MECHANIKAI HULLÁMOK Deormáió terjedése rugalmas közegben A tér egy adott helyén történt zavarkeltés eredménye a tőle r távolságra lévő pontban idő múlva jelenik meg: a zavar terjedéséhez időre van szükség: A hullám leírása r a zavar terjedési sebessége Az =0 helyen periodikus zavart keltünk, az eredmény haladó hullám lesz. X=0 y 0, t Asin t T Ez a rezgésállapot terjed a kötél mentén sebességgel. Az helyen t időpillanatban az =0 helyen időponttal korábbi rezgési állapot lesz: y, t Asin t t y y Asin t, t Asin, t T T T Pillanatkép a hullámról y Hullámhossz: azonos ázisban rezgő pontok legrövidebb távolsága T T A hullámorrás rekveniája a közegbeli terjedési sebesség A hullámhossz nagyságát a hullám közegbeli terjedési sebességének és a hullámorrás rekveniájának hányadosa határozza meg. t y, t Asin T, Asin t T y t y t, Asin t k A hullám térben és időben periodikus jelenség Térbeli periodiitás: hullámhossz Időbeni periodiitás: T periódus idő k hullámszám A hullámüggvény különböző alakjai
Hullám terjedése Hullámront: azonos ázisú pontok mértani helye, merőleges a terjedési sebességre Hullámok osztályozása Dimenzió szerint: D vonal menti hullámok : pl. hullám pontsoron D elületi hullámok : pl: körhullám : pl. vízbe ejtett kő 3D Térbeli hullámok: gömbhullámok: pl, hang, elektromágneses hullámok Irány szerint: a részeskék sebességének és a hullámterjedés sebességének iránya: Longitudinális hullám A két sebesség párhuzamos Sűrűsödések és ritkulások Nem polarizálható pl: a hang Transzverzális hullám A két sebesség merőleges nyíróerők működnek polarizálható pl: elületi vízhullám Polarizáió: transzverzális hullám esetén a rezgési sík polarizátorral kiszűrhető Példa: hullám rugalmas kötél mentén F Terjedési sebességek a közeg szerint:.szilárd anyagban: a. Transzverzális hullám: nyíróerők jelenléte v húr tr F eszítettség F tr A A keresztmetszet sűrűség Pl: Hangszerek húrjai F b. Longitudinális hullám: v l E E Young modulus Pl: öldrengés l. Folyadékban a. Belül: sak longitudinális hullám van, nins nyíróerő b. Felületen: transzverzális hullámok: elületi eszültség+gravitáiós erő irányítja elületi g A vízi molnárkák a víz elületén a elületi hullámok segítségével tájékozódnak
3. gázokban: Csak longitudinális hullámok vannak g p p v Pl: hang A ajhők hányadosa Longitudinális hullám jellemzői Transzverzális hullám jellemzői A részeskék a terjedési iránnyal párhuzamosan rezegnek Sűrűsödések és ritkulások terjednek a közegben A részeskék a terjedési irányra merőlegesen rezegnek INTERFERENCIA: HULLÁMTALÁLKOZÁS Erősítés-kioltás: mintázatképződés: példa Két hullámorrás azonos amplitúdóval, rekveniával hullámokat bosát ki, melyek a tér egy pontján (C) az ábra szerint találkoznak. Az addig megtett út: és A két hullámüggvény: Az eredő hullám a két szinusz üggvény szuperpozíiója: t y y y y Asin s T Fáziskülönbség a két hullám között: t y Asin T útkülönbség a két hullám között: s Az eredő hullám amplitúdója és ázisa a két hullám áziskülönbségétől ügg Feltétel:a áziskülönbség nulla: 0 n Feltétel: a áziskülönbség: ( n ) Az útkülönbség ekkor: Az útkülönbség ekkor: s n n s (n ) 3
L ÁLLÓHULLÁMOK ázisugrás P l- Zárt vég esetén L hosszúságú kötél egyik végén elindítunk egy hullámot. Amely zárt végről visszaverődik. Bizonyos rekveniáknál a haladó és a visszavert hullámok interereniájának eredményeként állóhullámok alakulnak ki. A haladó hullám üggvénye: Asin( t k ) y A visszaverődő hullám üggvénye: y A sin( t k ) Az eredő hullám: y y y Kitüntetett rekveniáknál állóhullám alakul ki: l ( l ) a kötél pontjai azonos rekveniájú, de különböző amplitúdójú rezgőmozgást végeznek. A somópontok két oldalán a mozgás iránya ellentétes. Feltétel: a húr hossza a él hullámhossz egész számú többszöröse legyen. Mivel a hullám terjedési sebessége a kötél anyagi minőségétől üggő állandó, ezért a kívánt hullámhossz a rekvenia hangolásával érhető el. A L hosszúságú húr sajátrezgései n: a élhullámhosszak száma A sajátrekveniák értéke: n= L L alaphang L n= n=3 L L 3 Transzverzális hullám terjedési sebessége: n n n L L F A tr L elharmonikusok 3 3 L F A Hangmagasság: rekvenia üggvénye Hangszín: hány elharmonikus szólal meg az alaphang mellett A rekvenia a húr hosszával sökken, a hang mélyül : hegedű, brása, gordonka a keresztmetszet nagyságával ordítottan arányos: hegedűhúrok a húr eszítettségével nő:hegedűhúrok hangolása n n L 4
HULLÁMJELENSÉGEK Hullámjelenségek: elhajlás, intererenia, polarizáió, Ha egy ismeretlen izikai jelenség a hullámjelenségekhez hasonló sajátságokat mutat, megállapítható, hogy hullám. (Pl. mehanikai hullámok, elektromágneses hullámok, anyaghullámok) Hullámront: azonos ázisban lévő pontok mértani helye A terjedési sebesség merőleges a hullámrontra Hullámok leírása: Huygens elv: visszaverődés, törés leírására Huygens elv: (678) Huygens - Fresnel elv: elhajlás, mintázat kialakulása. A hullámront minden pontja elemi hullámok kiindulópontja. Az új hullámelület ezen elemi hullámok burkolóelülete Visszaverődés elületről A hullám rekveniája nem változik, ezt sak a hullámorrás határozza meg. A visszaverődés után a közeg ugyanaz marad: a terjedési sebesség sem változik. A hullámhossz is állandó marad. Amikor a erdén bejövő hullámront egyik része az A pontnál eléri a közeghatárt, ott új elemi hullám keletkezik. Az E ponthoz időkéséssel érkezik a bejövő hullám, ott az új elemi hullám időkéséssel indul. Azonos idő alatt a bejövő és a visszaverődő hullám azonos utakat tesz meg, mivel a közeg ugyanaz: Így az egyenesen lévő két szög is megegyezik: 5
Törés közeghatáron Ha új közegbe jut át a hullám, terjedési sebessége megváltozik. Mivel a rekvenia ugyanaz marad, a hullámhossz is megváltozik. A két közegben azonos idő alatt megtett utak hossza: Az ábráról leolvadható: s s AB sin sin sin sin sin sin n Snellius-Deartes törvény : a -es közeg közegre vonatkoztatott törésmutatója n A hullámhossz is megváltozik: s t s t A s s B Gyakran a közeghatáron egyidejűleg törés és visszaverődés is történik. Elhajlás: hullám az árnyéktérben Csak az intererenia ismeretében érthető meg- Fresnel Huygens-Fresnel elv (89). hullámront minden pontja elemi hullámok kiindulópontja. Az új hullámelületet ezen hullámok interereniája adja meg. A hullámjelenségek értelmezése a Huygens-Fresnel elv segítségével.visszaverődés: ázisugrás lehet. Törés: közeghatáron: a terjedési sebesség változik 3. Intererenia: hullámok találkozása, koherenia, mintázat 4. Elhajlás: hullám az árnyéktérben 5. Polarizáió: sak transzverzális hullám esetén 6
Intererenia Az intererenia akkor észlelhető, ha a találkozó hullámok koherensek: áziskülönbségük időben állandó. Hullámtalálkozás két dimenzióban: Koherens hullámok találkozásakor mintázat alakul ki a elületen. Maimális erősítés: Kioltás: r n r r (n ) r Két adott ponttól mért távolságok különbsége állandó: mértani hely: hiperbola Két hiperbola sereg: egyik a maimális erősítések, másik pedig a kioltások helye. rr r r r n=, 3 Elhajlás résen: mintázat képződés A hullám az árnyéktérbe is bejut. Huygens-Fresnel elv (89) A rés minden pontján elemi hullámok indulnak ki, melyek találkoznak egymással- intererenia Maimumok: s sin d irány Fresnel éle -es zónák A nyalábot zónákra osztjuk, a szomszédos zónák között az útkülönbség él hullámhossz. d sin k d s Az erősítés irányában páratlan számú zóna van. Elhajlási kép változása a résmérettel Minél kisebb a rés mérete, annál nagyobb az elhajlás. szög: annál nagyobb mértékű az 7
Elhajlás ráson. Rás: több rés van egymás mellett, és a rések mérete elhanyagolható a távolságukhoz képest. Feltételezzük, hogy az egyedi résen való elhajlás elhanyagolható, sak a szomszédos résekből kiinduló hullámok interereniáját észleljük. d-rásállandó A rések távolsága A szomszédos rések elemi hullámai közötti útkülönbség α irányba: Az erősítés eltétele: az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse: Az erősítés iránya: dsin n Bragg egyenlet A hullámhossz és a szög ismeretében a d rásállandó meghatározható. Minél kisebb a rásállandó, annál nagyobb az elhajlás mértéke. s d sin s n Az elhajlás akkor jelentős, ha a hullámhossz és a rásállandó mérete összemérhető nagyságrendű. Elektromágneses hullámok Az elektromágneses hullámok is mutatnak hullámtulajdonságokat. Pl. ény Fény elhajlása ráson: lézer segítségével sin L n Az ernyőn látható intenzitás eloszlása Például: A távoli Nap ényét élig lesukott szemmel, szempillánkon keresztül nézve körkörös ényeket látunk. Ilyen távolságból a Nap énye párhuzamos nyaláb. Vékonyréteg intererenia : állandó útkülönbséget vékony réteg interereniával is el lehet érni: L ahol d az olajréteg vastagsága, n és pedig a törésmutató 8
Az intererenia erősítésének eltétele az, hogy az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse legyen. Az egyenletből látszik, hogy a eltétel a rétegvastagságtól és a beesés szögétől is ügg. Színek a természetben: vékonyréteg intererenia látható énnyel. Egyenlő vastagság görbék: irizáló színek Ugyanolyan vastag a réteg más szögből más színűnek látszik, mivel más hullámhosszra teljesül az erősítés eltétele. Pl. olajolt a víz elszínén, gyöngykagylók színe, lepkeszárny gyöngykagyló Morpho lepke Eozin máz Az irizáló színek s természetben mindig intererenia következményei Egyenlő beesés görbék Különböző vastagságú rétegeket nézünk azonos irányból: más rétegvastagság-más szín Példák: Szappanhártya, olajréteg víz elszínén, newton gyűrűk Olajolt a tengeren Szappanhártya színei Természetesen ezeknél a jelenségeknél is igaz az, hogy a rétegvastagságnak összemérhetőnek kell lennie a ény hullámhosszával. 9
Röntgen sugarak elhajlása ráson: Röntgen dirakiós szerkezet vizsgálat A röntgen sugarak hullámhossz tartománya: Kísérleti elrendezés Intenzitás eloszlás a szög üggvényében Az intenzitás szögeloszlás ismeretében meghatározható: DNS kettős spirál Watson és Krik, 958 Kristályrások: rásparaméter, rásszerkezet, kristályhibák mérete, eloszlása, nagyobb molekulák esetén: a kötésszögek, kötéstávolságok, A vizsgált objektumok karakterisztikus mérete a röntgen sugár hullámhosszával összemérhető kell legyen! Kvantummehanika: az anyag részeske-hullám kettős természete Fotoeektus: A ény, mint részeske. Einstein, Nobel díj A émek elületéről elektronok léphetnek ki,ha a émet megvilágító ényben az energiaadagok, vagyis a otonok energiája nagyobb vagy egyenlő a kilépési munkánál., Egy oton energiája: E h h Wki mv A kilépő elektronok energiája nem a megvilágítás erősségétől,hanem a megvilágítás színétől, vagyis a émre eső ény rekveniájától ügg. Ha ugyanolyan rekveniájú, de erősebb (nagyobb intenzitású) ényt használunk, akkor a émből kilépő elektronok energiája változatlan marad, sak az elektronok száma nő meg. 0
Anyaghullámok:elektronok elhajlása ráson Jönsson,96 m tömegű, v sebességű elektron elhajlása ráson: m 9, 0 e 3 kg e.60 9 C impulzus: Hullámhossz: De Broglie :A v sebességű elektron hullámhosszának meghatározása: p m energia kiejezése a hullámtulajdonságokkal: E h h 6,60 34 Js energia kiejezése a részeske tulajdonságokkal: E m p a kettő egyenlővé tételével: h p h p Az m tömegű, v sebességgel mozgó elektron de Broglie hullámhossza: A hullámhossz az elektron sebességével ordítottan arányos. h m e v e Elektronmikroszkópia Az elektronmikroszkópban az elektront sztatikus elektromos tér segítségével megelelő sebességre kell elgyorsítani: W= E eu = mozg mv v = eu m A sebesség ismeretében a de Broglie hullámhossz kiszámítása: λ = h m e v e = h e U m m 9, 0 e h 6,60 9 e.60 C 00 kv gyorsító eszültség esetén az elektron hullámhossza: ~nm Dirakiós üzemmódban: : A direkt és az elhajlott nyalábokat is ráengedik az ernyőre:dirakiós kép: 3 34 kg Js Elektron dirakiós képek egykristályon különböző irányból Rásparaméter émek esetén: d 0,nm
Transzmissziós üzemmódban: az elektronmikroszkóp képernyőjére sak a direkt nyalábot engedik rá, a szórt nyalábot nem: ilyenkor a minta képét lehet látni A énymikroszkóphoz hasonlóan működik, sak sokkal nagyobb a elbontása. A énymikroszkóp és az elektronmikroszkóp leképezésének összehasonlítása