Ajánlott szakmai jelleű feladatok A feladatok szakmai jelleűek, alkalmazásuk mindenképpen a tanulók motiválását szolálja. Seít abban, hoy a tanulók a tanultak alkalmazhatósáát melássák. Értsék me, hoy a matematika tanulása nem öncélú, hanem hasznos tevékenysé. A feladatok nem tartalmaznak kifejezetten szakmai számításokat, bármely szakmát tanuló tanulók számára kitűzhetők. A feladatok feldolozása nem iényel különösebb szakmai ismereteket a matematikatanártól sem. Ötletadónak is szántuk, hoy a kolléák mauk is készítsenek hasonló feladatokat az ott tanított szakmák ismeretében. Kétismeretlenes eyenletrendszerek 1. Ey kávézóban kétféle kávéból 10 k kávékeveréket készítenek. Az eyik kávéból 1 k 60 Ft-ba, a másikból 480 Ft-ba kerül. Hány k kávét tesznek az eyes kávéfajtákból a keverékbe, ha 1 k keverék ára 414 Ft? Meoldás: x k 60 Ft-os és y k 480 Ft-os kávét kevernek össze. A két eyenlet: 60x + 480y = (x +y) 414; x + y = 10; x = 5,5 k; y = 4,5 k. A 414 Ft-os keverékben 5,5 k 60 Ft-os, 4,5 k 480 Ft-os kávé van. 2. Ey lánossütő raktárában 10800 Ft összértékben 40 k liszt és 2 k reszelni való sajt van. Két nap alatt elfoyott a liszt fele és a sajt neyedrésze. A memaradt liszt és sajt eyüttes értéke 6200 Ft. Mennyibe kerül 1 k sajt és 1 k liszt? Meoldás: Jelöljük x-szel 1 k liszt és y-nal 1 k sajt árát! 40x 2y A két eyenlet: 40x + 2y = 10800; + = 6200; 2 4 x = 190 Ft; y = 1600 Ft.. Ey szállodában étterem és bár is van. Az étterem és a bár foralmának aránya 5 : 2. Ha a bár átlaos napi foralma 100 ezer Ft-tal nőne, az étteremé pedi 50 ezer Ft-tal csökkenne, akkor a két vendélátó eysé átlaos foralma meeyezne. Mekkora volt az étterem és a bár átlaos foralma?
2 Matematika A 10. szakiskolai évfolyam Tanári útmutató Meoldás: Jelöljük e-vel az étterem, és b-vel a bár Ft-ban mért ey napi átlaos foralmát. A két eyenlet: e : b = 5 : 2; e 50 = b + 100; e = 250 Ft; b = 100 Ft. 4. A piacon k paradicsomért és 2 k zöldpaprikáért 1940 Ft-ot fizettünk. A paprika kilorammjának ára 220 Ft-tal kevesebb a paradicsom árának kétszeresénél. Mennyibe kerül 1 k paprika és 1 k paradicsom? Meoldás: 1 k paradicsom ára x Ft; 1 k paprika ára y Ft. A két eyenlet: x + 2y = 1940; y = 2x 220. Az 1 k paradicsom ára: x = 40 Ft, 1 k paprika ára: y = 460 Ft. 5. Ey vállalkozótól bizonyos mennyiséű csőidomot rendeltek. Ha napi 225 darabot yárt, akkor a mebeszélt határidői 100-zal kevesebb készül el a merendelt mennyisénél. Ha 240 darabot készít naponta, akkor a kitűzött határidőre 200-zal többet yárt, mint amennyit merendeltek. Hány nap alatt kellett elkészítenie a merendelt mennyiséet? Hány darab csőidomot rendeltek? Meoldás: A vállalkozónak x nap alatt y darab csőidomot kellett elkészítenie. Ha 225- öt készít naponta, akkor a darabszám: 225x + 100 = y; ha 240-et készít naponta, akkor a darabszám: 240x 200 = y. A két eyenletből: x = 20; y = 4600. A vállalkozónak 20 nap alatt 4600 darab csőidomot kellett elkészítenie. 6. Betakarításakor a cukorrépát 4 tonnás és tonnás teherautókkal szállítják a feldolozó üzembe. Ha csak tonnás teherautóval szállítják el az eész termést, akkor 4 fordulóval többet kell tenni a teherautónak, mint ha csak 4 tonnással szállítanák el. Hányszor fordul a 4 tonnás és hányszor a tonnás teherautó? Hány tonna cukorrépa termett?
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes Ajánlott szakmai feladatok Tanári útmutató Meoldás: x-szer fordult a 4 tonnás és y-szor a tonnás teherautó. A két eyenlet: y = 4x; y = x + 4. A két eyenletből x = 12 és y = 16. A 4 tonnás 12-szer, a tonnás 16-szor fordult. 48 tonna cukorrépa termett. A 7. feladatban eredetile szerepelt, a 10 m széles és 15 m hosszú télalap alakú mozaikpadló adatai a meoldáshoz nem szükséesek! 7. Ey burkoló szakmunkás a mozaikpadló lerakásán 15 napi dolozott, majd mebeteedett, és ey másik mester további 9 nap alatt fejezte be a munkát. A munka akkor is elkészült volna, ha az első mester 10 napi, a második 16 napi dolozott volna rajta. Hány nap alatt készültek volna el, ha eyütt, eyszerre, eymást nem zavarva doloztak volna? Meoldás: Az első mester x nap alatt, a második y nap alatt véezné el eyedül az 15 9 10 16 eész munkát (x 0; y 0). Ezért: + = 1; + = 1; x y x y 7 ebből: 15y + 9x = 10y + 16x, amiből 5y = 7x; íy y = x. 5 Ezt behelyettesítve a 10 16 + = 1 eyenletbe, kapjuk: 70x + 80x = 7x 2. x y Ezt elosztva x-szel: (x 0) kapjuk, hoy x = Eyütt n nap alatt készülnének el: 0n + 150 150 n = 0. Tehát n = 12,5 nap. 7 7 150, és y = 0. 7 n n + =1, amiből: 150 0 7 8*. Ey helyséet hidrolóbusz seítséével látnak el vízzel. A víztárolót két szivattyú tölti fel. Ha mind a két szivattyú eyszerre működik, a hidrolóbusz 40 perc alatt metelik. Ha az eyik szivattyú 20 perci, a másik 10 perci működik, a víztároló 1 teljes térfoatának részében lesz csak víz. Mennyi idő alatt töltenék fel vízzel a teljes hidrolóbuszt külön-külön az eyes szivattyúk?
4 Matematika A 10. szakiskolai évfolyam Tanári útmutató Meoldás: Az eyik szivattyú x, a másik y perc alatt töltené me eyedül a lóbuszt. 40 40 20 10 1 + = 1, és + =. Ebből: 40(x +y) = 0(2y + x), amiből 2y = x. x y x y Ezt az eyik eyenletbe helyettesítve kapjuk, hoy x = 120 és y = 60, azaz az eyik szivattyú 120, a másik 60 perc alatt töltené me eyedül a hidrolóbuszt. 9. Ey új kórházi osztályon a súlyos beteek számára kevesebb áyszámú szobákat terveztek. Ha minden szobába 2 beteet tesznek, akkor 6-tal kevesebb beteet tudnak elhelyezni a tervezettnél. Ha minden szobába beteet tesznek, akkor 2 áy üresen marad. Hány férőhelyet terveztek az új osztályra? Hány szoba van az új osztályon? Meoldás: x a szobaszám és n a tervezett beteszám. 2x = n 6; x = n + 2, ebből: x = 8; n = 22. 8 szobára 22 beteet terveztek. 10. Ey hayományos fahordókat készítő kádárműhelyben 6 és 8 abroncsos hordókat készítenek. 6 abroncsos hordóból 2-vel kevesebbet készítenek, mint 8 abroncsos hordóból. Hány 6 abroncsos és hány 8 abroncsos hordót készítenek, ha összesen 128 abroncsot használnak fel? Meoldás: x darab 6 abroncsos és y darab 8 abroncsos hordót készítenek. 6x + 8y = 128; és x = y 2. Ebből: x = 8 és y = 10.. Tehát 10 darab 8 abroncsos és 8 darab 6 abroncsos hordót készítenek. 11. Ey fatelepen 6 nap alatt foralmaznak annyi tölyfapallót, mint a másikon 5 nap alatt. Ha a kisebb foralmú fatelepen naponta 0 ezer Ft-tal többet foralmaznának, akkor a két telep tölyfapalló foralma meeyezne. Hány Ft értékben foralmaznak tölyfapallót az eyes telepeken? Meoldás: Az eyik fatelepen napi x, a másikon napi y Ft értékben foralmaznak. 6x = 5y; x + 0 = y. Ebből x = 150, y = 180. Az eyik telepen 150 ezer Ft, a másikon 180 ezer Ft a napi foralom.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes Ajánlott szakmai feladatok Tanári útmutató 5 12. Ey műbútorasztalos 10 nap alatt 2 intarziás asztalt készített. Az eyik asztalra fordított munkaidő aránya a másik asztaléhoz képest : 2. Hány asztalt készít el a nayobb munkaiényű asztalból 42 nap alatt, ha közben más termékkel nem folalkozik? Meoldás: Az asztalokra fordított munkaidő x és y nap. : 2 = x : y ; x + y = 10. Ebből: x = 6; y = 4. Az eyik asztal 6 napi, a másik 4 napi készült. 1*. Két aszfaltozó ép ey útszakaszt 50 perc alatt borít be aszfalttal. Ha az eyik ép 6 perci, a másik 15 perci működik, akkor az útszakasz 20%-ával készülnek el. Hány perc alatt készülnének el eyedül az eyes aszfaltozó épek? Meoldás: Az eyik ép x, a másik y perc alatt véezné el eyedül a munkát. 50 50 Ha eyütt doloznak 50 perci: + = 1; ha az eyik 15, a másik 6 perci x y 15 6 dolozik: + = 0, 2. A két eyenletből. x = 112,5; y = 90. Az eyik ép 112,5 perc x y alatt, a másik 90 perc alatt véezné el eyedül a munkát. 14. Réi motorkerékpárok kerekeit kicserélik. Vannak köztük kerekű oldalkocsis motorkerékpárok is. A kerekek mérete mindkét típus esetében azonos. Hány kétkerekű és hány háromkerekű motorkerékpár kerekeit tudják kicserélni, ha 165 kerekük van és neyedannyi oldalkocsis motorkerékpárt hoztak javítani, mint másikat? A kerekeket maradék nélkül mind felhasználják. Meoldás: Az oldalkocsis motorok száma y, a kétkerekűeké x. 2x +y = 165; 4y = x. Ebből x = 60 és y = 15. 60 darab kétkerekű és 15 darab oldalkocsis motor kerekét cserélik le. 15. Ey sportruházati üzletben ruhaneműt és cipőket is árultak. A ruha- és cipőrészle átlaos napi foralma összesen 150 ezer Ft volt. Az eyik napon a ruharészle 20%- kal nayobb, a cipőrészle 10%-kal kevesebb foralmat bonyolított le az átlaosnál. Íy az üzlet foralma 172,5 ezer Ft volt. Mennyi volt az eyes részleek aznapi ténylees foralma? Mennyivel tért ez el az átlaos napi foralomtól?
6 Matematika A 10. szakiskolai évfolyam Tanári útmutató Meoldás: A ruházati részle napi átlaos foralma x, a cipő részleé y ezer Ft. 1,2x + 0,9y = 172,5; x + y = 150. Ebből: x =15; y = 15. Ez a napi átlaos foralom. Az adott napon a ténylees foralom:15 1,2 = 162 és 15 0,9 = 1,5, azaz 162 ezer Ft a ruha-, és 1,5 ezer Ft a cipőrészleben. 16. Két kistermelő a zöldsétermeléshez közös locsolórendszert használ. Ey havi összes vízfoyasztásuk díja 158 ezer Ft volt. A következő hónapban az eyik azdasá vízhasználatát 8%-kal, a másik 5%-kal csökkentette. Ekkor a közös vízdíj 147 ezer Ft lett. Mennyi költsé hárult az eyik, és mennyi a másik azdára? Meoldás: Az eyik x, a másik y Ft értékű vízmennyiséet használt. x + y = 158; 0,92x + 0,95y = 147. Ebből: x = 10,; y = 54,7. A takarékoskodás előtt 10 Ft hárult az eyik, 54700 Ft a másik azdára. A takarékoskodás következtében 95064 Ft-ot fizetett az eyik és 51965 Ft-ot a másik azda. 17. Ey építőanya-telepen kétféle burkoló lapot tároltak, kültéri alkalmazásra és beltéri alkalmazásra valókat, összesen 560 lapot. Ey iskola felújításához elszállították a 2 kültéri lapok 50%-át és a beltéri lapok részét. Ekkor kétszer annyi kültéri lap maradt a telepen, mint beltéri. Mennyi kültéri és mennyi beltéri lapot használtak fel az iskola felújításához? Meoldás: A telepen x darab kültéri és y darab beltéri burkoló lapot tároltak. 1 1 x + y = 560; a telepen 0,5x beltéri és y kültéri lap maradt. 0,5x = 2 y. A két eyenletből: x = 20; y = 240. Az iskolához felhasználtak 160 kültéri és 160 beltéri lapot.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes Ajánlott szakmai feladatok Tanári útmutató 7 18. A bronzötvözetek rézből és cinkből készülnek. Van ey 8,4 sűrűséű bronz ötvözetünk. Ehhez 40 cinket olvasztottunk. A kapott ötvözet sűrűsée ezáltal 8,2 -re csökkent. Hány cink volt az eredeti ötvözetben? (A réz sűrűsée: 8,8, a cinké: 7,2.) Meoldás: Az eredeti ötvözetben x cink és y réz van. Az ötvözet sűrűsée: 8,4. 7,2x + 8,8y = (x + y) 8,4. Ha 40 cinket hozzáadunk: 7,2(x + 40) +8,8y = 8,2 [( x ) + y] + 40. Az első eyenletből y = x. Ezt a második eyenletbe helyettesítve kapjuk, hoy x =50; és y = 150. Az eredeti ötvözetben 50 cink volt. 19. 5 k műtráyát készítünk szuperfoszfátból és csontlisztből. Mennyi csontlisztet és mennyi szuperfoszfátot keverjünk össze, hoy a műtráya foszforsav-tartalma 20%-os leyen? A szuperfoszfát foszforsav tartalma 16%, a csontliszté 28%. Meoldás: x k a szuperfoszfát, y k a csontliszt mennyisée. x + y = 5; 0,16x + 0,28y = 5 0,2, a két eyenletből x =,; y = 1,667. Közelítőle, k szuperfoszfátot kell 1,7 k csontliszttel összekeverni. 20. Ey műhelyben az eyik ládában 15 dk-os csavarok, a másik ládában 18 dk-os szeecsek vannak. A két láda eyüttes tömee 1,9 k, amiből a két azonos méretű láda eyüttes tömee 4 k. Ha az első ládában lévő csavarokhoz mé 6 darab csavart tennénk, akkor a két láda tömee meeyezne. Hány csavar illetve hány szeecs van az eyes ládákban? Meoldás: A csavarok és szeecsek eyüttes tömee: 27,9 k. x darab csavar és y darab szeecs van a ládákban.0,15x + 0,18y = 27,9; és 0,15(x +6) = 0,18y. Az első eyenletből x = 27,9 0,18y ; ezt a második eyenletbe helyettesítve kapjuk: 0,15
8 Matematika A 10. szakiskolai évfolyam Tanári útmutató 27,9 0,18y 0,15( + 6) = 0,18y; ebből: y = 80 és x = 90. 0,15 A ládákban 80 darab szeecs és 90 darab csavar van. 1 D 4 21*. Ey kúpos épelem kúpossáa. A két átmérő aránya: =, a kúpos rész hossza 8 d L = 160 mm. Mekkora a kúpos rész lenayobb és lekisebb átmérője? (A kúpossá a lekisebb és lenayobb átmérő különbséének és a kúpos rész D d hosszának aránya:.) L Ez a képlet a Tanulók könyvében eredetile tévesen jelent me! 1 D d D 4 4d Meoldás: A két összefüés: = ; és =. Ez utóbbiból D =, ezt az 8 160 d 1 4d d első eyenletbe helyettesítve kapjuk, hoy =, ebből d = 60 és D = 80. 8 160 A kúpos rész lenayobb átmérője 80 mm a lekisebb 60 mm. 22*. Két kapcsolódó foaskerék foszámának különbsée: 40, a közös modulszám: 1,8 mm és a tenelytávolsá: 200 mm. Mennyi a hajtókerék foszáma és a hajtott kerék foszáma? (Ha a hajtókerék foszáma z 1 és a hajtott keréké z 2, akkor a tenelytávolsáot a-val, a modult m-mel jelölve: a = 2 m ( z1 + z 2 ). ) Meoldás: Két meoldás van. Ha a mehajtás yorsító, akkor z 2 < z 1, ha lassító, akkor z 1 < z 2. 1,8 200 = ( 2z1 + 40); ebből: z 1 = 91; z 2 = 11. (A kapott eredmény csak eész szám 2 lehet, de 1,8 kerekített érték, íy adódik a 91,1111 érték.) Ha a mehajtás lassító, akkor: : z 1 = 11; z 2 = 91.