Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) koordinátáit! A metszéspontot a két egyenlet rendszerben való megoldásával kapjuk: x+ = 3 x= M = ; A metszéspont koordinátái: ( ) Összesen: pont ) Egy egyetemi röplabda bajnokságba összesen nyolc csapat nevezett. Hány mérkőzésre kerül összesen sor, ha a helyezések körmérkőzéses rendszerben dőlnek el? (Minden csapat egyszer játszik az összes többi csapattal.) Minden csapat hét csapattal játszik: 7 8 = 56 De csak egyszer játszanak egymással ezért osztani kell -vel. Tehát összesen 56, azaz 8 mérkőzésre kerül sor. Összesen: 3 pont 3) Sorolja fel az A halmaz elemeit, ha A = { egyjegyűprímszámok}! A = { ;3;5;7} Összesen: pont 4) Mekkora annak az egységnyi sugarú körhöz tartozó körív hossza, amelynek központi szöge 90? A központi szögekre és az ívhosszakra vonatkozó összefüggés alapján: π x = π π π Innen x = Összesen: pont 5) Egy rombusz átlóinak hossza 6 és 0 egység. Számítsa ki az átlóvektorok skalárszorzatát! Az átlók merőlegesek egymásra. Ezért a skalárszorzat 0.
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. 6) Hányféle rendszámtábla készíthető 6 betűből és 0 számjegyből, ha egy rendszám 3 betűből és 3 szemjegyből áll (pl: AAA-000)! Az összes lehetőség: 6 6 6 0 0 0 Tehát összesen 7 576 000 különböző rendszámtábla készíthető. 7) Egy kocka éleinek hossza a. Adja meg a téglatest testátlójának hosszát a megadott éllel kifejezve! A lapátló hossza: a + a A testátló hossza: ( ) a + a + a = a 3 8) Egy budapesti középiskolába 30 diák jár (A halmaz). Ennek az iskolának a.b osztályába 0 diák jár (B halmaz). Mekkora az A B halmaz számossága? B A halmaznak, ezért: A B számossága: 0. Összesen: pont 9) Egy 5 Ft-os érmét egymás után feldobunk, és az eredményeket leírjuk. Melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége? A. egy fejet és egy írást dobunk B. mindkétszer azonos oldalára esik az érme A. esemény valószínűsége:, mivel nincs a sorrend lekötve a sorrend. B. esemény valószínűsége:, mivel nincs megkötve, hogy írást vagy fejet dobunk kétszer, csak a második dobás kimenete számít. Tehát ugyanakkora a két esemény bekövetkezésének valószínűsége. 0) Egy budapesti éttermet az ott fogyasztó vendégek egy -től 5-ig terjedő skálán értékelhetnek. Egy hétvégén összesen 00 vendég adta le értékelését, melyből 35-en 5-ös (legjobb), 4-en 4-es, 9-en 3-as, a többiek -es osztályzatot adtak az étteremnek. Mennyi a leadott értékelések számtani átlaga? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 4-en adtak -es osztályzatot. 35 5 + 4 4 + 3 9 + 4 = 4,08 00 Tehát a leadott osztályzatok számtani átlaga 4,08. Összesen: pont
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. ) Egy kisboltban hétféle gyümölcsöt árulnak. Rita ebből háromfélét vesz, mindegyikből 500 g-ot. Hányféle gyümölcskosarat tud Rita összeállítani? Rita 7 = 35 féleképpen választhat. 3 Tehát 35 különböző gyümölcskosarat tud összeállítani. ) Péter egy matematika órán az alábbi kijelentést tette: Ha egy háromszög oldalai 3 cm, 4 cm és 5 cm hosszúak, akkor az a háromszög derékszögű. a) Igaz vagy Hamis ez az állítás? b) Adja meg az előbbi állítás megfordítását! c) Ez az állítás igaz vagy hamis? a) Igaz b) Ha egy háromszög derékszögű, akkor a háromszög oldalai 3 cm, 4 cm és 5 cm hosszúak. c) Hamis Maximális elérhető pontszám: 30 pont 3
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. II/A. rész: Az alábbi három példa megoldása kötelező volt! 3. a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az x ( x ) + egyenletű függvényt a [ ;5 ] intervallumon! b) Adja meg a fenti függvény minimum értékét, illetve adja meg, hogy hol veszi fel a függvény ezt az értéket! c) Oldja meg a log 8( x+ ) + log 8( x ) = egyenletet a valós számok halmazán! (7 pont) a) Ábrázolás (ha az intervallumhatárok hiányoznak, de jó a megoldás pont adható) b) A minimum helye: x = Értéke: y = c) Kikötés: x > log ( x+ )( x ) = log 8 logaritmus azonosságokat felhasználva: [ ] nevezetes azonosság: 8 8 8 8 log ( x ) = log 8 A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt: x = 8 gyökök: x = 3, illetve x = 3, de a kikötés miatt csak x = 3 megoldás. Összesen: pont 4
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. 4. Megkérdeztek 5 fiatal egyetemistát, hogy decemberben hány órát töltöttek internetezéssel. A felmérés eredményét az alábbi táblázat mutatja: 05 45 47 6 47 4 35 40 5 54 44 73 4 56 47 03 37 4 40 4 05 39 37 5 a) Átlagosan hány órát töltöttek internetezéssel a megkérdezett diákok decemberben? b) Ossza 30 óra terjedelmű osztályokba a fenti értékeket, kezdve a -30 óra, stb. osztályokkal, és ábrázolja ezeknek az osztályoknak a gyakoriságát oszlopdiagramon! (4 pont) c) Adja meg az adathalmaz terjedelmét, mediánját és móduszát, majd utóbbi kettőt értelmezze is! (5 pont) a) Számtani átlag: 05 + 45 + 47 + 6 +... + 39 + 37 + 5 = 73,4. Tehát átlagosan 73,4 órát 5 töltöttek internetezéssel a megkérdezett hallgatók decemberben. b) Internetezéssel töltött idő (óra) Gyakoriság -30 3-60 6-90 9-0 4-50 5 Gyakoriság (fő) 4 0 8 6 4 0 Internetezéssel töltött idő decemberben 4 5 0-30 3-60 6-90 9-0 -50 internetezéssel töltött idő (óra) (Csak akkor adható maximális pontszám, ha a cím és tengelyfeliratok is vannak.) (4 pont) c) Terjedelem: 45 = 4. Módusz: 47, azaz a leggyakrabban előforduló internetezéssel töltött idő 47 óra. Medián: 54, azaz a megkérdezettek egyik fele 54 óránál kevesebbet internetezett, másik fele pedig 54 óránál többet. Összesen: pont 5
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. 5. Orsi kedvenc itala az 55% gyümölcstartalmú narancslé. Mivel otthon már elfogyott ez az ital, lement a boltba, ahol csak kétféle narancslé van: 00%-os és 5% gyümölcstartalmú, mindkettő egyliteres kiszerelésben. a) Orsi úgy dönt, hogy elkészíti otthon magának az 55%-os narancslét a boltban kapható narancslevek keverésével. Hány litert vegyen a 00%-os és hányat a 5%-os narancsléből, ha összesen öt liter gyümölcslét szeretne készíteni? (9 pont) b) A 00%-os és a 5%-os narancslevek bolti ára rendre 300 és 50Ft/liter, míg Orsi legutóbb 0Ft/liter áron vett 55%-os narancslevet. Hány forint maradt Orsi zsebében annak köszönhetően, hogy magának keverte össze a narancslevet? a) Táblázat megrajzolása: Gyümölcslé típus Gyümölcstartalom (l) Összesen (l) 5% 0,5x x 00% 5-x 5-x 55% 0, 5 x+ (5 x) = 0,55 5 5 (5 pont) Egyenlet megoldása: 0, 5 x+ (5 x) = 0,55 5 Átrendezve:, 5 = 0, 75x x = 3 Tehát a 5%-os narancsléből 3 liter, a 00%-os narancsléből liter kell. Szöveges válasz b) Mostani vásárlás: 3 50 + 300 = 050 Ft Ha 55%-osat tud venni: 5 0 = 00 Ft Tehát összesen 50 Ft-ot spórolt. Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: 36 pont 6
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. II/B. rész: Az alábbi három példa közül kettőt kellett megoldani! 6. Az alábbi kérdések egy szabályos 8 oldalú szabályos sokszögre vonatkoznak. a) Mekkorák a sokszög belső és külső szögei? b) Mekkora a sokszög területe, ha a sokszög beírt körének sugara 0 cm? (8 pont) c) Milyen hosszú a legrövidebb átló? (6 pont) a) Belső szögek összege: (8 ) 80 = 880 Ebből egy szög: 880 = 60 8 Külső szögek össze 360, tehát egy külső szög: 360 = 0 8 b) A sokszög 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontható, ahol a sokszög egy oldalához tartozó (konvex) középponti szög 0 -os. AM tg0 = AM 3,565cm AB 7,053cm 0 T AMO 0 3,565 35, 65cm T = T 70,53cm Innen T sokszög = 8 T = 69, 55cm Szöveges válasz ABO ABO AMO c) Mivel a sokszög szabályos AB = BC S ABC = 60 (lásd: a) pont) Koszinusz tételt felírjuk ABC háromszögre: d = 7,053 + 7,053 7,053 7,053 cos60 d 9,9793cm Tehát d 3, 89cm Szöveges válasz Összesen: 7 pont 7
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. 7. Egy autóversenypálya építésének első napján a munkások összesen 00 méter utat aszfaltoznak le. A második nap 0 métert, a harmadikon 0 métert, majd ezt követően minden nap 0 méterrel többel készülnek el, mint az azt megelőző napon. a) Hány méter utat tudnak leaszfaltozni a munkások a hetedik napon? b) A pálya hossza összesen 400 méter. Hány nap alatt készülnek el, ha a munkások tudják tartani ezt az ütemet és minden nap dolgoznak? (8 pont) c) Hány méter utat fognak leaszfaltozni az utolsó napon? d) Mivel a munkát az eredeti tervekhez képest öt nappal később fejezték be a dolgozók, a kivitelezőnek kötbért kell fizetnie. A kötbér az első napra 00 000Ft, a második naptól pedig az előző napi kötbér,0-szerese. Összesen mennyi kötbér terheli a kivitelezőt a késés miatt? a) Számtani sorozat: a = 00, d = 0 a7 = a+ 7 d = 00+ 60= 60 méter utat aszfaltoznak le a hetedik napon. b) Sn 400 méter n n Sn = ( a+ a + ( n ) d) = ( 00+ 00 + ( n )0) = 400 Átrendezve: 5n + 95n 400= 0 Gyökök: n =, illetve n = 40, de n. Tehát nap a helyes megoldás. Ha a munkások tartják az ütemet, akkor nap alatt készülnek el. c) Mivel pont nap alatt végeznek, ezért a. napon leaszfaltozott út hosszát kell kiszámolni. a = a + 0d a = 300 méter Az utolsó napon 300 méter utat aszfaltoznak le. d) Mértani sorozat: a = 00000, q =,0 Tehát ( ) n 5 q S5 = a q, 0 S5 = 00000 S 5 = 5000,50., 0 Tehát 500 Ft kötbér terheli a kivitelezőt. Összesen: 7 pont 8
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. 8. Gazdaságszociológusok megállapították, hogy a várható élettartam és a bruttó hazai 6000 G össztermék között az alábbi kapcsolat áll fent: E = 83 5 0, ahol E az átlagos várható élettartam években és a G a bruttó hazai össztermék (GDP) angol fontban megadva. a) Mekkora volt az átlagos várható élettartam abban az országban 03-ban, ahol a G értéke 000 angol font volt az adott évben? (4 pont) b) Hány évvel lesz nagyobb az átlagos várható élettartam ebben az országban 00-ban, ha tudjuk, hogy G értéke várhatóan a 03-as érték,5-szeresére fog nőni? (5 pont) c) Egy másik országban 0-ben az átlagos várható élettartam 70 év volt. Mekkora volt a bruttó hazai össztermék (G) angol fontban megadva? (8 pont) a) G helyére behelyettesítve: 6000 000 E 03 = 83 5 0 0,6568 E = 60,3 év 03 83 5 0 Tehát az adott országban 03-ban az átlagos várható élettartam 60,3 év volt. G =,5 G = 5000 b) 00 03 6000 5000 c) E 00 = 83 5 0 0,64 E 00 = 83 5 0 75, 70 év 75,70 60,3 5,39 évvel növekszik 00-ra a várható élettartam. 6000 G E0 = 70 = 83 5 0 6000 G Átrendezve: 0 =,6 Mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát véve: 6000 G = 0, 45 Ebből: G 0 = 3473 angol font. A másik országban 0-ben 3473 angol font volt a bruttó hazai termék. Összesen: 7 pont Maximális elérhető pontszám: 34 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: 00 pont 9