Matematikai fogalmak, tételek

s* r w a s ^ Hajnal Imre Matematikai fogalmak, tételek Nyolcadik kiadás P-l :5matikai roga'nak, telol5k : hajjal!nre : 137366 Mozaik Kiadó >>Szeged, 2000

Szerző: HAJNAL IM R E Lektorálták: DR. SZENDREI JÁNOS DR. URBÁN JÁNOS DR. SCHARNITZKY VIKTOR A z á b rá k a t V assné N ém eth K a ta lin k észítette. Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorsítás, a inű bővített illetve rövidíletl változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli engedélye nélkül sem a teljes mű, sem annak része senimiféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható. MKM ENGEDÉLY SZÁM: 42.675/1993.Vin. ISBN 963 697 145 5 B e v e z e t é s Ebben a könyvben összefoglaljuk és rendszerezzük a középiskolák matematika törzsanyagát, benne az egyetemi és főiskolai felvételi vizsgák elméleti anyagát. Ez a rendszerezés az egyetemi tanulmányokra készülők mellett azoknak is hasznos, akik bár nem akarnak mélyebben foglalkozni a matematikával, de világosan szeretnék látni ismereteik lényegét és törekednek a matematikai fogalmak, definíciók, állítások, tételek közötti logikai rend megértésére. A matematikai sajátosságok, a matematikai gondolkodás elemeinek a megvilágftása és azok összefoglalása jól alkalmazható szilárd tudást nyújtanak. Ez elősegíti a sikeres érettségi, illetve felvételi vizsgát, amellett a mindennapok matematikájában is eligazít. Ebben a bevezető fejezetben azokról az alapvető fogalmakról lesz szó, amelyek a matematikával való foglalkozás közben nap mint nap előfordulnak, de éppen a látszólagos egyszerűségük és hétköznapiságuk miatt nem szánunk kellő időt a végiggondolásukra. Ezek tudatos megértése azonban segíti azt, hogy a különböző fogalmakat ne csak azért használjuk, mert ezt kell megtanulnunk, hanem saját magunktól is ráérezzünk a lényegülo^. A tanulás során ezzel nemcsak időt nyerünk, hanem egyegy összefüggés felismerése is élményt jelent. Célunk a könyv módszerét is meghatározza. A fejezetek anyagát tömören foglaltuk össze. Az egyes anyagrészek bevezetése egy-két mondat. Arra a kérdésre, hogy mi indokolja a témával való foglalkozást és új fogalmak bevezetését, a részletes választ a tankönyvek adják meg. A könyv szerkezeti felépítését a tartalomjegyzéke világosan mutatja. Az egyes fejezetcímek meghatározzák a fejezet anyagát. így például a VII. fejezetben a függvényekkel foglalkozunk, ebben tárgyaljuk az exponenciális, a logaritmus és a trigonometrikus függvényeket is, holott ezek az V. illetve a XVII. fejezethez is kapcsolódnak. (Többféle kapcsolat más témánál is előfordulhat.) A könyv mindössze néhány megoldott feladatot tartalmaz, annyit, amennyi a fogalmak, tételelc vagy eljárások megéjtéséhez feltétlenül szükséges. Az ismeretek biztos alkalmazásához azonban kellő gyakorlat is kell, ezt további feladatok megoldásával lehet elérni. COPYRIGHT MOZAIK OKTATÁSI STÚDIÓ - SZEGED, 1997

BEVEZETES Jelölések, olvasásuk A matematikával való foglalkozás kezdetén megismertünk és megszoktunk néhány jelölést és néhány szakkifejezést. M ár természetesnek tekintjük, hogy számokat betűvel jelölhetünk, azt is, hogy például az 1 és a 3 összehasonlításakor l<3-at írunk, amit így olvasunk: 1 kisebb mint 3 vagy 1-nél nagyobb a 3. A <, >, = jelek könnyen érthetők. Tudnunk kell, hogy a jelek, jelölések mögött fogalmak, definíciók, utasítások vannak. Az összetett kifejezéseket - ha lehetséges - a definíciók felhasználásával, az utasítások végrehajtásával ajánlatos lépésről-lépésre egyszerűbbekké átalakítanunk. Gyakran többféle is lehet a lépések sorrendje. Közülük a céljainknak legmegfelelőbbet (a leggazdaságosabbat) érdemes választanunk. Példaként tekintsük a 2-2^ kifejezést Elsőként azt kell felismernünk, hogy ez az alak kénényezős szorzat. A továbbiakban kétféle m ódon dolgozhatunk tovább: a) A szorzat mindkét tényezője pozitív egész kitevőjű hatvány. Ezek definíciója szerint: 2^=2 2 2=8,2 =32. A felírt szorzat: 8 32=256. b) A szorzat mindkét tényezője hatvány és alapjuk azonos. A z azonos alapú hatványok szorzatára bizonyítottunk egy állítást (tételt), azt, hogy a szorzat egyenlő a közös alapnak a kitevők összegére em elt hatványával. Ezt alkalmazva: 23-2^ = 2^+^=2. Ez a hatvány a p o zitív egész kitevőjű hatványok definíciója szerint: 2 =256. A jelölések értelmét közérthető szavakkal is pontosan kell megfogalmaznunk. Néhány példa már megmutatja, hogy gondosan kell ügyelnünk szavaink értelmére. 1. Az lízi S3 jelölés azokat a számokat jelenti, amelyekre fennáll a -3^íz^3 egyenlőtlenség. Azt is mondhatjuk, hogy ezek nagysága legalább -3 és legfeljebb J, vagy azt, hogy ezek a számok nem kisebbek -3-nál és nem nagyobbak 3-nál. 2. A 2< &I felírás azokat a számokat jelenti, amelyek eleget tesznek a >< 2 vagy a 2<b egyenlőtlenségnek, azaz azokat a számokat jelenti,amelyek kisebbek -2-nél vagy nagyobbak 2-nél. 3. Az ls c < 4 egyenlőtlenség azokat a számokat jelenti, amelyek nagysága legalább 1 és kisebbek 4-nél. Ezekre azt is mondhatjuk, hogy nem kisebbek 1-nél és kisebbek 4-nél. A példák mutatják, hogy gondot kell fordítanunk a különböző értelmű Jegfeljebb, JegaJább, valamint a,jcisebb,,/iem nagyobb, nagyobb", nem kisebb szavak helyes használatára. Ezeket a szavakat a matematikában is az anyanyelvi jelentésüknek megfelelően használjuk. Értelmüket a számegyenesen az 1. ábra szemlélteti, amelyen jelöljük azo- BEVEZETES kát a valós számokat, amelyek a) kisebbek mint 2,b ) nem nagyobbak mint 2, c) nagyobbak mint 2, d) nem kisebbek mint 2. A Jegfeljebb 2 a >)-nek felel meg a legalább 2 a rfj-nek. Az és, valamint a vagy kötősza- vak használata nagy figyelmet kíván. Egy következő fejezetben, a a )- b)- matematikai logika alapjaiban, külön is foglalkozunk a velük értel cj- 0 0 mezett logikai műveletekkel. Ismereteink alapján természetes kérdésként fogalmazzuk me& 1. ábra hogy az 1) iái á3, 2) 2 < tél, 3) l s e <4 egyenlőtlenség milyen számokra vonatkozik: Valós számokra, vagy csak egész számolaa, vagy racionális számokra? Valós számokra gondolva, a megfelelő számokat a 2. ábra számegyenesein szemléltettük. Ha az előző három egyenlőtlenségnek eleget tevő egész számokat keressük, akkor az azoknak megfelelő különálló pontokat a 3. ábra mutatja. 1--- D 0 1 3 1 1 O--- f 0..i.. 2 3 1 c 1i * / l d)- -4-3 - 2 - [ 0 1 2 3 4 --5-4 - 3-2 - 1 0 1 2 3 4 5-0 t 1 4-4 -3-2 -1 0 1 _ 2 ábra 3. ábra 1 2 3 A számokra vonatkozó feltételeket az egyenlőtlenséggel (vagy más kifejezéssel) együtt ajánlatos megadnunk. Ehhez célszerű megállapodnunk valamilyen egyszerű és rövid, de egyértelmű kifejezés- és jelölésmódban. Tudjuk, hogy erre nagyon alkalmas a halmaz fogalma, valamint a halmazokkal kapcsolatos jelölésmódok. Lehetséges, hogy az előző egyenlőtlenségekhez (vagy más kifejezéshez) valamilyen problémával kapcsolatban jutottunk. Ekkor ez a probléma meghatározza azt, hogy milyen számokra kell gondolnunk: csak egész számokra, vagy racionális, vagy valós számokra, vagy pozitív számokra, vagy nemnegatív egész számokra stb. Ha nincs semmi olyan szempont, amely a számokra feltételt szabna, akkor valós számokra gondolunk. A valós számok halmaza az a legbővebb számhalmaz, amellyel a középiskolai matematika anyagban foglalkozunk. - A - 4 5

BEVEZETES Fogalmak - állítások (alapfogalmak, defíníciók - axiómák, tételek) A matematikai ismeretek rendezését megkönnyíti, ha néhány példával megvilágítjuk a fogalmakat és értelmezésüket, valamint az ezekre vonatkozó állításokat. A ) K legegyszerűbb fogalmakról is világos képet kell kialakítanunk, az összetettebbeket pontosan kell értelmeznünk, definiálnunk kell. Példaként tekintsük a következőket: a) A pont, az egyenes olyan fogalmak, amelyeket a környezetünkben lévő tárgyak érzékelhető tulajdonságaiból (például a tű hegyéből; a gondolatban kifeszített és meghosszabbított vékony drótból;.,,) elvonatkoztatással, absztrakcimal alakítottunk ki. ö) Az la I jel az ö szám abszolútértékét jelöli. Ennek értelmezéséhez már ismernünk kell a pozitív szám, a 0, a negatív szám fogalmát. Az ű definíciója; (ö, ha 0 S ű -a, had < 0 Ez - anyanyelvűnk közhasználatú szavaival - azt Jelenti, hogy bármely nemnegatív szám abszolútértéke önmaga, negatív szám abszolútértéke pedig a szám ellentettje. A definíció szerint például: 171=7, 101 =0, - 5 - ~ ( - 5 ) = 5. Az a) alatti példák mutatják, hogy vannak fogalmak, amelyek alapvetőek és annyira egyszerűek, hogy ezeket nem tudjuk egyszerűbb fogalmak segítségével értelmezni, vagy nem érdemes arra törekednünk, hog)' ezeket egyszerűbb fogalmakra vezessük vissza. Ilyen például a sík, az illeszkedés, a halmaz,... fogalma is. Ezeket a fogalmakat tapasztalataink, megfigyeléseink után elvonatkoztatással alakítjuk ki. Az ilyen fogalmakat nem értelmezzük, nem definiáljuk, ezeket alapfogalmaknak tekintjük. A b) alatt említettük a számok abszolútértékét. Ezt a fogalmat már értelmeznünk, definiálnunk kellett. A hatványfogalomhoz is definíciókat kell megadnunk. Definiáljuk a kört, parabolát,... is és még nagyon sok más fogalmat is. Definícióval egy-egy lijabb fogalmat korábban megismert fogalmak segítségével értelmezünk. B) A fogalmak között kapcsolatokat találhatunk. Rájuk vonatkozó igaz állításokat fogalmazhatunk meg. Közülük eg)'eseket közvetlen tapasz- BEVEZETES talataink alapján is felismerhetünk, másokhoz logikus gondolkodással, több lépésből álló helyes következtetésekkel juthatunk. Példaként tekintsük a következőket: a) A pontokat és az egyeneseket vizsgálva azt tapasztalhatjuk, hogy két pontra egyetlen egyenest illesztíietünk. Ez olyan állítás, amelyet igaznak fogadhatunk el. Ezt az állításunkat senki sem tudja megcáfolni, mindenki számára hihető, következményei nem vezetnek ellentmondáshoz. Bizonyításával hiába próbálkoznánk, ha erőltetnénk, akkor az csak más szavakkal történő körülírás lenne. A,^ é t pontra egyetlen egyenes illeszthető állítás tömör, könnyen érthető. Ezt és az ehhez hasonló igaz állításokat alaptételeknek nevezzük, a matematikában azonban megszokottabb az axióma elnevezés. <x = ex. 4. ábra 5. ábra A középiskolában axiómáknak tekintjük az egyállású, illetve a váltószögekre (4. ábra) vonatkozó igaz állításokat: Az egyállású szögek egyenlő nagyságúak, illetve A váltószögek nagysága egyenlő. (Könnyen sorolhatnánk további axiómákat is.) b) Tekintsük a háromszög belső szögeit (5. ábra). Az ábrán látható /3 és f3 váltószög, 7 és 7 egyállású szög. Az előbb említett axiómák szerint /3 = j3 és 7 = 7, ezért az A csúcsnál lévö egyenes szög: a+0' + y = a+ ^ + y= í8(f. így axiómák felhasználásával, logikai úton jutottunk el egy igaz állításhoz: A háromszög belső szögeinek összege 7S0". Ezt az igaz állítást tételnek nevezzük, azt a gondolatmenetet amellyel ehhez az igaz állításhoz jutottunk, a tétel bizonyításának. A z elmondottakat röviden összefoglaljuk: A matematikában szereplő fogalmak közül az alapfogalmakat, tapasztalataink alapján, absztrakcióval alakítjuk ki, másokat definiálunk. A z axiómák a fogalmakra vonatkozó egyszerű, igaz állítások. Hogy mit tekintünk axiómáknak, azt akkor lehet eldöntenünk, ha a témakörből már jelentős ismereteink vannak és az ismereteket rendszerezzük. Egy témakör ismereteinek rendszerezése többféle axiómarendszer alapján is történhet. (A középiskolában alapul vett axiómarendszer jóval bővebb, mint amelyet az igényes és szigorú matematikai tárgyalás kíván.) 8

BEVEZETES A z axiómákból kiindulva - hefyes következtetésekkel - további igaz állításokhoz juthatunk Ezeket tételeknek nevezzük, azt az eljárást pedig, amelyekkel ezekhez eljutunk, a tétel bizonyításának mondjuk. A z alapfogalmak, definíciók - axiómák, tételek tudatos megkülönböztetése segíti a matematikai ismeretek közötti eligazodást. (Ezt a tagolást azonban nem szabad mereven tekintenünk.) BEVEZETES 2. Tekintsük két pont távolságát. a) A z és -ö pontok távolságát, az A B szakasz hosszát - amelyet d(a, B)-veI jelölünk - a középiskolai tárgyalásmódban alapfogalom nak tekintjük. Részletesebb, - a középiskolainál alaposabb - tárgyalásmódban két pont távolságára deji/tídót fogalmazhatunk wiej. Megjegyzések; L A tételek megfogalmazásánál azt kellene mondanunk, hogy ez a tétel igaz, lia a l^izonyításánál felhasznált... tétel igaz, ez pedig igaz, ha a... tétel is ig a z,..., ez pedig igaz, ha az... axiómák igazak. - Ezt a hosszú indoklást azonban nem érdemes (sőt felesleges is lenne) mindig m egfogalmaznunk. Csupán azért említettük, mert ez rámutat a helyes szemléletre. n. A geometriában az ismeretek ilyen rendszerezését először Euklidész i.e. 300 körül végezte el. Az általa bevezetett axiómarendszerrel kapcsolatban a XIX. században kérdések merültek fel. Ezek vezették Bolyai Jánost, N.I. Lobacsevszkijt arra a gondolatra, hogy kidolgozzanak egy nemeuldidészi geometriát. A geometria axiómarendszerét, a mai matematikai gondolkodásnak m egfelelően D. Hilbert dolgozta ki a XIX. század legvégén. i n. Egy-egy fogalmat különböző módon megfogalmazva is definiálhatunk. Egy témakör kiilönbözö mélységű tárgyalásmódjánál az alapfogalmak között különbségek is adódhatnak. Megtörténhet, hogy egy témakör részletesebb és mélyebb tárgyalása esetén egyes fogalmakat már nem alapfogalmaknak tekintünk, hanem definiáljuk. Ezeket a megjegyzéseinket egy-egy példával megvilágítjuk: 1. Tekintsük a paralelogrammákat. a) M egszokott definíciójuk: Paralelogrammák o2 ok a né^ szögek, am e lyeknek két-kéf oldaluk párhuzamos. Ebből a definícióból kiindulva bizonyíthatjuk a következő tételt is: A paralelogrammák kél átlója felezi egymást. Megtehetjük azonban azt is, hogy az előzőtől eltérő szövegezésű definícióval értelmezzük a paralelogrammát. b) Definícid: Paralelogrammák azok a négyszögek, amelyeknek a két átlója fele d egymást. Ebből a definícióból kiindulva bizonyíthatjuk, hogy a paralelogramm ák szem közti oldalai párhuzamosak. Mindkét definíció egyértelműen határozza meg a paralelogrammákat. Azt mondjuk, a paralelogrammákra adott előző két definíció ekvivalens. Közülük az elsőt gyakrabban használjuk, mert az szem léletesebb. Egy paralelogranmiára ránézve szembetűnőbb az, hogy a szemközti oldalai párhuzamosak, mint az, hogy átlóik felezik egymást. b) H a választunk egy hosszúságegységet, akkor bármely.4 és fi (A ^B ) pont távolságán, azaz az A B szakasz hosszmértékén olyan pozitív számot értünk, amelyre teljesül a következő két feltétel; a) egybevágó szakaszok mértéke egyenlő, b) egy AB szakasz mértéke egyenlő a C ponttal felbontott két szakasz, az^ lc és CB szakaszok mértékének az összegével (6. ábra). E zek a megjegyzések azonban csak azok számára érdekesek, akik későbbi tanulmányaik során a matematika alapjaival is foglalkoznak. Az előzőekben néhány példával rámutattunk arra, hogy a legegyszerűbb matematikai ismeretekhez is újabb és újabb kérdések kapcsolódnak. Ezt természetesnek kell tekintenünk és törekednünk is kell arra, hogy gondolkodásunk mozgékony legyen. Egy-egy matematikai probléma tisztázásának az a legjobb módszere, ha lényegre mutató kérdéseket fogalmazunk meg és azokra megfelelő válaszokat keresünk. Ezeket a kérdéseket szinte láncszerűen kapcsolhatjuk egymáshoz. Lehetséges, hogy a probléma tisztázásához szükséges kérdésválasz gondolatsort nem találjuk meg azonnal. Arra is készen kell állnunk, hogy a megkezdett, de eredménytelennek mutatkozó elgondolást megszakítsuk, helyette új utat keressünk és arra is, hogy az egyik kérdésre adandó válaszhoz egy külön út vezet. Ha a kiinduló kérdés után lépésrőllépésre egyszerűbb ismeretekre vonatkozó kérdéseket tudunk megfogalmazni és azokra megfelelő választ adni, akkor a problémát tisztázhatjuk. Ez a módszer feladatok megoldásánál is célravezető. Példaként tekintsük a következő egyenlet megoldását: :t+2 )= 0. A m egoldáshoz vezető egyik gondolatsor; 10 II

BEVEZETES Átalakítással új alakra hozzuk az egyenletet? Megtehetnénk, de az új alak nem lesz egyszerűbb. M i a jellemzője a bal oldalon álló kifejezésnek? K éttényezss szorzat. Hogyan lehet a szorzat 0? H a a tényezői között van 0. Lehet-e t/i^+4 = 0? Nem, meri x^+4 > O.yí m áiodik tényező lehet-e 0? Két tag összegének kellene 0-nak lennie. A z egyik tag x --4 négyzetgyöke, a másik j;+2-nek az abszolútértéfce. Ezekre m it m ond a definíciójuk? A nemnegatív számok négyzetgyöke olyan nemnegatív szám a számok abszolút ért éke is nemnegatív szám. Ennek a két tagnak az összege hogyan lehet 0? Csak úgy, ha mindkettő 0. A z első tag m ikor lesz 07 H ax^ -4^ 0, azaz x = - 2 vagy x = 2. A második tag m ikor lesz 0? H a x+ 2-Q, akkor x - ~ 2. A z x = - 2 valóban kielégíti az egyenletet? Igen, akkor 0 = 0.A z x = - 2 a z egyetlen gyök? Igen, mert más számnál ^x'^-4+ \x+2 \ /O. A z egyenletnek egyetlen gyöke van, ezx = -2. E z a gondolatsor leírva hosszúnak tűnik, de végiggondolásához kevesebb idő kell, mint elolvasásához. Akiben kitartó munkakedv és tudásvágy van, az hozzáértő szakmai vezetés mellett hamar felismeri a matematikai gondolkodás sajátos vonásait. Megszokja, hogy az ismereteket ne elszigetelten, önmagukban nézze, hanem az összefüggéseket keresse, ha kell akkor a felmerült problémát bontsa fel részeire. Közben gondolkodókészsége, memóriája fejlődik. Magától talál új utakat ismeretei bővítésre, szokatlan feladatok megoldására. I. H a l m a z o k, h a l m a z m ű v e l e t e k A gömbfelület legegyszerűbben megfogalmazott definíciója: azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egy adott ponttői azonos távolságban vannak. A halm az fogalm a megkönnyítheti mondanivalóink megfogalmazását. Megtörténhet, hogy adott halmazokból valamilyen feltételnek m egfelelő újabb halmazhoz jutunk. Például: A 2 az egyetlen páros szám, amely prímszám. Azt mondjuk, hogy a páros számok halmazának és a prímszámok halmazának közös része a { 2 }.B t o r ^ s feltételeknek megfelelő halm a zo k keresését halmazok közötti műveletnek nevezzük. A halmazzal kapcsolatos fogalmakat, jelöléseket, a halmazok megadását tisztáznunk kell. Értelmeznünk kell a halmazműveleteket és tudatosan is ismernünk kell e műveletek tulajonságait. Fogalmak, halmazok megadása A halmaz fogalmát körülírhatjuk (más szóval pl. sokaságnak nevezhetnénk), példákkal megvilágíthatjuk, de nem tudjuk definiálni. A) A,Jialmaz és az elem alapfogalom. Egy halmazban minden eleme csak egyszer szerepelhet. Egy halmazt általában nagy betűvel jelö-, lünk, az elem eit kapcsos zárójelbe tesszük. B) a) Ha egy halmaznak véges sok eleme van, azaz, ha egy természetes számmal megadhatjuk az elemeinek a számát, akkor azt véges halmaznak mondjuk. Véges halmaz az is, amelynek egyetlen eleme sincs, azaz elemeinek a száma 0. Ezt üres halmaznak nevezzük, jele; 0, vagy {}. (Megjegyezzük, hogy a {0} egyelemű halmaz, mert egyetlen eleme van, ez a 0 szám.) öj Ha egy halmaznak végtelen sok eleme van, azaz ha az elemeinek a számát természetes számmal nem adhatjuk meg, akkor azt végtelen halmaznak mondjuk. Ilyen például: ^4 = {pozitív egész számok}, B = {pozitív páros számok}. 12 13

HALMAZOK, HALM AZM ŰVELETEK HALMAZOK, H ALM AZM ŰVELETEK C) Egy halmazt úgy adhatunk meg, hogy a) megadunk egy olyan utasítást, amely alapján bármiről egyértelműen eldönthetjük, hogy eleme-e a halmaznak, vagy nem eleme. Például; C= {az egyjegyű prímszámok}, 5 C, 6^ C stb. b) véges halmazok elemeit felsorolhatjuk. Pl.: C = {2; 3; 5; 7}. D) A halmazokat szemléletessé tehetjük az ú.n. Venn-diagramokkal. (Ezek Venn matematikus után kapták a nevüket.) A diagram csak jelképezi a halmazokat. A Venn-diagram egy-egy síkidom (gyakran körlap), egyaránt jelképezhet végtelen vagy véges halmazt (7. ábra). B = {pozitív páros számok} C - {2; 3; 5; 7} Példa: Legyen: D = {3; 4; 5}, = {3; 4}, í -{3; 4; 5}. A definíciók értelmében: D ^F, E cf. (Természetes, hogy fennáll: D=F és helyes az E qf felírás is.) Megjegyzés: Más jelölés is használatos. A részhalmaz jelölésére szokás az A c H, a valódi részhalmazra az jelölés is. Halmazműveletek A halmazműveletek közül - középiskolában - a legfontosabb hárommal foglalkozunk: Unióképzés Két (vagy több) halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek a két (vagy több) halmaz közül legalább az egyiknek e/emej. Az unióképzés Jele: u. 7. ábra E) Értelmeztük két halmaz egyenlőségét: Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz elemeivel azonosak, azaz az Aí és az halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ho-x^m esetén azxsa/' is teljesül és ha_yím, akkor AT is igaz. A ^ H A b) 8. ábra H ( S > A C H F) Bevezettük a részhalmaz és a valódi részhalmaz fogalmát. űj A z ^ halmazt a H halmaz részhalmazának nevezzük, ha a z ^ halmaz minden eleme a H halmaznak is eleme. Jelölése: A ^ H. (A definíció szerint b á r m e ly i í h a lm a z n á l és H qh.) 14 b) A z A halmazt a H halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha az A ( ^ 7^0) halmaz részhalmaza a H halmaznak, de nem egyenlő vele. Jelölése: A ch. (8, ábra) 9. ábra Az unióképzést halmazok egyesítésének is nevezzük, a halmazok unióját a halmazok Összegének is mondjuk. Két halmaz unióját a 9. ábra Venn-diagramja szemlélteti. A definícióból következik, hogy az unióképzés kommutatív művelet'. A^B=BK}A, ugyanis mindkét sorrendben képezzük is az uniót, az ugyanazt az egyesítést jelenti. Hasonló meggondolásból következik az unióképzés asszociatív tulajdonsága: (A u B )u C = A u(b uc ) =A u B u C. (A zárójelpároktól független a kifejezés, ezért az el is hagyható.) Metszetképzés Két (vagy több) halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek mindkét (vagy valamennyi) halmaznak az elemei. A metszetképzés jele: n. 15

HALMAZOK, HALM AZM ŰVELETEK A halmazok metszetét a halmazok közös részének, vagy szorzatának is nevezzük. Három halmaz közös részét (metszetét) a 10. ábrán Venndiagrammal szemléltetve láthatjuk. A definícióból következik, hogy a metszetképzés kommutaiív művelet: ACiB=Br\A, ugyanis mindkét sorrendben képezzük is a közös elemeket, ugyanazokat kapjuk. A metszetképzés asszociatív tulajdonságú művelet: (Ar\B)f^C=Ar\{Br\C)=AriBr\C. Két halmaz különbsége metszetük 10. ábra A z ^ és a ő halmaz (ebben a sorrendben tekintett) különbségének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az A halmaznak és nem elemei a B halmaznak. A különbség jelölése: (11. ábra). 11. ábra KOMPLEMENTERHALMAZ HALMAZOK, HALM AZM ŰVELETEK A 11/b ábrán B c A. A z ott látható y l\ö halmazról szemléletesen azt mondhatjuk,hogy az a ő halmazt kiegészíti az A halmazra. Latin nyelven á kiegészítő: komplementer ', ezért az A \ B halm ait komplementerhalmaznak nevezhetjük. Definíció: Egy H halmaznak legyen egy részhalmaza az A halmaz. Az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementerének (komplementer halmazának) nevezzük a H \A halmazt. Jelölése;^4^:^ (olvasd: Az A halmaz H-ra vonatkozó komplementere ). H a a H alaphalmaz egyértelműen felismerhető, akkor az jelölés helyett a rövidebbz (olvasd;,,a felülvonás ) jelet is használjuk. A definícióból azonnal következik: H = 0, 0 = H, A=A. Számhalmazokkal gv-akran dolgozunk, ezért néhány számhalmazra egyezményes jelölést vezettünk be; A természetes számok halmazának jele: az egész.számok halmazának jele; Z, a racionális.számok halmazának jele; Q, a valós számok halmazának jele; R. A pozitív egész számok halmazának szokásos jelölése: Ezzel összhangban a negatív valós számok halmaza: R". stb. IN, vagy Z A fogalmak és a halmazműveletek értelmezé,séből következnek: N c Z c Q c R ; IN'^=]N\{0}; Z = Z "u N ; R \Q = {irracionális számok}; az egész számokra, mint alaphalmazra vonatkozóan a természetes számok halmazának komplementere a negatív egész számok halm aza;... stb. Azoknak az x valós számoknak a halmazát, amelyekre fennáll az a x^t> egj'enlötlenség, az [ö, b] zárt ínten'allumnak. amelyekre az a<x<b áll fenn, az ]a, b{ nyílt intervallumnak nevezzük. A halmazokkal kapcsolatos ismeretek nagv'on hasznosak tárgyak osztályozásának szemléltetésénél, segítséget nyújthatnak bizonyos összeszámlálásoknál, függ\ ények értelmezési tartományának, énékkészletének felírásánál,... stb. paralelogrammák: téglalapok négyzetek H 1 ^ ' 2 ' o 5 / 4 9 ) 7 X 8 B 12. ábra 13. ábra 16 17

H ALM AZO K HALMAZMŰVELETEK Néhány példa: 1. A paralelogrammák osztályozását mutatja a 12. ábra. 2. Az egyjegyű számok 2-vel, 3-mal való oszthatóságát a 13. ábra Venn-diagramja szemlélteti. íí= {egyjegyű egész számok}, ^ = {egyjegyű páros számok}, {egyjegj'ű, 3-mal osztható számok}. Az ábráról könnyen leolvashatjuk azt is, hogy hány eleme van az egyes halmazoknak. 3. A háromjegyű számok között hány olyan van, amely nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal? Készíthetnénk a 13. ábrához hasonló Venn-diagramot, de az ábrába nem írhatunk be annyi számot mint kellene. Értelemszerűen a H halmaznak 900, az A halmaznak 450, a B hahnaznak 300 eleme van. A Venndiagramról látjuk, hogy a í í halmaz elemeinek számából, a 900-ból el kell vennünk az A és a 5 halmaz elemeinek a számát, azaz 450+300-at. Ekkor azonban a z A n B halmaz elemeinek a számát kétszer vettük el. Az ^ n ő nek azok a számok az elemei, amelyek 6-tal oszthatók. Ilyen szám a 900- ból minden hatodik, azaz 150 ilyen szám van. Mivel ezt kétszer vettük el, a kivonás utáni különbséghez hozzá kell adnunk. Azoknak a háromjegyű számoknak a száma, amelyek sem 2-vel, sem 3-mal nem oszthatók: 900-(450+300)+150=300. Ezt a gondolatmenetet mindig alkalmazhatjuk, ha egy véges halmazból bizonyos tulajdonsággal nem rendelkező elemeket kell kiválasztanunk, illetve összeszámlálnunk. Ez a módszer - hogy könnyen hivatkozhassunk rá - önálló elnevezést kapott, logikai szitának nevezzük. 4. A3+\Í4-x^ kifejezésnek milyent: értéknél van értelme és azoknál milyen értékeket vesz fel? A kérdés helyett mondhatjuk a következőt: Határozzuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amely az/(jc) = 3+^4-x^ függvény értelmezési tartománya lehet és határozzuk meg az értékkészleté. Az értelmezési tartománya: -2^JcS2 (mert 0 é 4-x^), értékkészlete: 3á/(x)á5. Ugyanezt megadhatjuk más alakban: értelmezési tartománya: [-2; 2], értékkészlete: [3; 5]. II. A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI A matematikai logika elemeit néhány mondat szerkezetének a vizsgálatával vezetjük be. Kijelentések, logikai értékük Az egyszerű kijelentő mondatok között vannak olyanok, amelyekről egyértelműen eldönthetjük, hogy vagy igazak, vagy nem. Például: Ez a négyszög paralelogramma. Ma hétfő van H a előttünk van egy négyszög, akkor arról egyértelműen megállapíthatjuk, hogy az vagy paralelogramma, vagy nem az. Ugyancsak egyértelműen eldönthetjük, hogy ma hétfő van, vagy nem. Ezt a logika nyelvén úgy mondjuk, hogy a Ma hétfő van állításról egyértelműen eldönthetjük, hogy az igaz, vagy hamis. Egy kijelentő mondattal kapcsolatban az Jgaz -at, a hamis -at a mondat logikai értékének nevezzük. Nagyon szép a ruhád is kijelentő mondat, de ez olyan szubjektív megállapítás, amely vitatható. Kinek-kinek, az ízlése szerint vagy igaz, vagy hamis állítás. Egyértelműen nem dönthetjük el. Számítsuk ki a 27-37 49 szorzatot! Ez nem kijelentő mondat. Az a gondolat fel sem merülhet, hogy a logikai értékét keressük. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen eldönthetjük, hogy logikai értékük vagy igaz, vagy hamis, kijelentésekneh vagy állításoknak nevezzük. (Régebben az ítélet elnevezés is használatos volt.) (A) (B) Vannak olyan kijelentő mondatok, amelyekről csak feltevés alapján mondjuk, hogy azok logikai értéke vagy igaz, vagy hamis. Például az, aki a matematikában járatlan A z összetett szám ok egyértelműen felírhatok prím szám ok szorzataként" kijelentésről nem tudja eldönteni, hogy az igaz vagy hamis állítás. Másokhoz hasonlóan azonban ö is feltételezheti az igaz logikai értéket. 18 19

A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Kijelentések a következők is: A 2 páros szám. A 2 prímszám. András este levelet ír. András este lemezt hallgat. Ennek a négyszögnek a két átlója felezi egymást. 12 osztható 7-tel. Megállapodás alapján, ha valamely kijelentés logikai értékét tekintjük, akkor azt, a kijelentés két függőleges vonal közé írásával jelöljük. Például: A kettő páros számi =i (igaz), 112 osztható 7-tel =h (hamis). Rövidebben: C = i, \H \=h. Logikai műveletek (1): Nem igaz az, hogy a 12 osztható 7-tel. Ez egyszerűbb fogalmazásban: 12 nem osztható 7-tel. (C) (D) (E) (F) (G) (H) Két vagy több kifejezésből összeállíthatunk újabbakat is. Például: (2): A 2 páros szám és prímszám. (5): András este levelet ír vagy lemezt hallgat. {4a)\ Ha ez a négy'szög paralelogramma, akkor a két átlója felezi egymást. Matematikai tételeket gyakran fogalmazunk meg a (^)-hoz hasonló szerkezetű mondatokkal. Ismereteink alapján tudjuk, hogy a {4a) alatti igaz állítás akkor is igaz lesz, ha a benne szereplő két egyszerű állítást felcseréljük: {4 b )\ Ha ennek a négyszögnek a két átlója felezi egymást, akkor ez paralelogramma. A {4a) és a (4b) alatti igaz állításokat a matematikában megszokott szakkifejezéssel egy mondatban is összefoglaljuk: (5): Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha a két átlója felezi egymást. Az előző megfogalmazások szerkezetének megfelelően logikai műveleteket értelmezünk. Logikai műveletekről akkor beszélünk, ha kijelenté A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI seket úgy kapcsolunk össze eg>' új kijelentéssé, hogy az összetett kijelentés logikai értéke csak a komponensek logikai értékétől függ. Logikai műveleteket és elnevezésüket először táblázatszerűen közöljük: (1): n e m // negáció, (2): C ésd konjunkció, (5): E vag>' F diszjunkció, (^a): haakkor G 1 (4b): ha G, akkorái J implikáció (5): A akkor és csak akkor, ha G ekvivalencia A középiskolai matematika anyagban ezzel az öt logikai művelettel foglalkozunk. (További műveletek is értelmezhetők. - A jelenleg előírt vizsgák csak az első három ismeretét kívánják, de a középiskolai anyag alapos megértése igényli az implikációval és az ekvivalenciával való foglalkozást is.) Megfogalmazzuk az említett logikai műveletek értelmezését és megvizsgáljuk, hogy a negáció hogyan változtatja meg az eredeti kijelentés logikai értékét, a többi műveletnél pedig azt, hogy a kiinduló két kijelentés logikai értéke hogj'an határozza meg az összetett kijelentés logikai értékét. Megjegyzés: A következő összetett kijelentés: Rosszul sikerült a dolgozatom, mert nehezek voltak a feladatok ' nem logikai művelettel keletkezett. Ennek az összetett kijelentésnek logikai értékét nem határozza meg egyérteknűen a komponensek logikai értéke, azt is vizsgálni kell, van-e ok-okozati összefüggés a két kijelentés között. Negáció A negáció (= tagadás) egy kijelentés tagadása. A P kijelentés negációja: Nem igaz, hogy/". J e lö lé s e :F. Ha a P kijelentés logikai értéke igaz, akkor P logikai értéke hamis, ha P hamis, akkor P igaz. Ezeket egy táblázatban, a negáció műveletét definiáló értéktáblázatban összefoglaljuk. p i h n p h i Ezt a negáció értéktáblázatának nevezzük. 20 21

A M ATEM ATIKAI LOGIKA ALAPJAI Koi\junkció A konjunkció (= összekapcsolás, együttállás) két egyszerű kijelentést az és kötőszóval kapcsol össze. A P és a ö kijelentés konjunkciójának jele: PA g (olvasd: P és O ). Az és kötőszónak a konjunkciónál való értelmezése ugj'anaz, mint a mindennapi szóhasználatban. A P /\Q logikai értéke kizárólag akkor igaz, ha P logikai értéke is, Q logikai értéke is igaz. (A és Ö -nak megfelel a is, Q is, a P továbbá Q" fogalmazás is.) A konjunkció értéktáblázata: A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Hétfőn vagy kedden elutazom. Most választó értelemben használtuk a vagy 'Ot. N em gondolok arra, hogy mindkét nap elutazom. Mi m ost a megengedő vagy -gyal foglalkozunk, csak azzal értelm e zünk logikai műveletet, A diszjunkció két egyszerű kijelentést a megengedő vagy kötőszóval kapcsol össze. A P és a ö diszjunkciójának jelölése: Pv<2 (olvasd: vagy ö )- A Pv<2 kijelentést akkor tekintjük igaznak, ha a két kijelentés közül legalább az egyik igaz. A diszjunkció értéktáblázata: Q P a Q p Q P v ö i i h h I h i h i h h k i i i i h i h i i h h h Az értelmezésből következik, hogy a konjunkció kommutatív művelet, azazí* A ö = ö ap. Kettőnél több állítás konjunkcióját is értelmezzük: A z ^ i^ ^ 2> állítások konjunkciója: A ^A A 2 A...A.Af,. Ennek logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha minden egyes állítás logikai értéke is igaz. Az értelmezésből az is következik, hogy a konjunkció művelete asszociatív: (v4j A ^ 2) AA-^=A-^ a (A2 A ^ 3) ~Ai A A 2 Aj4;5. Dis:yunkeió A diszjunkció (= elválasztás, szétválasztás) két egyszerű kijelentést a vagy kötőszóval kapcsol össze. A vagy kötőszó használata figyelmet érdemel. András aste levelet ír vagy lemezt hallgat. A mondat értelm e szerint lehetséges, hog>' levelet ír, lehet, hogy lemezt hallgat, az is lehet, hogy levelet ír és közben hallgatja a lemezt. A vagy kötőszónak ezt a használatát megengedő vagy -nak nevezzük. M a 5 órakor kerékpározom vüq! a televíziót nézem. A mondat értelm e szerint vagy az egyik történik, vagy a másik, egyszerre nem tehetem mindkettőt. A vagy^ -nak az ilyen használatát kizáró vagy -nak nevezzük. (Ha azt mondom: Ma 5 órakor vagy kerékpározom, vagy a televíziót nézem', akkor a páros vagy vagy... -gyal egyértelművé tettem a,,kizáró vag>' -ot. Ez azonban az emberek többségénél nem Uidatos.) Az értelmezésből következik, hoey a diszjunkció kommutatív művelet: p v ö = ö v p. Kettőnél több állítás diszjunkcióját is értelmezzük: A z^i, A 2,...,A ^ kijelentések diszjunkció]a: ^4, V/lj V... Vyl. Ennek logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha a kijelentések közül legalább egy kijelentésnek igaz a logikai értéke. A z értelmezésből az is következik, hogy a diszjunkció asszociatív tulajdonságú művelet: (A iv A 2)'^A ^= A i\/ (A2 V A ^)= A i\/a 2 ya^. Implikáció Az implikáció a P és a ö kijelentésekből a ha P, akkor Q szerkezettel képezett összetett kijelentés. Jelölése: P^Q vagy P=»Ö- így olvassuk: Ha P, akkor Q vagy,yp implikálja Q-t. Az implikációt a ha..., akkor... kötőszavak feltűnően két részre tagolják. AP~^Q implikációnál a P-t előtagnak, a Q-t utótagnak nevezzük. Az implikáció logikai értékét, ha az előtag igaz, akkor az utótag logikai értéke határozza meg. Ha az előtag hamis, akkor az implikáció logikai értékére nem találunk természetesnek tűnő választ. Például: Ha egj' négyszög rombusz, akkor az átlói egymásra merőlegesek.' Ha a négyszög nem rombusz, akkor lehetséges, hog>' az átlói egj'másra merőlegesek, de az is lehet, hogy nem merőlegesek. Alapos meggondolás arra vezet, hogy hamis előtag esetén az implikációt igaznak kell tekintenünk. 22 23

A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Az implikáció értéktáblázata: i i h h Q I h i h P^Q I h i i Az implikáció nem kommutatív {P^Q)+{Q-^P) és nem asszociatív művelet {{P^Q)-^R+{P^{Qi=R)). Ezt értéktáblázat készítésével láthatjuk be. Ekvivalenda Az ekvivalencia két kijelentésből, például a P-h6[ és a <2-t>ól képezhető két implikációt koiyunkcióval kapcsol össze. P t?, Q ekvivalenciája: ^ {Q-*P)- Rövid jelölése: P-^Q vagy P^Q (olvasásuk: P akkor és csak akkor, ha Q, vagy P szükséges és elegendő fettétele Q-nak \ A z ekvivalenciát gyakran használjuk matematikai tételek megfogalmazásánál. 1. példa: Ismerjük a húrnégyszögek tételét és megfordítását. Tétel { P ^Q ): Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor két szemközti szögének összege 180. A tétel megfordítása {Q^P): Ha egy négyszög két szemközti szögének összege ISOf", akkor az a négyszög húrnégyszög. A tételt és megfordítását (a két implikációt) egy mondatban összefoglaljuk {P ^ Q Y Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két szemközti szögének összege 180. 2. példa: Igaz a következő állítás: Ahhoz, hogy egy háromszög derékszögű, legyen, szükséges és elegendő, hogy két hegyesszögére fennálljon a sina+sinii^coscl+cos^ egyenlőség. Ezt az ekvivalenciát felbonthatjuk két implikáció konjunkciójára: Ha eq> derékszögű, háromszög két hegyesszöge a, 15, akkor sina+sin0~cosa-^cossi és Ha egy háromszög a,fs hegyesszögére fennáll a sina+sinl5 = cosa+cosls egyenlőség, akkor a háromszög derékszögű. (Ha az a feladatunk, hogy bizonyítsuk be a példa eredeti állítását, akkor is ajánlatos a felbontás és a két implikációt külön-külön kell bizonyítanunk.) A MA TÉMA TIKAI LOGIKA ALAPJAI Az ekvivalencia értéktáblázatát a két implikáció konjunkciója segítségével állítjuk össze: p Q P-^Q Q ^P {P^Q)^{Q-^P) i i i i i i h h i h h i i h h h h i i i Példáinkban egyszerű kijelentésekből olyan összetett kijelentéseket állítottunk össze, amelyek raonclanivalói értelmesek voltak. Az András akkor és csak akkor ír este levelet, ha 12 osztható 7-tel kijelentést nevetségesnek és értelmetlennek érezzük. Azonban ennek logikai értékét éppúgy meghatározza az ekvivalencia értéktáblázata, mint más,,énelm es" ekvivalenciáét. A logikai tárgjalásnál eltekintünk a kijelentések tartalmától, csak a logikai értékükkel törődünk. Logikai függvények Ha A Ma hétfő van kijelentés mondatát hiányosan Ma... van alakban írjuk, akkor az üresen hagyott helyre a hét napjai közül (hétfő, kedd,..., vasárnap) bármelyiket írhatjuk. A beírás után kapott kijelentés logikai értéke vagy igaz, vagy hamis. A Ma... van mondatot és a hozzá hasonló Egy valós szám kétszerese 25 (röviden 2x=25), Magyarországra értve... megye székhelye Szekszárd mondatot logikai függvénynek (az általános iskolában nyitott mondatnak) nevezzük. A logikai függvények értelmezési tartományai különbözők lehetnek (az előző példákban; a hét napjainak 7 elemíí halmaza; a valós számok halmaza; Mag>'arország megyéinek 19 elemű halmaza), azonban bármely logikai függvény értékkészlete az {i, h} kételemű halinaz, 24 25

A SZAMOKROL III. A SZÁM OKRÓL Ahogy a kisgyerekek először az 1, 2, 3,... számokat ismerik meg, majd az ezekkel végezhető m űveleteket, ugyanúgy a matematika történeti fejlődése is ezt az utat mutatja. Nekünk azonban sokkal gazdaságosabb, ha a történeti út helyett először a számfogalom kiterjesztését állítjuk előtérbe. Kiindulunk a pozitív egész számokból és megmutatjuk, hogy a m űveletekkel hogyan válik szükségessé újabb számok bevezetése. A műveletekkel - részletesebben - csak utána foglalkozunk. A számfogalom kialakulása a) Tárgyak megszámlálása az 1, 2, 3,..., azaz a pozitív egész számok kialakításához vezetett. Pozitív egész számokkal összeadást, szorzást végezve is pozitív egész számokat kapunk eredményül. b) Ha pozitív egész számokkal kivonást végzünk, akkor annak eredménye lehet pozitív egész szám (például: 10-7 = 3), lehet 0 (például: 6-6=0) és lehet negatív egész szám (példul: 5-6 = -1). A 0, 1, 2,... számokat természetes számoknak nevezzük. Halmazuk jele: N. A..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... számokat egész számoknak nevezzük, halmazuk jele: Z (N c Z). Egész számokkal szorzást végezve, az eredmény is egész szám. c) Ha egész számokkal osztást végzünk, akkor első megállapításunk, hogy a 0-val való osztást nem tudjuk értelmezni. Ha 0-tól különböző számmal osztunk, akkor a hányados lehet, hogy egész szám (például g 8 : 2 =4) Jehet, hogy nem egész szám hanem törtszám, például 8 :5 = y. Azokat a számokat, amelvek ~ alakúak, ha a és b egész számok (bi^o), b racionális számoknak nevezzük. A racionális számok hahnazát O-val jelöljük (N c Z c Q ). Megjegyzés; A racionális szó itteni jelentése: arányként, hányadosként írható. A racionális számokat tizedestört alakban is felírhatjuk, például = 1^6; 1 =0,75; - =0,3; - =0,285 714 stb. A véges tizedestörteket és az 5 4 3 ^ 7 egész számokat is felírhatjuk végtelen tizedestörtként: 1,6 = 1,60; 7 = 7,0. A szakaszos végtelen tizedestörteket periodikus tizedestörtnek nevezzük. Bármely racionális szám periodikus tizedestört alakban is felírható. Ugyanis ha az ci:ö osztásnál mindig lesz maradék, az legfeljebb 1, 2, azaz legfeljebb (fc -l)-fé le lehet. Ezért elöbb-utóbb ism étlődő m a radékhoz jutunk. A z ismétlődő maradéktól kezdve a hányadosban is ismétlődő számjegy, illetve ismétlődő szakaszt kapunk. Ha egy periodikus tized estönben kizárólag a 9-es a végtelen sokszor ism étlődő számjegy, akkor az más alakban is felírható. Például: 0,9= 1,Ó; 3,49 = 3,50. Mivel két egész szám osztásával nem kaphatunk olyan tizedestórtet, amelyben az ism étlődő szakasz 9, a 0,9 helyett az 1,0 alakot, 3,49 helyett a 3,5Ö alakot használjuk. Állításunk fordítva is igaz: Bármely periodikus tizedestört felírható két egész szám hányadosaként. A zagon d olat, hogyj:=0,17=0,171717... esetén 100x= 17,1717... és ezek 17 99a: = 17 különbségéből adódik x =, nincs kellően megalapozva. Ugyanis nem tudjuk, hogy végtelen tizedestörtekkel is ugyanúg> végezhetünk-e m űveleteket mmt véges -izedestörtekkel. Emiatt nem tudjuk, hogy a formálisan történt 100-zal való szorzás és a különbségvétel helyes volt-e. Csak a határérték fogalmát és tulajdonságait ismerve lehetne szabatosan bizonyítani, hogy az így elvégzett műveletek eredménye helyes. d) A nem periodikus végtelen tizedestörteket irracionális számoknak nevezzük. Ezek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Megjjegyzés: Az irracionális itt azt iclenti, hogy hányadosként nem írható fel. irracionális szám például 1,4142... (az egységoldalii négj'zet átlójának a hossza) is, 7t= 3,141592... is, irracionális szám a 0,1010010001... is, ha a tizedesvessző után álló 1-es számjegyek között rendre eggj'el több 0 áll. Racionális számokkal összeadást, kivonást, szorzást, osztást (ha az osztó nem 0) végezve racionális számokat kapunk, de racionális számból gyököt vonva irracionális számot is kaphatunk. Irracionális szám például Í5, is (de például racionális szám). Az alábbiakban bizonyítjuk, hogy a ^ irracionális szám. Annak a közvetlen bizonyítása, hogy ^ végtelen nem szakaszos tizedestört, nehéz lenne. Helyette bebizonyítjuk, hogy i3 nem racionális szám, azaz nem 26 2 /

A SZAMOKROL lehet két egész szám hányadosa. Az ilyen jellegíi bizonyítási módszert indirekt bizonyításnak nevezzük. Indirekt bizonyítási módszer Az indirekt bizonyítási módszer lényege: Bizonyítani akarunk egy állítást. Feltételezzük az állítás ellenkezőjét és megvizsgáljuk, hogy az állítás feltételezett ellenkezőjének mi lesz a következménye. Ha az derül ki, hogy ez ellentmondáshoz vezet, alckor a feltételezés nem igaz, ezért az eredeti állításnak igaznak kell lennie. Bizonyítani akarjuk, hogy Í3 irracionális szám. Feltételezzük az ellenkezőjét, azaz azt, hogy racionális szám. Ekkor az felírható két egész / ' ^ szám hányadosaként. A feltételezés szerint legyen, ahol a, b egész b szára, és már nem egyszeriísíthető. A feltételezett állítást átalakítjuk: 3=b Ebből következik, hogy az egyenlőség jobb oldala is osztható 3-mal. 3\a^ 3 í? 9 a^ ^ 9 3í>2 ^ 3lí> 3 ö. Ellentmondáshoz jutottunk, mert feltételeztük, hogy az ~ tört már nem b egyszerűsíthető, de a feltételezésből az következik, hogy 3 j ű és 3 1ö, ekkor pedig ^ört egyszerűsíthető. Az ellentmondás oka a rossz feltételezés. p nem lehet -vei egyenlő, azaz nem lehet racionális szám. '^3 tehát b irracionális szám. e) A racionális és az irracionális számok együtt alkotják a valós számokat. (Bármilyen szakaszt veszünk is fel, annak hosszúsága - egységnyi hossziiság birtokában - valós számmal adható meg.) Mivel a racionális számok periodikus (azaz szakaszos végtelen) tizedestörtek, ezért azt mondjuk: Valós számoknak a végtelen tizedestörtekkel megadható számokat nevezzük. A valós számok halmazának jele: R ( N c Z c O c R ). A SZAMOKROL f) Középiskolában csak valós számokkal dogozunk. {Számok} Vannak azonban olyan egyenletek is, amelyek megoldásának keresése további problémákat is felvet. Például: Létezik-e olyan szám, amely kielégíti az :t^+4 = 0 egyenletet? Ilyen valós szám 14. ábra nincs. Vajon a valós számokon k \'űl, másfajta számokat is értelm ezhetünk? Csupán közöljük: A számfogalom tovább bővíthető. Emiatt időnként hangsúlyoznunk kell azt, hogy a középiskolában szerzett ismereteink valós számokra vonatkoznak. H a ezt nem tennénk, akkor az m egtévesztő lenne, mert nem tudjuk, hogy a valós számokra vonatkozó megállapításaink igazak-e a nem valós számokra is. A természetes, az egész, a racionális, a valós számok halmazának Venn-diagramját - a nem valós számokra is gondolva - a 14. ábra szemlélteti. A valós számok és a számegyenes A számegyenes segítségével kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesítünk egy egyenes pontjai és a valós számok között. Egy egyenesen felveszünk két pontot. Az egyiket O-val jelöljük, ennek a 0 felel meg, a másikat -vel, ennek az 1 felel meg. Az OE vektor irányítást ad a számeg>'enesnek (15. ábra). Q o E P í 1 Cl 15. ábra Az egyenes bármely P pontjához tartozó OP vektorra fennáll az OP=Cx OE, így bármely P ponthoz hozzárendelhetünk egy valós számot. Fordítva: Bármely Ct valós számot adunk meg, a cj OE = OQ vektor meghatározza a számegyenes egy pontját, a O pontot. 28 29

30 31 A SZAMOKROL A valós számok abszolútértéke Egy a valós szám abszolűtértékének definíciója (a 8. oldalon, a bevezetésben már említettük): fl, haoáöf, -a, ha<3<0. Az a szám abszolútértéke a számegyenesen az a számot jelölöd pontnak a O ponttól való távolságát jelenti. Alapműveletek az egész számok körében Pozitív egész számokkal alapműveleteket (összeadást, kivonást, szorzást, osztást) már az álíajános iskola alsóbb osztályaiban végeztünk. Természetes számokkal végzett alapműveleteknél egy kikötést kell megfogalmaznunk: 0-val történő osztást nem értelmezünk. A negatív egész számok bevezetése után az összeadás és kivonás helyett összevonásról beszélünk. Ugyanis: -5'-(+6) = -5-6; 7+(+2) = 7+2; 5+(-8) = 5-8; - l - ( - 6) = -l+ 6. Két szám összevonásánál természetes módon adódik az eredmény (pozitív számnál a zsebünkben lévő pénzre gondolhatunk, negatív számnál adósságra). Két szám összevonásánál, ű) ha azok azonos előjelűek, akkor a két szám abszolútértékét összeadjuk és az összeg előjele a közös előjel lesz (-5-6 --1 1 ; 7+2=9), b) ha különböző előjelűek, akkor az abszolútértéküket vesszük, majd a nagyobból kivonjuk a kisebbet és a különbség előjele a nagj'obb abszolútértékfl előjele lesz (5-8 = -3; -1+6=5). Két pozitív szám szorzatának az előjelét természetes módon pozitívnak tekintjük. Például: 3-4 = 12, 3*3 = 9, 3-2 = 6, 3-1 = 3. A szorzás lényegéből következik az, amit e példák is mutatnak: ha a 3-mat (egy pozitív számot) rendre 1-gyel kisebb pozitív számmal szerzünk, akkor a szorzat rendre 3-mai kisebb (12, 9, 6, 3). Természetes kívánságnak érezzük, hogy ez így legyen, akkor is, ha az előző szorzatoknál a második tényező rendre tovább csökken. Ebben megállapodunk és ennek érteimében: 3-0 = 0, 3 (" 1) = -3, 3 (-2) ==- 6,... Ezt így fogalmazzuk meg; Egy pozitív és egy negatív szám szorzatának előjele negatív (abszolútértéke a két tényező abszolútéxtékenek a szorzata). Az előzőek alapján;... (-5)-3 = -l5, (-5)-2 = -l0, (-5 )-l = -5. /yx látjuk, hogy ha a -5-öt (egy negatív számot) rendre 1-gyel kisebb pozitív A SZAMOKROL számmal szorzunk, akkor a szorzat rendre 5-tel nagyobb (-20, -15, -10, -5). Megállapodunk abban, hog)^ ez akkor is így lesz, ha a második tényező rendre tovább csökken. így (-5)-0=0, (-5 )-(-l)= 5, (-5)-(-2) = 10,... Röviden; Két negatív szám szorzata pozitív előjelű (a két tényező abszolútértékének szorzata). A z előjeles számok szorzásánál az előjelekre vonatkozó szabály tömör megfogalmazása: Két azonos előjem szám szorzata pozitív előjelű, két különböző előjelű szám szorzata negatív előjelű. Az előbb alkalmazott gondolatot más esetben is alkalmazhatjuk, ezért lényegét külön is megfogalmazzuk, sőt külön névvel permanenciaelvnek nevezzük: Valamely számhalmazon érvényes tulajdonságtól azt kívánjuk, hogy az érvényes legyen egy bővebb számhalmazon is. (Elsőként a pozitív a és az 1 számokra igaz volt az, hogy az ab szorzatnál az a(b~l) szorzat a-val kisebb. A permanencia-elv alapján azt kívántuk, hogy ez a tulajdonság igaz legyen a b ^ l esetben is, tehát minden b-re.) M e^egyzés! Két előjeles szám szorzatának az előjelét nemcsak a permanencia-elv alapján indokolhatjuk, hanem több más módon, például gyakorlati példán keresztül is. (H a egy gazdasági társulásból két olyan ember távozik, akiknek 3-3 millió Ft adóssága van és azt magával viszi, akkor az Ő eltávozásukkal a társulás vagyona -2 {-3 000 000) Ft-tal változik, azaz 6 000 000 Ft-íal nö.) A szorzás és az osztás kapcsolatából (7-(-3) = -21, -21:7 =-3) következik, hogy két azonos előjelű szám hányadosa pozitív előjelű, két különböző előjelű szám hányadosa negatív előjelű. Egy tört alakja megváltozik, de értéke azonos marad, ha számlálóját és nevezőjét azonos (0-tól különböző) számmal szorozzuk vagj' osztjuk; ^ = ~ (ö#0, c#0). Ezt az eljárást bővítésnek nevezzük, ha az - alakból téb be b rünk átalakra. Egyszerűsítésnek mondjuk, ha az alakról az --re tébc be b rünk át. Két racionális szám összege (különbsége), szorzata, hányadosa (ha az osztó nem 0) racionális szám: a c ad+bc b * d ^ a c _ac b ' d ~ M a c ad b d be Alapműveletek egy racionális és egy irracionális számmal Beláthatjuk, hogy egy 0-tól különböző racionális és egy irracionális szára összege (különbsége), szorzata, hányadosa irracionális. Ezt indirekt úton bizonyítjuk: Tegyük fel, hogy az - racionális és az a b

A SZAMOKROL irracionális szám összege a - racionális szám, azaz - +«= -. Ebből d b d c a bc-ad...,.,. ^ ot = - - =--------, azaz az irracionalis szám két egész szám hanyaaosa d b bd lenne, ami lehetetlen. A feltételezésünk hamis volt. Hasonlóan bizonyítjuk, hog)' egj' 0-tól különböző racionális és eg\' irracionális szám szorzata és hányadosa is irracionális szám. Két irracionális szám összege (különbsége) a számoktól függően vagy racionális, vagy irracionális. Például: (\'3+5) + (2--/3) = 7,,^+2^T=3^T Két irracionális szám szorzata, hányadosa a számoktól függően vagy racionális, vag\' irracionális szám. Például: Í 3 - i É = i ^ = 6, ^(3-fí= iu-. = 2, \Í5: ií3 = r*' * y A \ 2, 7T, lg2 irracionális számoknak ez az írásmódja pontos értékeket jelöl. Tizedestört alakban csak a közelítő értéküket írhatjuk: ^2 = 1,414, tt= 3,14, lg2~ 0,301. Ennél többetmondó az irracionális számoknak egy alsó és egy felső értékkel történő közelítése: 1,414 < \^ < 1,415 3,141 < 7 T < 3,142 0,3010 <lg2 < 0,3011 Az irracionális számokat tizedestörtekkel tetszés szerinti pontossággal közelíthetjük meg: 1,4142 1,4143 3,1415 <tt < 3,1416 0,3010 <ig2 < 0,3011 1,41421 <{2< 1,41422 3,14159 < ir < 3,14160 0,30103 < ig2 < 0,30104 Az összeadás és a szorzás tulajdonságai a valós számkörben a) A valós számok összeadása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív tulajdonság: a+b = b+a, azaz két tag összeadásánál a két t'dgot felcserélhetjük, az összeg nem változik. Az asszociatív tulajdonság: (a + ö)-t-c = a^(b +c), azaz több tag összeadásánál a tagokat tetszés szerint csoportosíthatjuk (tetszés szerint társíthatjuk). b) A valós számok szorzása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív tulajdonság: ab = ba, azaz két tényező szorzásánál a tényezőket felcserélhetjük, a szorzat nem változik. Az asszociatív tulajdonság: (ab)c ~a{bc), azaz több tényező szorzásánál a tényezőket tetszés szerint csoportosíthatjuk. 32 A SZAMOKROL c) A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív iulajdonságá: (a+b)c=ac+bc, azaz, ha valós számok összegét szorozzuk egy valós számmal, akkor ugyanazt kapjuk, mintha az összeg egyes tagjait külön-külön szorozzuk a szorzóval és a kapott szorzatokat összeadjuk. (Ha az ac+bc-t az {a+b)c alakban írjuk, akkor kiemelésről beszélünk.) A számok írása, tizes és kettes alapú számrendszerek Szánmnkra. megszokott a 25, 1998 írásmód. Ezek tízes alapú számrendszerben felírt s^ m ok, A számrendszerek lényege a megfelelő csoportosítás. A tízes alapú számrendszernél az egységekből 10-es csoportokat hozunk létre, a 10-es csoportokból 10 darab egy 100-as csoportot alkot, a 100-asokból 10 darab egy 1000-rest... stb. Ilyen csoportosítással és a csoportok számának helyiérték szerinti felírásából alakult ki a tízes számrendszernek az az írásmódja, amelyet használimk. Az egész számok felírási módszere alkalmazható törtszámok felírására is. Egy 10-es számrendszerbeli szám számjegyeinek jelentését a következő példa mutatja: 5672,4 = 5.10^+6.102+7-10^+2-10 +4-ia^ Számrendszer alapszáma bármely egész szám lehet, amely 1-nél nagyobb. A g (^GN\{0;1}) alapú számrendszerhez g darab jelet (számjegyet) kell használnunk. A g alapú számrendszer a -g^+b -^+c -g^-ul-g +e-g-^ számát röviden (a 10-es alapú számrendszer írásmódjának megfelelően) abcd,e^ alakban írjuk. A számrendszer alapszámát közölnünk kell, azt indexként jelöljük. A kettes alapú számrendszerben a 0 és az 1 számjegyeket használjuk. Például: 100012, 110112,... A kettes alapú számrendszerben felírt számokat értelmük alapján írjuk át tízes alapú számrendszerbeli számokra: 10012= 1 2V0.2V0-2^1 2 = 8+0+0+1 = 9, 1IOII2 = 1 2^+1. 2^+0 2^+1. 2^+1 2^ = 16+8+2+1 = 27. 33