Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly, ehhez azonban nélkülözhetetlen a felsorolt témakörök elméletének definíció, tétel, eljárás pontos ismerete. A k bizonyítása a középszintű érettségi követelményei között nem szerepel, így a vizsgán sem kérdezzük, de feladatokban a bizonyítási technikák ismerete számon kérhető. 9. évfolyam 1. Halmazok 1.1 Halmazok tulajdonságai, ábrázolása, részhalmaz, valódi részhalmaz 1.2. Halmazműveletek 1.3. Halmazok számossága, számegyenes részhalmazai 2. Algebra 2.1. Algebrai kifejezések 2.2. Hatványozás és azonosságai 2.3. Hatványozás kiterjesztése egész kitevőre, számok normál alakja 2.4. Polinomok, nevezetes szorzatok, polinomok szorzattá alakítása 2.5. Algebrai törtek, műveletek algebrai törtekkel (egyszerűsítés, szorzás, osztás, összeadás) 3. Számelmélet 3.1. Az oszthatóság tulajdonságai, oszthatósági szabályok, prímszámok, összetett számok, a számelmélet alap, osztók száma 3.2. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, relatív prím számok 3.3. Átváltás különböző számrendszerek között 4. Függvények 4.1. Ponthalmazok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben 4.2. Alapfüggvények ábrázolása és jellemzése: lineáris, abszolútérték, másodfokú, négyzetgyök, lineáris tört-, egészrész, törtrész függvény 4.3. Változó- és érték-transzformációk, alkalmazásuk 5. Geometria 5.1. Térelemek kölcsönös helyzete, hajlásszöge, távolsága 5.2. Háromszögekkel kapcsolatos k: szögei, oldalai, összefüggések az oldalak és a szögek között, Pitagorasz 5.3. A négyszögekről: belső és külső szögei, speciális négyszögek és tulajdonságai 5.4. A sokszögekről: átlók száma, belső és külső szögek összege 5.5. Nevezetes ponthalmazok: szakaszfelező merőleges, szögfelező, kör 5.5.1. A háromszög beírt köre 5.5.2. A háromszög köré írt kör 5.5.3. Thalész, körhöz külső pontból érintő szerkesztése, az érintőszakaszok 5.5.4. Érintőnégyszögek, érintősokszögek 1
6. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 6.1. Grafikus megoldási módszerek 6.2. Megoldás mérleg-elvvel 6.3. Törtes egyenlőtlenségek 6.4. Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek 6.5. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek: behelyettesítő és egyenlő együtthatók módszere 6.6. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenletrendszerrel 7. Statisztika 7.1. Az adatok ábrázolása: gyakorisági táblázat, diagramok készítése 7.2. Az adatok jellemzése: módusz, medián, átlag, terjedelem 10. évfolyam 1. Gondolkodási módszerek, kombinatorika 1.1. Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel 1.2. A skatulya-elv 1.3. Sorba rendezési problémák 1.4. Kiválasztási problémák 2. A gyökvonás 2.1. Racionális és irracionális számok 2.2. A négyzetgyökvonás azonosságai 2.3. Alkalmazások: bevitel a gyökjel alá, kiemelés a gyökjel alól, nevező gyöktelenítése 2.4. Az n-edik gyök definíciója 2,5. Az n-edik gyökvonás azonosságai és alkalmazásuk 3. A másodfokú egyenlet 3.1. A másodfokú polinom teljes négyzetté alakítása 3.2. A másodfokú egyenlet megoldóképlete, a gyöktényezős alak 3.3. Gyökök és együtthatók közötti összefüggés 3.4. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek 3.5. Másodfokú egyenlőtlenségek 3.6. Négyzetgyökös egyenletek 3.7. A számtani és mértani közép, összefüggésük 3.8. Szélsőérték- feladatok 3.9. Másodfokú egyenletre vezető problémák 4. Geometria 4.1. Nevezetes ponthalmazok 4.1.1. Középponti és kerületi szögek, összefüggésük 4.1.2. Kerületi szögek, látószögkörív szerkesztése 4.1.3. A húrnégyszögek 4.2.. Egybevágósági transzformációk síkban 4.2.1. Tengelyes tükrözés és tulajdonságai 4.2.1.1. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok 4.2.2. Középpontos tükrözés és tulajdonságai 4.2.2.2 Középpontosan szimmetrikus alakzatok 2
4.2.2.3. Alkalmazások: a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala; a háromszög magasság- és súlyvonalai 4.3. Pont körüli forgatás és tulajdonságai 4.3.1. Alkalmazások: szögek ívmértéke, körív hossza, körcikk területe 4.3.2. Forgásszimmetria 4.4. A vektor fogalma és tulajdonságai 4.4.1. Műveletek vektorokkal: összeadás, kivonás, szorzás valós számmal, a helyvektor 4.5. Párhuzamos eltolás és tulajdonságai 4.6. Alakzatok egybevágósága, háromszögek egybevágóságának alapesetei 4.7. A hasonlósági transzformáció 4.7.1. A párhuzamos szelők és megfordítása, a párhuzamos szelőszakaszok 4.7.2. A szögfelezőtétel 4.7.3. A középpontos hasonlósági transzformáció és tulajdonságai 4.7.4. A hasonlósági transzformáció 4.7.4.1. Alakzatok hasonlósága, a háromszögek hasonlóságának alapesetei 4.7.4.2. Alkalmazások: magasságtétel, befogótétel, érintő- és szelőszakaszok 4.7.4.3. Hasonló síkidomok területének, hasonló testek térfogatának aránya 5. Trigonometria 5.1. Hegyesszögek szögfüggvényei, és összefüggéseik: pótszögek szögfüggvényei, pitagoraszi azonosság, tangens és kotangens kifejezése szinusszal és koszinusszal 5.1.1. Alkalmazások: nevezetes szögek szögfüggvényei, a háromszög területe, összefüggés a háromszög egy oldala, a szemközti szög és a körül írt kör sugara között 5.1.2. Síkbeli és térbeli számítások a szögfüggvények segítségével 5.2. Vektorok 5.2.1. Síkbeli vektorok összetevőkre bontása, bázisvektorok, lineáris kombináció 5.2.1.1 Alkalmazások: szakasz felezőpontjába, harmadoló pontjába, háromszög súlypontjába mutató vektor 5.2.2. Vektorok derékszögű koordináta-rendszerben 5.2.2.1 Vektorok koordinátái, összeg-, különbség-, valós számmal szorzott vektor koordinátái 5.3. Szögfüggvények általánosítása 5.3.1. A szinusz, koszinusz, tangens és kotangens szögfüggvények értelmezési tartományának kiterjesztése tetszőleges forgásszögre (forgó egységvektor segítségével) 5.3.2. A négy szögfüggvény ábrázolása és jellemzése 5.3.3. A szögfüggvények (szinusz és koszinusz) változó- és érték-transzformációi 5.3.4. Egyszerű trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek 6. Valószínűségszámítás 6.1. Események, műveletek eseményekkel 6.2. Gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség 6.3. A valószínűség klasszikus modellje 3
11. évfolyam 1. Kombinatorika, gráfok 1.1. Ismétlés nélküli és ismétléses permutáció 1.2. Ismétlés nélküli és ismétléses variáció 1.3. Ismétlés nélküli kombináció 1.4. Pascal háromszög, binomiális tétel, halmaz összes részhalmazának száma 1.5. Gráfok tulajdonságai, fokszámokra vonatkozó k, teljes gráf éleinek száma 2. Hatvány, gyök, logaritmus 2.1. A törtkitevőjű hatvány definíciója, kapcsolata az n-edik gyökkel 2.2. Az exponenciális függvény és transzformációi, jellemzői 2.3. Exponenciális egyenletek: azonos alapokat tartalmazó vagy ilyenné alakítható, másodfokúra visszavezethető 2.4. Exponenciális egyenleterendszerek 2.5, Exponenciális egyenlőtlenségek (elsőfokúra, másodfokúra, abszolútértékesre vagy törtesre vezető) 2.6. A logaritmus definíciója, kifejezések értelmezési tartományának meghatározása 2.7. A logaritmusfüggvény és transzformációi, jellemzői 2.8. A logaritmus azonosságai: szorzat, hányados, hatvány, gyök logaritmusa, átírás új alapra 2.9. Logaritmikus egyenletek: azonos alapokat tartalmazó vagy ilyenné alakítható, másodfokúra visszavezethető 2.10. Logaritmikus egyenletrendszerek 2.11. Logaritmikus egyenlőtlenségek (elsőfokúra, másodfokúra, abszolútértékesre vagy törtesre vezető) 2.12. Gyakorlati alkalmazások (pl. betétek kamatozása, amortizáció, radioaktív bomlás kormeghatározás) 3. Trigonometria 3.1. Vektorok skaláris szorzata, meghatározása koordinátákkal, vektorok hajlásszöge 3.2. A szinusztétel és alkalmazása 3.3. A koszinusztétel és alkalmazása 3.4. Trigonometrikus egyenletek (egy szögfüggvény egyenlő konstans, két azonos vagy két különböző szögfüggvény egyenlősége, másodfokúra visszavezethető) 4. Koordinátageometria 4.1. Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal 4.2. Két pont távolsága, szakasz adott arányú (felezőpont, harmadolópont) osztópontjának, háromszög súlypontjának koordinátái 4.3. Egyenes irányvektora, normálvektora, irányszöge, iránytangense (meredeksége), párhuzamosság, merőlegesség fel 4.4. Az egyenes normálvektoros egyenlete 4.5. Két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge 4.6. A kör egyenlete, adatainak meghatározása, pont és kör kölcsönös helyzete 4.7. A kör és egyenes kölcsönös helyzete: metszéspontok számítása, a kör adott pontjában rajzolt érintő egyenlete 4
4.8. Két kör kölcsönös helyzete: metszéspontok számítása, körhöz külső pontból húzott érintő egyenlete 5. Valószínűségszámítás 5.1. A klasszikus valószínűségi modell, két esemény összegének valószínűsége 5.2. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel 12. évfolyam 1. Matematikai logika 1.1. Kijelentés, logikai érték, logikai műveletek (negáció, konjunkció, diszjunkció) igazságtábla, tagadásuk és tulajdonságaik 1.2. További logikai műveletek (implikáció, ekvivalencia) igazságtábla, tagadásuk és tulajdonságaik 2. Számsorozatok 2.1. A számsorozat definíciója, megadási módok, tulajdonságok 2.2. A számtani sorozat definíciója, általános eleme, első n tagjának összege, a középső és a két szélső tag kapcsolata 2.3. A mértani sorozat definíciója, általános eleme, első n tagjának összege, a középső és a két szélső tag kapcsolata 2.4. Alkalmazások: pl. kamatszámítás, törlesztőrészletek megállapítása 3. Térgeometria 3.1. Térelemek kölcsönös helyzete, hajlásszöge, távolsága 3.2. Testek osztályozása: poliéderek, hengerszerű testek, kúpszerű testek, gömb 3.3. A terület fogalma, téglalapok, paralelogrammák, háromszögek, trapézok, sokszögek területe 3.4. A kör és részeinek területe (körcikk, körszelet, körgyűrű) 3.5. A térfogat fogalma, téglatestek, hasábok, térfogata és felszíne 3.6. A henger és a hengerszerű testek térfogata, a forgáshenger felszíne 3.7. A gúla és a kúp térfogata, az egyenes gúla és a forgáskúp felszíne 3.8. A csonka gúla és a csonka kúp származtatása, térfogata; az egyenes gúlából származtatott csonka gúla és a forgáskúpból származtatott csonka kúp felszíne 3.9. A gömb térfogata és felszíne 3.10. Egymásba írt testek: gömbbe írt poliéder, poliéderbe írt gömb, gömbbe írt forgáshenger vagy forgáskúp, forgáshengerbe vagy forgáskúpba írt gömb 4. Valószínűségszámítás, statisztika 4.1. Geometriai valószínűség 4.2. Nagyszámú adat osztályba sorolása, osztályköz, osztályközép, kumulált gyakoriság (módusz, átlag, medián, terjedelem, grafikonok) 4.3. A minta szórásnégyzete, szórása 5. Rendszerező összefoglalás Ez a témakör felöleli a teljes középiskolai matematika tananyagot a középszintű matematika érettségi követelményeinek megfelelően. 5