Széchenyi István Egyetem. Informatika II. Számítási módszerek. 5. előadás. Függvények ábrázolása. Dr. Szörényi Miklós, Dr.

Hasonló dokumentumok
1. előadás. Függvények ábrázolása. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

XY DIAGRAMOK KÉSZÍTÉSE

Diagram készítése. Diagramok formázása

Diagramok/grafikonok használata a 2003-as verzióban

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

Diagram formázása. A diagram címének, a tengelyek feliratainak, jelmagyarázatának, adatfeliratainak formázása

Cellák. Sorok számozás Oszlop betű Cellák jelölése C5

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Grafikonok automatikus elemzése

EGYENES ILLESZTÉSE (OFFICE

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás

Táblázatkezelés (Excel)

2 Excel 2016 zsebkönyv

1. óra Tanévi feladatok balesetvédelem, baleset megelőzés 2. óra Ismétlés. 3. óra

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

EGYENES ILLESZTÉSE (OFFICE

Szakács Informatikusok Szövetsége Informatika a fazék- ban Fájl/Megnyitás Nyers.xls

Grafikonok, diagramok.

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

Excel Hivatkozások, függvények használata

Numerikus matematika

Excel Hivatkozások, függvények használata

MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

Diagram létrehozása. 1. ábra Minta a diagramkészítéshez

Támogatás / Excel / Excel 2010 súgó és útmutató / Diagramok / Diagramok formázása Hibasáv felvétele, módosítása és eltávolítása diagramban

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

1. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével

A Microsoft OFFICE. EXCEL táblázatkezelő. program alapjai as verzió használatával

Táblázatkezelés Excel XP-vel. Tanmenet

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

STATISZTIKA. ( x) 2. Eloszlásf. 9. gyakorlat. Konfidencia intervallumok. átlag. 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% (cm)

4. modul - Táblázatkezelés

Microsoft Excel 2010

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

ECDL Táblázatkezelés A táblázatkezelés első lépései Beállítások elvégzése

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

Táblázatkezelés Excel XP-vel. Tanmenet

Táblázatkezelés Syllabus 5.0 A syllabus célja 2014 ECDL Alapítvány Jogi nyilatkozat A modul célja

1.1.1 Dátum és idő függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

Táblázatok. Táblázatok beszúrása. Cellák kijelölése

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

SZÁMÍTÓGÉPES ADATFELDOLGOZÁS

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

SZÁMÍTÓGÉPES PROBLÉMAMEGOLDÁS

Függvények ábrázolása

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Gyakorló feladatok I.

Hasonlóságelemzés COCO használatával

Feladatok megoldásai

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

A mérési eredmény megadása

Függvények Megoldások

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

Közönséges differenciál egyenletek megoldása numerikus módszerekkel: egylépéses numerikus eljárások

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

SCILAB programcsomag segítségével

Bevezető. Mi is az a GeoGebra? Tények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam Függvények

Táblázatkezelés 4. előadás. Keresőfüggvények, munkalapok, formázások, diagramok

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

Táblázatkezelés 2. - Adatbevitel, szerkesztés, formázás ADATBEVITEL. a., Begépelés

Kiegészítő előadás. Vizsgabemutató VBA. Dr. Kallós Gábor, Fehérvári Arnold, Pusztai Pál Krankovits Melinda. Széchenyi István Egyetem

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

A tanulók oktatási azonosítójára és a két mérési területen elér pontszámukra lesz szükség az elemzéshez.

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA

Komputer statisztika gyakorlatok

Segítség az outputok értelmezéséhez

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.

SPECIÁLIS HELYI TANTERV SZAKKÖZÉPISKOLA. matematika

Segédanyag az Excel használatához

Segédanyag az Excel használatához

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33

Microsoft Excel. Táblázatkezelés. Dr. Dienes Beatrix

4. modul - Táblázatkezelés

A Cassini - görbékről

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

Statisztikai módszerek 1. gyakorlat. Alapok,Boxplot

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

3. modul - Szövegszerkesztés

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

Fájl/Megnyitás Nyers.xlsx Adatok/Külső adatok átvétele/szövegből Adatok.csv Tagoltat Pontosvesszővel elválasz- tottat szövegre

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

Haladó irodai számítógépes képzés tematika

Átírás:

5. előadás Függvények ábrázolása Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1

Tartalom Az elkészítés lépései, áttekintés Példa: egy ismert matematikai függvény és integráljának ábrázolása Technikai megvalósítás Értéktáblázat, diagram beszúrása, hangolás Új adatsor felvétele a diagramra Nevezetes pontok Meghatározás Felvitel a diagramra Paraméteresen adott XY diagramok készítése Kétváltozós függvények ábrázolása Logaritmikus skálázás 2

Áttekintés Excelben értéktáblázat szükséges, ezt kell először elkészíteni Más megoldás: szimbolikusan vagy függvénydefiníció alapján is lehetne (példák: Maple és Matlab) Az értéktáblázat jellemzői Célszerűen fejléces A beosztást (értelmezési tartomány) megfelelően sűrűre kell venni Ne legyen szaggatott a függvény, de ne legyen áttekinthetetlen se a táblázat Az értelmezési tartomány szakadásait fel kell ismernünk bizonyos matematikai tudás kell (!) Egyszerű esetben 2 adatoszlop, de több is lehet Ennek kijelölése után indítjuk a varázslót (Beszúrás/Diagramok) Pont alaptípus választás görbített vonalakkal, jelölők nélkül Vigyázzunk, más kézenfekvőnek tűnő választások nem alkalmasak erre a célra! Hibák felismerése: szintén kell bizonyos matematikai tudás Nyers grafikon, tengelyek, adatsorok hangolása Általában szükséges, sajnos az Excel több mindent nem megfelelően állít be Ha szükséges: a forrásadatok bővítése új adatsorral További adatsorhoz másodlagos tengely rendelése, hangolása 3

Maple (komputer algebra rdsz.) és Matlab (numerikus rdsz.) példák 4

Matlab (numerikus rdsz.) példák (folyt.) 5

Célunk: egy ismert matematikai függvény és integráljának ábrázolása *Ez a standard normális eloszlású valószínűségi változót jellemző eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény A függvények az Excelben elérhetők a Norm.eloszlás(x; m; σ; kapcsoló) függvényhívással (Excel 2007-ig: Norm.eloszl) Ha mégis mi akarnánk megírni (csak első fv.): Kitevő függvény kell (lásd gyak.)! A Norm.eloszlás függvény paraméterei x az aktuális argumentum m (várható érték), standard (normalizált) esetben: 0 σ (szórás), standard esetben: 1 kapcsoló: 0 esetén φ-t számol, 1 esetén Φ-t számol 6

7

Technikai megvalósítás Adattábla létrehozása Fejlécek begépelése, görög betűk: szimbólumként beszúrhatók x oszlopbeli értékek bevitele Most: 4-től +4-től 0,1-es lépésközzel Első függvényértékek bevitele a B és C oszlopokba, majd másolás Esetünkben: =Norm.eloszlás(A2;0;1;0) és =Norm.eloszlás(A2;0;1;1) Diagram beszúrása Forrásadatok kijelölése x, φ(x), Φ(x) oszlopok, majd a Diagram varázsló (Beszúrás/Diagramok) indítása és típusválasztás Pont görbített vonalakkal Megkapjuk a nyers grafikont (Nem szép, még hangolni kell) Megj.: a 2003-as Excelben ez a pont több lépés volt 8

Technikai megvalósítás (folyt.) Általános problémák a beszúrt diagramokkal (Excel 2010) A skálák nem szép megjelenítésűek (pozíció, értékek) A függvénygörbék színe tompa A vonalak csúnya vastagok Kérdés: Milyen vastag valójában egy függvény (mint matematikai objektum) grafikonja? Diagram hangolása A skálák rendbetétele (kijelölés, majd jobb gomb: Tengely formázása) x tengely: csak 4-től +4-től kérjük y tengely: skála 0-tól 1-ig tengelyfeliratok alul (osztásfeliratok minimumnál) (a betűszín pirosra állítható) 9

Technikai megvalósítás (folyt.) Diagram hangolása (folyt.) A függvénygörbék rendbetétele (rákatt., majd jobb gomb: Adatsorok formázása ) Élénkpiros szín (eloszlásfv.) 1-es vagy 0,75-ös vonalvastagság Hasonlóan a másik görbe is (élénk kék) 10

Technikai megvalósítás (folyt.) Diagram hangolása (folyt.) Másodlagos tengely felvétele a sűrűségfüggvényhez Másodlagos tengely, majd hangolás (mint előbb) Diagramcím (tudjuk) 11

Új adatsor készítése Numerikus integrálással kiszámoljuk az integrál közelítő értékét, és fel szeretnénk rakni a diagramra A D oszlopba a trapézszabály szerinti integrálközelítő értékek kerülnek, azaz az aktuális elem: az előző érték (összeg) plusz az akt. trapézocska területe Pl. a D6 cellába így =D5+(A6-A5)*(B6+B5)/2 kerül A képletet másoljuk az oszlop minden adatcellájába, kivéve az elsőt, ahová az induló =C2 érték kerül Az új adatsor felvétele Rákatt., majd jobb gomb: Adatok kijelölése Megadjuk a D oszlop adatait 12

Az új adatsor formázása Újabb gond: az új adatsor elfedi a régit Javítás: az új görbénken a vonalat kikapcsoljuk, a jelölőt beállítjuk (a színét is zöldre) 13

Nevezetes pontok elhelyezése a diagramon Határozzuk meg és tegyük fel a diagramra a kvartiliseket, azaz azokat a pontokat, amelyekre: Φ(x) = 0,25 illetve Φ(x) = 0,75 A megoldáshoz a célérték-keresést használjuk (amelyet a Solverbe építettek be) Kimásoljuk a megfelelő hármast (a középsőt nem használjuk) 14

Nevezetes pontok elhelyezése a diagramon (kvartilisek, folyt.) (Megj.: a Solver számolási pontosságát 1E-10 és 1E-15 közötti értékre célszerű beállítani) A szokásos módon felvesszük a két pontot az adatsorra De ekkor még nem látunk semmit a diagramon, csak a jelmagyarázatban Hangolási gond: nem tudunk (egykönnyen) rákattintani a pontra! Mo.: Elrendezés menüszalag, diagramelemek (kiválasztása) 15

Nevezetes pontok elhelyezése a diagramon (kvartilisek, folyt.) A kiválasztás után: kijelölés formázása A már ismert módon: nincs vonal (!), beépített jelölő, szín stb. Egyes esetekben az Excel be is húzza a vonalat, ez persze hiba Ugyanígy a 2. kvartilis is A két kvartilis együtt is felvehető Célérték kereséssel megoldható még: függvények metszéspontja (a különbség = 0), szélsőérték pontok meghatározása Utóbbinál min/max., ill. derivált = 0 is választható 16

Paraméteresen adott XY diagramok készítése Példánk: epiciklois *Ha egy nagyobb q sugarú körön a síkban végiggördítünk egy kisebb r sugarú kört, akkor a kisebbik kör egy megfigyelt pontjának a pályája egy ún. epicikloist ír le (Hasonló görbéket matematikai zsebkönyvekben találhatunk) A képlet adott, nekünk az ábrázolás a feladatunk Nálunk legyen most q = 9 és r = 3 Elnevezett cellákat használunk Az r név foglalt a 2010-es Excelben (helyette: _r) A szöget felvesszük fokban (teljes kör), majd radiánban A diagram beszúrásakor az értéktáblázatot az xe és ye tartományból vesszük (Az alfát nem vesszük bele) 17

Paraméteresen adott XY diagramok készítése Epiciklois (folyt.) A nyers diagramot itt is megfelelően hangolni kell (tengelyek, skálák, szín, vonal, diagramcím) Próbáljuk ki, hogyan változik a görbe, ha q és r értékét módosítjuk! Mely esetekben záródik a görbe egy cikluson belül, ill. *véges sok cikluson belül? 18

Kétváltozós függvények ábrázolása Hasonlóan dolgozunk, mint az egyváltozós esetben (értéktáblázat) A térbeliség érzékeltetésére az Excel színezést, rácsvonalakat és árnyékolást használ Példánk: f(x) = x 2 + y 2 19

Kétváltozós függvények ábrázolása A beszúrt nyers diagram tengelyskálázása hibás, ezt hangolni kell 20

További érdekességek Logaritmikus skálázás Nagyobb számítási feladatoknál Példánk: a prímek száma adott n-ig, és ennek becslése 21