6. TURBULENS MODELLEZÉS A CFD-BEN Mi is a turbulencia? A turbulens áramlás a viszkóz áramlások egyik fajtája (3 fajta viszkóz áramlás létezik: lamináris, átmeneti és turbulens). Turbulens áramlás esetén különböző méretű örvénynek különböző időskálán (frekvencián) jelennek meg az áramlásban, amelyek dinamikusan komplex módon hatnak egymásra. Ennek eredményeképpen a sebesség és más folyadéktulajdonságok véletlenszerű módon, kaotikusan változnak az időben, azaz a turbulencia tulajdonképpen egy véletlenszerű instacionáris áramlás. Éppen ezért, a turbulencia matematikai leírása nem egyszerű feladat, sőt, még manapság is - közel 100 évvel a felfedezése után - is aktív kutatás tárgyát képezi. A turbulencia fizikai mechanizmusait az előző fejezetben tekintettük át. Ebben a fejezetben pedig a CFD-ben való szimulálásuk vagy modellezésük gyakorlati oldalával fogunk megismerkedni. A turbulens áramlások megoldása a CFD-ben komoly kihívást jelent, amelyre 3 fő módszer létezik: Turbulens modellezés: - Nem oldjuk meg a turbulens áramlás részleteit, hanem csak az összhatásukat próbáljuk meg modellezni viszonylag egyszerűbb turbulens modellek segítségével. - Fontos: különbség van a szimulálás és modellezés szavak értelme között: - a turbulens instacionáris áramlás szimulálása helyett tulajdonképpen egy fiktív átlagáramlást modellezünk, amely a valós életben talán egyetlen időpillanatban sem jelenik meg. - Előny: szokványos háló sűrűség, azaz viszonylag rövid futási idő (óra/futás nagyságrendben) - A legtöbb mérnöki problémára ezt alkalmazzák manapság a CFD-ben Nagy Örvények Szimulációja (Large Eddy Simulation - LES): - A nagyobb örvények instacionáris áramlásként vannak szimulálva, míg a kisebbek turbulens modellek által modellezve - Előny: a turbulencia pontosabb megjóslása - Hátrány: sokkal sűrűbb hálót igényel hosszabb futási idők (napok/futás nagyságrendben) - Manapság inkább a kutatásban (mint az iparban) használt - 2D és egyszerűbb 3D geometriák esetében használatos Direkt Numerikus Szimuláció (Direct Numerical Simulation - DNS): - minden örvény egy nagyon sűrű hálón van instacionáris áramlásként szimulálva 1
- Előny: a turbulencia akár tökéletesen pontos megoldásához vezethet, amely remekül egyezik a kísérletekkel - Hátrány: nagyon finom hálót igényel, amely számításos szempontból nagyon igényes (hónapok/futás nagyságrendben) - Csak nagyon egyszerű geometriák esetében alkalmazható, pl. határréteg 3D síklapon, stb. Ebben a tantárgyban a módszerek első csoportjával fogunk foglalkozni, azaz turbulens modellezéssel, amely a leggyakrabban használt módszer a mérnöki problémák megoldására az iparban. Ahhoz, hogy megértsük a turbulencia modellezésének elveit, először a következő témákat fogjuk áttekinteni: - a turbulenciával összefüggő alapvető fizikai jelenségeket - a Navier-Stokes egyneletek turbulens modellezésre módosított változatát, - a CFD szoftverekben alkalmazott legnépszerűbb turbulens modelleket - útmutatót a turbulens szimulálások etetében használandó hálózáshoz. 6.1. A turbulenciához köthető fizikia jelenségek A turbulens áramlásoknak két fő fajtája van: turbulens szabad áramlások és turbulens határréteg áramlások. Ezeket fogjuk áttekinteni a következő szakaszokban. 6.1.1. Turbulens szabad áramlások 3 fajta turbulens szabad áramlás létezik: a) keveredési rétegek (mixing layers) b) sugarak (jets) c) csóvák (wakes) Ezek alább vannak felvázolva: 2
KEVEREDÉSI RÉTEG: [n41] u U min U max U min = f ( y b ) SUGÁR: [n42] U max csökken a szimmetriavonalon, mert a körülötte levő nyugalmi állapotú levegő lelassítja u U max = g ( y b ) CSÓVA: [n43] U max u U max U min = h ( y b ) Forrás: a képek J. T. Bakker előadásából lettek átvéve. 3
Megj.: az előző ábrákhoz megadott egyenletekben az f( ), g( ) és h( ) függvények mind függenek az áramlás fajtájától és az áramlási feltételektől. Néhány specifikus esetre ezek analitikus kifejezései megtalálhatóak az irodalomban. 6.1.2. Turbulens határréteg szilárd fal mentén A szilárd fal menti turbulens határréteg áramlások a legtöbb olyan áramlástani problémában előfordulnak, amelyet a CFD-ben próbálunk meg oldani. Rögtön a lényegre törve: a turbulens határréteg 4 rétegből áll, amelyek a következők Réteg neve Vastagság Dominálva : Egyenlet 1. Viszkóz alréteg y + = (0~5) viszkóz hatásokkal (Viscous sublayer) u y 2. Ütköző zóna y + = (5~30) viszkóz & turbulens hatásokkal (Buffer layer) 3. Logaritmus réteg y + = (30~500) turbulens hatásokkal (Log-law layer) 4. Csóvatörvény réteg y + = (500~ ) tehetlenségi hatásokkal (Law of the wake layer) u 1 ln E y umax u 1 y ln A u b ahol az y + és definíciói a következők: y y u amelyben u w u y - von Kármán konstans (Kármán Tódor után), = 0.41 4
A turbulens határréteg rétegeinek grafikus ábrázolása a következő: [n44]: 5
6.2. Az N-S egyenletek turbulens modellezéshez módosított változata A legtöbb mérnöki problémához nem szükségszerű a turbulenciából fakadó tulajdonság-ingadozások (tehát nyomás- sűrűség-, sebesség- stb. ingadozások) megoldása, éppen ezért a turbulens modellezésben ez helyett az időbeni átlagáramlást szimuláljuk, a fluktuációkat pedig ehhez az átlaghoz mérve modellezzük. A turbulens ingadozásokat matematikailag úgy írhatjuk le, mint egy folyadéktulajdonságnak egy átlagértéke körüli fluktuációját, azaz időbeni változását. Például, egy tetszőleges a vektorra értelmezve: a = A + a' (e6.2.) átlag áramlás komponense fluktuálás komponense A fenti koncepciót a N-S egyenletekben a következő folyadéktulajdonságokra alkalmazva: u, v, w, p kapjuk meg a Reynolds-Averaged Navier Stokes (RANS) (Reynolds-Átlagosított Navier-Stokes) egyenleteket. (figyeljük meg, hogy ez esetben a sűrűséget () nem feltételeztük változónak, ), u, v, w, p kapjuk meg a Favre-Averaged Navier-Stokes (FANS) (Favre- Átlagosított Navier-Stokes) egyenleteket. A RANS és FANS egyenletrendszerek teljes alakja elérhető a szakirodalomban, (lásd pl. Versteeg et al 63-65 oldalakat). Viszont, az e6.2. egyenlet alkalmazása (a fenti folyadéktulajdonságokkal) az N-S egyenletben új kifejezések megjelenítéséhez vezet, amelyek a fluktuáló sebesség-komponensek variációit foglalja magába (azaz a u, v, w változók szorzatait). Ezek az extra kifejezések tulajdonképpen feszültségeket jelölnek, amelyeket Reynolds feszültségeknek (Reynolds stresses) nevezünk, s amelyek alakjai a következőek: xx = -u 2 yy = -v 2 zz = -w 2 xy = yx = -u v xz = zx = -u w yz = zy = -v w 6
ahol az aláhúzott értékek átlagértékekeket jelentenek. A Reynolds feszültségek két okból fontosak a turbulens áramlások CFD szimulációjában: 1) Értékeik általában lényegesen nagyobbak, mint a viszkozitással összefüggő feszültségek. Azaz, a turbulencia megjelenése lényegében változtatja meg a folyadékon belüli kölcsönhatásokat. 2) A turbulencia-modellek célja nem más, mint ezen Reynolds feszültségek meghatározása. A CFD-ben használt különböző turbulencia-modellek pedig nem másban, mint ezeknek a Reynolds feszültségeknek a megjóslásában különböznek egymástól. Ezeket a különbségeket fogjuk a következő szakaszokban áttekinteni. De még mielőtt még megtennénk ezt, először vizsgáljuk meg a RANS és FANS egyenletek közti különbségeket az összenyomható gázok szimulálása szempontjából. Mi a különbség a két forma között összenyomható gázok szimulálása szempontjából? RANS: Bradshaw et al (1981) bizonyította be először, hogy a kisebb sűrűségingadozások nem igazán befolyásolják jelentős mértékben az áramlást. Ha a sebesség-ingadozások négyzetes átlaga nem szárnyalja túl az átlagsebesség 5%- át, (azaz, ha u < 0.05U ) akkor akár Mach 3 ~ 5 tartományig a sűrűségingadozások elhanyagolhatóak, azaz Az u < 0.05U sebesség-fluktuációjú áramlásokra, amelyek Mach 3-5-nél nem gyorsabbak, az N-S egyenletek RANS formája használandó (az ilyen szintű fluktuációk tipikusak a határrétegek áramlásakra) FANS: Szabad turbulens áramlásokra (keveredési rétegek, sugarak, csóvák) a sebességfluktuációk akár az u ~ 0.20U értékeket is elérhetik, s ez esetben a sűrűségfluktuációk Mach 1-től kezdődően már jelentősek lehetnek, azaz 7
Azokra az áramlásokra, amelyeknél (u > 0.05U) és amelyek Mach 1-nél gyorsabbak, a N-S egyenletek FANS alakját kell használni. (az ilyen szintű fluktuációk tipikusak a szabad rétegű áramlásokra, azaz pl. keveredési rétegek, sugarak, csóvák esetében) 6.3. Turbulencia modellezése CFD-ben Számos turbulencia modell kifejlesztésére került sor a RANS és FANS egyenletek esetében. Ezek közül is a leggyakrabban használtak a következők: Egyenletek száma Név 0 Mixing length model ( keveredési hossz modell ) 1 Spalart-Allmaras model 2 k model 2 k model 2 Shear Stress Model (SST) ( Nyírófeszültség modell ) 7 Reynolds Stress Model (RMS) ( Reynolds-feszültség modell ) Ebben a tantárgyban nincs elég tér arra, hogy a fenti modelleket mind részleteiben ismertessük. Éppen ezért most csak az előnyeiket és hátrányaikat fogjuk felsorolni azért, hogy a felhasználó a legalkalmasabbat választhassa ki egy konkrét alkalmazáshoz. 1) Mixing length model Előny: - könnyű programozás - számítási szempontból olcsó - alkalmas: vékony nyírórétegek, sugarak, keveredési rétegek, határrétegek megoldásához - jól bejáratott, azaz rengeteg kísérlettel összhasonlított, a modell korlátai teljességgel fel lettek térképezve 8
Hátrány: - nem alkalmas hatérréteg-leválás és recirkuláció megoldásásra 2) Spalart-Allmaras model (Splart & Allmaras, 1992) Előny: Hátrány: - viszonylag egyszerű és számításosan olcsó - alkalmas kedvezőtlen nyomásgradienst ( adverse pressure gradient ) tapasztaló határrétegek megoldásásra (általában ez vezet határréteg-leváláshoz) - alkalmas szárnyprofilok megoldásához - nem megfelelő komplex geometriák modellezésére, ahol a hosszú skálákat (length scale) nehéz definiálni - nem eléggé érzékeny az energiaátadó folyamatok (transport processes) észlelésére gyorsan változó áramlások esetében 3) k-model (Bradshaw, 1981) Előny: Hátrány: - legegyszerűbb turbulens modell, amelyhez már csak a kezdeti vagy peremfeltételek megadása elégséges. - kiváló teljesítmény ipari alkalmazások esetében - jól bejáratott, azaz rengeteg kísérlettel összhasonlított, a modell korlátai pedig teljességgel fel lettek térképezve - igényes programozás (2 extra PDE a nulla-egyenletes modellekhez viszonyítva) - gyenge teljesítmény ezen esetekben: - külső áramlások (azaz csóvák, keveredési rétegek, sugarak, stb. amelyek tipikusak a repülőgépmérnöki alkalmazásokban) - nagy nyúlással (strain) járó áramlások (azaz görbületeken jelentkező határrétegek, örvényáramlások) - forgással összefüggő áramlások - teljesen kialakult áramlások (fully developed flows) nem kör-keresztmetszetű csövekben ROSSZUL MŰKÖDIK FALAK MENTÉN, JÓL A FALAKTÓL TÁVOL 9
4) k-model (Wilcox, 1988) Előny: Hátrány: - jó a falnál - OK külső aerodinamikai problémákra (s nem csak belső áramlásokra) - legjobb modell a hátrafele néző lépcső ( backward facing step ) esetére - kis nem-zéró -t kell megadni a beáramlásnál még akkor is, ha =0, k=0 a beáramlási feltételek - az eredmények nagyban függenek a feltételezett értékétől (ami nagy probléma repülőgépmérnöki alkalmazások esetében) JÓ A FALNÁL, ROSSZ MESSZE A FALTÓL 5) Shear Stress Transport model SST (Menter, 1992) Előny: - kombinálja a k- és k- modellek előnyeit, azaz... - a k- modellt használja távol a falaktól: ezáltal kizárja a beömlésnél beállított turbulens intenzitásra való érzékenységet - k- modellt használ a fal mentén (ez valójában egy k-modell, átalakítva k- modellre a falak mentén) - kiváló a külső aerodinamikai problémák megoldására, azaz - zéró vagy kedvezőtlen nyomás-gradiensű határrétegek, és - szabad nyírórétegű áramlások esetében Hátrány: -?? - talán csak annyi, hogy ez továbbra is csak egy modell?? A LEGJOBB ÁLTALÁNOS MODELL EZIDÁIG 6) Reynolds Stress Model RSM (Lander, 1975) Előny: - a legáltalánosabb az összes klasszikus turbulens modell közül - csak kezdeti vagy peremfeltételek megadása elégséges - megvan benne a potenciál, hogy az ÖSSZES átlagáramlási tulajdonságot pontosan leírja anélkül, hogy állítani kellene a 10
numerikus paramétereken az esetek között - sokfajta összetett áramlás esetében is pontos Hátrány: - számítási szempontból nagyon költséges (7 extra PDE a N-S egyenletek mellett) - nincs annyira bejáratva, mint pl. a k- modell - némely áramlás esetében (pl. tengelyszimmetrikus sugarak, külső recirkulációs áramlások, stb.) szinte ugyanolyan gyenge, mint a k- modell az egyenlet problémái miatt RENGETEG POTENCIÁL: AKTÍV KUTATÁS TÁRGYA! 6.4. Falfüggvények (wall functions) és azok hatása a háló-generálásra Magas Re számoknál (Reynolds szám), ún. falfüggvények (wall functions) használata lehetséges abból a célból, hogy a számítások gazdaságosabbak legyenek. A falfüggvények lehetővé teszik, hogy elkerüljük a modell egyenletek integrálását egészen a falakig. Ezek a helyi fal melletti nyírófeszültséget (u ) viszonyítják a következő paraméterekhez: [n45] - átlagsebesség (u) - turbulens kinetikus energia (k) - disszipációs arány A falfüggvény lehetővé teszi (sőt, megköveteli), hogy a fal melletti első cella magasabb legyen, mint a viszkóz alrétegé (viscous sublayer), azaz, hogy a háló falhoz legközelebb eső vonala a határréteg második rétegében, azaz az ún. ütköző zónában (buffer layer) feküdjön. 11
Hol is pontosan? Az első cella megkívánt minimum magasságát a következőképpen számíthatjuk ki: [n46] Preferred Ez a yp alsó határa, amely alá nem szabad mennünk még akkor sem, ha hálósűrűségi teszteket végzünk. Mivel az első pont az első cella középpontjában fekszik, ezért az első cella teteje (azaz az első hálóvonal) ennek a távolságnak a kétszerese felett (2 x 11,63 = 23.26) kell, hogy feküdjön. Ez okból kifolyólag a gyakorlatban az első hálóvonal ajánlott helyzete: ha falfüggvény van alkalmazva! ycell-line + = (30 500) 12