Mechanikai hullámok, hangtan, ultrahangok

Átírás

1 Mechanikai hullámok, hangtan, ultrahangok előadás I. éves orvostanhallgatóknak Maróti Péter 011. okt. 10.

2 Felkészülés Előadás (lásd az intézet honlapjára elkerülő anyagokat) + egyéb segédletek Minden tudás annyit ér, amennyit belőle alkalmazni tud. A probléma- ill. eladatmegoldás ontos: kérem, hogy aktivizálja magát a szemináriumi oglalkozásokon. Néhány tudomány-terület eladatok ill. megoldásuk ormájában kerül terítékre. Ajánlott olvasnivalók Budó Á.: Kísérleti Fizika, Tankönyvkiadó, Budapest Holics L.: Fizika, 1. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Damjanovich S, Fidy J, és Szöllősi J.: Orvosi bioizika, Medicina, Budapest, 005. Fercher A.F.: Medizinische Physik, Springer, Wien, New York Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a bioizikába, JATEPress Szeged (több kiadás). Maróti P. és Tandori J.: Bioizikai eladatok, JATEPress, Szeged Maróti P., Berkes I. és Tölgyesi F.: Biophysics Problems. A textbook with answers, Akadémiai Kiadó, Budapest 1998.

3 Mechanikai hullám A rugalmas közegben rezgő test mozgásállapota (energiája) TÉR-ben és IDŐben tovaterjed. Hullámterjedés egyenes mentén; transzverzális és longitudinális hullámok

4 A mechanikai hullám (hang) spektruma inrahangok emberi beszéd, hallás, ének macska hallásának első határa denevér ultrahang orvosi ultrahang

5 Egyenes mentén terjedő harmonikus Hullámszám: λ Terjedési sebesség: c Lineáris rekvencia: y( x, t) Körrekvencia: ω hullám egyenlete. π λ y( x 0, t) Asin( ω t + ϕ) Hullámszám ( ω ( t x / + ϕ) y( x, t) Asin c) λ ( ω t λ + ϕ) Asin x Kezdőázis: φ c c c T π ω y( x, t) Fázisszög: ( ω ( t x / c) + ϕ) Periodusidő: T Hullámhossz: (λ) Kezdőázis: φ t x Asin π + ϕ / π T λ

6 A hang visszaverődése és törése α α rel sinα c1 n sin β c A teljes visszaverődés határszöge (β 90 o ): sin α határ c 1 /c. levegő víz bőr 1 állandó sin α határ c 1 /c. β 90 o c (m/s) akusztikai sűrűség határszög, α határ (ok) nagy kicsi nagyon kicsi 13,5 49,4

7 Speciális eset: merőleges beesés R Z Z + Z Z 1 1 Z ρ c a közeg akusztikus ellenállása (impedanciája) Példa: ultrahang irányul levegőből (Z 0, kg m - s -1 ) merőlegesen lágy szöveti részek (Z 1, kg m - s -1 ) elé. A visszaverődési hányad R 0,9994, azaz a transzmisszió csak T 1-R 0,06%. Ha ellenben vízbázisú cellulóz-zselét, mint akusztikus csatolóanyagot (Z 1, kg m - s -1 ) alkalmazunk a transducer és a lágyszöveti rész között, akkor a visszaverődési hányad R 0,001 lesz, azaz T 0,999 hatol be. Több, mint 3 nagyságrend a veszteség, ha nem használunk alkalmas akusztikus csatolóközeget.

8 A harmonikus mechanikai hullámok energiája A harmonikus hullám energiasűrűségének időbeli átlaga: Eidoátlag 1/ ma ω w V V 1 ρa ω Sugárzási teljesítmény P wqc Intenzitás (teljesítménysűrűség) I P q w c 1 ρ c A ω 1 ρ c v max 1 p max ρ c Példa. A 100 mw/cm intenzitású és 3 MHz rekvenciájú ultrahangot közvetítő vízben (sűrűség 10 3 kg/m 3, terjedési sebesség 1480 m/s) az amplitúdó A nm, a sebesség maximuma v max 3,7 cm/s, a gyorsulás maximuma a max g (!) és a nyomás maximuma p max 0,5 bar.

9 Az intenzitás távolságüggése Pontszerű hullámorrás esetén homogén és izotróp közegben a hullámrontok a orrással koncentrikus gömbök. P P I q 4 r π Hullámkeltés + intererencia

10 Kiterjedt, D átmérőjű köralakú, rekvencián sugárzó ultrahangorrás (transducer) intenzitás- és irányeloszlása Fresnel zóna sin α 1, c/( D) Fraunhoer zóna N D /(4c) Pontszerű szerikális hullámrontok intererenciája közeli távoli zóna Példa. Lágy szövetben a hang terjedési sebessége c 1580 m/s, és legyen a transducer átmérője D 1 cm! (MHz) N (cm) α (ok) 1 1,6 1,3 3, 6,1 5 7,9,5

11 A tengelyre merőleges irányokban az intenzitás változása

12 Ultrahang sugárzási terének alakítása (ókuszálása): akusztikus: tükrök és lencsék elektronikus: ázis-irányítás

13 Az ultrahang közegbeli gyengülése: Beer-törvény A közegbe hatoló UH sugárzás intenzitása a közegbeli veszteségek (szórás, elnyelés stb.) miatt a távolsággal (mélységgel) exponenciálisan csökken: I I 0 exp(-α x)

14 Objektív hangintenzitás Hangorrás P (W) normális beszéd 10-5 kiáltás 10-3 zongora (maximum) 0,1 autókürt 5 nagy hangszóró 10 légoltalmi sziréna 10 3 n P 10 lg decibel (db) P 1

15 Szubjektív hangerősség, hangosság Hangorrás Szubjektív hangerősség (ón) hallásküszöb 0 halk alevélsusogás 10 suttogás 0 csendes utca zaja 30 normális beszélgetés 50 kiabálás 80 oroszlánüvöltés közelről 10 ájdalomküszöb 130 H 10lg I I 0 phon( ón) H (ón) H 1 khz (db)

16 Szubjektív hangerősség, hangosság H (ón) H 1 khz (db)

17 A terjedési sebesség üggése a közeg tulajdonságaitól A minden irányban igen nagy kiterjedésű, homogén és izotróp rugalmas szilárd testben mind longitudinális, mind transzverzális hullámok terjedhetnek c long E 1 µ E 1 ctrans ρ (1 + µ )(1 µ ) ρ (1 + µ ) Poisson-szám: µ d l / / d l c c long trans (1 µ ) 1 µ Mivel sok anyagra μ 1/3, ezért c long c trans. Általánosan, mivel μ ½, ezért ugyanabban a szilárd közegben a longitudinális hullámok sebessége nagyobb, mint a transzverzálisoké. Földrengéshullámoknál a kétéle hullám megérkezésének időkülönbségéből meg lehet becsülni a öldrengés epicentrumának az észlelés helyétől való távolságát.

18 A terjedési sebesség üggése a közeg tulajdonságaitól Végtelen hosszú rugalmas (szilárd) rúdban a longitudinális hullám terjedési sebessége: c long E ρ E a test Young modulusza Folyadékokban c K ρ K a olyadék kompressziómodulusa: K p V / V Gázokban c κ p ideális gáznál c κ ρ ahol κ c p /c V a gáz kétéle (állandó nyomáson és állandó térogaton mért) ajhőjének hányadosa, R az univerzális gázállandó és T az abszolút hőmérséklet (Laplace-éle ormula, 1816). Összehasonlítva, E (szilárd testekben) ormálisan K-val (olyadékokban) ill. κ p-vel (gázokban) helyettesítendő a longitudinális hullámok terjedési sebességeinek kiejezésében. RT

19 A Doppler-eektus a) A hullámorrás nyugszik, és a megigyelő mozog. Ha a megigyelő v m sebességgel közeledik az álló hangorrás elé, akkor nem csupán a hangorrás által 1 s alatt kibocsátott 0 rezgésnek megelelő hullámot ogja el, hanem ezenkívül még annyi rezgést is, amennyi az 1 s alatti közeledés útszakaszára (azaz v m -re) esik a λ 0 c/ 0 hosszúságú hullámokból, azaz v m /λ 0 0 v m /c számút. Ennélogva a közeledő (+), ill. távolodó ( ) megigyelő által észlelt rekvencia v ± 0 1 c m Például v m ½ c sebességű közeledésnél (távolodásnál) az észlelt hang rekvenciája megduplázódik (eleződik), azaz a hang magassága egy oktávval emelkedik (csökken

20 A Doppler-eektus b) A hullámorrás mozog, és a megigyelő áll. A megigyelőhöz v sebességgel közeledő hangorrás a t 0 időpillanatban sugározza ki a rezgés első ázisát, míg T 0 idő múlva (amikor a hangorrás már v T 0 szakasszal közelebb van a megigyelőhöz) a rezgés utolsó ázisát. Emiatt a hullámhossz a hullámorrás előtt v T 0 hosszal (azaz λ 0 - v T 0 értékre) megrövidül. Mivel azonban a megrövidült hullámok a nyugvó közegben szintén c sebességgel terjednek, ezért az észlelt rekvencia c/(λ 0 - v T 0 ). A hullámorrás közeledése ( ) ill. távolodás (+) esetén észlelt rekvencia 0 v 1 c

21 A Doppler-eektus A két kiejezést egyesítő összeüggés: v c v c m Ha az FM távolság nem változik meg (pl. rá merőleges irányúak az elmozdulások), akkor az ilyen mozgás nem hoz létre Dopplereltolódást. Az optikai Doppler-eektus (vöröseltolódás) a izikai lényegét tekintve különbözik az akusztikai Doppler-eektustól, mert az előbbiben nincs közvetítő közeg ( éter ), így csak a orrás és a megigyelő relatív sebessége (v) számít az optikai Doppler-eektusnál. 0 v 1± c v 1- c ha v << c, akkor v ± 0 1 c

22 A vér áramlási sebességének meghatározása a Doppler-elv alapján A Doppler-eltolódás: vcosα c vcosα c Ha a vvt sebessége nagyságrendekkel kisebb, mint a hang terjedési sebessége (v << c), akkor ' 0 1 v cosα c ' 1+ 1 v cos a c cosα 0 c v

23 Frekvencia-optimum a vér sebességének meghatározására A Doppler-eltolódás az alkalmazott ultrahang rekvenciájával arányos, azaz minél nagyobb a rekvencia, annál pontosabban lehet a sebességet meghatározni: const 1 A d mélységben levő vvt-ről származó echo I intenzitása az I 0 beeső intenzitásról a távolsággal exponenciálisan csökken: I const 3I 0 exp( α d) Lágy szövetekben a diagnosztikus tartományban (-0 MHz) a veszteségi együtthatók összege (α) a rekvenciával arányosan növekszik: α const Optimális rekvenciának azt ogjuk tekinteni, amelyre az I Δ szorzat maximális. Ennek szükséges eltétele, hogy az I Δ szorzat szerinti első dierenciálhányadosa tűnjön el: d(i Δ )/d 0, amely eltételből: 1 opt d const

24 Frekvencia-optimum a vér sebességének meghatározására opt 90 MHz mm d

25 Az ultrahangok keltése inverz (ordított) piezoelektromos jelenséggel Ha a kristálymetszet vastagsága λ/, akkor az alapharmonikus rezgést rezonanciával gerjeszthetjük: az elektródáknál csomópontok, és a kristályban λ/ hosszúságú állóhullám alakul ki.

26 Az ultrahang orvosi alkalmazásai 1 MHz esetén vízben maximum-értékek I 10 mw/cm DIAGNOSZTIKA I 3 W/cm TERÁPIA Lökéshullám kitérés: x I / Z ω relatív megnyújtás: gyorsulás: hangnyomás: x x ω ω E x π λ I Z I Z E π I Z λ nm 8, nm 1, Ezek a nagy intenzitású lökéshullámok gyakorlatilag egyetlen 10 3 m/s 3, m/s élhullámból állnak, ezért rájuk szigorúan nem érvényesek a harmonikus hullámokra megadott összeüggések Pa 3, Pa 40 MPa (!)

27 Feladatok házi és/vagy szemináriumi eldolgozásra 1) Mekkora a normál (kamarai) egy-vonásos a hang ( bécsi a, 440 Hz) hullámhossza levegőben és vízben? Mekkorák ugyanezen értékek a magyar a hangra (435 Hz)? Mit tapasztalnánk, ha a zenekar erre a két a hangra hangolna? ) A normál egy-vonásos a hang 440 Hz rekvenciájából kiindulva mekkora az egyvonásos c hang rekvenciája a 1 hangból álló, egyenletesen temperált kromatikus hangsorban (amely őleg Bach zeneművei óta (170) terjedt el)? 3) Mekkora a 80 cm hosszú nyitott, illetve zárt síp alaphangjának rezgésszáma? 4) Milyen rekvenciájú hangok erősödnek el az emberi ül,5 cm hosszú külső hallójáratában, és csökkentik ezzel kissé a hallásküszöböt? 5) A bálnák nagyon érzékenyek az alacsony rekvenciájú víz alatti hangokra. Mekkora lehet a külső hallójáratának valószínűsíthető hossza, ha a hallásának érzékenységi maximuma 100 Hz? 6) A delin 60 khz rekvenciájú és 30 mw teljesítményű ultrahang-impulzusokkal térképezi el a cápa mozgását. A cápa helyén az ultrahang intenzitása 1, W/m. Mekkora a cápa és a delin közötti távolság? Mekkora a cápa körüli vízmolekulának az ultrahang hatására történő elmozdulás-maximuma (amplitúdója)? 7) A kutyáknak nagyon kiinomult a hallásuk: a hallásküszöb W/m. Milyen intenzitásúnak hallják azt a hangot, amelyet az ember 50 db-nek érez? 8) Három, egyenként 0 db hangosságú hangorrás egyszerre szól. Mekkora lesz a hangérzet erőssége?

28 Feladatok házi és/vagy szemináriumi eldolgozásra 9) A középül a dobhártyára érkező hangnyomást 0-szorosára (a hangintenzitást 400- szorosára) erősítve továbbítja a belső ül ovális ablakára. Hány db-lel növekedne a hallásküszöb a középül unkciójának kiesése miatt? 10) A pályaudvaron 10 m/s sebességgel szerelvény halad át, amelyre a mozdony 100 db erősségű és 1 khz rekvenciájú sípja igyelmeztet. A peronon a sínpártól 1 m-re állva mekkorának észleljük a hang erősségének és magasságának csökkenését a mozdony elhaladása után 5 másodperccel? 11) A denevér állandó rekvencián (80 khz) üvöltöz, miközben elrepül egy al mellett. A visszaverődött hangot 83 khz-nek észleli. Milyen gyorsan repül? 1) Mekkora sugárirányú sebességgel távolodik tőlünk az a csillag, amelynek színképében a nátrium 589,6 nm hullámhosszú vonalára 59,0 nm érték adódik? A ény terjedési sebessége m/s. 13) Két, egyenlő amplitúdójú és egyirányba terjedő hang hullámhossza levegőben 7,0 cm és 77, cm. Hallunk-e lebegést? 14) Egy 1 cm átmérőjű köralakú ultrahang-orrás vízben 1 MHz rekvencián sugároz. Mekkora lesz 4 cm távolságban az ultrahang-nyaláb átmérője? 15) Mekkora a törésszöge annak az ultrahang-hullámnak, amely 1 o szög alatt esik a levegő (c levegő 343 m/s) izomszövet (c izom 1590 m/s) határelületre? 16) Mekkora az ultrahang visszaverődési és áthatolási aránya izomszövet (Z 1,7 106 kg m - s -1 ) és zsírszövet (Z 1, kg m - s -1 ) határán? 17) Gyűjtik vagy szórják az ultrahang-sugarakat a vízben levő légbuborékok, azaz gyűjtő- vagy szórólencseként működnek?

29 18) Mekkora az 1 MHz rekvenciájú ultrahang behatolási mélysége tüdőszövetbe (7 cm -1 ), csontba (3 cm -1 ), izomba (0,3 cm -1 ) és vérbe (0,03 cm -1 )? Zárójelben az abszorpciós (elnyelési) és szórási veszteségi együtthatók összege szerepel. 19) A máj 10 cm mélységi metszetét vizsgáljuk 1 MHz rekvenciájú és 1 W/cm intenzitású ultrahanggal. A besugárzás 10 s-ig tart. Mennyire melegedhet el a vizsgált terület? A májban az abszorpciós (elnyelési) és szórási veszteségi együtthatók összege 0,17 cm -1, és tekintsük a májat hőtani szempontból víznek, azaz a hőkapacitása 4, J/gK. 0) A szemészetben a szürkehályog-műtét során szükség lehet a műanyaglencse helyes beültetésének ellenőrzésére, amit egyszerű ultrahang-echo kísérlettel lehet megtenni ( A-kép-technika ). A szaruhártya elülső oldalát mechanikai kontaktusba hozzuk egy piezoelektromos ultrahang adó/vevővel, és a szem belső elületeiről visszavert jeleket oszcilloszkóp képernyőjén igyeljük. A következő jeleket láthatjuk. A kezdőecho, amely az adó és a kontaktolyadék határelületéről származik, B a szaruhártya elülső és hátulsó elületeiről visszaverődött kettős (nehezen elkülönülő) echo, C és D a szemlencse elülső és hátsó elületeiről származó echo és E a szemgolyó hátsó aláról történő visszaverődés. Mekkora a szemgolyó hossza, ha a B és E echók közti idő-távolság 30 μs, és a szemben a hang terjedési sebessége 1600 m/s? 1) Szürkehályog műtéteknél a homályossá vált szemlencsét alacsony rekvenciájú (3 khz), nagy intenzitású (1 kw/cm ) és a magnetostrikció elvén működő ultrahang-orrással emulziikálják, majd a cornea és a sclera között ejtett metszési nyíláson az emulziót leszívják. Mekkora az alkalmazott ultrahangorrás amplitúdója? A szemlencse akusztikus impedanciája 1, kg m - s -1.