matematika 1. rész Viera Kolbaská Slovenské pedagogické nakladateľstvo az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4.

Viera Kolbaská matematika 9 Slovenské pedagogické nakladateľstvo az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára 1. rész Slovenské pedagogické nakladateľstvo

Szerző utorka RNDr. Viera Kolbaská, 2012 Szakmai tanácsadó Odborný garant: prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc. Lektorok Lektori: PaedDr. Dagmar ndová; RNDr. Marcel Tkáč Illustrations Bystrík Vančo, 2012 Translation RNDr. Horváth Géza, 2013 magyar fordítást lektorálta Maďarský preklad lektorovala: S. Havas Éva Grafický dizajn a obálka Ing. Urbán Zsolt Jóváhagyta a Szlovák Köztársaság Oktatási, Tudományos, Kutatási és Sportminisztériuma 2012. október 31-én 2012-15889/49049:4-919 szám alatt mint a matematika-tankönyv elsö részét az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára. jóváhagyási szám 5 évig érvényes. Első kiadás, 2013 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky pod č. 2012-15889/49049:4-919 zo dňa 31. októbra 2012 ako prvú časť učebnice matematiky pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom. Schvaľovacia doložka má platnosť 5 rokov. Prvé vydanie, 2013 Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv. ISBN 978-80-10-02356-1

Tartalom Bevezető... /4 1. Hatványok, gyökök, a nagy számok írása... /5 1.1. Négyzetre emelés, köbre emelés... /5 1.2. Természetes kitevőjű hatványok... /13 Számolás természetes kitevőjű hatványokkal (kiegészítő tananyag)... /19 1.3. 10 hatványai és a mértékegységek előtagjai közti összefüggés... /23 1.4. számok normálalakja... /27 1.5. Műveletek nagy és kis számokkal, kerekítés és becslés... /33 1.6. Négyzetgyök és köbgyök... /38 2. Pitagorasz tétele... /45 2.1. Pitagorasz tétele és a derékszögű háromszög... /45 2.2. Pitagorasz tételének gyakorlati alkalmazása... /62 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása... /66 3.1. Elsőfokú egyenletek megoldása azonos átalakítások segítségével... /66 3.2. Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek... /75 3.3. Egyszerű egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel... /89 3.4. z ismeretlen kifejezése a képletből... /97 3.5. Elsőfokú egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok... /102 4. Szimmetria a síkban... /116 4.1. tengelyes tükrözés, a szimmetriatengely. z alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése... /116 4.2. középpontos tükrözés, a tükrözés középpontja. z alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése... /122 Eredmények... /128 Módszertani megjegyzések a pedagógusok részére... /142 3

Bevezető Kedves Kilencedikes! z új kilencedikes tankönyv első részét tartod kezedben. z a célunk, hogy ismételd át az eddig tanult tananyagot, és bővítsd ki újabb ismeretekkel, amelyekre a felvételi vizsga és egyéb vizsgák alkalmával szükséged lesz. Ezért a tankönyv megjegyzéseiben találkozhatsz különféle megoldásmódokkal, a korábbi ismeretekre és készségekre vonatkozó utalásokkal, valamint azok felhasználásával az új témakörökben. Olyan dolgokkal is találkozhatsz, amelyeknek egyesek szerint semmi köze sincs a matematikához. Bekerültek a tankönyvbe, mert minden mindennel összefügg. Reméljük, hogy a hagyományostól eltérő képregény-illusztrációk színesebbé teszik, közelebb hozzák korosztályodhoz a száraz matematikai szakszöveget. matematikai feladatok megoldása fejleszti a gondolkodást. Felfrissíti az emlékezetet, és képessé tesz arra, hogy helyesen becsüljük meg a probléma megoldásának eredményét. szövegértést is gyakorolhatod, és azt is, miképp lehet kiválasztani, csoportosítani és hasznosítani a szükséges információkat. mindennapi életben épp erre lesz szükséged, amikor információkkal fogsz dolgozni vagy különböző tudományágakban problémákat kell majd megoldanod. Hogy épül fel ez a tankönyv? Első része négy fő fejezetből áll. Minden alfejezet olyan szöveggel vagy feladattal kezdődik, amelynek a címe: Idézzük fel! Idézzük fel! Ennek a sárga téglalapba írt résznek az a feladata, hogy emlékeztessen rá: mit kellene tudnod a korábbi évekből (hogyan számoltál az előző évfolyamokban). ezt a részt különféle feladatok követik: a megoldott feladatok szövegét sárga téglalapban, kék sorszámmal láthatod; 1. ezt követi a feladatok megoldása; a megoldatlan feladatokat (amelyek a tananyag begyakorlására szolgálnak) sárga téglalapban piros sorszámmal találod; az igényesebb feladatokat az igényességétől függően a feladat sorszáma mellett álló egy vagy két csillag jelzi; a számológép piktogramja azt jelzi, hogy a feladat megoldásához zsebszámológépet javasolunk, a gondolkodtató feladatokat csak azoknak szántuk, akik különösen érdeklődnek a matematika iránt; a projektfeladatokat rendszerint otthon kell megoldanod, nem kötelezőek, arra szolgálnak, hogy különféle (nemcsak matematikai jellegű) információkat szerezzél. a fontos tudnivalók egy paragrafusjellel ellátott kék téglalapban olvashatók; a segítség olyan információkat tartalmaz, amely segíthet a feladatok megoldásában; a tudáspróba gyakorlásra és önértékelésre alkalmas feladatsort tartalmaz; különféle érdekességekkel is találkozhatsz a tankönyvben ezeket a zöld mezőbe írt Tudod-e? cím jelzi; az átvett tananyag összefoglalására a témakör végén található Jegyezd meg! cím utal; ha javasoljuk az internet használatát, azt a következő piktogram jelzi: a tankönyvben többnyire két tizedesjegyre kerekített értékekkel dolgozunk. kerekítéssel a korábbi évfolyamokban már találkoztál. 1. megoldás 2. 2.* Gondolkodtató feladat Projektfeladat Segítség Tudáspróba Tudod-e? Jegyezd meg! Reméljük, hogy ebből a tankönyvből könnyen tudsz majd tanulni. szerző 4

1. Hatványok, gyökök, a nagy számok írása Idézzük fel! Ki tudjuk számítani a négyzet és a téglalap kerületét és területét, a téglatest és a kocka térfogatát és felszínét. Mi közük van a hatványokhoz? 1.1. Négyzetre emelés, köbre emelés Oldd meg ezt a két feladatot, és rögtön megérted! 1. Számítsd ki az a = 6 cm oldalú négyzet területét! 2. Számítsd ki az a = 5 cm élű kocka felszínét és térfogatát! 1. megoldás 2. megoldás z első feladatot egyesek így, mások pedig így oldották meg: második feladatot egyesek így, mások pedig így oldották meg: a = 6 cm a = 5 cm a = 6 cm T terület T = a a T = a 2 T = 6 cm 6 cm T = 6 2 cm 2 T = 36 cm 2 T = 36 cm 2 Milyen új ismerettel találkozhattunk itt? a a = a 2 z a 2 az a szám második hatványa. Így olvassuk: a a négyzeten. zt mondjuk, hogy az a számot négyzetre emeljük. Hogy számítjuk ki egy szám négyzetét és köbét? Ugyanúgy, mint ahogy a négyzet területének vagy a kocka felszínének és térfogatának kiszámításakor láthattuk. Projektfeladat Keress olyan képleteket, amelyek második vagy harmadik hatványt tartalmaznak! Írd le, mit számíthatunk ki velük! a = 5 cm a = 5 cm F felszín F = 6 a a F = 6 a 2 F = 6 5 cm 5 cm F = 6 5 2 cm 2 F = 150 cm 2 F = 150 cm 2 V térfogat V = a a a V = a 3 V = 5 cm 5 cm 5 cm V = 5 3 cm 3 V = 125 cm 3 V = 125 cm 3 Milyen új ismerettel találkozhattunk itt? a a a = a 3 z a 3 az a szám harmadik hatványa. Így olvassuk: a a köbön. zt mondjuk, hogy az a számot köbre emeljük. 5

z alábbi feladatok segítségével begyakoroljuk a tanultakat. 3. Számítsd ki a négyzet területét, ha oldala: a) a = 12 cm b) b = 0,4 dm c) c = 32 mm Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel! 3. megoldás a) T = 12 2 cm 2 = 144 cm 2 négyzet területe 144 cm 2. 6. Számítsd ki a kocka térfogatát és felszínét, ha éle: a) a = 10 cm b) b = 0,8 dm c) c = 15 mm Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel! 6. megoldás a) V = 10 3 cm 3 = 1000 cm 3 F = 6 10 2 cm 2 = 600 cm 2 12 12 b) T = 0,4 2 dm 2 = 0,16 dm 2 négyzet területe 0,16 dm 2. 0,4 0,4 c) T = 32 2 mm 2 = 1024 mm 2 négyzet területe 1024 mm 2. 32 32 4. Számítsd ki a négyzet területét, ha oldala: a) k = 11 cm 15 15 15 6 15 15 b) l = 0,53 dm c) m = 302 mm Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel! kocka térfogata 3375 mm 3, felszíne pedig 1350 mm 2. 7. 5.* z osztályban, a mosdó körül, ki kell cserélni néhány csempét egy olyan négyzet alakú területen, amelynek oldala 0,60 m hosszú. Mekkora területen kell a csempét kicserélni? z eredményt add meg cm 2 -ben! Hány darab 2 dm oldalú, négyzet alakú csempére lesz szükség? 5. megoldás mértékegység átalakítása: 0,60 m = 60 cm kijavítandó terület T = 60 2 cm 2 = 3600 cm 2 mértékegységek átváltása: 2 dm = 20 cm csempék száma: 60 cm : 20 cm = 3; 3 3 = 9. 3600 cm 2 -nyi területen kell a csempéket kicserélni, ehhez 9 csempére lesz szükség. Tudod-e? z emberek már 4000 éve ismerik a csempét. Gyönyörű, csempékkel kirakott képeket találtak az ókori egyiptomi piramisokban, Babilon romjai közt és az ókori görög házakban is. csempe Közel-Keletről származik. Egész épülethomlokzatokat is borítottak vele. Tudod-e? térkövezés is több mint 2500 éves múltra tekint vissza. Főleg utakat raktak ki kővel ezek közül azok a leghíresebbek, amelyeket a rómaiak építettek Birodalmuk területén több ezer kilométernyi utat építettek. 6 10 10 10 6 10 10 kocka térfogata 1000 cm 3, felszíne pedig 600 cm 2. b) V = 0,8 3 dm 3 = 0,512 dm 3 F = 6 0,8 2 dm 2 = 3,84 dm 2 0,8 0,8 0,8 6 0,8 0,8 kocka térfogata 0,512 dm 3, felszíne pedig 3,84 dm 2. c) V = 15 3 mm 3 = 3375 mm 3 F = 6 15 2 mm 2 = 1350 mm 2 7. Számítsd ki a kocka térfogatát és felszínét, ha élének hossza: a) e = 9 cm b) f = 0,12 dm c) g = 25 mm Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel! 8.* Medencénk szabályos négyoldalú egyenes hasáb alakú. lapélének hossza 10 m, mélysége pedig 1,5 m. Javításakor ki kellett belőle szivattyúznunk a vizet. Hány liter vizet szivattyúztunk ki a medencéből? Hány m 2 csempét kellett megrendelnünk a medence fenekének újracsempézéséhez? 8. megoldás a = 10 m h = 1,5 m = m a = 10 m z alaplap négyzet alakú. z eredményt literben kell megadnunk, ezért az élhosszúságokat dm-ben adjuk meg. mértékegységek átalakítása: a = 10 m = 100 dm, h = m = 1,5 m = 15 dm kiszivattyúzott vízmennyiség: V = a 2 m (dm 3 ) = 100 2 15 (dm 3 ) = 150 000 dm 3 = = 150 000 l. medence alja négyzet alakú: T = 10 2 m 2 = 100 m 2. medencéből 150 000 liter vizet szivattyúztunk ki, és a javításhoz 100 m 2 csempére lesz szükségünk.

z előző feladatokat négyzetre emeléssel vagy köbre emeléssel oldottuk meg. Lássunk most néhány olyan feladatot, melyben nem területet, felszínt vagy térfogatot számítunk ki. 9. Számítsd ki az alábbi számok négyzetét szorzással: a) 1 2, 16 2, 201 2, 3014 2 b) ( 1) 2, ( 16) 2, ( 201) 2, ( 3014) 2 9. megoldás a) 1 2 = 1 1 = 1 b) ( 1) 2 = ( 1) ( 1) = 1 16 2 = 16 16 = 256 ( 16) 2 = ( 16) ( 16) = 256 201 2 = 201 201 = 40 401 ( 201) 2 = ( 201) ( 201) = 40 401 3014 2 = 3014 3014 = 9 084 196 ( 3014) 2 = ( 3014) ( 3014) = 9 084 196 9. feladat megoldásából látható, hogy: z ellentett számok négyzetei egyenlők: a 2 = ( a) 2. z a és a a kölcsönösen ellentett számok. 10. Számítsd ki az alábbi számok négyzetét szorzással: a) 0,1 2, ( 0,1) 2, 3,5 2, ( 3,5) 2 b) 10. megoldás a) 0,1 2 = 0,1 0,1 = 0,01 ( 0,1) 2 = ( 0,1) ( 0,1) = 0,01 3,5 2 = 3,5 3,5 = 12,25 ( 3,5) 2 = ( 3,5) ( 3,5) = 12,25 b) 11. Számítsd ki az alábbi számok négyzetét szorzással: a) 21 2, 4,7 2, 0,91 2, b) ( 45) 2, ( 1,8) 2, Tudod-e? Néhány szám négyzetre emelésekor különös számokat kapunk: 1 2 = 1 11 2 = 121 111 2 = 12321 1111 2 = 1234321 9 2 = 81 99 2 = 9801 999 2 = 998001 9999 2 = 99980001 zokat a számokat, amelyek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza, palindrom számoknak nevezzük. Školská encyklopédia matematiky, Pavlič Gregor, Príroda, 2001 Mennyi 0 1, 0 2, 0 3...? Mennyi 2 1, 3 1, 4 1...? Négyzetre emeléskor sokat segíthet az alábbi táblázat. Másold át a füzetedbe, töltsd ki, és tanuld meg fejből! második sorba az első sorban levő számok négyzeteit írd! a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 a 2 25 144 169 400 7

12. Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással: a) 1 3, 12 3, 350 3, 1200 3 b) ( 1) 3, ( 12) 3, ( 350) 3, ( 1200) 3 12. megoldás a) 1 3 = 1 1 1 = 1 b) ( 1) 3 = ( 1) ( 1) ( 1) = 1 12 3 = 12 12 12 = 1728 ( 12) 3 = ( 12) ( 12) ( 12) = 1728 350 3 = 350 350 350 = 42 875 000 ( 350) 3 = ( 350) ( 350) ( 350) = 42 875 000 1200 3 = 1200 1200 1200 = 1 728 000 000 ( 1200) 3 = ( 1200) ( 1200) ( 1200) = 1 728 000 000 Mit gondolsz, van a köbre emelésnek valamilyen szabálya? Egyébként valaki azt mondta a hatványról, hogy hatvány olyasvalami, ami képes hatni. Mit szólsz hozzá? 13. Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással: a) 0,1 3, ( 0,1) 3, 1,4 3, ( 1,4) 3 b) 13. megoldás a) 0,1 3 = 0,1 0,1 0,1 = 0,001 ( 0,1) 3 = ( 0,1) ( 0,1) ( 0,1) = 0,001 1,4 3 = 1,4 1,4 1,4 = 2,744 ( 1,4) 3 = ( 1,4) ( 1,4) ( 1,4) = 2,744 Tudod-e? hármat bűvös számnak tartják a 3 páratlan prímszám és a második legnagyobb prímszám háromszög 3 oldal, 3 csúcs, 3 belső szög, 3 magasságvonal b) a kémiában a lítium atomszáma 3 Neked mit mond a 3-as szám? Köbre emeléskor nagy hasznát veheted az alábbi táblázatnak. Másolt át a füzetedbe! Írd a második sorba az első sorban levő számok köbét (harmadik hatványát)! a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 a 3 8 27 512 8000 14. Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással: a) 11 3, 0,7 3, 1,2 3, b) 8

15. Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi hatványokat: a) 6 3, 14 2 b) 11 2, ( 5,1) 3 c) 3,2 3, ( 6,4) 2 15. megoldás feladatot többféleképpen is megoldhatjuk. Mi úgy fogjuk megoldani, hogy kiszámítjuk a hatványok értékét, és ezeket hasonlítjuk össze. Javasolj más megoldást osztálytársaidnak! a) 6 3 = 6 6 6 = 216 14 2 = 14 14 = 196 216 > 196 6 3 > 14 2 Tehát: 6 3 > 14 2. b) 11 2 = 121 ( 5,1) 3 = 132,651 121 > 132,651 11 2 > ( 5,1) 3 Tehát: 11 2 > ( 5,1) 3. c) 3,2 3 = 32,768 ( 6,4) 2 = 40,96 32,768 < 40,96 3,2 3 < ( 6,4) 2 Tehát: 3,2 3 < ( 6,4) 2. d) > > Tehát:. Elevenítsük fel a törtek összehasonlítását! z egyenlő nevezőjű törteket a számlálójuk alapján hasonlítjuk össze: Összehasonlítás:. különböző nevezőjű törteket először közös nevezőre hozzuk, majd a számlálójuk alapján hasonlítjuk össze. közös nevező a 3, 6, 12 legkisebb közös többszöröse, tehát 12. Ezért és. Innen:, vagyis. e) negatív tört d) e) pozitív tört Mivel bármely pozitív szám nagyobb bármely negatív számnál, ezért: 17.* Számítsd ki a kifejezések értékét: a) 2 3 + ( 3) 2 + ( 2) 2 + 3 3 b) ( 5) 2 + ( 1) 3 4 2 1 2 c) 0,2 3 + ( 0,4) 2 + ( 0,3) 3 + 0,1 3 d) ( 1,2) 3 ( 1,3) 2 + ( 0,5) 3 1,01 2 e) f) 17. megoldás Először a hatványozást végezzük el, majd a kapott értékeket összeadjuk vagy kivonjuk egymásból. a) 2 3 + ( 3) 2 + ( 2) 2 + 3 3 = 8 + 9 + 4 + 27 = 48 kifejezés értéke 48. b) ( 5) 2 + ( 1) 3 4 2 1 2 = = 25 + ( 1) 16 1 = = 25 18 = 7 kifejezés értéke 7. c) 0,2 3 + ( 0,4) 2 + ( 0,3) 3 + 0,1 3 = = 0,008 + 0,16 + ( 0,027) + 0,001 = = 0,008 + 0,16 0,027 + 0,001 = = 0,008 + 0,16 + 0,001 0,027 = = 0,169 0,027 = 0,142 kifejezés értéke 0,142. d) ( 1,2) 3 ( 1,3) 2 + ( 0,5) 3 1,01 2 = e) = 1,728 1,69 + ( 0,125) 1,020 1 = = 1,728 1,69 0,125 1,020 1 = = 4,563 1 kifejezés értéke 4,563 1. törteket közös nevezőre hozzuk, majd összeadjuk. f) = kifejezés értéke. vegyes számokat törtekre alakítjuk, majd hatványozzuk: = = törteket közös nevezőre hozzuk, majd kivonjuk egymásból: = 16. Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi hatványokat: a) 0,3 3 ; 0,09 2 c) 5,1 3 ; ( 7,1) 2 b) 17 2, ( 21) 3 d) z áltörtet vegyes számra alakítjuk: 2733 : 200 = 13 m. 133 kifejezés értéke. 9

Gondolkodtató feladat hatványról tanultakból és az előző feladatok eredményeiből kiindulva fogalmazz meg egy összefüggést az alábbi hatványműveletekről: ( 4) 2, (+ 4) 2, ( 4) 3, (+ 4) 3 18.* Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét: a) 3 3 + ( 2) 2 + ( 3) 2 + 2 3 b) ( 1) 2 + ( 1) 3 1 2 + 1 3 c) 0,4 3 + ( 0,2) 2 + ( 0,4) 3 + 0,2 2 d) Projektfeladat Mennyi a nulla négyzete és köbe? Ki állapította ezt meg először a műveiben? Tudod-e? z ókori rómaiak a nullát nullae-nek, azaz semminek nevezték. 19. Másold a füzetedbe a táblázatokat, és számítsd ki az adott számok négyzetét és köbét! a) a 4 3 2 2 3 4 a 2 a 3 b) a 0,4 0,3 0,2 0,2 0,3 0,4 a 2 a 3 c) a a 2 a 3 20. a) táblázatban levő számok közül írd ki azokat, amelyeket már ismered mint valamilyen racionális szám négyzetét! 144 72 b) táblázatban levő számok közül írd ki azokat, amelyeket már ismered mint valamilyen racionális szám köbét! 64 0 0,25 1000 1 100 6400 0,9 0,125 0,27 21.* Számítsd ki a táblázatban feltüntetett kifejezések értékét! a a 2 + 2 a a 3 + 3 a a 3 a 2 a 3 + a 2 3 2 22.* Írj a és a? helyébe olyan számokat, hogy igaz legyen az egyenlőség! a) = 0,25 b) = (? : 0,25) 2 c) ( 2) 3 = (?) 3 d) = 10

Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. Ha bekarikázod a helyes válasz betűjelét, akkor ezeket összeolvasva megkapod az alábbi mondás hiányzó szavait:. BRÁTSÁG LÉTEZIK. 1. 9 négyzete: O 81 C 81 R 18 S 18 2. 4 köbe: N 12 O 64 P 16 S 64 3. ( 5) 2 hatvány értéke: 25 B 10 C 25 D 10 4. ( 6) 3 hatvány értéke: U 18 K 216 Z 18 X 216 5. 6. Á E Í Ó I G K L 7. ( 0,03) 2 hatvány értéke: Y 0,000 9 F 0,09 G 0,009 H 0,000 6 8. 0,8 2 hatvány értéke: 0,006 4 B 0,16 C 0,001 6 I 0,64 9. z és a ( 0,8) 3 hatványokra igaz, hogy: M < ( 0,8) 3 G > ( 0,8) 3 = ( 0,8) 3 P ( 0,8) 3 10. és a 2,7 3 hatványokra igaz, hogy: M > 2,7 3 N 2,7 3 < 2,7 3 P = 2,7 3 11. 10 négyzete: T 20 M 100 G 20 Z 100 Tudod-e? Vannak érdekes összecsengések. Például: 41 2 = 1681. 1681-ben tartották a soproni országgyűlést, ahol a protestáns hívők több engedményt is kaptak, melyeket a késmárki Thököly gróf harcolt ki számukra. Ezek alapján a garamszegiek (Hronsek) is felépíthették a templomukat. templomot a város falain kívül kellett felépíteni, és: 1. csak faanyagból épülhetett, 2. vasszegek felhasználása nélkül, 3. főbejárata nem nézhetett a falu vagy a város felé, 4. nem lehetett tornya, 5. egy év alatt el kellett készülnie. Győződj meg az információk valódiságáról, és próbálj meg néhány hatványhoz hozzárendelni egy történelmi eseményt! 11

Jegyezd meg! Négyzetre emelés Két egyenlő tényező szorzatát az adott szám négyzetének (második hatványának) nevezzük. Például: 6 2 = 6 6 = 36 Köbre emelés Három egyenlő tényező szorzatát az adott szám köbének (harmadik hatványának) nevezzük. Például: 6 3 = 6 6 6 = 216 0,8 2 = 0,8 0,8 = 0,64 Bármely pozitív és bármely negatív szám négyzete pozitív szám. Például: 3 2 = 3 3 = 9 ( 3) 2 = ( 3) ( 3) = 9 Általában: ( a) 2 = a 2 a és a kölcsönösen ellentett számok További összefüggések: 0 2 = 0 1 2 = 1, ( 1) 2 = 1 0,8 3 = 0,8 0,8 0,8 = 0,512 Bármely pozitív szám köbe pozitív szám. Például: 3 3 = 3 3 3 = 27 Bármely negatív szám köbe negatív szám. Például: ( 3) 3 = ( 3) ( 3) ( 3) = 27 Általában: ( a) 3 = a 3, ha a 0 További összefüggések: 0 3 = 0 1 3 = 1, ( 1) 3 = 1 12

1.2. Természetes kitevőjű hatványok Idézzük fel! Ismerjük a négyzetre emelést és a köbre emelést: a 2 = a a a 3 = a a a Így számítottuk ki: a = 2 2 2 = 2 2 2 3 = 2 2 2 a = 2 ( 2) 2 = ( 2) ( 2) ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) Mi az a, és mit mondhatunk a 2, 3 számokról? Gondolkodj el rajta! Egyszer egy bölcs azt kérte az uralkodójától, hogy szolgálataiért egy sakktábla első mezőjére mindössze két pénzérmét tegyen, és minden következőre kétszer annyit, mint az előzőre. z uralkodó megállapította, hogy ezt a jutalmat nem képes kifizetni, pedig a legkisebb pénzérmékről volt szó. Mintha ma egycentesekből indulnánk ki. Figyeljük meg, hogy miképp alakulna a jutalom mennyisége, ha a tábla első mezőjére 2 egycentest tennénk: Látható, hogy már a nyolcadik mezőre is hatalmas pénzmennyiségnek kellene kerülnie. 2 2 2 2 2 2 2 2 = 256 természetes kitevőjű hatványok fogalmának bevezetését az tette indokolttá, hogy az egyenlő tényezők szorzatát egyszerűbben le lehessen írni. sakktáblán keletkező szorzatokat így lehet egyszerűbben leírni: 2 = 2 1 2 2 = 2 2 2 2 2 = 2 3 2 2 2 2 = 2 4 2 2 2 2 2 = 2 5 2 2 2 2 2 2 = 2 6 2 2 2 2 2 2 2 = 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 10 2 ezekben a hatványokban a hatvány alapja. z 1, 2, 3,, 10 számokat hatványkitevőnek (exponensnek) nevezzük. Így olvassuk: 2 5... kettő az ötödiken 2 7... kettő a hetediken 2 10... kettő a tizediken és a 2 1 kettő az elsőn De két kitevőt a magyar nyelvben különlegesen olvasunk: 2 2... kettő a négyzeten 2 3... kettő a köbön Ha megfigyeljük a 2-es tényezőkből álló szorzatokat, megállapíthatjuk, hogy mi a kitevő jelentése. 1. Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban! 3 3 3 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. megoldás 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 Ez 4 hármas. Ez 5 négyes. Ez 7 ötös. Így írjuk le: 3 4. Így írjuk le: 4 5. Így írjuk le: 5 7. Így olvassuk: három a negyediken. Így olvassuk: négy az ötödiken. Így olvassuk: öt a hetediken. 7 7 7 7 7 7 7 7 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ez 9 hetes. Ez 11 kettes. Ez 16 egyes. Így írjuk le: 7 9. Így írjuk le: 2 11. Így írjuk le: 1 16. Így olvassuk: hét a kilencediken. Így olvassuk: kettő a tizenegyediken. Így olvassuk: egy a tizenhatodikon. 13

2. Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban! Hogy olvassuk ezeket a hatványokat? a) 0,3 0,3 0,3 b) ( 1,4) ( 1,4) ( 1,4) ( 1,4) ( 1,4) c) d) e) 0 0 0 0 0 0 2. megoldás a) 0,3 3 Így olvassuk: 0,3 a harmadikon. b) ( 1,4) 5 Így olvassuk: 1,4 az ötödiken. c) Így olvassuk: egy ketted a kilencediken. 5 5 5 5 Segítség Helyes ez? 5 3 d) Így olvassuk: a hetediken. e) 0 6 Így olvassuk: nulla a hatodikon. z n természetes szám, amit n N alakban írunk és így olvassuk: n eleme a természetes számok halmazának. Természetes számok: 1, 2, 3, 4, 5 természetes kitevőjű hatvány egy olyan a n kifejezés, amelyben az a tetszőleges valós szám a hatvány alapja, az n tetszőleges természetes szám pedig a hatvány kitevője. Így olvassuk: a az n-ediken. 3. Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban! Hogy olvassuk ezeket a hatványokat? a) 15 15 15 15 c) hatványok értékét többnyire zsebszámológéppel vagy táblázat segítségével állapítjuk meg. b) ( 0,7) ( 0,7) ( 0,7) ( 0,7) ( 0,7) d) 4. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a szorzatokat írd fel hatványalakban, és számítsd ki az értéküket! szorzat hatvány hatványérték 6 6 6 6 6 ( 0,4) ( 0,4) ( 0,4) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) 4. megoldás hatvány hatványérték 6 5 7776 ( 0,4) 3 0,064 ( 10) 6 1 000 000 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 7 1 14

5. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a szorzatokat írd fel hatványalakban, és számítsd ki az értéküket! szorzat ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 ( 100) ( 100) ( 100) hatvány hatványérték ( 2) 8 2 8 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1,2) ( 1,2) ( 1,2)..... Helyes ez? 6. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a hatványalakban írt számot írd fel szorzatként, és számítsd ki a hatvány értékét! a) hatvány szorzat hatványérték 2 8 0,5 4 6. megoldás a) szorzat hatványérték 2 2 2 2 2 2 2 2 256 0,5 0,5 0,5 0,5 0,062 5 b) hatvány szorzat hatványérték ( 2) 8 ( 0,5) 4 b) szorzat hatványérték ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 256 ( 0,5) ( 0,5) ( 0,5) ( 0,5) 0,062 5..... 7. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a hatványalakban írt számot írd fel szorzatként, és számítsd ki a hatvány értékét! a) hatvány szorzat hatványérték 3 7 1,2 3 7. megoldás a) szorzat hatványérték 3 3 3 3 3 3 3 2 187 1,2 1,2 1,2 1,728 b) hatvány szorzat hatványérték ( 3) 7 ( 1,2) 3 b) szorzat hatványérték ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 2187 ( 1,2) ( 1,2 ) ( 1,2) 1,728 15

Mit mondhatunk a pozitív és a negatív számok hatványairól? Tudjuk, hogy: ( 2) 4 = 2 4 ( 3) 5 = 3 5 ( a) 2k = a 2k, ahol a 2k páros számot jelent, ha k N, a > 0. ( a) 2k 1 = a 2k 1, ahol a 2k 1 páratlan számot jelent, ha k N, a > 0. Két ellentett szám páros kitevőjű hatványa egyenlő. pozitív és a negatív számok páros kitevőjű hatványa mindig pozitív szám. negatív szám páratlan kitevőjű hatványa negatív szám. Tudod-e? Mezopotámiában már a Kr. e. 3. évezredben sok feladatot táblázattal oldottak meg. Táblázataik a számok második és harmadik hatványait is tartalmazták. Dejiny prírodných vied, Jaroslav Folta és Luboš Nový, Smena,1981 Tudod-e? Egy felnőtt ember agyának (latinul encephalon) a tömege körülbelül 1400 gramm. Körülbelül 1,2. 10 10 neuronból és 5. 10 10 támasztósejtből áll. z agy az egész testünk működését irányítja, és egyetlen számítógép sem veheti fel vele a versenyt. 8. Írd le, hogy pozitív vagy negatív eredményt kapunk-e a hatványozás után! a) ( 15) 2 c) ( 0,03) 14 e) g)* (3,5 7,8) 5 b) ( 6) 11 d) ( 0,27) 9 f) h)* 8. megoldás a) ( 15) 2 kitevő páros szám (2), ezért a hatvány értéke pozitív. ( 15) 2 > 0 b) ( 6) 11 kitevő páratlan szám (11), az alap negatív ( 6), tehát a havány értéke negatív. ( 6) 11 < 0 c) ( 0,03) 14 kitevő páros szám (14), tehát a hatvány értéke pozitív. ( 0,03) 14 > 0 d) ( 0,27) 9 kitevő páratlan (9), a hatvány alapja pedig negatív szám ( 0,27), ezért a hatvány értéke negatív. ( 0,27) 9 < 0 e) kitevő páratlan (3), a hatvány alapja pedig negatív szám, < 0 ezért a hatvány értéke negatív. f) kitevő páratlan (17), a hatvány alapja pedig negatív szám, < 0 ezért a hatvány értéke negatív. g)* (3,5 7,8) 5 Kiszámítjuk a zárójelben levő különbség értékét: 3,5 7,8 = 4,3. Ebből (3,5 7,8) 5 = ( 4,3) 5. kitevő páratlan (5), a hatvány alapja pedig negatív szám ( 4,3), tehát a hatvány értéke negatív. (3,5 7,8) 5 < 0 h)* kitevő páros szám (8), tehát a hatvány értéke pozitív. > 0 16

9. Írd a számok közé a <, > jelek közül a megfelelőt! a) 2,7 3... 0 c)... 0 b) ( 0,6) 4... 0 d)... 0 Tudod-e? 20. század ötvenes éveiben a Kassa (Košice) melletti Bárca (Barca) községben, amely ma már a város része, olyan számolókockákat találtak, amelyek állítólag a Kr. e. 14. századból származnak. Keress az interneten információkat a számolókockákról! 10. Írd a számok közé a <, >, = jelek közül a megfelelőt! Zichy-család kastélya Bárcán. Fotó: Tizo1 a) 3 4... ( 3) 4 c)... b) ( 1,9) 15... 1,9 15 d)... 11. Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó műveleteket! a) ( 6) 3 + ( 4) 2 c) b) ( 0,03) 2 + ( 0,1) 4 d) 12. Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó műveleteket! a) ( 2) 5 ( 3) 2 c) b) ( 0,01) 2 ( 0,1) 4 d) 13. Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó műveleteket, majd rendezd az eredményeket növekvő sorrendbe! ( 2) 4 ( 3) 3 14. a) z alábbi feladatok eredményei az 1, 64, 32, 64, 32, 1 számok közül kerülnek ki: 4 5 : ( 2) 4 = 8 3 : ( 4) 2 = ( 3) 4 : ( 9) 2 = Párosítsd össze az eredményeket a feladatokkal! b) = és a ( 0,75 + 0,25) 3 = feladatok eredményeit az alábbi hatványok között találod: 0,25 3 0,5 3 ( 0,5) 3 ( 0,25) 3 Párosítsd össze az eredményeket a feladatokkal! c) törtek mindegyike az alábbi feladatok valamelyikének eredménye: = ( 1) 2 = 1 4 = ( 0,02) 2 ( 0,1) 4 Párosítsd össze az eredményeket a feladatokkal! Gondolkodtató feladat lkoss néhány feladatot az alábbi hatványok felhasználásával! ( 1) 2, ( 2) 4, ( 3) 3, ( 4) 2 Számítsátok ki közösen ezeket a feladatokat! 17

Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. 8 negyedik hatványa: pozitív szám B negatív szám C 0 D 8 4 2. 7 ötödik hatványa: pozitív szám B negatív szám C 0 D 7 5 3. ( 1) 6 hatvány értéke: 1 B 1 C 6 D 6 4. ( 4) 5 hatvány értéke: 1024 B 20 C 20 D 1024 5. B C D 64 6. B C D 7. z adott hatványok értékei közül melyik a legnagyobb? ( 1)5 B ( 2)3 C 14 D 2 2 8. z adott hatványok értékei közül melyik a legkisebb? ( 0,2)5 B 0,3 1 C 0,052 D ( 0,01) 6 9. és a ( 0,5) 7 hatványokról elmondható: < ( 0,5) 7 B > ( 0,5) 7 C = ( 0,5) 7 10. és a 1,3 4 hatványokról elmondható: < 1,3 4 B > 1,3 4 C = 1,3 4 Jegyezd meg! természetes kitevőjű a n hatvány n darab a tényező szorzata. Például: a 4 = a a a a 4-tényezős szorzat a 5 = a a a a a 5-tényezős szorzat a a hatvány alapja z a egy tetszőleges valós szám, amit a kívánt hatványra emelünk. n a hatványkitevő (exponens) z n természetes szám (1, 2, 3, 4, 5...). z n azt mutatja, hogy hány egyenlő tényezőt kell összeszoroznunk. Ha a kitevő páros, akkor ( a) 2k = a 2k, ahol k N, a > 0. Ha a kitevő páratlan, akkor ( a) 2k 1 = a 2k 1, ahol k N, a > 0. További összefüggések: 1 n = 1, 0 n = 0 (n N ). 18

Számolás természetes kitevőjű hatványokkal Ha tudjuk, mi a természetes kitevőjű hatvány, nem árt, ha számolni is tudunk vele. Összeadhatók? Kivonhatók egymásból? Összeszorozhatók? Eloszthatók egymással? 3 1 3 3 3 2 7 Idézzük fel! 15. Számítsd ki a következő kifejezés értékét: 3 5 2 4 3 3 7 2 1 8 7 3 9 1 9 6 8 3 15. megoldás Így számolunk: Először kiszámítjuk szorzással az összes hatvány értékét: ( 4) 2 = ( 4) ( 4) = 16 Majd összeadjuk az eredményeket: ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 16 kifejezés értéke. De így is számolhatunk: Hasznosítjuk a negatív számok páros és páratlan kitevőjű hatványairól tanultakat. ( 4) 2 ( 2) 4 = Ezt követően ugyanúgy adhatjuk össze a kapott értékeket, mint az előző módszernél: 16. Ha a 15. feladat nehéznek tűnt, számítsd ki az alábbi kifejezés értékét! Más megoldás is létezik. Biztosan magadtól is rájössz, ha áttanulmányozod ezt a fejezetet. 16. megoldás Kiszámítjuk a hatványok értékét, megszorozzuk a törteket, egyszerűsítünk, majd összeadjuk a szorzatokat. 4 3 = 4 4 4 = 64 ( 9) 2 = ( 9) ( 9) = 81 törteket a szorzás elvégzése előtt is egyszerűsíthetjük. Oldd meg a feladatot a törtek egyszerűsítésével! kifejezés értéke 86. 19

17. Számítsd ki a kifejezés értékét! 17. megoldás Ezt a feladatot is úgy oldjuk meg, hogy először elvégezzük a hatványozást. 5 3 = 5 5 5 = 125 ztán elvégezzük a szorzást, majd az összeadást. = 250 + 500 = 750 Más módon is megoldhatjuk a feladatot. Figyeld meg, hogyan! 2 5 3 + 4 5 3 = (2 + 4) 5 3 = 6 5 3 = 6 125 = 750 kifejezés értéke 750. z egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat össze lehet adni és ki lehet vonni egymásból. lgebrai hatványok összeadása 18. dd össze az alábbi hatványokat! a) c) 0,5 y 9 + 1,5 x 2 + 2,5 y 9 + 3,5 x 2 z egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat összeadjuk. b) 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 2 + x 3 d) 18. megoldás Összeadjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat. a) 2 b 2 + 5 b 2 = (2 + 5) b 2 = 7 b 2 b) 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 2 + x 3 = 2 x 2 + 4 x 2 + 3 x 3 + x 3 = = (2 + 4) x 2 + (3 + 1) x 3 = 6 x 2 + 4 x 3 c) = (0,5 + 2,5) y 9 + (1,5 + 3,5) x 2 = 3 y 9 + 5 x 2 d) = = = törteket külön is összeadhatjuk. Kiemeljük, majd összeadjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat. Hatványok kivonása 19. Vond ki egymásból az alábbi hatványokat! a) 5 3 4 2 3 4 c) 10,8 y 9 1,2 y 9 b) 2 a 3 5 a 3 d) 6 x 2 0,8 x 7 4 x 2 0,2 x 7 19. megoldás z egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat kivonjuk egymásból. a) 5 3 4 2 3 4 = (5 2) 3 4 = 3 3 4 = 3 5 b) 2 a 3 5 a 3 = (2 5) a 3 = 3 a 3 c) 10,8 y 9 1,2 y 9 = (10,8 1,2) y 9 = 9,6 y 9 d) 6 x 2 0,8 x 7 4 x 2 0,2 x 7 = = (6 4) x 2 + ( 0,8 0,2) x 7 = 2 x 2 + ( 1) x 7 = = 2 x 2 x 7 z egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat kivonhatjuk egymásból. 4 3 2 2 3 2 = 3 2 + 3 2 + 3 2 + 3 2 3 2 3 2 = = 3 2 + 3 2 = 2 3 2 4 3 2 2 3 2 = (4 2) 3 2 = 2 3 2 Kiemeljük, majd kivonjuk egymásból az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat. 20

Hatványok szorzása 20. Szorozd össze az alábbi hatványokat! a) 4 2 4 1 c) (2 x 9 ) (4 x 6 ) b) a 7 a 4 d) 20. megoldás közös alapot leírjuk, a kitevőket pedig összeadjuk. a) 4 2 4 1 = 4 2 + 1 = 4 3 b) a 7 a 4 = a 7 + 4 = a 11 c) (2 x 9 ) (4 x 6 ) = (2 4) x 9 + 6 = 8 x 15 d) = törtek szorzásánál az ún. keresztszabályt alkalmaztuk. z egyenlő alapú hatványokat összeszorozhatjuk. 3 2 3 3 = (3 3) (3 3 3) = 243 = 3 5 a 3 a 4 = (a a a) (a a a a) = a 7 (5 b 2 ) (3 b 4 ) = (5 3) b 2 b 4 = = 15 (b b) (b b b b) = 15 b 6 z egyenlő alapú hatványok szorzásakor a kitevőket összeadjuk: a r a s = a r + s Ha a hatványokat más számokkal is szorozzuk, akkor azokat külön szorozzuk össze. Hatványok osztása 21. Oszd el az alábbi hatványokat! a) 5 3 : 5 1 c) (12 x 9 ) : (4 x 6 ) b) a 8 : a 5 d) z egyenlő alapú hatványokat eloszthatjuk egymással. 3 5 : 3 3 = 243 : 27 = 9 = 3 2 21. megoldás közös alapot leírjuk, a kitevőket pedig kivonjuk egymásból. a) 5 3 : 5 1 = 5 3 1 = 5 2 b) a 8 : a 5 = a 8 5 = a 3 c) (12 x 9 ) : (4 x 6 ) = (12 : 4) x 9 6 = 3 x 3 d) = =. y 5 3 = vegyes számot törtre alakítottuk, majd elosztottuk egymással. Ez azt jelenti, hogy az első törtet megszoroztuk a második tört reciprok (fordított) értékével. (24 b 6 ) : (6 b 4 ) = = = 4 b 2 z egyenlő alapú hatványok osztásakor a kitevőket kivonjuk egymásból: a r : a s = a r s Ha a hatványok előtt más számok is állnak, azokat külön elosztjuk egymással. Hatványok hatványozása 22. Hatványozd az alábbi hatványokat! a) (7 2 ) 3 c) (3 b 3 ) 4 b) (a 5 ) 3 d) 22. megoldás z alapot leírjuk, a kitevőket pedig összeszorozzuk. a) (7 2 ) 3 = 7 2 3 = 7 6 b) (a 5 ) 3 = a 5 3 = a 15 c) (3 b 3 ) 4 = 3 4 b 3 4 = 3 4 b 12 d) = x 3 4 y 2 4 = x 12 y 8 Hatványokat hatványozhatunk. (3 3 ) 2 = (27) 2 = 729 = 3 6 (a 4 ) 3 = a 4 a 4 a 4 = a 4 + 4 + 4 = = a 3. 4 = a 4. 3 = a 12 (2 a 3 ) 2 = (2 a 3 ) (2 a 3 ) = = (2 2) a 3 + 3 = 4 a 2. 3 = 4 a 3. 2 = 4 a 6 Hatvány hatványozásakor a kitevőket összeszorozzuk: (a r ) s = a r. s 21

Vegyes műveletek hatványokkal 23.* Hozd a hatványokat közös alapra, majd számítsd ki! a) 7 3 49 c) 3 4 9 6 b) 5 6 : 125 d) 2 10 : 16 2 16 = 4. 4 = 4 2 16 = 2. 2. 2. 2 = 2 4 Egy bölcs egyszer ezt mondta: Nem mindenki lát, aki néz. Ezért figyelmesen olvasd el a magyarázatokat, segítségedre lehetnek a feladatok megoldásakor! Segítség Melyik tananyag jut eszedbe a hatványokról? Ez az algebrai kifejezésekről szóló tananyag. 24. Hozd egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket! a) ( 5a 2 + 2a 3 ) ( 3a 2 ) b) ( 15b 2 + 6b 4 ) : ( 3b 2 ) 24. megoldás műveletek disztributív tulajdonságát és a hatványokról tanultakat alkalmazzuk: a) ( 5a 2 + 2a 3 ) ( 3a 2 ) = ( 5a 2 ) ( 3a 2 ) + (2a 3 ) ( 3a 2 ) = = 15a 4 6a 5 b) ( 15b 2 + 6b 4 ) : ( 3b 2 ) = ( 15b 2 ) : ( 3b 2 ) + (6b 4 ) : ( 3b 2 ) = = 5 2b 2 25.** Hozd egyszerűbb alakra! a) ( 3a 3 + 4a 2 ) ( 2a 4 ) + (3a + 2a 4 ) a 3 b) (0,5b 6 + 0,5b) b 2 b 3 (0,4b 5 + 0,2b 4 ) c) (25c 5 + 5c 4 ) : ( 5c 3 ) + (9c 2 + 3c 4 ) : (3c 2 ) d) (1,5d 7 + 2,5d 5 ) : (0,5d 4 ) (0,4d 5 0,2d 3 ) : d 3 e) (2e 4 ) 3 Segítség disztributív törvény: (a + b) c = a c + b c (a + b) : c = + ; c 0 Megegyezés z algebrai kifejezésekben a 3 x szorzatot 3x alakban írjuk. Ugyanígy: 3 a 2 = 3a 2 f) Jegyezd meg! Egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat úgy adunk össze vagy vonunk ki egymásból, hogy összeadjuk vagy kivonjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat. Például: 3x 4 + 10x 4 = 13x 4 5,8y 2 3,5y 2 = 2,3y 2 z egyenlő alapú hatványokat úgy szorozzuk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. a r a s = a r + s, az r, s kitevők természetes számok, például: x 2. x 5 = x 7 z egyenlő alapú hatványokat úgy osztjuk el egymással, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. a r : a s = a r s, az r, s kitevők természetes számok és az a 0, például: y 5 : y 3 = y 2, y 0 Hatványok hatványozásakor az alapot a kitevők szorzatára emeljük. (a r ) s = a r. s, az r, s kitevők természetes számok, például: (z 5 ) 2 = z 10 22

1.3. 10 hatványai és a mértékegységek előtagjai közti összefüggés Sokszor emlegetjük a hatványokat. Vajon miért? Hatványokra szükség van a síkidomok területének, a kocka felszínének, térfogatának kiszámításához, de a henger és a kúp felszínének és térfogatának kiszámításához is. És ez még csak a matematika. Hol van még a többi tudományág? fizika, a kémia, a biológia? Állapítsd meg, hol fordulnak elő még hatványok! Ez a következő projektfeladatod. Külön fejezetet érdemelnek a 10 hatványai. Még mielőtt mást is mondanánk róluk, felidézünk néhány olyan feladatot, amelyekben hatványokkal kellett számolni. Tudod-e? számok helyiértékes írását először az ókori egyiptomiak alkalmazták. 10-et a sarokcsont alakjával, a 100-at egy felemelt kötéllel, az 1000-et lótuszvirággal, a 10 000-et fölemelt ujjal, a 100 000-et békával szemléltették. Školská encyklopédia matematiky, Príroda, 2001 Idézzük fel! 1. 1. Írd fel a 243; 3725; 2,136; 10,59 számok tízes számrendszerbeli kifejtését! 1. megoldás Eddig így írtuk le: 243 = 2 100 + 4 10 + 3 1 3725 = 3 1000 + 7 100 + 2 10 + 5 1 2,136 = 2 1 + 1 + 3 + 6 10,59 = 1 10 + 0 1 + 5 0,1 + 9 0,01 Most hatványok segítségével fogjuk leírni, tehát így: 243 = 2 10 2 + 4 10 1 + 3 10 0 3725 = 3 10 3 + 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10 0 2,136 = 2 10 0 + 1 10 1 + 3 10 2 + 6 10 3 10,59 = 1 10 1 + 0 10 0 + 5 10 1 + 9 10 2 Nem beszéltünk még a 0 kitevőről. Miért 1 a 0 kitevőjű hatványok értéke? Végezzük el pl. a következő osztást: Nem beszéltünk a 10 negatív kitevőjű hatványairól. Ez az ismeret nem tartozik a kötelező tananyaghoz. De mindig jobb többet tudni, mint kevesebbet. 5 3 : 5 3 = 5 3 3 = 5 0 5 3 : 5 3 5 0 = 1 5 3 : 5 3 = 125 : 125 = 1 Megegyezés Bármely nullától különböző szám nulladik hatványa 1. 3 0 = 1 0,56 0 = 1 = 1 ( 7) 0 = 1 Megegyezés 10 negatív hatványainak tulajdonságai: 0,1 = = 10 1 0,01 = = 10 2 0,001 = = 10 3 0,000 1 = = 10 4 Megjegyzés tízes számrendszert tízes alapú helyiértékes rendszernek is nevezhetjük. Megjegyzés Egy szám 10 hatványaival történő felírását a szám tízes számrendszerbeli kifejtésének is nevezhetjük. 23

2. Írd fel a táblázatban olvasható számokat a 10 hatványaként! z így felírt számok megkönnyíthetik a következő feladatok megoldását. n 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 n 3. Írd fel a 12, 347, 3560, 56 709, 102 568 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványaival! 3. megoldás 12 = 1 10 1 + 2 10 0 347 = 3 10 2 + 4 10 1 + 7 10 0 3560 = 3 10 3 + 5 10 2 + 6 10 1 + 0 10 0 56 709 = 5 10 4 + 6 10 3 + 7 10 2 + 0 10 1 + 9 10 0 102 568 = 1 10 5 + 0 10 4 + 2 10 3 + 5 10 2 + 6 10 1 + 8 10 0 zt mondják, hogy a nullatényezős szorzatot le sem kell írni. Én inkább leírom, hogy kevesebb hibát kövessek el. 4. Írd fel az 1 002 304, 60 985 321, 132 465 021, 9 780 325 405 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványaival! 5. Írd fel a 3,5; 0,23; 42,025; 305,123 05 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványai nélkül és a 10 hatványaival! 5. megoldás Felbontás hatványok nélkül: 3,5 = 3 1 + 5 0,1 0,23 = 0 1 + 2 0,1 + 3 0,01 42,025 = 4 10 + 2 1 + 0 0,1 + 2 0,01 + 5 0,001 305,123 05 = 3 100 + 0 10 + 5 1 + 1 0,1 + 2 0,01 + 3 0,001 + 0 0,000 1 + 5 0,000 01 Felbontás hatványokkal: 3,5 = 3 10 0 + 5 10 1 0,23 = 0 10 0 + 2 10 1 + 3 10 2 42,025 = 4 10 1 + 2 10 0 + 0 10 1 + 2 10 2 + 5 10 3 305,123 05 = 3 10 2 + 0 10 1 + 5 10 0 + 1 10 1 + 2 10 2 + 3 10 3 + 0 10 4 + 5 10 5 6. Írd fel a 6,731; 105,3; 652,34; 0,231 056 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványai nélkül és a 10 hatványaival! 7. Írj a helyébe alkalmas számjegyeket, hogy igaz legyen az egyenlőség! -ok helyébe különböző számjegyek kerülhetnek. a) 2 = 10 1 + 6 10 0 5 7 = 10 2 + 4 10 1 + 10 0 8509 = 10 3 + 10 2 + 0 10 + 9 0 36 026 = 10 4 + 6 10 + 10 2 + 2 1 + 6 10 b) 0,2 = 10 0 + 2 10 5,7 = 10 0 + 10 1 + 4 10 2 20,921 = 10 1 + 10 0 + 9 10 + 2 10 + 10 3 328,36 = 10 2 + 10 1 + 10 + 3 10 + 10 2 24

Mit kellene tudnunk a 10 hatványairól? Mértékegységek Nemzetközi Rendszerében (SI) alkalmazzuk a 10 hatványait. Egyezményes nevük, jelölésük van Egy részüket az alábbi táblázatban olvashatod. SI-rendszerbeli előtagok 10 n előtag jele jelentése hányszoros eredete példa 10 6 mega- M millió 1 000 000 görög nagy MeV megaelektronvolt 10 3 kilo- k ezer 1 000 gör. ezer kg kilogramm 10 2 hekto- h száz 100 gör. száz hpa hektopascal 10 1 deka- da tíz 10 gör. tíz dag dekagramm 10 0 egy 1 m méter 10 1 deci- d tized 0,1 lat. decimus tizedik db decibel 10 2 centi- c század 0,01 lat. centum száz cm centiméter 10 3 milli- m ezred 0,001 lat. mille ezer mm milliméter 10 6 mikro- μ milliomod 0,000 001 gör. kicsi μ mikroamper 10 9 nano- n milliárdad 0,000 000 001 gör. törpe nt nanotesla z SI-rendszerben például a kilo előtag azt jelzi, hogy az alapegység ezerszerese, tehát a kilométer 1000 métert, a kilowatt ezer wattot jelent. Ezzel szemben a milli azt jelzi, hogy az alapegység ezredrésze, ze, tehát a milliméter liméte a méter ezrede, a milliamper az amper ezrede. Projektfeladat Dolgozz ki egy olyan projektet, amelyben felhasználod a táblázatban felsorolt előtagokat. többi tantárgy mint a fizika, a kémia, a biológia és a földrajz bőségesen szolgálhat példákkal. 8. Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 2,3 km (m), 0,5 km (dm), 0,025 km (cm) b) 4,29 m (dm), 0,8 m (cm), 0,05 m (mm) c) 6,8 dm (cm), 0,8 dm (mm) 9. Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 2,3 km 2 (m 2 ), 0,5 km 2 (dm 2 ), 0,025 km 2 (cm 2 ) b) 4,29 m 2 (dm 2 ), 0,8 m 2 (cm 2 ), 0,05 m 2 (mm 2 ) c) 6,8 dm 2 (cm 2 ), 0,8 dm 2 (mm 2 ) d) 0,8 ha (a), 1,2 ha (m 2 ) e) 45 a (m 2 ) 10. Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel a) 4,29 m 3 (dm 3 ), 0,8 m 3 (cm 3 ), 0,05 m 3 (mm 3 ) b) 6,8 dm 3 (cm 3 ), 0,8 dm 3 (mm 3 ) c) 0,5 hl (l), 2,5 hl (dl), 0,09 hl (cl) d) 4,1 l (dl), 0,60 l (ml), 0,003 l (cl) z alábbi feladatokban ismételd át a mértékegységek átváltását! z előtagok jelentését leolvashatod a fenti táblázatból. 11. Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 420 m (km), 2 050 dm (km), 310 256 cm (km) b) 260 dm (m), 10 260 cm (m), 36 560 mm (m) c) 560 cm (dm), 3075 mm (dm) 12. Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 36 580 m 2 (km 2 ), 389 560 cm 2 (km 2 ), 4 500 200 dm 2 (km 2 ), b) 30 250 dm 2 (m 2 ), 106 520 cm 2 (m 2 ), 560 000 mm 2 (m 2 ) c) 3298 cm 2 (dm 2 ), 6280 mm 2 (dm 2 ) d) 125 a (ha), 650 250 m 2 (ha) e) 562 m 2 (a) 13. Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 5620 dm 3 (m 3 ), 952 cm 3 (m 3 ), 7450 mm 3 (m 3 ) b) 10 253 cm 3 (dm 3 ), 650 280 mm 3 (dm 3 ) c) 450 l (hl), 56 000 dl (hl), 4 580 000 cl (hl), 350 cl (dl) d) 320 dl (l), 4120 cl (l), 10 250 ml (l), 3520 ml (dl) 25

Megjegyzés Emlékszel még a mértékegységek átalakítására? Ha nagyobb mértékegységet alakítunk kisebbre, akkor a mérőszámot 10-zel, 100-zal, 1000-rel kell megszoroznunk. nagyobbat kisebbre 0,5 dm-t cm-re 0,5 szer 10 0,5 10 = 5 0,5 dm = 5 cm Ha kisebb mértékegységet alakítunk nagyobbra, akkor a mérőszámot 10-zel, 100-zal, 1000-rel kell elosztanunk. kisebbet nagyobbra 420 mm-t dm-re 420 osztva 100 420 : 100 = 4,20 420 mm = 4,2 dm 14. Ha az alábbi különböző egységekben adott számkártyákat a rajtuk olvasható mennyiségek szerint csökkenő sorrendbe rendezed, akkor a betűjeleikből egy-egy értelmes szót kapsz. a) 0,652 dm T 526 mm I 0,000 625 km 5,62 dm F 256 cm R 2,65 m G b) 0,000 356 a Ő 56,3 dm 2 R 35 600 cm 2 Ö 53 600 mm 2 Z 3,65 m 2 K c) 5,87 dm 3 E 8750 cm 3 Z 0,007 58 hl Ü 5,78 l T 0,785 m 3 F 15. Döntsd el, hogy az állítás igaz vagy hamis! a) Egy méter több, mint 50 cm. Igaz Hamis Egy km kevesebb, mint 1500 m. Igaz Hamis 10 dm több, mint 1000 cm. Igaz Hamis 1000 mm kevesebb, mint 100 dm. Igaz Hamis b) 100 m 2 több, mint 100 dm 2. Igaz Hamis Egy cm 2 kevesebb, mint 1 m 2. Igaz Hamis 10 000 dm 2 ugyanannyi, mint 10 m 2. Igaz Hamis 100 000 mm 2 több, mint 100 cm 2. Igaz Hamis c) Egy liter több, mint 1 dm 3. Igaz Hamis 100 hl annyi, mint 10 dm 3. Igaz Hamis 1 000 000 cm 3 kevesebb, mint 1 liter. Igaz Hamis Egy m 3 több, mint 10 liter. Igaz Hamis 26

1.4. számok normálalakja Ebben a fejezetben minden feladatot zsebszámológép nélkül számítunk ki. Idézzük fel! 1. Számítsd ki az alábbi feladatokat! Jó bemelegítés lesz ez a további számításokhoz. 2 150 000 + 3 425 000 = 5 890 000 2 560 000 = 7 891 000. 500 = 12 150 000 : 5000 = 1. megoldás 2 150 000 3 425 000 5 575 000 5 890 000 2 560 000 3 330 000 7 891 000. 500 3 945 500 000 12 150 000 : 5000 = 2430 10 000 2 150 0 2 000 0 150 00 150 00 00 0 0 Nullák nélkül is számolhatunk. 2 150 000 3 425 000 Most visszaírjuk a nullákat: 5 575 000 Nullák nélkül is számolhatunk. 5 89 0 000 2 56 0 000 Most visszaírjuk a nullákat: 3 330 000 Nullák nélkül is számolhatunk. 7 891 000. 5 00 Most visszaírjuk a nullákat: 3 945 500 000 Úgy is számolhatunk, hogy ugyanannyi nullát törlünk mindkét számból. 12 150 000 : 5000 = 2430 Tudod-e, hogy... valamikor ezeket a számokat nagy számoknak nevezték? Például azokat is, amelyek az alábbi táblázatban a szomszédos országok népességét tartalmazzák 2011-ből. Forrás: Wikipédia Ország Népesség Magyarország 10 019 000 Lengyelország 38 116 000 Ukrajna 46 490 000 usztria 8 402 000 Csehország 10 507 000 statisztikusok sorba rendeznék, oszlopdiagramot készítenének az adatokból, kiszámítanák a százalékarányukat, és kördiagramot szerkesztenének. Hogy nevezzük azt a tudományágat, amely az egyes térségek népességével foglalkozik? demográfia? etnográfia? ökonómia? Állapítsd meg, hogy mit ír erről az Idegen szavak szótára. 2. Életünk a víztől függ. dd össze a táblázatban feltüntetett szlovákiai folyók hosszát! folyó neve Hossza méterben Nyitra (Nitra) 196 700 Vág (Váh) 403 000 Garam (Hron) 298 000 Hernád (Hornád) 193 000 Ipoly (Ipoly) 232 500 Duna (Dunaj) 172 000 Szerinted mire használható a kiszámított adat? Garam Barsváradnál (Tekovský Hrádok). fotó: Gcenkei És a vízierőművek? halgazdálkodás, a hajózás, a pihenés? 27

Ha nagy számokkal számolunk, másfajta segítséget is kaphatunk. Például a 10 hatványaitól. 3. Segítség 10 = 10 1 100 = 10 2 1000 = 10 3 10 000 = 10 4 Írd fel a 100 000-et, az 1 000 000-t, a 10 000 000-t és a 100 000 000-t 10 hatványaként! Segítségül veheted az előző részben található táblázatot! Hol találkozunk leggyakrabban a 10 hatványaival írt számokkal? fizikában földrajzban csillagászatban Föld felszíne 510,1 millió km 2, ami 5,101. 10 8 km 2. Ebből 149 millió km 2 a szárazföld, ami 1,49. 10 8 km 2. vízfelszín 361 millió km 2, ami 3,61. 10 8 km 2. 1983 ban a tudósok megegyeztek, hogy a fénysebesség pontosan 299 792 458 méter másodpercenként, azaz körülbelül 3. 10 8 méter másodpercenként. Földünk a Naprendszer egyik bolygója, amelynek központja egy csillag: a Nap, amely a Tejútrendszer (Galaxis) középpontjától 33 000 fényévnyire van. Egy fényév 9 460 730 472 580 800 méternek felel meg, ami körülbelül 9,460 7. 10 15 méter. Föld térfogata 1 083 210 000 000 km 3. Ez körülbelül 1,083 21. 10 12 km 3. 10 hatványaival (normálalakban) így írjuk le a nagy számokat: 50 = 5. 10 1 300 = 3. 10 2 2 000 = 2. 10 3 50 000 000 = 5. 10 7 150 = 1,5. 10 2 2 300 = 2,3. 10 3 372 000 = 3,72. 10 5 41 200 000 = 4,12. 10 7 Miből áll a normálalak? 10, 100, 1000, 10 000 számok 10-es alapú hatványának és egy számnak a szorzatából. normálalak felírásakor hasonlóan járunk el, mint a számok helyiértékes felbontásakor vagy a mértékegységek átalakításakor. 50 = 5. 10 1 150 = 1,50. 100 = 1,5. 10 2 300 = 3. 10 2 2 300 = 2,3. 1000 = 2,3. 10 3 2 000 = 2. 10 3 372 000 = 3,72. 100 000 = 3,72. 10 5 50 000 000 = 5. 10 7 41 200 000 = 4,12. 10 000 000 = 4,12. 10 7 számok normálalakjában a 10 hatványa előtt mindig 1-nek vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb számnak kell állnia. Megegyezés nagy számokat így írjuk le normálalakban: a. 10 n, ahol 1 a < 10, n N. 28

4. Írd fel az alábbi számokat normálalakban: a) 400, 6000, 30 000, 500 000, 9 000 000 b) 360, 7800, 62 000, 890 000, 7 200 000 c) 3160, 72 500, 163 000, 8 910 000, 25 200 000 feladatot szóban is megoldhatod. 4. megoldás a) 4 10 2, 6 10 3, 3 10 4, 5 10 5, 9 10 6 b) 3,6 10 2, 7,8 10 3, 6,2 10 4, 8,9 10 5, 7,2 10 6 c) 3,16 10 3, 7,25 10 4, 1,63 10 5, 8,91 10 6, 2,52 10 7 Gondolkozz el azon, hogy milyen összefüggés van a számok helyi értéke és a normálalak közt! 5. Írd fel az alábbi számokat normálalakban: a) 500, 7000, 20 000, 600 000, 3 000 000 c) 6130, 52 700, 361 000, 1 980 000, 35 300 000, 571 000 000 b) 230, 8700, 72 000, 980 000, 2 700 000 d) 80 800, 50 000, 580 000, 15 000 000, 40 000 000, 600 000 000 Tudod-e? z előző feladatok egyikében a vízről és a szlovákiai folyókról beszéltünk. Mit tudunk a vízről? víz drágább az aranynál. víz ital. Vízienergia hajóközlekedés. Tavak, víztárolók üdülés. Zárógátak villanyáram-termelés. Liptovská Mara, fotó: Pudelek Lássuk, milyen adatokat szerezhetünk a szlovákiai víztárolókról! 6. táblázatban néhány szlovákiai víztároló vízfelületének területét láthatjuk a legmagasabb vízállás mellett. lakítsd át ezeket a területeket m 2 -ekre, majd írd le ezt a számot normálalakban! Segítség 1 ha = 100 a = 10 000 m 2 1 a = 100 m 2 1 km 2 = 1 000 000 m 2 Víztároló Liptovská Mara Ružín Nitrianske Rudno Domaša Zemplínska šírava 6. megoldás Terület 21,6 km 2 600 ha 0,96 km 2 1422 ha 3350 ha 21,6 km 2 = 21 600 000 m 2 = 2,16 10 7 m 2 7. Írd le normálalakban az állatok világából vett adatokat!» legnagyobb szárazföldi állat az elefánt. Tömege az 5500 kilogrammot is elérheti.» Föld legnagyobb élőlénye a kék bálna. Tömege akár 150 000 kg is lehet. Ez körülbelül 1800 ember tömegének felel meg.» legnagyobb hal a cetcápa, mely sekély vizekben planktonnal táplálkozik. Tömege kb. 40 000 kg.» zsiráf a legmagasabb állat. 550 cm magas.» z anakonda a leghosszabb kígyók közé tartozik. 1000 cm hosszúságúra is megnőhet. Forrás: www.dennikrelax.sk. 600 ha = 60 000 a = = 6 000 000 m 2 = 6 10 6 m 2 0,96 km 2 = 960 000 m 2 = 9,6 10 5 m 2 1422 ha = 142 200 a = = 14 220 000 m 2 = 1,422 10 7 m 2 3350 ha = 335 000 a = = 33 500 000 m 2 = 3,35 10 7 m 2 7. megoldás 5500 kg = 5,5 10 3 kg 150 000 kg = 1,5 10 5 kg 1800 = 1,8 10 3 40 000 kg = 4 10 4 kg 550 cm = 5,5 10 2 cm 1000 cm = 1 10 3 cm 29

8. szomszédos országok fővárosainak népességét (az adatok 2011-ből származnak) normálalakban írtuk fel. Írd fel hatványok nélkül!»»»»» Varsó 1,70 10 lakos Kijev 2,71 10 lakos Budapest 1,69 10 lakos Bécs 1,66 10 lakos Prága 1,18 10 6 lakos Forrás: internet népességadatok ebben a formában nekem jobban tetszenek. 8. megoldás 1,70 10 6 = 1,70 1 000 000 = 1 700 000 2,71 10 6 = 2,71 1 000 000 = 2 710 000 1,69 10 6 = 1,69 1 000 000 = 1 690 000 1,66 10 6 = 1,66 1 000 000 = 1 660 000 1,18 10 6 = 1,18 1 000 000 = 1 180 000 9. Írd fel az alábbi számokat hatvány nélkül! a) 7 10 4 ; 3 10 5 ; 5 10 1 ; 2 10 10 b) 5,6 10 1 ; 3,7 10 4 ; 0,3 10 5 ; 9,1 10 6 c) 4,15 10 7 ; 1,13 10 12 ; 2,18 10 10 ; 8,23 10 11 d) 1,135 10 7 ; 1,153 10 12 ; 2,718 10 10 ; 8,253 10 11 9. megoldás a) 7 10 4 = 7 10 000 = 70 000 3 10 5 = 3 100 000 = 300 000 5 10 1 = 5 10 = 50 2 10 10 = 2 10 000 000 000 = 20 000 000 000 b) 5,6 10 1 = 5,6 10 = 56 3,7 10 4 = 3,7 10 000 = 37 000 0,3 10 5 = 0,3 100 000 = 30 000 9,1 10 6 = 9,1 1 000 000 = 9 100 000 c) 4,15 10 7 = 4,15 10 000 000 = 41 500 000 1,13 10 12 = 1,13 1 000 000 000 000 = = 1 130 000 000 000 2,18 10 10 = 2,18 10 000 000 000 = = 21 800 000 000 8,23 10 11 = 8,23 100 000 000 000 = = 823 000 000 000 d) 1,135 10 7 = 1,135 10 000 000 = 11 350 000 1,153 10 12 = 1,153 1 000 000 000 000 = = 1 153 000 000 000 2,718 10 10 = 2,718 10 000 000 000 = = 27 180 000 000 8,253 10 11 = 8,253 100 000 000 000 = = 825 300 000 000 10. Írd fel az alábbi számokat hatvány nélkül! a) 9 10 6 ; 4 10 7 ; 1 10 12 ; 8 10 0 b) 6,5 10 1 ; 7,3 10 4 ; 0,8 10 5 ; 1,9 10 6 c) 5,14 10 7 ; 3,23 10 12 ; 2,81 10 10 ; 3,28 10 11 d) 3,153 10 7 ; 0,215 378 10 12 ; 25,817 10 10 ; 325,523 10 11 Segítség 10-zel, 100-zal, 1000-rel való szorzást a tizedesvessző mozgatásával oldottuk meg. Szorzáskor a tizedesvesszőt annyi hellyel visszük jobbra, ahány nulla van a kerek számban. 1,7 1 000 000 = = 1 700 000 1,700 000 z 1 000 000-ban 6 nulla van, ezért a tizedesvesszőt az 1,7-ben 6 hellyel visszük jobbra. Projektfeladat Keresd meg Szlovákia (Slovensko) tíz legmagasabb hegycsúcsának adatait! Először írd fel hatvány nélkül, majd normálalakban! Rendezd az adatokat csökkenő sorrendbe, majd írj mindegyikről egy rövid jellemzést! 11. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét! a) 5 10 2 + 3 10 3 + 9 10 1 b) 5,1 10 3 2,3 10 2 8,5 10 1 c) 7,12 10 2 + 1,92 10 3 2,78 10 1 d) 6,02 10 3 3,2 10 3 + 2,005 10 3 11. megoldás a) 5 10 2 + 3 10 3 + 9 10 1 = = 5 100 + 3 1000 + 9 10 = = 500 + 3000 + 90 = 3590 b) 5,1 10 3 2,3 10 2 8,5 10 1 = = 5,1 1000 2,3 100 8,5 10 = = 5100 230 85 = 4785 c) 7,12 10 2 + 1,92 10 3 2,78 10 1 = = 7,12 100 + 1,92 1000 2,78 10 = = 712 + 1920 27,8 = 2604,2 d) 6,02 10 3 3,2 10 3 + 2,005 10 3 = = 6,02 1000 3,2 1000 + 2,005 1000 = = 6020 3200 + 2005 = = 4825 30

12. Számítsd ki anélkül, hogy kiszámítanád a hatványok értékét! a) 9 10 2 + 7 10 3 + 3 10 1 d) 16,2 10 3 3,201 10 3 + 2,05 10 3 b) 6,3 10 3 1,5 10 2 3,5 10 1 e) 1,25 10 5 + 0,356 21 10 4 3,056 10 2 c) 9,17 10 2 + 0,29 10 3 0,08 10 1 f) 0,369 45 10 3 3,694 5 10 4 + 36,945 10 1 13.** dott az = (1,6 10 3 2,04 10 5 ) 10 2 kifejezés. lkoss egy B és egy C kifejezést úgy, hogy teljesüljön a B < < C egyenlőtlenség, és mindkét kifejezés tartalmazzon legalább két a 10 n alakú tagot, ahol 1 a < 10 és n N! 14.** dott az = ( 9,086 10 4 + 7,041 10 3 ) : 10 2 kifejezés. lkoss egy B és egy C kifejezést úgy, hogy teljesüljön az = B = C egyenlőség, és mindkét kifejezés tartalmazzon legalább két a 10 n alakú tagot, ahol 1 a < 10 és n N! Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. 30 200 normálalakja: 3,02 10 4 B 3,2 10 2 C 3,02 10 2 D 3,2 10 4 2. 10 020 000 normálalakja: 1,002 10 4 B 1,2 10 7 C 1,002 10 7 D 1,2 10 4 3. 9 10 2 értéke: 90 B 900 C 9,0 D 1,9 4. z 5,03 10 3 értéke: 5030 B 53 000 C 5003 D 5300 5. z 1,302 10 4 értéke: 1 302 000 B 13 020 C 132 000 D 1320 6. milliót így írjuk: 10 7 B 1 10 5 C 1 10 6 D 10 3 7. 3,5 km 2 annyi, mint: 3,5 10 6 m 2 B 3,5 10 3 m 2 C 3,5 10 6 m D 3,5 10 3 m 8. 7800 km annyi, mint:: 7,8 10 3 m B 7,8 10 6 m C 7,8 10 2 m D 7,8 10 4 m 9. 4 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 kifejezés értéke: 4310 B 4302 C 4032 D 4320 10. z 5,5 10 3 5,5 10 2 5,5 10 1 kifejezés értéke 48 950 B 44 C 4445 D 4895 Tudod-e? Milyen fontos a 10-es szám? 10-es szám a tízes számrendszer alapja, amely a leggyakrabban használt számrendszer a hétköznapi életben. Püthagorasz, az ógörög bölcs és matematikus a 10-es számot a tökéletesség csúcsának tekintette. 10 ugyanis a szerinte ugyancsak nagyon fontos 1, 2, 3 és 4 összege. z 1-et egy konkrét pontnak tekintette. 2-t egyenesnek tekintette, mert van kezdete és vége. 3-at a síkkal hozta összefüggésbe (mert 3 pont meghatároz egy síkot), mert van kezdete, vége, és ott van még a köztük elhelyezkedő tér. 4-et a térrel azonosította, ahol a negyedik dimenzió az idő jelenti. Forrás: internet 31

Egy kis többlet a kis számokról Idézzük fel! 15. Először számítsd ki ezeket a feladatokat, így könnyebben megérted az új tananyagot! 0,000 567 + 0,000 126 = 0,005 678 0,003 246 = 0,000 567. 0,003 = 0,006 309 : 0,003 = 15. megoldás 0,000 567 0,005 678 0,000 126 0,003 246 0,000 693 0,002 432 0,000 567 0,006 309 : 0,003 = /. 1000. 0,003 6,309 : 3 = 2,103 0,000 001 701 Projektfeladat Állapítsd meg, mit ír az internet a kis számokról vagy a konstansokról! Hogyan kell velük számolni? Ezeket a számokat korábban kis számoknak neveztük. fizika-, kémia-, biológia-tankönyvekben, valamint az enciklopédiákban találkozhatunk velük. Többnyire valamilyen konstans (állandó) értékeket jelentenek. mindennapi életben ritkábban találkozunk velük, mint a nagy számokkal. kal Elhagyhatjuk-e a nullákat a kis számok kivonásakor? Csak az egyik válasz lehet helyes: igen vagy nem? Ha kivonunk vagy osztunk, hasznos lehet az ellenőrzés. Ezt most rád bízzuk. Megegyezés kis számokat így írjuk le normálalakban: a. 10 n, ahol 1 a < 10, 10 n =, n N. Tudod-e? Ha a kis számokat emlegetjük, akkor erről legtöbbünknek a legkisebb részecske, a legkisebb elem, a legkisebb állat, a legkisebb bolygó stb. jut eszünkbe. Sok éven át az atomot tekintették a legkisebb részecskének. Ernest Rutherford és Niels Bohr bebizonyította, hogy az atom nem oszthatatlan. z alábbi táblázat az atom elemi részecskéinek tömegét tartalmazza. elemi részecske felfedező (év) tömeg elektron Joseph John Thomson (1897) 9,109 1 10 31 kg proton Ernest Rutherford (1918) 1,672 9 10 27 kg neutron James Chadwick (1932) 1,674 9 10 27 kg Forrás: internet Jegyezd meg! nagy számok normálalakja: a 10 n, ahol 1 a < 10 és n N. Például: 1 000 000 = 1 10 6 1 000 000 000 = 1 10 9 7 000 000 = 7 10 6 7 000 000 000 = 7 10 9 8 200 000 = 8,2 10 6 8 200 000 000 = 8,2 10 9 3 125 000 = 3,125 10 6 3 125 000 000 = 3,125 10 9 normálalakú számot valós számmá alakíthatjuk. Például: 1 10 4 = 10 000 1 10 9 = 1 000 000 000 5 10 6 = 5 000 000 6 10 8 = 600 000 000 7,3 10 5 = 730 000 4,3 10 10 = 43 000 000 000 9,031 10 6 = 9 031 000 2,103 10 3 = 2103 32

Idézzük fel! z előző fejezetben nagy és kis számokról beszéltünk. Ismételjük át a 10 hatványait, amelyek segítségével felírtuk a normálalakjukat! 10 1 = 10... tíz 10 2 = 100... száz 10 3 = 1 000...ezer 10 4 = 10 000... tízezer 10 5 = 100 000... százezer 10 6 = 1 000 000... millió tized... 0,1 = 10 1 század... 0,01 = 10 2 ezred... 0,001 = 10 3 tízezred... 0,000 1 = 10 4 százezred... 0,000 01 = 10 5 milliomod... 0,000 001 = 10 6 1.5. Műveletek nagy és kis számokkal, kerekítés és becslés Most a kis és nagy számok kerekítéséről lesz szó, és arról, hogy a kerekítés segítségével hogyan kell megbecsülni a helyes eredményt. Ilyen szavakat használunk majd: becslés, körülbelül, megközelítőleg Mikor érdemes becslést és mikor kerekítést alkalmazni? Erre a kérdésre az alábbi feladatok megoldásai adnak választ. Képzeld el, hogy a boltban a pénztár előtt állsz, és hamarosan fizetned kell. Mennyi pénzt kell előkészítened, ha két 35 centes joghurtot, három 6 centes kiflit és két 74 centes nápolyit vásárolsz? Meg tudod-e becsülni a szöveg elolvasása után, számolás nélkül, hogy hány eurót kell előkészítened? Ha igen, akkor jó érzéked van a becsléshez. z alábbi feladatokat oldd meg zsebszámológép alkalmazása nélkül! 1. Becsüld meg az összeget, majd add össze a számokat! Hasonlítsd össze becslésedet az összeadás eredményével! a) 125 369 567 + 1 758 369 b) 0,236 586 + 1,369 258 125 1. megoldás a) 125 369 567 + 1 758 369 = Hogyan lehet becslésünk a lehető legpontosabb? becslés különböző pontosságú lehet. z eredményt megbecsülhetjük egyesekre, tízesekre, százasokra, ezresekre vagy tizedekre, századokra, ezredekre Ezúttal milliókra kerekítünk, mert a második összeadandó első számjegyének helyi értéke millió. Ezért az összeadandókat milliókra kerekítjük, majd ezeket az értékeket fejben összeadjuk. 125 369 567 125 000 000 kerekített összeg: 125 000 000 + 2 000 000 = 127 000 000 125-öt és a 2-t adjuk csak össze, a nullákat hozzáírjuk. pontos összeg: 125 369 567 1 758 369 127 127 936 Segítség Hogyan kell kerekíteni? z 5-ösnek meghatározó szerepe van. Kerekítsük az 1236-ot tízesekre! 1236 1240 6 > 5, ezért fölfelé kerekítünk. Kerekítsük a 4253-at százasokra! 4253 4300 5 = 5, ezért fölfelé kerekítünk. Kerekítsük a 3254-et ezresekre! 3254 3000 2 < 5, ezért lefelé kerekítünk. becsült és a pontos eredmény közti különbség: 3 < 5 lefelé kerekítünk 1 758 369 2 000 000 127 127 936 127 000 000 127 936 nagyobb számból kivonjuk a kisebbet. 7 > 5 fölfelé kerekítünk Döntsd el, hogy ez sok-e vagy kevés! 33 folytatás

1. megoldás folytatás b) 0,236 586 + 1,369 258 125 = becslést tized pontossággal végezzük el, mert a kisebbik szám első értékes számjegye a tizedek helyén áll. Ezért az összeadandókat tizedekre kerekítjük, majd ezeket az értékeket fejben összeadjuk. 0,236 586 0,200 000 = 0,2 3 < 5 lefelé kerekítünk 1,369 258 125 1,400 000 000 = 1,4 6 > 5 fölfelé kerekítünk kerekített számok összege: e: 0,2 + 1,4 = 1,6 pontos összeg: 0,236 586 000 1,369 258 125 1,605 844 125 becsült és a pontos eredmény közti különbség: 1,605 844 125 nagyobb számból 1,600 000 000 kivonjuk a kisebbet. 0,005 844 125 Döntsd el, hogy ez sok-e vagy kevés! 2. Becsüld meg az összeget, majd végezd el az öszszeadást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel! a) 12 369 258 + 321 569 485 b) 569 458 158 + 26 352 786 c) 1,567 321 + 0,326 97 d) 2,369 564 398 + 0,025 973 3. Becsüld meg a különbséget, majd végezd el a kivonást! Mennyivel tér el a becslés a tényleges eredménytől? Hasonlítsd össze saját eredményedet osztálytársaid eredményeivel! 46 896 321 40 526 302 3. megoldás 46 896 321 40 526 302 = Mindkét számban ugyanaz a számjegy áll a tízmilliós helyi értéken: a 4. Ezért a becslést milliós pontossággal végezzük el. 46 896 321 47 000 000 8 > 5 fölfelé kerekítünk 40 526 302 41 000 000 5 = 5 fölfelé kerekítünk kerekített számokat kivonjuk egymásból. 47 000 000 41 000 000 = 6 000 000 47-ből fejben kivonjuk a 41-et, majd visszaírjuk a nullákat. tényleges különbség: 46 896 321 40 526 302 6 370 019 becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 6 370 019 6 000 000 370 019 tízmilliókhoz képest ez elhanyagolható eltérés. 34 4. Becsüld meg a különbséget, majd végezd el a kivonást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel! a) 3 000 236 987 236 258 269 b) 5 102 003 698 1 000 236 102 c) 0,259 369 0,000 269 d) 2,236 258 369 2,126 458 126 e) 0,000 269 247 0,000 000 247 Projektfeladat Állapítsd meg, hogy mely munkakörökben érdemes becslést alkalmazni! Mondj legalább egy példát! z alábbi feladatokban az eredeti számok szorzását és osztását zsebszámológéppel is elvégezheted. 5. Becsüld meg a szorzatot, majd végezd el a szorzást! Mennyivel tér el a becslés a tényleges eredménytől? Hasonlítsd össze saját eredményedet osztálytársaid eredményeivel! a) 786 350 b) 0,27 2,81 5. megoldás a) 786 350 = Mindkét tényezőben a legnagyobb helyi érték százas: 786 350. Százasokra kerekítünk. 786 800 8 > 5 fölfelé kerekítünk 350 400 5 = 5 fölfelé kerekítünk Összeszorozzuk a kerekített értékeket: 800 400 = 320 000 ( 8-at és 4-et fejben szorozzuk össze, majd hozzáírjuk a nullákat.) tényleges szorzatot zsebszámológéppel számítjuk ki: 786 350 = 275 100 becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 320 000 275 100 44 900 folytatás

5. megoldás folytatása Százasokat szoroztunk össze, a becsült és a tényleges eredmény tízezresekben tér el egymástól. lkalmasabb lenne a tényezőket is, majd a becslés után kapott szorzatot is tízesekre kerekíteni. Nézzük, hogy alakul így az eredmény. Kerekítsük a számokat tízesekre! 786 790 6 > 5 fölfelé kerekítünk 350 350 0 < 5 lefelé kerekítünk mikor így kerekítjük a számokat, szorzatukat többnyire zsebszámológéppel számítjuk ki. Vagyis ilyen esetben a becslés nem sokat segít. Ezért mindig mérlegelni kell, mikor érdemes becslést alkalmazni, mikor hasznos a becslés és mikor nem. b) 0,27 2,81 = z első tényező a kisebb, és első értékes számjegye a tizedek helyén áll. Ezért mindkét számot tizedekre kerekítjük, és a kapott számokat fejben összeszorozzuk. 0,27 0,3 7 > 5 fölfelé kerekítünk 2,81 2,8 1 < 5 lefelé kerekítünk kerekített számokat fejben összeszorozzuk: 2,8 0,3 = 0,84 tényleges szorzatot zsebszámológéppel számítjuk ki: 0,27 2,81 = 0,758 7 becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 0,840 0 0,758 7 0,081 3 Ismét föltehetjük a kérdést: Érdemes volt kiszámítani a hozzávetőleges értékeket, majd azokkal al számolni? a 7. Becsüld meg a hányadost, majd végezd el az osztást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel, majd hasonlítsd össze az eredményedet osztálytársaid eredményével! 7. megoldás 964 258 : 320 = 964 258 : 320 = z osztandót és az osztót így alakítjuk át: 964 258 900 000 320 300 kerekített értékeket elosztjuk egymással: 900 000 : 300 = 3000 Most zsebszámológéppel elvégezzük az osztást. 964 258 : 320 = 3 013,306 25 becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 3 013,306 25 3000 = 13,306 25 Ez sok vagy kevés? Úgy tűnik, ez elég pontos. 8. Becsüld meg a hányadost, majd végezd el az osztást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel! a) 256 : 36 b) 3961 : 48 c) 36,25 : 7,9 d) 0,002 567 : 0,000 87 e) 0,000 000 357 : 0,000 000 058 Tudod-e? Nagy számokkal mindenekelőtt a csilagászatban találkozunk. Föld méretét Eratoszthenész fokméréssel határozta meg. Megmérte, hogy hány fokkal tér el a napsugarak beesési szöge lexandriában és Sziénében. Ebből és a két város távolságából kiszámította, hogy a délkör hossza 252 000 sztadion. Méréséhez gnomónt használt, amivel meg tudta határozni a Nap delelési magasságát. Mivel a sztadion vidékenként más-más hosszúságot jelentett (az egyiptomi 157,7 m, a görög olimpiai sztadion 177,6 m, a ión sztadion 210 m), ezért nem tudhatjuk, hogy a kapott eredmény pontosan milyen távolságnak felel meg. Feltételezzük, hogy az egyiptomi sztadiont használta. Ebben az esetben a délkör hossza 39 690 km. lexandria Sziéné 6. Becsüld meg a szorzatokat, majd végezd el a szorzást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel! a) 325 12 b) 4 510 19 c) 4,56 0,97 d) 35,9 2,8 Ráktérítő Egyenlítő Baktérítő 35

9. NÉPESSÉG Szlovák Statisztikai Hivatal jelentéséből: 2011. május 21-én, tehát a népszámlálás meghatározó pillanatában a Szlovák Köztársaságnak (Slovenská republika) 5 397 036 állandó lakosa volt. tíz évvel korábbi népszámlálással összehasonlítva, a Szlovák Köztársaság népessége 17 581 fővel nőtt. 2001 2011 közti népességnövekedés a szlovákiai népszámlálások történetében az eddigi legalacsonyabb volt. z állandó lakosok száma állandóan növekszik, de egyre alacsonyabb ütemben. 2011. május 21-i népességszámnak körülbelül hány százalékát teszi ki a növekedés? z eredményt add meg törttel! 9. megoldás törtet ilyen alakban írhatjuk fel: a tört számlálója népességnövekedés a tört nevezője az állandó lakosok száma zt mondjuk, hogy ennek a törtnek kicsi a kifejezőereje. Ezért (amennyiben lehetséges) törzsalakra hozzuk, vagy úgy egyszerűsítjük, hogy a mennyiségeket érthetőbben, szemléletesebben fejezze ki. törtet így is egyszerűbb alakra hozhatjuk: tizedestörtet ezredekre (az első értékes jegyre) kerekítjük. 306,98 értéket egész számra, tehát 307-re kerekítjük. Melyik a jobb eredmény? Van-e valamilyen összefüggés az eredmények közt? Hasonlítsd össze a és az törtet! z első törtet olyan törtté alakítjuk, amelynek a számlálója 1: Összehasonlítva: Jelentős-e ez a különbség? Mit fejeznek ki ezek a törtek? azt fejezi ki, hogy 2001-hez viszonyítva, 2011-ben 1000 lakosra számítva 3-mal több lakos volt. 2011. május 21-i népességszám-emelkedés körülbelül volt. lakosság természetes szaporulatát általában százalékban adjuk meg. Fejezzük ki százalékban a következő feladat megoldását! növekedést elosztjuk az állandó népességgel: tizedestörtet előre meghatározott feltételek szerint kerekítjük. Mivel ilyen feltételt előzetesen nem állapítottunk meg, tízezredekre kerekítünk: százaléklábat 100-zal való szorzás után kapjuk meg: 0,003 3 100 = 0,33. z állandó lakosság 2011. május 21-én megállapított népességszaporulata körülbelül 0,33% volt. 36

10. ISKOLÁINK 2010 2011-es tanévben 148 733 középiskolásból 55 499-en gimnáziumba, 93 234-en pedig szakközépiskolába jártak. Fejezd ki törttel, hogy az említett tanévben a diákoknak körülbelül hányad része tanult tovább gimnáziumban és hányad része szakközépiskolákban! 11. KÖZTÁRSSÁGIELNÖK-VÁLSZTÁS 2009-BEN (második forduló) Szlovák Köztársaság köztársasági elnökjelöltjeire leadott érvényes szavazatok száma: Kereszt- és vezetéknév leadott szavazatok száma Megjegyzés Ivan Gašparovič 1 234 787 Iveta Radičová 988 808 z SZK (SR) megválasztott köztársasági elnöke Összesen: 2 223 595 Forrás: http://portal.statistics.sk/showdoc.do?docid=67 Fejezd ki törttel, hogy a szavazatoknak körülbelül hányad részét szerezte meg Iveta Radičová a köztársaságielnökválasztás során 2009-ben! 12. GÉPKOCSIELDÁS 2011-ben Szlovákiában 2012. január 16-i hír, szerző: Ladislav Holop. 2011-ben Szlovákiában 73 938 M1 és N1 kategóriájú gépkocsit adtak el. Ez 2987-tel több, mint tavaly, de 16 470-nel kevesebb, mint 2009- ben. 2011-ben a márkák sorrendje is megváltozott. Škoda, Renault, VW sorrend már a múlté. Renault jelentősen meggyengült, nemcsak a VW előzte meg, hanem a Peugeot és a Kia is. kis autók közül a Fiat végzett az első helyen 24,48%-os részesedéssel. 2011-ben Szlovákiában Škoda Fabia gépkocsiból adtak el a legtöbbet. 12 hónap alatt 2515-en vásárolták a hatchback-, 2455-en pedig a kombi-változatot. Szlovákiában, 2011-ben eladott gépkocsitípusok sorrendje: 1. Škoda Fabia 4973 db 2. Škoda Octavia 4483 db 3. Kia Sportage 1904 db 4. Škoda Octavia Tour 1742 db 5. Suzuki SX4 1684 db 5. Kia cee d 1627 db 7. VW Polo 1562 db 8. VW Golf 1525 db 9. Dacia Duster 1200 db 10. Hyundai i30 1019 db http://zavolantom.autovia.sk/2012/01/16/predaje-2011-poradie-znaciek-aut-na-slovensku/ a) Fejezd ki törttel, hogy a tíz legkeresettebb autótípus hányad részét tette ki Szlovákiában a Škoda Octavia és hányad részét a VW Golf! b) z eladott autóknak hányad része volt KI márkájú? 37

1.6. Négyzetgyök és köbgyök Idézzük fel! számtani műveletek inverze (fordított ill. ellentett művelete). a + b összeadás kivonás kivonás összeadás szorzás osztás x 3 osztás szorzás 2 0,5 a 2 3 4 a b 0,5 : 2 hatványozás inverz művelete (bizonyos feltételek mellett) a gyökvonás. Hatványozás hatvány négyzetre emelés, köbre emelés, hatványozás természetes kitevőre Gyökvonás négyzetgyök, köbgyök, negyedik gyök négyzetgyökvonás, köbgyökvonás 3 + 4 1. városszéli, négyzet alakú díszkert területe 100 m 2. Milyen hosszú az oldala? a a 1. megoldás kert oldala valójában egy 100 m 2 területű négyzet oldala. feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk: így is: és így is: Ha a négyzet oldalának nagysága a, területe pedig T, akkor a területét kiszámíthatjuk: szorzással T = a a hatványozással T = a 2 T = 100 m 2 T = 100 m 2 a a = 100 m 2 a 2 = 100 m 2 Melyik az a szám, amely önmagával szorozva 100-at ad? Mely szám négyzete 100? 10 10 = 100 10 2 = 100 négyzet oldala 10 m. négyzet oldala 10 m. feladatot négyzetgyökvonással is megoldhatjuk: T = a 2 a 2 = 100 a = a = 10, mert 10 2 = 10 10 = 100 négyzet alakú kert oldalhosszúsága 10 m. Igaz ez is: ( 10) 2 = 100. De itt a > 0, mert a a négyzet oldalhosszúsága. Ha telket, kertet vagy nyaralót akarunk vásárolni, akkor annak területét négyzetméterben vagy árban tüntetik fel. 38

2. Mekkora a park 12,56 m 2 területű, kör alakú virágágyásának a sugara? Számolj a π 3,14 értékkel! Válaszd ki az D lehetőségek közül a helyeset! 3,14 m B 4 m C 2 m D 6,28 m 2. megoldás feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk így is: Ha a kör sugara r, területe pedig T, akkor a területét kiszámíthatjuk: és így is: szorzással T = π r r hatványozással T = π r 2 T = 3,14 r r T = 3,14 r 2 12,56 = 3,14 r r 12,56 = 3,14 r 2 12,56 : 3,14 = r r 12,56 : 3,14 = r 2 4 = r r 4 = r 2 Melyik az a szám, amely önmagával szorozva 4-et ad? Mely szám négyzete egyenlő 4-gyel? 2 2 = 4 2 2 = 4 kör alakú virágágyás sugara 2 m. kör alakú virágágyás sugara 2 m. helyes felelet a C. feladatot gyökvonással is meg tudjuk oldani: T = π r 2 T = 3,14 r 2 12,56 : 3,14 = r 2 r 2 = 4 r = r = 2, mert 2 2 = 4 Igaz ez is: ( 2) 2 = 4. De itt r > 0, mert r a kör sugarának hossza. 3 3. Határozd meg a 49 cm 2 területű négyzet oldalának hosszát!. 3. megoldás Ha a négyzet oldalát a-val jelöljük, akkor: T = a 2 49 = a 2 a = a = 7, mert 7 2 = 49 négyzet oldalának hossza 7 cm. Ezt a feladatot bizonyára sokan fejben is meg tudnák oldani. 4. Határozd meg a négyzet oldalának hosszát, ha területe: a) 144 dm 2 b) 625 mm 2 c) 121 m 2 d) 2500 cm 2 e) 4900 m 2 fenti feladatok megoldása során a négyzetre emelésről tanultakat alkalmaztuk: Egy számot négyzetre emelni annyit jelent, mint megszorozni önmagával. Egyúttal azt is megmutattuk, hogy mit jelent négyzetgyököt vonni. a a 5. Határozd meg a 28,26 mm 2 területű kör sugarát! 5. megoldás Ha a kör sugara r, akkor: T = π r 2 28,26 = 3,14 r 2 28,26 : 3,14 = r 2 9 = r 2 r = r = 3, mert 3 2 = 9 kör sugara 3 mm. 6. Határozd meg a kör sugarát, ha területe: a) 3,14 m 2 b) 25,12 dm 2 c) 314 cm 2 d) 20,24 mm 2 e) 78,5 m 2 S r K 39

Egy nemnegatív (pozitív vagy nulla) a szám négyzetgyöke egy olyan nemnegatív b szám, amelynek a négyzete az a számmal egyenlő. Matematikai szimbólumokkal: Ha a 0, b 0, akkor a = b akkor és csak akkor, ha b 2 = a. gyökjel gyökalap a négyzetgyökvonás eredménye Egy szám négyzetgyökét így is írhatjuk: Ez a két jelölés ugyanazt jelenti: Ezeket a négyzetgyökértékeket érdemes megjegyezni: 0, mert 0 2 = 0 0 = 0 1, mert 1 2 = 1 1 = 1, mert 10 2 = 100 2, mert 2 2 = 4 5, mert 5 2 = 25 4, mert 4 2 = 16 9, mert 9 2 = 81 Igaz ez is: ( 1 ) 2 = 1 ( 2) 2 = 4 ( 4) 2 = 16 Tudod-e? Kr. e. 3. évezredben a mezopotámiai matematikusok feladatmegoldásaik során olyan táblázatokat használtak, amelyek a számok négyzetét, köbét, négyzetgyökét és köbgyökét tartalmazták. gyökvonást az ún. regula falsi (hibás számítás) módszerével végezték el. Először megbecsülték a gyökvonás eredményét, majd négyzetre emeléssel megállapították, hogy ez milyen mértékben tér el a gyökalaptól. Ezzel a módszerrel 5 tizedesnyi pontossággal meg tudták határozni a 2 négyzetgyökét:. 7. Vonj négyzetgyököt! a) b) c) 9. Vonj négyzetgyököt! a) 7. megoldás, mert 110 2 = 12 100, mert 9 2 = 81 és 10 2 = 100 mert, mert 5 2 = 25 a 4 2 = 16 mert b) c) Javasolj egy szabályt a fenti feladatok kiszámítására! Gondolkodtató feladat Fogalmazz meg olyan feladatokat, amelyekben a négyzetgyökértékeket zsebszámológép használata nélkül is meg lehet határozni! dd fel az osztálytársaidnak, mintha te lennél a tanáruk! 10. Számítsd ki az alábbi kifejezés értékét: 8. Vonj négyzetgyököt! a) b) c) d) 10. megoldás Először a négyzetgyökvonást végezzük el, majd az így kapott értékeket összevonjuk. = 4 + 11 2 1 = = 15 3 = 12 kifejezés értéke 12. 40

11. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét: a) b) c) d) e) 12. z D kifejezések közül melyiknek a legnagyobb az értéke? = C = B = D = 12. megoldás Először kiszámítjuk, majd összehasonlítjuk a négyzetgyökök értékét: = C = 13. z D kifejezések közül melyiknek a legnagyobb az értéke? = C = B = D = 14. Murphy könyveiben a piramisokról is olvashatunk. Eredetileg nem gúlák lettek volna. mikor az építész bemutatta a fáraónak a terveit, a fáraó azt mondta: piramis magassága tetszik, de a költségvetés nem. Így lett a piramis gúla alakú, mert ez olcsóbb volt. Ha az alábbi négyzetgyökértékeket csökkenő sorrendbe állítod, akkor a megfelelő betűkből megkapod a választ az alábbi kérdésre: Murphy szerint milyen alakúnak kellett volna eredetileg lennie a piramisnak? B Á S H B = D = 7 < 10 < 11 < 12 B < D < C < z kifejezés a legnagyobb ( = 12). négyzetgyök értékét általában zsebszámológéppel számítjuk ki. Mivel a zsebszámológépeknek számos fajtája van, ezért érdemes alaposan áttanulmányozni a hozzájuk kapott kézikönyvet. 15. Vonj négyzetgyököt zsebszámológéppel! z eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! Előtte becsüld meg az eredményt! a) b) c) 15. megoldás a) a és a között áll. Mivel = 7 és = 8, ezért a értéke 7 és 8 között lesz. becsült eredmény 7,2. Zsebszámológéppel: b) értéke a és a között van. Mivel és, ezért a értéke a 0 és az 1 között lesz. becsült eredmény 0,5. Zsebszámológéppel: c) értéke a és a között áll. Mivel és, ezért a értéke 3 és 4 között lesz. becsült eredmény 3,5. Zsebszámológéppel: Miért jó az eredményt megbecsülni? Ha zsebszámológéppel dolgozunk, előfordulhat, hogy tévesen ütjük be a számot vagy a műveleti jelet. Ha előzőleg megbecsültük a várható eredményt, kisebb a valószínűsége, hogy elhiszszük a hibás eredményt, amelyet a zsebszámológép ad meg. 41

16. Vonj négyzetgyököt zsebszámológéppel! z eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! Előtte becsüld meg az eredményt! a) b) c)* Miért érdemes megbecsülni az eredményt? Ha zsebszámológéppel dolgozol, előfordulhat, hogy egy számot vagy egy műveleti jelet tévesen ütsz be. Ha megbecsülöd az eredményt, akkor a zsebszámológép nem csaphat be olyan könnyen. 17. Válaszd ki az Igaz és a Hamis feleletek közül a megfelelőt! a) négyzetgyök értéke mindig pozitív vagy nulla. Igaz Hamis b) Bármely számnak van négyzetgyöke. Igaz Hamis c) z 1 négyzetgyöke nulla. Igaz Hamis d) négyzetgyökvonás a szorzás inverz művelete. Igaz Hamis e) 100 négyzetgyöke 10. Igaz Hamis 18. Állapítsd meg, hogy igaz-e a 18. megoldás feladatot úgy oldjuk meg, hogy kiszámítjuk a bal oldalon álló kifejezés, majd a jobb oldali kifejezés értékét. Ha a két kifejezés értéke egyenlő, akkor igaz az egyenlőség. Bal oldal: Jobb oldal: 30 = 30, tehát az egyenlőség igaz. Gondolkodtató feladat Határozd meg, hogy igaz-e: 19. Állapítsd meg, hogy az alábbi egyenlőtlenségek közül melyek igazak! a) b) c) egyenlőség! négyzetgyökvonáson kívül más gyökvonás is létezik. Foglalkozzunk még a köbgyökkel! következő feladat és valószínűleg a köbgyökvonás is már ismerős számodra. z alábbi feladatokat oldd meg zsebszámológép nélkül! Victor Vasarely festménye 20. Milyen hosszú lehet a 8 dm 3 térfogatú játékkocka éle? 20. megoldás feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk így is: Ha a kocka éle a, térfogata pedig V, akkor a térfogatát kiszámíthatjuk: és így is: szorzással V = a a a V = 8 dm 3 a a a = 8 dm 3 Melyik az a három egyenlő szám, amelyek szorzata 8? 2 2 2 = 8 a = 2 dm játékkocka éle 2 dm. feladatot köbgyökvonással is kiszámíthatjuk: hatványozással V = a 3 V = 8 dm 3 a 3 = 8 dm 3 Mely szám köbe egyenlő 8-cal? 2 3 = 8 a = 2 dm játékkocka éle 2 dm. V = a 3 V = 8 dm 3 a 3 = 8 dm 3 a = dm a = 2 dm, mert 2 3 = 2 2 2 = 8 dm 42

20. feladat megoldása során a köbre emelésből indultunk ki, ugyanakkor a köbgyökvonást is alkalmaztuk. Három egyenlő szám szorzatát az adott szám köbének nevezzük. Most bevezetjük a köbgyök fogalmát kizárólag a nemnegatív számokra értelmezve. nemnegatív a szám köbgyöke egy olyan nemnegatív b szám, melynek köbe az a szám. Matematikai szimbólumokkal: a = b akkor és csak akkor, ha b 3 = a, ahol a 0, b 0. gyökjel gyökalap a köbgyökvonás eredménye Ezeket a köbgyökértékeket érdemes megjegyezni: 10 3 = 1000 0,1 3 = 0,001 2 3 = 8 (0,2) 3 = 0,008 4 3 = 64 5 3 = 125 21. Határozd meg a kocka élének hosszát, ha térfogata: a) V = 729 cm 3 b) V = 0,027 dm 3 c) V = m 3 lkalmazd a köbgyökvonást! 22. Határozd meg köbre emeléssel vagy szorzással az alábbi köbgyökértékeket! a) b) c) 22. megoldás a) = 0,5, Projektfeladat Foglald össze a négyzetgyökről és a köbgyökről tanultakat! Hasonlítsd össze definícióikat és tulajdonságaikat! Készíts számítógépes bemutatót osztálytársaiddal a gyökvonásról! 24. Határozd meg zsebszámológéppel az alábbi köbgyökértékeket! z eredményeket kerekítsd két tizedesjegyre! a) b) c)* mert 5 3 = 125 mert 100 3 = 1 000 000 25. Rendezd növekvő sorrendbe a <, = jelek segítségével az alábbi négyzetgyök- és köbgyökértékeket! vagy b), mert 0,6 3 = 0,216 c), mert 0,4 3 = 0,064 25. megoldás Egyenként elvégezzük a gyökvonást, majd növekvő sorrendbe rendezzük az eredményeket. 23. Határozd meg köbre emeléssel vagy szorzással az alábbi köbgyökértékeket! a) b) c) Mivel 0,5 < 1,75 < 5 < 8, ezért. 43

26. Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi négyzetgyök- és köbgyökértékeket! a) b) c) d) e) f) g) h) Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. helyes eredmények betűjelét összeolvasva egy értelmes szót kapsz. 1. 144 négyzetgyöke: 72 B 12 6. 0,027 köbgyöke: P 0,9 R 0,03 C 11 D 72 S 0,3 T 0,009 2. 0,64 négyzetgyöke: O 0,08 P 8,0 R 0,8 S 0,4 3. értéke: C 4. értéke: P S B D R T 5. 64 köbgyöke: H 2 I 4 J 2 K 4 7. értéke: I J 0,14 K L 0,6 8. értéke: B C D 9. z alábbi egyenlőtlenségekből is csak egy igaz. U V W Z 10. z alábbi mondatokból csak egy igaz: Negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni. B Egy szám négyzetgyöke és köbgyöke egyenlő. C 0-ból nem lehet négyzetgyököt vonni. D z 1 köbgyöke 0,3. Jegyezd meg! Négyzetgyök Köbgyök Ha a 0, b 0 akkor ha b 2 = a. akkor és csak akkor, Ha a 0, b 0 akkor ha b 3 = a. akkor és csak akkor, Például:, mert 9 2 = 81, mert 0,5 2 = 0,25, mert Például:, mert 2 3 = 8, mert 0,5 3 = 0,125, mert b 0 b 0 44

2. Pitagorasz tétele 2.1. Pitagorasz tétele és a derékszögű háromszög Pitagorasz tételére szinte mindenki emlékszik, aki iskolába járt. Kérdezd meg szüleidet, mit tudnak Püthagoraszról! Háromszögekről és a geometriáról fognak beszélni. Idézzük fel! Biztosan meg tudod oldani a következő két feladatot: 1. Szerkeszd meg az BC háromszöget, ha adott: a = 4 cm, b = 3 cm és c = 5 cm! Mérd meg a háromszög belső szögeit, és határozd meg, milyen háromszögről van szó! z stenek azért adtak az embernek két kezet, hogy ne zaklassa ó k et m nden aprósággal. Püthagorasz 1. megoldás Elemzés: B = c = 5 cm BC = a = 4 cm C = b = 3 cm Vázlat: 2. Számítsd ki a négyzetek területét! a = 4 cm T 1 T 2 b = 3 cm Megszerkesztjük az B 5 cm-es szakaszt. k 1 (B, 4 cm) és a k 2 (, 3 cm) körívek metszeteként meghatározzuk a C pont helyzetét. C pont a két körív metszéspontja, amit a (metszet) jellel így írhatunk le:. szerkesztés lépései: 1. B; B = 5 cm 2. k 1 ; k 1 (B, 4 cm) 3. k 2 ; k 2 (, 3 cm) 4. C; 5. BCΔ k 2 C Megvitatás: B feladatnak ebben a síkrészben két megoldása van. méréssel nyert szögméretek: BC = 37, BC = 53, BC = 90. 90 -os BC szög derékszög, tehát az BC háromszög derékszögű. Megjegyzés Szögméréskor számolnunk kell a szerkesztés esetleges pontatlanságával. rajzok a tankönyvben többnyire kicsinyítve jelennek meg. k 1 2. megoldás c = 5 cm z a oldalú négyzet területe: T = a a vagy T = a 2 négyzetek területe: T 1 = a 2 = 4 2 = 16 T 2 = b 2 = 3 2 = 9 T 1 = 16 cm 2 T 2 = 9 cm 2 T 3 = c 2 = 5 2 = 25 T 3 = 25 cm 2 Mi az érdekes ezekben a négyzetekben? két kisebb négyzet területének összege megegyezik a legnagyobb négyzet területével: T 1 + T 2 = T 3 T 3 45

Megszerkesztettük a 3 cm, 4 cm, 5 cm oldalú háromszöget. Kiszámítottuk a 3 cm, 4 cm, 5 cm oldalú négyzetek területét. Hogyan függ össze az előző feladatok megoldása Pitagorasz tételével? Készítsünk ábrát a megszerkesztett háromszögből és a négyzetekből. 9 cm 2 a befogók fölé rajzolt négyzetek b = 3 cm C a = 4 cm 16 cm 2 Segítség Idézzük fel a derékszögű háromszög oldalainak megnevezéseit: átfogó a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal; befogók a háromszög rövidebb oldalai, a derékszög szárai. befogó átfogó befogó c = 5 cm B Pitagorasz tétele 25 cm 2 az átfogó fölé rajzolt négyzet Ha egy derékszögű háromszögnek c az átfogója, a, b pedig a két befogója, akkor c 2 = a 2 + b 2. Ezt a képletet az alábbiakban Pitagorasz-összefüggésnek fogjuk nevezni. derékszögű háromszög átfogójára rajzolt négyzet területe egyenlő a befogók fölé rajzolt négyzetek területösszegével. Tudod-e? Nézd meg jól ezt az ábrát! négyzetrácsban háromszögek és négyzetek láthatók. piros háromszögről és a zöld négyzetekről elmondható, hogy az B oldalú négyzet összeállítható az C és a BC oldalú négyzetekből. Mivel a négyzeteket alkotó háromszögek derékszögűek, az BC háromszögre teljesül Pitagorasz tétele. 1 2 C 3 4. 4 3 1 2 B Figyeljétek meg ezeket az ábrákat! b c b B b 2 2 a C c 2 B. a a aa 2 2 C D b D Balra egy a, b befogójú és c átfogójú derékszögű háromszög, jobbra pedig két egybevágó, a + b oldalhosszúságú négyzet látható. Mindkét négyzet tartalmaz négy-négy egybevágó derékszögű háromszöget (, B, C, D), de ezek a két négyzetben más-más helyzetben vannak. z első négyzetben fennmarad egy a és egy b oldalú négyzet, amelyek területe a 2 és b 2. másik négyzetben fennmarad egy c oldalú négyzet, amelynek területe c 2. Mivel mindkét nagy négyzet területe ugyanazzal a területtel (az, B, C, D háromszögek területével) csökkent, a megmaradt részeknek is ugyanakkora a területe, azaz a 2 + b 2 = c 2. Minden derékszögű háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés. 46

Pitagorasz-tétel megfordítása Ha egy háromszög a, b, c oldalaira fennáll a c 2 = a 2 + b 2 Pitagorasz-összefüggés, akkor ez a háromszög derékszögű. Ennek a derékszögű háromszögnek a c az átfogója, az a és a b pedig a befogói. 3. Szerkeszd meg az BC háromszöget, melynek szöge 90 -os, oldalainak hossza pedig: a = 8 cm, b = 15 cm! Mérd meg a c oldal hosszát, és győződj meg róla, hogy teljesül-e a c 2 = a 2 + b 2 Pitagorasz-összefüggés! 3. megoldás Elemzés: CB = = 90 BC = a = 8 cm C = b = 15 cm Megszerkesztjük az C = b = 15 cm-es szakaszt. Majd megszerkesztjük az CX = = 90 -os szöget. B pontot a k(c, 8 cm) körívvel szerkesztjük meg. Vázlat: C szerkesztés lépései: 1. C; C = 15 cm 2. CX ; CX = 90 3. k; k(c, 8 cm) 4. B; 5. BCΔ k B Megvitatás: feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. lemért c oldal hossza 17 cm. háromszög derékszögű, derékszöge a C csúcsnál van. c oldal az átfogó (a derékszöggel szemközt fekvő, leghosszabb oldal), az a és a b a két befogó. Pitagorasz-összefüggés: c 2 = a 2 + b 2. Behelyettesítjük a háromszög oldalhosszúságait: c 2 = 17 2 = 289 a 2 + b 2 = 8 2 + 15 2 = 64 + 225 = 289 Ez egy igaz egyenlőség. Megjegyzés Ha az BCΔ egyik belső szöge derékszög, akkor a háromszög derékszögű. Pytagorova rovnosť preň platí. Megjegyzés z oldalhosszúságok mérésekor számolnunk kell a szerkesztés pontatlanságával. z eltérés olykor 1-2 mm is lehet. X Meggyőződtünk róla, hogy az BC háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés. 47

4. Szerkeszd meg a KLM háromszöget, ha adott KL = 5 cm, KM = 12 cm és LKM = 90. Mérd meg az LM oldal hosszát, majd győződj meg arról, hogy teljesül-e erre a háromszögre a Pitagorasz-összefüggés! 4. megoldás Elemzés: Vázlat: LKM = 90 KL = m = 5 cm KM = l =12 cm Szerkesszük meg a KL = 5 cm szakaszt. Majd szerkesszük meg az LKX = 90 -os szöget. z M pontot a k(k, 12 cm) körívvel szerkesztjük meg. szerkesztés menete: 1. KL; KL = 5 cm 2. LKX ; LKX = 90 3. k; k(k, 12 cm) 4. M; 5. KLMΔ X M k 5. Szerkeszd meg a DEF háromszöget, ha adott: DF = 6,5 cm, m e = 2,8 cm (az e oldalhoz tartozó magasság), DFE = 60. Mérd meg a háromszög többi oldalát, és állapítsd meg, hogy derékszögű-e a DEF háromszög! 5. megoldás Elemzés: DFE = 60 DF = e = 6,5 cm m e = 2,8 cm Vázlat: Megszerkesztjük a DF = 6,5 cm szakaszt. Megszerkesztjük a 60 -os DFX szöget. z E pont rajta van a DF szakasztól 2,8 cm-re levő p párhuzamoson. szerkesztés menete: 1. DF; DF = 6,5 cm 2. DFX ; DFX = 60 3. p; p DF, p, DF = 2,8 cm 4. E; X 5. DEFΔ E p K L Megvitatás: feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. z LM szakasz lemért hossza 13 cm. háromszög derékszögű, derékszöge a K csúcsnál van. z LM oldal az átfogó (a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal), a KL és a KM a két befogó. Pitagorasz-összefüggés: LM 2 = KM 2 + KL 2. Behelyettesítjük a háromszög oldalainak hosszúságát, és megállapítjuk, hogy igaz-e az egyenlőség: LM 2 = 13 2 = 169 KM 2 + KL 2 = 12 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169 Meggyőződtünk róla, hogy a KLM háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés. Tudod-e? z ókori Egyiptomban az óriási épületek, főleg a templomok alapozásakor először kikövezték az alapterületet, majd ebbe a kövezetbe vonalakat véstek. z alaprajzot meghatározó téglalap négy csúcsát ünnepélyesen tűzték ki, ami olykor hónapokig is eltartott. ki eltért a meghatározó téglalaptól, azt halállal is büntethették. z egyenlőség igaz.. D F Megvitatás: feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. DE oldal lemért hossza 5,6 cm, az FE oldalé 3,3 cm. leghosszabb oldalt tekintjük az átfogónak, a fennmaradó két oldal a befogó. Pitagorasz-összefüggés: DF 2 = DE 2 + FE 2. háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. DF 2 = 6,5 2 = 42,25 DE 2 + FE 2 = 5,6 2 + 3,3 2 = 31,36 + 10,89 = 42,25 z egyenlőség igaz. Meggyőződtünk róla, hogy a DEF háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés. Következtetés: Pitagorasz tételének megfordítása értelmében a DEFΔ derékszögű. Megjegyzés Milyen következtetésre jutsz, ha az oldalak helyett a háromszög szögeit méred meg? 48

6. Szerkeszd meg a PRQ háromszöget, ha adott: PR = 7 cm, m q = 4 cm (a háromszög q oldalához tartozó magasság), PRQ = 45. Mérd meg a háromszög többi oldalát is, és állapítsd meg, hogy teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés! 7. Szerkeszd meg az BC háromszöget, ha adott: c = 5 cm, a = 4 cm, s c = 3 cm (a c oldalhoz tartozó súlyvonal). Mérd meg a fennmaradó oldal hosszát, és állapítsd meg, hogy teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés! 6. megoldás 7. megoldás Elemzés: PR = q = 7 cm m q = 4 cm PRQ = 45 Vázlat: Elemzés: B = c = 5 cm BC = a = 4 cm s c = 3 cm Vázlat: Megszerkesztjük a PR = 7 cm-es szakaszt, majd megszerkesztjük a 45 -os PRX szöget. Q pont rajta van a PR szakasszal párhuzamos p egyenesen, amely a PR-től 4 cm-re fekszik, mivel m q = 4 cm. szerkesztés lépései: 1. PR; PR = 7 cm 2. PRX ; PRX = 45 3. p; p PR, p,pr = 4 cm 4. Q; X 5. PRQΔ Q p Segítség háromszög súlyvonala egy olyan szakasz, amely az egyik csúcspontot a szemközti oldal középpontjával köti össze. Megszerkesztjük az B = 5 cm szakaszt. c oldalhoz tartozó súlyvonal egyik végpontja a C, a másik pedig az O, amely az B szakasz középpontja. Ezért a C pontot a k 1 (O, 3 cm) és k 2 (B, 4 cm) körívek metszeteként kapjuk meg. szerkesztés lépései: 1. B; B = 5 cm 2. O; O B, O = OB 3. k 1 ; k 1 (O, 3 cm) 4. k 2 ; k 2 (B, 4 cm) 5. C; 6. BCΔ k 2 C k 1 P R Megvitatás: feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. z oldalak lemérésével megállapítjuk, hogy a RQ oldal hossza 5,5 cm, a PQ oldalé pedig 5 cm. leghosszabb oldalt fogjuk átfogónak tekinteni, a rövidebbek lesznek a befogók. Pitagorasz-összefüggés: PR 2 = PQ 2 + RQ 2. háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. PR 2 = 7 2 = 49 PQ 2 + RQ 2 = 5 2 + 5,5 2 = 25 + 30,25 = 55,25 49 55,25 z egyenlőség hamis. Megállapítottuk, hogy a PQR háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés. O B Megvitatás: feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. z C oldal lemért hossza 4 cm. De a BC oldal is 4 cm. Megállapítjuk, hogy teljesül-e erre a háromszögre a Pitagorasz-összefüggés. leghosszabb oldalt tekintjük az átfogónak, a fennmaradó két oldal pedig a befogó. Pitagorasz-összefüggés: B 2 = C 2 + BC 2. háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. B 2 = 5 2 = 25 C 2 + BC 2 = 4 2 + 4 2 = 16 + 16 = 32 25 32 z egyenlőség hamis. Megállapítottuk, hogy a BC háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés. Gondolkodtató feladat Állapítsd meg, hogy létezik-e egyenlő szárú derékszögű háromszög! 49

8. Szerkeszd meg az BC háromszöget, ha adott: b = 5 cm, BC = 30 és s b = 3 cm (a b oldalhoz tartozó súlyvonal). Mérd meg a háromszög többi oldalát is, és állapítsd meg, teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés! 8. megoldás Elemzés: C = b = 5 cm BC = 30 s b = 3 cm Vázlat: Fölvesszük az C = 5 cm szakaszt. B pont a b oldalhoz tartozó súlyvonal egyik végpontja, és illeszkedik a CX szög X szögszárára is. B pontot a k(o; 3 cm) körív segítségével szerkesztjük meg. szerkesztés lépései: 1. C; C = 5 cm 2. CX ; CX = 30 3. O; O C, O = OC C 4. k; k(o, 3 cm) 5. B; 6. BCΔ O k B X Megvitatás: feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. z B szakasz lemért hossza 5 cm, a CB szakaszé pedig 2,5 cm. Győződj meg róla számítással, hogy erre a háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés! Tudod-e? Nemcsak Egyiptomban, hanem Indiában 8 is figyelemre méltó épületeket emeltek már az ókorban. derékszöget így tűzték 9 7 ki: Egy kifeszített spárgára 13 csomót 10 kötöttek egymástól egyenlő távolságra, (például 50 cm-re). 11 6 spárga 1. és 13. csomóját egy adott pontban rögzítették, majd a 4. és 8. 12 5 csomóban kifeszítették (lásd az ábrát). 13 z 148 háromszög derékszögű. 1 2 3 4 9. Szerkeszd meg az adott háromszögeket! Mérd meg a többi oldal hosszát is, és állapítsd meg, hogy a háromszögre teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés! a) BCΔ, B = 4 cm, BC = 7 cm, BC = 70 b) BCΔ, a = 4 cm, b = 6 cm, s b = 5 cm c) BCΔ, c = 6 cm, BC = 30, m c = 4 cm 10. Állapítsd meg, hogy az adott háromszögek derékszögűek-e! a) KLMΔ, KL = 3367 mm, LM = 34,56 dm, KM = 482,5 cm b) XYZΔ, x = 17, y = 14, z = 11 10. megoldás Pitagorasz-tétel megfordításából indulunk ki. a) KLMΔ, KL = 3367 mm, LM = 34,56 dm, KM = 482,5 cm z oldalhosszúságok különböző mértékegységekben szerepelnek, ezért minden hosszúságot mm-ben fejezünk ki. Így minden mérőszám természetes szám lesz ezekkel könnyebb lesz számolni. KL = 3367 mm LM = 3456 mm KM = 4825 mm Felírjuk a Pitagorasz-összefüggést, majd megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. leghosszabb oldal (KM) lesz az átfogó, a rövidebbek (az LM és a KL) a befogók. KM 2 = 4825 2 = 23 280 625 KL 2 + LM 2 = 3367 2 + 3456 2 = 11 336 689 + 11 943 936 = = 23 280 625 23 280 625 = 23 280 625 Igaz egyenlőséget kaptunk. Következtetés: Pitagorasz-tétel megfordítása értelmében a KLM háromszög derékszögű. b) XYZΔ, x = 17, y = 14, z = 11 leghosszabb oldal (x) lesz az átfogó, a másik kettő (az y és a z) a befogó. Pitagorasz-összefüggés: x 2 = y 2 + z 2 háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. x 2 = 17 2 = 289 y 2 + z 2 = 14 2 + 11 2 = 196 + 121 = 317 289 317 z egyenlőség hamis. Következtetés: z XYZ háromszög nem derékszögű. 11. Döntsd el, hogy az alábbi háromszögek derékszögűek-e! a) BCΔ, a = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cm b) DEFΔ, d = 1,2 dm, e = 1,3 dm, f = 0,5 dm c) PRSΔ, PR = 5 m, RS = 12 m, PS = 13 m d) MNOΔ, MN = 0,12 m, NO = 13 dm, MO = 50 mm 50

12. z alábbi három háromszög közül csak az egyik derékszögű. Melyik? a) XYZΔ, x = 15 cm, y = 12 cm, z = 11 cm b) KLMΔ, KL = 6 dm, LM = 10 dm, KM = 8 dm c) DEFΔ, d = 130 mm, e = 215 mm, f = 100 mm 12. megoldás Ebben a feladatban bátran alkalmazhatjuk a becslés (intuíció megérzés) módszerét, amelyre sok hasonló feladat megoldása révén tehetünk szert. Tegyük fel, hogy a b) feladatban adott háromszög a megoldás. Pitagorasz-tétel megfordítását alkalmazva győződünk meg arról, hogy sejtésünk igaz-e. z LM oldalt tekintjük átfogónak, a KL és KM oldalakat pedig befogóknak. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést! LM 2 = KL 2 + KM 2. háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. LM 2 = 10 2 = 100 KL 2 + KM 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 100 = 100 z egyenlőség igaz. Megállapítottuk, hogy a Pitagorasz-tétel megfordítása értelmében a KLMΔ derékszögű. megoldás a b) feladat háromszöge. Miért zártuk ki már az elején az a) és a c) lehetőséget? Mert becsléssel is láthatjuk, hogy az a) esetben 15 2 12 2 + + 11 2, vagyis 225 265. Hasonlóan a c) esetben fejben kiszámítható, hogy 130 2 + 100 2, kevesebb, mint 215 2. 13. z alábbi három háromszög közül csak az egyik derékszögű. Melyik? a) BCΔ, a = 13 cm, b = 11 cm, c = 7 cm b) PRSΔ, PR = 5 dm, RS = 40 cm, PS = 0,3 m c) DEFΔ, d = 1,7 cm, e = 15 mm, f = 4 cm 14. Számítsd ki az ábrán látható derékszögű háromszögek x-szel jelölt oldalának hosszát! z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! a) b) 12 15 1,8 2,6 14. megoldás háromszögek derékszögűek, tehát az ismeretlen oldal kiszámításához felhasználhatjuk Pitagorasz tételét. Először megállapítjuk, hogy az oldalak közül melyik az átfogó és melyek a befogók. a) 12 15 x z átfogó a derékszöggel szemközt fekszik ez az x oldal. háromszög átfogójának hosszát kell kiszámítanunk. befogók hossza 12 és 15 egység. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: zt a számot keressük, amelynek a négyzete 369 ezért négyzetgyököt vonunk. Két tizedesjegyre kifejezve: x = 19,20. z x átfogó hossza 19,20 hosszegység. b) 1,8 x 2,6 Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: 2,6 2 = 1,8 2 + x 2 6,76 = 3,24 + x 2 x 2 = 6,76 3,24 x 2 = 3,52 x = 1,876 1... z átfogó a derékszöggel szemben fekszik. Ennek hossza 2,6 hosszegység. z egyik befogó hossza 1,8 hosszegység, a másiké x. másik befogó hosszát kell kiszámítanunk. zt a számot keressük, amelynek négyzete 3,52 ezért négyzetgyököt vonunk. Két tizedesjegyre kifejezve: x = 1,87. x x befogó hossza 1,87 hosszegység. Megjegyzés a 14. feladathoz Két tizedesjegyre dolgozni nem ugyanaz, mint az eredményt két tizedesjegyre kerekíteni. x = 19,209 37 két tizedesjegyre kifejezve: x = 19,20 (a harmadik tizedesjegytől kezdve minden számjegyet elhagyunk) x = 19,209 37 két tizedesjegyre kerekítve x 19,21 (századokra kerekítünk) Gondolkodtató feladat Némely feladat kiszámításához sok idő kell. Egy filozófus szerint: z idő a gondolkodás egyik módja. Állapítsd meg, ki mondta ezt! Érdekes megállapításra juthatsz. 51

15. Számítsd ki az ábrán látható derékszögű háromszögek x oldalának hosszát! z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 2 a) b) 45 23 x c) d) 26 12 x x 5,6 x 4 2,1 16. megoldás folytatás Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: MN 2 = NO 2 + MO 2 34 2 = 14 2 + MO 2 1156 = 196 + MO 2 MO 2 = 1156 196 MO 2 = 960 MO = MO = 30,983 8... z MO oldal hossza 30,98 cm. zt a számot keressük, amelynek négyzete 960 ezért négyzetgyököt vonunk. Két tizedesjegyre kifejezve: r = 30,98. 16. Számítsd ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalainak hosszát: a) PRSΔ, PR = 6 m, RS = 12 m, PRS = 90 b) MNOΔ, MN = 34 cm, NO = 1,4 dm, MON = 90 z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 16. megoldás háromszögek derékszögűek, ezért ismeretlen oldalaik kiszámításához felhasználhatjuk Pitagorasz tételét. a) PRSΔ, PR = 6 m, RS = 12 m, PRS = 90 z átfogó a derékszöggel szemben fekvő PS oldal. két befogó a PR és az RS. S Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: r =? PS 2 = PR 2 + RS 2 r 2 = 6 2 + 12 2 r 2 = 36 + 144 P s = 6 m R r 2 = 180 zt a számot keressük, amelynek négyzete 180 ezért négyzetgyököt vonunk. r = r = 13,416 4... Két tizedesjegyre kifejezve: r = 13,41. PS oldal hossza 13,41 hosszegység. p = 12 m b) MNOΔ, MN = 34 cm, NO = 1,4 dm, MON = 90 n =? O m = 1,4 dm = 14 cm 17. Számítsd ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalainak hosszát: a) BCΔ, a = 8 cm, b = 15 cm, BC = 90 b) DEFΔ, d = 1,2 dm, e = 1,3 dm, DEF = 90 c) KLMΔ, KL = 100 mm, LM = 60 mm, KML = 90 d) XYZΔ, x = 1,4 m, y = 28 dm, XZY = 90 z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 18.** Írd le, milyen képlettel számítható ki: a) az BC háromszög átfogójának hossza, ha a B csúcsban van a derékszög; b) az BC háromszög befogóinak hossza, ha az csúcsban van a derékszög! 19.* z alábbi összefüggések közül csak az egyik igaz. Ha az BCΔ derékszöge az csúcsban van, akkor az átfogóját az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani: c = B a = C b = 20.* z alábbi összefüggések közül csak az egyik igaz. Ha az BCΔ derékszöge a B csúcsban van, akkor a másik befogóját az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani: c = B a = C b = M o = 34 cm N z átfogó a derékszöggel szemben fekvő MN oldal, MN = 34 cm. z egyik befogó az 1,4 dm hosszúságú NO, a másik az MO oldal. z MO befogó hosszát kell kiszámítanunk. 52

Pitagorasz tétele és a háromszögek Pitagorasz tételét talán a háromszögekkel kapcsolatos számításokban alkalmazzuk a leggyakrabban. Bármely általános háromszög a magasságával feldarabolható két derékszögű háromszögre. 21. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magasságának hosszát, ha szárainak hossza 6 cm! z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 21. megoldás megoldás elején vázlatrajzot készítünk az egyenlő szárú BC háromszögről. Mivel a háromszög m c magasságvonala merőleges az B oldalra, a keletkező KC háromszög derékszögű, ahol a K pont az B oldal középpontja. Tehát alkalmazható Pitagorasz tétele. C 22. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magasságát, amelynek: a) alapja 106 mm; b) alapja 0,23 dm; c)* alapja a z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 23. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magasságát, ha az alap hossza 6 cm, a száraké pedig 5 cm! 23. megoldás megoldás elején vázlatrajzot készítünk. z B alapú, egyenlő szárú BC háromszög vázlatrajzában megrajzoljuk az alaphoz tartozó magasságot. C 5 cm 5 cm 6 cm 6 cm z m c magasság (KC szakasz) az egyenlő szárú háromszöget két derékszögű háromszögre darabolja. háromszögek egyikét külön lerajzoljuk, majd megkeressük az átfogóját és a befogóit. 3 cm 6 cm 3 cm K m c 3 cm z átfogó az C szakasz, a két befogó pedig az K és a KC szakasz. z m c magasság a derékszögű háromszög KC befogója. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: C 2 = K 2 + KC 2 6 2 = 3 2 2 + m c 2 36 = 9 + m c m 2 c = 36 + 9 m 2 c = 27 m c = m c = 5,196 1... Két tizedesjegyre kifejezve: m c = 5,19. z egyenlő szárú BC háromszög magassága 5,19 cm. C K m c B 3 cm K z m magasság, vagyis a KC szakasz C két derékszögű háromszögre darabolja az egyenlő szárú háromszöget. K pont az B oldal felezőpontja. 5 cm háromszögek egyikét újra m lerajzoljuk, majd megkeressük az átfogóját és a befogóit. megoldáshoz Pitagorasz tételét alkalmazzuk. 3 cm K z átfogó az C szakasz, a két befogó pedig az K és a KC szakasz. z m magasság a derékszögű háromszög KC befogója. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: C 2 = K 2 + KC 2 5 2 = 3 2 + m 2 25 = 9 + m 2 m 2 = 25 9 m 2 = 16 m = m = 4 z egyenlő szárú BC háromszög magasságának hossza 4 cm. m 3 cm 24. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magasságát, ha a) alapja 23 mm, szárainak hossza pedig 35 mm; b) alapja 0,7 dm, szárainak hossza pedig 9 cm; c)* alapja a, a szárainak hossza pedig b. z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! B 53

Pitagorasz tétele és a paralelogrammák paralelogrammákra vonatkozó feladatokban is gyakran alkalmazzuk Pitagorasz tételét. Hogy oldjuk meg ezeket a feladatokat? paralelogrammákat amennyiben lehetséges derékszögű háromszögekre daraboljuk. 25. Számítsd ki az 5 cm oldalú négyzet átlóinak hosszát! z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 25. megoldás Vázlatot készítünk a négyzetről: megjelöljük a csúcsait, oldalait és az egyik átlóját. Megnézzük, keletkezett-e valahol derékszögű háromszög. Mivel a négyzet oldalai merőlegesek egymásra, a keletkező BC háromszög derékszögű, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. D a = 5 cm négyzetben kijelöljük a derékszögű BC háromszöget. jánlatos külön megrajzolni: C e e B a Ennek a háromszögnek az e = C átló az átfogója, a két befogója az B és a BC. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: C 2 = B 2 + BC 2 e 2 = 5 2 + 5 2 e 2 = 50 e = e = 7,071 06... Két tizedesjegyre kifejezve: e = 7,07. négyzet e átlójának hossza 7,07 cm. 26. Számítsd ki a négyzet átlójának hosszát, ha oldalának hossza: a) 7,2 dm b) 56 mm c)* a z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! C az BCD négyzet átlója a = 5 cm B a 27. Milyen hosszú annak a négyzetnek az oldala, amelynek átlója 7 cm hosszú? z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 27. megoldás Vázlatot készítünk a négyzetről: megjelöljük a csúcsait és az oldalait. Kijelöljük az e átlót. négyzet oldalai merőlegesek egymásra, így derékszögű háromszög keletkezik, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. D e = 7 cm a B C a az BCD négyzet átlója négyzetben kijelöljük a derékszögű BC háromszöget. a B Ennek a háromszögnek az e = C átló az átfogója, két befogója az B és a BC. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: C 2 = B 2 + BC 2 7 2 = a 2 + a 2 7 2 = 2 a 2 a 2 = 49 : 2 a 2 = 24,5 a = a = 4,949 7... Két tizedesjegyre kifejezve: a = 4,94. négyzet oldalának hossza 4,94 cm. 28. Milyen hosszú annak a négyzetnek az oldala, amely átlójának hossza: a) 4,8 dm b) 32 mm c)* e z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! e C a 54

29. Számítsd ki a 4 cm és 3 cm oldalhosszúságú téglalap átlójának hosszát! 29. megoldás Felvázoljuk a téglalapot, megjelöljük az oldalait, a csúcsait és az átlóját. Ebben az esetben is derékszögű háromszöget keresünk. Mivel a téglalap oldalai merőlegesek egymásra, egy átló a téglalapot két derékszögű háromszögre bontja. Ezek egyike az BC háromszög, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. 31. Számítsd ki a téglalap másik oldalának hosszát, ha a téglalap átlójának hossza 6,5 cm, az egyik oldala pedig 4,5 cm! z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 31. megoldás Vázlatrajzot készítünk a téglalapról. téglalap oldalai merőlegesek egymásra, az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. Ezek egyike az BCΔ, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. D C D C e b = 3 cm az BCD téglalap átlója e = 6,5 cm b az BCD téglalap átlója a = 4 cm B téglalapban kijelöljük a derékszögű BC háromszöget. C a = 4,5 cm B téglalapban kijelöljük a derékszögű BC háromszöget. C e b = 3 cm e = 6,5 cm b a = 4 cm Ennek a háromszögnek az átfogója az e = C átló, befogói a téglalap B és BC oldalai. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: C 2 = B 2 + BC 2 e 2 = 4 2 + 3 2 e 2 = 25 e = e = 5 téglalap e átlójának hossza 5 cm. 30. Számítsd ki a téglalap átlójának hosszát, ha oldalainak hossza: a) 2,8 dm és 3,6 dm b) 53 mm és 26 mm c)* a és (a + 3) z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! Projektfeladat Pitagorasz tételének felhasználása a következő feladatban is jelen van. Oldd meg, és keress olyan gyakorlati eseteket, amelyet Pitagorasz tételével lehet megoldani! z BCD téglalap B és BD oldalának aránya 4 : 3. téglalap köré írt kör átmérője 10 cm. Számítsd ki a téglalap oldalainak hosszát! B a = 4,5 cm B Ennek a háromszögnek az átfogója az e = C átló, befogói a téglalap B és BC oldalai. z B oldal hosszát tekintjük 4,5 cm-nek, tehát a BC oldal hosszát kell kiszámítanunk. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: C 2 = B 2 + BC 2 6,5 2 = 4,5 2 + b 2 42,25 = 20,25 + b 2 b 2 = 42,25 20,25 b 2 = 22 b = b = 4,690 4... Két tizedesjegyre kifejezve: b = 4,69. téglalap másik oldalának hossza 4,69 cm. 32. Számítsd ki a téglalap másik oldalának hosszát, ha: a) átlójának hossza 35 mm, az egyik oldaláé pedig 28 dm b) átlójának hossza 91 mm, az egyik oldaláé pedig 68 dm c)* átlójának hossza e, az egyik oldaláé pedig (e 2) z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 55

Pitagorasz tétele és a trapéz trapézról szóló feladatokban is gyakran felhasználjuk Pitagorasz tételét. trapéz magasságának meghúzásával derékszögű háromszög keletkezik. 33. Milyen hosszú annak az egyenlő szárú PRST trapéznak a magassága, amely alapjainak hossza p = 2 dm, s = 12 cm, száraié pedig r = t = 9 cm? z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 33. megoldás Vázlatot készítünk, amelyben megjelöljük a trapéz magasságát. Mivel a trapéz magassága merőleges az alapra, a PT 0 T háromszög derékszögű, amelyre alaklmazható Pitagorasz tétele. T s = 12 cm S t = 9 cm P T 0 m a trapéz magassága p = 2 dm = 20 cm Megkeressük az átfogót és a befogókat. PT 0 T háromszög átfogója a PT szakasz, az egyik befogó a PT 0 szakasz, a másik a trapéz keresett magassága (tehát a T 0 T szakasz). Először kiszámítjuk a PT 0 szakasz hosszát: T PT 0 = (20 12) : 2 PT 0 = 8 : 2 t = 9 cm PT 0 = 4 cm m P Pitagorasz tétele szerint: PT 2 = PT 0 2 + T 0 T 2 9 2 = 4 2 + m 2 81 = 16 + m 2 m 2 = 81 16 m 2 = 65 m = m = 8,062 2... Két tizedesjegyre kifejezve: m = 8,06. trapéz magassága 8,06 cm. r = 9 cm 4 cm 34. Számítsd ki az egyenlő szárú trapéz magasságát, ha adott a két alapja és a két szára: a) BCD, a = 8 cm, c = 2 cm, b = d = 5 cm b) EFGH, e = 12 cm, g = 9 cm, f = h = 4 cm c) OPRS, o = 65 mm, r = 2,5 cm, p = s = 3,5 cm z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! R T 0 35. Számítsd ki az egyenlő szárú PRST trapéz szárainak hosszát, ha adott a két alap: p = 1,8 dm, s = 1,1 dm és a trapéz magassága: m = 5 cm. z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 35. megoldás trapéz vázlatrajzában meghúzzuk az egyik magasságot. Kijelöljük a derékszögű PT 0 T háromszöget, és alaklmazzuk Pitagorasz tételét. P t T T 0 m = 5 cm PT 0 T háromszög átfogója a PT szakasz, az egyik befogó a PT 0 szakasz, a másik a trapéz keresett magassága (tehát a T 0 T szakasz). Először kiszámítjuk a PT 0 szakasz hosszát: PT 0 = (18 11) : 2 T PT 0 = 7 : 2 PT 0 = 3,5 cm t m = 5 cm Pitagorasz tétele szerint: PT 2 = PT 0 2 + T 0 T 2 t 2 = 3,5 2 + 5 2 t 2 = 12,25 + 25 t 2 = 37,25 t = t = 6,103 2... s = 1,1 dm =11 cm p = 1,8 dm = 18 cm Két tizedesjegyre kifejezve: t = 6,10. trapéz szárainak hossza 6,10 cm. P S 3,5 cm T 0 36. Számítsd ki az egyenlő szárú trapéz szárainak hosszát, ha adott a trapézok két alapja és magassága: a) BCD, a = 8 cm, c = 2 cm, m = 4 cm b) EFGH, e = 15 cm, g = 10 cm, m = 3 cm c) OPRS, o = 5 cm, r = 25 mm, m = 15 mm z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! r R 56

Pitagorasz tétele és a kör körre vonatkozó feladatokban is gyakran szükség van Pitagorasz tételére. Itt is keletkezhet derékszögű háromszög. 37. Milyen hosszú a 3,14 dm sugarú körhöz tartozó húr, amely 12 cm-re van a kör középpontjától? z eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! 37. megoldás Készítsünk vázlatot egy O középpontú, r sugarú körről, benne egy B húrral! Mivel a húr merőleges az OC szakaszra (a kör sugarára), derékszögű háromszög keletkezik, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. z B húr távolsága a kör O középpontjától OB 0 = 12 cm. B keletkezett OB 0 B háromszög derékszögű. B r = 3,14 dm = 31,4 cm r O B 0 O 12 cm B 0 z OB 0 B háromszög átfogója az OB szakasz a kör sugara. z egyik befogó a BB 0 szakasz a húr fele (ezt kell kiszámítanunk x-szel jelöljük) a másik pedig az OB 0 szakasz a húr távolsága a kör középpontjától. Pitagorasz tétele alapján: OB 2 = OB 0 2 + BB 0 2 31,4 2 = 12 2 + x 2 985,96 = 144 + x 2 x 2 = 985,96 144 x 2 = 841,96 x = x = 29,016 5... z x a húr fele, ezért: B = 2 x = 2 29,016 5... = = 58,033... Két tizedesjegyre kerekítve: B 58,03. kör húrja körülbelül 58,03 cm hosszú. r k = x C Segítség kör húrja egy olyan szakasz, amely a körvonal két pontját köti össze. 38. Milyen hosszú a kör húrja, ha a) a kör sugara 6 cm, a húr távolsága a kör középpontjától 4 cm; b) a kör sugara 1,28 dm, a húr távolsága a kör középpontjától 10 cm; c) a kör sugara 15 cm, a húr távolsága a kör középpontjától 2,5 cm; d) a kör sugara 7 dm, a húr távolsága a kör közép pontjától 32 mm? z eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! 39. Számítsd ki a kör átmérőjének hosszát, ha az 57 mm hosszú B húrja 2 cm-re van a kör középpontjától! z eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! 39. megoldás Vázlatot készítünk az O középpontú, r sugarú körről, benne az B húrral. húr merőleges a középpontjába húzott sugárra, ezért egy derékszögű háromszög keletkezik, amelyre alakalmazható Pitagorasz tétele. keletkezett OB 0 B háromszög derékszögű. 57 Segítség O r 2 cm = = 20 mm B O 20 mm B 0 kör átmérője a sugár kétszerese. kör sugarát r-rel jelöljük. kör átmérőjét d-vel jelöljük. d = 2 r. B B 0 k r = 57 : 2 = 28,5 folytatás

39. megoldás folytatás háromszög átfogója az OB szakasz, vagyis a kör r sugara, amiből majd a d = 2 r összefüggés alapján kiszámítjuk a kör átmérőjét. z egyik befogó a BB 0 szakasz a húr fele, a másik az OB 0 szakasz a húr távolsága a kör középpontjától. Pitagorasz tételét alkalmazva: OB 2 = OB 0 2 + BB 0 2 r 2 = 20 2 + 28,5 2 r 2 = 400 + 812,25 r 2 = 1212,25 r = r = 34,817 3... kör átmérője: d = 2 r = 2 34,817 3... = 69,634 76... Két tizedesjegyre kerekítünk: d 69,63 mm. kör átmérője körülbelül 69,63 mm. 40. Számítsd ki a kör sugarának hosszát, ha a) a húr hossza 8 cm, távolsága a kör középpontjától 3 cm; b) a húr hossza 3,8 dm, távolsága a kör középpontjától 1,5 dm; c) a húr hossza 26 cm, távolsága a kör középpontjától 1,2 dm; d) a húr hossza 6,2 cm, távolsága a kör középpontjától 3.1 cm. z eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! Tudod-e, hogy a geometria, matematika, aritmetika szavak görög eredetűek? rkhimédész volt az egyik legnagyobb ókori görög matematikus, fizikus, tervező és hadmérnök. Pitagorasz tétele és a mértani testek z alábbiakban bemutatunk néhány olyan feladatot, amely gyakran szerepel a tankönyvekben. 41. Számítsd ki a 10 cm élű kocka lapátlójának hosszát! z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 41. megoldás Megoldásunk elején szemléltetjük a kockát. Mivel a kocka lapjai négyzetek, a lapátló valójában egy négyzet átlója, amely a négyzetet két derékszögű háromszögre darabolja, tehát alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét. D a = 10 cm négyzetben kijelöljük az BC háromszöget. e e C B 10 cm a = 10 cm a = 10 cm kocka lapátlója az BCD négyzet e átlója B Ennek a háromszögnek az átfogója az e = C átló, két befogója pedig a négyzet B és BC oldala. C 10 cm Pitagorasz tételét alkalmazva: C 2 = B 2 + BC 2 e 2 = 10 2 + 10 2 e 2 = 100 + 100 e 2 = 200 e = e = 14,142 1... Két tizedesjegyre kifejezve: e = 14,14. kocka lapátlójának hossza 14,14 cm. 42. Számítsd ki a kocka lapátlójának hosszát, ha a kocka éle: a) 2,7 dm b) 35 mm c)* a z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! Gondolkodtató feladat Fejezd ki a kocka éléből a kocka testátlójának hosszát! 58

43. Számítsd ki a szabályos négyoldalú hasáb (négyzetes oszlop) testátlóinak hosszát, ha a hasáb alapéle 5 cm, magassága pedig 7 cm! z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 43. megoldás Szemléltetjük a hasábot. lapja négyzet, négy oldallapja négy egybevágó téglalap. Ezért elég kiszámítani egyetlen lapátló hosszát. E H D 5 cm e téglalapban kijelölt derékszögű BF háromszög átfogója nem más, mint az e = F átló. két befogó a téglalap B és BF oldala. Pitagorasz tételét alkalmazva: F 2 = B 2 + BF 2 e 2 = 5 2 + 7 2 e 2 = 25 + 49 e 2 = 74 e = e = 8,602 3... Két tizedesjegyre kifejezve: e = 8,60. hasáb oldallapátlójának hossza 8,60 cm. F B 7 cm G C 5 cm a hasáb oldallapátlója az BFE téglalap e átlója 44. Számítsd ki a szabályos négyoldalú hasáb oldallapátlóinak hosszát, ha a hasáb a) alapéle 1,2 dm, magassága 39 cm; b) alapéle 60 mm, magassága 4 cm; c)* alapéle a, magassága b; d) alapéle a, magassága (a + 3). z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 45. Számítsd ki a téglatest testátlójának hosszát, ha éleinek hossza: a) 5 cm, 4 cm és 3 cm b) 6,2 dm, 30 cmés 0,25 m z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 45. megoldás Szemléltetjük a téglatestet. Megjelöljük a csúcsait, feltüntetjük az ismert élhosszúságokat és a kiszámítandó testátlót. Mivel a téglatest mindhárom éle különböző, a lapjai is különböző méretű téglalapok. Téglalapokról lévén szó, ebben a feladatban is alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét. a) H G Szemléltettük a téglatestet az élméreteivel. Most kijelöljük a BH testátlót, amely egy derékszögű háromszög egyik oldala. H G E E D D Megjegyzés z G, EC és FD szakasz is testátló. BDH háromszögben a D pont a derékszög csúcsa, a BH testátló a derékszögű háromszög átfogója, a BD és a DH a befogói. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést! BH 2 = BD 2 + DH 2 BH 2 = BD 2 + 3 2 5 cm. B B F F 4 cm C 3 cm C b a a BD befogó hosszát nem ismerjük, de tudjuk, hogy a BD a téglalap alakú alaplap átlója. z átló ezt a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. derékszögű BD háromszög derékszöge az csúcsnál van, a BD szakasz az átfogója, az D és B pedig a befogói. folytatás 59

45. megoldás folytatás lkalmazzuk Pitagorasz tételét a BD háromszögre: BD 2 = B 2 + D 2 D összefüggést behelyettesítjük a BH 2 = BD 2 + 3 2 összefüggésbe.. Ebből: BH 2 = B 2 + D 2 + 3 2 BH 2 = 5 2 + 4 2 + 3 2 BH 2 = 25 + 16 + 9 BH 2 = 50 BH = BH = 7,071 0... Két tizedesjegyre kifejezve: BH = 7,07 cm. téglatest testátlója 7,07 cm hosszú. B lkalmazzuk Pitagorasz tételét az BC háromszögre: z C 2 = B 2 + BC 2 C összefüggést behelyettesítjük az EC 2 = C 2 + 25 2 összefüggésbe.. Ebből: B EC 2 = B 2 + BC 2 + 25 2 EC 2 = 62 2 + 30 2 + 25 2 EC 2 = 3844 + 900 + 625 EC 2 = 5369 EC = EC = 73,273 4... Két tizedesjegyre kifejezve: EC = 73,27 cm. téglatest testátlója 73,27 cm hosszú. b) Szemléltetjük a téglatestet, feltüntetjük az élméreteit. z élek hosszát közös mértékegységben (cm-ben) fejezzük ki. E H D 6,2 dm = 62 cm F B G 0,25 m = 25 cm C 30 cm 46. Számítsd ki a téglatest testátlójának hosszát, ha éleinek hossza: a) 15 cm, 12 cm és 11 cm b) 3,7 dm, 52 cm és 0,36 m c) 5 dm, 7 cm és 45 mm d) 6,7 cm, 2 dm és 135 mm z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! Kijelöljük a téglatestben az EC testátlót mint egy derékszögű háromszög egyik oldalát. H G E D F C. B CE háromszög derékszöge az csúcsban van, az EC testátló a háromszög átfogója, az C és az E pedig a két befogója. lkalmazzuk Pitagorasz tételét a CE háromszögre: EC 2 = C 2 + E 2 EC 2 = C 2 + 25 2 z C befogó hosszát nem ismerjük. Tudjuk azonban, hogy az C a téglatest lapátlója, amely a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. z BC derékszögű háromszög derékszöge a B csúcsnál van, az C az átfogója, a BC és az B a befogója. 60

Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. Jelöld meg az igaz állítást. 12 cm, 13 cm, 5 cm oldalú háromszög derékszögű. B z 5 cm, 4 cm, 3 cm oldalú háromszög nem derékszögű. C z,, 1 oldalú háromszög derékszögű. D Nem létezik egyenlő szárú derékszögű háromszög. 2. Ha az BC háromszög derékszöge a B csúcsban van, akkor a c oldal: M befogó N átfogó O súlyvonal 3. Ha a KLM háromszög derékszöge a K csúcsban van, akkor a Pitagorasz-összefüggés: E KL 2 = LM 2 + KM 2 É LM 2 = KL 2 + KM 2 F KM 2 = KL 2 + LM 2 4. Ha a PQR háromszög derékszöge az R csúcsban van, valamint PR = 8 cm és PQ = 10 cm, akkor a harmadik oldalt az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani: P R S T 5. Ezzel az összefüggéssel számítjuk ki a 20 cm oldalú négyzet e átlójának hosszát: C D E É 6. 4 cm és 3 cm oldalú téglalap f átlóját az alábbi összefüggéssel számíthatjuk ki: R f = S f 2 = T f 2 = U f = Ha jól oldottad meg a fenti feladatokat, akkor a helyes válaszok betűjeleinek összeolvasásával megkapod a választ arra a kérdésre, hogy: Mi a leggyakoribb MŰVELET GEOMETRIÁBN? Természetesen Jegyezd meg! derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek egyik belső szöge derékszög (90 ). derékszöggel szemközti, leghosszabb oldalt átfogónak nevezzük. derékszög két szárán fekvő két rövidebb oldal a befogó. Minden derékszögű háromszögre teljesül Pitagorasz tétele: derékszögű háromszög átfogója fölé emelt négyzet területe egyenlő a két befogóra emelt négyzetek területeinek összegével. derékszögű BC háromszögre felírható a Pitagorasz-összefüggés, ha a derékszög csúcsa a C pontban van: c 2 = a 2 + b 2 vagy B 2 = C 2 + BC 2. b 2 C a 2 B z a és b befogók hosszát az alábbi összefüggésekkel lehet kiszámítani: c 2 Pitagorasz-tétel megfordítása: Ha egy háromszögre teljesül a c 2 = a 2 + b 2 vagy B 2 = BC 2 + C 2 egyenlőség, akkor ez a háromszög derékszögű. 61

2.2. Pitagorasz tételének gyakorlati alkalmazása Tudod-e? szimbólum-ábécében a négyzet a Föld jelképe. Idézzük fel! Oldd meg az alábbi feladatot! lkalmazd az előző fejezetben tanultakat! 1. Írd fel a Pitagorasz-összefüggést az alábbi derékszögű háromszögekre, amelyek egy négyzet, téglalap vagy trapéz részei! csúcsokat és az oldalakat jelöld meg úgy, hogy az összefüggéseket a lehető legegyszerűbben fel lehessen írni! a) b) c) 1. megoldás Hogy a megoldást a lehető legegyszerűbben le lehessen írni, mindhárom háromszögben jelöljük a csúcsokat, B, C betűkkel, az oldalakat pedig a, b, c-vel! derékszög csúcsa legyen C. a) B b) c) B B a c c a a c C b b C C b z BC háromszög c oldala az átfogó, az a és a b a befogó. Ilyen jelölés mellett mindhárom háromszögre így írható fel a Pitagorasz-összefüggés: c 2 = a 2 + b 2 2. Írd fel a Pitagorasz-összefüggést az alábbi derékszögű háromszögekre, amelyek egy négyzet, téglalap vagy trapéz részei! csúcsokat és az oldalakat jelöld meg úgy, hogy az összefüggéseket a lehető legegyszerűbben le lehessen írni! a) b) c) 62

3.* Írd fel a Pitagorasz-összefüggést azokra a derékszögű háromszögekre, amelyet egy-egy kockába írtunk, ha a) a kocka éle a; b) a kocka éle b! a b 4. Számítsd ki a táblázatból hiányzó adatokat, ha az a és a b az BC háromszög egy-egy befogója, a c pedig az átfogója. z eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! a) b) c) a 15 cm? 0,28 m b? 2,5 dm 0,73 m c 21 cm 8,7 dm? 4. megoldás feladatot Pitagorasz tételének alkalmazásával oldjuk meg. Minden esetben a c-t átfogónak, az a-t és a b-t befogónak tekintjük. a) a = 15 cm c 2 = a 2 + b 2 C c = 21 cm 21 2 = 15 2 + b 2 b =? 441 = 225 + b 2 b 2 = 441 225 b 2 = 216 b = b = 14,696 9... Két tizedesjegyre kifejezve: b = 14,69 cm. b) b = 2,5 dm c 2 = a 2 + b 2 c = 8,7 dm 8,7 2 = a 2 + 2,5 2 a =? 75,69 = a 2 + 6,25 a 2 = 75,69 6,25 a 2 = 69,44 a = a = 8,333 0... Két tizedesjegyre kifejezve: a = 8,33 dm. c) a = 0,28 m c 2 = a 2 + b 2 b = 0,73 m c 2 = 0,28 2 + 0,73 2 c =? c 2 = 0,078 4 + 0,532 9 c 2 = 0,611 3 c = c = 0,781 8... Két tizedesjegyre kifejezve: c = 0,78 m. 5. Számítsd ki a táblázatból hiányzó adatokat, ha az a és a b az BC háromszög egy-egy befogója, a c pedig az átfogója. b c a B a 2,5 dm 42 mm? 3 m 25 cm? b 3,6 dm? 74 cm? 250 mm 56 cm c? 96 mm 128 cm 72 dm? 9,2 m 63

6.* Hogyan aránylik az BC háromszög magassága a DEF háromszög magasságához, ha az BC háromszög alapja 8 cm, szára 5 cm, a DEF háromszög alapja 6 cm, szára pedig 5 cm? 6. megoldás Hogyan oldjuk meg a feladatot? Elkészítjük mindkét háromszög vázlatát. Kiszámítjuk mindkét magasságot, majd felírjuk ezek arányát. z BC háromszög magasságának kiszámítása: magasságvonal a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre bontja. z O pont az B szakasz középpontja. z OC háromszög átfogója az C szakasz, befogói pedig az O és az OC szakaszok. z BC háromszög m magassága azonos az OC derékszögű háromszög OC befogójával. Pitagorasz tételét alkalmazva: C 2 = O 2 + OC 2 5 2 = 4 2 + m 2 25 = 16 + m 2 m 2 = 25 16 m 2 = 9 m = m = 3 z BC háromszög magassága 3 cm. 5 cm C m 5 cm 4 cm O 4 cm DEF háromszög magasságát ugyanígy számítjuk ki: 5 cm 5 cm DF 2 = DO 2 + OF 2 5 2 = 3 2 + m 2 m 25 = 9 + m 2 m 2 = 25 9 m 2 = 16 D E m = 3 cm O 3 cm m = 4 DEF háromszög magassága 4 cm. kapott magasságokat az adott sorrendben arányba állítjuk. magasságok aránya 3 : 4. F a háromszög magassága Megjegyzés z előző fejezetben foglalkoztunk az egyenlő szárú háromszögek magasságának kiszámításával, ezért arányukat azonnal fel tudnánk írni. Ennek ellenére megadjuk a teljes megoldást. B a háromszög magassága Gondolkodtató feladat Mekkora az BC háromszög c átfogójához tartozó magassága, ha a háromszög területe 48 cm 2, az egyik befogó hossza pedig a = 12 cm? Projektfeladat Állapítsd meg, hogy mely európai országokban szokás ősszel sárkányt ereszteni! Milyen versenysárkány-típusok léteznek, és hazánkban hol szoktak sárkányeregető versenyt rendezni? Tudod-e? Több városcímer is ábrázolja Szent György küzdelmét a sárkánnyal. Állapítsd meg, hogy az itt látható címer mely szlovákiai városé! 7.** Z ŐSZ ÉS SÁRKÁNY Sok országban még ma is él egy régi szokás: a sárkányeresztés. sárkányoknak különböző alakjuk van, és nemegyszer sárkányeresztő versenyeket is rendeznek. a) mi iskolánk is rendez ilyen versenyt. Tavaly az volt a részvétel feltétele, hogy a sárkányt két síkidomból kellett összeállítani: két egyenlő szárú háromszögből úgy, hogy a sárkánytest hossza 150 cm és 180 cm között legyen. sárkány többi méretét a tanulók aszerint választották meg, ahogy a díszítés megkívánta. z ábrán az egyik sárkány rajza látható. Hossza 150 cm, legnagyobb szélessége 60 cm. z egyenlő szárú háromszögek alapja a sárkányt 3 : 7 arányban osztja 2 részre. bírák számára a sárkány rajzát az összes oldal hosszának feltüntetésével kellett leadni. Mely hosszúságokat kellett a versenyzőknek kiszámítaniuk? Írd le ezeket az értékeket! b) versenysárkány kötele 25 m hosszú. versenybíró a versenyzőtől 10 m-re áll, és a sárkány épp a feje fölött lebeg. Milyen magasan van a sárkány? 64

8.** PRK ÉS KÖRNYEZETVÉDŐK Városunkban lebontottak egy régi épületet. környezetvédők azt javasolják, hogy a bontás helyén létesítsenek egy 180 m széles és 200 m hosszú téglalap alakú parkot. park alaprajza az oldalai mentén és az átlóiban vezető gyalogutakkal az ábrán láthatók. z utak a parkot négy részre osztanák, amelyekbe a kicsiknek játszóteret, a nagyobb gyerekeknek labdajátékokra alkalmas pályát, egy kisebb hangversenypódiumot és padokat terveztek a pihenni vágyó idősebbek részére. Egy cukrászda is lehetne itt. parképítés költségvetésének kidolgozásához szükség volt az összes rész területére. Hány méter a járdák teljes hossza? Mekkora az egyes részek területe? gyalogutak szélességét elhanyagoljuk. z átlókba azért terveztek gyalogutakat, hogy gyorsabban át lehessen jutni a park egyik sarkából az átellenesbe. B Hány méterrel rövidíted meg az utad, ha nem az, hanem a B útvonalon haladsz végig? 9. ELVESZÍTETTÜK KPUKULCSOT Házunkat egy 2,20 m magas kőkerítés veszi körül. Csak egy utcaajtó és egy eltolható kapu van rajta. Ha valaki elveszíti a kulcsot, át kell másznia a kerítésen. Mivel ez egyszer megesett velünk, egy létrát kellett a szomszédból kölcsönkérnünk. Elég hosszú volt (3 m), ezért a kerítéstől jó távol kellett felállítanunk, hogy a legfelső foka épp a fal tetejéig érjen. kerítéstől mekkora távolságra helyeztük el a létra alját? 9. megoldás Vázlatot készítünk. Mivel a kerítést függőlegesen, tehát a vízszintes terepre merőlegesen emelték, ezért a kerítés, a kerítéshez támasztott létra és a vízszintes terep egy derékszögű háromszöget (BC) alkot. Átfogója (B) a létra, egyik befogója a létra aljának távolsága a kőkerítéstől a vízszintes terepen (C), másik befogója pedig a kerítés (BC). lkalmazzuk Pitagorasz tételét: B 2 = C 2 + BC 2 3 2 = C 2 + 2,2 2 9 = C 2 + 4,84 C 2 = 9 4,84 C 2 = 4,16 C = C = 2,039 6... z eredményt két tizedesjegyre kerekítjük. létra alja kb. 2,04 m-re van a kőfaltól. 10. Milyen hosszúnak kellene lennie a 9. feladatban szereplő létrának, hogy az alja a 2,20 m magasságú kőfaltól csak 1,5 m-re legyen? B C 11. GÖRDESZKRÁMP sporttelepen rámpát építettek a gördeszkások számára. Keresztmetszetének egyik eleme egy derékszögű háromszög. Milyen magas a rámpa? 4 m Projektfeladat Állapítsd meg, hogy milyen rámpatípusok kaphatók kerékpárosok és gördeszkások részére! Írd le, hogy milyen síkidomokat alkalmaznak a formájuk kialakításához! Tervezz te is egy saját rámpát! Határozd meg a méreteit, és becsüld meg, hány euróba kerülne az anyagráfordítás! 2,5 m 7,5 m 65

3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása 3.1. Elsőfokú egyenletek megoldása azonos átalakítások segítségével Idézzük fel! 1. Állapítsd meg, hogy igaz-e! 3 ( 2 + 4) + 5 = 5 3 2 2. 1. megoldás Így számoltunk: 3 ( 2 + 4) + 5 = 5 3 2 2 3 2 + 5 = 15 4 6 + 5 = 11 11 = 11 Így is számolhatunk: 3 ( 2 + 4) + 5 = 5 3 2 2 bal oldal jobb oldal B = 3 ( 2 + 4) + 5 = 3 2 + 5 = 6 + 5 = = 11 J = 5 3 2 2 = 15 4 = B = J = 11 = 11 Mindkét megoldásból látható, hogy az egyenlőség igaz. Gondold végig, hogy mi a különbség a két megoldás közt! 2. Milyen szám írható a négyzet helyébe, hogy a 2 + 1 = 12 + 3 egyenlőség igaz legyen? 2. megoldás Így számoltunk: Kiszámítottuk a 12 + 3 = 9 kifejezés értékét. 9-et kaptunk. Ezt követően olyan számot kerestünk (többnyire becsléssel, találgatással), amelyet a négyzet helyébe írva a 2 + 1 kifejezés értéke 9 lesz. Legyen ez a szám a 5! 5-öt behelyettesítve kapjuk, hogy 2 ( 5) + 1 = 10 + 1 = 9 négyzet helyébe a 5-öt kell beírni. Fejszámolással meggyőződünk róla, hogy igaz egyenlőséget kaptunk-e. keresett egyenlőség: 2 5 + 1 = 12 + 3. Így is számolhatunk: négyzetet egy x ismeretlennel helyettesítjük: 2 x + 1 = 12 + 3. Ezt a felírást egyenletnek nevezzük, amelyet az ellentett műveletek módszerével oldunk meg: 2 x + 1 = 9 2 x = 9 1 2 x = 10 x = 10 : 2 x = 5 z x ismeretlen értéke 5. Ellenőrizzük a megoldást: az x ismeretlenbe behelyettesítjük a 5-öt. B = 2 ( 5) + 1 = 10 + 1 = 9 B = J J = 12 + 3 = 9 Mi a különbség az egyenlőség és az egyenlőtlenség közt? Miben különbözik egymástól a fenti megoldás két módja? 66

z egyenleteket az ellentett műveletek elve alapján így oldjuk meg: x + 1 = 5 Látható, hogy x = 4. x = 5 1 összeg különbség x 3 = 9 Látható, hogy x = 12. x = 9 + 3 különbség összeg 2 x = 16 Látható, hogy x = 8. x = 16 : 2 szorzat hányados x : 10 = 9 Látható, hogy x = 90. x = 9 10 hányados hányados szorzat Látható, hogy x = 100. x = 20 5 szorzat Projektfeladat z egyenlőség fogalmát nemcsak a matematika ismeri. z emberi jogok nyilatkozata többször emlegeti az egyenlőség fogalmát, mint a matematikusok. Mit tudsz róla? z egyenleteket különböző módon oldhatjuk meg. Talán már ti is tanultátok valamelyiket. Ehelyett így is írhatjuk: x + 1 = 5 x + 1 = 5 / 1 x = 5 1 x = 4 x = 4 x 3 = 9 x 3 = 9 / + 3 x = 9 + 3 x = 12 x = 12 2 x = 16 2 x = 16 / : 2 x = 16 : 2 x = 8 x = 8 x : 10 = 9 x : 10 = 9 / 10 x = 9 10 x = 90 x = 90 x = 20 5 x = 100 x = 100 / 5 z egyenletmegoldás egyes lépéseiben azonos (ekvivalens) átalakításokat alkalmaztunk. z azonos átalakítás megváltoztatja az egyenletet, de nem változtatja meg az egyenlet gyökét. 3. feladatban ezt egy kicsit másképp is megmutatjuk. 3. Oldd meg az alábbi x-ismeretlenes egyenleteket: a) x 12 = 3 b) x + 8 = 1 c) 6 x = 18 d) 3. megoldás a) x 12 = 3 / + 12 x 12 + 12 = 3 + 12 x = 9 + 12 azonos átalakítás jelentése: z egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a tetszőleges számot. c) 6 x = 18 / : 6 (6 x) : 6 = 18 : 6 x = 3 : 6 azonos átalakítás jelentése: z egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző tetszőleges számmal. Egy másfajta megoldás: 6 x = 18 / : 6 b) x + 8 = 1 / 8 x + 8 8 = 1 8 x = 7 8 azonos átalakítás jelentése: z egyenlet mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a tetszőleges számot. x = 3 d) / 7 7 = 9 7 x = 63 7 azonos átalakítás jelentése: z egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző tetszőleges számmal. fenti egyenletek x ismeretlene kizárólag első hatványon szerepel. zt az egyenletet, amelyben az ismeretlen nincs a nevezőben, gyökjel alatt, illetve abszolútértékjelek között, x-ismeretlenes elsőfokú egyenletnek nevezzük. Segítség z a x + b kifejezést x-változós elsőfokú (lineáris) kifejezésnek nevezzük. z x-ismeretlenes a x + b = c alakú egyenlőséget, ahol a, b és c valós számok, a 0, x-ismeretlenes elsőfokú egyenletnek nevezzük. z elsőfokú egyenlet (megoldása) gyöke: az a tetszőleges x szám, amelyre igaz az a x + b = c egyenlőség. 67

4. Számítsd ki az egyenlet gyökét, majd végezz ellenőrzést! a) 4 x 12 = 16 b) 4. megoldás a) 4 x 12 = 16 / + 12 4 x = 28 / : 4 x = 7 Elvégezzük az ellenőrzést. z x ismeretlenbe behelyettesítjük a 7-et: B = 4 7 12 = 28 12 = 16 B = J J = 16 4 x 12 = 16 egyenlet gyöke 7. b) 6. megoldás folytatás b) 9 + 4 x 3 = 1 + 5 4 x + 6 = 4 / 6 4 x = 2 / : 4 x = 0,5 Ellenőrzés: B = 9 + 4 ( 0,5) 3 = 9 2 3 = 4 J = 1 + 5 = 4 z egyenlet gyöke: 0,5. Segítség B = J kifejezésekben és az egyenletekben az alábbi írásmóddal is találkozhatunk: 5 x = 5x 3 x = 3x Elvégezzük az ellenőrzést. z x ismeretlenbe behelyettesítjük a 8-at: c) törteket közös nevezőre hozzuk. közös nevező 6. B = J = 5 egyenlet gyöke 8. B = J 5. Számítsd ki az egyenlet gyökét, majd végezz ellenőrzést! a) 3 x 8 = 7 b) 7 x + 3 = 18 megoldásnak többféle módja van. Íme, egy további mód: c) d) Meg tudnád-e oldani fejben is ezeket a feladatokat? 6. Oldd meg az elsőfokú egyenleteket! Végezz ellenőrzést! a) 5 x + 7 = 3 + 15 b) 9 + 4 x 3 = 1 + 5 Néhány sor után a megoldás menete megegyezik. c) d) 3,2 + 0,6 x = 1 0,2 6. megoldás z azonos átalakítások alkalmazása előtt rendezzük az egyenletet. ( kifejezéseket mindkét oldalon egyszerűbb alakra hozzuk.) a) 5 x + 7 = 3 + 15 5 x + 7 = 12 / 7 5 x = 5 / : 5 x = 1 Ellenőrzés: B = 5 1 + 7 = 5 + 7 = 12 B = J J = 3 + 15 = 12 z egyenlet gyöke: 1. 68 Ellenőrzés: B = J = z egyenlet gyöke:. folytatás B = J

6. megoldás folytatás d) 3,2 + 0,6 x = 1 0,2 3,2 + 0,6 x = 1,2 / + 3,2 0,6 x = 2 / : 0,6 Ellenőrzés: B = z egyenletet bővítéssel úgy is átalakíthatjuk, hogy először eltávolítjuk a tizedestörteket, vagyis az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk 10-zel: 3,2 + 0,6 x = 1 0,2 3,2 + 0,6 x = 1,2 / 10 32 + 6 x = 12 / + 32 6 x = 20 / : 6 J = 1 0,2 = 1,2 z egyenlet gyöke:. B = J Segítség tizedestörteket olykor törtszám vagy vegyes szám alakjában is írjuk. Idézzük fel ezt az írásmódot! 0,7-et így olvassuk: nulla egész hét tized. z 1,02-ot így olvassuk: egy egész két század. 7. Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést! a) 6 x + 3 = 14 + 5 b) 2,5 + 2 x 0,5 = 2 3,5 c) 4,2 0,5 x = 7,5 0,2 d) Megjegyzés z előző feladatokban ellenőrzéssel győződtünk meg az egyenletek megoldásának helyességéről. Ha a megoldás során kizárólag azonos átalakításokat alkalmaztunk, akkor nincs szükség ellenőrzésre. (z azonos átalakítások nem változtatják meg az egyenlet gyökét.) Eddig csak olyan egyenletekkel foglalkoztunk, amelyek jobb oldalán csak számok vagy számkifejezések voltak. Most olyan egyenletekkel folytatjuk, amelyek jobb oldalán is változót tartalmazó kifejezés áll. 8. Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést! a) 2 (x + 3) = 1 4x b) 5x 4 = 3 (x 1) c) 3 (0,2x + 1) = 2 (1,6x + 1) d) 5 (1,2 + x) 4 (0,5x 1) = 0 8. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd szükség szerint rendezzük az egyenlet mindkét oldalát. Végül azonos átalakításokkal kiszámítjuk az ismeretlen értékét. a) 2 (x + 3) = 1 4x 2x + 6 = 1 4x / 6 2x = 5 4x 6x = 5 / : 6 / + 4x Segítség Sokan közületek már ismerhetik és alkalmazták is ezt az írásmódot: 2 (x + 3) = 1 4x 2x + 6 = 1 4x 2x + 4x = 1 6 6x = 5 Különböző megoldási módokat láthattunk, amelyekkel ugyanazokat a gyököket kaptuk. Ellenőrzés: B = J = z egyenlet gyöke:. folytatás B = J Tudod-e? számjegyeknek, számoknak és mértani formáknak különféle jelképes értelmet szokás tulajdonítani. Clare Gibson: beceda symbolov (Szimbólumábécé) (Slovart, s. r. o., Bratislava, 2009) című könyve alapján csillagunkhoz, a Naphoz az 1-es szám kapcsolható. 69

8. megoldás folytatás b) 5x 4 = 3 (x 1) 5x 4 = 3x 3 / + 4 5x = 3x + 1 / 3x 2x = 1 / : 2 x = 0,5 Ellenőrzés: B = 5 0,5 4 = 2,5 4 = 1,5 J = 3 (0,5 1) = 3 ( 0,5) = 1,5 z egyenlet gyöke: 0,5. c) 3 (0,2x + 1) = 2 (1,6x + 1) 0,6x 3 = 2 1,6x 1 / + 3 0,6x = 1,6x + 4 /+ 1,6x 1x = 4 x = 4 Ellenőrzés: B = 3 (0,2 4 + 1) = = 3 (0,8 + 1) = = 3 1,8 = 5,4 J = 2 (1,6 4 + 1) = = 2 (6,4 + 1) = = 2 7,4 = 5,4 z egyenlet gyöke: 4. d) 5 (1,2 + x) 4 (0,5x 1) = 0 6 + 5x 2x + 4 = 0 3x + 10 = 0 / 10 3x = 10 / : 3 Ellenőrzés: B B = J Segítség B = J Ne felejtsd el, hogy: 1 x = x ( 1) x = x 9. Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést! a) 7 (x 2) = 4 3x b) 6x 5 = 4 (x 1) c) 2 (1,5x + 1) = 1 (x + 1) d) 0,5 (3 + x) 0,2 (0,5x 5) = 0 10. Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést! a) 5x (1 x) 3 = x (2 5x) b)* (x 1) (x + 3) = x (2 + x) 10. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd szükség szerint rendezzük az egyenlet mindkét oldalát. Végül azonos átalakításokkal kiszámítjuk az ismeretlen értékét. a) 5x (1 x) 3 = x (2 5x) 5x 5x 2 3 = 2x 5x 2 / + 5x 2 5x 3 = 2x / + 3 5x = 2x + 3 / 2x 3x = 3 / : 3 x = 1 Ellenőrzés: B = 5 1 (1 1) 3 = 5 0 3 = 0 3 = 3 B = J J = 1 (2 5 1) = 1 (2 5) = 1 ( 3) = 3 z egyenlet gyöke 1. b)* (x 1) (x + 3) = x (2 + x) x 2 + 3x x 3 = 2x + x 2 x 2 + 2x 3 = 2x + x 2 / x 2 2x 3 = 2x / + 3 2x = 2x + 3 / 2x 0 3 z egyenlet rendezése során egy egyenlőtlenséget (0 3) kaptunk, ezért az egyenletnek nincs megoldása nincs gyöke. 11.* Oldd meg az egyenletet, és végezz ellenőrzést! a) 2x (3 x) + 5 = x (1 2x) b) (x + 2) (x + 1) = x (x 7) c) (x 5) (x + 5) = (x 10) x d) (1 x) (1 + x) = (4 x) x J = 0 z egyenlet gyöke:. B = J Megjegyzés Törtekkel néha nehézkes a számolás, és az ellenőrzést sok esetben nehezebb elvégezni, mint az egyenletet megoldani. törtekkel sokan sokféleképpen számolnak. Te is azt a módszert válaszd, amely a leginkább megfelel neked! Tudod-e? ószlávok ugyanúgy, mint a rómaiak, a számok leírásához betűket használtak. Nem nagyokat, mint a rómaiak, hanem kis betűket. 1 az 6 zeló 2 védi 7 zemlja 3 glagóľ 8 íže 4 dobró 9 fitá 5 esľ 10 000 olyan nagynak tűnt, hogy tma (=sötétség) lett a neve. 70

12. Számítsd ki az egyenlet gyökét, és végezz ellenőrzést! 12. megoldás folytatás a) b)* c)* (x 1) 12. megoldás Először közös nevezőre hozzuk a törteket, majd szükség szerint rendezzük mindkét oldalt. Végül az azonos átalakítások segítségével kiszámítjuk az egyenlet gyökét. közös nevező: 4. 0 = 0 megoldás során egy igaz egyenlőséget (0 = 0) kaptunk. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek bármely szám megoldása lehet, vagyis az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Megjegyzés Ezt a következtetést már korábban is levonhattuk volna: x 1 = x 1 x = x Ellenőrzés: B = J = z egyenlet gyöke: 4. B = J 13. Számítsd ki az egyenlet gyökét, és végezz ellenőrzést! a) d)* b) e)* c) f)* közös nevező: 10. 14. z u ismeretlen milyen értéke mellett lesz a két kifejezés egyenlő? (5x + 15) = 5x 15 14. megoldás Ha a két kifejezést egyenlővé tesszük, akkor az alábbi egyenletet kapjuk: Ellenőrzés: B J z egyenlet gyöke: 6. B = J két kifejezés akkor egyenlő, ha. megoldás helyességét úgy ellenőrizzük, hogy megállapítjuk, vajon ugyanazt az eredményt kapjuk-e, ha az értéket mindkét kifejezésbe behelyettesítjük. 71 folytatás

14. megoldás folytatás 16. megoldás folytatás közös nevező: 6. kifejezés akkor egyenlő, ha y = 0,2. z ellenőrzést végezd el önállóan! két kifejezés akkor egyenlő, ha u = 1. z ellenőrzést végezd el önállóan! 17. z m milyen értéke mellett lesz a kifejezés értéke 0? 15. w ismeretlen milyen értéke mellett lesz a két adott kifejezés egyenlő? 16. z y milyen értéke mellett lesz a kifejezés értéke 0? 16. megoldás kifejezést 0-val egyenlővé téve ismét egyenletet kapunk. a) kifejezés akkor egyenlő nullával, ha y = 2. z ellenőrzést végezd el önállóan! Megjegyzés 3,5 (2y + 4) = 0 egyenlet megoldásakor a következő tételből is kiindulhattunk volna: Egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényezője nulla. Mivel 3,5 0, elég lett volna az alábbi egyenletet megoldani: 2y + 4 = 0 y = 2 18. felsorolt számok közül melyik a 2 (x + 5) = x 4 egyenlet megoldása? 5 B 1 C 14 D 9 18. megoldás Ilyen feladatok megoldásakor gyakran alkalmazzuk a tippelést (becslést). Válasszuk a D esetet, amikor az egyenlet gyöke 9! 9-et behelyettesítjük az egyenlet bal oldalába, majd a jobb oldalába: B = 2 (x + 5) = 2 ( 9 + 5) = 2 ( 4) = 8 J = x 4 = 9 4 = 13 Mivel 8 13, azaz B J, a 9 (D) nem gyöke az egyenletnek. Válasszuk a C esetet, tehát tekintsük a 14-et az egyenlet gyökének! 14-et behelyettesítjük az egyenlet bal oldalába, majd a jobb oldalába: B = 2 (x + 5 ) = 2 ( 14 + 5) = 2 ( 9) = 18 B = J J = x 4 = 14 4 = 18 Mivel B = J, a 14 az egyenlet megoldása, a C válasz a helyes. Gondolkodtató feladat a) p milyen értéke mellett nem lesz a (2p 1) x + 4 = 12 x-változós egyenletnek megoldása? b) q milyen értéke mellett lesz a q x 1 = 2 x 2 + 1 x-változós egyenletnek végtelen sok megoldása? 72

Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. z egyenlet megoldása: 8 B 2 C 4 D 8 2. egyenlet megoldása: 0,5 B 0,5 C 0,2 D 0,2 3. 2 (x 3) 1 = x 2 egyenlet megoldása: 3 B 2 C 5 D 4 4. 3x 4 (x + 1) = 1 6x egyenlet megoldása: 1 B 5 C 0 D 2 5. z egyenlet megoldása: 11 B 4 C 4 D 10 6. z egyenlet megoldása: 3 B 1,2 C 4,5 D 2 7. z alábbi számok közül melyik megoldása az egyenletnek? 10 B 15 C 16 D 14 8. z alábbi számok közül melyik megoldása az egyenletnek? 8 B 12 C 7,5 D 6 9. 0,3 (b 2,5), kifejezések akkor egyenlők, ha b értéke: 2,5 B 1 C 0,25 D 2,75 10. z 1,16 p + 0,08 0,16 (p 2) kifejezés akkor egyenlő 0-val, ha p értéke: 0,40 B 4 C 4 D 0,40 11.* z alábbi egyenletek közül melyiknek a gyöke egyezik meg az egyenlet gyökével? B C D 12. egyenlet gyöke: 2-nél kisebb B 2-nél nagyobb C 5-nél nagyobb D negatív szám 13. z alábbi egyenletek közül melyiknek nagyobb a gyöke 10-nél? B C D 14. z alábbi egyenletek közül melyiknek nincs megoldása? B C D 73

Jegyezd meg! z a x + b = c egyenletet elsőfokú, x-ismeretlenes egyenletnek nevezzük, ahol a, b és c valós számok. Ha a 0, az elsőfokú egyenlet gyöke (megoldása) egy olyan tetszőleges x szám, amelyre a x + b = c. Ha a = 0, c = 0 és b 0, akkor az a. x + b = c egyenletnek nincs megoldása. Ha a = 0, b = 0 és c = 0 akkor az a. x + b = c egyenletnek végtelen sok megoldása van. z egyenletek azonos átalakításai: z egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. z egyenlet mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. z egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal. Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal. 74

3.2. Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek Szinte naponta összehasonlítunk valamit valamivel. Magasabb vagyok, mint Ez nehezebb vagy könnyebb? Többe kerül vagy kevesebbe? Ez hosszabb, mint matematikában az összehasonlítást az egyenlőtlenségjelek és az egyenlőségjel segítségével végezzük el. > > > Gondolkodtató feladat Keress a matematikán kívül olyan tantárgyakat, amelyekben szükség van az egyenlőtlenségjelek alkalmazására! Idézzük fel! 1. Rendezd növekvő sorrendbe az alábbi kifejezések értékeit! Segítség Egyenlőtlenségjelek, egyenlőségjel Jel Így olvassuk > nagyobb < kisebb nagyobb vagy egyenlő kisebb vagy egyenlő nem egyenlő = egyenlő 1. megoldás Így számolunk, de számolhatunk így is: legkisebb érték legnagyobb érték 7 < 5 < 4 < 7 rendezéshez (az értékek sorba állításához) olykor számegyenest használunk. 7 5 4 0 7 Tudod-e? Utazáskor is gyakran összehasonlítgatunk: leggyorsabb vonat legrövidebb idő legnagyobb távolság legolcsóbb közlekedés leghosszabb autópálya legmagasabb autópályadíj z világ leggyorsabb vonata Kínában közlekedik. Rövidítése CRH2. Vonattípustól függően 250 350 km/h sebességet ér el. THSR vonat óránként 335 km-t megtéve száguld Tajvan nyugati partvidékén. 2007-től Kaoshiung és Taipei között közlekedik. Gyorsvonatok közlekednek Kóreában is. Korean Train express sebessége az óránkénti 350 km-t is eléri. 75

2. Hasonlítsd össze a ( 5) 3 és a ( 4) 2 hatványokat a <, >, = jelek segítségével! 2. megoldás Így számolunk: Megállapítjuk, hogy a hatvány értéke pozitív-e vagy negatív, és ez alapján döntjük el, hogy melyik a nagyobb érték. kitevő páratlan szám. ( 5) 3 hatványalap negatív szám. ( 5) 3 hatvány értéke negatív szám. kitevő páros szám. Így is számolhatunk: hatvány értékét szorzással számítjuk ki, majd összehasonlítjuk a szorzatokat. ( 5) 3 = ( 5) ( 5) ( 5) = 125 ( 4) 2 = ( 4) ( 4) = 16 125 < 16 Tehát ( 5) 3 < ( 4) 2. ( 4) 2 hatványalap negatív szám. ( 4) 2 hatvány értéke pozitív szám. Bármely pozitív szám nagyobb egy negatív számnál, ezért ( 5) 3 < ( 4) 2. 3. Hasonlítsd össze az alábbi kifejezéseket a <, >, = jelek segítségével! a) 7. ( 3 + 1) és 7. ( 3 ) + 1 b) 0,25 + 0,32 : 0,8 és (0,25 + 0,32) : 0,8 c) és e) és 2,75 d) és f) és 4. Írd a négyzetek helyébe a megfelelő egyenlőségvagy egyenlőtlenségjelet! a) 5 ( 2 + 1) 5 ( 2) + 1 b) 2,5 : 0,5 0,5 (2,5 0,5) : 0,5 c) 1 ( 1) 4 1 + ( 1) 3 d) 4. megoldás feladatot úgy oldjuk meg, hogy először kiszámítjuk a kifejezések értékét, és ezeket összehasonlítjuk. a) 5 ( 2 + 1) 5 ( 2) + 1 B = 5 ( 2 + 1) = 5 ( 1) = 5 5 > 9 J = 5 ( 2) + 1 = 10 + 1 = 9 Tehát: 5 ( 2 + 1) > 5 ( 2) + 1. b) 2,5 : 0,5 0,5 (2,5 0,5) : 0,5 B = 2,5 : 0,5 0,5 = 5 0,5 = 4,5 4,5 > 4 J = (2,5 0,5) : 0,5 = 2 : 0,5 = 4 Tehát: 2,5 : 0,5 0,5 > (2,5 0,5) : 0,5 c) 1 ( 1) 4 1 + ( 1) 3 B = 1 ( 1) 4 = 1 1 = 0 0 = 0 J = 1 + ( 1) 3 = 1 1 = 0 Tehát: 1 ( 1) 4 = 1 + ( 1) 3. 76 4. megoldás folytatás d) B = J = Tehát:. 5. Írd a négyzetek helyébe a megfelelő egyenlőségvagy egyenlőtlenségjelet! a) 1 (3 5) ( 1) ( 5) + 3 b) 0,36 10 0,25 10 10 (0,36 0,25) c) d) 4,2 = 4,2

6. Mely pozitív egész számokat helyettesítheted a négyzet helyébe, hogy igaz legyen az egyenlőtlenség? 5 3 + < 30 8 6. megoldás Így számolunk: Kiszámítjuk az 5 3 = 15 és a 30 8 = 22 értékeket, amiből a 15 + < 22 egyenlőtlenséget kapjuk, majd olyan számot keresünk (többnyire találgatással, becsléssel), amelyet a négyzet helyébe írva, 22-nél kisebb értéket kapunk. keresett számnak pozitívnak kell lennie. 6 eleget tesz a feltételeknek, hiszen 15 + 6 = 21 21 < 22 6 beírható a négyzetbe. Így az 5, 4, 3, 2, 1 számok is a feladat megoldásai. megoldás helyességéről fejszámolással győződünk meg. 7-et behelyettesítve láthatjuk, hogy erre az értékre nem teljesül az egyenlőtlenség Így is számolhatunk: négyzet helyébe x-et írunk. 5 3 + x < 30 8 z egyenlőtlenség bal oldalán elvégezzük a szorzást, jobb oldalán pedig a kivonást: 15 + x < 22 z egyenlőtlenséget az ellentett műveletek alkalmazásával oldjuk meg. 15 + x < 22 x < 22 15 x < 7 Föltesszük a kérdést: Melyek azok a pozitív egész számok, amelyek kisebbek, mint 7? 7-nél kisebb pozitív számok: 1, 2, 3, 4, 5, 6. z ellenőrzést például az x = 1 értékre végezzük el. B = 5 3 + 1 = 15 + 1 = 16 B < J J = 30 8 = 22 Ha a négyzet helyébe 1-et, 2-t, 3-at, 4-et, 5-öt vagy 6-ot írunk, akkor igaz egyenlőtlenséget kapunk. Mi a különbség a két levezetés közt? 7. Mely pozitív egész számokat helyettesítheted a négyzet helyébe, hogy igaz legyen az egyenlőtlenség? a) 4 3 + < 42 8 b) 18 : 3 > 5 + 6 c) + 2 ( 3) < 1 3 d) 12 : 4 > 6 1 8. Milyen a) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x + 4 < 10 egyenlőtlenség? b) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x 3 > 7 egyenlőtlenség? c) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az 2 x < 10 egyenlőtlenség? d) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az > 1 egyenlőtlenség? Oldd meg számegyenessel! 8. megoldás a) x + 4 < 10 x < 10 4 x < 6 6-nál kisebb pozitív egész számokat keresünk. Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az 1, 2, 3, 4, 5 számok adják a megoldást. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 6-nál kisebb pozitív egész számok. b) x 3 > 7 x > 7 + 3 x > 4 4-nél nagyobb negatív egész számokat keresünk. Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy a 1, 2, 3 számok adják a megoldást 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 4-nél nagyobb negatív egész számok. 77 folytatás

8. megoldás folytatás c) 2 x < 10 x < 10 : 2 x < 5 5-nél kisebb pozitív egész számokat keresünk. Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az 1, 2, 3, 4 számok adják a megoldást. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 d) x 6 > 1 x > 1 6 x > 6 5-nél kisebb pozitív egész számok. 6-nál nagyobb negatív egész számokat keresünk. Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az 5, 4, 3, 2, 1 számok adják a megoldást. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 6-nál nagyobb negatív egész számok. 9. Milyen a) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x + 12 < 15 egyenlőtlenség? b) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x 8 > 10 egyenlőtlenség? c) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az 4 x < 20 egyenlőtlenség? d) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az > 2 egyenlőtlenség? z a x + b > c a x + b < c a x + b c a x + b c alakú egyenlőtlenséget, ahol a, b, c valós számok, a 0, elsőfokú x-ismeretlenes egyenlőtlenségnek nevezzük. z elsőfokú egyenlőtlenség megoldáshalmazának elemeit az egyenlőtlenség gyökeinek nevezzük. z elsőfokú egyenlőtlenségeket is néhány kivételtől eltekintve ugyanazokkal az azonos átalakításokkal oldjuk meg, mint az elsőfokú egyenleteket. z egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. z egyenlőtlenség mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. z egyenlőtlenség mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal vagy algebrai kifejezéssel. z egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal vagy algebrai kifejezéssel. Foglaljuk össze! Eddig így írtuk: Ezentúl így fogjuk írni: x + 3 < 2 x + 3 < 2 / 3 x < 2 3 x < 5 x < 5 x 8 > 10 x 8 > 10 / + 8 x > 10 + 8 x > 2 x > 2 4 x < 20 4 x < 20 / : 4 x < 20 : 4 x < 5 x < 5 x 5 > 2 x 5 > 2 / 5 x > 2 5 x > 10 x > 10 Megjegyzés Hogy mi történik az egyenlőtlenséggel, ha mindkét oldalát negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, arról később lesz szó. 78

10. Oldd meg az alábbi x-változós egyenlőtlenségeket azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában. a) 2 x + 4 < 8 b) 3 x 2 > x + 4 c) d) 10. megoldás x < 2 megoldás minden olyan valós szám, amely eleget tesz az x < 2 egyenlőtlenségnek. számegyenesen a 2-nél kisebb számok halmazát kell kijelölnünk. Mivel végtelen sok valós szám van, ezért a megoldás a számegyenes egy része, amelyet a számegyenesen a 2-től balra jelölünk ki, tehát a kijelölt rész a 2-nél kisebb számokat fogja tartalmazni, pl.:... 2-eshez üres karika kerül, mert a 2 nincs benne a megoldáshalmazban. z egyenlőtlenség megoldása az összes 2-nél kisebb valós szám. z egyenlőtlenség megoldásának helyességéről úgy győződünk meg, hogy a megoldáshalmaz néhány elemét behelyettesítjük az eredeti egyenlőtlenség mindkét oldalába, majd a kapott eredményeket összehasonlítjuk. z ellenőrzéshez olyan számokat választunk a megoldáshalmazból, amellyekkel könnyű lesz számolni. Válasszuk a 0-t! B = 2 0 + 4 = 0 + 4 = 4 J = 8 Mivel 4 < 8, ezért B < J. Válasszuk a 2-t! B = 2 ( 2) + 4 = 4 + 4 = 0 J = 8 Mivel 0 < 8, ezért B < J. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x > 3 számegyenesen kijelöljük a 3-nál nagyobb számok halmazát. 3-nál nagyobb számok a számegyenesen a 3-tól jobbra helyezkednek el. Ilyenek pl.:... 3-ashoz üres karika kerül, mert a 3 nincs benne a megoldáshalmazban. z egyenlőtlenség megoldása az összes 3-nál nagyobb valós szám. z ellenőrzéshez kiválasztunk a megoldáshalmazból egy alkalmas számot, amellyel egyszerű lesz a számítás, pl. a 4-et. B = 3 4 2 = 12 2 = 10 J = 4 + 4 = 8 Mivel 10 > 8, ezért B > J. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 megoldás helyességéről győződj meg további számok, pl. az 5, 8, 10 behelyettesítésével! 79 folytatás

10. megoldás folytatás x < 4 számegyenesen kijelöljük a 4-nél kisebb számok halmazát. 4-nél kisebb számok a számegyenesen a 4-től balra helyezkednek el. Ilyenek pl.:... 4-hez üres karika kerül, mert a 4 nincs benne a megoldáshalmazban. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 z egyenlőtlenség megoldása az összes 4-nél kisebb valós szám. z ellenőrzéshez kiválasztunk a megoldáshalmazból egy alkalmas számot, pl. a 6-ot. B = J = 1 Mivel 0 < 1, ezért B < J. megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a 8, 10, 20 behelyettesítésével! x > 5 számegyenesen kijelöljük a 5-nél nagyobb számok halmazát. 5-nél nagyobb számok a számegyenesen a 5-től jobbra helyezkednek el. Ilyenek pl.:... 5-höz üres karika kerül, mert a 5 nincs benne a megoldáshalmazban. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 z egyenlőtlenség megoldása az összes 5-nél nagyobb valós szám. z ellenőrzéshez legmegfelelőbb, ha a 0-t választjuk. B = 1 = 0 1 = 1 J = 2 Mivel 1 > 2, ezért B < J. megoldás helyességéről győződj meg további számok, pl. a 4, 5, 25 behelyettesítésével! 11. Oldd meg a valós számok tartományában azonos átalakítások segítségével az alábbi x-ismeretlenes egyenlőtlenségeket! megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! a) 5 x + 1 < 11 b) 7 x 10 > 3 x + 2 c) d) Tudod-e? hogy a nagyobb > kisebb < jeleket szigorú egyenlőtlenségjeleknek nevezzük? Ha az egyenlőtlenség ilyen jeleket tartalmaz, akkor szigorú egyenlőtlenségnek nevezzük. Projektfeladat Olykor az útirány kijelölésére is egyenlőtlenségjeleket használunk. Keress az interneten egyenlőtlenségjeleket tartalmazó alkalmazásokat! 80

12. Oldd meg a valós számok tartományában azonos átalakítások segítségével az alábbi x-ismeretlenes egyenlőtlenségeket! megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! a) b) 12. megoldás Segítség z elsőfokú egyenlőtlenségeknél is alkalmazni fogjuk a rövidebb írásmódot: számegyenesen kijelöljük a 4-nél kisebb vagy a 4-gyel egyenlő számok halmazát. 4-nél kisebb számok a számegyenesen a 4-től balra helyezkednek el. Ilyenek pl.:... 4-eshez teli karika kerül, mert a 4 is benne van a megoldáshalmazban. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 z egyenlőtlenség megoldása az összes 4-nél kisebb vagy 4-gyel egyenlő valós szám. z ellenőrzéshez két számot választunk: az egyik a 4 (ennél egyenlőséget kell kapnunk), a másik a 3 (a 4-nél kisebbbb számok halmazának legnagyobb eleme). B (4) = 2 4 3 = 8 3 = 5 J (4) = 4 + 1 = 5 Mivel 5 = 5, azaz B(4) = J(4), ami megfelel a B J feltételnek. B (3) = 2 3 3 = 6 3 = 3 J (3) = 3 + 1 = 4 Mivel 3 < 4, azaz B(3) < J(4), ami megfelel a B J feltételnek. megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a 0,, 1 behelyettesítésével! számegyenesen kijelöljük a 1-nél nagyobb vagy a 1-gyel egyenlő számok halmazát. 1-nél nagyobb számok a számegyenesen a 1-től jobbra helyezkednek el. Ilyenek pl.: ;... 1-hez teli karika kerül, mert a 1 is benne van a megoldáshalmazban. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 z egyenlőtlenség megoldása az összes 1-nél nagyobb vagy 1-gyel egyenlő valós szám. z ellenőrzéshez két számot választunk: az egyik a 1 (ennél egyenlőséget kell kapnunk), a másik a 0 (a 1-nél nagyobb számok halmazának legkisebb eleme). B ( 1) = J ( 1) = 0,6 Mivel 0,6 = 0,6, azaz B( 1) = J( 1), ami megfelel a B J feltételnek. B (0) = J (0) = 0,6 Mivel 0,2 > 0,6, azaz B(0) > J(0), ami megfelel a B J feltételnek. megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a z 1, 5, 10 behelyettesítésével! 81

13. Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! a) 4x 2 3x 5 b) 9x + 0,3 2x + 7,3 c) d) 14. Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! 14. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük. a) 2 (1 x) 7 x 2 2x 7 x / 2 2x 5 x / + x x 5 /. ( 1) x 5 Negatív számmal való szorzás után az egyenlőtlenségjelet megfordítottuk. Miért? Figyeld meg az egyenlőtlenség megoldását más módszerrel: 2 (1 x) 7 x 2 2x 7 x / +2x 2 7 + x / 7 5 x Segítség Elevenítsük fel! 2x + x = 2x + 1x = 1x = x 2 + 1 = 1 Mi lesz az x 5 és mi a 5 x egyenlőtlenségek megoldása? Mindkét esetben arra a kérdésre kell felelnünk, hogy melyek azok a számok, amelyek kisebbek 5-nél vagy egyenlők 5-tel? Tehát ennek a két egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldása. számegyenesen ezért azokat a számokat jelöljük ki, amelyek nagyobbak 5-nél vagy egyenlők 5-tel. z egyenlőtlenség megoldása minden 5-nél nagyobb vagy 5-tel egyenlő valós szám. z ellenőrzéshez kiválasztunk két számot: a 5-öt (ekkor egyenlőséget kapunk), és a 4 -et (ez a megoldáshalmaz 5-nél nagyobb elemei közül a legkisebb egész szám). B( 5) = J( 5) = Mivel 12 = 12, azaz B( 5) = J( 5), ami megfelel a B J feltételnek. B( 4) = J( 4) = Mivel 10 < 11, azaz B( 4) < J( 4), ami megfelel a B J feltételnek. b) 3 (2x + 4) > 8 (x 1) 6x 12 > 8 x + 1 6x 12 > x 7 /+ 12 6x > x + 5 /+ x 5x > + 5 / : ( 5) x < 1 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 számegyenesen szemléltetjük a 1-nél kisebb számokat. megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a z 1, 0, 1 behelyettesítésével! Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk egy negatív számmal, akkor az egyenlőtlenségjel megfordul. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 megoldás: minden 1-nél kisebb valós szám. z ellenőrzéshez pl. a 2-t választjuk, mert ez a megoldáshalmazban található egész számokból a legnagyobb. B = J = Mivel 0 > 5, ezért B > J. 82

15. Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! a) b) c) d) 16. Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! 16. megoldás Először közös nevezőre hozzuk a törteket, majd rendezzük az egyenlőtlenség mindkét oldalát, végül azonos átalakítások segítségével megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük. közös nevező 8. Megjegyzés törtekkel másképp is dolgozhatunk. Ezt az egyenlőtlenséget így is megoldhatjuk: / 8 közös nevező Ettől a lépéstől kezdve a két levezetés megegyezik. számegyenesen kijelöljük az -nál nagyobb vagy az -dal egyenlő számok halmazát. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 z egyenlőtlenség megoldása minden olyan valós szám, amely nagyobb -nál vagy egyenlő -dal. z ellenőrzéshez kiválasztunk két számot: az -ot (ekkor egyenlőséget kapunk), és az 1-et (ez a megoldáshalmaz egész értékei közt a legkisebb). B = J = Mivel, azaz B = J, ami megfelel a B J feltételnek. B(1) J(1) megoldás helyességéről győződj meg további három szám behelyettesítésével! számokat a megoldáshalmazból válasszátok ki tetszőlegesen. Mivel, azaz B(1) < J(1), ami megfelel a B J feltételnek. 83 folytatás

16. megoldás folytatás közös nevező: 10. Ha a tört előtt mínusz van, a számláló minden tagjának megváltozik az előjele. (Lásd a kifejezésekről szóló fejezetet!) x > 3 / : ( 3) Negatív számmal osztottunk, ezért az egyenlőtlenségjel megfordul. számegyenesen kijelöljük a 3-nál nagyobb vagy a 3-mal egyenlő számok halmazát. Mivel a 3 nem megoldása az egyenlőtlenségnek, a 3-hoz üres karika kerül. 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 z egyenlőtlenség megoldása minden 3-nál nagyobb valós szám. Ellenőrzésképpen behelyettesítjük a 4-et, a legkisebb egész értéket a megoldáshalmazból. B J megoldás helyességéről győződj meg további három szám behelyettesítésével! számokat a megoldáshalmazból válasszátok ki tetszőlegesen. Mivel, ezért B < J. 17. Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! a)* b)* c)** d)** 18.* a) z a-nak milyen negatív egész értékei mellett lesz a kifejezés értéke 7-nél nagyobb? b) b-nek milyen pozitív egész értékei mellett lesz az kifejezés értéke 7-nél kisebb? 18. megoldás a) Ha a kifejezés értékének 7-nél nagyobbnak kell lennie, akkor tulajdonképpen a egyenlőtlenséget kell megoldanunk. bal oldalon eltávolítjuk a zárójelet. 4 (a + 5) 3a > 7 4a + 20 3a > 7 a + 20 > 7 / 20 a > 13 z a-nak 13-nál nagyobb negatív egész számnak kell lennie, tehát a megoldáshalmazt a következő számok alkotják: 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Vagyis a kifejezés értéke akkor lesz nagyobb 7-nél a negatív egész számok tartományában, ha az a értéke: 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. megoldás helyességéről önállóan kell meggyőződnöd. folytatás 84 Segítség vegyes számot így írhatjuk fel törttel:

18. megoldás folytatás b) Ha a kifejezés értékének 7-nél kisebbnek kell lennie, akkor tulajdonképpen az egyenlőtlenséget kell megoldanunk. 0 1 2 3 4 19. Mivel a b-nek 3,4-nél kisebb pozitív egész számnak kell lennie, az 1, 2, 3 számok alkotják a megoldáshalmazt. Vagyis a kifejezésnek akkor lesz 7-nél kisebb az értéke, ha a b értéke 1, 2 vagy 3. megoldás helyességéről győződj meg önállóan! a) b mely pozitív egész értékeire lesz az kifejezés értéke nagyobb 6-nál? b) b mely pozitív egész értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 1-nél? c) c mely negatív egész értékeire lesz a kifejezés értéke nagyobb 6-nál? d) c mely negatív egész értékeire lesz az kifejezés értéke kisebb 1-nél? 20. a) z y mely értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 0-nál? b) z mely értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 0-nál? c) z m mely értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 0-nál? d) z n mely értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 0-nál? 21. z D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek a egyenlőtlenség megoldásai? 14, 15, 16 B 3, 4, 14 C 9, 11, 14 D 9, 8, 7 21. megoldás Ezt a feladatot megoldhatjuk becsléssel vagy próbálgatással kísérletezéssel, de megoldhatjuk az egyenlőtlenséget az azonos átalakítások alkalmazásával is. z alábbiakban a próbálgatást választjuk. Három esetben is előfordul a 14, válasszuk ki ezek közül az egyiket! Ha a 14 nem lesz a kiválasztott egyenlőtlenség megoldáshalmazának eleme, akkor sem az, sem a B, sem a C esetben felsorolt számok nem lehetnek a megoldáshalmaz elemei. Ebben az esetben a D lenne a megoldás. Feltételezzük, hogy a 14, 15, 16 számok mindegyike eleme az egyenlőtlenség megoldáshalmazának ez az eset. Mivel 18 = 18, a 14 megoldása az egyenlőtlenségnek. z egyenlőtlenség igaz, a 15 is megoldása az egyenlőtlenségnek. z egyenlőtlenség igaz, a 16 is megoldása az egyenlőtlenségnek. z esetben felsorolt számok mindegyike megoldása az adott egyenlőtlenségnek. 85

22. z D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek a egyenlőtlenség megoldásai? 2, 3, 4 B 0, 1, 2 C 1, 0, 1 D 4, 5, 6 23.* Oldd meg az alábbi elsőfokú egyenlőtlenségeket a valós számok tartományában, majd a megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen! a) b) 23. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük. z egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk a kifejezést. 0 < 29 egyenlőtlenség azonos átalakításaival egy igaz egyenlőtlenséget (0 < 29) kaptunk. Ezért kijelenthetjük, hogy az egyenlőtlenség megoldása az összes valós szám. Számegyenesen szemléltetve: 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 z ellenőrzést végezd el önállóan! közös nevező: 3. 0 5 z rendezése során egy hamis egyenlőtlenséget (0 5) kaptunk. Ezért kijelenthetjük, hogy az egyenlőtlenségnek nincs megoldása. 24.* Oldd meg az alábbi elsőfokú egyenlőtlenségeket a valós számok tartományában, majd a megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen! a) b) 25.* Mely pozitív egész számok megoldásai az egyenlőtlenségnek? 25. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget. z egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk a kifejezést. 86 folytatás

25. megoldás folytatás / 6 közös nevező: 6. / : ( 8) 0 1 2 3 4 5 6 7 z egyenlőtlenség megoldáshalmazát olyan pozitív x számok alkotják, amelyekre. Mivel bármely pozitív szám nagyobb, mint, ezért a megoldáshalmaz az összes pozitív egész szám, tehát az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számok. Mivel ezekből végtelen sok van, ezért csak az első számokból írunk le néhányat, majd pontokat írunk. 26.* Mely negatív egész számok megoldásai a egyenlőtlenségnek? Gondolkodtató feladat Írd le, hogy függ az a x + b > 0 a x + b < 0 a x + b 0 a x + b 0 egyenlőtlenségek megoldása az a-tól és a b-től! Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. z alábbi számok egyike az 5x 12 < 3 egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik! 3 B 3,2 C D 2. z alábbi számok egyike a 2x + 3 > 5 egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik! B 5,2 C 4 D 4,3 3. z alábbi számok egyike az 5x + 2 3 + 4x egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik! 1,5 B 1 C D 2 4. 2 (x 3) 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazának eleme: 3,1 B 5,8 C D 5. 4 (x + 1) 1 6x egyenlőtlenség megoldáshalmazának eleme: 2 B C 0,3 D 6. Ha x egy negatív egész szám, akkor az egyenlőtlenség megoldása: 5 B 1,6 C 1 D 2 87

7. Ha x egy negatív egész szám, akkor az egyenlőtlenség megoldása: 5 B 4 C 6 D 5 8. z D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek az egyenlőtlenség megoldásai? 6, 7, 8 B 18, 19, 20 C 15, 16, 17 D 11, 16, 21 9. z D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek az egyenlőtlenség megoldásai? 2, 1, 0 B 3, 4, 5 C 1, 2, 3 D 2, 3, 4 10. Mely b értékre lesz a kifejezés értéke nagyobb 0-nál? 0,5 B 0,4 C 0,3 D 0,6 11. akkor nagyobb az kifejezésnél, ha: x < 0 B x > 0,4 C x > 2 D x > 4 12. z egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldása, mint az alábbi egyenlőtlenségek egyikének: B C D 13. Melyik az az x érték, amely egyidejűleg megoldása az x + 3 < 0 és az x + 6 0 egyenlőtlenségnek is? 3 B 5 C 0 D 4 14. Melyik az az x érték, amely egyidejűleg megoldása az és az egyenlőtlenségnek is? 0 B 1 C 2 D 5 Jegyezd meg! z a x + b > c a x + b < c a x + b c a x + b c alakú egyenlőtlenséget, ahol a, b, c valós számok, a 0, elsőfokú x-ismeretlenes egyenlőtlenségnek nevezzük. z egyenlőtlenség megoldásai megoldáshalmazt alkotnak, amit számegyenesen szemléltetünk. z elsőfokú egyenlőtlenségeket azonos átalakításokkal oldjuk meg: z egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. z egyenlőtlenség mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. z egyenlőtlenség mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. z egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. Ha az egyenlőtlenség oldalait megszorozzuk vagy elosztjuk ugyanazzal a negatív számmal, akkor az egyenlőtlenségjel az ellenkezőjére fordul. 88

számok 1 0,5... ismeretlen... x, y, z... ismeretlent tartalmazó kifejezés x 2... tört ismeretlent tartalmazó kifejezés egyenlet 3.3. Egyszerű egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel Idézzük fel! Mit mondhatunk azokról az egyenletekről, amelyekben az ismeretlen a nevezőben szerepel? következő részben bemutatjuk néhány megoldási lehetőségüket. z első feladatot minden bizonnyal meg tudod oldani. Ha nem képlettel, akkor józan ésszel. 1. megoldás Tanultunk az elsőfokú egyenletekről. Tanultunk a nevezőről a számlálóval és a törtvonallal együtt alkotják a törtet. 100 100 = = 50 100 + + 20 100 + 20 100 + + + 10 100 1. Gyuri új kerékpárt és hozzávalókat vásárolt. Még a szavatossági időben szeretné alaposan kipróbálni. Egy 120 km-es útvonalat választott, amelyet 4,8 óra alatt tett meg. további kerékpárutainak tervezéséhez tudni szeretné, milyen átlagsebességgel haladt. Számítsd ki! 8 8 Oldjuk meg a feladatot (kissé leegyszerűsítve) egy fizikaórán tanult képlet segítségével! sebességet a képlettel számíthatjuk ki, ahol s az út kilométerben (km), t az idő órában (h). Ebből: s = 120 km, t = 4,8 h, v =? km/h Gyuri 25 km/h átlagsebességgel haladt. 2. megoldás Projektfeladat Mely szlovákiai városok vannak egymástól megközelítőleg 120 km-re? Keress legalább 5 pár ilyen várost, és hasonlítsd össze a városokat népességük szerint! 2. Gyuri elment az új kerékpárjával egy barátjához a 31,5 km-re fekvő településre. Meddig tartott az út, ha 21 km/h átlagsebességgel haladt? sebesség képletéből indulunk ki, ahol v = 21 km/h, s = 31,5 km, t = x h (az idő ismeretlen, tehát x, x 0): Mivel t = x h, Gyuri 1,5 óra alatt ért a barátjához. feladatban a z ellenőrzést elvégezve kapjuk, hogy: egyenletet oldottuk meg, melyben az ismeretlen a nevezőben található. B = 21, J = = 21 Mivel 21 = 21, B = J, az egyenlet megoldása 1,5. Egy olyan egyenlet keletkezett, amely x ismeretlenje a nevezőbe került. Ennek az értékét kell kiszámítanunk. Mivel a tört valójában osztás, az x ismeretlen osztó, ezért az egyenlet mindkét oldalát meg kell szoroznunk x-szel. 89

Tudod-e? Kassa Tátra (Tatry) Kassa Kerékpárverseny (K T K) 1924-ben a Kassai tlétikai Klub (KC) kezdeményezésére megszületett a ma már világhírű kassai maraton, a kerékpáregylet, amelyet abban az időben Fekete József vezetett, sem szeretett volna tétlen maradni. Ekkor született meg a Magas-Tátra (Vysoké Tatry) szerelmesének a fejében a Kassáról a Magas-Tátrába és onnan vissza, Kassára vezető kerékpárverseny megszervezésének gondolata. Sajnos, a K T K versenyek első szervezőinek nem sikerült ehhez hivatalos keretet biztosítaniuk. gondolat és a remény azonban tovább élt, és a kerékpározás megszállottjainak köszönhetően 1928 egy hűvös októberi reggelén 14 mindenre elszánt kerékpáros állt rajthoz a kassai ndrássy Kávéház előtt. z első szakasz végén, a Csorba-tónál (Štrbské pleso) 6 C várta a versenyzőket. z első évfolyam győztese Vlasto Ružička lett a kassai KC-ból. Forrás: http://www.k-t-k.sk/sk/history.php z előző feladat megoldása során olyan egyenletet kaptunk, amelyben az x ismeretlen a nevezőbe került. Hogyan oldjuk meg ezt az egyenletet? = f alakú egyenletet (d, e, f valós számok), amelyben az x ismeretlen a nevezőben szerepel, úgy oldjuk meg, hogy azonos átalakításokkal ax + b = c alakú elsőfokú egyenletté alakítjuk, ahol az a, b, c valós számok. megoldhatóság feltétele: a tört nevezője nem lehet nulla, vagyis x e. Oldjunk meg néhány egyenletet! Megoldásuknál alkalmazhatjuk a korábban tanult módszereket. Idézzük fel az egyenletek azonos (ekvivalens) átalakításait! Fejezd be az alábbi mondatokat: Ha az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk Ha az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk Projektfeladat fizika-, kémia- vagy biológiaórán számolt feladatok közül válaszd ki azokat, amelyeket olyan egyenlettel kell megoldani, amelyben az ismeretlen a nevezőben szerepel! Keresésed eredményét hasonlítsd össze az osztálytársaidéval! z internetről is meríthetsz információkat. Úgy gondolom, hogy ezekbe a mondatokba ezt kell beírni: ugyanazt a számot vagy kifejezést, ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel. Mit szólsz hozzá? Gondolkodj el ezen! 3. Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést! a) b) c) d) 3. megoldás törtre ki kell kötnünk, hogy Elvégezzük az ellenőrzést: B = 7 J = B = J nevezője nem lehet nulla, azaz x 0. z egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert 4 0. z egyenlet gyöke 4. folytatás 90

3. megoldás folytatás Elvégezzük az ellenőrzést: B = 3 J = B = J törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője nem lehet nulla, azaz: 2x 0 / : 2 x 0 z egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert 3 0. z egyenlet gyöke 3. z törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője nem lehet nulla, azaz x 0. Elvégezzük az ellenőrzést: B = B = J J = 1 z egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert 5 0. z egyenlet gyöke 5. törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője nem lehet nulla, azaz x 0. Elvégezzük az ellenőrzést: B = B = J J = 7 z egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert 0. z egyenlet gyöke. 4. Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést! a) b) c) d) 5. Számítsd ki az egyenletek gyökét, majd végezz ellenőrzést! a) b) c) d) 5. megoldás Először megoldjuk az egyenletet, elvégezzük az ellenőrzést, és meghatározzuk a nevezőben szereplő ismeretlenre vonatkozó feltételt. biztonság kedvéért figyelmeztetlek! 3 x = 3x 3 (x 1) = 3x 3 folytatás 91

5. megoldás folytatás Ellenőrzés: B = 3 J = B = J törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője nem lehet nulla: x 1 0 / + 1 x 1 Mivel 4 1, az egyenlet gyöke 4. z áltörtet felírjuk vegyes számmal. Ehhez a számlálót elosztjuk a nevezővel. maradék 4 Ellenőrzés: tört alakú gyökkel végezzük el. Ellenőrzés: B = 2 J = törtre ki kell kötnünk, B = J hogy nevezője nem lehet nulla: 3 x 0 / + x 3 x Mivel 7 3, az egyenlet gyöke 7. B J = 7 törtre ki kell kötnünk, B = J hogy nevezője nem lehet nulla: x + 1 0 / 1 x 1 Mivel 1, az egyenlet gyöke. 6. Számítsd ki az egyenletek gyökét, majd végezz ellenőrzést! a) b) c) d) Felmerülhet benned a kérdés: Miért tűnik el a tört? Megmutatjuk részletesen a tört eltávolítását: bal oldalon nem végeztük el a szorzást. Nem volt rá szükség, mert a kifejezések kiegyszerűsödtek. 7.* Oldd meg az egyenleteket, majd végezz ellenőrzést! a) b) 7. megoldás Ellenőrzés: B = J = 4 B = J törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője nem lehet nulla: x + 2 0 / 2 x 2 Mivel 0,75 2, az egyenlet gyöke 0,75. 92 folytatás

7. megoldás folytatás Ellenőrzés: B = J = B = J 9. Milyen feltételnek kell teljesülnie az egyenlet gyökére? a) b) c) d) törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője nem lehet nulla: 2x 1 0 / + 1 2x 1 x 0,5 Mivel 6,5 0,5, az egyenlet gyöke 6,5. vegyes számot törtre alakítjuk. 9. megoldás z egyenletekben az ismeretlen a nevezőben szerepel, ezért ki kell kötnünk, hogy a nevező értéke nem lehet nulla. a) tört nevezője x + 4. Ezért: x + 4 0 / 4 x 4 megoldás feltétele, hogy x 4. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet 4. b) z tört nevezője 3 6x. Ezért: 3 6x 0 / 3 6x 3 / : ( 6) x 0,5 megoldás feltétele, hogy x 0,5. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet 0,5. c) tört nevezője 3x + 1. Ellenőrzés: B = J = Ezért: 3x + 1 0 / 1 3x 1 / : 3 megoldás feltétele, hogy x. x Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet. B = J törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője nem lehet nulla: d) tört nevezője x + 1. Ezért: x + 1 0 / 1 x 1 megoldás feltétele, hogy x 1. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet 1. 10. Milyen feltételnek kell teljesülnie az egyenlet gyökére? a) b) Mivel, az egyenlet gyöke. 8.* Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést! c) d) e) f)* a) b) g)* h)** 93

11. z D lehetőségek közül melyik az egyenlet gyöke? 13. z D lehetőségek közül melyik a érték esetében lesz a kifejezés értéke nulla? 5 B 3 C 5 D 3 11. megoldás Ezt a feladattípust tippeléssel oldjuk meg. Válasszuk a B lehetőséget, tehát legyen az egyenlet gyöke 3! Behelyettesítünk az egyenlet bal oldalába, majd jobb oldalába, mintha ellenőrzést végeznénk. a = 0,5 B a = 1 C a = 5 D a = 4 13. megoldás megoldást ezúttal nem tippeléssel oldjuk meg. Felírjuk az egyenletet, és az azonos átalakítások segítségével megoldjuk. B = J = 2 2, B J, tehát a 3 (a B) nem gyöke az egyenletnek. Válasszuk most gyöknek az 5-öt, tehát a C esetet! Behelyettesítünk az egyenlet bal oldalába, majd jobb oldalába, mintha ellenőrzést végeznénk. B = J = 2 2 = 2, B = J, tehát az 5 (a C) az egyenlet gyöke. 12. z D lehetőségek közül melyik az egyenlet gyöke? törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője nem lehet nulla: a 5 0 / + 5 a 5 Mivel 0,5 5, ezért a feladat megoldása: a = 0,5, tehát az lehetőség. 14.* z D lehetőségek közül melyik a érték esetében lesz a kifejezés értéke nulla? a = 0 B a = 4 C a = 0,8 D a = 1,25 3 B 3 C 1,5 D 1,5 15.* z D lehetőségek közül melyik b érték esetében lesz a kifejezés értéke a legkisebb pozitív egész szám? b = 3 B b = 4 C b = 4 D b = 0,75 15. megoldás feladatot egyenlettel oldjuk meg. legkisebb pozitív egész szám az 1. törtre ki kell kötnünk, matematikai feladatok megoldása közben és más tantárgyak tanulásával kapcsolatban is sok pedagógus hangoztatja, hogy az ismétlés a tudás anyja Történelemtanárunk pedig azt szokta mondani, hogy már a régi rómaiak is azt mondták Mire vonatkoznak ezek a mondatok? Beszélgessetek el a témáról! z információk felkutatásához használd az internetet, lapozd fel az enciklopédiákat! hogy nevezője nem lehet nulla: b 1 0 / + 1 b 1 Mivel 4 1, a feladat megoldása a B eset, tehát b = 4. Ha pozitív és negatív számokkal kell dolgoznod, gondolj a számegyenesre! 94

16.* z D lehetőségek közül melyik c érték esetében lesz a negatív egész szám? kifejezés értéke a legnagyobb c = B c = C c = D c = 17.** Oldd meg az egyenletet, és végezz ellenőrzést! Ne feledkezz meg a kikötésről! a) b) c) d) Gondolkodtató feladat Mit mondhatunk az alábbi egyenletek gyökeiről? Nehéznek találod ezek megoldását? Egy bölcs szerint: Semmi sem nehéz, csak akarni kell. Mi még hozzátesszük: gondolkodni és figyelmesen olvasni Tudáspróba z egyenletekkel kapcsolatos fogalmak más tananyagokban is felbukkannak. Ha helyesen oldod meg a tesztet, választ kapsz az alábbi találós kérdésre: FÁNK VN, Z EGYENLETNEK NINCS. MI Z? Vigyázz, a betűket összekevertük! Rakd őket megfelelő sorrendbe! Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. egyenlet gyöke: Y 2 V W Z 3 2. z egyenlet gyöke: E 2 F 5 H 3 G 8 3. egyenlet megoldható, ha: L M N O 4. z alábbi lehetőségek közül melyik az gyöke? C 5 D 0,4 E 2,5 P 5,5 5. d mely értéke mellett egyenlő a kifejezés értéke az értékével? J d = 3 K d = 3 L d = 13 M d = 9 6. egyenletnek E nincs megoldása. É van megoldása, ha x 0. F a gyöke x = 0. G a gyöke x = 2. 95

Jegyezd meg! = f alakú egyenletet (d, e, f valós számok), amelyben az x ismeretlen a nevezőben szerepel, úgy oldjuk meg, hogy azonos átalakításokkal ax + b = c alakú elsőfokú egyenletté alakítjuk (a, b, c valós számok). megoldhatóság feltétele: a tört nevezője nem lehet nulla, vagyis x e. Különböző egyenletek különféle ismeretleneket tartalmazhatnak: x-et, t-t, y-t, a-t Például: a megoldhatóság feltétele ; a megoldhatóság feltétele t 0; a megoldhatóság feltétele a 0. 96

3.4. z ismeretlen kifejezése a képletből Idézzük fel! Mi a képlet? Mi az ismeretlen? Tanultunk már róluk algebra-, geometria-, fizikaórán. Beszélhetünk ismert személyiségekről, ismert bolygókról, ismert városokról Ugyanakkor elmondhatjuk, hogy őt nem ismerem, őt még nem láttam, ez számomra ismeretlen És természetesen az ismeretlen embereket, dolgokat, városokat, országokat meg szeretnénk ismerni. kép alkotója René Magritte Ebben a fejezetben sok ismert matematikai feladattal fogunk foglalkozni, amelyekben az ismeretlent a keresett adatot egy-egy képletből fogjuk kifejezni. 1. SZOMSZÉD KERTJE szomszéd kertje téglalap alakú. Területe 4,05 a, hossza 18 m. Milyen széles a kert? 1. megoldás feladatot így is megoldhatjuk: Először vázlatrajzot készítünk. Felírjuk a képletet. Behelyettesítünk a képletbe, majd kiszámítjuk a szükséges adatot. h = 18 m T = 4,05 a = 405 m 2 h = 18 m sz =? m T = h sz 405 = 18 sz / : 18 22,5 = sz sz = 22,5 sz =? m szomszéd kertjének szélessége 22,5 m. feladatot másképp is megoldhatjuk: Felírjuk a szükséges képletet: T = h sz Ebből kifejezzük az ismeretlen adatot, ez esetben a kert sz szélességét. zonos átalakításokat alkalmazva oldjuk meg az egyenletet: Felírjuk a szélességre vonatkozó képletet: sz = majd behelyettesítjük az ismert adatokat, és kiszámítjuk a szélességet: sz sz sz h 0 szomszéd kertjének szélessége 22,5 m. 97

Egy képletből kifejezni az ismeretlent annyit jelent, mint a keresett adatot (ismeretlent) felírni az ismert adatok segítségével. sz= ismeretlen adat ismert adatok z ismeretlent a képletből az egyenlet azonos átalakításait alkalmazva fejezzük ki. z ellenőrzést úgy végezzük el, hogy az eredeti képletbe behelyettesítjük az adott és a kiszámított értékeket. Olvasd el ezeket a feladatokat, amelyeket a tanulók 1935-ben oldottak meg! feladatok a Meroveda a rysovanie pre školy občianske című, valószínűleg 1935-ben megjelent tankönyv második kötetéből valók, szerzőjük Karol Buzek. téglalap alakú játszótér hossza 58 m, szélessége 39 m. Drótkerítéssel szeretnék bekeríteni. drótot karókhoz erősítik, és ötször kerítik vele körbe a játszóteret. Hány méter drótot rendeljenek? prágai Károly tér téglalap alakú. Hossza 520 m, szélessége 160 m. Hány perc alatt járhatjuk körbe, ha egy perc alatt 80 m-t teszünk meg? négyszög alakú kertet léckerítéssel akarják körülvenni. kert oldalainak hossza 65 m, 78 m, 40 m és 32 m. karókat egymástól 6 m-re kell leütni, a lécek tengelyeinek egymástól 15 cm-re kell lenniük. Hány karóra és hány szál deszkára lesz szükség, ha egy deszkából 3 lécet lehet levágni? 2. z alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből! a) négyzet kerülete 12,8 cm. Milyen hosszú az oldala? b) téglalap kerülete 36,32 cm, egyik oldala pedig 2 cm hosszú. Milyen hosszú a másik oldala? c) szabályos háromszög kerülete 16,74 cm. Milyen hosszú az oldala? d) z egyenlő szárú trapéz kerülete 18,6 dm, alapjainak hosszúsága 7 dm és 5 dm. Milyen hosszúk a szárai? 2. megoldás a) Nevezzük a négyzetet BCD-nek, és oldalát jelöljük a-val! a k = 12,8 cm a =? cm a a Felírjuk a négyzet kerületképletét: k = 4 a Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: a Behelyettesítjük a mérőszámokat: a a a b) Nevezzük a téglalapot BCD-nek, oldalait jelöljük a-val és b-vel! k = 36,32 cm, a = 2 cm, b =? cm Felírjuk a téglalap kerületképletét: k = 2 (a + b) Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: b a b b b Behelyettesítjük a mérőszámokat: téglalap másik oldalának hossza 16,16 cm. Ha az a, b oldalú téglalap kerületképletét k = 2 a + 2 b alakban írjuk fel, akkor a levezetés így alakul: b a b négyzet oldalának hossza 3,2 cm. 98 folytatás

2. megoldás folytatás c) Nevezzük a szabályos háromszöget BC-nek, oldalát a-nak! k = 16,74 mm a =? mm a a Felírjuk a szabályos háromszög kerületképletét: k = 3 a Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: a a a a d) Nevezzük az egyenlő szárú trapézt BCD-nek, alapjait jelöljük a-val és c-vel, szárait pedig b = d-vel! k = 18,6 dm c a = 7 dm b b c = 5 dm b = d =? dm a Felírjuk az egyenlő szárú trapéz kerületképletét: k = a + b + c + d (az általános trapézra) k = a + c + 2 b (az egyenlő szárú trapézra, amelynek b és d a két szára). Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: b b b b Behelyettesítjük a mérőszámokat: szabályos háromszög oldalának hossza 5,58 cm. Behelyettesítjük a mérőszámokat: z egyenlő szárú trapéz szárainak hossza 3,3 dm. 3. z alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből! a) négyzet kerülete 12,56 cm. Milyen hosszú az oldala? b) téglalap kerülete 150 cm, egyik oldala pedig 30 cm hosszú. Milyen hosszú a másik oldala? c) szabályos háromszög kerülete 64,2 cm. Milyen hosszú az oldala? d) z egyenlő szárú trapéz kerülete 52,6 dm, alapjainak hosszúsága 10 dm és 16 dm. Milyen hosszúak a szárai? 4. z a) d) feladatok ellenőrzését végezd el önállóan! a) négyzet területe 64 cm 2. Milyen hosszú az oldala? b) téglalap területe 60 cm 2, és egyik oldalának hossza 12 cm. Számítsd ki a másik oldal hosszát! c) derékszögű háromszög területe 24 dm 2. Egyik befogójának hossza 6 dm. Milyen hosszú a másik befogója? d) rombusz területe 3,2 m 2, magassága 0,8 m. Milyen hosszú az oldala? 4. megoldás a) Jelöljük a négyzetet BCD-vel, oldalát pedig a-val! T = 64 cm 2, a =? cm Felírjuk a négyzet területképletét: T = a 2 Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: T = a 2 négyzetgyököt vonunk a a Behelyettesítjük a mérőszámokat: négyzet oldalának hossza 8 cm. b) Nevezzük a téglalapot BCD-nek, oldalait jelöljük a-val és b-vel! T = 60 cm 2, a = 12 cm, b =? cm Felírjuk a téglalap területképletét: T = a b Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: T = a b / : a c) Nevezzük a derékszögű háromszöget BC-nek, a és b oldala legyen a befogója, c pedig az átfogója! T = 24 dm 2 a = 6 dm b =? dm b c Felírjuk a derékszögű háromszög területképletét:. a Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: b b b b b b Behelyettesítjük a mérőszámokat: téglalap másik oldalának hossza 5 cm. Behelyettesítjük a mérőszámokat: derékszögű háromszög másik befogójának hossza 8 dm. 99 folytatás

4. megoldás folytatás d) Jelöljük a rombuszt BCD-vel, az oldalát a-val, a magasságát pedig m a -val! T = 3,2 m 2 m a = 0,8 m m a =? m a a rombusz területképlete: T = a m a. a Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: a a a Behelyettesítjük a mérőszámokat: rombusz oldalának hossza 4 m. 5. z alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből! a) négyzet területe 144 cm 2. Milyen hosszú az oldala? b) téglalap területe 192 cm 2. Egyik oldalának hossza 16 cm. Milyen hosszú a másik oldala? c)* derékszögű háromszög területe 56 dm 2. Egyik befogójának hossza 8 dm. Milyen hosszú a másik befogója és az átfogója? d) rombusz területe 1,62 m 2, magassága 0,9 m. Milyen hosszú az oldala? 6. Fejezd ki az alábbi képletekből az ismeretlent, majd számítsd ki az értékét! Végezz ellenőrzést! a) Egyenlő szárú BCD trapéz: k = a + c + 2 b, a =? k = 35 cm, c = 12 cm, b = 5 cm b) BCD trapéz:, c =? T = 56,5 cm 2, a = 10 cm, m = 4 cm 6. megoldás a) dott az egyenlő szárú BCD trapéz, amelynek a és c az alapja, b = d a két szára. z egyenlő szárú trapéz kerületképletéből kifejezzük az a ismeretlent: k = a + c + 2 b / c 2 b k c 2 b = a / : 2 z ismeretlen: a = k c 2 b. Behelyettesítjük az adott mérőszámokat: a = k c 2 b a = 35 12 2 5 = 35 12 10 = 13 a = 13 cm c c c c z ismeretlen: c. Behelyettesítjük a mérőszámokat a kapott képletbe: Ellenőrzés: z egyenlő szárú trapéz kerületképletébe behelyettesítjük a mérőszámokat: k = a + c + 2 b k = 13 + 12 + 2 5 k = 35 cm, ami megegyezik az adott értékkel. a = 13 cm c = 12 cm Tehát az a ismeretlen kiszámítására alkalmazhatjuk az a = k c 2 b képletet. c = 18,25 cm Ellenőrzés: trapéz területképletébe behelyettesítjük az adott mérőszámokat: b = 5 cm a = 10 cm m = 4 cm c = 18,25 cm T = T = b) dott az BCD trapéz, amelynek a és c az alapja, b és d pedig a két szára. Fejezzük ki a c ismeretlent a trapéz területképletéből: c T = 56,5 cm 2, ami megegyezik az adott értékkel. Tehát a c oldal kiszámításához alkalmazhatjuk a c képletet. 100

7. Fejezd ki az alábbi képletekből az ismeretlent, majd számítsd ki az ismeretlen értékét! Végezz ellenőrzést! a) k = 3 a, a =?, k = 129 dm b) k = 2 (a + b), b =?, k = 48 m, a = 12 m c) k = a + c + 2 b, b =?, k = 35 cm, c = 2 cm, a = 5 cm d) T = a m a, a =?, m a = 7 mm, T = 101,5 mm 2 e), b =?, a = 5 cm, T = 125 cm 2 f), a =?, T = 56,5 cm 2, c = 10 cm, m = 4 cm 8. Válaszolj a kérdésekre! a) Mekkora a k = 28,26 cm kerületű kör r sugara? b) Mekkora a k = 3,14 dm kerületű kör d átmérője? Fejezd ki az ismeretlent a képletből! Számolj a π 3,14 értékkel! 9. Számítsd ki a) a T = 28,26 dm 2 területű kör r sugarának hosszát! b) a T = 3,14 cm 2 területű kör d átmérőjének hosszát! Fejezd ki az ismeretlent a képletből! Számolj a π 3,14 értékkel! Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. téglalap k = 2 (a + b) kerületképletéből az a oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki: B C D 2. háromszög k = a + b + c kerületképletéből a c oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki: c = k + a + b B c = a b k C c = k a b D c = a + b k 3. téglalap T = a b területképletéből az a oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki: B C a = T b D a = b T 4. háromszög területképletéből a b oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki: B C D 5. trapéz T területképletéből, ahol az alapokat a és c, a két szárat pedig b és d jelöli, az m magasság hosszát az alábbi képlet fejezi ki: B C D 6. z a, b, c élű hasáb V térfogatképletéből a b él hosszát az alábbi képlet fejezi ki: B b = V a c C b = V a c D b = V : (a c) 7. kör k = π d kerületképletéből, ahol d kör átmérője az r sugár hosszát az alábbi képlet fejezi ki: B r = k : (2π) C D 101

3.5. Elsőfokú egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok Milyen szöveges feladatokat oldottunk meg eddig? Milyen feladatokkal melegítettünk be az óra elején? 3. Egy számot harmadára csökkentve 123-at kapunk. Melyik ez a szám? 3. megoldás 1. Egy számot 17-tel növelve 77-et kapunk. Melyik ez a szám? 1. megoldás Így számoltunk: 77 17 = 60 keresett szám a 60. De így is szoktunk számolni: z ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük. Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk: x + 17 = 77 x = 77 17 x = 60 Ellenőrzés: 60 + 17 = 77 keresett szám a 60. 2. Egy számot 15-tel csökkentve 65-öt kapunk. Melyik ez a szám? 2. megoldás Így számoltunk: 65 + 15 = 80 keresett szám a 80. Ennyivel kell növelni. + De így is szoktunk számolni: z ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük. Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk: Így számoltunk: 123 3 = 369 keresett szám a 369. De így is szoktunk számolni: z ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük. Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk: x : 3 = 123 x = 123 3 x = 369 Ellenőrzés: 369 : 3 = 123 keresett szám a 369. 4. Egy szám kétszerese 46. Melyik ez a szám? 4. megoldás Így számoltunk: 46 : 2 = 23 keresett szám a 23. De így is szoktunk számolni: z ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük. Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk: 2 x = 46 x = 46 : 2 x = 23 Ellenőrzés: 2 23 = 46. keresett szám a 23. Hányadrészére kell csökkenteni? : Hányszorosára kell növelni? x 15 = 65 x = 65 + 15 x = 80 Ellenőrzés: 80 15 = 65 keresett szám a 80. Ennyivel kell csökkenteni. 102 z első módszer egyszerűbb, a második általánosabb.

5. Oldd meg tetszőleges módszerrel az alábbi feladatokat: a) Egy számot 5-tel növelve kétszer akkora számot kapok, mint az eredeti volt. Melyik ez a szám? b) Egy számot 10-zel csökkentve az eredeti szám felét kapom. Melyik ez a szám? c) Egy számot 36-tal növelve négyszer akkora számot kapok, mint az eredeti volt. Mi volt az eredeti szám? d) Egy szám 8-cal csökkentve ugyanannyi, mintha ennek a számnak a negyedét 4-gyel növelnénk. Mi volt az eredeti szám? 5. megoldás z ismeretlen számot x-szel jelöljük. Felírjuk és megoldjuk az egyenletet. a) keresett szám 5-tel növelve: x + 5 z eredeti szám kétszerese: 2 x x + 5 = 2 x / x 5 = x x = 5 z ellenőrzést a feladat szövege alapján (nem pedig az egyenletbe való behelyettesítéssel) végezzük el. keresett szám 5-tel növelve: 5 + 5 = 10. z eredeti szám kétszerese: 2 5 = 10. két érték egyenlő: 10 = 10, tehát a keresett szám az 5. c) keresett szám 36-tal növelve: x + 36 keresett szám négyszerese: 4 x x + 36 = 4 x / x 36 = 3x / : 3 12 = x x = 12 Ellenőrzés: keresett szám 36-tal növelve: 12 + 36 = 48. keresett szám négyszerese: 4 12 = 48. két érték egyenlő: 48 = 48, tehát a keresett szám a 12. d) keresett szám fele 8-cal kisebbítve: x 2 8 keresett szám negyede 4-gyel növelve: x 4 + 4 b) keresett szám 10-zel csökkentve: x 10 keresett szám fele: x 2 x 10 = / 2 2x 20 = x x = 20 / + 20 x közös nevező 4. Ellenőrzés: keresett szám 10-zel csökkentve: 20 10 = 10. keresett szám fele: 20 : 2 = 10. két érték egyenlő: 10 = 10, tehát a keresett szám a 20. Ellenőrzés: keresett szám fele 8-cal kisebbítve: 48 : 2 8 = 24 8 = 16. keresett szám negyede 4-gyel növelve: 48 : 4 + 4 = 12 + 4 = 16. két érték egyenlő: 16 = 16, tehát a keresett szám a 48. Egyenlettel összetettebb szöveges feladatokat szoktunk megoldani. szöveges feladatok egyenlettel történő megoldásának lépései: 1. matematikai eszközökkel kifejezzük az ismert és az ismeretlen (kiszámítandó) mennyiségeket; 2. ha nincs kifejezetten meghatározva, hogy milyen módszerrel dolgozzunk, akkor olyan módszert választunk, amellyel a lehető legegyszerűbb módon találjuk meg a keresett mennyiséget. ( módszer lehet hármasszabály, egyenlet, egyenlőtlenség, következtetés ); 3. a keresett érték meghatározása után ellenőrizzük az eredményt; 4. feleletet írunk. 103

6. BEVÁSÁRLÁS a) Három barátnő: Dóri, Évi és Zsuzsi elment tanszereket vásárolni. Dóri 6 euróval többet kapott a szüleitől, mint Évi, Zsuzsi pedig 12 euróval kevesebbet, mint Dóri. Összesen 84 eurót kaptak. Melyikük kapott legtöbbet? Mennyit? b) Dóri hátizsákot, Évi körzőkészletet, Zsuzsi pedig rajzeszközöket vásárolt. Dóri a hátizsákért kétszer annyit fizetett, mint Évi a körzőkészletért, Zsuzsi pedig a rajzeszközeiért 3,60 euróval kevesebbet, mint Évi. Együtt fizettek, mert minden 25 eurónál nagyobb vásárlásért a bolt egy három tollból álló készletet adott ajándékba. Összesen 36,80 eurót fizettek. Mennyit kellett a lányoknak a vásárlásukért külön-külön fizetniük? 6. megoldás a) Kiszámítjuk, hány eurót kaptak a lányok külön-külön. feladatot egy x-ismeretlenes egyenlettel oldjuk meg. Évi... x Dóri... x + 6 összesen 84 Zsuzsi... (x + 6) 12 Felírjuk az egyenletet: x + (x + 6) + (x + 6) 12 = 84 3x = 84 / : 3 x = 28 Ellenőrzés: Évi... 28 eurót kapott Dóri... 28 + 6 = 34 eurót kapott Zsuzsi... 34 12 = 22 eurót kapott Összesen 28 + 34 + 22 = 84 eurót kapott. Évi 28 eurót, Dóri 34 eurót, Zsuzsi 22 eurót kapott. Dóri kapott legtöbbet, 34 -t. b) Kiszámítjuk, hány eurót fizettek a lányok különkülön a vásárlásukért. feladatot most is x-ismeretlenes egyenlettel oldjuk meg. Évi... x Dóri... 2 x összesen 36,80 Zsuzsi... x 3,60 Felírjuk az egyenletet: x + 2 x + (x 3,60) = 36,80 4x 3,60 = 36,80 / + 3,60 4x = 40,40 / : 4 x = 10,10 Ellenőrzés: Évi... 10,10 eurót fizetett Dóri... 10,10. 2 = 20,20 eurót fizetett Zsuzsi... 10,10 3,60 = 6,50 eurót fizetett Összesen 10,10 + 20,20 + 6,50 = 36,80 eurót fizettek. Évi 10,10 eurót, Dóri 20,20 eurót, Zsuzsi 6,50 eurót fizetett. Ha külön-külön fizettek volna, akkor egyikük sem kapott volna ajándékba tollkészletet. 7. REJTVÉNYFEJTŐK KLUBJ rejtvényeket majdnem mindenki kedveli. Ezért iskolánkban megalakult a rejtvényfejtők klubja. klubdélutánra minden tag elkészít egy-egy találós kérdést. z összejövetel végeztével az takarítja ki a klubhelyiséget, aki nem fejti meg a találós kérdést. Hogy telik az idő? ez volt az egyik találkozó rejtvénytémája. Íme, néhány elhangzott kérdés: Hány éves most édesanyám, aki négyszer annyi idős, mint én, és 5 évvel ezelőtt ráadásul hétszer annyi idős volt, mint én? fiú most 30 évvel fiatalabb, mint az apja. 7 évvel ezelőtt az apa hétszer olyan idős volt, mint a fia. Hány éves most a fiú? z apa 38 éves, lánya 12, fia pedig 14. Hány év múlva lesz az apa annyi idős, mint a gyerekei együttvéve? 7. megoldás Táblázatot készítünk, és annak adataiból felírjuk, majd megoldjuk az egyenletet. most 5 évvel ezelőtt lány x x 5 anya 4 x 4 x 5 5 évvel ezelőtt az anya hétszer annyi idős volt, mint a lánya. Ezt egyenlettel így írhatjuk fel: Ellenőrzés: lány életkora 5 évvel ezelőtt: 10 5 = 5 z anya életkora 5 évvel ezelőtt: 4 10 5 = 35 z anya életkora hétszer annyi, mint a lányáé: 35 : 5 = 7 z anya ma 40 éves, a lánya pedig 10. többi találós kérdést fejtsd meg önállóan! 104

8. EGY KIS MOZGÁS a) Milyen hosszú utat teszek meg gyalog 15 perc alatt 4,5 km/h átlagsebességgel? b) Milyen átlagsebességgel halad Jakab, ha kerékpárjával 18 km-t tesz meg 20 perc alatt? Sebességét add meg km/h-ban! c) Mennyivel kell az apának növelnie a sebességét, hogy a szokásosnál 12 perccel hamarabb érkezzen a nyaralóba? nyaraló 72 km-re van. Ezt az utat autóval 1,2 óra alatt szokta megtenni. 8. megoldás a) sebességet méter/percben fejezzük ki. 60 perc alatt 4500 m-t teszek meg 1 perc alatt 4500 : 60 = 75 m-t teszek meg 15 perc alatt 75 15 = 1125 m-t teszek meg. b) Jakab 20 perc alatt 18 km-t tesz meg kerékpárjával 1 perc alatt 18 : 20 = 0,9 km-t tesz meg 60 perc alatt 0,9 60 = 54 km-t tesz meg Jakab 54 km/h átlagsebességgel haladva tesz meg 18 km-t 20 perc alatt. c) z ismert fizikai képlet segítségével (v sebesség, s út, t idő) kiszámítjuk az autó eredeti sebességét. Segítség z autó eredeti sebessége 60 km/h. z új sebesség: 1 óra = 60 perc 1 km = 1000 m Használd a hármasszabályt! z új sebesség 72 km/h. sebességek különbsége: 72 60 = 12. 12 percet órában fejezzük ki: 12 : 60 = 0,2 12 perc annyi, mint 0,2 óra Ha az apa a szokásosnál 12 perccel korábban szeretne a nyaralóhoz érni, akkor a sebességét 12 km/h-val kellene növelnie. 9. SEBESSÉG ÉS EGYENLET Mennyi idő múlva ér utol a barátnőm, aki 30 perccel később indult el ugyanazon az úton, amelyen én 6 km/h sebességgel haladok? Barátnőm, mivel siet, 8 km/h sebességgel halad. 9. megoldás feladatot egyenlettel oldjuk meg. Ismét az ismert fizikai képletből indulunk ki, amelyből ezúttal az utat fejezzük ki: s = v t. Ha ki akarjuk számítani barátnőm idejét, ehhez ismernünk kell a saját időmet, a megtett utamat és a sebességemet. saját időm ismeretlen, ezért ezt jelöljük x-szel! Barátnőm késett, ezért az ő ideje fél órával kevesebb volt: x 0,5. x óra alatt 6 km/h sebességgel haladva 6 x km-t teszek meg. Barátnőm x 0,5 óra alatt 8 km/h sebességgel haladva 8 (x 0,5) km-t tesz meg. két út megegyezik. Ezt egyenlettel így írhatjuk fel: 6 x = 8 (x 0,5). Segítség Ne felejtsd el, hogy a mozgásra vonatkozó feladatok mindig az időről, a sebességről és az útról szólnak. Ellenőrzés: 2 óra alatt 6 2 = 12 km-t teszek meg. Barátnőm 1,5 óra alatt (hiszen 30 perccel, azaz fél órával később indult, mint én) 8 1,5 = 12 km-t tett meg. két út egyenlő, tehát a megoldás helyes. barátnőm 1,5 óra múlva ér utol engem. Sokan szeretik a táblázatokat. 9. feladat megoldása táblázattal így nézne ki: t idő v sebesség út: s = v t én x 6 km/h 6 x barátnőm x 0,5 8 km/h 8 (x 0,5) 105

10. Jani és Peti a nyaralóba készül. Együtt akartak indulni kerékpáron 6:30-kor Janiék háza elöl. Peti nem jött meg, ezért Jani 7:00 órakor elindult egyedül a házuk elől 40 km/h sebességgel. Peti, aki elaludt, 7:30-kor ért Janiék háza elé. Mikor éri utol Peti Janit, ha Janiék házától 48 km/h sebességgel haladt? 11. UTK ÉS EGYENLETEK városból B városba utazhatunk 140 km/h átlagsebességgel közlekedő gyorsvonattal, de 60 km/h átlagsebességgel közlekedő személyvonattal is. Mennyi idő múlva találkozik a két vonat, ha a két városból ugyanabban az időpontban indulnak el egymással szemben, és ezen az útszakaszon nem állnak meg sehol? két város egymástól 96 km-re van. 11. megoldás Ha azt akarjuk kiszámítani, hogy mikor találkoznak, akkor a megtett útból kell kiindulni. Ha találkozniuk kell, akkor egymással szemben kell haladniuk. találkozásig megtett útjaik összege a városok távolsága, tehát 96 km. z út a vonat sebességének és a találkozásig eltelt időnek a szorzata (az s = v t képlet szerint). vonatok találkozásáig eltelt időt nem ismerjük, ezért ezt választjuk az egyenlet ismeretlenének, és x-szel jelöljük. Mivel a vonatok ugyanabban az időpontban indultak, a találkozás pillanatáig a két vonat menetideje megegyezik. gyorsvonat útja 140 x (km) személyvonat útja 60 x (km) szerelvények egymással szemben haladnak, megtett útjaik összege a két város távolsága, amit ezzel az egyenlettel lehet kifejezni: 140 x + 60 x = 96 megoldás: x = 0,48 óra, tehát 0,48 60 perc = 28,8 perc. Ellenőrzés: gyorsvonat által megtett út: 140 0,48 = 67,2 km. személyvonat útja: 60 0,48 = 28,8 km két vonat megtett útjának összege: 67,2 + 28,8 = 96 km, ami megfelel az és B város közti távolságnak. megoldás helyes, tehát a két vonat 0,48 óra, azaz 28,8 perc múlva találkozik. Ezt a feladatot is meg lehet oldani táblázattal: t idő v sebesség út: s = v t gyorsvonat x 140 km/h 140 x személyvonat x 60 km/h 60 x a teljes út: 96 12. UTK ÉS EGYENLETEK Egy zsolnai és egy kassai partneriskola cserelátogatást szervezett. Úgy tervezték, hogy a kassai tanulók Zsolnára (Žilina), a zsolnaiak pedig Kassára látogatnak. utóbusszal utaztak. Megegyeztek, hogy ugyanazon az útvonalon haladnak majd, hogy útközben találkozhassanak. Zsolnáról 7:00 órakor indultak Kassára, Kassáról Zsolnára viszont csak 8:30-kor. Kassától mekkora távolságra és hány órakor találkoztak? zsolnaiak autóbusza 84 km/h, a kassaiaké 95 km/h átlagsebességgel haladt. Kassa és Zsolna távolsága megközelítőleg 269,2 km. 12. megoldás Most is az utat kell kiszámítanunk. Látható, hogy a két autóbusz által megtett út összege a Kassa és Zsolna közti távolsággal egyenlő, tehát 269,2 km. Jelöljük a Zsolnáról induló autóbusz útját a találkozásig x-szel! Kassáról induló autóbusz 1,5 órával kevesebb időt tölt el az úton a találkozásig, hiszen csak 8:30-kor indult (a zsolnai viszont 7:00-kor). Oldjuk meg táblázattal! t idő v sebesség út: s = v t Zsolnáról x 84 km/h 84 x Kassáról x 1,5 95 km/h 95 (x 1,5) a teljes út: 269,2 106 folytatás

12. megoldás folytatás z utak összegéből kapjuk az egyenletet: 84 x + 95 (x 1,5) = 269,2. z egyenlet megoldása: x = 2,3 óra tehát 2 óra 18 perc (0,3 60 perc). Kiszámítottuk, hogy mennyi idő múlva találkoztak. Meg kell állapítanunk, hogy hány órakor találkoztak. Mivel a Zsolnáról induló autóbusz menetidejét számítottuk ki, a 2 óra 18 percet a zsolnai autóbusz indulási időpontjához kell hozzáadnunk: 7 óra 0 perc + 2 óra 18 perc = 9 óra 18 perc z ellenőrzés során egyúttal azt is kiszámítjuk, hogy Kassától mekkora távolságra találkoztak: Zsolnáról induló autóbusz útja: 84 2,3 = 193,2 km. Kassáról induló autóbusz útja: 95 (2,3 1,5) = 95 0,8 = 76 km. két út összege: 193,2 + 76 = 269,2 km, ami megfelel a Kassa Zsolna távolságnak. Tudod-e? z erdő a Föld tüdeje szokás mondani. Ezért mindenhová, ahová csak lehetséges, igyekszünk parkokat telepíteni, megfiatalítani az elöregedett erdőt, a beteg fákat pedig egészségesekkel pótolni Ez azt jelenti, hogy helyes a megoldás. z autóbuszok 9:18-kor találkoztak Kassától 76 km-re. 13. VÁROSI PRK kilencedikesek facsemetéket ültettek a városi parkban. Tudták, hogy 4 óra alatt elkészülnek vele. De a nyolcadikosok is szerettek volna fát ültetni, akik viszont egyedül 5 óra alatt végeztek volna. Hány óra alatt végezték el a munkát együtt? 13. megoldás közös munkavégzésre vonatkozó feladatokban többnyire azt kell kiszámítanunk, hogy a munkának hányad részét végzik el 1 óra alatt. kilencedikesek 1 óra alatt a fák -ét ültették volna el, a nyolcadikosok az -ét ültették el. Együtt dolgozva egy óra alatt a fák + -ét ültették el. Ha együtt x óra alatt végzik el a munkát, akkor x óra alatt fát ültetnek ki, és ezzel elvégzik az egész munkát, ami 1 egész munka. Tehát az egyenletet így írhatjuk fel:. Eltávolítjuk a zárójelet, a törteket közös nevezőre hozzuk. megoldás: óra. Ellenőrzés: kilencedikesek óra alatt a fák részét ültetik ki, a nyolcadikosok óra alatt az részét. Együtt óra alatt elvégzik a munka részét, ami 1 egész, tehát az összes fát elültetik. Együtt óra alatt ültették ki a fákat a városi parkban. 107

14. VDGESZTENYE z ötödikesek és a hatodikosok minden évben gesztenyét gyűjtenek a parkban vadgesztenye állati táplálék, de gyógyászati célokat is szolgál, és különféle dísztárgyakat is készítenek belőle. tanulók öt- és háromkilós zsákokba gyűjtötték a gesztenyét: az ötödikesek háromkilósba, a hatodikos ötkilósba. mikor befejezték a gyűjtést, megállapították, hogy összesen 30 zsákjuk van, és 120 kg gesztenyét gyűjtöttek. Hány ötödikes és hány hatodikos vett részt a gyűjtésben, ha minden tanuló pontosan egy zsáknyi gesztenyét gyűjtött? 14. megoldás zsákok száma megegyezik a tanulók számával. Ha x darab ötkilós zsák volt, akkor x hatodikos vett részt a gyűjtésben. háromkilós zsákok száma 30 x, tehát az ötödikesek száma is 30 x. z ötkilósokban 5 x gesztenye van. háromkilósokban 3 (30 x) kg gesztenye van. Összesen 120 kg gesztenyét gyűjtöttek, tehát az egyenlet: 5 x + 3 (30 x) = 120 Tudod-e? gesztenyefélék (esculus) családjába 12 fa- és bokorfaj tartozik. ngliában, Észak-merikában, Kínában és Görögországban különös tiszteletnek örvend. Franciaországban szentképeket szoktak rá akasztani. Nagy mennyiségben tartalmaz B- és C-vitamint, valamint ásványi anyagokat: káliumot, magnéziumot, foszfort és vasat. Ellenőrzés: z ötkilós zsákokban 5 15 = 75 kg gesztenye volt. háromkilós zsákokban 3 (30 15) = 45 kg gesztenye volt. z összes zsákban (75 + 45) kg = 120 kg gesztenye volt. Ez megfelel a feladat feltételeinek. hatodikosok száma x, tehát 15. z ötödikesek száma 30 x = 30 15, azaz 15. 15. TERMÉSZETVÉDŐK hetedikesek szombatonként az erdőt takarítják. Egy természetvédő csapatot is létrehoztak. Rendszerint a turistaösvények mentén haladnak. leghosszabb a kék ösvény. Március első szombatján ennek az ösvénynek a harmadát, a második szombaton pedig a megmaradt rész háromnegyedét sikerült kitisztítaniuk. Hány km-es szakaszt hagytak a harmadik hétre, ha a kék ösvény teljes hoszsza 12,6 km? 15. megoldás z első szombaton a 12,6 km hosszú ösvény egyharmadát tisztították ki. Ez km, amit így is kiszámíthatunk 12,6 : 3 = 4,2 km Maradt még 12,6 4,2 = 8,4 km. második szombaton a 8,4 km háromnegyedét tisztították ki, azaz km, amit így is kiszámíthatunk: (8,4 : 4) 3 = 6,3 km Maradt még 12,6 4,2 6,3 = 2,1 km. természetvédő csapatnak tehát március harmadik szombatján a turistaösvény 2,1 km-ét kellett még kitakarítania. 108

16. KÖZÖS MUNKVÉGZÉS EMBEREK ÉS ESZKÖZÖK Ede házát magas palánk veszi körül. Tele van firkákkal. Elhatározta, hogy az egészet átfesti. Egyedül 5 munkanap alatt tudná a munkát elvégezni. (1 munkanap 8 órából áll.) fiának egyszer már sikerült a mázolást 3 nap alatt elvégeznie. Hány óráig fog tartani a munka, ha közösen fognak hozzá a mázoláshoz? 16. megoldás Hasonló feladattal már találkoztunk. Foglaljuk táblázatba, hogy a munkának hányad részét végzi el a fiú és hányad részét az apja! egyedül elvégzi 1 nap alatt elvégzi x nap alatt elvégzi x nap alatt közösen elvégzik fiú 3 nap alatt a munka -részét a munka részét a munka Ede 5 nap alatt a munka -részét a munka részét részét z egyenlet megoldását rád bízzuk. Ha helyesen dolgoztál, akkor azt kaptad, hogy. Ellenőrzés: fiú nap alatt elvégzi a munka részét. Ede nap alatt elvégzi a munka részét. Együtt nap alatt elvégzik a munka részét, tehát az egész munkát. feladat megoldása helyes. napokban kapott eredményt órákra alakítjuk: nap = nap = h = 15 h. Közösen 15 óra alatt végzik el a munkát. 17. KÖZÖS MUNKVÉGZÉS a) Edéék kertjében van egy medence is. Két gumicsövön keresztül szokták megtölteni. vastagabbal 6 óra alatt, a vékonyabbal 10 óra alatt tudják a medencét feltölteni. Ede minél hamarabb fürödni szeretett volna, ezért a két csövet egyszerre használta a feltöltéshez. Mennyi idő alatt sikerül így a medencét feltöltenie? b) Janka hozzáfogott, hogy kifesse a szobáját. Egyedül 5 óra alatt tudná kifesteni. mikor már 3 órája festett, csatlakozott hozzá a barátnője, ezért 1,5 óra alatt befejezték a munkát. Meddig tartana Janka barátnőjének egyedül kifesteni a szobát? Gyorsabb lenne-e, mint Janka? 18. TESTVÉRIES OSZTOZKODÁS Rudi elköltözött egy másik városba. Úgy döntött, hogy a jékorongozókat ábrázoló kártyagyűjteményét szétosztja barátai közt. Egyiküknek odaadta a harmadát, másikuknak pedig a maradék felét. Maradt még 12 kártyája. Hány kártyát osztott szét? 18. megoldás feladatot egyenlettel oldjuk meg. kártyák számát jelöljük x-szel! z 1. barátjának adta a harmadát: Megmaradt még a kétharmada. 2. barátjának adott: darabot. Maradt 12 kártyája. Összesen x darab kártyája volt, tehát a feladatot az egyenlettel oldhatjuk meg. 109 folytatás

18. megoldás folytatás Ellenőrzés: z 1. barátjának adott: darabot. 20. megoldás 2. barátjának adott: darabot. Összesen 12 + 12 + 12 = 36. 19. OSZTOZKODÁS BRÁTNŐK KÖZÖTT Dóri szétosztotta a pénzt, amelyet régi játékok eladásából kaptak az iskolai börzén. Hogy igazságos legyen, a pénz felét Jankának, a maradék negyedét pedig Tányának adta, magának 9 eurót hagyott meg. Mekkora összeget osztott szét Dóri? 20. MIT ÉRDEMES VENNI? kerékpár-szaküzletben kétféle városi kerékpárt árulnak. Egy hét alatt 12 darabot adtak el belőle összesen 2940 euró értékben. z olcsóbb darabja 210, a drágábbé 350 euróba került. raktárosnak azt mondták, hogy abból rendeljen, amelyikből több fogyott. Segíts neki kiszámítani, hogy melyikből kell rendelnie! feladatot egyenlettel oldjuk meg, amelyet az alábbi táblázat segítségével írunk fel. befejezést rád bízzuk. kerékpártípus ennyit adtak el darabonkénti ár bevétel az eladott darabokból 1. típus x 210 210 x 2. típus 12 x 350 350 (12 x) összesen 2940 megoldás helyes. Janinak 36 kártyája volt. Ebből ezt az egyenletet írhatjuk fel: 210 x + 350 (12 x) = 2940 megoldás: x = 9. z olcsóbb típusból 9, a drágább típusúból 3 darabot adtak el. z olcsóbb kerékpárból kell rendelni. Tudod-e? Karl Friedrich Drais von Sauerbronnt tartják a kerékpár feltalálójának. kerékpárt akkor drezinának nevezték. 1813-ban egy négykerekű, 1817-ben pedig kétkerekű járművet szerkesztett fából, és kormánya is volt. Csak úgy lehetett vele közlekedni, hogy váltott lábbal el kellett rugaszkodni a földtől. 1885-ben jelent meg a valóban alacsony és biztonságos kerékpár. Megtervezői, William Sutton és John Starley (mindketten agolok) Rover Safetynek nevezték el. Nézd meg az interneten, hogyan néztek ki ezek a kerékpárok! Megéri! Forrás: internet 21. NÉVNP Tomi a névnapjára készült. Úgy döntött, hogy osztálytársainak kétféle kis csokoládészeletet vásárol: mogyorós csokit a lányoknak (darabját 30 centért), nugátszeletet a fiúknak (darabját 35 centért). 20 csokoládéért összesen 6,60 eurót fizetett. Hány darab mogyorós csokit és hány darab nugátszeletet vásárolt Tomi? 110

szöveges feladat valószínűleg onnan kapta a nevét, hogy sok benne a szöveg. Ugyanakkor azt szokták mondani, hogy Beszélni ezüst, hallgatni arany. Állapítsd meg, miért nevezik ezeket a feladatokat szövegeseknek! Tudakold meg a választ az osztálytársaidtól is! Szlovákiában sok szép város van. Ide sorolható Bajmóc (Bojnice) is a vármúzeumával, az állatkertjével és a gyógyfürdőjével. Tervezzünk egy közös kirándulást ebbe a városba! 22. KIRÁNDULÁS Komáromból (Komárno) 23 tanuló készül a bajmóci kirándulásra. Velük tart az osztályfőnökük és két szülő is, akik magukkal viszik két, 5 évnél fiatalabb ikergyermeküket. tanulók most azt számolják, mennyibe fog kerülni a kirándulás. tanulók egyik csoportja megállapította, hogy amennyiben 20-nál többen lesznek, egy felnőtt belépése ingyenes lesz. Ezenkívül családi jegyet is vehetnek két felnőtt (férfi és nő) és egy gyermek részére 11 euróért. Most már csak az a kérdés, hogy Hány euróba kerül egy belépő? tanulók egy másik csoportja megállapította, hogy sem autóbusszal, sem vonattal nem tudnak közvetlenül Bajmócra jutni, ezért egyszerűbb lesz a szállítást egy közlekedési magánvállalattal intézni. legrövidebb távolság Komárom és Bajmóc közt 145 km. kirándulásról és a várlátogatásról a tanulók egy fotóalbumot szeretnének készíteni az osztályfőnökük részére. Ezért a kirándulás költségeihez hozzá kell adni 2 fényképezőgép használatát. z útiköltség kiszámításakor a kilométerköltségeken kívül számolni kell a parkolás és az állás költségeivel, valamint az autópályadíjjal. Minden a konkrét részletektől függ, ezért a végleges költségben előre meg kell egyezni. z árjegyzék, amelyet a tanulók megkaptak, csak két adatot tartalmazott: az út kilométerenként 0,45 -ba, az állás pedig óránként 7 -ba kerül. Más költséget a cég nem fog felszámolni. Kiszámítható-e ezek után az útiköltség? Vigyázat! kilencedikesek 14 vagy 15 évesek. Meg kell határozni, hány órát fognak Bajmócon tölteni. javaslat: 3 órát. Végezetül: Hány órásra kell tervezniük a kirándulást, ha 80 km/h átlagsebességgel ggel haladnak? 22. megoldás Belépők: Tanulók: 23 2,90 =... 66,70 Felnőttek és gyerekek 1 felnőtt... ingyen 2 felnőtt és 1 gyerek. 11,00 1 gyerek... 0,70 2 fényképezőgép:...2 2,00 = 4,00 Közlekedés: Útiköltség:... 145 2 0,45 = 130,50 Állásköltség:... 3 7,00 = 21,00 Összesen:... 233,90 kirándulás 233,90 euróba fog kerülni. z egész kirándulás megközelítőleg 7 óráig fog tartani, mert: (145 2) : 80 + 3 = 6,625 6,625 órát 7 órára kerekítjük. Belépőjegyek a kiállításra éjjeli megtekintés Felnőttek... 6,70 Gyermekek 18 éves korig csak júliusban és augusztusban... 5,00 Felárak a belépti díjhoz Fényképezőgép-használatért... 2,00 Videokamera használatáért... 5,00 Idegen nyelvű idegenvezetésért az angol és a német nyelven kívül csoportonként... 13,30 Belépőjegyek a kiállításra nappali megtekintés Felnőttek személyenként... 5,70 Gyermekek 6 15 éves korig... 2,90 Gyermekek 3 6 éves korig... 0,70 111

23. KORCSOLYÁZÁS korcsolyázás mozgás, sport és relaxáció. Ezért két jó barát, Gyuri és Endre korcsolyát vásárolt. Gyuri 50 eurót kapott a szüleitől. Barátja, Endre, 40 euróval többet. Gyurinak a boltban egy 45 eurós korcsolya nyerte meg a tetszését. Endrének olyan korcsolya tetszett, amely a felével többe került, mint Gyurié. a) Hány euróba került Endre korcsolyája? Ha a fiúk együtt vennék meg a két pár korcsolyát, akkor 10%-os kedvezményben részesülnének. Ha Gyuri egyedül veszi meg a korcsolyát, akkor csak 5%-os kedvezményre jogosult, Endre viszont 10%-osra. b) Mi az előnyösebb a fiúk számára: ha közösen vásárolnak, és közben a megtakarítást egyenlően elosztják egymás közt, vagy ha külön-külön vásárolnak? z elárusító a korcsolyához kesztyűt is kínált. Ha megveszik, mindkettejüknek 5%-os kedvezményt ad. c) Elég pénze lenne-e a két fiúnak a kesztyű megvételére is, ha külön-külön vennék meg a korcsolyát? kesztyű ára kedvezmény nélkül 8,70 euró. 23. megoldás a) Gyuri korcsolyája 45 euróba került. Endre korcsolyája a felével többe, azaz 45 + 45 : 2 = 45 + 22,5 = 67,50 euróba került. b) fiúknak a korcsolyákért összesen 45 + 67,5 = 112,50 eurót kellett fizetniük. Kedvezmény: 100%... 112,50 euró 1%... 112,50 : 100 = 1,125 10%... 1,125 10 = 11,25 kedvezmény 11,25 euró lenne. Ennek fele, tehát külön-külön 11,25 : 2 = 5,625 euró kedvezményt kapnak. Gyuri 100%... 45 euró 1%... 45 : 100 = 0,45 euró 5%... 0,45 5 = 2,25 euró Gyuri 2,25 eurót takarítana meg. Endre 100%... 67,50 euró 1%... 67,50 : 100 = 0,675 euró 10%... 0,675 10 = 6,75 euró Endre 6,75 eurót takarítana meg. Mivel a közös vásárlásból származó kedvezmény fele csak 5,625 euró lenne, Endre számára nem lenne előnyös a közös vásárlás. c) Kesztyű 100%... 8,70 euró 1%... 8,70 : 100 = 0,087 95%... 0,087 95 = 8,265 euró Ha Gyuri egyedül venné meg a korcsolyát, nem maradna pénze a kesztyűre, mert 50 42,75 = 7,25 euró < 8,265 euró. zt, hogy mi lenne a helyzet Endre esetében, számítsd ki önállóan. Ezt a feladatot könnyen meg lehetett oldani. legtöbb számítást fejben el lehetett végezni. 112

Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. Ha egy számot 30-cal növelünk, akkor az eredetinél négyszer akkora számot kapunk. z eredeti szám: 6 B 40 C 10 D 5 2. Ha egy számot 15-tel csökkentünk, akkor az eredetinél háromszor kisebb számot kapunk. z eredeti szám: 7,5 B 3,75 C 45 D 22,5 3. Erikának 126 -ja van, Renátának csak harmadannyi, Hannának pedig 12 -val kevesebb, mint Renátának. Hány -ja van Hannának? 30 B 42 C 12 D 72 4. Ferinek kártyás mobiltelefonja van: 27 euróért 300 percig beszélhet. Barátjának kölcsönadta a mobiltelefonját azzal a kikötéssel, hogy a lebeszélt perceket kifizeti. Barátja szerdán 12 percig, csütörtökön 6 percig, pénteken 15 percig beszélt Feri telefonján. Hány eurót fog ezért a barátja fizetni? 2,97 eurót B 3,66 eurót C 10,8 eurót D 13,5 eurót 5. Mekkora sebességgel teszünk meg korcsolyán 10 perc alatt 15 km-t? 150 km/h B 45 km/h C 90 km/h D 50 km/h 6. 4,5 km/h sebességgel haladva hány km-t teszek meg 20 perc alatt? 1,5 km-t B 3,5 km-t C 9 km-t D 45 km-t 7. Tánya és Márti fogadtak, hogy görkorcsolyán mennek iskolába. Tányának a 2700 m-es út 18 percig tartott, Márta a 3600 m-es utat ugyanúgy 18 perc alatt tette meg. Hány km/h-val volt kisebb Tánya sebessége Mártáénál? 3 km/h-val B 9 km/h-val C 12 km/h-val D 0,3 km/h-val 8. Róbert kölcsönadta Ádámnak megtakarított pénzének háromnegyedét, azaz 48 eurót. Róbertnek maradt még: 12 eurója B 64 eurója C 16 eurója D 24 eurója 9. kereskedő bevételének egyötödét a penztárban hagyta, a másik rész felét pedig bevitte a bankba. mi megmaradt, áruvásárlásra költötte. Ha 1200 euró volt a bevétel, akkor hány eurója maradt? 240 euró B 480 euró C 720 euró D 600 euró 10. 24,60 euróm van. születésnapi ünnepségemre kétféle süteményt szeretnék vásárolni. képviselőfánk darabja 1,80 euró, a dobosszeleté 0,60 euró. Minden vendégnek mindkét szeletből szeretnék adni. Hány vendéget hívhatok meg? 10-et B 11-et C 12-t D 13-at 11. Ha az tört értéke 0, akkor az n értéke: 12 B 15 C 3 D 0 12. Ha a zsebpénzem 20%-a 6,80, akkor a zsebpénzem: 68 B 13,60 C 40,80 D 34 13. Ha ma kétszer annyi éves vagyok, mint a a nővérem 4 évvel ezelőtt, akkor hány éves vagyok most? 4 B 8 C 12 D 16 14. z egyik kertész 4 óra alatt kaszálná le a kertet, a másik 3 óra alatt. Meddig tartana a munka, ha együtt dolgoznának? 12 h B h C 7 h D h 15. medencét az egyik csapon keresztül 3,5 h alatt, a másikon keresztül 6,3 h alatt lehet feltölteni. Hány óra alatt töltenék meg a medencét, ha mindkét csapot megnyitnák? 4,9 B 2,25 C 1,4 D 2,80 113

Szöveges feladatok megoldása egyenlőtlenséggel 24. KIRÁNDULÁS Gyuri 10-nél több, de 15-nél kevesebb napig volt szüleivel kirándulni. Barátja, Tomi, 16 napnál kevesebbet volt szüleivel kirándulni. Dénes 8-nál több, de 12-nél kevesebb napot volt a szüleivel kirándulni. Végezetül tudjuk, hogy mindhárman ugyanannyi ideig voltak szüleikkel kirándulni. Meg tudod-e ebből mondani, hogy hány napig? 24. megoldás Soroljuk fel mindhármuk lehetőségeit. Gyuri 11, 12, 13 vagy 14 napig kirándulhatott. Tomi 16 napnál kevesebbre mehetett kirándulni, tehát 15, 14, 13, 12, 11, 10, napra. Dénes 9, 10 vagy 11 napig lehetett a kiránduláson. fenti adatok alapján mindhárman 11 napig voltak kirándulni. feladatot számegyenesen is szemléltethetjük. Gyuri: 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Tomi (a megoldásnak csak egy részét szemléltettük): 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Dénes: 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25.* a) Sorold fel az összes 12-nél kisebb, de 7-nél nagyobb természetes számot! Írd fel az egyenlőtlenséget! b) Sorold fel az összes olyan egész számot, amely nagyobb vagy egyenlő, mint 6, de kisebb vagy egyenlő, mint 2! Írd fel az egyenlőtlenséget! c) Sorold fel az összes olyan egész számot, amely nagyobb 7,2-nél, de kisebb +4,6-nél! Írd fel az egyenlőtlenséget! d) Sorold fel az összes, 2,5-nél nagyobb, de 5,2-nél kisebb egész számot! Írd fel az egyenlőtlenséget! 25. megoldás Először felírjuk a megoldáshalmazt alkotó számokat, majd felírjuk az egyenlőtlenséget. megoldás során egyenlőtlenségjelekkel és x ismeretlennel fogunk dolgozni. a) feladatot úgy módosítjuk, hogy bal oldalra kerüljön a kisebb, a jobb oldalra a nagyobb szám, majd megkeressük az összes olyan természetes számot, amely nagyobb 7-nél, de kisebb 12-nél. Ezek: a 8, 9, 10 és 11. Tehát: 7 < 8, 9, 10, 11 < 12 7 < x < 12 keresett egyenlőtlenség: 7 < x < 12, ahol x természetes szám. b) 6 és a 2 között (beleértve az ezzel egyenlőket is) a következő egész számokat találjuk: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2. Tehát: 6 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2 2 6 x 2 keresett egyenlőtlenség: 6 x 2, ahol x egész szám. c) 7,2 és a +4,6 közötti egész számok: 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4. Tehát: 7,2 < 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 < +4,6 7,2 < x < +4,6 keresett egyenlőtlenség: 7,2 < x < +4,6, ahol x egész szám. d) Ilyen számok nem léteznek. Két egyenlőtlenséget kapunk: 5,2 < x és az x < 2,5. 114

26. a) Sorold fel az összes kettővel osztható, 12-nél kisebb számot! b) Sorold fel az összes hárommal osztható, 10-nél nagyobb, de 20-nál kisebb számot! c) Hány 40-nél kisebb 4-gyel osztható természetes szám van? 26. megoldás Először az egyenlőtlenségnek megfelelően felsoroljuk a számokat, majd az oszthatóság jelei alapján kiválasztjuk a megfelelőket. a) megoldás: 10, 8, 6, 4, 2. b) megoldás: 12, 15, 18. c) feltételnek a 36, 32, 28, 24, 20, 16, 12, 8, 4 számok felelnek meg, azaz 9 szám. feladatokat számegyenessel is megoldhattuk volna. Számegyenessel oldd meg önállóan! 27. a) Legkevesebb hány euróból vehetek 15 darab 20 centes kiflit? b) Legkevesebb hány kéteurósra lesz szükségem, ha ki akarok fizetni 6 joghurtot, amelynek darabja 1,20 -ba kerül? c) Legalább hány öteurósra lesz szükségem, hogy meg tudjak venni 8 csokoládét, amelynek darabja 2,05? 27. megoldás feladatok egyszerű következtetéssel is megoldhatók. Ezúttal oldjuk meg egyenlőtlenséggel! a) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x az eurók számát jelöli. x 15 0,20 x 3 Legalább 3 euróra lesz szükségem. b) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x a kéteurósok számát jelöli. darabszám csak természetes szám lehet. 2 x 6 1,20 x 3,60 Legalább 4 kéteurósra lesz szükségem. c) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x az öteurósok számát jelöli. darabszám csak természetes szám lehet. 5 x 8 2,05 x 3,28 Legalább 4 öteurósra lesz szükségem. Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. Melyik az a természetes szám, amely nagyobb 8,5-nél, de kisebb 9,5-nél? 8 B 8,5 C 7,5 D 9 2. Egy természetes szám kisebb vagy egyenlő, mint 6,2, de nagyobb, mint. Melyik ez a szám? 6 B 7 C 5 D 8 3. Egy 3-mal osztható természetes szám kisebb 12-nél. z alábbiak közül melyik ez a szám? 12 B 11 C 10 D 9 4. Hannának 8 tolla van, Dórinak kevesebb, de több, mint Jankának. Jankának 5 tolla van. Hány tolla lehet Hannának? 8 B 5 C 7 D 13 5. Fülöpnek kevesebb pénze van, mint Daninak, Daninak viszont 10 -nál kevesebb pénze van. Fülöpnek több pénze van, mint Gyurinak, akinek 5 -nál több pénze van. Mennyi pénze lehet Fülöpnek? 7 B 10 C 5 D 15 6. Legalább hány eurósra lesz szükségem 10 darab 0,45 eurós zsemlye megvételéhez? 5-re B 3-ra C 4-re D 6-ra 7. Hány kéteurósra lesz szükségem, ha 15 darab 25 centes kiflit szeretnék vásárolni? 3-ra B 4-re C 5-re D 2-re 115

4. Szimmetria a síkban 4.1. tengelyes tükrözés, a szimmetriatengely. z alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése z épületek, házak, boltok, garázsok, a körülöttünk előforduló tárgyak mértani alakzatok. z épületek téglatestek vagy kockák, a háztetők gúlák vagy kúpok, az épületek helyiségeinek falai négyzetek, téglalapok, trapézok, a számítógép képernyője téglalap, a számítógép-asztal lapja is téglalap, az abrosz, az ágynemű, a pokróc mind egy-egy négyzet vagy téglalap Fejtsd meg, milyen mértani alakzatokról van szó az alábbi mondatokban!» Minden házon van, ezen járnak be.» Nélküle az autó meg sem mozdulna.» Egyenes, mint az autópálya.» Légvonalban köt össze két várost.» kés hegyén van. Nyírj ki néhány szép alakzatot üzenetek írásához! Végy egy darab papírt, hajtsd ketté, és nyírj ki belőle egy tetszőleges alakzatot! papír kettéhajtásával egy szabályos szimmetrikus alakzat keletkezik. Íme, néhány egyszerű minta. szaggatott vonal a kettéhajtás helyét mutatja. Ezekről az alakzatokról elmondhatjuk, hogy tengelyesen szimmetrikusak. szaggatott vonal (a papír kettéhajtásának helye) a kinyírt alakzatok szimmetriatengelye (vagy tükörtengelye). Léteznek tengelyesen tükrös szavak is. Például a DOB szó tengelyesen szimmetrikus. DOB TT szó is tengelyesen szimmetrikus. TT 116

Egy tengelyesen szimmetrikus alakzat két egybevágó részből áll. Ezeket egy egyenes (a szimmetriatengely) választja el egymástól. Ha az alakzatot kinyírjuk, és a részeket a szimmetriatengely mentén egymásra helyezzük, a két résznek fednie kell egymást. szimmetriatengelyt t-vel jelöljük. Ha több szimmetriatengelye van, akkor ezek jelölése: t 1, t 2, t 3... Gondolkodtató feladat Írd fel az ábécé összes olyan nyomtatott nagybetűjét, amely tengelyesen szimmetrikus! lkoss legalább négy olyan szót, amely nyomtatott nagybetűkkel leírva tengelyesen szimmetrikus! Gondolkodtató feladat Karneváli díszítést készítünk az osztályunkban ehhez girlandokat gyártunk papírból. Tégy javaslatot ezek előállításának módjára! O M R H K 1. SZIMMETRITENGELYEKET KERESÜNK Állapítsd meg, hogy az alábbi alakzatok közül melyek a tengelyesen szimmetrikusak! 1. megoldás téglalap szabályos háromszög négyzet paralelogramma Ha egy alakzat tengelyesen szimmetrikus, akkor kell, hogy legyen szimmetriatengelye. Szimmetriatengelyeket keresünk azt kutatjuk, hogy az alakzatot fel lehet-e darabolni két egyenlő részre. t 2 t 2 t t 2 4 t 3 t 1 t 3 t1 t 1 e téglalap szabályos háromszög négyzet paralelogramma téglalap tengelyesen szimmetrikus, két szimmetriatengelye van. szabályos háromszög tengelyesen szimmetrikus, három szimmetriatengelye van. négyzet tengelyesen szimmetrikus alakzat, négy szimmetriatengelye van. paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikus alakzat. Feldarabolható 2 egyforma paralelogrammára, de a részek az e egyenes mentén egymásra hajtva nem fedik egymást. 117

2. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS LKZTOK Határozd meg, hogy a következő alakzatok közül melyek a tengelyesen szimmetrikusak: szakasz, egyenes, félegyenes, egyenlő szárú háromszög, derékszögű háromszög, rombusz, egyenlő szárú trapéz, derékszögű trapéz, körlap, körvonal! Írd le, hány szimmetriatengelyük van! Először rajzold le az alakzatokat, és csak azután válaszolj! 2. megoldás feladatot úgy is megoldhatjuk, hogy az alakzatokat egy rajzlapra rajzoljuk, majd a kinyírhatókat kinyírjuk, és megpróbáljuk kettéhajtani úgy, hogy a fél alakzatok fedjék egymást. Tengelyesen szimmetrikus: a szakasz, az egyenes, az egyenlő szárú háromszög, a rombusz, az egyenlő szárú trapéz, a körlap és a körvonal. szakasznak két szimmetriatengelye van. rombusznak két szimmetriatengelye van. z egyenesnek végtelen sok szimmetriatengelye van. z egyenlő szárú trapéznak egy szimmetriatengelye z egyenlő szárú háromszögnek egy szimmetriatengelye van. körnek végtelen sok szimmetriatengelye van. van. feladatot egyszerű következtetéssel is meg tudjuk oldani, ha pontosan ismerjük az alakzat tulajdonságait.. O t 2 B t 1 C D O 2 C t 5 t 4 t 3 D. O B t 1 C t 2. O t B. O 1 t 1 B O t 2 t 1 3. Állapítsd meg, hogy az alábbi virágszerű ábrák tengelyesen szimmetrikusak-e! Ha igen, rajzold meg a szimmetriatengelyeiket! Projektfeladat 3. ábrán látható rajzok mandalák. Keressetek hasonló tengelyesen szimmetrikus ábrákat! 4. z alábbi figurákat fiatalabb tanulók készítették papírból. Állapítsd meg, hogy ezek közül melyek a tengelyesen szimmetrikusak! 4. megoldás feladatot egyszerű következtetéssel is meg tudjuk oldani, ha felsoroljuk, milyen alakzatokból tevődnek össze ezek a figurák, majd meghatározzuk az adott alakzatot és tulajdonságait. Mindhárom ábra tengelyesen szimmetrikus. 118

5. LKZTOKKL JÁTSZUNK a) lkoss négy egyenlő szárú háromszögből egy tengelyesen szimmetrikus alakzatot! Próbálj minél több megoldást találni! b) Van egy 4 cm oldalú négyzeted és négy 4 cm oldalú szabályos háromszöged. lkoss ezekből minél több tengelyesen szimmetrikus alakzatot! Hogyan kell tengelyesen szimmetrikus alakzatot szerkeszteni? Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a t egyenes szerint, ha minden pontjának tükörképe is pontja az alakzatnak. 6. KIEGÉSZÍTŐ Másold át az alábbi háromszögeket a füzetedbe, majd egészítsd ki egy ugyanilyen háromszöggel úgy, hogy tengelyesen szimmetrikus alakzat keletkezzék! a) b) c) 6. megoldás Ez egy könnyű feladat. háromszögek oldalait körzővel és vonalzóval megmérve megszerkesztjük a háromszögeket, majd hozzárajzoljuk ugyanazt a háromszöget. Több megoldás is létezik. Íme, néhány ezek közül: a) b) c) 7. Szerkessz a füzetedbe a) egy négyzetet és egy téglalapot, úgy, hogy egyik oldaluk közös legyen, majd az így kapott alakzatot egészítsd ki tengelyesen szimmetrikus alakzattá! b) egy egyenlő szárú és egy szabályos háromszöget, majd az így kapott alakzatot egészítsd ki tengelyesen szimmetrikus alakzattá! 8. CSILLG Szerkeszd meg a tengelyesen szimmetrikus csillag hiányzó részét! 8. megoldás t szimmetriatengely segítségével, derékszögű háromszögvonalzót és körzőt használva megszerkesztjük az ábrát. csillag meglévő csúcsait, B, C, D, E, F betűkkel jelöljük. Megkeressük a szimmetriatengely másik oldalán ezeknek a pontoknak a szimmetrikus párjait, és, B, C, D, E, F betűkkel jelőljük őket. z adott pontokból merőlegeseket szerkesztünk a szimmetriatengelyre, majd körívek segítségével, úgy jelöljük ki a keresett pontokat, hogy ugyanakkora távolságra legyenek a szimmetriatengelytől, mint az eredeti pontok. körív középpontja a szimmetriatengelyre húzott merőlegesek talppontjában van. z, B, C, D, E, F pontok megnevezése: eredeti vagy ős. z, B, C, D, E, F pontok megnevezése: kép. B, B, C, C, D, D a E, E pontpárokat összetartozó pontpároknak nevezzük a t szimmetriatengely szerint, vagy egyszerűen tengelyesen szimmetrikus pontpároknak. t tengelyen fekvő pontok, tehát az, és az F, F pontokat a t tengely szerinti invariáns (önmaguknak megfelelő) pontoknak nevezzük. C 119 E D B F t.. F. B D E C

9. Egészítsd ki az alakzatokat tengelyesen szimmetrikus alakzatokká! Segítség Jelöld meg az alakzatok csúcsait, és vegyél föl egy szimmetriatengelyt! 10. MEGSZERKESZTJÜK Z 1. HÁROMSZÖGET Szerkeszd meg az BC háromszög képét az B egyenes szerinti tükrözésben, ha a = 4 cm, b = 3 cm és c = 5 cm! 10. megoldás Vonalzó és körző segítségével megszerkesztjük az BC háromszöget. Felvesszük az B szimmetriatengelyt, és megjelöljük a háromszög, B, C csúcsait. z és B pont invariáns pont, tehát, B B. C pontot úgy szerkesztjük meg, hogy a C pontból merőlegest szerkesztünk a szimmetriatengelyre, és a körzőt a merőleges talppontjába szúrva a C pontig terjedő távolságot átvisszük a merőleges másik oldalára. b c. C a B B C 11. Szerkeszd meg a) az BC háromszög tetszőleges képét a BC egyenes szerinti tükrözésben! b) az BC háromszög tetszőleges képét az C egyenes szerinti tükrözésben! 12. MEGSZERKESZTJÜK 2. HÁROMSZÖGET dott egy BC háromszög és a háromszög oldalait nem metsző t szimmetriatengely. Szerkeszd meg az BC háromszög B C képét a t egyenes szerinti tükrözésben! 12. megoldás tengelyes tükrözésben az pont az pont képe, a B a B ponté, a C pedig a C ponté. z BC háromszög B C képe az BC háromszög minden pontjának tükörképét tartalmazza, és ezeken a ponto- kon kívül semmilyen más pontot ot nem tartalmaz. talm az. k 3 t k 3 C. C k 2. k B 1 B k 1 k 2. 13. Szerkeszd meg a) az BC háromszög tükörképét a t egyenes szerinti tükrözésben, ha a t egyenes nem metszi a háromszög oldalait! b) az BC háromszög tükörképét a t egyenes szerinti tükrözésben, ha a t egyenes a háromszög két oldalát metszi! 14. Melyek azok az arab számjegyek, amelyek tengelyesen szimmetrikusak? 120

15. FEJTÖRŐ Keresd meg a táblázat felső sorába írt pontok t tengely szerinti szimmetrikus képének betűjelét! megoldás az alábbi mondat befejezése: Eredeti és kép ez a kultúra és a művészet z alábbi feladatokban a tengelyes szimmetriáról tanultakat kell felhasználnod. t Á C B T K G H M D R Y P F Q eredeti B C F K P Q kép Projektfeladat lkoss számítógépen érdekes tengelyesen szimmetrikus alakzatot! 16. Szerkeszd meg az 5 cm oldalú BCD négyzet szimmetrikus képét az X és Y pontokon áthaladó t egyenes szerint, ha X B és Y BC! 17. Szerkeszd meg a 4 cm és 3 cm oldalú KLMN téglalap szimmetrikus képét a t = KM egyenes szerint! 18. dott egy egyenlő szárú BCD trapéz, amelyben a = 6 cm, b = 4 cm és m = 3 cm. Szerkeszd meg a trapéz szimmetrikus képét a t = C egyenes szerint! 19.* Keresd meg az összetartozó tengelyesen szimmetrikus alakzatpárokhoz a megfelelő szimmetriatengelyeket, majd jelöld meg, hogy melyik az ős, és melyik a kép! a) b) c) d) e) f) g) 121

4.2. középpontos tükrözés, a tükrözés középpontja. z alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése S z előző oldalakon a tengelyes tükrözéssel foglalkoztunk. Most bemutatjuk a középpontos tükrözést. Középpontosan szimmetrikus például az S és a Z betű, sőt az N betű is. Középpontosan szimmetrikus alakzat például a szakasz, a négyzet és a téglalap is. O Z N Miért? Mert van szimmetria-középpontjuk. Jelöljük O-val! B K X Mit tudunk róla? O = O, BO = OB, KO = OK, XO = OX és az,, B, B, K, K, X, X pontok mindegyike az adott alakzathoz tartozik. z, B, K, X pontokat őspontoknak, az, B, K, X pontokat pedig képpontoknak nevezzük. z alakzat középpontosan szimmetrikus az O pont szerint, ha minden pontjának az képe is pontja az alakzatnak. B K X O X O X X B K B K háromszögnek is lehet szimmetriaközéppontja? szabályos háromszög is a középpontosan szimmetrikus alakzatok közé tartozik? 122

z alábbi alakzatok középpontosan szimmetrikusak, de láthatjuk, hogy a középpontosan szimmetrikus alakzatok közt lehetnek tengelyesen szimmetrikusak is. 1. z arab és a római számjegyek közül melyek a középpontosan szimmetrikusak? nyomtatott nagybetűk közül melyek a középpontosan szimmetrikusak? 2. Szerkessz középpontosan szimmetrikus alakzatokat! Jelöld meg a szimmetria-középpontjukat! 3. JÁTSSZUNK FORMÁKKL! a) lkoss négy szabályos háromszögből minél több középpontosan szimmetrikus alakzatot! b) Van egy 3 cm oldalú négyzeted és négy 3 cm oldalú szabályos háromszöged. lkoss belőlük minél több középpontosan szimmetrikus alakzatot! Hogyan szerkesztjük meg egy alakzat középpontos tükörképét? 4. dott egy B szakasz, és rajta kívül egy O pont. Szerkeszd meg az B szakasz O pont szerinti tükörképét! 4. megoldás Fölvesszük az B szakaszt, és rajta kívül az O pontot. Fektessünk egyeneseket a szakasz, B végpontjaiból az O ponton keresztül, majd körzővel vigyük át az O és BO távolságokat az egyenes O ponton túli részére! B O B Milyen az B és B szakaszok kölcsönös helyzete? Egybevágók és párhuzamosak. 5. Szerkessz a) egy 4 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakaszon kívül fekszik! b) egy 5 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakaszon fekszik! c) egy 6 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakasz felezőpontja! 123