Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók, Pascal háromszög. Gráfelméleti alapismeretek II. Hatvány, gyök, logaritmus Az egész kitevőjű hatvány és az n-edik gyök (Ismétlés) 7. A törtkitevőjű hatványok 7. Az irracionális kitevőjű hatvány, az exponenciális függvény 8. Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 8. A logaritmus definíciója, a logaritmusfüggvény 9. A logaritmus azonosságai 0 7. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 0 III. A trigonometria alkalmazásai A trigonometriáról tanultak ismétlése. Trigonometrikus egyenletek I.. Trigonometrikus egyenletek II.. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (Kiegészítő tananyag). Skaláris szorzat. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között 7 IV. Koordináta-geometria Vektorok a koordinátasíkon 8. Tájékozódás a koordináta-rendszerben 9. Helyvektorok 9. Az egyenes normálvektoros egyenlete. Az egyenes egyenlete más adatokból. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele, egyenesek metszéspontja 7. Egyenesekkel kapcsolatos vegyes feladatok 8. A kör egyenlete 9. A körök és egyenesek kölcsönös helyzete 0. A parabola (Kiegészítő anyag) V. Valószínűség-számítás, statisztika Események, műveletek események között. Klasszikus valószínűségi modell, visszatevéses mintavétel 7. A szóródás mutatói 8

Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés) a)! = 0 b)! = (Ha csak a megérkezés számít.)!!! = (Ha az is számít, hogy hányféle sorrendben lépte át az ajtót az öt ember.). a)! = ; b)!!! = 8. a)! = 0; b)! = 8. 0-ra végződő számok száma! = 0 -re végződő számok száma! = 9 Összesen:,, egymás mellett szerepel: 0-ra végződők száma!! = -re végződők száma! = Összesen: 0. kilencjegyű szám: -vel osztható: vizsgálni.) 9! = 70!!!! 7! 7! 7! 7! + + + = 00 (A -gyel való oszthatóságot elég!!!!!!!!!! 8! 8! 8!. kilencjegyű szám: + + = 00 (Az első helyen, vagy állhat.)!!!!!!!!!!!! 7.!!!!!!!!!! -vel osztható: + + + + + + + + + = 70!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a) 9 9 8 7 = 7 b) = 70 c) 7 70 = 9 d) 7 7 = 880 e) 7 880 = f) 8 8 7 7 7 = 000 (A szitaformula alkalmazása.) g) (7 8 8 7 ) = 8. a) 90 000; b) 777; c) 8 ; d) 8 7; e) 8; f) 7 0; g) 9 9. 8 a)! = 8 0 00 b) 8 7 = 7 800 c) 0 9 = 9 909 0

0. a) 8 = 08 8 b) 8 = 8 890 0 c) = 9 0 97 a) = 777 b) = 7 (Legalább egy dobás páros.) c) = 7 d) e) (Palindromszámok.) f) 9 = 97. Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés) 0 = 7 0. 0 0 a) = 0 ; b) = 8. 0 8 8 0 a) 0 + 0 8 = ; b) 0 =. = 0 7. 8 a) = 7 ; b) 8 8 8 + + = 7 9. 7. 8. = 8 7 8 9 9 8 8 8 8! =, 0 8! 8! 8! 8! 8 8 8 8 8 8! = 7, 7 0! 8! 8! 8!

Kombinatorika, gráfok 9. a)! = 70 ; b) + +! = 0 0. a)!! = 70; b)!! = 0 a) =0 9; b) + + + = 0 8; c) + + + = 8. Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög = 9. 7 = 8 0. = 0. 8 =. a) x+ x x 0 x ( ) = + + + 0 + + x x 0 x = = x + x + 0x + 0x + x+ b) ( a ) = a a a + + 0 0 ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 a + a = = a 8a + a a + c) (a + b) = 0 0 + + + a b a b a b a b + 0 a b + a b + a b = a + a b + a b + 0a b + a b + ab + b d) (x ) = 0 0 x ( ) + x ( ) + x ( ) + + + x ( ) x ( ) x ( ) + + x 0 ( ) = x x + x 0x + x x +

. Gráfelméleti alapismeretek. ábra. ábra.. ábra. Igen, például.. ábra.. Nem, mert ha az egyik embernek négy ismerőse van, akkor az összes többi embert ismeri, így viszont nem lehet olyan, akinek egy ismerőse sincsen.. a) Nem, mert a fokszámok összege páratlan. b) Nem, mert 0 és fokszám nem lehet egyszerre. c) Nem, mert két -es és -ös és -es fokszámú csúcsok nem lehetnek egyszerre. d) Igen, például.. d) ábra. 0 9 =. = 7. a).7. a) ábra D E C.. d) ábra A.7. a) ábra b) = c) Még -t, ha Dénest és Elemért is megveri (egy eset).,-t, ha egyszer nyer és egyszer döntetlent játszik (két eset). -et, ha két döntetlent játszik, vagy egyszer nyer és egyszer veszít (három eset). 0, pontot, ha egyszer döntetlent játszik és egyszer veszít (két eset). 0 pontot, ha kétszer veszít (egy eset). B

Hatvány, gyök, logaritmus 8. a gráf: komplementer gráfja: 9. Igaz. 0. Hárman.

Az egész kitevőjű hatvány és az n-edik gyök (Ismétlés) a) ; b) ; c) ; d) ; e). a) az első a nagyobb (ennek értéke 0 9, míg a másodiké 0 - ) b) az első a nagyobb (ennek értéke 9, míg a másodiké ).. a) a b ; b) ab c; c) y 9 ; d) ; e) b a a) ; b) ; c) d) 0,; e) 0; f) ; g) 0. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) 8; j). 7 9 8 8 a) = 9 > 8 = ; b) = < 7 = ; c) 8 = 7 =, < = 8 7. a) a 7 ; b) ; c) 8 ; d) 0 x 0. A törtkitevőjű hatványok a) ; b) 7; c) ; d) ; e) ; f) 8; g) ; h) 9 ; i) 000; 9 j) 0 ; k) 0,0; l) 9. a) ; b) 7 ; c) 7 ; d) ; e) ; f) ; g) 7 9. a) ; b) 09 0. a) x ; b) y 7 ; c) ; d) 0 ; c) a 7. a) x 0 = ; b) x ; c) x 8 7 0 ; d) b; e) + c ; f) d 9 ; g) d 7; h) a + 8 7

Hatvány, gyök, logaritmus. Az irracionális kitevőjű hatvány, az exponenciális függvény a) ; b) 7%-kal... ábra a) y h f i g O x b) y m j l O k x.. ábra a) Az f, g, h, i függvények grafikonja; b) A j, k, l, m függvények grafikonja. Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek. a) ; b) 7 0 ; c) 9 ; d) a) 7; b) 7 ; c) ; d). a) b) Az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán (sőt a valós számok halmazán sincs).. a) és ; b) ; c) és 8

.. a) x = és y = ; b) x = és y = ; c) Az egyenletrendszernek nincs megoldása a valós számpárok halmazán. a) x > ; b) x 7 ; c) x vagy x ; d) x <. A logaritmus definíciója, a logaritmusfüggvény a) ; b) ; c) ; d) nem racionális szám; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l). a) ; b) 0,; c) ; d) ; e) ; f),0; g),0; h) ; i) ; j) 00; k) ; l) ; m) 8 = 9787 ; n) 8 = ; o) 7 + 8 0 = 9. a) ] 7 ; [; b) ]- ;[; c) ] 8 ; [ \ {}; d) ; \ ; e) ]- ;[ ]; [; f) ; ; g) \ ; h) ];7[; i) ] 7 ;[; j) ] [ ; 7 ;.. ábra a) ] ; [ b) ]; [ c) ] ; [ d) ]; [ e) ] ; [ y c O d x e a b.. ábra 9

Hatvány, gyök, logaritmus. A logaritmus azonosságai a) ; b) ; c) ; d). a) 0; b) ; c) a; d) b. a) ; b) ; c) -; d) ; e) 0 7. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek.. a) ; b) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) a) ; b) ; c) és ; d) 0, és 0,00 a) ; b) ; c) 9; d) 9 és ; e) és. 7 a) x = 8 és y = 8; b) x = 0 és y = 0,; c) x = és y = ; d) x = és y =. a) < x < ; b) < x < ; c) < x < 9 ; d) < x < 0

A trigonometriáról tanultak ismétlése a) 88 cm 07,9 cm ; b) 9. a) 9, m ; b) 7,7. vagy. 89 0 89 vagy 0. 0. 7 7 vagy 7. cm 7,8 cm; c) cm,9 cm; a) A cos π α -t sin a val (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosság), cos (a + p) t (cos a)-val helyettesítve, sin a = cos a-t kapunk, ahonnan sin a + cos a = π b) A ctg α t tg α val tg α + = -t kapunk. Ezt cos a-val beszorozva cos α sin a + cos a = -t kapunk. π α c) = α cos α sin α tg tg tg α a tg π α α α = ctg π k, k alapján tgα = ctgα a tgα ctgα = azonosság szerint cos α sin α tg α π = /(cos α sin α)( tg α)( α k, k ) cos α sin α tg α tg α = cos α sin α cos α sin α tg α ( )( ) tg α = cos α sin α cos α + sin α + sin α sin α tg α tg α = cos α sin α tg α az = sin α + cos sin α tg α = sin α tg α sin α cos α sin α = sin α sin α sin α (cos α ) = sin α sin α = sin α α azonosság alapján sin α a tg α = alapján cos α

R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai 8. 8. a), b), c), d) ábrák a) x π π y O π p x π x b) y π O π p π p x 8. a) ábra Az f függvény grafikonja 8. b) ábra A g függvény grafikonja c) x π y x π d) x π y x 7 π p O p x π O π p x 8. c) ábra A h függvény grafikonja 8. d) ábra Az i függvény grafikonja. Trigonometrikus egyenletek I. a) π kπ + ( k ) 0 b) π π 7π π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); π rövidebben: π π π + k, + l ( k, l ) c) π π π π + kπ, + lπ ( k, l ) ; + k ( k ) d) π π + k ( k ). π l a) + kπ, π ( k, l )

b) π π π 7π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); 8 8 8 8 rövidebben: π k + π ( k ) 8 c) π 7π π π + kπ, + lπ ( k, l ); rövidebben: + k ( k ) kπ d) x 0, 9 + ( k ). a) π 7π lπ + kπ, + ( k, l ) b) π π lπ + kπ, + ( k, l ) 8 π kπ c) + ( k ) 9 π kπ d) + ( k ). π a) kπ ( k ) π kπ π b) +, + lπ ( k, l ) π π lπ + kπ, + ( k, l ) d) 9 π kπ ( k ) 0. Trigonometrikus egyenletek II. a) π π 7π π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); r π π rövidebben: + kπ, + lπ ( k, l ) b) π + kπ ( k ) c) π π + k ( k )

R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai. a) π π π π + k, + lπ, + mπ ( k, l, m, ) b) x 0, 8 + kπ, x, 000 + lπ ( k, l ) π + kπ, x, 88 + lπ ( k, l ) d) x, 7 + kπ, x, 9 + lπ ( k, l ) a) megoldás: Szorzattá alakítjuk: (sin x cos x)(sin x cos x) = 0. megoldás: Osszuk el az egyenlet két oldalát cos x-szel, így tg x tg x + = 0 egyenletet kapjuk!. megoldás: Oldjuk meg az egyenletet sin x-re, s tekintsük a cos x-et paraméternek! Megoldás: π + kπ, x 0, 7 + lπ ( k, l ) b) megoldás: Szorozzuk be az egyenlet két oldalát -vel,így sin x+ cos x = -t kapunk. A baloldal π az addíciós tételek miatt sin x +, ahonnan x+ π = 7π + k x+ π = π π és + l π ( k, l ). π 9π Így x = + kπ és x = + lπ ( k, l ).. megoldás: Emeljük mindkét oldalt négyzetre! (Vigyázat ez nem ekvivalens átalakítás!) sin x+ sin x cos x+ cos x = + sin x cos x = sin x = 7π π Ahonnan: x = + kπ vagy x = + lπ ( k, l ). A [0; π] on belüli megoldásokat visszahelyettesítve, csak két eset marad x-re: π 9π x = + kπ és x = + lπ ( k, l ).. megoldás: Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre, s szorozzunk be kettővel: sin x+ sin xcos x+ cos x = A jobb oldalt helyettesítsük sin x+ cos x-szel! Majd osszunk el mindkét oldalt cos x-szel! A kapott egyenlet tg x -re nézve másodfokú, amit a másodfokú egyenlet megoldóképletével oldhatunk meg.

. π a) k π, + lπ ( k, l ) b) Nincs valós megoldás.. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (Kiegészítő, emelt szintű tananyag) π a) π π π π π π + + π + + k ; k l ; l ( k, l ) π b) + kπ; π + kπ ( k ) 7 c) π + π π k ; + kπ ( k ). a) k π π π ; + k ( k ) π kπ π kπ b) + ; + ( k ) 8 8 c) π + kπ; kπ ( k ) [ ] ) a) kππ ; + kπ ( k kπ π kπ b) ; + ( k ). π 7 a) π π π + k ; + kπ π \ + k ( k ) π b) + kπ; π + kπ ( k ) c) kππ ; + kπ ( k [ ] ) d) kπ kπ kπ π ] ; 0, + ], 07+ ; + kπ ( k )

R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai. Skaláris szorzat a) 0; b) ; c) ; d). a) 0 ; b) 90 ; c) 8,. A legnagyobb szög (két tizedes jegyre kerekítve):, A legkisebb szög (két tizedes jegyre kerekítve):,98. a) cos 7 = cos (0 + ) = cos 0 cos - sin 0 sin = = b) sin 7 = sin (0 + ) = sin 0 cos + cos 0 sin = + = c) tg 7 = sin 7 cos 7 d) ctg 7 = = + = tg7 = = + ( ) 8 ( ) = + = + + + = ( ) + + ( )( ) =. a) cos α = cos ( α + α) = cosα cosα sinα sinα = cos α sin α b) sin α = sin ( α + α) = sinα cosα + cosα sinα = sinα cosα sinα cosβ cosα sin β c) tg (a + b) = sin( α β ) + + sinα cos β + cosα sin β cosα cos β cosα cos β = = = cos( α + β) cosα cos β sinα sin β cosα cos β sinα sin β tgα + tgβ cosα cos β cosα cos β = tgα tgβ sinα cosβ cosα sin β d) tg (a b) = sin( α β ) sinα cos β cosα sin β cosα cos β cosα cos β = = = cos( α β) cosα cos β + sinα sin β cosα cos β sinα sin β + cosα cos β cosα cos β tgα tgβ + tgα tgβ tgα + tgα tgα e) tg α = tg ( α + α) = = tgα tgα tg α + Az itt bizonyított azonosságok csak abban az esetben érvényesek, ha a bennük szereplő szögfüggvények értelmezve vannak.

. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között a) hegyesszögű b) tompaszögű c) hegyesszögű d) Nem létezik ilyen háromszög.. A trapéz szögei (két tizedes jegyre kerekítve):,, 7,7,,87, 0,. A trapéz területe: 9 cm. a, cm, b, cm, c = cm, a 7,, b 8,8, g,7. T cm.. Két ilyen paralelogramma létezik. Az elsőben a hiányzó oldal hossza, és területe:,8 cm és,0 cm. A másikban, cm és 8,7 cm..a hiányzó oldalak hossza: 9, dm és 0, dm. A háromszög szögei: 7,8,,98, 0,..A háromszög oldalai:, 0 és 8 egység. A háromszög szögei: 8,,,79, 0. 7

Koordináta-geometria Vektorok a koordinátasíkon a) a( ; ), b( 8 ; ), c( ; ), d( ; ) b) a+ b( ; ), a+ c+ d( ; ), c a( 88 ; ), a b + c( 8; 0), a+ b + c + d(;) 9 c( ; ), a+ c d( ; 8), a+ b + c( 0; 0) c) c) ábra AB ;, DB ;, BC 0;, CB 0; ( ) ( ) ( ) ( ) 0; y ; B C (0;) O D ; x A c) ábra. A ( ;8), B ( 8; ), C(; 8), D(8;) A négyzet területe: területegység, kerülete: egység.. A( ; ), B(; ), C(0; 8), D(7;) A négyzet kerülete: 0 egység, területe: 90 t.e.. Négy ilyen téglalap van. Első esetben (AB a rövidebbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(;), D(;9). Második esetben (AB a rövidebbik oldal) a két hiányzó csúcs: C( ; ), D( ; 7).. Harmadik esetben (AB a hosszabbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(8; ), D(; 9 ). Negyedik esetben (AB a hosszabbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(; ), D(; ). Az első és a második esetben a kerület 0 egység, a terület 0 t.e. A harmadik és negyedik esetben a kerület egység, a terület, t.e. a) Kerülete 0 + + 09 8, egység, területe, t.e. (Héron-képlettel számolva:,8). b) Kerülete 7 + + 0, egység, területe 7 t.e. (Héron-képlettel számolva:,8). 8

. Tájékozódás a koordináta-rendszerben Az a és c vektorok párhuzamosak.. Az a és c illetve a b és f vektorok párhuzamosak. Az a és c -re merőleges a b és az f vektor. A d merôleges az e vektorra.. Az ábrával ellentétben nem egy háromszöget, hanem egy konkáv négyszöget látunk. megoldás: A nagy háromszög rövidebbik befogójával szemközti csúcspontját origónak választva az átfogó két végpontjának (jelöljük A-val és B-vel) és a közbülső pontnak (jelöljük D-vel) a koordinátái: A(0, 0), D(8; ), B( ; ). Így AD ( 8 ; ), DB ( ; ). A két vektor nem egyállású, tehát a három pont nem egy egyenesre illeszkedik.. megoldás: A narancssárga derékszögű háromszög rövidebb befogójával szemközti szögének tangense 8. A lila derékszögű háromszög rövidebb befogójával szemközti szögének tangense. Így a két szög nem egyezhet meg.. a) P a ( 7;); b) P b (7; ); c) P c (7;); d) P d (7;); e) Pe ( ; 7) és P e ( ; 7); f) P f ( ; 7); g) P g (; ); h) P h (; )... ábra a) ( ;); b) (;8); c) ( 7 ; 7 ). a) (;), ( ;), ( ; ), (; ) b) (;), ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ;, ;, ;, ; d) (;), ( ; ) e) Az y = x egyenes origótól különböző pontjai. f) 7. (;) ;, ;, ;, ; 7 7 ;.. ábra ; B y A O 8 ; C x. Helyvektorok d = a+ c b k = a+ c 9

Koordináta-geometria. a) c = a, d = b b) kab = a+ b kbc = b a kcd = a b kad = a b c) b d) a b. Az ABC háromszög súlypontja: (; ). Az oldalfelező pontok: FAB 7 9 ;, F AC ;, FBC ; A felezőpontok által alkotott háromszög súlypontja szintén: (;). A két súlypont megegyezik.. P, 0 ;. B (; 9) 8. A két súlypont megegyezik: ( ;) 7.Bármely ABCDEF hatszög AB, CD, EF oldalainak felezőpontjai által alkotott háromszög súlypontja megegyezik a másik három oldal felezőpontjai által alkotott háromszög súlypontjával. Legyen a hatszög hat csúcsa: A(x( ; y ), B(x( ; y ), C(x( ; y ), D(x( ; y ), E(x( ; y ), F( ( x ; y ). Ekkor az oldalak felezőpontjai: x+ x y+ y FAB ; x + x y + y FBC ; x + x y + y FCD ; x + x y + y FDE ; x + x y + y FEF ; x + x y + y FFA ; 0

Az F AB F F CD EF háromszög súlypontja: x+ x x + x x + x y+ y y + y y + y + + + + ;, azaz x+ x + x + x + x + x y+ y + y + y + y + y ; Az F BC FDE F FA háromszög súlypontja: x + x x + x x + x y + y y + y y + y + + + + ;, azaz x+ x + x + x + x + x y+ y + y + y + y + y ;. Az egyenes normálvektoros egyenlete Az egyenesre illeszkednek a következő pontok: A, D, E. a) x + y = b) x y = 7 c) x + y = 9... ábra a) Az egyenes egy normálvektora: n (;). 9 Az egyenes pontjai közül három: 0;, ;, (; ). x y y x y b) Az egyenes egy normálvektora: n (; ). Az egyenes pontjai közül három: 0 ;, ( ; ), ; c) Az egyenes egy normálvektora: n (;). Az egyenes pontjai közül három: (0; ), (; ), (; 7).. Ha az A-n megy át: x + y =. Ha a B-n megy át: x + y =.. x +y = 7. 7. a) y = ; n (;). 0 b) x = ; n (; 0). n(;); x+ y = 0.. ábra O x x y

Koordináta-geometria. Az egyenes egyenlete más adatokból a) x+ 8y = ; n( ; 8) b) 7x+ y = 0; n( 7; ) c) x+ y = ; n( ; ). a) tgα = ; α 0, 9 ; v ( ; ) b) tgα = ; α, 9 ; v ( 9; ) 9 tgα = ; α 7, 7 ; v ( ; ) tgα = ; α, ; v ( ; ). a) 8, ; b) 0 ; c) 79,7 ; d),87 ; e), ; f), ; g),7 a) x + y = ; b) x + y = ; c) y = 7; d) x + y = ; e) x + y = ; f) x + y = 0. a) (0;) és (7;0) b) (0;8) és (;0) Az x y + = (a, b 0) egyenletű egyenes a koordináta tengelyeket a (0;b) és az (a;0) pontokban a b metszi. A kimetszett háromszög területe: a b, így az a) pontban keletkezett háromszög területe t.e., a b) pontban keletkezett háromszög területe t.e.. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele, egyenesek metszéspontja A b párhuzamos a d-vel és merőlegesek az a-ra. A c párhuzamos az e-vel, és merőlegesek az f-re.. A párhuzamos: x + y = 0, a merőleges: x +y = 0.

. x+ y = 8 + a) x+ y = 8 b) x+ y = 8. a) ( ;); b) (7;); c, (; 8); 9 d) ; 7 7. A(; ), B( ;), C(;) A háromszög nem derékszögű. K = 8 + + = 7 + +, egység T = t.e.. x 8y = 9 7. Egyenesekkel kapcsolatos vegyes feladatok. a) M(; ); b) M(; 9) 7 0 a) O r b) O ;, = ; ;, r = 0 Az adott egyenes és az AB felezőmerőlegesének metszéspontja, vagyis a (7; ) pont.. 0,,. Két ilyen háromszög létezik. Az első csúcspontjai: ( ; ), ( 9; ) és ( ; ). A második csúcspontjai: ( ; ), ( 9; ), ( ; 9). A kerület és a terület a két esetben megegyezik. K = 0 + egység, T =, t.e.. 9, 9 7. A négy csúcspont: A( ; 0), B(; ), C(; ), D(; ) Kerülete: 0 + + 7, 7 egység Területe: 8 t.e.

Koordináta-geometria 8. A kör egyenlete a) (x ) + (y 7) = 9 az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;7), (;7) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (;0), (;) egy belső pontja: (;8) egy külső pontja: ( 0; 0) b) (x + ) + (y ) = az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;), ( ;) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;), ( ; ) egy belső pontja: ( ;) egy külső pontja: ( 0; 0) c) x + (y + ) = 00 az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (0; ), ( 0; ) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (0;), (0; ) egy belső pontja: (0; ) egy külső pontja: (0; 0). a) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: (; 9), sugara: b) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: ( 0;0), sugara: 8. c) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: ( ;7), sugara:. d) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: (8;8), sugara: e) Nem körnek az egyenlete.. a) (x + ) + (y ) = b) (x 9) + y = c) (x ) + (y ) = d) Két ilyen kör is van: (x ) + (y ) =, illetve (x + ) + (y ) = e) Két ilyen kör is van: (x ) + (y ) = és (x 9) + (y 9) = 8. a) x+ y + ( ) = b) (x ) + (y ) = c) x+ y + = d) (x ) + (y ) = 0. Ha x = 0, akkor a levágott húr hossza: 7. Ha x =, akkor a levágott húr hossza:. Ha x = 9, akkor a levágott húr hossza:. Ha x =, akkor a levágott húr hossza:. Ha x =, akkor a levágott húr hossza: 0. Ha x =, akkor nincs levágott húr. 7

9. A körök és egyenesek kölcsönös helyzete a) (;0) és ( ;) b) (;) és (; ). A körvonal és az adott egyenesre merőleges, a kör középpontján áthaladó egyenes metszéspontjai közül az egyik pont: (;). x y = és x y =. a) (x 9) + (y ) = 8 b) (x 9) + (y ) = 9 c) ( x 9) + ( y ) = 7. Metszéspontok: ( ;) és (;). A közös húron átmenő egyenes egyenlete: x y = 7.. x +y = és x +y = 7 7. A két érintő egyenlete: x + y = és x + 7y = 7. A két érintő által bezárt szög:,. 0. A parabola (Kiegészítő, emelt szintű tananyag) p = A vezéregyenes egyenlete: y = 0 y = ( x+ ). A húr hossza:

Valószínûség-számítás, statisztika Események, műveletek események között a) A = {FFF, FFI, FIF, IFF} A : Egy érmét egymás után háromszor feldobunk, és a dobások között legfeljebb egy fej lesz. A= {FII, IFI, IIF, III}. b) B = {,, } B : A szabályos dobókockával -et vagy összetett számot dobunk. B ={,, } c) C = {,,, } C : Az,, számok véletlen sorrendje esetén az és a nem kerülnek egymás mellé. C = {, } d) D ={, } D : Egy szabályos dobókockával legalább -ast dobunk. D = {,,, } e) E = {} E : Egy szabályos dobókockával nem köbszámot dobunk. E ={,,,, } a) A + B = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } b) A B = {,,,,, } c) A B = {,,,,, } d) A = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } e) A + B ={,,,,,,,,,,, } f) A B ={,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, }.Jelöljük a lapokat a következőképpen: M (makk), Z (zöld), T (tök), P (piros) VII, VIII, IX, X, A (alsó), F (felső), K (király), Á (ász) a) piros vagy zöld figurát húzunk: {PA, PF, PK, PÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ} b) pirosat, vagy zöld figurát: {PVII, PVIII, PIX, PX, PA, PF, PK, PÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ} c) figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ, TA, TF, TK, TÁ, PA, PF, PK, PÁ} d) piros figurát húzunk: {PA, PF, PK, PÁ} e) lehetetlen esemény f) makk vagy tök figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, TA, TF, TK, TÁ} g) figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ, TA, TF, TK, TÁ, PA, PF, PK, PÁ}

. Klasszikus valószínűségi modell, visszatevéses mintavétel a) ; b) ; c) ; d)! = e) 9 ; f) 0, 98.. a) 8 0, 0; b) 0, 0008; c) 8 8 0, 0; d) 8 0, 008; e) 0, 9.. a) 0, ; b) 0, ; c). a) d) 0, 98 ; b) + 0, 79. A 7-esnek nagyobb a valószínűsége. 7. 0, 98 ; c) 0, 00 0, 88; a) b) = 0, 7 7

Valószínûség-számítás, statisztika c) 0 0 = 0, 890. A szóródás mutatói Első:,,,,,, Terjedelme: 0 Átlagos abszolút eltérése: 0 Szórása: 0 Relatív szórása: 0 Második:,,,,,, 8 Terjedelme:. Átlagos abszolút eltérése: 7 Szórásnégyzete: 8 7 8 Szórása: 07, 7 Relatív szórása: 0,78 a) Az átlag, a módusz és a medián -tal nő. A terjedelem, az átlagos abszolút eltérés és a szórás nem változik. b) Az átlag, a módusz, a medián, a terjedelem, az átlagos abszolút eltérés és a szórás 8-szorosára változik.... ábra lányok Módusz Medián Átlag Terjedelem Szórásnégyzet 8 9 Fiúk 7 Szórás 0,98 0,88 Átlagos abszolút eltérés 7 8

Tanulók száma 0 8 0 Statisztika Osztályzat.. ábra oszlopdiagram lányok fiúk 9