Síkgörbe rudak modellezése, végeselemes szimulációja az Abaqus kereskedelmi végeselemes szoftver segítségével. Oktatási segédlet

Síkgörbe rudak modellezése, végeselemes szimulációja az Abaqus kereskedelmi végeselemes szoftver segítségével Oktatási segédlet Készítette: Kiss László Péter Miskolci Egyetem M szaki Mechanikai Intézet Miskolc 2014. szeptember

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A kutatás a TÁMOP-4.2.4.A/2-11/1-2012-0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program - Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támogatást biztosító rendszer kidolgozása és m ködtetése konvergencia program cím kiemelt projekt keretében zajlott. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társnanszírozásával valósul meg.

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 1.1. Egyszer sít feltevések........................... 1 1.2. Kihajlás................................... 2 1.2.1. Rövid elméleti összefoglaló..................... 2 1.2.2. Modellezési kérdések........................ 3 1.3. Rezgéstani vizsgálatok........................... 6 1.3.1. Rövid elméleti összefoglaló..................... 6 1.3.2. Modellezési kérdések........................ 7 1.4. Az Abaqus felhasználói felülete...................... 9 2. Számpélda 11 2.1. Szimmetrikus kihajlási nemlineáris modell alapján............ 12 2.1.1. A geometria létrehozása...................... 12 2.1.2. Anyag, keresztmetszet....................... 16 2.1.3. Az analízis típusa.......................... 19 2.1.4. Terhelés, peremfeltételek...................... 20 2.1.5. Végeselemes hálózás........................ 21 2.1.6. Futtatás............................... 22 2.1.7. Eredmények............................. 22 2.2. A probléma lineáris sajátérték-feladatként való kezelése......... 26 2.2.1. Eredmények............................. 26 2.3. Nemlineáris modell, antiszimmetrikus kihajlás.............. 27 2.3.1. Eredmények............................. 30 2.4. A szabad- és terhelt rezgések sajátfrekvenciái............... 32 2.4.1. A modell létrehozása........................ 32 2.4.2. Kiértékelés.............................. 34 2.4.3. A terhelés hatása a frekvenciaspektrumra............. 34 A. A programok forráskódjai 35 A.1. Program-1.inp................................ 35 A.2. Program-2.inp................................ 41 A.3. Program-1mod.inp............................. 47 1

A.4. Program-2mod.inp............................. 53 A.5. Program-3.inp................................ 59

1. rész Bevezetés A jelen segédlet körívalakú, lapos síkgörbe rudak stabilitásával és rezgéseivel foglalkozik. Célja egy rövid elméleti összefoglalót követ en lépésr l lépésre bemutatni, hogyan lehet az Abaqus végeselemes szoftver segítségével modellezni ezeket a problémákat. A stabilitási feladatot egy geometriailag lineáris és egy nemlineáris modell segítségével is megoldjuk. Látni fogjuk, hogy a szoftverben lekódolt lineáris modell nagyban túlbecsüli a megengedhet terhelést és arra is rámutatunk majd, hogy a nemlineáris modell segítségével két különböz kihajlási jelenséget is szimulálhatunk. A rezgéstani vizsgálatok során a rudakat egy geometriailag nemlineáris modell segítségével el terheljük és így vizsgáljuk majd a frekvenciaspektrumot. A kit zött feladatok numerikus megoldását Windows 7 operációs rendszer alatt, az Abaqus CAE Student Edition 6.7-2 verzióján keresztül mutatjuk be. Más operációs rendszer és más programverzió használata esetén kisebb-nagyobb eltérések el fordulhatnak. 1.1. Egyszer sít feltevések A feladatok megoldása során az alábbi fontosabb (és rendszerint általánosan elfogadott) egyszer sít feltevésekkel élünk: a rúd anyaga izotróp, lineárisan rugalmas; a rúd lapos, vagyis a támasztávolság legalább négyszerese a rúd magasságának; a rúd egyértelm en jellemezhet középvonalával (súlypontvonalával); olyan a geometria, a terhelés és a megtámasztás, hogy a középvonal végig a saját síkjában marad; a görbületi sugár állandó; 1

1. Bevezetés 2 a stabilitásvizsgálatoknál a rudat a koronapontban m köd koncentrált, állandó nagyságú és függ leges irányú (merev) er terheli kvázistatikusan (az önsúly hatása elhanyagolható); a rezgéstani vizsgálatoknál az önsúly mellett egy koncentrált koronapontba helyezett er is fellép; a rúd állandó keresztmetszet ; a rúd megtámasztása szimmetrikusan elhelyezett, ideális csuklókkal történik. 1.2. Kihajlás 1.2.1. Rövid elméleti összefoglaló 1.1. ábra. Ismeretes, hogy egyenes középvonalú, karcsú, nyomott rudak modellezése esetén számolni kell a kihajlás jelenségével. Ez azt jeleni, hogy bizonyos terhelésnél (ezt szokás kritikus er nek hívni lásd P kr az 1.1. ábrán) a rúdnak több egyensúlyi alakja is lehetséges, és kis megzavarás hatására átkerülhet az els egyensúlyi helyzetb l egy másikba elveszti az els egyensúlyi helyzet a stabilitását. Ez a jelenség (ami egyébként id ben igen gyorsan, dinamikai folyamatként játszódik le) azért kerülend (nemkívánatos), mivel a stabilitásvesztés miatt kialakuló új egyensúlyi helyzetben megváltoznak a bels er k (megn nek az igénybevételek az egyenes rúd esetén hajlítónyomaték lép fel), ami a rúd tönkremeneteléhez vezethet lásd az 1.1 ábrán piros színnel a kihajlott középvonalat. Megjegyezzük egyúttal, hogy az egyenes rúd stabilitásvesztése el tt zérus a rúd tengelyvonalára mer leges elmozdulás. 1.2. ábra.

1. Bevezetés 3 Hasonló jelenség gyelhet meg síkgörbe rudak esetén is, különböz terhelési viszonyok mellett. A jelen segédletben a koronapontban m köd koncentrált, állandó irányú (függ leges) terhel er t (1.2 ábra) tételezünk fel. A vonatkozó irodalom szerint a görbe rudak közül a lapos rudak stabilitási kérdése a legösszetettebb, ugyanis ilyenkor a stabilitásvesztés el tti elmozdulások számottev hatással vannak a kritikus terhelésre, és ezzel összefüggésben a geometriailag nemlineáris modell használata a kívánatos, mivel a lineáris modell alapján meghatározható (adódó) kritikus er jelent sen túlbecsüli a tényleges kritikus terhet. Emiatt pedig a vártnál hamarabb mehet tönkre a szerkezeti elem. Az irodalomban fellelhet nemlineáris modellek tanulsága szerint a szimmetrikus terhelés és megtámasztású lapos síkgörbe rudak kihajlása (stabilitásvesztése) általában kétféleképpen történhet: (a) szimmetrikusan, úgynevezett határ-, vagy limitponti; más néven átpattanásos (snap-through) stabilitásvesztés formájában, de az is el fordulhat, hogy (b) a kihajlott alak antiszimmetrikus az utóbbi az úgynevezett bifurkációs (bifurcation) stabilitásvesztés jelensége. Az említett eseteket az 1.2 ábra szemlélteti: az ábrán a kezdeti rúdalakot kék színnel, a kihajlott alakokat pedig piros (szimmetrikus stabilitásvesztés), illetve zöld színnel (aszimmetrikus stabilitásvesztés) rajzoltuk meg. 1.2.2. Modellezési kérdések Az Abaqus szoftver segítségével, mint említettük, két modell alapján kívánjuk meghatározni a vonatkozó kritikus terheléseket. Lineáris sajátérték-feladat Feltételezzük, hogy a tényleges terhelés valamilyen állandó referencia teher és egy terhelési paraméter szorzata. A számítás során egy homogén lineáris egyenletrendszerrel meghatározott K q = 0 szerkezet sajátérték-feladatot kell megoldani. Azonos az egyenletek és az ismeretlenek száma. A képletben álló szimmetrikus K mátrix a szerkezet merevségi mátrixa, q pedig az (általánosított) elmozdulások csomóponti értékeit tartalmazó oszlopmátrix. A K mátrix a terhelési paraméter függvénye. A sajátérték-feladat megoldása elvben annyi sajátértéket (terhelési paramétert) eredményez, amennyi az egyenletrendszert alkotó egyenletek száma: a K mérete. Minden sajátértékhez tartozik egy (stabilitásvesztés utáni) sajátalak: a megoldást követ en a q tartalmazza a stabilitásvesztés utáni alakhoz tartozó csomóponti általánosított elmozdulásokat. A megoldás során a terhelési paraméter változtatásával (növelésével) kapjuk meg az i-edik lépésben azt a terhelést amelyre nézve szingulárissá válik a merevségi mátrix. A program futtatásakor az az alapvet feladatunk a geometriát és anyagmin séget

1. Bevezetés 4 leíró adatok bevitele mellett, hogy a rúd megfelel (el re kiválasztott) pontjában ez esetünkben a koronapont felvegyük egy mondjuk P 0 nagyságú (nem zérus) referencia terhelést, amit aztán a program a terhelési paraméter változtatásával (növelésével) addig léptet, amíg teljesül (valamilyen numerikus hibával) a fenti egyenlet. A kritikus er az így adódó sajátérték és a P 0 szorzata. A sajátalakok a megoldásból adódó normált q vektorokat jelentik (egységnyi a maximális elmozdulás értéke). A sajátérték-feladat megoldására két iterációs technikát kínál fel a szoftver: altér iteráció és Lánczos-módszer. Egyszer problémáknál nincs közöttük érezhet különbség hatékonyság tekintetében. Ha azonban nagy a vizsgálat tárgyát képez rendszer szabadságfoka (nagy a lehetséges sajátértékek és sajátvektorok száma), akkor numerikus hatékonysága miatt a Lánczos-módszer választása célszer az [1] felhasználói útmutató szerint. Meg kell jegyeznünk ugyanakkor, hogy a jelen eljárás tartogat számunkra bizonyos korlátokat is. Ennek az az oka, hogy a módszer geometriailag lineáris, és emiatt inkább merev szerkezetek kritikus terhelésének számítására célszer alkalmazni, hiszen ezek esetén nem számottev a nyomatéki hatás és a kihajlás el tti deformációk, alakváltozások is elhanyagolhatóan kicsinyek (pl.: Euler-féle nyomott rúd). Ugyanakkor van ennek az eljárásnak egy el nye is: az így nyert sajátalakokat felhasználva tesztelhet a szerkezet imperfekciókra (imperfection) való érzékenysége, továbbá vizsgálható a bifurkációs kihajlás is (lásd kés bb). Nemlineáris er -elmozdulás diagramok Az alapprobléma kinematikailag igényesebb és ebb l kifolyólag pontosabb megközelítéskor (pl. geometriai nemlinearitás) sokat segít a szerkezet viselkedésének megértésében az er -elmozdulás diagram (load-deection curve) megrajzolása ez valójában egyfajta egyensúlyi út (equilibrium path) a szerkezet egy kiragadott pontjára nézve. Ilyenkor a szerkezet egy (adott esetben több) pontjának elmozdulása és a terhel er közötti kapcsolatot szemléltetjük. A 1.3. ábra a lehetséges diagram típusokra mutat négy példát. Ezeket a diagramokat a csuklós megtámasztású, különböz nyílásszög és görbületi sugarú, koncentrált er vel terhelt heterogén anyagú síkgörbe, lapos rudak stabilitását vizsgáló [2] tanulmányból vettük át. A vízszintes tengelyen rendre a rúd koronapontjának sugárirányú elmozdulása, a függ leges tengelyen pedig a terhelés látható. A folytonos vonal az úgynevezett els dleges- (primary), a szaggatott vonal pedig egy lehetséges másodlagos egyensúlyi út (secondary equilibrium path). Az (a) ábrarészlettel jellemezhet rúd nem veszíti el a stabilitását, mivel a függvény meredeksége mindig pozitív: a növekv terheléshez növekv elmozdulás tartozik.

1. Bevezetés 5 1.3. ábra. A (b) jel ábrarészlet üres karikával megjelölt pontja a határponti stabilitásvesztés tipikus pontja. A diagram szerint a határpont után növekv terheléshez csökken elmozdulás tartozik. Mivel ez zikailag nem lehetséges, a rúd átugrik (átpattan) a számításokkal meghatározható P (q) diagram ugyanezen er höz tartozó és a karikával jelölt ponttól jobbra fekv másik stabil pontjába. A rúd alakja azonban szimmetrikus marad a mozgást szaggatott vonal jelzi az ábrán. A (c) diagramon a limitpont utáni tömör fekete szimbólum egy másik, stabilitásvesztés szempontjából kiemelt jelent ség pontot jelöl, az ún. stabil bifurkációs pontot (bifurcation point). Itt elágazna az egyensúlyi út, de most ez nem következik be, ugyanis ez a pont a görbe negatív meredekség részén található, ahol a rúd valójában nem tartózkodhat, hiszen amint arra már fentebb rámutattunk itt csökken er höz növekv elmozdulás tartozik, és ez zikailag irreális (instabil ág). Tehát ez esetben is a határponthoz tartozó er a kritikus er annak ellenére, hogy a bifurkációs ponthoz tartozó kritikus er kisebb. Végül a (d) részleten a bifurkációs pontot érjük el hamarabb, itt pedig bekövetkezhet a kihajlás jelensége: az els dleges egyensúlyi útról letérve, például a szaggatottal rajzolt elágazáson a rúd átkerül(het) egy másik távoli, immáron antiszimmetrikus egyensúlyi helyzetbe. Az Abaqus szoftverrel ezeket a nemlineáris görbéket tudjuk megrajzolni és általuk következtetni a rúd viselkedésére. Az eljárás az ún. módosított Riks-algoritmus. Mint ahogy azt láthattuk az 1.3. ábrán, geometriailag nemlineáris modelleknél gyakran el fordul, hogy az er -elmozdulás diagram negatív merevség szakaszokból is áll. A Riks-módszer (szemben a hagyományos technikákkal) akkor is hatékonyan m ködik, ha

1. Bevezetés 6 a probléma instabil, azaz a vizsgált, formálisan egyszabadságfokú rendszer viselkedése olyan, hogy az elmozdulás n, miközben a terhelés csökken a megoldás el rehaladása során. Ilyen egyszabadságfokúnak tekinthet rendszer pl. a koronaponti er és támadáspontjának függ leges elmozdulása. A módszer lényege, hogy a problémát leíró eredeti nemlineáris egyensúlyi egyenletet (egyenleteket), amelyben az er és az elmozdulása (elmozdulások) az ismeretlen (az ismeretlenek), kiegészíti egy kényszeregyenlettel és ezek metszéspontját keresi meg, esetünkben a Newton-módszerrel. Az Abaqusban a kényszer az egyensúlyi út ívhosszára vonatkozik: azt keressük, hogy milyen er -elmozdulás párnál alakulhat ki valamilyen el írt ívhossz. Az ívhossz ciklikus léptetésével a megoldás ponthalmazként adódik ki. Mi a szoftverrel az ívhossz léptetésére tudunk el írásokat tenni (kezdeti ívhossz, minimális-, maximális növekmény, növekmények száma). Leállási feltétel lehet még egy maximális el írt elmozdulás, vagy maximális terhelési paraméter elérése. A Riks módszer egyik hátránya, hogy a bifurkációs pontokat nem találja meg, ehhez az ún. kezdeti imperfekciók bevezetése szükséges. A másik negatívum, hogy az er növekményeket nem tudjuk befolyásolni ennek léptetése automatikusan történik. Imperfekciókat a geometria, a terhelés, vagy épp a megtámasztás kismérték megzavarásán keresztül vezethetünk be a modellbe. Mi az els esettel foglalkozunk: a tökéletesen szimmetrikus geometriát a lineáris sajátérték-feladat megoldásával nyert els (és egyben antiszimmetrikus) sajátalakkal fogjuk megzavarni, mivel ez a jelleg összhangban van a [2] cikk eredményével. Habár ez a megoldás nagyságát tekintve normált, ezt meg kell majd változtatni. Ezt szabványok ajánlása alapján lehet megtenni lásd pl.: [3]. Mint ahogy az a kés bbiek során ki fog derülni, ezt a lépést jelenleg sajnos nem lehet az Abaqus grakus felületér l végrehajtani, szöveges editálás szükséges hozzá. Az imperfekciók nagyságának változtatgatásával a szerkezet tökéletlenségekre való érzékenységét is lehet tesztelni. 1.3. Rezgéstani vizsgálatok 1.3.1. Rövid elméleti összefoglaló Ismeretes, hogy gerjesztés hatására a testek rezgéseket végeznek például mikor megütünk egy hangvillát. A mérnöki gyakorlatban az üzemeltetési körülmények között kialakuló rezgések rendszerint nem kívánatos jelenségek. Gondoljuk például arra, amikor beindítjuk egy régebbi autó motorját: a vibrációkat lehet érezni az utastérben. Persze nem csak kényelmi, hanem biztonsági szempontok is szerepet játszanak a tervezéskor. Minden testnek vannak úgynevezett saját-, vagy természetes frekvenciái (natural/eigenfrequencies). Az ilyen frekvenciákon való gerjesztés (rezgetés) hatására a testekben energia halmozódik fel és a kezdeti, egyensúlyi állapot körül végzett kis amplitúdójú rezgésekb l fokozatosan egyre nagyobb kitérés lengések alakulnak ki.

1. Bevezetés 7 Ezt nevezik rezonanciának (resonance). Amennyiben az amplitúdó túlzottan megn, rezonancia katasztrófa (resonance catastrophe) következhet be, ami a rendszer összeomlását jelentheti lásd Tacoma Narrows, 1940. Elengedhetetlen tehát ismerni a testek sajátfrekvenciáit a jelenség elkerülése érdekében. Egyenes rudak végezhetnek külön longitudinális (hosszirányú) és transzverzális (keresztirányú) lengéseket. Homogén és heterogén anyagú síkgörbe rudaknál azonban nem különül el a két jelenség, hanem kapcsoltan jelentkeznek: a lengésekhez egyszerre tartozik normálirányú és tangenciális irányú elmozdulás. Ilyenkor például a [4], [5] tanulmányokban bemutatott módon matematikailag egy sajátértékfeladat megoldásából nyerhetjük a sajátfrekvenciákat és a hozzájuk tartozó sajátalakokat (eigenshapes), vagy más szóval lengésképeket. A rudak terhelése nagyban befolyásolhatja, úgymond elhangolhatja a frekvenciaspektrumot, így mindenképpen gyelembe kell venni az ilyen körülményeket is a modellezés során. Az el bb idézett cikkek alapján érdekességként megemlíthet, hogy bizonyos rúdgeometriáknál tapasztalható az úgynevezett frekvenciaváltás jelensége. Ez azt jelenti, hogy sorrendben például a második legkisebb sajátfrekvenciához a harmadik sajátalak tartozik megoldásként és fordítva. 1.3.2. Modellezési kérdések Az Abaqus szoftver segítségével lehet ség nyílik szerkezetek, szerkezeti elemek természetes - és terhelt frekvenciáinak számítására egyaránt. A program a rezgések frekvenciáit egy lineáris sajátérték-feladat numerikus megoldásából származtatja. Az el terheléséb l származó hatásokat geometriailag nemlineáris modell használatával tudja csak gyelembe venni oly módon, hogy a terhelés hatására kialakuló új statikai egyensúlyi állapot a kiinduló geometria a frekvencia analízis során. Amennyiben ideális, csillapítatlan dinamikai rendszert vizsgálunk, a kérdéses sajátfrekvenciákat egy ( ω 2 M + K ) φ = 0 alakú diszkretizált feladat közelít megoldásából származtatja a szoftver. Itt M a szerkezet tömegmátrixa, K a merevségi mátrix, ω a sajátkörfrekvencia és φ a sajátvektor (a csomóponti normált elmozdulásokat tartalmazó vektor). Az el terhelés a merevségi mátrixra van hatással. A sajátértékek megkeresésére most is a korábban már említett algoritmusok használatával (pl. Lánczos-módszer) van lehet ség. A kit zött rúdfeladat egyszer volta miatt ezek között sem gyorsaságban, sem pontosságban nem tapasztalhatunk különbségeket. A megoldási algoritmusról b vebb ismertetést az [1] leírásban olvashatunk. A hivatkozott [4], [5] munkák és az Abaqus modellje között van néhány alapvet különbség, amit érdemes itt kihangsúlyozni:

1. Bevezetés 8 a cikkekben a terhel er nek (és az általa okozott nyúlásnak) feltevés szerint elhanyagolható az egyensúlyi helyzetre tett hatása; az Abaqus el terhelésnél geometriailag nemlineáris modellt használ. Ebb l fakadóan minél nagyobb a terhelés, várhatóan annál nagyobbak a nyúlásbeli különbségek a cikkekben közölt lineáris modellel szemben. A cikkekben a frekvenciákat a terhelés a nyúláson keresztül befolyásolja, míg az Abaqusnál magát az er t tudjuk változtatni; az Abaqusnál nem ismert pontosan az er -nyúlás összefüggés; a cikkekben a középvonal menti nyúlás állandó, a szoftverben nem; Mindezen eltérések ellenére látni fogjuk a bemutatásra kerül számpéldán keresztül is, hogy igen jó az egyezés a különböz modellek között.

1. Bevezetés 1.4. 9 Az Abaqus felhasználói felülete A szoftver elindítása után az alábbi képerny fogad minket: 1.4. ábra. Itt jegyezzük meg, hogy elvárás az olvasótól (a leend felhasználótól) az angol nyelv megfelel ismerete, mivel a program gra kus felületének angol nyelv ek a feliratai. Az egyes lépések szöveges magyarázata során általában nem írjuk ki az angol kifejezéseket, hanem magától értet d en használjuk majd a magyar ekvivalenseket. A számokkal megjelölt képerny területek a felület f bb összetev i: 1. Gra kus felület. Itt láthatjuk a létrehozott modellt (a geometriát, a terheléseket, megtámasztásokat, stb.) 2. Modul sáv. A szoftver moduláris felépítés, mindegyik modulban más és más beállításokat végezhetünk el. Ezek közül a számunkra legfontosabbak rendre a következ k: Part (geometria létrehozása) Property (anyag, keresztmetszet de niálás) Assembly (alkatrészekb l globális geometriát lehet itt összeállítani)

1. Bevezetés 10 Step (a végrehajtandó analízis kiválasztása) Load (terhelések, peremfeltételek megadása) Mesh (végeselemes diszkretizálás) Job (analízis lefuttatása) Visualization (eredmények kiértékelése). 3. Menü sáv. A legtöbb beállítás innen érhet el. A modulok közti váltással együtt változnak az itt felkínált lehet ségek is. 4. Modellfa. Itt követhetjük nyomon az elvégzett beállításokat, és innen is elérhet k bizonyos funkciók. 5. Eszköztár. Az aktív modultól függ, leggyakrabban használt funkciók gy jt helye. 6. Párbeszédablak. A szoftver a végrehajtott m veletekr l itt közöl szöveges meger sítést, továbbá szöveges parancsokat is megadhatunk ugyanezen a helyen. A jelen segédletben következetesen mindig a Menü és a Modul sávokat fogjuk használni. Megjegyezzük azonban, hogy kell rutinnal elérhet a funkciók nagyrésze a Modellfából, vagy az Eszköztárból is. A végrehajtandó parancsokat ún. Verbatim stílussal emeljük majd ki a továbbiakban annak érdekében, hogy jobban elkülönüljenek a magyarázó szövegekt l. A Menü\Almenü jelleg utasítások mindig a Menü sávból hajtandók végre. Felhívjuk a gyelmet arra a körülményre is, hogy vannak olyan funkciók, amik nem érhet k el a program grakus felületér l. Ilyenkor szövegszerkeszt vel kell majd módosítani a szöveges input fájlt (lásd a kés bbiekben). Új modell készítésekor az Abaqus CAE elindítása után megjelen ablakban mindig válasszuk a Create Model Database lehet séget. Célszer ezt követ en (és bizonyos id közönként rendszeresen) menteni a menüb l: File\Save. Egyúttal ajánlott beállítani azt a mappát is, ahol a program az eredmény- és napló fájlokat fogja tárolni. Erre a File\Set Work Directory úton van lehet ség. Érdemes minden fájlt ugyanazon mappában tárolni, mivel a kés bbiekben szükség lesz rájuk. Fontos azt is ehelyütt megemlíteni, hogy a végeselemes szoftvereknél rendszerint nekünk kell gondoskodni a bemen adatok dimenziójának helyességér l, a programok ugyanis a mértékegység beállításból következ mértékegységben szolgáltatnak eredményt. Jelen segédletben a milliméter és a Newton a preferált egységek, így az eredményeket is ezekkel összhangban kapjuk majd meg. Ezen kívül megjegyezzük azt is, hogy alapértelmezetten a program a tizedes pontot használja (a tizedes vessz helyett). Terhelések, peremfeltételek, modellek, stb. elnevezésekor kerüljük az ékezetes bet ket.

2. rész Számpélda A jelen szakasz demonstrálja a stabilitási és rezgéstani vizsgálatok valamennyi lépését. Érdemes emiatt külön gyelmet fordítani rá, és oly módon olvasni át a szöveget, hogy egyúttal a számítás megismétlésére is sort kerít az olvasó. A 2.1. ábrán látható egy lapos, O görbületi középpontú, állandó R görbületi sugarú, 2ϑ nyílásszög csuklós rúd középvonala kék színnel, és a koronapontban m köd terhelése piros színnel. Utóbbi egy koncentrált, állandó P nagyságú, iránytartó er. A rúd keresztmetszete téglalap, amelynek szélessége a, magassága b. Az egyszer ség kedvéért legyen 2.1. ábra. R = 900 mm; ϑ = 20 ; a = b = 10 mm. A rúd anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas acél. A rugalmassági modulus E = 200 000 N/mm 2, a Poisson tényez ν = 0.3, a s r ség pedig ρ = 7.8 10 9 t/mm 3. Meg kívánjuk határozni egy lineáris és egy nemlineáris modell alapján, hogy mekkora az a legnagyobb terhelés, amit a rúd még kihajlás nélkül képes elviselni. Az ellen- rzés kedvéért megadjuk, hogy a [2] cikkben bemutatott és kiértékelt, Euler-Bernoulli 11

2. Számpélda 12 hipotézist használó nemlineáris modell szerint a szimmetrikus és az antiszimmetrikus kihajláshoz tartozó kritikus teherre rendre a P sz = 7 719.83 N; P a = 6 689.94 N eredmények adódtak. A vonatkozó er -elmozdulás diagram szerint várhatóan az antiszimmetrikus kihajlás következik be hamarabb, így P a a megengedhet terhelés maximuma (1 a biztonsági tényez ) visszautalunk itt a jelleghelyes 1.3. (d) ábrarészletre. További feladat a rúd els néhány természetes- és terhelt frekvenciájának a meghatározása. A [4] cikk alapján, amennyiben a koncentrált er zérus érték f 1 = 225.5 Hz, f 2 = 478.8 Hz, f 3 = 863.3 Hz, f 4 = 924.5 Hz, ha pedig a terhel er nagysága 1 477 N az f 1 = 201.8 Hz, f 2 = 458.2 Hz, f 3 = 861.2 Hz, f 4 = 901.3 Hz. referencia eredményeket tudjuk megemlíteni. 2.1. Szimmetrikus kihajlási nemlineáris modell alapján Indítsuk el az Abaqus CAE programot. Készítsünk egy új modellt, aminek a neve legyen stabilitas1.cae a cae kiterjesztés kötelez. 2.1.1. A geometria létrehozása Els lépésként rajzoljuk meg a rúd geometriáját. Ezt az alapértelmezett Part modulban az alábbi lépések eredményeként tudjuk megtenni: Part\Create... Itt a 2.2. ábrával összhangban válasszuk ki, hogy a geometria egy síkbeli, alakváltozásra képes középvonal lesz, aminek a becsült jellemz mérete 5000 [mm] így kényelmesen elférünk majd a rajzterületen. A Continue... (folytatás) gombra kattintva azt tapasztalhatjuk, hogy a rajzolást megkönnyítend, az eszköztáron megváltoztak az ikonok és a fels Menüsáv feliratai is. Az is meggyelhet, hogy az xy síkot kínálja fel a program a rajzolásra.

2. Számpélda 13 2.2. ábra. Válasszuk az Add\Arc\Center/Endpoints lehet séget. Ekkor körívet tudunk készíteni három jellemz pontjának (közép-, kezd - és végpont) megadásával. Ezek helyét az egér bal gombjával tudjuk egyenként kijelölni. Rajzoljuk meg ránézésre nagyjából helyesen a körív jobb oldali felét (2.3. ábra). 2.3. ábra.

2. Számpélda 14 A pontos méreteket az Add\Dimension parancs választása után tudjuk megadni: kattintsunk az ív egy tetsz leges pontjára, majd egy semleges helyre a rajzterületen. Közvetlenül a grakus felület alatt be tudjuk írni a sugarat: New dimension: 900 (mm-ben) lásd a 2.4. ábrát. Ezt az Enter gomb leütésével tudjuk jóváhagyni. 2.4. ábra. A félnyílásszög megadásához szükségünk van két segédvonalra: Add\Line\Connected Lines. Ezután kattintsunk el ször az ív bal oldali végpontjára, a görbületi középpontra, majd a másik végpontra. Ezt a m veletet az Add\Dimension parancs követi: mutassunk rá a két egyenesre és írjuk be a rajzterület alatt megjelen New dimension: részhez a helyes 20 -ot. Az eredmény a 2.5 ábrán követhet.

2. Számpélda 15 2.5. ábra. Annyi feladatunk maradt, hogy tükrözzük a körívet a függ leges egyenesre, és letöröljük a segédvonalakat. Edit\Transform\Mirror A rajzterület alatt ki kell választani, hogy másolni (Copy), vagy áthelyezni (Move) kívánjuk a geometriát. Értelemszer en most az el bbi opcióval éljünk. Ezután jelöljük ki az egérrel a tükrözés tengelyét (a függ leges egyenest), majd a tükrözni kívánt ívet. Ha jól csináltuk, ezeket kiemeli piros színnel a program. Ha sikerült, a Done (kész) parancsra kattintva az alábbi ábrát kell látnunk:

2. Számpélda 16 2.6. ábra. A segéd- (és akár a méret)vonalak kitörlését az Edit\Delete-tel tehetjük meg: jelöljük ki egyszerre a nemkívánatos objektumokat, majd háromszor a Done gombra kattintva a végleges geometriával szembesülünk: 2.7. ábra. Ezzel a Part modul használatának végére értünk. 2.1.2. Anyag, keresztmetszet A Property modulban tudjuk megadni az anyagkarakterisztikát, az anyagjellemz ket, a rúdkeresztmetszet jellegét és dimenzióit, valamint a keresztmetszetek, anyagok és

2. Számpélda 17 rúdszakaszok egymáshoz rendelését is. A Material\Create... felugró ablakában az anyagot nevezzük el acelnak (Name: acel). A lineárisan rugalmas anyag jellemz it a Mechanical\Elasticity\Elastic fül alatt tudjuk beírni összhangban a 2.8. ábrával Young's modulus = 2 10 5 [N/mm 2 ], Poisson's ratio = 0.3. Vegyük észre, hogy a program eleve az izotróp anyagi viselkedést kínálja fel a Type alatt. 2.8. ábra. A keresztmetszet megadására a Profile\Create... menüben van lehet ség. A szelvény neve legyen negyzet, a típus ezzel összhangban Rectangular. A méretek a korábban felvett adatok szerint a = b = 10 [mm]. Figyeljük meg, hogy a 2.9. ábrán a keresztmetszet lokális tengelyei 1 és 2 nev ek. Mi az 1-es tengelyt tekintjük a hajlítás tengelyének. Ennek hamarosan jelent sége lesz. (Négyzet keresztmetszetnél ennek a választásnak persze nincs igazán következménye, hisz a másodrend nyomatékok ugyanakkorák.)

2. Számpélda 18 2.9. ábra. Válasszuk most a Section\Create lehet séget, ahol, mivel hajított-nyírt rúdról van szó, a Beam-re lesz szükségünk ezt jelöljük meg mindkétszer. A jóváhagyás után megnyíló ablakban egymáshoz kell rendelni az anyagot és a keresztmetszetet el bbi acel, utóbbi negyzet nev. Ennek a lépésnek akkor van nagyobb jelent sége, ha a rúd nem állandó keresztmetszet, vagy változnak az anyagjellemz k a hossz mentén. Hátra van még a keresztmetszet rúdszakasz(ok)hoz rendelése: Assign\Section, majd jelöljük ki a teljes rudat és nyugtázzuk az ablakot. Ha jól csináltuk, a rúd halvány kék szín re változott. Végül az Assign\Beam Section Orientation következik. Jelöljük ki a teljes rudat és gy z djünk meg arról, hogy a nyílfolyam iránya folytonos-e (2.10. ábra). Ha nem, akkor azt rúdszakaszonként korrigálni kell oly módon, hogy a hajlítás tengelyéül választott 1-es tengelyt (a rúd síkjára mer leges egységvektort) rúdszakaszonként azonos formában adjuk meg az xyz koordinátarendszerben. Ez a e z egységvektorral kijelölt (a monitor síkjába befelé mutató) irány az ábrán. Amennyiben nem biztosítjuk a folytonos körüljárást a teljes rúdon, úgy az igénybevételeket hibásan fogja számítani a program (szakadás fog tévesen megjelenni). 2.10. ábra.

2. Számpélda 19 Ha helyesen jártunk el az el bb, az alábbi ábrát kellett kapnunk (az 1,2 és t tengelyek jobbsodrású lokális rendszert határoznak meg utóbbi kett meggyelhet a 2.11. ábrán, ha ránagyítunk): Lépjünk át az Assembly modulba. 2.11. ábra. A Instance\Create... lehet séget választva hagyjuk jóvá a felugró ablakot. Az Assembly modulnak szerepe igazából több alkatrészb l álló szerkezeteknél van a különálló elemekb l itt lehet globális geometriát készíteni. Esetünkben a lépésnek nincs érezhet hatása, ugyanakkor a jóváhagyás elmulasztása programhibát eredményezhet. Kényelmi szempontból a Tool\Set\Create... menüben készítsünk két csoportot: a szelsok nev az ív két végpontját tartalmazza, a korona nev pedig magát a koronapontot. Több pont kijelölését a Shift billenty nyomvatartása mellett tehetjük meg az egérrel. 2.1.3. Az analízis típusa A Step modulban (lépés) a végrehajtandó analízis(ek) típusát (pl. statikus, dinamikus stb.), azok részleteit és ha szükséges, azok sorrendjét tudjuk beállítani. Érdemes ezen a ponton más néven is elmenteni az eddig végzett munkát, mivel a célul kit zött megoldandó feladatok eltérnek egymástól ebben a szakaszban. Válasszuk a Step\Create... menüt. A lépés neve legyen stabilitas. A keresett nemlineáris er -elmozdulás kapcsolatot, mint ahogy azt az 1.2.2. szakaszban is említettük, a program a Riks módszerrel tudja megtalálni: Procedure Type: General\ Static, Riks. A következ ablakban az Nlgeom:On választást eszközöljük: így a modell geometriailag nemlineáris. Az analízis részleteit az Incrementation fülre lépve tudjuk megadni. A number of increments az ívhossz növekmények számát jelenti. Az eggyel lejjebb lév sorban rendre a kezdeti, a minimális és a maximálisan megengedett

2. Számpélda 20 növekményt tudjuk el írni. Ha nem megfelel en választjuk meg a paramétereket el fordulhat, hogy (a) elnagyolt, pontatlan eredményeket kapunk, (b) nem lesz konvergens a futás, (c) megn a gépid és (d) tévesen nem találkozunk instabilitással, miközben az el fordul. A mostani számpéldánál (teszt futtatások eredményeib l kiindulva) a 2.12 ábra szerint járjunk el: 2.12. ábra. Megjegyzés: egy négy magos Intel Core i7-3720qm processzorral és 8 GB memóriával rendelkez számítógépen 49 másodpercig tartott a kész program futtatása. Kevésbé korszer számítógépeknél célszer lehet megemelni a maximum increment (maximális növekmény) értékét és ezzel együtt csökkenteni a number of increments (növekmények száma) mez t ekkor a számítás valamivel bizonyára pontatlanabb, ám gyorsabb lesz. 2.1.4. Terhelés, peremfeltételek A Load modul nyújt lehet séget a terhelések (load) és peremfeltételek (boundary conditions) deniálásához. Jelen példánál (mivel nem tudjuk mekkora valójában a kritikus er ) elég a megfelel helyen és irányban felvenni egy egységnyi terhelést tehát a koronapontba egy lefelé mutató, merev er t. Ehhez a Load\Create... ablakban nevezzük el koncentralt-ero-nek a terhelést, amit a stabilitas nev lépésnél kívánunk m ködtetni a kezdeti (initial) állapot terheletlen.

2. Számpélda 21 Típusa Mechanical\ Concentrated force. Ezután a képerny jobb alsó részén látható Sets... gombra kattintva válasszuk a korona elnevezés, korábban deniált 'csoportot' (ebben a pontban ébred a terhelés), ahol a CF2 (tehát y-irányú) er komponens értéke legyen -1 (lefelé mutató). Peremfeltételeket a BC\Create... menüb l tudunk el írni. A csuklo nev kinematikai el írás típusa Mechanical\ Displacement. A jóváhagyást követ en a Sets... gombra kattintva válasszuk a szelsok nev csoportot. Ehhez kapcsolódóan az U1 (x-irányú) és U2 (y-irányú) elmozdulások értéke értelemszer en 0-nak választandó. 2.1.5. Végeselemes hálózás A Mesh modulban kerül sor a diszkretizálásra, vagyis a végeselemes hálózásra. A rúdelemek izoparametrikusak, azaz mind a geometriát, mind az elmozdulásmez t azonos rendben (pl. lineárisan, kvadratikusan, stb.) közelítik. Van mód az Eluer-Bernoulli és a Timoshenko rúdelméleten alapuló elemek használatára is. Mi a görbült geometriára való tekintettel és a pontosabb eredmények szándékával három csomópontú, másodfokú síkbeli Timoshenko elemeket (B22) fogunk alkalmazni, de természetesen többfajta elem is kipróbálható, tesztelhet. Végeselemes számításokat mindig célszer legalább három különböz hálózási s r séggel elvégezni azonos elemek mellett, a hiba kézben tarthatósága, számíthatósága érdekében. Legel ször is a modulválasztó sávon váltsunk az Object: Part-ra. Ennek eredményeként megjelenik a lapos-rud felirat. A Seed\Part... menüben meg kell adnunk egy jellemz elemméretet (Approximate global size:). Ide beírva bármilyen számot, majd az Apply gombra kattintva láthatóvá válnak az elemek, így könnyedén megítélhet a választás helyessége. Ez az érték legyen most 10. A Mesh\Element type parancs után az egész rudat kijelölve a használni kívánt elem típusát tudjuk megadni. Az eredetileg felkínált lehet ségek közül a Geometric order-t változtassuk Quadratic-ra. A kiírás szerint ennek az elemnek a vágyott B22 a kódja. Utolsó teend nk, hogy a beállításokat érvényesítsük a geometrián. Ezt a Mesh\Part... pontból érhetjük el, a grakus ablak alján feltett kérdésre adott Yes válasszal. Célszer a Tools\Query... felugró ablakából a Part mesh opciót választva ellen- rizni a felosztást. Eszerint a rúd 62 darab B22-es elemb l és 125 csomópontból áll.

2. Számpélda 22 Ezzel elkészült az els program. 2.13. ábra. 2.1.6. Futtatás A Job modulba átlépve tudjuk lefuttatni a programot. A szükséges lépések: Job\Create... Name: program-1 Continue... OK. Végül a Job\Submit\program-1 paranccsal átadjuk analízisre a mechanikai problémát. A párbeszédablakban (a képerny alján) a Job program-1 completed successfully felirat jelzi, ha az eredmények rendelkezésre állnak. A Job\Results\program-1 lehet séget választva átkerülünk a Visialization modulba és kezd dhet a poszt-processzálás. 2.1.7. Eredmények Kezdetben a deformálatlan rúdalakot láthatjuk. A legutolsó terhelési lépéshez tartozó deformált alak is megjeleníthet a Plot\Contours\On Both Shapes opcióval. Alapértelmezetten a színek a von Mieses feszültség eloszlását szemléltetik. A deformációkat a program felnagyítva mutatja.

2. Számpélda 23 2.14. ábra. Minket az er -koronaponti elmozdulás diagram érdekel a kritikus teher meghatározásának érdekében. Ehhez válasszuk a Tools\XY Data\Create...\ODB field output-ot. A Variables fülön az alábbi ábrával egyez en legyen a Position:Unique Nodal és pipáljuk be a függ leges er t, illetve az ugyanilyen irányú elmozdulást: 2.15. ábra.

2. Számpélda 24 Az Elements-Nodes fülön hajtsuk végre az alábbiakat: Method: Node sets, Name: korona. Mentsük el (Save) a változásokat, majd zárjuk be (Dismiss) az ablakot. Ezt követ en a Tools\XY Data\Create...-be visszatérve válasszuk az Operate on XY data lehet séget és a fels mez be írjuk be az itt látható parancsot: 2.16. ábra. Így egy koronaponti-elmozdulás terhel er diagramot tudunk készíteni a meglév számítási adatokból. A -1-es szorzótényez t azért célszer odaírni mindkét taghoz, mert a globális vonatkoztatási rendszerben mindkét mennyiség negatív el jel, így ezt korrigáljuk (nagyságokat jelenítünk meg). Mentsük el (Save As...) a beállításokat ero-elmozdulas néven és zárjuk be az ablakot. A diagram a Tools\XY Data\Plot\ero-elmozdulas módon jeleníthet meg:

2. Számpélda 25 2.17. ábra. Az input adatokkal összhangban a vízszintes tengelyen lév elmozdulás (displacement) milliméterben, a függ leges tengelyen mért terhel er (force) Newtonban értend. A kritikus (limitponti) teher ugyan leolvasható, de célszer inkább kinyerni a számadatokból, így is minimalizálva a hibát. Erre a Tools\XY Data\Edit\ero-elmozdulas úton van lehet ség. Az X oszlop a vízszintes tengelyen ábrázolt adatsor, az Y pedig a függ legesen. Keressük ki a maximális er t. Ezt a 92. növekménynél értük el: P sz = 7 736.72 N; a hozzá tartozó függ leges koronaponti elmozdulás pedig u sz (P sz ) = 26.4684 mm. 2.18. ábra.

2. Számpélda 26 Ha visszaidézzük a korábban közzétett [2] cikkbeli megoldást, ami 7 719.82 N, megállapítható a kiváló egyezés. 2.2. A probléma lineáris sajátérték-feladatként való kezelése Ennek a szakasznak kett s célja van: egyrészr l, hogy megtudjuk mekkora megengedhet terhelést jósol az Abaqus szoftver, ha a geometriailag lineáris feladatot egy lineáris sajátérték-feladatként kezeljük. A másik, hogy az 1.2.2. szakasszal összhangban, az igényesebb, s egyben nemlineáris modellnek a megzavarását az innen nyert els sajátalakkal fogjuk megoldani. Miután minden korábbi munkát elmentettünk, készítsünk egy új modellt az Abaqussal a File\New lehet séggel. Ennek neve legyen stabilitas2.cae. Ismételjük meg a 2.1.1-2.1.2 szakaszokban taglalt lépéseket. Ezeket követ en a 2.1.3 helyett az alábbiakban leírtaknak megfelel en járjunk el. Tehát a Step modulban a Step\Create... menüben a lépést nevezzük el stabilitas-buckling nak, ezzel együtt válasszuk a Procedure type: Linear perturbation\ Buckle lehet séget. Továbblépve a menüben rögtön meggyelhet, hogy a geometriai nemlinearitást nem tudjuk bekapcsolni. Az ablakban a Number of eigenvalues requested: értékéhez írjunk egy 4-es számot, majd nyugtázzuk. Ez azt jelenti, hogy az els négy sajátérték (ami arányos a kritikus er kkel) és sajátalak érdekel minket. Ezt követ en a program felépítése folytatódhat a 2.1.4-2.1.6 pontoknak megfelel en, annyi különbséggel, hogy a job (munka) neve majd program-2 legyen! 2.2.1. Eredmények A sikeres futtatás után a Visualization modulban kapcsoljuk be ismételten a Plot\Contours\On Both Shapes opciót. Ezután a Result\Step/Frame lehet séget választva a menüben meggyelhetjük a sajátértékeket (EigenValue) és a sajátalakokat is, ha kijelöljük a megfelel oszlopot és az Apply gombra kattintunk:

2. Számpélda 27 2.19. ábra. Eszerint az els sajátérték 7 469.5-szerese az általunk megadott, 1 N nagyságú referencia er nek és az els sajátalak antiszimmetrikus. Ezzel szemben a második sajátérték 16 534 N, amihez szimmetrikus rúdalak tartozik. Ezek a számértékek, de f leg az utóbbi, a [2] modell 6 689.94 N és 7 719.82 N nagyságú jóslatait jócskán túlbecsülik, és nem a biztonság javára. 2.3. Nemlineáris modell, antiszimmetrikus kihajlás A most következ feladatok egy része nem végezhet el az Abaqus grakus felületén keresztül. Emiatt a szöveges input fájlok (.inp) editálásával fogunk foglalkozni. Erre alkalmas például a Windows rendszerek részét képez Jegyzettömb, vagy WordPad is. Célunk, hogy a lineáris sajátérték-feladat megoldásából nyert jelleghelyes els antiszimmetrikus sajátalakkal, mint kezdeti geometriai imperfekcióval kicsit megzavarjuk a tökéletesen szimmetrikus szerkezetet és így megtudjuk az antiszimmetrikus (bifurkációs) kihajláshoz tartozó kritikus terhelést egy, az el z szakaszban közöltnél igényesebb modellel. Nyissuk meg egy szövegszerkeszt vel a munkamappában található program-2.inp fájlt és mentsük is el program-2mod.inp néven! A szövegfájlban láthatjuk mindazokat a m veleteket, amiket a grakus felületen elvégeztünk. Ezeket kell majd kib vítenünk. Az Assembly modulhoz írjuk hozzá a megjelölt négy sort az ábra szerint:

2. Számpélda 28 2.20. ábra. Ezzel annyit csináltunk, hogy az összes, vagyis mind a 125 csomópontot elmentettünk egy csomopontok nev halmazba, a 62 elemet pedig egyértelm en azonosítja innent l kezdve az elemek címkéj tömb. Ezek együttesen megadják a rúd geometriáját, elmozdulási állapotát bármelyik növekménykor. Következ teend nk, hogy a kicsivel lejjebb olvasható *Restart, write, frequency értékét 0-ról 1-re változtassuk. Ez abban nyújt segítséget, hogy a lineáris analízisnél kapott bármelyik sajátalakot meg tudjuk majd hívni a kés bbiekben. Az utasítás hiányában csak a legutolsó, azaz a negyedik sajátalaktól tudnánk folytatni az analízist. Az adatokat egy.res fájlban tárolja majd a szoftver. Végül b vítsük a kijelölt sorokkal a fájl végét: 2.21. ábra. Ezzel azt mondjuk meg a programnak, hogy az elemek els sajátalakhoz tartozó elmozdulási (geometriai) állapotát kívánjuk meg rizni kés bbi megfontolásokból.

2. Számpélda 29 Mentsük el az input fájlt és az Abaqus-ban a Job modul alatt válasszuk a Job\Create... opciót. A munka neve legyen stabilitas-2mod. A forrás (Source): Input file, és a Select... gombbal mutassunk rá az imént szerkesztett dokumentumra: 2.22. ábra. Két jóváhagyást követ en a Job\Submit\stabilitas-2mod-ra kattintva futtassuk a programot. Az eredményes futtatást az is jelzi, hogy a munkamappában megjelenik többek között egy.l és egy.res kiterjesztés állomány is. Annyi feladatunk maradt, hogy a most elmentett els antiszimmetrikus sajátalakot, mint geometriai imperfekciót meghívjuk a geometriailag nemlineáris analízisnél. Ehhez nyissuk meg a legels programunkat, vagyis a program-1.inp nev t egy szövegszerkeszt vel és mentsük is el más néven: program-1mod.inp. Adjuk hozzá a Parts modul végéhez az alábbi két kiemelt sort: 2.23. ábra. Eszerint a program-2mod nev futás els (és egyébként egyelen) lépésekor kapott els sajátalak a bevezetni kívánt geometriai imperfekció, nagysága pedig 1.23 10 2 a

2. Számpélda 30 normált elmozdulásokat szorozzuk meg a feltüntetett számmal. Az imperfekció nagyságát mi a [6] cikk alapján a támasztávolság ötvenezred részének választottuk annak érdekében, hogy beindítsuk a bifurkációs kihajlást (nem érzékenységet vizsgálunk). Így kaptuk a 615.636 50 000 0.0123 számértéket. Mentsük el a fájlt és futtassuk az Abaqus felületér l, ahogyan azt pár bekezdéssel korábban is tettük a program2-mod-dal. 2.3.1. Eredmények A Visualization modulban a 2.1.7. szakaszban részletezettek szerint kell újfent eljárnunk. Az imperfekció hatása szemmel láthatóan számottev, érezhet en antiszimmetrikussá kezd válni a rúdalak: 2.24. ábra. A er elmozdulás diagram (2.25.ábra) tanulsága szerint még a limitpont elérése el tt az 59. növekménynél ekkor P = P a = 6 746.43 N és u a (P a ) = 13.8648 mm letérünk az els dleges egyensúlyi útról egy elágazáson keresztül.

2. Számpélda 31 2.25. ábra. A elágazás helyét azonosító pont a bifurkációs pont, tehát várhatóan stabilitásvesztés következik be itt. S mivel ez a pont a limitpont el tt helyezkedik el, az ide tartozó er a kritikus er. Ez a számérték egyértelm en kisebb, mint a sajátérték-feladat megoldásából nyert 7 469.5 N, valamint igen közel van a [2] cikk P a = 6 689.94 N-os megoldásához. 2.26. ábra.

2. Számpélda 32 2.4. A szabad- és terhelt rezgések sajátfrekvenciái Rátérve a rezgéstani vizsgálatokra, meg kívánjuk határozni, hogy a koronapontban m köd koncentrált terhelésnek milyen hatása van a 2.1. ábrán szemléltetett rúd sajátfrekvenciáira. Ehhez el ször is ismernünk kell a természetes frekvenciákat. 2.4.1. A modell létrehozása Készítsünk egy új modellt az Abaqus-szal a File\New lehet séggel. Ennek neve legyen szabadrezges.cae. Ismételjük meg a 2.1.1-2.1.2 szakaszokban taglalt lépéseket azzal a kiegészítéssel, hogy az anyagjellemz k megadásánál szükségünk lesz most a s r ségre is. Ezt a Material\Create... felugró ablakban, a General\Density\Mass density mez ben tudjuk megadni. Értéke az acéloknál szokásos 7.8 10 9 [t/mm 3 ] lásd a 2.27. ábrát. Azért célszer ezt a mértékegységet használni most, mert így a frekvenciákat 1/s=Hz egységben fogjuk megkapni. 2.27. ábra.

2. Számpélda 33 Ha készen vagyunk, a 2.1.3. szakaszban közölt leírás helyett az alábbiakban leírtaknak megfelel en járjunk el. Tehát a Step modulban a Step\Create... menüben a lépést nevezzük el eloterheles nek, ezzel együtt válasszuk a Procedure type: General\ Static, General lehet séget. A következ ablakban jelöljük be az NLGEOM: ON opciot, majd zárjuk be. (Erre a választásra azért van szükség, mert csak ekkor tudja a program gyelembe venni a rezgéstani vizsgálatoknál a terhelés hatását.) Hozzunk létre egy másik lépést is az eloterheles után a Step\Create... menüben. A neve legyen frekvencia Procedure type: Linear perturbation\ Frequency. A következ ablakban a Number of eigenvalues requested/value:4 beállítást eszközöljük. Tehát az els négy sajátértékre vagyunk kíváncsiak. A sajátértékekb l a program közvetlenül tudja számolni a sajátfrekvenciákat 2.28. ábra. 2.28. ábra. A program további felépítése folytatódhat a 2.1.4-2.1.6 pontok alapján két különbséggel:

. Számpélda 34 a koronapontban ható koncentrált er t az eloterheles nev Step-nél m ködtessük és nagyságát CF2 (tehát y) irányban 1 10 3 [N] érték re válasszuk meg. Ez egy igen kis er, a hatása elhanyagolható, ezért a rúd természetes frekvenciáit fogjuk most megkapni. Futtatáskor a job (munka) neve program-3 legyen! 2.4.2. Kiértékelés Ismételjük meg a 2.2.1 szakaszban leírtakat. Látható a 2.29. ábrán, hogy az els négy sajátfrekvencia rendre f 1 = 225.24 Hz, f 2 = 477.01 Hz, f 3 = 865.13 Hz, f 4 = 917.2 Hz. Ezek a számok összevethet k a [4] munka eredményeivel, ahol f 1 = 225.5 Hz, f 2 = 478.8 Hz, f 3 = 863.3 Hz, f 4 = 924.5 Hz. A jó egyezés sejteti a számértékek helyességét. 2.29. ábra. 2.4.3. A terhelés hatása a frekvenciaspektrumra Amennyiben a 2.4.1. szakaszban beállított 1 10 3 [N] er nagyságát, vagy irányát megváltoztatjuk, majd az egyébként változatlan programot lefuttatjuk, meg tudjuk vizsgálni a terhelés frekvenciákra gyakorolt hatását. Példaképpen legyen a terhel er 1 477 [N]. Ez töredéke a kritikus (stabilitásvesztést) okozó terhelésnek. A frekvenciák ekkor a következ képpen alakulnak: f 1 = 201.2 Hz, f 2 = 430.6 Hz, f 3 = 892.4 Hz, f 4 = 905.8 Hz. A [4] munka eredményei pedig f 1 = 201.8 Hz, f 2 = 458.2 Hz, f 3 = 861.2 Hz, f 4 = 901.3 Hz.

A. Függelék A programok forráskódjai A.1. Program-1.inp *Heading Job name: program-1 Model name: Model-1 *Preprint, echo=no, model=no, history=no, contact=no PARTS *Part, name=lapos-rud *Node 1, 307.818115, 245.723358 2, 0., 300. 3, -307.818115, 245.723358 4, 298.275818, 249.135757 5, 288.695679, 252.440506 6, 279.078949, 255.637161 7, 269.426819, 258.725342 8, 259.74054, 261.70462 9, 250.021301, 264.574677 10, 240.270386, 267.335083 11, 230.489014, 269.985535 12, 220.678406, 272.525665 13, 210.839813, 274.95517 14, 200.974503, 277.273773 15, 191.083694, 279.48111 16, 181.168671, 281.576935 17, 171.230667, 283.561005 18, 161.270966, 285.433044 19, 151.290802, 287.19281 20, 141.291473, 288.840088 21, 131.274216, 290.374695 22, 121.240318, 291.796387 23, 111.191048, 293.105011 24, 101.127678, 294.300385 35

A. A programok forráskódjai 36 25, 91.0514908, 295.382385 26, 80.9637527, 296.350861 27, 70.8657532, 297.205688 28, 60.7587738, 297.946747 29, 50.6440849, 298.573975 30, 40.5229759, 299.08725 31, 30.3967285, 299.486542 32, 20.2666264, 299.77179 33, 10.133956, 299.942932 34, -10.133956, 299.942932 35, -20.2666264, 299.77179 36, -30.3967285, 299.486542 37, -40.5229759, 299.08725 38, -50.6440849, 298.573975 39, -60.7587738, 297.946747 40, -70.8657532, 297.205688 41, -80.9637527, 296.350861 42, -91.0514908, 295.382385 43, -101.127678, 294.300385 44, -111.191048, 293.105011 45, -121.240318, 291.796387 46, -131.274216, 290.374695 47, -141.291473, 288.840088 48, -151.290802, 287.19281 49, -161.270966, 285.433044 50, -171.230667, 283.561005 51, -181.168671, 281.576935 52, -191.083694, 279.48111 53, -200.974503, 277.273773 54, -210.839813, 274.95517 55, -220.678406, 272.525665 56, -230.489014, 269.985535 57, -240.270386, 267.335083 58, -250.021301, 264.574677 59, -259.74054, 261.70462 60, -269.426819, 258.725342 61, -279.078949, 255.637161 62, -288.695679, 252.440506 63, -298.275818, 249.135757 64, 303.051788, 247.442993 65, 293.490387, 250.80162 66, 283.891815, 254.052368 67, 274.257233, 257.194824 68, 264.58786, 260.228607 69, 254.884964, 263.15332 70, 245.149719, 265.968597 71, 235.383423, 268.674072 72, 225.58728, 271.269409

A. A programok forráskódjai 37 73, 215.762527, 273.754272 74, 205.910416, 276.128357 75, 196.032211, 278.391357 76, 186.129135, 280.542969 77, 176.202469, 282.582977 78, 166.253448, 284.511047 79, 156.283356, 286.326965 80, 146.293457, 288.030518 81, 136.285004, 289.62149 82, 126.25927, 291.09967 83, 116.217522, 292.464844 84, 106.161049, 293.716858 85, 96.0911102, 294.85556 86, 86.0089874, 295.880829 87, 75.9159546, 296.79248 88, 65.8133087, 297.590454 89, 55.7023125, 298.274597 90, 45.5842514, 298.844849 91, 35.4604149, 299.301147 92, 25.3320789, 299.643433 93, 15.200532, 299.871613 94, 5.06705856, 299.985748 95, -5.06705856, 299.985748 96, -15.200532, 299.871613 97, -25.3320789, 299.643433 98, -35.4604149, 299.301147 99, -45.5842514, 298.844849 100, -55.7023125, 298.274597 101, -65.8133087, 297.590454 102, -75.9159546, 296.79248 103, -86.0089874, 295.880829 104, -96.0911102, 294.85556 105, -106.161049, 293.716858 106, -116.217522, 292.464844 107, -126.25927, 291.09967 108, -136.285004, 289.62149 109, -146.293457, 288.030518 110, -156.283356, 286.326965 111, -166.253448, 284.511047 112, -176.202469, 282.582977 113, -186.129135, 280.542969 114, -196.032211, 278.391357 115, -205.910416, 276.128357 116, -215.762527, 273.754272 117, -225.58728, 271.269409 118, -235.383423, 268.674072 119, -245.149719, 265.968597 120, -254.884964, 263.15332

A. A programok forráskódjai 38 121, -264.58786, 260.228607 122, -274.257233, 257.194824 123, -283.891815, 254.052368 124, -293.490387, 250.80162 125, -303.051788, 247.442993 *Element, type=b22 1, 1, 64, 4 2, 4, 65, 5 3, 5, 66, 6 4, 6, 67, 7 5, 7, 68, 8 6, 8, 69, 9 7, 9, 70, 10 8, 10, 71, 11 9, 11, 72, 12 10, 12, 73, 13 11, 13, 74, 14 12, 14, 75, 15 13, 15, 76, 16 14, 16, 77, 17 15, 17, 78, 18 16, 18, 79, 19 17, 19, 80, 20 18, 20, 81, 21 19, 21, 82, 22 20, 22, 83, 23 21, 23, 84, 24 22, 24, 85, 25 23, 25, 86, 26 24, 26, 87, 27 25, 27, 88, 28 26, 28, 89, 29 27, 29, 90, 30 28, 30, 91, 31 29, 31, 92, 32 30, 32, 93, 33 31, 33, 94, 2 32, 2, 95, 34 33, 34, 96, 35 34, 35, 97, 36 35, 36, 98, 37 36, 37, 99, 38 37, 38, 100, 39 38, 39, 101, 40 39, 40, 102, 41 40, 41, 103, 42 41, 42, 104, 43 42, 43, 105, 44