MATEMATIKÁT, FIZIKÁT ÉS INFORMATIKÁT OKTATÓK XXXIV. KONFERENCIÁJA SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI KAR BÉKÉSCSABA 2010. AUGUSZTUS 24-26.

A kiadvány a Nemzetközi Kutatási és Technológiai Hivatal (NKTH) támogatásával jött létre. Felelős szerkesztő Dr. Szakács Attila Technikai szerkesztő Dr. Szakácsné Nagy Szilvia Kiadja Szent István Egyetem Gazdasági Kar Békéscsaba, 2010. Felelős kiadó: Dr. Borzán Anita, egyetemi docens, dékán Készült 100 példányban az AERO-PRESS nyomdában

A KONFERENCIA TÁMOGATÓI Szent István Egyetem Gazdasági Kar Békéscsaba http://gfk.tsf.hu Békés Megye Önkormányzata Békéscsaba http://www.bekesmegye.hu Békéscsaba Megyei Jogú Város Önkormányzata Békéscsaba http://www.bekescsaba.hu

PROGRAMBIZOTTSÁG Elnök: Dr. Molnár Sándor főiskolai tanár Budapesti Gazdasági Főiskola Tiszteletbeli elnök: Dr. Kispéter József egyetemi tanár Szegedi Tudományegyetem Elnökség: Dr. Sebestyén Dorottya főiskolai docens Óbudai Egyetem Nyirati László főiskolai adjunktus Kodolányi János Főiskola Dr. Walter József egyetemei adjunktus, Kaposvári Egyetem Témafelelősök: Matematika: Dr. Klincsik Mihály főiskolai tanár Pécsi Tudományegyetem Fizika: Dr. Klebniczki József főiskolai tanár Kecskeméti Főiskola Informatika: Dr. Jánosa András főiskolai tanár Budapesti Gazdasági Főiskola SZERVEZŐBIZOTTSÁG Elnök: Dr. Szakács Attila főiskolai tanár Titkár: Dr. Szakácsné Nagy Szilvia adjunktus Tagok: Ujlaki Mária gazdasági referens Dr. Patay Zoltán főiskolai tanár Molnár István adjunktus Tóth János adjunktus Végh Sándor adjunktus Dr. Máthé Ilona főiskolai docens Kölcseyné Balázs Mária tanársegéd Baran Ádám ifjúsági referens Dennis Engel nyelvi lektor 4

PROGRAM Augusztus 24. (kedd) 12 00-14 00 Érkezés, regisztráció, szállás elfoglalása 13 00-14 00 Ebéd 14 30-17 30 MEGNYITÓ, PLENÁRIS ELŐADÁSOK 117. terem 14 30-15 00 Köszöntés: Elnök: Dr. Szakács Attila főiskolai tanár Dr. Borzán Anita Farkas Zoltán Vantara Gyula dékán országgyűlési képviselő, a Békés Megyei Önkormányzat elnöke országgyűlési képviselő, Békéscsaba polgármestere 15 00-15 45 Dr. Csákány Béla egyetemi tanár Galilei, természettudomány, játék 15 45-16 15 Szünet 16 15-17 00 Dr. Radnóti Katalin főiskolai tanár A fizikaoktatás jövője a felsőfokú alapképzésben 17 00-17 45 Hajdu Csaba egyetemi tanár Mikrofizika óriási gyorsítón: a nagy hadron-ütköztető 19 00-21 00 Állófogadás Augusztus 25. (szerda) 7 00-8 30 Reggeli 8 30-13 00 SZEKCIÓÜLÉSEK, POSZTERBEMUTATÓ 13 00-14 00 Ebéd 15 00-19 00 Kulturális program, kirándulás Békéscsabán és Gyulán 19 00-21 00 Munkavacsora a gyulai Park Étteremben 5

Augusztus 26. (csütörtök) 7 30-9 00 Reggeli 9 00-13 00 ZÁRÓ PLENÁRIS ELŐADÁSOK 117. terem Elnök: Dr. Kispéter József egyetemi tanár 9 00-9 40 Dr. Szabó Árpád egyetemi tanár A fizika tanítása 9 40-10 20 Dr. Orosz Ildikó főiskolai tanár A kárpátaljai magyar nyelvű oktatás jellemzői a számok tükrében 10 20-11 00 Szünet Elnök: Dr. Molnár Sándor főiskolai tanár 11 00-11 45 Dr. Páles Zsolt egyetemi tanár Differenciál- és integrálszámítás diszkréten 11 45-12 25 Hernáth Szabolcs tudományos munkatárs LHC Computing Grid - új modell a tudományos informatikában 13 00-14 00 Ebéd 6

Matematika I. szekció 128. terem Elnök: Dr. Klincsik Mihály főiskolai tanár 8 30-8 50 Kovács Edith, Szántai Tamás 8 50-9 10 Dr. Buzáné Dr. Kis Piroska, Varga Nikolett 9 10-9 30 Kovács István Béla 9 30-9 50 Kiss László 9 50-10 10 Kiss László ÁVF, BME DF BGF- PSZK ÓE- RKK ÓE- RKK Együttes valószínűségeloszlások illesztése grafikus valószínűségi modellek segítségével Valószínűségeloszlások alkalmazásai Egymásba ágyazott valószínűségi változók egy sorozatáról Betűk rendezésétől egy valós számokat tartalmazó vektor rendezéséig Gráf generálás és a Kruskal algoritmus tanítása Excel segítségével 10 10-11 00 Poszterek megtekintése Szünet Elnök: Dr. Szakács Attila főiskolai tanár 11 00-11 20 dr. Lipécz György ÁVF A sztochasztikus kapcsolatok és a szórásnégyzet-felbontás 11 20-11 40 Dr. Horváth Gábor DF 11 40-12 00 Mérai László BGF- PSZK Egy blokkok számáról szóló egyenlőtlenség javítása Elliptikus görbék a kriptográfiában 12 00-12 20 Dr. Talata István DF Konvex poliéderek és K-poliéderek 12 20-12 40 Osztényi József KF Síkgráfok többszörös színezése 12 40-13 00 Végh Attila KF Paralleloéderek és konfigurációk 7

Elnök: Dr. Patay Zoltán 8 30-8 50 Dr. Molnár-Sáska Katalin Matematika II. szekció 130. terem főiskolai tanár SZIE- YMÉK 8 50-9 10 Madaras Lászlóné Dr. SZF 9 10-9 30 Molnár István SZIE- GK 9 30-9 50 Dr. Joós Antal DF 9 50-10 10 Dr. Csákány Anikó BME 10 10-11 00 Poszterek megtekintése Szünet Matematika az építészetben A Bolyai-Lobacsevszkij geometria hatása a tudományelméletre Az első n természetes szám hatványösszegeinek kiszámításáról n pont által meghatározott paraszférák száma a hiperbolikus térben A 2009. szeptemberében a műszaki és természettudományos felsőoktatásban tanulmányaikat kezdő hallgatók által írt matematika felmérő tanulságairól Elnök: Molnár István egyetemi adjunktus 11 00-11 20 Dr. Patay Zoltán SZIE- GK 11 20-11 40 Kudlotyák Csaba RFKMF A matematikaoktatás módszertani problémaköre A felsőoktatási matematikai alapképzés helyzete és a bolognai folyamat Ukrajnában 11 40-12 00 Klingné Takács Anna 12 00-12 20 Lőrincz Sándor 12 20-12 40 Kozákné Székely Ildikó KE BGF- KVIK József Attila Gimn. Monor Kognitív kategóriák az analízis számítógépes oktatásában Döntéselemzés, avagy operációkutatás a turizmus szak mesterképzésen; első tapasztalatok a BGF KVI Karon Az új tudás alapjai. A középfokú matematikaoktatás felelőssége a felsőoktatás alapozó tárgyainak kialakításában 8

Informatika I. szekció 110. terem Elnök: Ambrusné Somogyi Kornélia főiskolai docens A WEKA programcsomag 8 30-8 50 Dr. Buza Antal DF használata az adatbányászat oktatásában 8 50-9 10 Fejér Tamás Perbit ASP, a jövő személyügyi szoftver 9 10-9 30 Kaderják Gyula 9 30-9 50 Szatmári Ferenc 9 50-10 10 Pántya Róbert, Mucsics F. László, Dr. Tóth Zoltán HR Kft BGF- PSZK BGF- PSZK KRF 10 10-11 00 Poszterek megtekintése Szünet megoldása CRM rendszerek adatvédelmi kérdései Közgazdasági hasznosságvizsgálat a vállalkozások informatikai befektetéseinél Blended learning kurzusok a Károly Róbert Főiskola gazdaságmatematika és informatika tanszékének gondozásában Elnök: Dr. Buza Antal Ambrusné Dr. 11 00-11 20 Somogyi Kornélia, Pasaréti Otília 11 20-11 40 Kriskó Edina, Muhari Csilla főiskolai tanár ÓE- RKK, ELTE PTE DE IK 11 40-12 00 Beregszászi István RKKMF 12 00-12 20 Baksa-Haskó Gabriella ÁVF 12 20-12 40 dr. Miskolczi Ildikó SZF 12 40-13 00 Horváth Árpád ÓE- AREK Egyetem lettünk - merre tovább? Az informatika oktatás lépcsői és problémái Egy problematikus tananyagfejlesztés Az informatika tantárgypedagógia oktatásának sajátosságai a II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Főiskolán A felsőoktatás tartalmának és a munkaerőpiaci igényeknek a folyamatos összehangolása a web 2.0 korszakában Hogyan érjük utol hallgatóinkat a kibertérben avagy a felhőpedagógia alkalmazása a XXI. század oktatásmódszertanában Összetett hálózatok az informatikusképzésben 9

Elnök: Dr. Jánosa András 8 30-8 50 Dr. Kovács Endre, Fiser József Informatika II. szekció 117. terem főiskolai tanár KRF 8 50-9 10 Nagy Bálint DF 9 10-9 30 Dr. Farkas Károly 9 30-9 50 Kiss Gábor 9 50-10 10 Dr. Szakácsné Nagy Szilvia ÓE- NIK ÓE- BGK SZIE- GK 10 10-11 00 Poszterek megtekintése Szünet Elnök: Dr. Kovács Endre főiskolai docens 11 00-11 20 Kőházi-Kis Ambrus 11 20-11 40 Farkas Jenő Zsolt 11 40-12 00 Radványi Tibor 12 00-12 20 Hódiné Szél Margit 12 20-12 40 Vajda István 12 40-13 00 Kiss László KF- GAMFK MTA RKK EKF TTK SZTE- MGK ÓE NJIK ÓE- RKK Touch me - az Iphone világsikerének titkai Az XPPAut alkalmazása dinamikai rendszerek vizsgálatára Logo-pedagógia és üzleti intelligencia Informatikai ismeretek vizsgálata a 8. osztály végén Szoftverek a súlyosan látássérült hallgatók matematika oktatásában - a magyarországi adaptáció lehetőségei Sok lokális optimum legjobbjának keresése Mesterséges neurális hálózatok alkalmazása a magyar kistérségek földrajzi típusainak meghatározásában Az RFID labor helye a képzésben Az Excel táblázatkezelő program használata a matematika és statisztika tantárgy oktatásában Számítógéppel támogatott oktatás disztkrét matematika tárgyból A Ford-Dijkstra és a kritikus út algoritmusok kapcsolata és szemléletes tanítása 10

Elnök: Dr. Klebniczki József 8 30-8 50 Dr. Sós Katalin, Dr. Nánai László Fizika és Informatika III. szekció 119. terem főiskolai tanár SZTE- JGYPK 8 50-9 10 Nyirati László KJF 9 10-9 30 Ujvári Sándor PhD ÓE- AREK Fizika a felsőoktatásban - nem fizikusoknak Mivel demonstrálhatnának a fizikatanárok? Modern fizikai kísérletek és megoldásuk eredményessége 9 30-9 50 Kőházi-Kis Ambrus, Dr. Klebniczki József 9 50-10 10 Végh Sándor KF- GAMFK SZIE- GK Keresztpolarizáció felületi plazmon rezonanciája közelében Brushless motorok vezérlése digitális módszerrel 10 10-11 00 Poszterek megtekintése Szünet Elnök: Nyirati László főiskolai adjunktus 11 00-11 20 Starkné dr. Werner Ágnes, Dulai Tibor PE- MIK Folyamatbányászati eszközök felhasználása irányítási folyamatok elemzéséhez 11 20-11 40 Berecz Antónia, Pődör Andrea GDF 11 40-12 00 Korcsok Zoltán ipont 12 00-12 20 Fintor Krisztián, Kaczur Sándor SZTE- TIK, GDF 3D animáció-készítés tanulásának támogatása e-learning eszközökkel A szemüvegnélküli 3D technológia felhasználási lehetőségei a felsőoktatásban Vetőmozgások 3D-s szimulációjának alkalmazása a földtudományi képzésben 12 20-12 40 Kaczur Sándor, Fintor Krisztián 12 40-13 00 dr. Hudoba György GDF, SZTE- TIK ÓE- AREK Szerkezetföldtani oktatóprogram, vetőmenti elmozdulások modellezésére Részecskesugárzás detektálásának és értékelésének szemléletes módja a fizikaoktatásban 11

Angol nyelvű szekció 109. terem Elnök: Körtesi Péter egyetemi docens 11 00-11 20 Péter, Körtesi Univ. of Miskolc 11 20-11 40 Katalin, Veres RFKMF Using Geogebra in Teaching The Conditions of Fourie Method to the Solution of Parabolic Equation with Orlicz Random Initial Condition 11 40-12 00 Sándor, Simon 12 00-12 20 Luminiţa, Danciu Dan-Stelian, Deac 12 20-12 40 Biriş Rodica Teodora Szent István Univ. Vasile Goldis Univ. Vasile Goldis Univ. Business Process Management int the Software Microsoft Dynamics NAV Office Tools Used in the Educational Process The Influence of the English Computerlanguage in the German and Romanian Language 12

Poszter szekció Első emeleti folyosó 10 10-11 00 Elnök: dr. Hudoba György főiskolai docens Dr. Varga László, Varga Fruzsina Csató Sándor, Hovorkáné Horváth Zsuzsanna dr. Czenky Márta Korcsok Zoltán, Gyebnár Tímea Berecz Antónia, Pődör Andrea Kőházi-Kis Ambrus, Klebniczki József Radványi Tibor dr. Hudoba György SZTE- MK SZTE- MK SZIE- GÉK ipont GDF KF- GAMFK EKF TTK ÓE- AREK Színezett keménycukorkák színezéktartalmának vizsgálata optikai módszerrel Keverék őrlemények színkoordinátáinak közelítő számítása SQL tanítás eredményességének vizsgálata Szemüvegnélküli 3D technológia 3D animáció-készítés tanulásának támogatása e-learning eszközökkel Keresztpolarizáció felületi plazmon rezonanciája közelében RFID azonosítás a fémiparban Részecskesugárzás detektálásának és értékelésének szemléletes módja a fizikaoktatásban 13

JEGYZETEK 14

PLENÁRIS ELŐADÁSOK 2010. augusztus 24. 2010. augusztus 26. 117. terem 15

JEGYZETEK 16

Dr. Csákány Béla Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet GALILEI, TERMÉSZETTUDOMÁNY, JÁTÉK ÖSSZEFOGLALÁS A nagy itáliai tudós éppen 400 éve tette meg az első lépést, amely a mai természettudomány kialakulásához vezetett. Példákon mutatjuk be a kutatás általa megfogalmazott ma már nyilvánvalónak látszó alapelveinek érvényesülését az azóta eltelt évszázadok során, majd ezek alkalmazását a játékokra. Végül elemezni próbáljuk játék és természettudományok kapcsolatát korunkban, valamint a játék szerepét a társadalom Neumann János gondolataira épülő modelljében. 17

Dr. Radnóti Katalin Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Fizikai Intézet A FIZIKAOKTATÁS JÖVŐJE A FELSŐFOKÚ ALAPKÉPZÉSBEN ÖSSZEFOGLALÁS A fizika, mint iskolai tantárgy meglehetősen nehéz helyzetben van napjaink közoktatásában. A rendszerváltást követő években fokozatosan csökkent a fizika óraszáma, megszűnt kötelezően pontvivő jellege, vagyis napjaink technicizált világában, mely elsősorban a fizikában tett különböző felfedezéseknek köszönheti létét, fokozatosan szorul vissza. A tanulók körében sem népszerű a tantárgy, pedig szerepe alapvető fontosságú a természettudományos, illetve mérnöki szakok számára. Az előadás első része a felsőfokú alapképzésbe belépő hallgatók tudásszintjének több évre visszatekintő vizsgálata során szerzett tapasztalatokkal foglalkozik. Milyen tudással érkeznek a diákok a felsőoktatásba? Mit tükröz a felvételi pontszám? Hogyan tud a felsőoktatás segíteni a diákoknak a hiányosságok pótlásában? Az előadás második része a közoktatásban jelenleg zajló és várható folyamatok elemzésével foglalkozik. A 2009-ben elkészült új kerettantervek várható hatása. Mik lehetnek a fizikaoktatás feladatai a közoktatásban? Végül a fizika, mint alapozó tantárgy szerepe és lehetőségei a különböző műszaki és természettudományos képzések alapozó szakaszában. Milyen módon épülhet fel, milyen logikát követhet egy előkészítő szerepben lévő szaktudomány? Mennyiben kövesse a szaktárgy, nevezetesen a fizika tudományának logikáját, illetve az előkészítendő szakma szükségleteit? 18

Hajdu Csaba MTA KFKI Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet, 1525 Budapest, pf.49 MIKROFIZIKA EGY ÓRIÁSI GYORSÍTÓN: A NAGY HADRON-ÜTKÖZTETŐ Többezer ember húszéves megfeszített munkája eredményeképpen 2009. végén elindult a CERN Nagy hadron-ütköztetője (LHC), és 2010-ben már üzemszerűen működik, rekordenergiákon szolgáltatva adatokat. A részecskefizikában megszokott méretek között is óriásnak számít mind a gyorsító, mind az észlelőrendszerei; a gyorsító maga 27 km-es köralakú alagútjában, 100 m-re a földfelszín alatt található, a protonokat és ólomionokat 1232 hatalmas (egyenként 15 m hosszú és 35 tonna súlyú) szupravezető mágnes tartja körpályán és további 8000 mágnes vezérli. A berendezés fő célja a részecskefizika feltételezett kulcsfigurájának, az elmélet egyetlen eddig fel nem fedezett elemi részecskéjének, a tömegképződésért felelős Higgs-bozonnak, valamint a bizonyos elméletek szerint a Világegyetem sötét anyagát alkotó szuperszimmetrikus részecskéknek a felfedezése. További cél az Ősrobbanást közvetlenül követő ősanyag előállítása és tanulmányozása nehézionok ütköztetésével. Az LHC hat kísérlete közül négyben vesznek részt magyar kutatók. A Compact Muon Solenoid (CMS) kísérletben van a legnagyobb csoportunk, a KFKI Részecske-és Magfizikai Kutatóintézet, a debreceni Atommagkutató Intézet, a Debreceni Egyetem, és az Eötvös Loránd Tudományegyetem kutatói vesznek részt benne. Az ALICE (A Large Ion Collider Experiment) nehézionfizikai kísérlet magyar résztvevői túlnyomórészt a KFKI RMKI munkatársai. Kisebb magyar csoport működik az LHC-alagútban a CMS-detektor két oldalán elhelyezett TOTEM-kísérletben, amely a kisszögű szórást szenvedett protonok tanulmányozásával fog alapvető fizikai információhoz jutni. Végül pedig számos magyar kutató dolgozik a CMS-hez hasonlóan általános célú ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS) kísérletben. Az LHC működése folyamatosan figyelemmel kísérhető a CERN honlapján (http://public.web.cern.ch/public/) és az [origo] internetes hírportál CERN-blogján (http://cernblog.wordpress.com/). 19

Prof. Dr. Szabó Árpád Nyíregyházi Főiskola, Fizika Tanszék A FIZIKA TANÍTÁSA KULCSSZAVAK: Fizikatanítás, tantárgy, tantervek, óraszám, diszciplínaorientált, kísérlet. ÖSSZEFOGLALÁS Az előadás bevezető részében rövid áttekintést adunk a fizikatudomány és a fizika tantárgy kialakulásáról. Bemutatjuk a fejlődés korszakait, de rámutatunk arra is, hogy bár az ókorban Thalész, Démokritosz, Arisztotelész, Arkhimédész munkásságával már elkezdődött a fizika ismereteinek tanítása, de csak a XVII. Században Galilei, Kepler, Descartes, Huygens és Newton munkássága alapján lett a fizika önálló tudomány és csak jóval később, mintegy 100-150 év múlva lett önálló tantárgy az iskolákban. Az előadás második részében bemutatjuk azokat a tudósokat, akiknek a természettudományos szemléletet sikerült az iskolában meghonosítani. Felidézzük a fizikatanításról szóló első törvényes intézkedéseket, a Ratio Educationis (Ratio Educationis Publicae) jelentőségét és a hazánkban is életbe lépett osztrák gimnáziumi törvényt. Összehasonlítjuk az Eötvös-féle, a Trefort-féle, az 1883-as és az 1924-es gimnáziumi tantervek óraszámait a jelenlegi fizika tantervek óraszámaival, de szólunk az 1934-es egységes leánygimnáziumi tantervről is. Az előadás további részében a II. világháború, az 1945 után kialakult általános iskolák és a gimnáziumok tantervei (óraszámai) lapján mutatunk rá a magyarországi fizikaoktatás alakulására. Aztán a magyarországi és a környező országok tantervei alapján összehasonlító (50-60 évet felölelő) elemzést adunk a fizikaoktatás helyzetéről. Részletesen foglalkozunk az 1990 utáni Európa-szerte kialakult változásokkal, a fizikaórák óraszámainak a jelentős csökkenésével. Sajnálattal jegyezzük meg, hogy a legdrasztikusabb óracsökkenés a magyarországi fizikaoktatást érte. Végezetül rámutatunk a kísérletezésen alapuló fizikaoktatás jelentőségére, a diszciplínaorientált (fizika centrikus) oktatás kialakulásának a feltételeire (előnyeire, hátrányaira), és a fizikának, mint iskolai tantárgynak a szerepére az oktató-nevelő munkában. IRODALOMJEGYZÉK 1. SZABÓ ÁRPÁD: A fizikatanítás kialakulásáról, fejlődéséről és jelenlegi helyzetéről. Fizikai Szemle. 2009/6. 2. SZABÓ ÁRPÁD: Fizikatanítás. Tankönyvkiadó. Budapest, 1990. 3. SZABÓ ÁRPÁD: A fizika tanítása. Kijev. Ragyanszka Skola Kiadó, 1990. 20

4. SZABÓ ÁRPÁD: A fizika tanítása. Módszertani segédlet. Bessenyei György Könyvkiadó. Nyíregyháza, 1997. 5. SZABÓ ÁRPÁD: Fizikatanítás Csehszlovákia középiskoláiban. Fizika v Skole. 1985/6. 6. SZABÓ ÁRPÁD: Fizikatanítás Ukrajnában. Fizikai Szemle, 1996/5. 7. MARX GYÖRGY, SZABÓ ÁRPÁD: A fizikatanítás aktuális problémái. Fizika v Skole, 1989/1. 21

Dr. Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék DIFFERENCIÁL- ÉS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS DISZKRÉTEN ÖSSZEFOGLALÁS Az előadásban a sorozatok "differenciál- és integrálszámításá"-nak alapjait foglaljuk össze és alkalmazzuk elemi feladatok megoldására. 22

Hernáth Szabolcs MTA KFKI Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet Számítógép Hálózati Központ LHC COMPUTING GRID ÚJ MODELL A TUDOMÁNYOS INFORMATIKÁBAN ÖSSZEFOGLALÁS A nagyenergiás fizikai kutatások hagyományosan is kiemelkedő adattárolási és számítási teljesítményt igényelnek, azonban a CERN nagy hadronütköztetőjének adatai példátlan kihívás elé állítják a mérések értékelését végző informatikai rendszert. A gigantikus számítógépes kapacitást egyesítő globális szuperhálózat a grid a modern informatika élvonalába tartozó új szolgáltatásokkal gazdagítja a tudomány eszköztárát, s így magyar részvétellel, magyar kutatók sikereihez is hozzájárul. 23

JEGYZETEK 24

MATEMATIKA I. SZEKCIÓ 2010. augusztus 25. 128. terem 25

JEGYZETEK 26

Kovács Edith 1, Szántai Tamás 2 1 Általános Vállalkozási Főiskola, Módszertani Tanszék 2 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Differenciálegyenletek Tanszék EGYÜTTES VALÓSZÍNŰSÉGELOSZLÁSOK ILLESZTÉSE GRAFIKUS VALÓSZÍNŰSÉGI MODELLEK SEGÍTSÉGÉVEL ÖSSZEFOGLALÁS Együttes valószínűségeloszlás illesztése mintabeli adatokra centrális problémája számos kutatási területnek a gazdasági modellezéstől a bioinformatikáig. A klasszikus módszerek általában kiválasztanak bizonyos paraméteres modell-, eloszláscsaládokat és az adatok alapján megbecsülik a paramétereket. Vonzó tulajdonságai miatt a leggyakrabban használt ilyen eloszlás az együttes normális eloszlás, holott szinte közhellyé vált az a mondat, hogy a világ nem normális. Előadásunkban bemutatjuk, hogy amennyiben az összefüggés rendszer föltérképezhető egy irányított (ok-okozati Bayes-hálózat) illetve irányítatlan (Markov hálózat) gráfban, akkor bizonyos feltételek mellett szorzatszerű együttes valószínűség eloszlás illeszthető az empirikus adatokhoz. Az előadás első részében röviden ismertetjük a Markov és a Bayes hálózatot, a hozzájuk rendelt valószínűségi eloszlásokat, illetve a köztük lévő kapcsolatot. A második részben a módszer hatékonyságát a főkomponens analízis szemszögéből elemezzük. Az előadás végén bemutatunk egy alak felismerési alkalmazást. Ennek során az új módszerrel elért eredményeket összevetjük más népszerű módszerek ugyanazon az adathalmazon elért alak felismerési eredményeivel. 27

Dr. Buzáné Dr. Kis Piroska, Varga Nikolett Dunaújvárosi Főiskola, Matematika Tanszék VALÓSZÍNŰSÉGELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSAI KULCSSZAVAK Markov-Pólya-Eggenberger-eloszlás, Weibull-eloszlás, Zipf-eloszlás ÖSSZEFOGLALÁS A valószínűségi változó fogalmának bevezetése már bizonyítottan új fejezetét nyitotta meg a matematika alkalmazásának a gazdaság-, természet-, orvos-, társadalom-tudományi területeken egyaránt. Számos feladat megoldása válik egyszerűvé, ha a feladathoz be tudunk vezetni egy alkalmas valószínűségi változót. A felsőoktatási tanulmányaik során a hallgatók megismerkednek bizonyos valószínűségeloszlásokkal a valószínűségszámítás, a statisztika vagy akár egyes szaktárgyak, mint például az adatbányászat keretében. Azt, hogy a valószínűségi változó fogalma mennyire a gyakorlatból, a gyakorlati igényekből származik, igazolják a nagyszámú alkalmazások. E munka keretében a mindennapi életből származó alkalmazások újabb példáit gyűjtöttünk össze egy csokorba. Arra is kitérünk, hogy a kiválasztott eloszlások hogyan hozhatók kapcsolatba egymással. Kezdve egy olyan vásárlási szituációval, amelyek leírására alkalmas a negatív binomiális eloszlás, különböző eloszlások alkalmazásait sorakoztatjuk fel, végül összeállításunkat egy dolgozat eredményeinek bemutatásán keresztül a Zipfeloszlással zárjuk. IRODALOMJEGYZÉK 1. ROSS, SHELDON: A first Course in Probability, Pearson Education Inc. 2006, ISBN 0-13-201817-9. 2. RÉNYI, ALFRÉD: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973. 28

Kiss László Óbudai Egyetem, Rejtő Sándor Könnyűipari és Környezetmérnöki Kar, Médiatechnológai és Könnyűipari Intézet BETŰK RENDEZÉSÉTŐL EGY VALÓS SZÁMOKAT TARTALMAZÓ VEKTOR RENDEZÉSÉIG KULCSSZAVAK Algoritmusok, programozás, oktatásmódszertan ÖSSZEFOGLALÁS Előadásomban szeretném végigvezetni a hallgatóságot azon a gondolkodási folyamaton, hogy hogyan juthatunk el egy általában ismert algoritmustól, mint az angol ABC nagybetűit tartalmazó szöveg betűinek ABC sorba rendezése, egy korlátos, egész számokat tartalmazó vektor rendezésén át, a valós számokat tartalmazó vektor rendezésének egy érdekes megvalósításáig. A kitűzött cél az, hogyan lehetne az elemszám növekedése esetén bizonyos esetekben elérni, hogy az idő lényegében lineárisan változzon. Előnye még a módszernek, hogy ugyanezen az elven a számhalmaz mediánját is hatékonyan meghatározhatjuk. A fentiek szemléltetésére Excelben VBA alkalmazásokat is bemutatok. Módszertani szempontból fontosnak tartom, hogyan térhetünk el a szokásos gondolatmenettől egy feladat megoldása során, és juthatunk el általa egy talán jobb, vagy később jobbá tehető, de mindenképpen más módszerhez. 29

Kiss László Óbudai Egyetem, Rejtő Sándor Könnyűipari és Környezetmérnöki Kar, Médiatechnológai és Könnyűipari Intézet GRÁF GENERÁLÁS ÉS A KRUSKAL ALGORITMUS TANÍTÁSA EXCEL SEGÍTSÉGÉVEL KULCSSZAVAK Gráfelmélet, programozás, algoritmusok, oktatásmódszertan ÖSSZEFOGLALÁS Előadásomban egyrészt arról szeretnék beszámolni, hogy milyen módszerek alkalmazásával lehet Excelben egy (súlyozott) szomszédsági mátrixból kiindulva generálni egy gráf ábráját. Milyen eszközeit használtam fel az Excelnek a pontok, az élek és az élhosszak kijelzésére. Előadásom másrészt arról szól, hogyan lehet szerintem elegáns számítógépes megoldást készíteni a Kruskal algoritmusra, amely annak szemléletes tanítását teszi lehetővé. Vázolom a megoldás nehézségeit, és az Excel hiányosságait. Az alkalmazást és használatát bemutatom, és továbbfejlesztésre minden érdeklődőnek, kérésére, rendelkezésére bocsátom. 30

Dr. Lipécz György Általános Vállalkozási Főiskola, Módszertani Tanszék A SZTOCHASZTIKUS KAPCSOLATOK ÉS A SZÓRÁSNÉGYZET-FELBONTÁS ÖSSZEFOGLALÁS A sztochasztikus kapcsolatok témakörében alapvető szerepet játszik a szórásnégyzet, és a szorossági mutatók egy jellegzetes csoportjában a szórásnégyzetfelbontás. Cikkünk ezen mutatók közös szemléleti és algebrai alapját elemzi, és igyekszünk olyan módon kifejteni mondandónkat, hogy az a statisztika oktatásban is közvetlenül hasznosítható legyen. Felhasználjuk, hogy a csoportokra bontott sokaság esetén a teljes variancia felírása a külső és belső szórásnégyzet összegeként egyszerűen és szemléletesen visszavezethető a szórásnégyzet-felbontás elemi esetére. Ezáltal a minőségi ismérv sztochasztikus hatása, az ezt mérő mutatószám minimális formalizmussal levezethető és tartalma szemléletessé tehető. Ezután a szórásnégyzet-felbontás szükséges és elégséges feltételeit általános esetben fogalmazzuk meg, és ennek speciális eseteként mutatjuk be a regressziós függvényekre vonatkozóan a szórásnégyzet-felbontás lehetőségét és az illesztés jóságát mérő varaiancia-hányadost. Végezetül megmutatjuk, hogy a nem-lineáris regressziós függvényekre milyen feltételek mellett végezhető el a szórásnégyzet-felbontás, illetve, ha nem végezhető el, akkor milyen egyszerű lineáris transzformációval tehetők erre alkalmassá miközben a regresszió továbbra is nem-lineáris marad. 31

Dr. Horváth Gábor Dunaújvárosi Főiskola, Matematika Intézet, Matematikai Analízis Tanszék EGY BLOKKOK SZÁMÁRÓL SZÓLÓ EGYENLŐTLENSÉG JAVÍTÁSA Legyen S egy n elemű nem-üres halmaz, továbbá legyenek r és q olyan pozitív egészek, hogy 2 q és r < n. 1995-ben Vojtech Bálint és Philippe Lauron bebizonyították, hogy ha B 1, B 2,, B m az S olyan különböző részhalmazai (ezeket blokkoknak nevezzük), amelyekre (i) minden blokk legalább r különböző elemet tartalmaz, (ii) az S minden r elemű részhalmaza pontosan q blokkban van benne, (iii) az S minden r+ 1 elemű részhalmaza legfeljebb egy blokkban van, akkor m ( ) rq q 1 n. Ezt az egyenlőtlenséget fogjuk javítani. n r 32

Mérai László Budapesti Gazdasági Főiskola, Pénzügyi és Számviteli Kar, Módszertani Tanszék; MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet ELLIPTIKUS GÖRBÉK A KRIPTOGRÁFIÁBAN KULCSSZAVAK kriptográfia, elliptikus görbék, álvéletlen sorozatok ÖSSZEFOGLALÁS Előadásomban röviden ismertetem az elliptikus görbék elméletét, és azok kriptográfiában való alkalmazhatóságát. Először definiálom az elliptikus görbéket a valós számtest fölött. Bevezetem a görbék feletti csoportműveleteket, és kriptográfiai alkamazásokat mutatok. Azonban az implementáció során szükség mutatkozott nem csak a valós számtest, de véges testek feletti görbék használatára. Előadásom második felében ebből nyújtok izelítőt. Az előadásomat kapcsolódó friss tudományos eredmények ismertetésével zárom. 33

Dr. Talata István Dunaújvárosi Főiskola, Matematika Intézet, és Szent István Egyetem, Ybl Miklós Építéstudományi Kar, KONVEX POLIÉDEREK ÉS K-POLIÉDEREK KULCSSZAVAK Konvex test, konvex poliéder, extrémum-probléma, konvexitás-struktúra ÖSSZEFOGLALÁS d Egy d -dimenziós konvex testen R -nek egy kompakt, konvex, nemüres belsejű részhalmazát értjük. Ha a konvex test előáll, mint véges sok pont konvex burka (azaz a pontokat tartalmazó legkisebb konvex halmaz), akkor azt konvex poliédernek nevezzük. d Legyen K egy d -dimenziós konvex test. Ekkor K+ x jelöli a K test x R vektorral való eltoltját. 1. Definíció. Egy S K halmaznak a K -metszetkonvex burkán a K test azon eltoltjainak a metszetét értjük, melyek tartalmazzák az S halmazt, azaz d conv K ( S) =Ι { K+ x S K+ x, x R }. 2. Definíció. Véges sok pont K -metszetkonvex burkát K -poliédernek nevezzük. A K -metszetkonvex burkok egy konvexitás-struktúrát határoznak meg az téren. A konvexitás-struktúrákkal kapcsolatos egyéb alapvető fogalmakat ld. [1]- ben. Azt vizsgáljuk, hogy milyen K d -dimenziós konvex testekre áll fenn, hogy az összes S K halmaz K -metszetkonvex burka K -poliéder, illetve legfeljebb m pont K -metszetkonvex burkaként előálló K -poliéder. Példa. Ha K egy d -dimenziós téglatest, akkor K összes részhalmazának a K - metszetkonvex burka olyan téglatest, amely előáll, mint két K -eltolt metszete. 1. Tétel. Ha egy adott K d -dimenziós konvex test esetén fennáll, hogy minden d S R halmazra conv K ( S ) egy K -poliéder, akkor K egy konvex poliéder. 2. Tétel. Ha P egy d -dimenziós konvex poliéder, melyre minden S P halmaz esetén létezik olyan legfeljebb m pontból álló T P halmaza a térnek, hogy fennáll conv P ( S ) = conv P ( T ), akkor a P poliédernek legfeljebb md darab ( d 1) -dimenziós lapja van. Megjegyezzük, hogy téglatestekre ez az állítás m = 2 választással éles. IRODALOMJEGYZÉK 1. KUBIS, W.: Separation properties of convexity spaces, Journal of Geometry., 110 119, 2002. d R 34

Osztényi József Kecskeméti Főiskola, Gépipari és Automatizálási Főiskolai Kar, Természet- és Műszaki Alaptudományi Intézet Matematika Szakcsoport KULCSSZAVAK Síkgráf, többszörös színezés SÍKGRÁFOK TÖBBSZÖRÖS SZÍNEZÉSE ÖSSZEFOGLALÁS Gráfok többszörös színezését 1972-ben Gilbert vezette be [1]-ben a rádiófrekvencia kiosztási problémával kapcsolatban. A probléma matematikai modelljében egy megfelelő G gráf csúcsaihoz egy bizonyos színhalmaz s-elemű részhalmazainak egy olyan hozzárendelését kell megadnunk, mely éllel összekötött csúcsokhoz diszjunkt részhalmazokat rendel. Ez éppen a hagyományos csúcsszínezést adja az s = 1 esetben. Legyen χ (G) az a legkisebb t egész szám, melyre létezik G-nek s-szeres színezése t színnel. A χ (G) számot a G gráf s-edik multikromatikus számának nevezzük. A gráfok többszörös színezésével kapcsolatos legelső eredményeket Saul Stahl közölte 1978-as [2] cikkében. Az előadáson a síkgráfok multikromatikus számainak lehetséges értékeit vizsgáljuk meg. Felhasználva Stahl eredményeit, illetve a négyszín-tételt az alábbi alsó-, és felsőkorlátot bizonyítjuk be 2s χ (G) 4s. IRODALOMJEGYZÉK 1. R.J. OPSUT, F.S. ROBERTS: On the fleet maintenance, mobile radio frequency, task assignment, and traffic phasing problems, Theory of Applications of Graphs. (G. Chartrand, et al. eds.), Wiley, 479-492, New York 1981. 2. S. STAHL: n-tuple colorings and associated graphs, J. Combin. Theory Ser. B, 20, 185-203, (1976). s s s 35