 0, - c) = µ : = µ0, d) 7 = = 7 : 7 =, e) = µ0 : 8 =, f) - = - = µ : 8 = µ, g) = : 0 = 0, h) = µ : 8 = µ0, 0 8. a) 0, = = 0 b) c), = = 00 0 d) e) -, = - = - f) 0 0, = = 000 8, = + 0, = + = - 0, = - = - 00 g) 9, = + 09, = + 9 0, = + 9 = + = 9 h) 87 -, 87 = - = a) b), c) - d), 9. a) igaz b) igaz c) igaz d) hamis e) igaz. a) µ ª < 0 b) 0 < ª c) ª < µ d) ª >. a) 0,7 > b) 0,9 < d) µ0, < - 7. a) = =, ; =, ;, ;, növekvõ sorrend:, <, <, eredeti számokkal:, < <, =
5 b) = 0, ; = 0, ; 0, ; 0, növekvõ sorrend: 0, < 0, < 0, < 0, eredeti számokkal: 0, < < < 0, c) d) - = -0, ; - = -0, ; - 0, ; -0, növekvõ sorrend: - 0, < - 0, < - 0, < -0. eredeti számokkal: - 0, < - < - < -0, - = - = -, ; - = -, ; -, ; -, növekvõ sorrend: µ, < µ, < µ, eredeti számokkal: -, = - < - < -, e) = 0, ; - = -0, ; -0, ; -0, növekvõ sorrend: - 0, < - 0, < - 0, < 0, eredeti számokkal: - 0, < - < - 0, < f) - = - = -, ; =, ; -, ;, növekvõ sorrend: µ, < µ, <, <, eredeti számokkal: - < -, <, <
6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 9. = 0, es számjegy a tizedes vesszõ után a harmadik, kilencedik, tizenötödik... helyen áll. 9. a) -es számjegy b) -es számjegy c) 8-as számjegy 0. a) -as b) 7-es c) 8-as d) -es. Anna: óra =, óra; Bori: óra = 0,8 óra; Kati: 8 perc =, óra; 8 Eszter: óra =, óra A célbaérés sorrendje: Bori Anna Eszter Kati a) ; b) ; ; c) G (0; ) H (µ; 0) I (0; µ) J (8; 0). A tört értéke akkor lesz a legnagyobb, ha a számkártyákból a számlálóba a lehetõ legnagyobb, a nevezõbe a lehetõ legkisebb számot rakják. A tört értéke akkor lesz a legkisebb, ha a számlálóba kerül a lehetõ legkisebb, a nevezõbe a lehetõ legnagyobb kétjegyû szám kerül. Rejtvény: Legnagyobb: : ( : : : : : 7 : 8 : 9) = 9070 Legkisebb: ( : : : : : : 7 : 8) : 9 = 0, Mûveletek racionális számokkal Ê ˆ. a) Ë = + - = + Ê ˆ - Ë = + Ê - ˆ Ë = + (- ) = - b) µ ( µ ) = µ (µ) = µ (µ) = 9 c) d) ; 0, - ( - 9) =, - =, -, = Ê ˆ Ë = - Ê + ˆ Ë = - = - = - = - = - 0 e) + 0 Ê ˆ 0, Ë =, + (, -, ) =, + ( -, ) = = 0, + (-0, ) = 0 f). a) b) - Ê ˆ + + Ë + = - Ê Ë + ˆ Ê ˆ Ë = = 0 Ê ˆ Ë = = =- + =- =
7 c) d) e) f). a) b) (- Ê ˆ ) - ( ) Ë - = - Ê Ë - ˆ - = Ê Ë - ˆ - = Ê Ë - Ê Ë, ˆ Ê Ë, - ˆ 0 = (, -, ) (, -, ) =,, =, 9 Ê ˆ Ë = = , Ê ˆ Ë =, -, = -, = - + = ( - ) ( ) ( ) + =- Ê ˆ - + Ë Ê Ë - ˆ = Ê Ë - + ˆ Ê Ë - ˆ = Ê Ë - ˆ = ˆ - 8 =- 8 È c) - - Ê ˆ - Î Í Ë Ê ˆ - Ë = Ê ˆ Ë Ê - 9 ˆ Ë = Ê - ˆ : Ê 9ˆ - 9 Ë Ë = 99 Ê ˆ Ê 7ˆ 8 d) Ë Ë = 9 Ê 0 - ˆ Ë 0 Ê - ˆ Ë 7 = 9 Ê - ˆ Ë 0 Ê -ˆ : Ë 7 = + 8. a) A negyedik napon: + = = b) A nyolcadik napon: - + = = c) Látjuk, hogy négynaponta résznyi méz fogy el. 9 Folytatva a gondolatmenetet: Morgónak a. napon -ed, azaz csupor méze lesz, ez a. napon elfogy. Mivel a. napon = csupor mézet szerez, ebbõl kétszer 9 (vagyis a 7. és 8. napon) tud csupornyit enni, de a 9. napra már nem jut egy rendes adagnyi.. Egy nap alatt megépítik a vár részét (az éjszakai leomlást is beleszámítva), így a 90 nap szükséges a felépítéshez. Ê ˆ. Például: - Ë = = 7. a) A< B b) A < B c) A < B d) A > B Ê ˆ Ê ˆ Ë - 0, + 0 : Ë -, + 8. a) = ( 0, - ) : ( 0, , ) ( 0, ) : (-0, ) = = b) Ê ˆ Ê ˆ Ë - 0, + 8, 0 8 : Ë -, +, = ( 0, - ) : ( 0, - - 0, ) ( 07, ):( -0, 7) = = 7
8 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) Ê ˆ Ê ˆ Ë - 0, + 0 : Ë -, + = ( 0, - ) : ( 0, , ) ( 0, ) : (-0, ) = d) 9. a) b) c) d) 0. a) b) c) d). Ê ˆ Ê ˆ Ë - 0, + 0 : Ë -, + = ( - ) : ( 07, - - 0, ) ( - ) : ( - 0, ) = 07, - = = : = 0, 9 : = = : = : = 0 = : Ê ˆ - Ë =- 9 = + : = + = 9 + : = rész + = km 9 = : = rész km rész az egész út km = km = km Cél. rész rész 8
9 rész + rész = rész Karcsi az összes versenyzõ része Tehát össze- Összes versenyzõ: sen fõ indult. Karcsi harmadikként ért célba.. a) vagy b) vagy Rejtvény:. h 00 km egyenes arány h 00 = 0 km 8, egyenes arány 8, h 0 km 8 = 00 km 00 km-t tesz meg 8, h alatt.. 70 adaghoz 0, kg 7 egyenes arány 0 adaghoz 0, kg 7 =, kg 0 egyenes arány 00 adaghoz, kg 0 = kg 00 adaghoz kg hús szükséges.. 0 kg-hoz 0 db egyenes arány 0 kg-hoz 0 db = 000 db 0 kg szõlõt 00 db dobozba csomagolunk. 7. db 7 dl-es üvegbe összesen 7 = 7 dl gyümölcslét töltöttek. Ha üveg, dles, akkor 7, = db, dl-es üvegre van szükség. km 8. I. sebessége: 000 h km II. sebessége: 000 = 00 km h h km 000 h h 0 fordított arány km 00 h 0 = 0 h h fordított arány km 00 0 h = h h km h alatt teszi meg 00 sebességgel ugyanazt az utat. h 9
10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE perc alatt 0 (l) 0 egyenes arány 0 perc alatt 0 (l) 0 = 00 (l) perc alatt (l) 00 (l) 00 = 8 perc 8 perc alatt telik meg másik csapból. kacsához 0 kg 0 egyenes arány 0 kacsához 0 kg 0 = 00 kg kacsához 0 kg egyenes arány kacsához 0 kg = 0 kg 0 kacsa felhízlalásához 0 kg-mal több kukorica szükséges.. gyerek óra 80 db egyenes arány gyerek óra 80 db = db egyenes arány gyerek óra db = 9 db egyenes arány gyerek óra 9 db = 9 db egyenes arány gyerek óra 9 db = 88 db gyerek óra alatt 88 db szendvicset tud elkészíteni.. egér sajt nap fordított arány egér sajt = nap fordított arány egér sajt =, nap egyenes arány egér 0 sajt, =,8 nap egérnek 0 sajt,8 napra elegendõ.. András Balázs Csaba db db 0 db összesen: 9 db szendvics asztalok db db db András db, Balázs db szendvicset adott át Csabának, aki ezért ezek arányában fizetett a fiúknak. 0 Ft : arányban osztva. 0 Ft µ 00 Ft. 0
11 . Csaba Andrásnak 0 Ft-ot, Balázsnak 00 Ft-ot fizetett. x x + = x = = 7, 7. t = 00 a + ö ö = 0 a + 0, m m = 0 a + 0, k k = 8 a Visszafelé helyettesítésekkel: m = 0 a + 0, 8 a = a ö = 0 a + 0, a = a t = 00 a + a = a táltos aranyat ér. Rejtvény: Nem lehet tudni, mivel a hét napjai és a között, hogy fúj-e a szél, nincs matematikai összefüggés.. Százalékszámítás (emlékeztetõ) a) 00 - = = 98 b) = 00-0 = 00-0 = 0 c) 00 = 0 = 0. a) 000, = 00,-szeresére b) 0,8-szeresére c) -szeresére d),-szeresére e) -szeresére f) 0,00-szeresére. a) 00, = 70 b) = 0 c) 00 0, = 0 d) 00 0 = 0. a) 00%-a (00%-kal nõ) b) 0%-a (0%-kal nõ) c) 0%-a (0%-kal nõ) d) 00%-a (00%-kal nõ) e) 0%-a (80%-kal nõ) f) %-a (%-kal nõ)
12 . a),-szorosa b) 0,9-szerese. a) 0%-kal nõtt b) %-kal nõtt SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 7. Medve: 0 0 =, %-kal nõtt a tömege Elefánt: 0 0 =,,%-kal nõtt a tömege A medvebocs nõtt jobban. 8. Összesen: 000 fõ Férfi 80% Nõ 0% Átlagosan 000 fõ a férfi. 9. Döntõben szereplõ csapatok szurkolói: , = 00 db- 00 db Szervezõk: ,0 = 70 db Bajnokság csapatai: , = 0 db Nemzetközi Labdarúgó Szövetség: , = 000 db Ismert személyiségek: 000 db , = fõ hoz szendvicset az iskolába ,8 = 000 fõ. a) Elsõ változás: 000,08 = 080 Ft Második változás: 080 0,9 = 99, Ft Összesen: 99, 000 = 0,99 99,% 0,%-kal csökkent az ár. b) Elsõ változás: 000 0,9 = 90 Ft Második változás: 90,07 = 99, Ft Összesen: 99, 000 = 0,99 99,% 0,9%-kal csökkent az ár.. Fenyõ Tölgy 0% 80% Tölgynek a negyede, azaz %-a a fenyõk száma.. 00 kg + 00 kg = 00 kg -szörösére nõ. Eredeti Új +0% 0 cm 0 cm, = cm a) K= 0 cm = 0 cm K = cm = cm 0 =, 0%-kal nõtt a kerülete b) T = 0 cm 0 cm = 00 cm T = cm cm = cm 00 =, %-kal nõtt a területe
13 . Eredeti Új Egyik oldal: 0 cm 0 cm 0,8 = 8, cm Másik oldal: 0 cm 0 cm, = cm a) K= (0 cm + 0 cm) = 0 cm K = ( cm + 8, cm) = cm 0 =,0 %-kal nõtt a kerülete b) T = 0 cm 0 cm = 00 cm T = cm 8, cm = 9, cm 9, 00 = 0,977,%-kal csökkent a területe. a) 9db b) 0,% c),% 7. a) b) Eredmény Fõ % Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott c) % % 0 0 0% Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott % 7% % Jeles Jó Közepes % Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott 8. a) Jeles: 0% Jó: 7% Közepes: % Elégséges: 0% Elégtelen: % Nem írt: 7% 0% % 7% 0% % 7% Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem írt b) Átlag:», 9. = (x + 0,7x) =,x x = cm Egyik oldal: cm Másik oldal: 9 cm T = cm 9 cm = 08 cm 0. a) 0 km-en 7 (l) 00 km-en 7 (l) 0 = 70 (l)
14 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE b) 0 km-en 7 (l) 0 km-en 7 (l) = 8 (l) 0% Összes üzemanyag 00% 8 (l) = 0 (l).,08 x 0%-kal leszállított ár, azaz az eredeti ár 90%-a, 0,9-szerese,08 0,9 =, 0% volt a leszállítás elõtt a haszon., =, = = 0 reciproka -nek hány %-a a? : = = = 08, Æ 80% Æ -et 0%-kal kell csökkenteni Rejtvény: A gyorshajtók -része nem %-a az összes autósnak. = = 00, =, % 0. Kamatszámítás. Gazdálkodj okosan!. a) 0 000,07 = Ft b) [(0 000,07),07],07 = 0, Ft c) 0, : =,0,%-kal növekedett az összeg.. a) 0,0 = 0,kg b). nap végén. év múlva ,97 = 9700 Ft év múlva ,97 = 909 Ft év múlva 909 0,97 =» 97 Ft év múlva 97 0,97 =» 88 Ft év múlva 88 0,97 =» 897 Ft. x,0 = x =» 9 08 Ft. [(x,0),0],0 = x =» 7 77 Ft
15 . a) {[(0 000,0),0],0},0 = Ft b) 0 év múlva: Ft 0 év múlva: 7 Ft 0 év múlva: 0 Ft 07 év múlva: 07 Ft 08 év múlva: 77 Ft 09 év múlva: Ft 0 év múlva: 89 Ft év múlva: 7 0 Ft év múlva: 7 98 Ft év múlva: 8 8 Ft év múlva: Ft év múlva: Ft , = 000 Ft-ot kell visszafizetni , = 000 Ft-ba fog ténylegesen kerülni a gép ,00,00 = 0 0, Ft. Ebbõl Józsi mindenképpen kifizet legalább 00 Ft-ot, így marad neki 0 00, Ft-ja. Nem érdemes erre az idõre a pénzét bankba tennie. 0. a) év múlva: 0 000,0 = 000 Ft év múlva: ( ),0 = 00 Ft év múlva: ( ),0 = 0 Ft év múlva: ( ),0 = 90 Ft-ja lesz négy év múlva. b) év múlva: ( ),0 = 09 Ft év múlva: ( ),0 = 8 Ft 7 év múlva: ( ),0 = Ft 8 év múlva: ( ),0 = 00 Ft Rejtvény: 0%-ában csak a vezetõ ült az autóban. Ennek 0%-nak a 7%-ában vezette férfi. Vagyis: 0, 0,7 = 0, % Az összes személyautó %-ában csak a vezetõ ült az autóban, aki férfi volt.. A hatványozás. a) = = 9 b) = = c) 7 = = d) 0 = = e) = = f) = = g) 8 = = 09 h) 000 = 000
16 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) kettõ a hatodikon b) három az ötödiken c) 0, nulla egész egytized a harmadikon d) (µ) mínusz négy a negyediken e) öt a hatodikon f) 7 hét a negyediken. 9 =. a) b) c) d) e) f) 807. a) = ; = ; = 8; = = < < b) = 8; = 9; (µ) = µ8; (µ) = 9 (µ) < < = (µ) c) = ; ( ) = ; ( ) = ; = < = ( ) < ( ) d) = ; Ê ˆ = = Ë ; Ê ˆ Ë = ; ( ) =. a) 0 00 > b) 00 0 < 0 0 c) 0 00 < A = Ê ˆ = < B = = Ë 9 8. = 8, (µ) = ; µ = µ; (µ) = µ µ < (µ) < (µ) < 9. a) Legkisebb: ; ; ; Legnagyobb: b) -féle c) = = = < < < = < < < = < < < < 0. a) Legkisebb: = = = = = Legnagyobb: b) > c) -féle d) 8-féle. 00-ban: ben: 000 0,88 = 00 faj 00-ben: 00 0,88 = 87 faj 00-ban: 87 0,88 = 07 faj 007-ben: 07 0,88 = 998 faj 008-ban: 998 0,88 = 9 faj 009-ben: 9 0,88 = faj
17 00-ben: 0,88 = 0 faj. 0 perc elteltével: 0 = 0 h = 0 perc elteltével: 0 =, Nem lehetséges, hogy egy baktériumból osztódással óra elteltével 0 db legyen, mivel közben el is pusztul valamennyi.. a) 7%-os az éves kamat b)» 0 Ft-ot c) 0 000,08 =» 89 Ft-ot. a) 0 = = = = 8 = = = 7 = 8 8 = 9 = A. hatvány 8-ra, a 0. hatvány -re, a 0. hatvány -ra, 007-dik hatvány 8-ra végzõdik. A szabályt a -es maradék adja, a kitevõ -gyel osztva mennyi maradékot ad. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. b) = = 9 = 7 = 8 = = 79 7 = 87 8 = 9 = 9 8 A. hatvány 7-re, a 0. hatvány 9-re, a 0. hatvány -re, a 007-dik hatvány 7-re végzõdik. A szabályt a kitevõk -es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. c) = = = = = 0 7
18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE = 09 7 = 8 8 = 9 = A. hatvány -re, a 0. hatvány -ra, a 0. hatvány -re, a 007-dik hatvány -re végzõdik. A szabályt a kitevõk -es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. d) = = = = 9 = 777 Bármely kitevõ esetén az eredmény -ra végzõdik. Rejtvény: ( ) = = ( ) ( ) = = = ( ) 7. Mûveletek azonos alapú hatványokkal. a) b) c) d) 9 e) 8 f). a) µ = µ b) µ = µ c) = d) µ = µ8 e) µ 7 = µ8 f) µ =. a) = 7 b) = c) 7 = 9 d) = e) 9 = 9 f) 0, = 0,000. A = ; B = µ; C = ; D = µ B = D < A = C. a) 7 < 7 b) > c) 7 > µ(7 ) d) =. a) = 09 b) = c) d) 0, 0 e) 0 f) a) b) c) d) µ7 e) 0, f) 0 8
19 Rejtvény: x = Y = Z x = 8 x = x = A százlábúnak 8 lába nem fáj. 8. Mûveletek azonos kitevõjû hatványokkal. a) = 7 b) 0 = c) = d) = a) b) c) d) a) b) Ê ˆ Ë = Ê ˆ Ë = = Ê 7 8 ˆ 00 = Ë c) d). a) b) Ê ˆ - = Ê ˆ - Ë 7 Ë Ê ˆ 8 = Ê ˆ 78 = Ë Ë = ( ) = ( ) = = = 79 9 ( ) = ( ) = = = c) d) Ê 7 Ë Á Ê Ë Á ˆ = Ê Ë Á ˆ 7 9 = = 79 ˆ = Ê Ë Á ˆ = Ê ( ) Á Ë ˆ 0 7 = Ê Ë Á ˆ = ( ) =. a) ( ) < ( ) < b) ( ) < ( ) ( 7 ) = < ( ) = 8 9
20 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) Ê Ë Á ( ) > - d) ( -) > µ. a) A= B = (µ) 9 = 9 C = µ (µ) = µ( ) = µ( ) D = C < B < A < D 7. a) Ó = b) Ò = c) Ð = d) Ñ = 8. a) Õ = b) Õ = 8 c) Õ = d) Õ = 9. A = 8 ˆ < ( ) (( ) ) B = C = ( ) = (( ) ) = ( ) = ( ) = A < C < B ra végzõdõ -ra végzõdõ szám szám (A 00 egymás utáni hatványainak eredményében észrevehetõ szabályosságból állapítható meg, a kitevõk -es maradékából) 8-ra és -ra végzõdõ szám összege -re fog végzõdni. a) + = ; ( + ) = ; (µ) + (µ) = µ (µ) +(µ) < + < ( + ) b) + = 97; ( + ) = ; (µ) + (µ) = 97 + < (µ) +(µ) < ( + ) c) + = 7; ( + ) = ; (µ) + (µ) = (µ) +(µ) < + < ( + ). Mivel a különbözõ jelek helyén azonos számok is állhatnak, ezért a megoldások: ( ) = ( ) = 8 a) Legkisebb: Ô = Ö = ( ) = ( ) = 8 ( ) = = ( ) = Legnagyobb: Ô = Ö = 7 7 b) Legkisebb: 7 = Ô =, Ö =, 0
21 7 7 Legnagyobb: 7 = Ô =, Ö =, c) Legkisebb: = Ô = Ö = Legnagyobb: = 7 Ô = Ö = ( ) = d) Legkisebb: Ô = Ö = ( ) = Legnagyobb: 9 Ô = Ö = Rejtvény: A legnagyobb szám: 9. Prímszámvadászat. A 007 összetett szám és páratlan. Páratlan számot egy páros és egy páratlan összegeként kaphatunk. Ha egy szám páros, akkor osztható kettõvel, azaz nem prím, kivéve a kettõt. Ha az egyik prímszám a lenne, akkor a másik szám a 00, ez pedig nem prím szám. Tehát nem írható fel a 007 két prímszám összegeként.. a) 0-nél kisebb prímek: ; ; ; 7 Lehetséges szorzatok -et hozzáadva: + = 7 + = 7 + = + = 7 + = 7 + = b) Az eredmények közül prímek: 7;. a) = 7 b) 70 = c) 00 = d) 7 =. a) (; ) = b) (8; 0) = 8 c) (; ) = = d) (; 0) = ( ) =. a) [; 8] = = b) [8; 0] = = 0 c) [; ] = = 0 d) [; ] = =. a) ( ; ) = = [ ; ] = = 0 b) (7 ; 7 ) = 7 [7 ; 7 ] = 7 = 9 08
22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) ( 7 ; 7 ) = 7 = 9 [ 7 ; 7 ] = 7 = 8 7 d) ( 7; 7 ) = 7 = [ 7; 7 ] = 7 = a) b) c) d) 8. a) b) c) = - + = = = 9 d) + = 0 9. Relatív prímek: (; 7); (7; 0); (7; 0); (; 0) 0. [; 0] = = 0 Indulástól számítva 0 perc, azaz óra múlva, reggel órakor indulnak ismét el egyszerre a buszok.. [; ] = A két hajó az indulástól számítva hónap múlva indul el ismét együtt a kikötõbõl.. [; 8] = [; 8] = [; 8] = [; 8] = = = = = 7 7 = = 7 = = 7 7. (x; ) = [x; ] = x = = 0 0. a) ( y ; x ) = z x = y = z = b) [ x ; y ] = z x = y = z = 0. ( ; x) = Legkisebb kétjegyû szám: 8 Legnagyobb kétjegyû szám:
23 Rejtvény: Legidõsebb: 7 éves Középsõ: éves Legfiatalabb: éves 0. Nagyon nagy számok. a) db százas b), 0 = 0 = E + Sz + t + 0 e c) 8,7 0 = 887 = 8 TE + 8 E + 7 sz + t + e d), 0 = = SZE + TE + E + sz + t + e. a) =, 0 b) 00 =, 0 c), =, 0 d), =, 0. a) 0 0 = 0 b), 0 =, 0 c), 0 =, 0 7 d) 0 0 = 0 e) millió =, 0 7. a) 7797 =, b) c) Egy személy rekordja:,0 0 Csapatrekord:, d),7 0 db Város Tokió Mexikóváros New York. a) 0 =, 0 b) 0 9 =, 0 0 c) 0 7 =, 0 8 d) 0 0 =, 0. a) 0 b) 0 c) 0, 0 = 0 d), 0 7. a) = 0 8 =, 0 9 b) (8 0 )( 0 ) = 0 Ország Elõvárosokkal Elõvárosok nélkül Japán Mexikó USA,97 0 7,9 0 7, , 0 8,89 0 8,897 0
24 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) = = 8,0 0 d) 8 0 µ 0 = = 7,9 0 e) 8. a) 8 0, 0 = 0, 0 7 =,0 0 8 b), 0 0 = 0 7 c) d) 9. a) 000 =, 0 b) 800 =,8 0 c) 700 =,7 0 d) = 8, 0 0. a) ( 0, 0 ) = 0 =,7 0 b) (8 0 ) = 09 0 =, c) d) Ê 000ˆ Ë 00 Ê 000ˆ Ë 0. a) km = 8 0 km =,8 0 7 km b) km = km =, c), km =,9 0 9 =,9 0 0 km d),9 0 0 = 9, km = 9,08 0 km. mm 00 km = 0 mm V = mm 0 mm = 0 mm = 0 8 dm = 0 8 (l) Rejtvény: a) Fény s alatt km-t tesz meg, év alatt 9,08 0 km-t,, év alatt, 9,08 0 km = 9,7 0 km = =,97 0 -re van ez a csillag a Földtõl. km b) v = h s =,97 0 km t 0 0 s = = v Az út 7,7 0 0 h-ig tartana. = 0 = 0 = 8 0 =, 8 0 = 80 = ( 8 0) = 09 0 =, 09 0 = 00 = 8 0, km h km = 0, h = 7, 7 00 h
25 Rejtvény: ember karfesztávolsága kb., m Föld egyenlítõi kerülete kb. 00,79 km =, km =, m, m/, m =,7 0 7 = fõ Megközelítõleg,7 millió ember tudná körülölelni a Földet.. Vegyes feladatok. 7 + =. a) b) c) d) 0 = 0, = 0, = 08, = 0, < < < a) b) c) d) 7 Ê 0 ˆ 7 - Ë = -, 0 Ê0 ˆ : - : Ë 7 - = - = - = Ê ˆ - - : Ë = + = + = 7 7 = = Ê 7 ˆ - - Ë = = a) Ñ =- b) Ò = 0 7 c) Ó = µ0, d) Ð = 0,. a) (8, +, (l)) (l) = 7,7 db db csupor lesz tele, a tizennyolcadikba (l) = (l) méz kerül. Az utolsó csupor részéig telik meg. 0
26 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) b) c) d) = < - 9 < - > = 0, 0, < , 9 = 7. a) Ò = 8 Ó = 8 Ñ = 7 8 b) Ò = 8 Ó = 8 Ñ = 8 c) Ò = Ó = Ñ = d) Ò = Ó = 0 Ñ = = = = = 0, 0 0 Az -ös számhoz áll a legközelebb. 9. nap= óra alatt -ét szétosztotta. Hátra van még az -e, amihez óra szükséges. Az egész zsákot 8 óra alatt osztotta szét.
27 0. a) 79,+0,8 kj =, kj b),8+7+, kj = 0, kj c) 0,8+908 kj =,8 kj. Arányos téglalapok Y = X Æ X = Y X = Y Y = Y része. dl szörphöz 8 dl víz l = 0 dl vízhez dl = dl szörp volt az üvegben.. 8 fõ nap 8 óra/nap 8 : 8 fordított arány fõ nap,8 óra/nap : fordított arány fõ nap óra/nap órát kell naponta dolgozniuk, hogy elkészüljenek.. kendermagos tyúk nap 0 dkg mag kendermagos tyúk nap 0 dkg mag kendermagos tyúk nap 0 dkg = dkg magot eszik meg. gyöngytyúk nap 0 dkg mag gyöngytyúk nap 0 dkg mag gyöngytyúk nap 0 dkg = dkg magot eszik. + + = = dkg-ot esznek meg.. Felnõtt: 000-nek 8%-a: 000 0,8 = 00 fõ Férfi: 00-nak 0%-a: 00 0, = 0 fõ 0 fõ férfi volt az elõadáson.. 0 db 00 Ft db 00 0 = 0 Ft Árleszállítás után: db 0 0,8 Ft = 8 Ft 00 8 = db-ot vehetnénk az árleszállítás után. db-bal többet. 7. 0%-os kamat évente 000 Ft vissza 0 000,,,, = 000 Ft = 000 Ft = Ft 7
28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Akkor járunk jobban, ha 0%-os kamatra bankba tesszük a pénzt, így év után Ftunk lesz, míg ha évente 000 Ft-ot kapunk vissza, csak 000 Ft-unk lesz. 8. a) b) c) d) nincs a kártyák között ilyen e) 7 9. Nem igaz, például:,,.. 0. Legkisebb: µ0. a) Ò = b) Ó = 9 c) Ð = d) Ä =. = B = D = F. a) b) c) d) A = Ê ˆ Ë C = Ê ˆ Ë E G = Ê - Ë = Ê - Ë. a) Egy sorban, oszlopban, átlóban a hatványkitevõk összege vagy nagyobb legyen. Több megoldás lehetséges. b) Lásd a) c) A kitevõk összege 0 vagy nagyobb legyen a) b) c) Ò ˆ ˆ = < D = Ê ˆ Ë 7 = - < F = Ê ˆ - Ë = < H = Ê ˆ 8 Ë 9 = < B = = = = = Ò 7 9 Ò Ò= 7. [8; ] = s múlva ugatnak egyszerre. Ò = 7. [0; 8] = 0 0 s múlva hallhatjuk újra, hogy a két csepp egyszerre csapódik be. 7. a) 7, 0 9 t = 7, 0 kg b) 8 7, 0 kg = 9,78 0 kg =,978 0 kg Ò = 8
29 . Algebrai kifejezések. Algebrai kifejezés. a) x+ b) x c) x µ d) x e) µx f) x. y + x a felsoroltak közül nincs megfelelõ szakasz x + y a) a megfelelõ szakasz x + y c) a megfelelõ szakasz x + y b) a megfelelõ szakasz x + y d) a megfelelõ szakasz x + y e) a megfelelõ szakasz. A) =. Két testvér életkoráról a következõket ismerjük: Csaba a éves, õ b évvel idõsebb Józsinál. Józsi éveinek száma c. B) =. Egy felnõtt szarvasmarha naponta b mennyiségû szénát fogyaszt, ami a-szor több annál a c szénamennyiségnél, amivel egy borjú jóllakik. C) =. a megtakarított pénzem van. Ha a következõ hónapban félreteszek b Ft-ot, meg tudom vásárolni azt a könyvet, ami c Ft-ba kerül. D) =. Az iskolában c számú évfolyamon b osztály van évfolyamonként, így az iskola osztályainak száma a. E) =. c számú gyereket kell a fõs csoportokba osztani a versenyen. Így b számú csapat sorakozik fel a rajtnál.. a) 8 s + b b) b s + 8. k µ 0, k Ft-ba kerül a kabát. 7. f k 0 8. a) x m b) x m µ y ü k a 9. dl üdítõ jut egy pohárba. b 0. A szárak hossza: k - a.. a) Kati most háromszor annyi idõs, mint amennyi Matyi volt b évvel ezelõtt. Hány évesek most? b) Kálmán most kétszer annyi idõs, mint amennyi d évvel ezelõtt Peti volt. Most hány évesek?. a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a b = b a (a b) c = a (b c) 9
30 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény:. Behelyettesítés. a) a = helyettesítés esetén A = 8 B = C = µ D = µ8 E = µ F = a = µ helyettesítés esetén A = B = µ C = D = µ E = F = µ a =, helyettesítés esetén A =, B = µ, C =, D = µ, E =, F = µ, a = helyettesítés esetén A = B = C = D = - a - 9 = - - = - - =- E = F = -. b) b = helyettesítés esetén A = B = C = D = E = F = b = µ helyettesítés esetén A = µ B = C = µ D = µ E = µ F = µ b = helyettesítés esetén A = 8 B = C = D = E = 8 F = b = = = b = helyettesítés esetén 9 A = B = C = D = E = F = x xµ µ x x µ xµ 9 0
31 y x. a) x+ y =, x + y = x µ y = 0, µ = µ7, x y = 7 b) a µb + = = - - = - 7 b µ a µ = µa + b + = µb µaµ = 0. Az a b µ algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ. Az a b µ algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke 0 µ, = - - = Az a b µ algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ,. 9 ( -) - = - - = - Az a + b µ algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ. Az a + b µ algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke 0,. Az a + b µ algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ, ( - ) - = - = - = - Az aµb algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke Az a µ b algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke µ0,. Ê - Ë ˆ = = - 0
32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Az a µ b algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke,. a) 0 b) 7 c) 97 d) 7. A víz 00 C-on forr, ez Fahrenheit-fok, és 0 C-on fagy meg, ez Fahrenheit-fok = + = = 8. a) b) 9. a + ; a 0. µ x; (µx) ; x;. a) b) c) µ d) 0 e) 9 f) g). a ÁÑ b = (a + b) ÁÑ 0, =, ÁÑ (µ,) = µ (µ) ÁÑ = µ. Háromféle lehet µ, 0,. 8 ilyen szám képezhetõ. Összegük. Rejtvény: A 7 házban összesen 9 macska megevett egeret. egér megevett 0 kalászt, melyekben összesen volt 807 szem. Ezek a számok a 7 hatványai = 9 07 x
33 . Mûveleti sorrend. a) 0 Ê x ˆ Ë b). Ê00 Ë x ˆ + - x +. a) - b),8 c).. C) és E) Ê p ˆ - r. a) + b) (q µ ) + 7 c) d) Ë 9 7. a) az a szám kétszeresébõl levonunk -et b) a b-nél -mal nagyobb számot elosztjuk kettõvel c) a c-nél -mal nagyobb számot szorozzuk -tel d) a d szám felét levonjuk az -bõl e) az e számot kivonjuk az -bõl, majd a különbséget kivonjuk a -bõl 8. n db 0 forintos 0 n forint, és ugyanennyit kell fizetni 0 darab n forintos áruért. 9. a) A= C és B = F b) A = C és B = E és D = F c) A = D és B = E és C = F s + s 7 0. a) (x + ) b) x ( + ) c) (x + ) d) + (x )
34 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény: a + a + a µaµa= a (a µa) a+ a = a a a a a a= a. Egytagú és többtagú algebrai kifejezések. a) x+ y + z = 0, x y z = µ b) x + y + z = = + = = = 0 x y z = 0 c) x + y + z = µ x y z =. a) a + bc kéttagú algebrai kifejezés b) (a + ) (b + ) egytagú algebrai kifejezés. a) b) 7 c) d). Egytagú algebrai kifejezések: B) C) D) E) G). a) ( + x) ( + y); x ( + y); (x + ) y ( + x) y ( + x + ) y (x + + y) xy b) x + y + x + + y ( + x) + y x + y + xy. a) többtagú: 0k + p b) többtagú: 7y µ p m c) egytagú: d) egytagú: 0u a) p + q b) p µ q c) (c µ ) 7 d) (p + q) e) p q f) p - q g) p h) p q i),p + (µ)q 8. a) b) µ c) d) e) f) µ g) h) 7
35 9. a) xy; xy; µ x y; (7 µ )xy; yx b) µxz; xz; 0zx; xz; µ7zx c) x; µ7x; µ x; 9x; 8x c) xyz; x yz; x (µ7)yz; zyx; µzyx 0. A) ab B) ab C) b a D) b a E) ba F) ab G) ab H) a b. a) n + t b) k + t + a c) x + y +z. a) ; ; ; ; 9; 8 b) ; ; ; ; ; 0 c) ; ; ; ; ; 8; ; ; d) ; ; Rejtvény: Ilyen tulajdonságú a következõ egyenlet: + = + + = +. Összevonás egynemû kifejezések. a) 0 80 b) 80 c) 80 d) 0 e) f) a) 998 b) 999 c) 00 d) (µ007). a) b) 989 c) 0 d). n (7 + ) = 7 n + n =7 n. g + t + g + m + g + m + t = 7g + m + t. a) a b) b c) c d) µd 7. a) x b) y c) z d) d 0 8. A) B) C) E) 9. a) x + x + y + y = x + 8y b) x + x + µ 7 = x µ c) xy + xy µ x µ y = xy µ x µ y d) 7x µ x + x + x µ = x +7x µ 0. C) a kakukktojás. a) a µ + a + = a + b) b µ µ b + = b + c 7 c) - + c + = c - d) 0,8d µ 0,7 +,d µ 0, = d µ. A) = D) B) = E) C) = F). Ez az 998, hiszen valamely szám duplájából levonva a számot visszakapom az eredetit.
36 . 7 + = + = 7 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE A hónap. hetéig elköltötte a novemberi zsebpénzének a 8 a zsebpénzének része. 8 = > = 8 8 Ezek szerint marad elegendõ pénze, hogy megvegye a könyvet.. A gondolt szám tízszerese lesz egyenlõ 80-nal. Zsolti a 8-ra gondolt. részét. Ezután megmaradt. A kapott szám: 0c + c =c, ami biztosan osztható ; ; ; 8; ; c; c; c; 8c; c. 7. a) x +( µ x) = µ x b) µy + (µy µ ) = µy µ c) (z + ) µ z = z + d) ( µ x) + x = + x e) y µ (y + ) = µ f) z µ ( µ z) = z µ g) x + µ (µ + x) = x + h) µ (µx µ ) + x = + x i) µ(y µ ) + y µ = y + j) + (z µ ) µ ( µ z)= µ + z Rejtvény:. Egytagú algebrai kifejezések szorzása, osztása. a) (, ) =9 b) q(,p) =,p q c) q(r p) = q r p. a) Négyféle téglalapot kaphatunk. b) A területe mindegyik téglalapnak azonos. c) Az a és b oldalú téglalap területe T = ab
37 . a) A terület a négyszeresére növekszik. b) A terület a hatszorosára növekszik. c) A terület változatlan marad. d) Hatod részére csökken a terület.. a) x b) 7 x c) µxy d) x. a) 0ab b) 8ab c) 9ab d),ab. a) 7. b) (x y) = xy; ( x) y = xy; ( x) ( y) = 9xy 8. a) x b) µ0x c) x d) x 0 9. a) b a b) µ c) µc d) µd 0. a) b) µ c) µb d) µc e) ab a f). a) Közös tényezõ:. b) Közös tényezõ:. c) Közös tényezõik: x és az. d) Közös tényezõik: és az x.. a) x b) µ8y c) 0v d) z. a) -mal b) 0-zel c) -gyel d) --vel 7
38 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) A térfogata a nyolcszorosára növekszik. b) A térfogata a nyolcadrészére csökken. c) A térfogata a kétszeresére növekszik. d) A térfogata a felére csökken.. a) b) c) x ( y) 8 x y 8 8 y = = = xy (-y) ( x) ( -) y x = = xy 0, x ( x) x x x x = = = x. A) = B); D) = E) Rejtvény: szorosára változtatjuk vagy részére csökkentjük. 7. Kéttagú algebrai kifejezés szorzása egytagúval. Kétféleképpen számolhatunk:. módszer: Egy családi csomagban + joghurt van összecsomagolva, így összesen ( + ) db-ot vásárolunk.. módszer: Összesen db banános és db epres joghurtot vásárolunk.. a) (8x + 8y) 0 takarmányt kell rendelni. b) (zx + zy) 0 = z(x + y) 0 = 0zx + 0zy takarmányt kell rendelni.. A z zacskóban zn narancsos, zm málnás és zc citromos ízû gumicukor van. Összesen: zn + zm + zc = z (n + m + c) cukor van a zacskókban.. Pontosan annyi víz fér még bele, amennyi abba az akváriumba tölthetõ, melynek alaplapja egy a és b oldalhosszúságú téglalap, és magassága m µ h cm.. a) a (b + c) Kis és nagy alakú füzetet vásárol Dorka az írószer boltban. Mindkét fajta füzetbõl a darabra van szüksége az iskolában. A nagy füzetek b Ft-ba, a kis füzetek c Ft-ba kerülnek. Hány forintot fizet? b) a (b µ c) Jázmin b darab könyvet kölcsönzött ki a könyvtárból. Ma visszavitte azokat, de kiderült, hogy csak c könyv kölcsönzési határideje nem járt le, és a többi után késedelmi díjat kell fizetnie, könyvenként a Ft-ot. Milyen összegû büntetést fog fizetni? 8
39 . a) a (b µ c) b) (µ) (x + ) = µx + (µ) = µx µ c) (y µ ) = 0y µ d) x ( µ x) = x µ x e) (µy) (y µ ) = µy µ(µy) = µy + y f) x (x µ y) = x µ xy g) y(xy + y) = xy + 8y h) xy(x + y ) = x y xy x + x - 8 x 7. a) = x + b) = + (-) x + x - - x c) - = - x - = - x + Ê - ˆ d) - = Ë Így is lehet: x + Ê x ˆ c) - =- + Ë =- x - =- x + Ê - ˆ Ë x - Ê - ˆ d) - =- Ë =- Ê Ë Á - ˆ x x =- + x = + (-x) 8. a) ( + x) = + x = x + b) (y + ) 7 = 7y + 7 = 7 + y 7 c) ( + b) a= a + ba = ab + a 9. T = (a + 8) b = ab + 8b T = ( + x) y = y + xy T = (b + c) = b + bc Rejtvény: A szöveg utasításait követve a következõ algebrai kifejezéshez jutunk. Jelölje a születési dátumot 9xy. v. z. Ahol xy jelöli azt a kétjegyû számot, ami a születési év két utolsó számjegyébõl áll. Pl.: Ha 99. október -én születtél, akkor a végeredmény lesz. Vonjuk le ebbõl a 00-t. 09-ot kapunk. Válasszuk el ponttal egymástól a számjegyeket kettesével a következõ módon: Ez a születési dátumod angolul vagy németül, hiszen ezeken a nyelveken fordított sorrendben írjuk a napok, hónapok és évek számát. 9
40 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. Kiemelés. A) =. B) =. C) =. D)-nek nincs párja.. a) 8x + = x + = (x + ) b) x µ 0 = x µ = (x µ ) c) x + y = 7 x + 7 y = 7 (x + y) d) 9x + = x + = (x + ) e) µ x = µ x = ( µ x) f) µx µ 9 = µx µ = µ (x + ) g) h). a) A kakukktojás az x µ. A többi összeget kiemeléssel szorzattá alakítva mindegyikben közös tényezõ lesz a x µ. b) A kakukktojás a y + 0x. A többi összeget kiemeléssel szorzattá alakítva mindegyikben közös tényezõ lesz a x + y.. a) b) c) d) x + = x + = ( x + ) x - = x - = ( x - ) a + = 8b + ( b + ) ( b + ) b + = = = c - ( c - ) ( c - ) c - = = = d + d +. a) m + n alakban írható fel a két szám összege. m + n = m + n = (m + n) Az összeg egy természetes szám háromszorosa, tehát osztható -mal. b) m + n alakban írható fel a két szám összege. m + n = m + 7n = (m + 7n) Az összeg egy természetes szám hatszorosa, tehát osztható -tal. c) m-8n = m- n = (m-n) A különbség egy természetes szám hatszorosa, tehát osztható -tal. d) 0m µ n = m µ n = (m µ n) A különbség egy természetes szám tizenötszöröse, tehát osztható -tel. 0 ( a + ) ( a + ) = = ( a + ) ( d + ) ( d + ) d + = = = ( d + ) ( d + ) d +
41 . a) a + b = (a + b) b) ab + bc + ac = (ab + bc + ac) 7. A feladat utasításait követve a következõ algebrai kifejezés írja le, mi történik a gondolt számmal. Jelöje x a gondolt számot. x + + x - = x Ha a tört számlálójában elvégezzük az összevonást, egyszerûsíthetünk -mal. x + - = ( x + ) - = x + - = Eredményül azt a számot kaptuk, amire Kristóf gondolt. x 8. ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) a + b + c ( a + b + c) ( a + b+ c) = = = = a + b + c a + b + c a + b + c a + b+ c A 8. feladat alapján könnyen belátható, hogy a ; és összege a három keresett szám összegének kétszeresével egyenlõ. (a + b) + (b + c) + (c + a) = a + b + c = (a + b + c) A három szám összege 9. Rejtvény: Jelölje a a bal kezedben lévõ érmék számát, akkor a maradék a jobb kezedben 9 µ a darab. A kijelölt szorzásokat elvégezve az alábbi algebrai kifejezés írja le az érmék számát. a + (9 µ a) = a + µ a = µ a Arra következtethetünk, hogy az eredmény éppen az eredetileg a bal kezedben lévõ érmék számával kevesebb -nél, vagyis -bõl az eredményt levonva kapjuk, hogy a bal kezedben mennyi érmét tartasz. 9. Vegyes feladatok. a) x + y b) x y c) x µ y d) e) (x µ y) f) + x y. c - e tábla marad a második nap után.. nap. nap x + y c µ e marad c µ e marad. A d diák menetjegye oda-vissza d 0. t Ft-ba kerül 0%-os kedvezménnyel. A kedvezményes jegyre jogosult f felnõtt menetjegye oda-vissza f 0. t Ft-ba kerül. Az n fõs társaságból n µ f µ d fõ teljes árú jeggyel utazik, ezen jegyek összesen
42 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE (n µ f µ d) t Ft-ba kerülnek. (d 0, t + f 0, t + (n µ f µ d) t + n + h) Ft-ot fizetnek összesen.. a) 0, b) 0 c) 8, d),. a) + (x x + ) = ( + x x) + = + (x x) + ; ( + x) x + ; + x (x + ); b) ( y) µ y + = ( y µ y) + ; (y µ y + ); (y µ y) + ; y µ (y + ); c) ( z + z) + = z + ( z) + = ( z) + z + = z + ( z + ) (z + ) z + ; (z + z) + ; (z + z + ); z + (z + ). A dobott számok összegének lehetséges legkisebb értéke: + = 7 A dobott számok összegének lehetséges legnagyobb értéke: + = 8 7. È Ê Î Í Ë ˆ - È - Ê Î Í Ë - ˆ - = È Ê 0 Ë - ˆ Î Í ÈÊ 8 Î ÍË 0-0ˆ = Ê 8 ˆ = - - Ë - Ê ˆ Ë = 0 = megoldás: [a µ(b µ c)] µ [(a µb) µ c] = [a µb + c] µ [a µb µ c] = a µb + c µa+ b + c = = c = = 8. K = Ê ˆ a + a Ë = = 8 a = a = a 9. a) xµ + x + x + = x b) y µ + y µ + y + y + + y + = y 0. a) K= 8a T = a b) K = 0a T = a c) K = b + a + c T = b (b + a) + a c. a) V= a b) V = a + a = a c) V= b (b + a) a+ a c = a b + a b + a c. a) µb, mert a három másik szorzat csak együtthatójában különbözik egymástól. b) ab, mert a másik négy kifejezés többtagú algebrai kifejezés.
43 c) xy, mert a másik négy kifejezés többtagú algebrai kifejezés. d) xy, mert a többi kifejezés együtthatója. e) (8z), mert a többi kifejezésben a z együtthatója.. a) b) - 0, - +. a) a + a + a(a + ) b) b b b. b ( + b). a) a + + (a µ) = b) b µ (b + ) + = = a + + a µ = a - = b µ b µ + = b + c) c + µ (c µ ) = c + µ c + = c + d + ( d + ) d) d + = d + = d + d + = d + e e - e + ( e - ) e + e - e - e) + = = = f + f - f + - ( f - ) f + - f + f) - = = = =. a) K= ( + p) + 8 vagy K = (8 + p) + T = 8 ( + p) vagy T = (8 + p) b) K = (8 µ q) + vagy K = ( µ q) + 8 T = (8 µ q) vagy T = 8 ( µ q) c) K = p + 8p T = 8p p = 8p d) K = p + 8q vagy K = 8p + q T = 8p q = p 8q = 8p q 7. a) -szeresére b) -szeresére c) -szeresére d) -szorosára 8. (s t) v = (v s) t szótagból áll a vers. Lásd József Attila Kedves Jocó! címû versét. 9. B); a C); az F); a G); a H); a J); és az I) 0. B); a D); az E); az F); a G); az I) 0. a) hamis b) igaz c) hamis f. ceruza Ft, ezért g Ft-ba g f gc : = db ceruza kerül. c c f. A három szorzótényezõt, amiket te választasz meg, rendre összeszorzom, majd a két osztóval elosztva kapok egy eredményt, jelölje ezt a szám Az elsõ öt mûvelet, amit a gondolt számmal elvégzel, helyettesíthetõ az a számmal való szorzással. Ha ezután a hatodik lépésben elosztod a gondolt számmal, újra visszakapod az elsõ öt mûvelet eredményét, azaz a-t. Miután hozzáadod a gondolt számot, könnyen következtethetek a kapott érték alapján az eredetileg gondolt számra, csak le kell vonnom az eredménybõl az a-t.. a) (0 + 7) t = 7t km-t tesznek meg együtt. Ê ˆ b) + Ë részét ássák fel együtt. 9 t
44 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Egyenletek, egyenlotlenségek. Hogyan oldjunk meg feladatokat!. Zs + D = és Zs D Zs = D + D + + D = Zs D + D = D =, kg. Zs =, + =, kg újságot gyûjtött.. nap = óra óra µ ór 0 perc = 8 óra 0 perc ennek a fele lesz a nappal idejének hossza, vagyis 9 óra 0 perc. Mivel a nap 7 óra perckor kell, akkor 7 óra perc + 9 óra 0 perc = óra perckor nyugszik.. menetjegy ára csak odaútra: m helyjegy ára: h m + h = 800 m + h = 00 tudjuk, hogy m 700 h vagyis m = h Tehát m + h = 00 így is írható h h = 00 h + h = 700 h = 0 Ft m = 00 Ft Helyjegy nélküli vonaton oda-vissza 00 Ft-ért utaznánk. D + V. = D = V + 0 D + V = 88 V V = 88 V + V = 8 V = 9 D = 9 Vác 9; Debrecen 9 pontot gyûjtött.. Kristóf: ( + ) = 7 Kristóf 7 éves.. Anna Zsuzsi x db x db x + x = 8 x = Zsuzsinak db, Annának db ötöse van.
45 7. Ha Csaba x percig volt pályán, akkor Bálint x percig. 90 = 0 perc. Bálint 0 percig; Csaba 0 percig játszott. 0. percben történt a csere. 8. Áfonya Mogyoró üveg: x Ft x Ft vásárolt x x x + 9x = 00 x = 0 üveg áfonya lekvár 0 Ft, üveg mogyorókrém 90 Ft. 9. év = nap Hátralévõ napok x 00 földi nap telt el. Eltelt napok µ x x = µ x x = 0. Arany Ezüst Bronz X x x + x + 0 x + x + x + x + 0 = 80 x = Arany: 90 fõ Ezüst: fõ Bronz: 7 fõ. 7x µ 8 = 8 x = A gondolt szám a... születésnapján: x +. születésnapján: x + +,. születésnapján: x + +, +, µ = 7 x = 0 A. születésnapján az elõzõ évi 0 cm-nél cm-rel volt magasabb, azaz cm.. Összes csirke Róka Influenza Túlélte 0% = rész 0 db Influenzában elpusztult: 0 = 0 db Róka elvitt: 0 db a) 0 db b) 80 db c) 0 db d) 00 db
46 . Bevétel SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE CD eladás Internet Turné millió dollár Internetes vásárlás: = dollar CD eladás: = dollar Bevétel: = dollar A zenekar bevétele millió dollár volt..,x = µ 000 x = Nagy úr Ft-ot keres. x 0. > + x = + x = x = Júniusban átlagosan mm csapadék hullott. 7. Én most: éves 0 év múlva: = 8 éves voltam, amikor az apám éves korkülönbség: év Az apa most: + = 70 éves 0 év múlva az apa 80 éves. x 8. > + + x = 0 A színésznõ most 0 éves x = 8 x = 0 Egy margarin tömege 0 dkg. 0. B = K B = K N + K = K + B N = K + B a) banán kiwit ér. b) Ha N = K + B, de B = K, akkor N = K N = K tehát egy kiwi fél narancsot ér.
47 Rejtvény:. Hogyan születnek az egyenletek?. Gábor: x µ = 0 x = x = 8 Balázs: (x + ) = 8 x + = 8 x = Eszter: (x + 8) µ = (x + 8) = 8 x + 8 = 90 x = 7. a) x = / b) x µ = 8 /+ x = x = 7 c) 0,x = 9 / 0, d) x + 7 = µ7 /µ7 x = 8 x = µ e) 9x + = /- f) 8x µ = 99 /+ 9x = 99 /:9 8x = 0 / 8 x = x = g) x + 7 = /µ7 h) 8 = x + /µ x = µ / = x / x = µ 7 = x i), +,x = 9 /µ, j) (x + ) = 7 /,x =, /, x + = 9 /µ x = x = / x = 8 k) (x µ ) + = /µ l) (x µ 7) - = 7 /+ (x µ ) = / (x µ 7) = 0 / x µ = /+ x µ 7 = /+7 x = x = / x = 7
48 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE m) x + x - µ = µ /+ n) µ = /+ x + x - = / = / x + = 9 /µ x µ = /+ x = 7 x = / x = 7 x - o) + = 0 /µ x - = 8 / 7x µ = /+ 7x = 8 / 7 x =. X µ 8 = 87 x = 8 A versenyzõ tömege 8 kg.. a) x + x + = /µ b) x µ µ x = 7 /+ x = / x = 7 / x = x = c) x + µ x x = d) x µ x µ + x + 8 = 9 x + = /µ x + = 9 /µ x = / x = 88 / x = x =. x + x = 0 x =, Gólyalábak hossza:, cm Karcsi magassága: 7, cm x = x x = km hosszú a túra. 7. Vidor x Tudor x Szende x Szundi x x + x + x + x + x + x + = Hapci x x = Kuka x Morgó Szundi db palacsintát evett. 8
49 8. Citrom Vanília x µ x x µ + x = 07 x = 8 Vanília: 8 gombóc. Citrom: gombóc. 9. Napóleon Wellington Blücher x fõ x fõ 000 fõ x x = x = Napóleon serege: fõ. Wellington serege: fõ. 0. x µ = 7 x = 8 Katinka oldotta meg helyesen az egyenletet.. a) µ ( + x) = b) [ + (x µ )] µ 0 = µ ( + x) = µ [ + (x µ )] = + x = + (x µ ) = x = µ (x µ ) = x = x + c) = + d) x = 8 8 x + = = x + x - 7 = x - 7 = = x x µ 7 = x = 8 x =. a) Pl.: Egy szám -szereséhez -t adtam, így -ot kaptam. Melyik ez a szám? x + = x = 7 b) Gondoltam egy számot, elvettem belõle -at, vettem a különbség -odát és hozzáadtam -et, így -ot kaptam. Melyik számra gondoltam? x - + = x = c) Egy számhoz hozzáadtam a -szeresét, -szorosát, -szeresét, majd kivontam az eredménybõl -t, így 8-at kaptam. Melyik ez a szám? x + x + x + x µ = 8 x = 9
50 Rejtvény: pl.: x µ µ x µ x = 0. Mérlegelv I. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE cukorka + dkg = 7 dkg /µ dkg cukorka = 7 dkg z. cukorka = 8 dkg. a) x= b) x = 9 c) x = d) x = e) x = µ, f) x = µ g) x = 0 h) x = 9 i) x = µ7 j) Nincs megoldás k) x = 00. a) x+ = /µ b) x + 80 = 007 /µ80 x = 9 x = 77 c) x + = /µ d) + x = /µ e) + x = 0 /µ x = µ x = x = µ f) 7 = x + /µ g) x +, =, /µ, h) 0, + x =,0 /µ0, = x x = 0,8 x = 0,8. a) xµ = 9 /+ b) x µ = 9 /+ c) x µ 8 = µ /+8 x = x = x = d) µ + x = /+ e) µ + x = 0 /+ f) 9 = x µ /+ x = 9 x = = x g) x µ, = µ /+, h) µ, + x = 0, /+, x =, x =,8. a) x = / b) 8x = 9 / 8 c) 8x = / 8 x = x = x = d) 000x = / 000 e) x = 0 / f) x = µ x = 80 x = 0 x = µ g) µx = 7 / µ h) µx = µ8 / µ x = µ8 x = + x x x x. a) = 8 / b) = / 8 c) = d) = 8 9 x = x = x = 9 x = e) x = 8 / f) x = / g) x = µ9 / 7 0 x = 8 x = fi x = µ9 7 7 fi x = - 0
51 h) µ x = / µ x = Ê ˆ - x = µ Ë fi. a) x + = /µ b) x + 7 = /µ7 c) + x = /µ x = / x = / x = 0 / x = x = x = d) x µ = /+ e) x µ 0 = 0 /+0 x = / x = 0 / x = x = f) 9 µ x = 7 /µ9 g) = 0x µ /+ µx = 8 / (µ) 0 = 0x / 0 x = µ = x h) 9 = + x /µ i) 8 = µ x /µ = x / = µx / (µ) 9 = x µ = x x j) + = /µ k) x µ = /+ x = / x = / x = x = fi 8 l) µ = x = 0 /+ x = x / = x 0 = x 7. a) x = x + 8 /µx b) x = x + /µx c) x + 7 = 0x /µx x = 8 x = / 7 = 9x / 9 x = = x d) x = x + /µx e) x = x µ /µx f) + x = 7x /µx x = / x = µ / = x / x = 7 x = µ = x g) x = 9 - x /+x h) x = - x /+x i) µ x = x /+x x = 9 / x = / = x / x = x = 9 = x 8. a) x + = x + 7 /µx b) x + = x + 9 /µx c) x + 8 = x + /µx x + = 7 /µ x + = 9 /µ x + 8 = /µ8 x = / x = / x = x = x =
52 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE d) x µ = x + /µx e) x + = x µ 8 /µx f) x µ = x µ /µx x µ = /+ = x µ 8 /+8 µ = x µ /+ x = / 9 = x / 8 = x / x = = x = x g) x µ = µ x /+x h) x + = µ x /+x x µ = /+ x + = /µ x = / x = 0 / x = x = i) 8 µ x = + x /+x 8 = + 0x /µ = 0x / 0 = x È = ÎÍ 0 = x 9. házszámunk: x x < 8x 8 x + 8 = 8x 8 = xy / = x 0. gondolt szám: x x > x 9 x µ 9 = x µ9 = x x = µ /µx. x + 0 = y x = 8 7x µ = y Soklábú Állat lábai száma: 8 db Még Több Lábú lábai száma: 0 db Rejtvény: a + b x + y = = a + b x =0 = 0. Mérlegelv II. Különbség: éves a kiállított játékos. a) x µ + x + = b) + 9x µ 0 + x = 0 9x µ = x µ = 0 9x = 7 x = x = =
53 c) x + + x + x µ = x + d) x µ µ x + 9 = 7 µ x 0x µ = x + 7 µ x = 7 µ x /µ7 8x µ = µx = µx /+x 8x = x = 0 / x = x = 0 e) x µ µ x = x + + x µ µ µ x = x µ 9 /+x µ = 7x µ 9 /+9 = 7x = x f) x µ x µ 9 = x + 8 µ x + 0x µ 7 = µx + /+x x µ 7 = /+7 x = / x =. µ x = 8 µ x /+x = 8 µ x /µ8 µ = µx / (µ), = x. 9x µ = 8 + x /µx x µ = 8 /+ x = / x =. Aladár Elemér Jonatán x x x + x x + x + x + x =,8 x =, kg Egy aranyrúd tömege, kg.. Széchenyi Batthyány x + x x + + x = 99 x = Batthyány Lajos: éves volt. Széchenyi István: 7 éves volt.. n oldalas legyen a novella. n + n + 8 = 0 n = n = oldalas
54 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 7. a) x x + = b) x - x = x + x = / x - x = / x = 90 / x µ x = 0 x = 8 x = 0 x = 7. c) x x x x x + + = 8 d) + = - 0x x x x x + + = 8 / 0 + = /+ 9x = 70 /:9 x x / - x + = 8. x = 0 = x / x = x x =, kcal Egy zsemle energiatartalma, kcal. 9. x x = x / x + x + 0 = x 7x + 0 = x /µ7x 0 = x x = 8 a házszám. x = 8,8 8,8 nem lehet házszám, tehát nincs megoldás. 0. a) (x + ) µ x = b) x + ( µ x) = c) ( µ x) + = x µ µ x = /µ x + µ x = 0 µ x = x µ /+x µx = / (µ) µ x = /µ 0 = x µ /+ x = µ µx = / (µ) = x / = x d) µ (x + ) = x µ e) 000 µ (x + ) = 000 /µ000 µ x µ = x µ µ(x + ) = µ000 / (µ) µ x = x µ /+x x + = 000 /µ = x µ /+ x = 998 = x / = x f) 8x µ (x µ ) = µ (x µ ) /+(x µ ) 8x = / 8 x =. Aggtelek Hortobágy Veszprém Nem szavazott x x x
55 x + x + x + = x x = 80 fõ A hetedik évfolyam 80 fõs.. Brigi Erika Pisti Zoli kg 7 kg 9 kg kg kg... x Ft x 7x 9x (x µ ) x + 7x + 9x + (x µ ) = 8 x = 7 Ft kg dinnye 7 Ft-ba került.. a) (x + ) + x = b) x + (x µ ) = 0 c) (x µ ) = (x + ) x + + x = x + x µ = 0 x µ = x + /µx x + = x = x µ = /+ x = x = x = 0 x = = d) 9( µ x) = (x µ ) e) (x µ ) = (x µ ) 9 µ 9x = x µ 8 /+9x x µ = x µ /µ 9 = x µ 8 /+8 x µ = µ /+ 7 = x / x = 8 / 7 = x x = f) ( µ x) = (x µ ) µ 0x = x µ /+0x = x µ /+ 0 = x / 0 = x x =. a) (x + ) µ 8 = (x µ ) - x b) ( µ x) + = x µ x + µ 8 = x µ µ x µ x + = x µ x µ = x µ /µx 9 µ x = x µ /+x µ = x µ /+ 9 = 7x µ /+ 9 = x = 7x = x c) µ (x µ ) = (x µ ) µ x d) (x µ ) µ (x µ ) = x + 9 µ x + = xµ µ x x µ 9 µ x + 8 = x + 9 µ x = x µ /+x x µ = x + 9 /µx = 8x µ /+ x µ = 9 /+ 8 = 8x /:8 x = 0 = x
56 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Áron Gergõ x Megmaradt pénz - 00 < x + 00 Ê x ˆ - 00 x 00 Ë = + x = 00 Áron és Gergõ 00 Ft-ot kaptak külön-külön.. Brokkoli Gomba x µ x x µ, = ( µ x) Brokkoli: x = 0, kg Gomba:, kg 7. Zsuzsi Levente Sanyi x x y ha: x µ 00 < y (x µ 00) = y x + x + (x µ 00) = 00 x + x µ 00 = 00 x = 000 x = 00 Levente: 00 Ft Zsuzsi 00 Ft Sanyi 800 Ft 8. Anglia Új-Zéland Olaszország Skócia x x + < x = 09 = x Új-Zéland 09 pontot szerzett. Rejtvény: Tanár Apa Most éves x éves y évvel ezelõtt µ y éves x µ y éves x = 8 ( µ y) x x µ y = x = Az apa most éves. x
57 . Amit nem szabad elfelejteni: az egyenlet alaphalmaza. a) x + x + 7 x + = b) = c) =- x + = x + 7 = x µ = µ8 x = 0 Î N x = µ Î N x = µ Î N d) x - x - - x = 8 e) = f) =-7 x + = x + µ = 0 µ x = µ x = x = = x x = ÎN x = ÎN = x ÎN. a) x - x x + = /µ b) - = /+ c) + = 8 x - x x =- / = = x µ = µ /+ x + 7 = µ x = x = µ ÎQ x = 7 / µ = x x = 7 ÎQ - = x ÎQ d) x - x - - x + = x / e) + x = - / f) - x = / x µ + 8 = x x µ + x = µ /+ µ x µ x = 0 x + = x /µ x = µ / µ 7x = 0 = x x = µ ÎQ µ 0 = 7x = x ÏQ µ = 7x - = x ÏQ 7. x ÏQ; x > a) x - x x + x + + = / b) + = / (x µ ) + x = x + + (x + ) = 0 9x µ + x = x + + x + = 0 x = 8 x + 8 = 0 8 x = ÏQ x > x = x = x ÏQ x > 7
58 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) x - x - x + 7 x - + = x / 0 d) - = x - 7 / (x µ ) + (x µ ) = 0x 7(x + 7) µ (x µ )=x µ 0x µ + x µ = 0x 7x + 9 µ x + = x µ x µ 7 = 0x /µx x + = x µ /µx µ7 = x / = x µ /+ - 7 = x ÏQ = x / nem megoldás = x ÏQ x >. Szoprán Alt Mezzo x x x + x + = x x =, nem megoldás, mivel x-szel a gyerekek számát jelöltük és ez csak pozitív egész szám lehet.. Öcsi Hugi µ x x x ( µ x) < + x ( µ x) + = x = nem megoldás, mivel egy embernek nem lehet db foga.. Belgium Magyarország Észtország 0 + x + x 0 + x x 0 + x + x - = 900 x = 0 00 dollár Magyarország egy fõre jutó GDP-je 0 00 dollár volt. 7. Diák Felnõtt délelõtt: x + 70 x Þ x x = 0 x = 0 du. y + 70 y Þ y y = y = Itt nem kapok tizedestörtet! y = 7, 8. Marci és a cukorgyár Háry Péter Békaember x + x < x + x = x =
59 Marci és a cukorgyár címû film bevétele,8 millió dollár, a Háry Péter címû film bevétele 9 millió dollár volt. Ez nem lehet, mivel x-szel emberek számát jelöltük és ez nem lehet tört. 9. a) lábú lábú 8 µ x x (8 µ x) + x = x = db szék Nincs megoldás, mert minden széken ült valaki. b) (8 µ x) + x = 7 x = µ9 nem lehetséges, mivel darabszám nem lehet negatív. Rejtvény: + 9 (x µ ) + x = A bal oldali összeg minden tagja -mal osztható, így a bal oldali összeg is osztható - mal, de a nem osztható -mal. Az egész számok halmazán nem oldható meg.. Mikor érdemes egyenleteket használni?. A családban lány- és fiúgyermek van.. x µ 700 = 700 µ x x = 0 db 0 db juha van a juhásznak.. Apa Fiú x x x µ > x µ x µ = (x µ ) x = 8 Az apa éves, a fiú 8 éves.. x + 07, x + 8= x 7 x = 0 0-an jelentek meg az ügyeleten, ebbõl 0-at benntartottak kivizsgáláson, hazaengedtek 9-t.. 8. évf. db 7. évf.. évf.. évf. tanár db db 8 db 80 az iskolaújság száma. 9
60 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. almák száma: x db vette maradt vevõ: x x. vevõ: x = x x - x = x. vevõ: x = x x x x - = 8 x = 8 /: x = 8 = = 0 db alma. 7. Peti Kati Apa Anya x - x - + x x - x = x x = db. Anya db palacsintát sütött. 8. Az utolsó kiesett lap oldalszáma az, így 7 lap esett ki a könyvbõl. Az utolsó kiesett lap oldalszáma az is lehet, így 8 lap esett ki a könyvbõl. Rejtvény: A prímtényezõs felbontása =. A lehetséges háromtényezõs szorzatok és a hozzá tartozó összegek: + + = = + + = = + + = = + + = + + = 0 A szorzatok közül esetben egyforma az összeg -nál és a 9-nél is. Ezért a matematikus Ágnes még az összegre vonatkozó információból sem tudta kitalálni, hogy hány évesek a gyerekek, ami azt jelenti, hogy csak ez a eset lehetséges. Miután megtudta, hogy van legidõsebb gyerek, ezért csak a ; ; 9 esete jó megoldás. A gyerekek ; ; 9 évesek. 0
61 7. Egyenlõtlenségek. a) x³ b) x ³ c) x µ d) x 8 e) x > µ. a) x> µ b) x < c) x ³ d) x e) x µ f) x µ 7 g) x < h) x < 0 i) x 8. a) x, Megoldás: 0; ; ;, mivel az alaphalmaz a természetes számok halmaza. b) x Megoldás: 0; c) x < Megoldás: 0;; ; ; d) x > µ0 Megoldás: 0; ; ; ; e) x Megoldás: 0; ; f) x > µ Megoldás: 0; ; ; ; g) Nincs megoldás
62 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 0 h) x > 0 Megoldás: ; ; ; i) x < Megoldás: 0; ; ;. x < 8 x < 7 7-nél kevesebb gólt dobtak.. µ x = x = x Veronikának maximum képeslapja lehet.. x + > 70 x >, Legalább róka járhatott az udvarban. 7.,x µ < x < 9, ºC Ezen a napon az átlaghõmérséklet 9, ºC-nál kevesebb lehet. 8. x + + x + x x 7 kg x 7 kg A legkisebb dinnye tömege kg vagy annál több, de maximum 7 kg lehetett. 9. 8x > (x + 0) x > A gondolt szám -nál nagyobb. Rejtvény: Egy szám -szereséhez -et adva legalább µ-t, de legfeljebb 0-et kaptam. Melyik racionális számra gondoltam? 8. Vegyes feladatok. a) x µ = 0 x = b) x =, nem megoldás c) 7 µ x = x µ 7 + = x 0 = x = ÎN x x d) - = / x µ x = µx = x = µ ÎN
63 x - e) + = 7 x - = x µ = 9 x = ÎN - x f) + x = 0 µ x + x = 0 µ x = 0 = ÎN. a) (x µ ) = (x µ ) x µ 0 = x µ 9 9x = x = ÎQ 9 b) (x µ ) + ( µ x) = x µ x µ µ x = x µ µ x = x µ = x = x ÎN c) (x + ) µ (x + ) = 9 9x + µ 8x µ = 9 x = 9 ÎQ x x d) + = / (x + ) + (7 µ x) = 0 x + + µ x = 0 x = ÎQ. b) x µ b) x + > x + /µx µ x 8 0; ; ;... > x 0 c) x µ µ x > + x x µ > + x x > 8 9; 0;...
64 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE a) x< b) x µ c) x µ 8 + x + 8 > 0x + 0 > 0x > µ x > µ x >. Legutóbbi mérkõzés Ezt megelõzõ mérkõzés x x x + x = x = Egyik mérkõzésen pontot, a másikon pontot dobott.. x = A gondolt szám a. 7. x + = x µ µ x = 7 A gondolt szám a Dávid Peti x x x + x = 9 x = Dávidnak 78 db, Petinek db üveggolyója van. 9. fej láb ember x x kutya µ x ( µ x) x + ( µ x) = 98 x + µ x) = 98 µ x = 98 8 = x 9 = x 9 db ember, kutya sétál. 0. ér (Ft-ban) 0 Ft: x db 0x 00 Ft-os: 78 µ x db 00(78 µ x)
65 0x + 00(78 µ x) = 00 0x µ 00x = µ 00 = 0x 00 = 0x = x db 0 Ft-ossal és db 00 Ft-ossal fizetett.. 7a: x fõ 7b eltévedt érkezett x x + = 0 x = 8 x x = 7 7a 7 fõs.. Elsõ nap Második nap Harmadik nap x x x Összesen: 00 Ft x x + x + = 00 x = 9000 Ft Elsõ napi: 000 Ft Második napi: 9000 Ft Harmadik napi: 00 Ft. Sonkás Tonhalas Sajtos 0,x 7 x + 0,x + 7 = x x a) db b) sonkás: 70, db ~70 db tonhalas: 0, db ~ 0 db c) sajtos: sa Ft, sonkás: so Ft, tonhalas: to Ft so + sa + sa + to + so + to = so + sa + to = 80 so + sa + to = 0 sajtos + sonkás + tonhalas = 0 Ft d) 0 µ 00 = 0 Ft a tonhalas 0 µ 0 = 0 Ft a sajtos 0 µ 0 = 80 Ft a sonkás e) = 7 00 Ft a napi átlagos bevétel.
A KITŰZÖTT FELADATOK MEGOLDÁSAI
Sokszínű matematika 7. évfolyam A KITŰZÖTT FELADATOK MEGOLDÁSAI munkaanyag A * az egész dokumentumban a szorzás jelét helyettesíti! .o. /. : 0, b) : 0, c) : 0, d) 7 7 : 7,87 7 7 e) 0 0 : 8, 8 f) : 8, 8
Részletesebben3. Egyenletek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenlőtlenségek 07.o./. Vác: 9 pont 07o./2. napot dolgoztak Dorka keresete: 000 Zsófi keresete: 200 000+200 = 000 2200 = 000 = 5 5 napot dolgoztak. 07.o./. Arany Ezüst Bronz 2 2++0 Arany:
RészletesebbenSokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Szerzõk: IRÓNÉ FÜLE ZSUZSANNA középiskolai tanár DR. SZEDERKÉNYI ANTALNÉ ny. gyakorlóiskolai vezetõtanár Tartalom. TERMÉSZETES SZÁMOK, RACIONÁLIS SZÁMOK....
Részletesebben1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc
1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc 10 325 337 30 103 000 002 2. Végezd el az alábbi műveleteket, ahol jelölve van ellenőrizz!
RészletesebbenSZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok
SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Add meg az alábbi sorozatok következő három tagját! a) ; 7; ; b) 2; 5; 2; c) 25; 2; ; 2. Egészítsd ki a következő sorozatokat! a) 7; ; 9; ; b) 8; ; ; 9; c) ; ; ;
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenBoronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:
200 Vác, Németh László u. 4-. : 27-17 - 077 /fax: 27-1 - 09. OSZTÁLY 1.) Hány olyan négyjegyű természetes szám van, melynek jegyei között az 1 és 2 számjegyek közül legalább az egyik szerepel? Négyjegyű
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Részletesebbenszöveges feladatok (2. osztály) 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen?
1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen? 2. Péter vett 3 dm gatyagumit, de nem volt elég, ezért vissza ment a boltba és vett még 21 cm-t. Hány cm-t
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenMATEMATIKA VERSENY
Eötvös Károly Közös Fenntartású Óvoda, Általános Iskola 2012. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 8314 Vonyarcvashegy, Fő u. 84/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,
RészletesebbenSzámelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
RészletesebbenPYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó?
Az iskolai forduló feladatai 2006/2007-es tanév Kategória P 3 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? 2. Számítsd ki: 19 18 + 17 16 + 15 14 =
RészletesebbenSzámokkal kapcsolatos feladatok.
Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17
RészletesebbenPótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek
Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek 1. Hatványozás 2. Normálalak. Mértékegységek. Műveletek racionális számokkal (tört, tizedes tört) 5. Középpontos tükrözés 6.
RészletesebbenMegoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály
Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenKÉSZÍTSÜNK ÁBRÁT évfolyam
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenSzent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály
SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet
RészletesebbenA) 0 B) 2 C) 8 D) 20 E) 32
1. X és Y egyjegyű nemnegatív számok. Az X378Y ötjegyű szám osztható 72-vel. Mennyi X és Y szorzata? A) 0 B) 2 C) 8 D) 20 E) 32 2. Hány valós gyöke van a következő egyenletnek? (x 2 1) (x + 1) (x 2 1)
RészletesebbenMATEMATIKA VERSENY ABASÁR, 2018
MATEMATIKA VERSENY ABASÁR, 2018 1. osztály 2018 /55 pont 1. Folytasd a sort! 0 1 1 2 3 5 /4 pont 2. Melyik ábra illik a kérdőjel helyére? Karikázd be a betűjelét! (A) (B) (C) (D) (E) 3. Számold ki a feladatokat,
RészletesebbenMunkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit
Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.
RészletesebbenSZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:
SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:
RészletesebbenBoronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:
5. OSZTÁLY 1.) Apám 20 lépésének a hossza 18 méter, az én 10 lépésemé pedig 8 méter. Hány centiméterrel rövidebb az én lépésem az édesapáménál? 18m = 1800cm, így apám egy lépésének hossza 1800:20 = 90cm.
Részletesebben148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?
148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben1. Az idei tanév a 2018/2019-es. Mindkét évszámnak pontosan négy-négy osztója van. Mennyi a két legnagyobb prímosztó különbsége?
1. Az idei tanév a 2018/2019-es. Mindkét évszámnak pontosan négy-négy osztója van. Mennyi a két legnagyobb prímosztó különbsége? A) 1 B) 336 C) 673 D) 1009 E) 1010 2. BUdapesten a BIciklik kölcsönzésére
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III.
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
Részletesebben11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
RészletesebbenX. PANGEA Matematika Verseny I. forduló 3. évfolyam. 1. Melyik az az alakzat az alábbiak közül, amelyiknek nincs tükörtengelye?
1. Melyik az az alakzat az alábbiak közül, amelyiknek nincs tükörtengelye? A) B) C) D) 2. A szorzat egyik számjegye hiányzik. Mennyi lehet az a számjegy? 27 33 33 27 = 3 0 A) 0 B) 3 C) 6 D) 9 3. Tapsifüles
RészletesebbenA) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
1. Végezd el a következő műveleteket: 246 27 5 12 11 2 150 70 2 A) 520 B) 1370 C) 1810 D) 1910 E) 3010 2. Egy tavacskában két csónak van a mólóhoz kikötve, mindkettő ponyvával lefedve. A nagyobb csónak
RészletesebbenFeladatgyűjtemény matematikából
Feladatgyűjtemény matematikából 1. Pótold a számok között a hiányzó jelet: 123: 6 a 45:9.10 2. Melyik az a kifejezés, amelyik 2c-7 tel nagyobb, mint a 3c+7 kifejezés? 3. Határozd meg azt a legnagyobb természetes
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
RészletesebbenÍrásbeli szorzás. a) b) c)
Írásbeli szorzás 96 100 1. Számítsd ki a szorzatokat! a) 321 2 432 2 112 3 222 3 b) 211 2 142 2 113 3 112 4 c) 414 2 222 2 221 4 243 2 2. Becsüld meg a szorzatokat! Számítsd ki a feladatokat! a) 216 2
RészletesebbenX. PANGEA Matematika Verseny II. forduló 10. évfolyam. 1. Az b matematikai műveletet a következőképpen értelmezzük:
1. Az a @ b matematikai műveletet a következőképpen értelmezzük: @ a a b b, feltéve, hogy a 0. a Melyik állítás igaz a P és Q mennyiségekre? P = ((2 @ 1) @ (1 @ 2)) Q = ((7 @ 8) @ (8 @ 7)) A) P > Q B)
RészletesebbenA III. forduló megoldásai
A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak
RészletesebbenCurie Matematika Emlékverseny 5. évfolyam Országos döntő Megoldása 2017/2018.
Feladatokat írta: Tóth Jánosné Szolnok Kódszám: Lektorálta: Kis Olga Szolnok 08.04.07. Curie Matematika Emlékverseny. évfolyam Országos döntő Megoldása 07/08... Feladat.. 3. 4... összesen Elérhető 4 7
RészletesebbenMásodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!
Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenAz egyszerűsítés utáni alak:
1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
Részletesebben;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;
. A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
RészletesebbenIII. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló
III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló 1. Mennyi az eredmény 15+17 15+17 15+17=? A) 28 B) 35 C) 36 D)96 2. Melyik szám van a piramis csúcsán? 42 82 38 A) 168 B) 138
RészletesebbenMATEMATIKA VERSENY
Vonyarcvashegyi Eötvös Károly Általános Iskola 2016. 8314 Vonyarcvashegy, Fő u. 84/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen, majd oldd meg a feladatokat! A részeredményeket
RészletesebbenAlgebrai kifejezések. 1. Az algebrai kifejezés. 1. a) x+ 5 b) x5 c) x 5. d) x 5. e) x. f) 1 x
Algebri kifejezések. Az lgebri kifejezés. ) x+ 5 b) x5 c) x 5 d) x 5 e) x f) x. y + x felsoroltk közül nincs megfelelő szksz x+ y, megfelelő szksz x+ 4 y c, megfelelő szksz x + yb, megfelelő szksz x +
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 21 és 5 7 = 15
Megoldások 1. Írj fel 4 számot törtalakban a 3 7 és 5 7 között! Bővítsük a nevezőket a megfelelő mértékig: 3 7 = 9 21 és 5 7 = 15 21. Ezek alapján a megoldás: 10 21, 11 21, 12 21, 13 21. 2. Írd fel törtalakban
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Sorozatok
Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora
RészletesebbenSzöveges feladatok és Egyenletek
Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy
Részletesebben2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 9. osztály
01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenReformátus Iskolák XXI. Országos Matematikaversenye 2013 7. osztály
1. Egy nap Mariska néni vett egy tyúkot a piacon. Miután a tyúk tojt két tojást, a tyúkot megették vacsorára. Vagy mindkét tojásból tyúk, vagy mindkét tojásból kakas kelt ki. Minden kakast megettek, a
Részletesebben1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra
Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):
RészletesebbenISKOLÁD NEVE:... Az első három feladat feleletválasztós. Egyenként 5-5 pontot érnek. Egy feladatnak több jó megoldása is lehet. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12
2. OSZTÁLY 1. Mennyi az alábbi kifejezés értéke: 0 2 + 4 6 + 8 10 + 12 14 + 16 18 + 20 A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 2. Egy szabályos dobókockával kétszer dobok. Mennyi nem lehet a dobott számok összege? A) 1
RészletesebbenKombinatorika. Permutáció
Kombinatorika Permutáció 1. Adva van az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegy. Hány különböző 9-jegyű szám állítható elő ezekkel a számjegyekkel, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek? Mi van akkor, ha a szám
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
RészletesebbenEgész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...
Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (
RészletesebbenXI. PANGEA Matematika Verseny I. forduló 9. évfolyam
1. Tekintsük a következő két halmazt: F = {11-nél nem nagyobb prímszámok} és G = {egyjegyű páratlan pozitív egészek}. Az alábbi halmazok közül melyiknek van a legkevesebb eleme? A) F B) G C) F G D) F G
RészletesebbenFényi Gyula Jezsuita Gimnázium és Kollégium Miskolc, Fényi Gyula tér Tel.: (+36-46) , , , Fax: (+36-46)
Fényi Gyula Jezsuita Gimnázium és Kollégium 529 Miskolc, Fényi Gyula tér 2-12. Tel.: (+6-46) 560-458, 560-459, 560-58, Fax: (+6-46) 560-582 E-mail: fenyi@jezsuita.hu Honlap: www.jezsu.hu A JECSE Jesuit
Részletesebbentörtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont
1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az
RészletesebbenFeladatlap. a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006)
Feladatlap a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006) 1) Karcsi januárban betegség miatt háromszor hiányzott az iskolából:12-én,14-én és 24-én. Milyen napra esett
Részletesebben2015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 9. osztály
A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat a kialakult tanári gyakorlat alapján, az
Részletesebben2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:
Részletesebben5. feladatsor megoldása
megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály V. rész: Egyenletek Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész:
RészletesebbenXXIII. Vályi Gyula Emlékverseny május 13. V. osztály
XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny Marosvásárhely 207. május 3. V. osztály. Sári néni a piacon 00 db háromféle tojást vásárolt 00 RON értékben. Tudva azt, hogy a tyúktojás ára 50 bani, a libatojás 5 RON és
Részletesebben1. Határozd meg az a, b és c értékét, és az eredményeket közönséges tört alakban írd a megfelelő helyre!
1. Határozd meg az a, b és c értékét, és az eredményeket közönséges tört alakban írd a megfelelő helyre! a) a = 9 4 8 3 = 27 12 32 12 = 5 12 a = 5 12. a) b = 1 2 + 14 5 5 21 = 1 2 + 2 1 1 3 = 1 2 + 2 3
Részletesebben43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Ismerkedj a 100 tulajdonságaival! I.) Állítsd elő a 100-at a,, b, 3, c, 4, d, 5 négyzetszám összegeként!
Részletesebben1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4
2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani
RészletesebbenMATEMATIKA KISÉRETTSÉGI JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ május 15. I. rész. 1. feladat Pont Megjegyzés 5110 = pont A keresett nyerőszám: 73.
MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 01. május 15. I. rész 1. feladat Pont Megjegyzés 5110 = 5773 A keresett nyerőszám: 73.. feladat Pont Megjegyzés 0 0.000 50.000 1.170.000 3 3.470.000 150.86,565
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. A fős osztály dolgozatot írt matematikából és a következő jegyek születtek: 6 darab jeles, 9 darab jó, 8 darab közepes, darab elégséges és darab elégtelen. Készíts gyakorisági táblázatot,
RészletesebbenOsztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
RészletesebbenOszthatósági problémák
Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4632-14/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio
RészletesebbenNÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez
NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez Számadó László (Budapest) 1. Számold ki! a) 1 2 3 + 4 5 6 ; b) 1 2 3 + 4 5 6. 2 3 4 5 6 7 2 3 5 6 7 a) 1 2 3 4 2 3 4 +5
RészletesebbenPYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 36. évfolyam, 2014/2015-ös tanév. Kategória P 6
Kategória P 6 1. Ági kiszámolta az összes 43-nál nagyobb, de egyúttal 47-nél kisebb páros természetes szám szorzatát. Írjátok le, hogy milyen eredményt kapna Ági, ha kiszámolná a szorzat számjegyeinek
Részletesebben0645. MODUL SZÁMELMÉLET. Gyakorlás, mérés KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA
0645. MODUL SZÁMELMÉLET Gyakorlás, mérés KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0645. Számelmélet Gyakorlás, mérés Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A
RészletesebbenPYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6
Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.kny osztály részére
Gyakorló feladatok 9.kny osztály részére I. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK - számhalmazok, nevezetes halmazok, műveletek racionális számok halmazán - távolsággal, adott tulajdonsággal megadott ponthalmazok (kör,
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
RészletesebbenCurie Matematika Emlékverseny 6. évfolyam Országos döntő Megoldása 2017/2018.
Feladatokat írta: Tóth Jánosné Szolnok Kódszám: Lektorálta: Kis Olga Szolnok 018.04.07. Curie Matematika Emlékverseny 6. évfolyam Országos döntő Megoldása 017/018. Feladat 1... 4.. 6. Összesen Elérhető
RészletesebbenARITMETIKAI FELADATOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2017/2018.
Részletesebben