Dr. Andrási Tiborné vezetôtanár Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Zankó Istvánné tanár Matematika 6. PROGRAM általános iskola 6. osztály nyolcosztályos gimnázium 2. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST
Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens Az 1. kiadást bírálta: ELÔD ISTVÁNNÉ ny. felelôs szerkesztô DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár DR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus Dr. Andrási Tiborné, Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Zankó Istvánné, 1993, 2007 Mûszaki Könyvkiadó, 2007 ISBN 978-963-16-4207-0 Azonosító szám: MK 4207-0 Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft. Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki vezetô: Orgován Katalin Borítóterv: Bogdán Hajnal Mûszaki szerkesztô: Trencséni Ágnes Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves Gabriella Terjedelem: 7,87 (A/5) ív A kiadvány tömege: 124 gramm 5., átdolgozott kiadás e-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu www.muszakikiado.hu www.hajdumatek.hu Nyomta és kötötte: a Naszály Print Nyomda Kft. Felelôs vezetô: Dr. Hemela Mihályné
Tartalom Bevezet s... 4 A taneszk z kr l........ 5 A tananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l... 7 raterv, tanmenet.... 12 raterv... 12 Tanmenet.... 15 1. Sz mok s m veletek.......... 15 2. A geometriai alakzatok vizsg lata...... 19 3. sszef gg sek, sz zal ksz m t s.... 21 4. A tengelyes t kr z s... 22 5. Nyitott mondatok... 25 6. sszefoglal... 26 A tananyag feldolgoz sa............ 28 1. Sz mok s m veletek.......... 31 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai...... 33 Kapcsol d si lehet s gek....... 34 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 36 2. A geometriai alakzatok vizsg lata...... 50 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai...... 52 Kapcsol d si lehet s gek....... 52 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 53 3. sszef gg sek, sz zal ksz m t s.... 60 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai...... 60 Kapcsol d si lehet s gek....... 61 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 62 4. A tengelyes t kr z s... 66 A geometriai transzform ci kr l.... 66 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai...... 68 Kapcsol d si lehet s gek....... 69 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 70 5. Nyitott mondatok... 77 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai...... 78 Kapcsol d si lehet s gek....... 78 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 79 6. sszefoglal... 86 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 86 3
BEVEZET S A program aj nl sokat tartalmaz a NAT, akerettanterv s a helyi tanterv rtelmez s hez, konkretiz l s hoz, ltal ban anevel -oktat tev kenys g feladatainak megold s hoz, de nem v llalkozhat arra, hogy minden oszt ly sz m ra egyar nt rv nyes s mindenkinek egyar nt elfogadhat recepteket fogalmazzon meg. Seg ts get ny jthat az adott tananyag feldolgoz s ban, a megfelel m dszerek kiv laszt s ban, atanul k rt kel s ben. Ugyanakkor a tananyag tartalm nak v gleges meghat roz sa, az egyes gyerekekkel szemben t masztott k vetelm nyek megfogalmaz sa, az oszt ly sz nvonal nak megfelel t rgyal sm d kidolgoz sa a tan r joga s k teless ge. Az raterv, tanmenet c m fejezet els r sz ben r szletes ratervet dolgoztunk ki. A Kerettanterv minim lisan heti 3 matematika r t r el gy, hogy k zben nem cs kkenti l nyegesen (mert a kompetencia m r seket gyelembe v ve nem is lehet cs kkenteni) a k vetelm nyeket. Ebben az rakeretben nem dolgozhat fel s nem gyakorolhat be kell sz nvonalon a tananyag. Ez rt az iskol k jelent s h nyada a szabadon tervezhet rakeretb l heti plusz egy r t biztos t a matematikatan t s sz m ra. Ezt az raterv ( s a taneszk z k) kidolgoz s n l gyelembe kellett venn nk. A heti 4 matematika r t az rt is c lszer biztos tanunk, mert 6. oszt lyban az orsz gos (kompetencia) m r sekben ny jtott teljes tm nyek alapj n nemcsak a tanul k alkalmaz sra k pes tud s t, hanem az iskol ban foly munka sz nvonal t is min s tik. A fejezet m sodik fel ben r szletes, de f lk sz" tanmenetjavaslat tal lhat. Ez a tanmenetjavaslat az aktu lis tananyagon t lmen en tartalmazza a koncentr ci s a folyamatos ism tl s lehet s geit, n h ny esetben utal az alkalmazhat eszk z kre s az esetleges kieg sz t anyagr szekre. A tanmenetjavaslatot adapt lnunk kell saj t elk pzel seinkhez s oszt lyunk sz nvonal hoz - betartva a Kerettanterv s a helyi tanterv el r sait. A tananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l c m r szben tantervi t m k szerint elemezz k a tananyagot, taglaljuk kapcsol d s t a kor bbi vek k vetelm nyeihez, ismertetj k a nevel sben bet lt tt funkci j t. A tananyag feldolgoz sa c m fejezetben a tank nyv hat fejezet t k vetve fejtj k ki a tananyagot. A tank nyv fel p t s t t telesen ttekintve m dszertani s szakmai aj nl sokat fogalmazunk meg a konkr t tananyag tan t s hoz s a feladatok megold s hoz. ttekintj k, hogy a k l nb z sszet tel oszt lyokban mire p thet nk, hov kell eljutnunk, hogyan dierenci lhatunk, milyen lehet s geink vannak a koncentr ci ra. Ha a tanul k az als tagozatban nem ebb l a tank nyvcsal db l tanult k a matematik t, akkor a fels tagozatba val tmenet koncepci v lt s nak negat v hat s t m g 6. oszt lyban is rz kelhetj k. T bb id t s energi t kell ford tanunk a sz mfogalom alapoz s ra, a m rt kegys gek megtan t s ra, a sz mol si rutin, a sz veg rtelmez k pess g s a geometriai l t sm d fejleszt s re. 4
A taneszk z kr l Matematika 6. A tank nyv (alapszint) Csak a kerettantervi minimumot, a heti 3 matematika r ban dolgoz oszt lyok sz m ra javasolt reduk lt tananyagot tartalmazza. Ennek a v ltozatnak a seg ts g vel nem k sz thetj k fel tanul inkat a sikeres k z piskolai tanulm nyokra. Matematika 6. B tank nyv (b v tett v ltozat) A tank nyv tartalmilag s m lys g ben is sz les s vban" dolgozza fel a tananyagot. A szerz k felk sz ltek a k l nb z helyi tantervek ig nyeinek kiel g t s re, bele rtve a h tr nyos k r lm nyek k z tt tanul k felz rk ztat s t, illetve a tagozatos vagy a nyolcoszt lyos gimn ziumi oszt lyokba j r tanul k emelt szint k pz s t is. Ez rt a tank nyv egyes fejezetei b vebben, m lyebben s magasabb szinten t rgyalj k a tananyagot, mint ahogyan azt f lt tlen l kellene. Az el z kb l k vetkezik, hogy a tank nyv t bbet tartalmaz, mint amit egy tlagos ltal nos iskolai oszt lyban meg lehet tan tani. A fentiek miatt a program a k vetkez lehet s gek megfontol s t javasolja: B r a tank nyv tartalmazza az anyagr szt, de az oszt ly k pess geinek gyelembev tel vel az eg szet vagy egyes r szeit hagyjuk el, illetve csak a tehets ges tanul kkal dolgoztassuk fel. A dierenci l sra, szelekt l sra aprogramban a tananyag feldolgoz s n l, illetve a tanmenetben javaslatot tesz nk (p ld ul a sz melm let, az egyenletek vagy a h rtrap z t rgyal s n l). A r szleteket kev sb m lyen, el gaz an t rgyaljuk, mint a k nyv. A programban felh vjuk a gyelmet arra, hogy egyes r szeket (p ld ul a sz melm leti vagy geometriai bizony t sokat) csak j k pess g oszt lyban c lszer feldolgozni. Az egy ni munk t a tanul k k pess gei szerinti dierenci l ssal szervezz k meg. A tehets ges, gyorsan dolgoz tanul ink kapj k a neh z, munkaig nyes feladatokat, p ld ul a Matematika 5{6. Feladatgy jtem ny feladatait. A matematik val nehezebben boldogul di kjainknak ink bb egyszer bb, gyakorl jelleg feladatokat adjunk, p ld ul a Matematika 6. Gyakorl b l. Vigy zzunk arra, hogy csak olyan anyagr szeket hagyjunk el, amelyeket teljes eg sz ben tartalmaz a 7. oszt lyos tank nyv. Matematika 6. Gyakorl A sz mol si rutin s a biztos eszk ztud s kialak t s hoz, atanultak feleleven t s hez, begyakorl s hoz, a hi nyok p tl s hoz tartalmaz feladatsorokat, amelyekkel biztos that a k vetelm nyek teljes t se. A Matematika 6. Gyakorl feladatsorai, b r a 6. oszt lyos tank nyvh z kapcsol dnak, n ll didaktikai rendszer szerint p lnek fel. Ez a megold s els sorban a folyamatos ism tl s s gyakorl s megszervez sekor lehet hasznos, igen hat konyan t mogathatja a 5
korrepet l st, de seg ts get ny jthat a tananyag egy ni elk pzel s szerinti fel p t s hez is. E feladatsorok ltal ban a t rzsanyag legfontosabb r szeit fedik le". Matematika 5{6. Feladatgy jtem ny Ez a feladatgy jtem ny nagy seg ts get ny jthat a hatoszt lyos k z piskol ba k sz l k sz m ra, illetve tehets ges tanul ink k pess geinek fejleszt s ben. Matematika 6. tank nyv feladatainak megold sa A feladatok megold s t tartalmazza, esetenk nt a gyermek sz m ra is rthet tmutat sokkal egy tt. Els sorban a tanul k munk j nak nellen rz s t seg theti. Felm r feladatsorok, matematika 6. oszt ly Akerettantervben megfogalmazott k vetelm nyeket ezekkel a feladatsorokkal konkretiz lj k, operacionaliz lj k s hierarchiz lj k aszerz k. A felm r feladatsorokkal azt is szeretn nk el rni, hogy a sokf le helyi tanterv ellen re viszonylag egys ges k vetelm nyrendszer alakuljon ki az iskol kban. A felm r feladatsorok tdolgoz sakor gyelembe vett k az orsz gos felm r sek k vetelm nyeiben tapasztalhat hangs lyeltol d st, illetve az j t pus " (p ld ul feleletv laszt sos) feladatok megjelen s t. A tanul i p ld nyok A s B v ltozatban tartalmazz k a feladatsorokat. Olcs bb kivitelben, k l n-k l n f zetben jelent meg a C s a D v ltozat. A szerz k mindegyik v ltozatban k l n feladatokat dolgoztak ki az emelt szint sz m ra. A C s a D v ltozatot csak az iskol k rendelhetik meg. A tan ri p ld nyokban megtal lhat k a jav t si tmutat k s az rt kel si norm k is. 6
A TANANYAG S A K VETELM NYEK RTELMEZ S R L A halmazok, a logika s a kombinatorika, valamint a statisztika t mak r kh z nem kapcsol dik n ll tank nyvi fejezet. Ezeket az anyagr szeket m s anyagr szekkel sszesz ve" dolgozzuk fel. Az ezzel kapcsolatos oktat si-nevel si feladatokat gy kell megoldanunk, hogy k zben az aktu lis tananyag tan t s ra helyezz k a hangs lyt. Ez rt fontos, hogy eg sz vre el re megtervezz k ezeknek az anyagr szeknek a tan t s t. A hatodik oszt lyos v eleji k vetelm nyek l nyeg ben azonosak az t dik oszt lyos v v gi k vetelm nyekkel. Term szetesen ezeket a k vetelm nyeket az v eleji ism tl s sor n, az adott pedag giai helyzetnek megfelel en t kell rt keln nk. P ld ul: gyelembe kell venn nk a sz nid miatti felejt st reduk lnunk kell a k vetelm nyeket, ha valamilyen okn l fogva nem tudtunk kell en begyakoroltatni egyes t dik oszt lyos anyagr szeket nagyobb s lyt kell fektetn nk azokra az anyagr szekre, amelyek n lk l a hatodik oszt lyos tananyag feldolgoz s t nem oldhatjuk meg eredm nyesen. Az egyes tantervi t mak r kh z tartoz ( v v gi) k vetelm nyeket a Mintatanterv tartalmazza. Be p tett k akor bbi vfolyamok azon k vetelm nyeit is, amelyek megalapozz k a hatodikos k vetelm nyrendszert, illetve amelyek hatodik oszt lyban is rv nyesek. Term szetesen gyelembe vett k az jonnan tanultakat s azt, hogy a tanul k k pess gei fejlettebbek, tud suk b vebb, mint negyedik, t dik oszt lyban volt. A k vetelm nyek konkretiz l s hoz tudnunk kell, hogy milyen feladatok megold s t v rhatjuk el a gyermekt l alapszinten (vagyis az ltal nos iskol ban), illetve emelt szinten (p ld ul a nyolcoszt lyos gimn ziumi tagozat szintj n). C lszer megk l nb ztetn nk a tov bbhalad shoz n lk l zhetetlen minimumk vetelm nyeket. Az nemzetk zi s az orsz gos felm r sek k vetelm nyeiben meggyelhet hangs lyeltol d s nemcsak a feladatok tartalm ban, hanem a feladatok t pus ban is v ltoz st jelent. Ez rt a tank nyv minden fejezet t kieg sz tett k ilyen j t pus " feladatokkal. A tank nyv 6. fejezet ben K pess gpr ba c men 8 oldalas feladatsort ll tottunk ssze azzal a c llal, hogy tanul inkat felk sz thess k az orsz gos kompetenciam r sre. Figyelembe kell venn nk a konkr t oszt ly fejletts gi szintj t s a helyi tanterv el r sait. Ha heti 3 r nk van a matematika tananyag feldolgoz s ra, s nincs lehet s g nk folyamatos korrepet l sra, illetve tehets ggondoz sra, akkor a kor bban megszokott k vetelm nyszinthez k pest lejjebb kell sz llnunk. Ebben az esetben tanul ink tud sa el fog maradni azoknak a gyerekeknek a tud s t l, akik heti 4 r ban tanulj k a matematik t. 7
Halmazok, logika, kombinatorika A halmaz, logika t mak r ugyan 6. oszt lyban sem jelenik meg n ll fejezetk nt a tank nyvben s a javasolt tanmenetben, de eszk zk nt, szeml letk nt beh l zza a teljes matematikatan t st. Ide tartozik b rmely t mak rben konkr t dolgok, sz mok, soksz gek stb. adott szempont szerinti rendszerez se, rendez se a legegyszer bb logikai kapcsolatok, m veletek rtelmez se s ttekint se a tanultakhoz kapcsol d egyszer ll t sok, k vetkeztet sek megfogalmaz sa a tanultakhoz kapcsol d egyszer ll t sok igazs g nak eld nt se anyelv logikai elemeinek helyes haszn lata matematikai s nem matematikai tartalm ll t sok rtelmez s ben, megfogalmaz s ban, a mennyis gek viszony t s ban, halmazok megad sa s sszehasonl t sa sor n. A helyi tanterv szerkeszt sekor d nthet nk gy is, hogy jobb csoportban tudatos tjuk a halmazokr l tanultakat. Erre 2-3 r t kell sz nnunk p ld ul az v eleji ism tl s sor n vagy az v v gi ism tl s els r iban. Fontos az el z vfolyamokban tanult halmazalgebrai s logikai fogalmak eszk zszer alkalmaz sa az ismeretek felt r s ra, rendszerez s re. Ez rt azt javasoljuk, hogy 6. oszt lyban is tekints k rv nyesnek az 5. oszt lyos program erre vonatkoz k vetelm nyeit. A tank nyv legt bb fejezet ben tal lhat k olyan feladatok, amelyek a tanul si folyamat minden szakasz ban ig nylik, er s tik, fejlesztik az e t mak rben eddig tanultakat. Gondot okozhat, ha a halmaz fogalm t a halmaz br val azonos tja a tanul. Ez rt jelen ts nk meg halmazokat (p ld ul r szhalmazok k zti sszef gg seket) sz megyenesen, t bl zatban stb. is. A kor bbi k vetelm nyeken k v l a 6. oszt lyos tanul kt l az ltal nos iskol ban is elv rhatjuk, hogy a ha, akkor " s ezzel logikailag ekvivalens kifejez sekkel ll t sokat tudjanak megfogalmazni (v ges s egyszer bb v gtelen halmaz eset n), tudj k az ilyen ll t sok igazs g t eld nteni. Esetleg emelt szinten, konkr t feladatokon vizsg lhatjuk a ha, akkor " t pus ll t sok megford that s g t. Haszn lhatjuk a pontosan akkor, ha " kifejez st is, de azt javasoljuk, hogy ez m g emelt szinten se legyen k vetelm ny. A kombinatorika t mak rb l sincs n ll fejezet a tank nyvben. Sem tananyagban, sem k vetelm nyben nem l p nk t l az 5. oszt lyos elv r sokon. Ennek egyik oka az, hogy a sz mtan, algebra s a geometria, m r sek t mak r igen sok lehet s get biztos t a kombinatorikus szeml let fejleszt s re is. Az egyes fejezetek ismeret ben konkr tan is megfogalmazzuk a kapcsol d si lehet s geket, gy a k vetelm nyek rtelmez se nem okoz neh zs get. Fontos, hogy a tanul k tudj k az adatokat rendszeresen v ltoztatni, a lehet s geket megtal lni, a lehets ges eseteket sorozatba, t bl zatba rendezni, diagrammal, gr al szeml ltetni. Tudj k a kombinatorikai elj r sokat a hatodik oszt lyos tananyag egy b t mak reiben alkalmazni. 8
Sz mtan, algebra Annak ellen re, hogy m r 5. oszt lyban is tal lkoznak a gyerekek a racion lis sz m kifejez ssel, a fogalom biztos rt se m g 6. oszt lyban sem v rhat el. Hiszen akkor tiszt zni kellene a szakaszos tizedest rt kifejez s t t rtalakban, tov bb az irracion lis sz m s a val s sz m fogalm t is. Ez rt megel gsz nk azzal, hogy a racion lis sz m passz v sz kincsk nt" szerepel, rtelmez s hez fokozatos sz mk rb v t ssel jutunk el. B v tj k a racion lis sz mk rt egymilli n l nagyobb s egymilliomodn l kisebb helyi rt kekre. A hatv ny fogalma 7. oszt lyban v lik k vetelm nny, de jobb csoportban javasoljuk, hogy a helyi rt kek fel r sa sor n haszn ljuk a term szetes sz m kitev j hatv nyt. gy atanul k fokozatosan hozz szoknak a jel l shez s az elnevez sekhez. A racion lis sz mk r n bel l foglalkozunk a n gy alapm velettel, most m r azokkal is, amelyek j rtelmez st ig nyelnek (negat v sz mmal, t rtsz mmal val szorz s, oszt s). A matematika tanul s nak alapja most is a sz mtan, algebra t mak r. Az az eddigi tapasztalat, hogy akit 6. oszt lyban nem siker l ezen a ter leten eljuttatni a begyakorlotts g szintj re, az 7. s 8. oszt lyban behozhatatlanul lemarad t rsait l. Aracion lis sz mk r n bel l a n gy alapm velet megtan t s ra 22{26 r t javasolunk, de az eredm nyess g rt valamennyi fejezetben alkalmat lehet s kell biztos tani ahhoz, hogy ez a tananyag be p lj n a tanul k eddigi tud s ba, szeml let be, m velts g be. A be p l sre, sszesz v sre minden fejezet t rgyal sa elej n adunk tletet, tan csot. Ne az legyen az egyetlen c lunk, hogy hossz s f rads gos ton kialak tsuk a racion lis sz mokkal v gzett m veleti algoritmusokat. Arra p ld ul nincs sz ks g, hogy az r sbeli szorz st, oszt st t-hatjegy sz mokkal gyakoroltassuk, de arra igen, hogy p ld ul egy sz m 32,456-szeres r l tudja a tanul, hogy az a sz m 32 456-szoros nak az ezredr sze. A zsebsz mol g pek fokozatos alkalmaz sa felment a sokjegy sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa al l, de a matematika s a sz m t stechnika tov bbra is ig nyli a pontoss gra, kitart sra, gyelem sszpontos t sra szoktat st. Kiemelked en fontos k vetelm ny a sz vegelemz s sz veg rtelmez k pess g kialak t sa. Ez rt a m veletek gyakorl s ra sz nt id k zel fel t egyszer, majd sszetett sz veges feladatok megoldat s ra kell ford tanunk. A m r sekkel kapcsolatos sz veges feladatok megoldat s val az alapk szs gek fejleszt s n t l a matematika gyakorlati alkalmaz s ra nevel s t is megval s thatjuk. Az elmondottak miatt nem cs kken, hanem ink bb n a fejsz mol s jelent s ge. Nemcsak az ra eleji folyamatos gyakorl skor ker l r sor, de szinte minden feladat eredm ny nek becsl se (hozz vet leges kisz m t sa) sz ks gess teszi. A sz zal ksz m t st a tank nyv (a 3. fejezetben) a Kerettantervvel sszhangban teljes eg sz ben feldolgozza, ugyanakkor a tan t sban nem f lt tlen l kell teljess gre t rekedn nk, hiszen erre a t mak rre a k vetkez vekben ism telten vissza kell t rn nk. Ha az oszt ly egy b, alapvet anyagr szekkel nehezebben boldogul, akkor a helyi tanterv kidolgoz sakor, a t rstant rgyak ig nyeit is gyelembe v ve reduk lhatjuk a k vetelm nyeinket. Egy tlagos vagy az tlagosn l gyeng bb ltal nos iskolai oszt lyban a sz melm letet sem tudjuk olyan ig nyesen feldolgozni, mint ahogyan azt a tank nyv teszi. 9
A egyenletek, egyenl tlens gek t mak rt az 5. fejezet tartalmazza. Egyszer egyenletek megold sa akerettanterv el r sa szerint minimumk vetelm ny. Oszt lyunk k pess geinek ismeret ben eg sz vben k sz ts k el ennek a t mak rnek a feldolgoz s t. Minden anyagr szhez kapcsol dva gyakoroltassuk a kor bban tanultakat: nyitott mondat, egyenlet, egyenl tlens g fogalma, nyitott mondat igazs ghalmaz nak megkeres se tervszer pr b lgat ssal, egyszer egyenletek megold sa k vetkeztet ssel a m veletek komponenseinek sszef gg se alapj n. Ebben a t mak rben a feladatok megv logat s val dierenci lhatunk. A k vetelm nyek taglal sa sor n visszany lunk a kor bbi vek bizonyos k vetelm nyeihez, amelyek m g most sem vesztett k el aktualit sukat. P ld ul a sz veg rtelmez s k pess g nek a fejleszt se c lj b l 6. oszt lyban is gyakoroltatnunk kell s meg kell k veteln nk az egyszer sz veges feladatok megold s t is. Rel ci k, f ggv nyek A t mak r gerince az egyenes s a ford tott ar nyoss g, illetve ezekhez kapcsol d an a sz zal ksz m t s. Aprogram ltal aj nlott k vetelm nyek l nyeg ben csak ezekre a kapcsolatokra szor tkoznak. Ugyanakkor a rel ci kra, a grakonokra, a f ggv nyekre s a sorozatokra vonatkoz 5. oszt lyos k vetelm nyek nyilv n 6. oszt lyban is rv nyesek. (Ezekkel r szletesen az t dik oszt lyos program foglalkozik.) A tank nyv minden egy b t mak r feldolgoz sa sor n eszk zjelleggel alkalmazza ezeket az ismereteket (l sd az egyes fejezetek t rgyal s n l a koncentr ci lehet s geinek elemz s t). A gyakorlatorient lt matematikaoktat s koncepci ja miatt a kor bbiakhoz k pest hangs lyozottabb v ltak ezek a k vetelm nyek. A f ggv nyfogalom el k sz t se sor n ne csak sz m-sz m f ggv nnyel tal lkozzanak a gyerekek. Ez rt fontos p ld ul a soksz gek vizsg lata ilyen szempontok szerint is. Egy fogalom kialak t s hoz az ellenp ld k megismer se is sz ks ges. Ez rt javasoljuk, hogy nem egy rtelm megfeleltet sekkel is foglalkozzunk (p ld ul a term szetes sz mok oszt i). Hatodik oszt lyban az egyenes s a ford tott ar nyoss g r szletes kimunk l sa, hangs lyoz sa sz ks ges mind a matematika t bbi t mak re, mind az egy b tant rgyak (f ldrajz, technika, zika stb.) ig nyei miatt. Javasoljuk, hogy a f ggv nyfogalom letkornak megfelel szint rtelmez s re csak hetedik oszt lyban ker lj n sor. Hatodikban a f ggv nnyel kapcsolatos fogalomrendszert el k sz thetj k, de nem tudatos tjuk, az elnevez seket nem vezetj k be. Most egyegy feladat megold s nak r szletes megbesz l sekor hangs lyozzuk a hozz rendel s egy rtelm s g t, a k t v ltoz megk l nb ztetett szerep t, a k t v ltoz rv nyess gi k r t (de az rtelmez si tartom ny", rt kk szlet" kifejez st m g ne haszn ljuk). Az egyenes s a ford tott ar nyoss ggal a tank nyv 3. fejezete foglalkozik, ez rt a konkr t m dszertani aj nl sokat ott fogalmazzuk meg. Geometria A k t geometria fejezet t rgyal sa sokf le tev kenys get ig nyel, m g akkor is, ha als tagozatban s 5. oszt lyban m r v geztek ilyeneket. A gyerekek t rszeml lete, 10
geometria-szeml lete ebben a korban sokat fejl dik, de gyerekenk nt igen elt r en. Nem biztos, hogy az el z vekben mindenkiben kialakult a t r- s a s kbeli alakzatok el ll t sakor az a meggyel k pess g s tapasztalat, amelyre a 6. oszt lyos ismeretet lehet p teni. Testek br zol sa, p t se, s kidomok el ll t sa sor n form kat, helyzeteket, m reteket tanulnak egyeztetni. j tulajdons gokat ismernek meg, sezekkel az j tulajdons gokkal deni lni fogj k a l trehozott alakzatokat, felhaszn lj k ezeket szerkeszt sekben, bizony t sokban. A tengelyesen szimmetrikus alakzatokkal foglalkozva (jobb csoportban) c lszer tiszt zni a h rtrap z fogalm t, de r szletes t rgyal s t csak emelt szinten javasoljuk. (Hetedik oszt lyban a paralelogramm r l tanultakat s a k z ppontos szimmetri t alkalmazva hat rozzuk meg a trap z ter let t, fogalmazzuk meg az ltal nos sszef gg st.) A fogalomrendszer kiz r lagosan dedukt v fel p t se nem felel meg ennek a koroszt lynak. Ennek ellen re ebben a t mak rben m r c lszer egyes sszef gg seket nemcsak felismertetni, hanem a gyermek szintj n bizony ttatni is. A tank nyvben t bb olyan mintap ld t tal lunk, amelyet feldolgozva kialak thatjuk jobb k pess g tanul inkban a bizony t si ig nyt, illetve fejleszthetj k a logikus gondolkod st, aprobl mamegl t s -megold k pess get. Az oszt ly sz nvonal hoz igazodva gondoljuk meg, hogy mennyit s milyen m lys gben dolgozunk fel ezekb l a r szekb l. Egy tlagos k pess g oszt lyban t lzs foltt tenn a tananyagot, s t lzottan megterheln nk tanul inkat, ha a teljess gre t rekedn nk. Ugyanakkor didaktikai hib nak tekinthetj k, ha a gyermek a 6. oszt lyban egy ltal n nem tal lkozik bizony t sokkal. Val sz n s g, statisztika Val sz n s gi k s rletek v gz sekor szerezzenek tapasztalatot a tanul k azzal kapcsolatosan, hogy mikor biztos, mikor lehets ges s mikor lehetetlen egy-egy esem ny bek vetkez se. Tudj k rtelmezni t rtalakban, tizedest rt alakban, sz zal kban egy-egy esem ny relat v gyakoris g t. A val sz n s gsz m t ssal a 3. fejezet egyik alfejezete { a sz zal ksz m t s alkalmaz sak nt { foglalkozik. A statisztik val nem foglalkozunk k l n fejezetben, hanem a sz mtan, algebra, illetve af ggv nyek tananyaghoz kapcsol d an adunk fel statisztikai vizsg latokat ig nyl feladatokat. T rekedj nk arra, hogy a tanul k a gy jt tt vagy t bl zatban adott adatokat tudj k elemezni, s tudjanak vel k grakont, diagramot k sz teni. Tudjanak grakonr l, k rdiagramr l adatokat leolvasni, az sszef gg seket elemezni. Tudj k meghat rozni t bb sz m sz mtani k zep t, tudj k ezt felhaszn lni k vetkeztet sek levon s ra. 11
RATERV, TANMENET raterv Az oktat si t rv ny szerint tan venk nt minim lisan 185 t nyleges tan t si napot kell biztos tani. (Az eur pai norma 200 tan t si nap.) Hatodik oszt lyban a k l nb z rendelkez sek s a kerettantervek minim lisan heti 3, vi 111 matematika r t rnak el. Ett l az rasz mt l az iskola helyi tanterve csak felfel " t rhet el. A fentiek alapj n az iskol k egy r sz ben a helyi tanterv 6. oszt lyban heti 3, vi 111 matematika r val sz molnak. Ezen iskol k sz m ra javasolt rasz mokat (az ratervben s a tanmenetben is) res keretbe rtuk. P ld ul: 01-38 ra. Megjegyezz k, hogy ha ezekben az iskol kban, az als tagozatban is reduk lt rasz mban tan tott k a matematik t, s t dik oszt lyban is csak heti 4 ra volt, akkor 6. oszt lyban meg kell el gedn nk a reduk lt tananyagot, vagyis a kerettantervi minimumot tartalmaz alapszint tank nyv feldolgoz s val. Csak az lehet a c lunk, hogy a tov bbl p shez n lk l zhetetlen ismereteket, m veleti elj r sokat alaposan begyakoroltassuk, s az elv rt alapk szs geket kialak tsuk. Sok olyan iskola van, ahol felismert k, hogy az als tagozatos rasz mok drasztikus cs kkent se miatt a tanul k a kor bbiakhoz k pest hi nyosabb ismeretekkel, fejletlenebb k szs gekkel s k pess gekkel l pnek a fels tagozatba. Ez rt 5. oszt lyban legal bb heti 4,5, vi 162 r t, m g 6. oszt lyban heti 4, vi 148 r t biztos tanak a matematikai nevel s sz m ra. Ezekben az iskol kban javasoljuk a tank nyv b v tett v ltozat nak feldolgoz s t. Az ilyen helyi tanterv alapj n dolgoz oszt lyok sz m ra javasolt rasz mokat sz rk re sz nezett keretbe rtuk: 01{50 ra. A 148 ra f lt tlen l sz ks ges lenne a 6. oszt lyos tananyag megnyugtat begyakoroltat s hoz, az ismeretek megszil rd t s hoz, az alapk szs gek kialak t s hoz, illetve a tanultak gyakorlati alkalmaz s nak megtan t s hoz. Ha heti 4 r n l kevesebb rasz mot biztos t a helyi tanterv a hatodik oszt ly sz m ra, akkor a kerettantervi k vetelm nyeket m r csak a jobb k pess g tanul k k pesek teljes teni. Ebben az esetben a nehezebben halad tanul k sz m ra heti rendszeress ggel korrepet l st kell szervezn nk. Ugyanakkor k l n foglalkoz sok keret ben, illetve tutorok alkalmaz s val meg kell oldanunk a matematika ir nt fog kony, tehets ges tanul ink fejleszt s t is. 12
1. Sz mok s m veletek 01{38. ra 01{50. ra A term szetes sz mokr l s a tizedest rtekr l tanultak ism tl se, a term szetes sz mk r b v t se, t j koz d s a sz megyenesen Kieg sz t anyag: Hatv nyoz s rtelmez se, a helyi rt kek fel r sa 10 hatv nyaik nt { rdekes fejt r feladatok megold sa Szorz s, oszt s 10-zel, 100-zal 1000-rel,... { A m r sekr l, m rt kegys gekr l tanultak ttekint se: hossz s gm r s, t megm r s, rtartalomm r s, id m r s, ter letm r s, t rfogatm r s {Kerek t s, pontos rt k, k zel t rt k, a m r s pontoss g nak jelz se A tanultak alkalmaz sa gyakorlati jelleg feladatokban: mennyis gek becsl se, megm r se, kim r se p nzhaszn lat. Fontos a tanultak gyakorlati alkalmaz sa, ez rt t nylegesen v gezzenek m r seket is a tanul k. Ha az ilyen tan r kat kiscsoportos foglalkoz sok keret ben szervezz k meg, akkor a matematikai k szs geken t lmen en fejleszthetj k tanul ink egy ttm k d si, illetve seg t k szs g t is. Sz melm let: oszt, t bbsz r s, legnagyobb k z s oszt, legkisebb k z s t bbsz r s, oszthat s g 10-zel, 2-vel, 5-tel, 100-zal, 4-gyel, 25-tel (20-szal, 50-nel) Halmazelm leti ismeretek eszk zszer alkalmaz sa Az eg sz sz mok rtelmez se, sszehasonl t sa, sszead sa, kivon sa, szorz sa, oszt sa. { A der ksz g koordin ta-rendszer Sz mol s negat v tizedest rtekkel Gyakorl s { 1. dolgozat A t rtek rtelmez se, b v t se, egyszer s t se, sszehasonl t sa { T rtek sszead sa, kivon sa { T rtek szorz sa, szorz s tizedest rt alak sz mmal { A reciprok fogalma { T rtek oszt sa, oszt s tizedest rt alak sz mmal { A racion lis sz mok fogalma, m veletek t rtalakban, illetve tizedest rt alakban rt negat v sz mokkal Gyakorl s { 2. dolgozat 2. Geometriai alakzatok vizsg lata 39{54. ra 51{70. ra Geometriai alapismeretek { T relemek k lcs n s helyzete { A k r { Egyszer szerkeszt sek: szakaszfelez mer leges, h romsz g, t glalap szerkeszt se { Sz gm r s, sz gm sol s, sz gfelez s { Soksz gek { H romsz gek csoportos t sa sz geik, illetve oldalaik szerint { Trap zok paralelogramm k, t glalapok, rombuszok A h romsz gek bels sz geinek sszege { T rgeometriai feladatok Gyakorl s { 3. dolgozat, az els f l vet z r felm r s 3. sszef gg sek, sz zal ksz m t s 55{74. ra 71{94. ra T bl zatok, grakonok { K t sz m ar nya { Egyenes ar nyoss g { Ford tott ar nyoss g { Sz zal ksz m t s { K rdiagramok { Val sz n s gi k s rletek A gyakorlatorient lt matematikaoktat s koncepci ja miatt ez a t mak r a kor bbiakhoz k pest hangs lyosabb v lt. A val sz n s gi k s rleteket t nylegesen v gezz k el a tanul k p ld ul kiscsoportos munkaform ban. Kieg sz t anyag: sszetett sz zal ksz m t si feladatok { Ar nyos oszt s Gyakorl s { 4. dolgozat 13
4. Tengelyes t kr z s 75{86. ra 95{116. ra A tengelyes t kr z s fogalma, tulajdons gai { A t k rk p megszerkeszt se { Tengelyesen t kr s alakzatok { Tengelyesen t kr s h romsz gek Kieg sz t anyag: A tengelyesen t kr s h romsz gek ter lete { Szab lyos soksz gek Tengelyesen t kr s n gysz gek, deltoid, rombusz Kieg sz t anyag: H rtrap z { Szab lyos testek Gyakorl s { 5. dolgozat, t maz r felm r s 5. Nyitott mondatok 88{100. ra 117{134. ra Nyitott mondat, egyenlet, egyenl tlens g, azonoss g, azonos egyenl tlens g { Egyszer egyenletek megold sa a m veletek k zti sszef gg sek alkalmaz s val { Az egyenlet k t oldal nak egyenl v ltoztat sa { Sz veges feladatok megold sa egyenlettel Kieg sz t anyag: Az egyenl tlens g k t oldal nak egyenl v ltoztat sa Aracion lis sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa. Gyakorl s { 6. dolgozat, t maz r felm r s 6. sszefoglal 101{111. ra 135{148. ra Halmazok { Sz mtan, m veletek a racion lis sz mk rben -Ar nyoss gok, sz zal ksz m t s { Egyenletek, egyenl tlens gek { M r sek, m rt kegys gek { Tengelyes szimmetria { S kidomok, soksz gek { K pess gpr ba (a tanul k felk sz t se az orsz gos kompetenciam r sre) 7. dolgozat, sszegz tan vz r rt kel s Atov bbiakban az egy rtelm s g c lj b l a feladatok sorsz ma el a fejezet sorsz m t is oda rjuk. P ld ul a 6.12. sorsz m a 6. fejezetben tal lhat 12. feladatot, a B6.01. sorsz m a b v tett tank nyv 6. fejezet ben l v B1. feladatot jelenti. Kislexikon s t rgymutat Az n ll ismeretszerz s k pess g nek egyik fontos t nyez je a kislexikon haszn lat nak megtanul sa. 14
Tanmenet 1. Sz mok s m veletek ra: 1{2. 1{2. Sz mok r sa, olvas sa, br zol sa Egymilli n l nagyobb term szetes sz mok r sa, olvas sa. Sz mok tizedest rt alakja. Helyi rt kek rendszere a t zes sz mrendszerben: alaki rt k, t nyleges rt k. Term szetes sz mok s tizedest rt alakban adott sz mok br zol sa sz megyenesen, nagys g szerinti sszehasonl t suk. Az t dik oszt lyban tanultak ism tl se s kiterjeszt se nagyobb helyi rt kekre. Tk. 1.01{1.10. Mgy. 1.10{1.16., 4.01{4.02. Fgy. 1.1.27., 1.1.38{48. ra: 3-4. Hatv nyoz s A pozit v eg sz kitev j hatv ny rtelmez se a 0 kitev j hatv ny. A helyi rt kek fel r sa 10 hatv nyainak a seg ts g vel. Kombinatorika (ism tl ses vari ci ). M veletek hatv nyokkal. Tk. B1.01{B1.08. Mgy. 1.32{1.39. Fgy. 1.2.50{53., 1.2.55. ra: 5{6. rdekes fejt r feladatok Feladatok akombinatorika, a sorozatok, f ggv nyek s a halmazok, logika t mak r kb l. R szhalmaz. Ezeket a feladatokat gy is feldolgoztathatjuk, hogy a tan v folyam n (a tan r k sz nesebb t tele c lj b l) hetenk nt egy-k t feladatot otthoni munk ra adunk fel, majd k z sen megbesz lj k a megold sukat. Tk. B1.09{B1.14. Mgy. 1.01{1.09. Fgy. 1.1.14{48. ra: 3. 7. Szorz s s oszt s 10-zel, 100-zal, 1000-rel A sz mok r s nak olvas s nak gyakorl sa. A helyi rt kek rendszer nek tudatos t sa. A m rt kegys gek tv lt s nak el k sz t se. Tk. 1.11{1.17. ra: 4{5. 8{10. M r s, m rt kegys gek M r s, m rt kegys gek, m rt kv lt s. Hossz s gm r s, t megm r s, rtartalomm r s, id m r s. Ker let-, ter let-, felsz n-, t rfogatsz m t s. M r eszk z k (m r szalag, m rleg, rm rt kek millim terpap r, n gyzetm termodell k bdecim termodell, k bm termodell t rk p) haszn lata. Fizikai fogalmak: t, id, sebess g. Az r sbeli m veletek gyakorl sa. Egyszer sz veges feladatok, ar nyoss gi k vetkeztet sek. Tk. 1.18{1.31., B1.15{B1.23. Mgy. 1.40., 4.16{4.22., 4.42{4.48. 7.01{7.13., 7.18{7.20., 7.23{7.25., 7.27{7.30., 7.34{7.41., Fgy. 6.1.29{33. 15
ra: 6{7. 11{12. Kerek t s, pontos rt k, k zel t rt k Kerek t s, k zel t rt k. Az tlag kisz m t sa. A gyerekek mindennapi let vel kapcsolatos, aktu lis statisztikai vizsg latok. A m r s pontoss g nak jelz se. Sz mok br zol sa sz megyenesen. A sz r s intuit v fogalm nak el k sz t se. Adatok gy jt se statisztikai zsebk nyvb l, foly iratokb l. Tk. 1.32{1.42. Mgy. 1.17{1.20., 4.23{4.27. ra: 8{9. 13{15. Ismerked s a sz melm lettel Oszt, t bbsz r s, oszt p rok. K z s oszt k, a legnagyobb k z s oszt. K z s t bbsz r s k, a legkisebb k z s t bbsz r s. Akor bbi vekben tanultak ism tl se. Sz beli sz mol s. Halmazok k z s r sze. Kombinatorika. AGyakorl b l aj nlott feladatok egy r sz t k s bb is megoldathatjuk. Tk. 1.43{1.49. Mgy. 1.41{1.53. ra: 10{11. 16{17. Mit rulnak el a sz m utols sz mjegyei? Oszthat s gi szab lyok: a 10-zel, 2-vel, 5-tel, 100-zal, 4-gyel, 20-szal, 25-tel, 50-nel val oszthat s g szab lya. Halmazok, logika. Marad koszt lyok. Elforgat s. Bizony t si ig ny felkelt se (a konkr t sz mokkal bemutatott bizony t sok gondolatmenete megegyezik az ltal nos bizony t s gondolatmenet vel). Tk. 1.50{1.52. Mgy. 1.54{1.64. ra: 12. 18{19. Vegyes oszthat s gi feladatok Az oszthat s gi szab lyok gyakorl sa. Halmazok k z s r sze. (T tel s megford t sa.) Kombinatorika, val sz n s g. Tk. 1.53{1.56. B1.24{B1.31. Fgy. 1.3.21{36. ra: 13. 20. Az eg sz sz mok (ism tl s) Az eg sz sz mok rtelmez se, sszehasonl t sa, ellentett, abszol t rt k. Tk. 1.57{1.60. Mgy. 2.01{2.06. ra: 14{16. 21{23. Az eg sz sz mok Eg sz sz mok sszead sa, kivon sa. T bbtag sszegek az eg sz sz mok k r ben. Az sszeg, k l nbs g v ltoz sai. Egyenletek megold sa. Ez az anyagr sz az t dik oszt lyban tanultak ism tl se, ennek ellen re elengedhetetlen p ld ul az ad ss g-k szp nz modellel t rt n szeml ltet s. A sz mol si szab lyokat a k vetkez r kon, folyamatos ism tl s keret ben gyakoroltathatjuk be. Tk. 1.61{1.67. Mgy. 2.07{2.18. Fgy. 2.1.10{13., 2.2.20{21. 16
ra: 17{18. 24{25. Az eg sz sz mok Eg sz sz m szorz sa eg sz sz mmal. (A szorz s rtelmez se negat v szorz val.) Egyenes ar nyoss g. A szorzat t nyez inek felcser lhet s ge. Tk. 1.68{1.70. Mgy. 2.19{2.20., 2.22. ra: 19{20. 26{28. Az eg sz sz mok Eg sz sz m oszt sa eg sz sz mmal. A oszt s rtelmez se negat v oszt val. A 0 szerepe. sszetett sz mfeladatok az eg sz sz mok k r ben. Jobb csoportban: Atanult sz mol si elj r sok alkalmaz sa a tizedest rtek k r ben. Eg sz sz mok szorz sa. Egyenletek. M veletek sorrendje, z r jelhaszn lat. Hatv nyoz s Tk. 1.71{1.74. B1.32{B1.37. Mgy. 2.21., 2.23{2.26., 2.28{2.31. Fgy. 2.2.22{37. ra: 21. 29. Der ksz g koordin ta-rendszer Az t dik oszt lyban tanultak ism tl se. Gyakorl s, az 1. dolgozat el k sz t se. Tk. 1.75. Mgy. 2.32{2.35. ra: 22. 30. 1. felm r s Term szetes sz mok s tizedest rtek r sa, olvas sa, kerek t se. M r s, m rt kegys gek. Oszt, t bbsz r s, egyszer oszthat s gi szab lyok. M veletek eg sz sz mokkal, m veleti tulajdons gok, a m veletek sorrendje, z r jelek haszn lata. Emelt szinten: Hatv nyoz s. ra: 23{24. 31{33. A t rtekr l tanultak ism tl se T rtek rtelmez se, egyszer s t s k, b v t s k, sszehasonl t suk. Vegyessz mok. Tizedest rtek egyszer s t se, b v t se. K z s oszt alkalmaz sa Tk. 1.76{1.87. Mgy. 3.01{3.05., 3.07{3.12. Fgy. 3.1.06{12., 3.2.09{10. ra: 25{26. 34{35. T rtek sszead sa, kivon sa (ism tl s) T rtek, illetve tizedest rtek sszead sa, kivon sa. T bbtag sszegek a pozit v racion lis sz mok k r ben. Sz veges feladatok. K z s t bbsz r s. Z r jelek haszn lata. Tk. 1.88{1.101. Mgy. 3.14{3.31., 4.28{4.30., 4.33{4.35. Fgy. 3.3.20{21., 3.3.23{24., 4.2.04{09. 17
ra: 27{28. 36{38. T rtek szorz sa T rt szorz sa eg sz sz mmal, eg sz sz m szorz sa t rttel, t rt szorz sa t rttel. T rtr sz kisz m t sa. Vegyessz m szorz sa vegyessz mmal. Sz veges feladatok. K s rletek ter letmodellel, sz nesr dk szlettel). M veleti tulajdons gok a szorzat s a h nyados v ltoz sai, sszeg, k l nbs g szorz sa. Ar nyoss gi feladatok { k vetkeztet s. Sorozatok, f ggv nyek. Egyenletek. Geometriai sz m t sok, m rt kegys gek. Tk. 1.102{1.116. Mgy. 3.32{3.42. Fgy. 3.3.28., 3.3.31., 3.3.41{42. ra: 29{30. 39{40. Szorz s tizedest rt alak sz mmal Nemnegat v tizedest rtek szorz sa. A szorz s algoritmusa. A t rtr sz kisz m t sa. Szorz s 0,1{del, 0,01-dal, 0,001-del. Sz veges feladatok. M veleti tulajdons gok a szorzat v ltoz sai szorz s, oszt s 10-zel, 100-zal, 1000-rel. Kombinatorika. Ar nyoss gi k vetkeztet sek. Geometriai sz m t sok, m rt kegys gek. Tk. 1.117{1.128. Mgy. 4.49{4.60. Fgy. 4.2.10. ra: 31{32. 41{42. A reciprok fogalma. Oszt s t rttel Pozit v sz mok reciproka. A t rt oszt sa term szetes sz mmal, term szetes sz m oszt sa t rttel, t rt oszt sa t rttel (ter letmodell). Szorz s t rttel, szorz s az oszt s ford tott m velete m veleti tulajdons gok. Egyenlet megold sa a m veletek k zti sszef gg sek alapj n sorozatok, f ggv nyek. Geometriai sz m t sok, m rt kegys gek. Fizikai fogalmak: s r s g, sebess g. Tk. 1.129{1.131., 1.132{1.142. Mgy. 3.43{3.44., 3.45{3.59. Fgy. 3.3.27., 3.3.29{30., 3.3.32{40., 3.3.43{64. ra: 33{34. 43{44. Oszt s tizedest rt alak sz mmal Oszt s algoritmus r l tanultak ltal nos t sa. Kerek t s, pontoss g. Oszt s 0,1-del, 0,01-dal, 0,001-del az sszef gg s meggyel se. A h nyados v ltoz sai. Szorz s 10-zel, 100-zal, 1000-rel,... Az oszt s ellen rz se szorz ssal. M veletek sorrendje. Sorozatok. Egyenletek. Geometriai sz m t sok, m rt kegys gek. Tk. 1.143{1.151. Mgy. 4.64{4.74. Fgy. 4.2.11{14. ra: 35{37. 45{48. Ismerked s a racion lis sz mokkal Aracion lis sz mok fogalma. M veletek a racion lis sz mk rben. Atanult sz mol si elj r sok kiterjeszt se a negat v t rtekre, tizdest rtekre. Gyakorl s, a hi nyoss gok p tl sa. A sz mol si rutin dierenci lt fejleszt se. Sz veges feladatok. Tk. 1.152{1.160., B1.38{B1.56., 1.161 Mgy. 3.06., 3.13., 3.60{3.70., 4.03{4.06., 4.31{4.32., 4.36{4.37. 4.72{4.92. Fgy. 3.3.27., 3.3.29{30., 3.3.32{40., 3.3.43{64. 18
ra: 38. 49{50. 2. felm r s T rtek fogalma, b v t se, egyszer s t se. Atizedest rtek fogalma. M veletek a t rtek s a tizedest rtek k r ben. M veleti tulajdons gok alkalmaz sa, m veletek sorrendje, z r jelek haszn lata. Alapszinten a pozit v racion lis sz mok k r ben k vetelj k meg a m veletek v grehajt s t, emelt szinten a teljes racion lis sz mk rben. A fentiek alkalmaz sa sorozatok, t bl zatok hi nyz elemeinek megad s ban, egyszer sz veges feladatok megold s ban, geometriai sz m t sok (ker let-, ter let-, t rfogat-, felsz nsz m t s). 2. Geometriai alakzatok vizsg lata ra: 39{40. 51{52. Geometriai alapismeretek Az Eszk zeink haszn lata c m olvasm ny megbesz l se. Alakzatok el ll t sa, meggyel se, csoportos t sa s kban s t rben. Ponthalmazok t vols ga. Egyszer szerkeszt sek. A t relemek k lcs n s helyzete, meggyel s k t bbf le testen. ll t sok igazs g nak eld nt se. Alakzatok vizsg lata der ksz g koordin ta-rendszerben. Adott tulajdons g ponthalmazok. Folyamatos ism tl s: Aracion lis sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa. Tk. 2.01{2.18. Mgy. 8.01{8.06. Fgy. 6.2.02{07., 6.2.11{13. ra: 41. 53. Ak r. A k r h rja, rint je A k rr l tanultak rendszerez se. A k rvonal s a k rlemez mint adott tulajdons g ponthalmaz k rcikk, k rszelet. A h r s az rint n h ny tulajdons ga. Adott tulajdons g ponthalmazok. Az alapszerkeszt sek gyakorl sa, szerkeszt si feladatok megold sa. Folyamatos ism tl s: Aracion lis sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa. Tk. 2.19{2.22. Mgy. 9.46. ra: 42{43. 54{55. Szerkeszt sek Ismerked s a szerkeszt si feladatok megold s val. H romsz g szerkeszt se h rom oldal b l. A szakasz felez mer legese szakaszfelez s, mer leges egyenesek szerkeszt se. T glalap megszerkeszt se. Adott tulajdons g ponthalmazok ponthalmazok k z s r sze. T vols gm r s, Folyamatos ism tl s: Aracion lis sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa. Tk. 2.23{2.27. Mgy. 9.48. Fgy. 6.2.14{19., 6.2.26. 19
ra: 44{45. 56{57. Sz gm r s A sz gm r sr l tanultak kieg sz t se. Asz g rtelmez set bbf lek ppen. A sz gek fajt i m r se m rt kegys gek: egyenessz g fok. A sz gm r haszn lata. Sz gm sol s, sz gfelez s. Sz g t rtr sz nek megszerkeszt se sz gfelez ssel, sz gm sol ssal. Halmazok, logika t rtek id m r s koordin ta-rendszer. Folyamatos ism tl s: Aracion lis sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa. Tk. 2.28{2.33. Mgy. 8.12{8.16. Fgy. 6.2.21{25. ra: 46. 58{59. Ismerked s a soksz gekkel A soksz g tulajdons gainak vizsg lata. Konvex, nem konvex soksz gek. Az oldalak, cs csok, tl k sz ma. Soksz gek oszt lyoz sa adott, illetve a tanul ltal felismert szempontok szerint. A soksz gbe h zhat tl k sz m nak vizsg lata. S kbeli alakzatok egym shoz val viszonya. Kapcsolat a kombinatorik val. F ggv nyek. Halmazok k z s r sze, egyes t se, r szhalmaz. ll t sok igazs g nak eld nt se. Folyamatos ism tl s: Aracion lis sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa. Tk. 2.34{2.35. Mgy. 8.17{8.20. Fgy. 6.3.04. ra: 47{48. 60{62. H romsz gek Elnevez sek a h romsz gekben. Bels sz geinek az sszege. H romsz gek csoportos t sa k l nb z szempontok szerint. H romsz gek szerkeszt se. Szab lyos h romsz g, illetve a 60 -os sz g szerkeszt se. 60 -os sz g t rtr szeinek szerkeszt se. (Kieg sz t sz gek.) Kapcsolat a m r sz m s a m rt kegys g k z tt. ll t sok igazs g nak eld nt se. A sz gek fajt i. Sz gfelez s, sz gm sol s. Folyamatos ism tl s: Aracion lis sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa. Tk. 2.36{2.46. Mgy. 8.22{8.26., 8.50{8.51. Fgy. 6.3.06{10., 6.3.12{14., 7.5.01{02. ra: 49{50. 63{64. N gysz gek Trap z, paralelogramma, t glalap, rombusz. N gysz gek csoportos t sa k l nb z szempontok szerint. Halmaz, logika. Sz gm r s. Der ksz g koordin ta- rendszer. Tk. 2.47{2.50. Mgy. 8.63{8.66. Fgy. 6.3.15{30. ra: 51{52. 65{67. sszefoglal s, gyakorl s A 3. dolgozat el k sz t se. M rt kegys gek, geometriai ismeretek, sz m t sok, szerkeszt sek. A t glatest tulajdons gainak vizsg lata. A t glatest felsz ne, t rfogata. Tk. 2.51{2.62., B2.01{B2.24., 2.63. Mgy. 7.38{7.56., 9.44{9.45. Fgy. 7.5.03{08. ra: 53{54. 68{70. 3. dolgozat Az els f l vet z r dolgozat. A t pushib k megbesz l se. Ahi nyoss gok p tl s nak megszervez se. 20
3. sszef gg sek, sz zal ksz m t s ra: 55{56. 71{72. Grakonok, t bl zatok Diagramok, grakonok elemz se, k sz t se. Aktu lis statisztikai adatokat szeml ltet diagrammok vizsg lata. H m rs klet m r se, bels energia. Id - t grakon. Tk. 3.01{3.05. Mgy. 9.26{9.28., 9.31. Fgy. 5.1.08{18. ra: 57{58. 73{74. K t sz m ar nya Az ar ny jelent se, kifejez se t rt- s tizedest rt alakban. Mennyis gek ar nya. A t rt mint ar ny. Kicsiny tett, illetve nagy tott k pek (alaprajzok, t rk pek, n zeti rajzok) rtelmez se. Oszt s. T rtek tizedest rt alakja. Tk. 3.06{3.15. Mgy. 4.93{4.95., 9.21{9.23., 9.36{9.43. Fgy. 4.4.05., 5.2.03. ra: 59{60. 75{76. Egyenes ar nyoss g Az egyenes ar nyoss g fogalma, tulajdons gai. Az egyenes ar nyoss g grakonja. Egyenesen ar nyos mennyis gek ismeretlen rt keinek meghat roz sa (els sorban) k vetkeztet ssel. M veletek racion lis sz mokkal, t rtr sz kisz m t sa. t, id, sebess g. H m rs klet m r se, bels energia. T meg, t rfogat, s r s g. Tk. 3.16{3.21. Mgy. 5.07{5.40. Fgy. 4.4.12., 5.2.01. ra: 61{63. 77{79. Ford tott ar nyoss g A ford tott ar nyoss g fogalma, grakonja s tulajdons gai. Ford tottan ar nyos mennyis gek ismeretlen rt keinek meghat roz sa (els sorban) k vetkeztet ssel. M veletek racion lis sz mokkal. t, id, sebess g. Ter letsz m t s. H m rs klet m r se Tk. 3.22{3.29. Mgy. 5.81{5.94. Fgy. 5.2.04., 5.2.09{10. ra: 64{66. 80{81. Sz zal ksz m t s A sz zal k rt k kisz m t sa. Alap, sz zal kl b, sz zal k rt k. K rdiagramok rtelmez se. Szorz s t rttel, tizedest rttel. T rtr sz kisz m t sa. Ad, brutt j vedelem nett j vedelem. Ar nyos k vetkeztet sek. Tk. 3.30{3.36., 3.37. Mgy. 5.41{5.53., 9.24{9.25., 9.30. Fgy. 4.3.03. ra: 67{68. 82{83. Sz zal ksz m t s Az alap kisz m t sa k vetkeztet ssel s t rttel val oszt ssal. Oszt s tizedest rttel. Sz veges feladatok, ar nyoss gi k vetkeztet sek. Tk. 3.38{3.41. Mgy. 5.64{5.73. 21
ra: 69{70. 84{85. Sz zal ksz m t s A sz zal kl b kisz m t sa. Ar ny, t rt, t rtr sz, sz zadr sz, sz zal k. Oszt s. Ar nyoss gi k vetkeztet sek. Kerek t s, pontoss g. T rtek tizedest rt alakja. Tk. 3.42{3.44. Mgy. 5.74{5.80., 9.29. ra: 71. 86{87. Sz zal ksz m t s Atanultak sszefoglal sa, gyakorl sa: Vegyes sz zal ksz m t si feladatok megold sa. Jobb csoportban: sszetett ar nyoss gi s sz zal ksz m t si feladatok megold sa. Ismerked s a kamat fogalm val s a kamatos kamatsz m t ssal. Tk. 3.45{3.48. B3.01{B3.07. Mgy. 5.45{5.63. Fgy. 4.4.03., 4.4.11., 4.4.13., 6.1.08. ra: 88{89. Ar nyos oszt s Az ar nyos oszt s fogalma. K rdiagram szerkeszt se. T rt, t rtr sz, t rtr szek k zti kapcsolatok. Tk. B3.08{B3.10. Mgy. 4.96{4.97. Fgy. 4.4.01{02., 4.4.06., 4.4.08. ra: 72. 90{91. Val sz n s gi k s rletek A biztos, lehets ges, de nem biztos, lehetetlen esem nyek megk l nb ztet se. A relat v gyakoris g meghat roz sa. T rtr sz. T rtek tizedest rt alakja. Sz zal ksz m t s. Tk. 3.49{3.52. ra: 73. 92{93. sszefoglal s, gyakorl s A folyamatos ism tl s s a felz rk ztat s megszervez se. Tk. 3.53. B3.11{B3.19. ra: 74. 94. 4. dolgozat 4. Tengelyes t kr z s ra: 75. 95. Mit l tunk a t k rben? A s kra vonatkoz t kr z s. A test s k p nek sszehasonl t sa: nagys guk, t vols guk a t k rs kt l, a jobb s a bal oldal felcser l d se. Egybev g testek. K s rletek veglappal vagy k toldal t k rrel: Testek s t k rk peik p t se j t kkock kb l. Kapcsolat a kombinatorik val: h ny test p thet 3, 4,... kock b l. Tk. 4.01{4.02. 22
ra: 76{77. 96{97. A tengelyes t kr z s A s kbeli tengelyes t kr z s a t rbeli s kra t kr z s megfelel je a t k rs kra mer leges s kon. A t k rk p el ll t sa pap rhajtogat ssal, ttetsz pap rral, n gyzetr cson. A tengelyes t kr z s mint a s k t tengely k r li 180 -os elforgat sa. A tengelyes t kr z s tulajdons gai. Adott tulajdons g pontok keres se. Szakasz felez mer legese, sz gfelez. Tk. 4.03{4.05. Mgy. 8.30{8.37., 8.44. Fgy. 6.4.01{13. ra: 78. 98{99. A t k rk p megszerkeszt se Adott pont t k rk p nek megszerkeszt se k tf lek ppen. Egyenes, szakasz, sz g soksz g, k r t k rk p nek megszerkeszt se. Mikor esik egybe egy-egy alakzat a t k rk p vel? Geometriai alapfogalmak, alapszerkeszt sek. H romsz g s t glalap szerkeszt se. Ak r. T kr z s der ksz g koordin ta-rendszerben. Tk. 4.06{4.10. Mgy. 8.38{8.43., 9.47. ra: 79. 100{101. Tengelyesen t kr s alakzatok Szimmetrikus alakzatok keres se a term szetben, m v szetben. A t kr ss g vizsg lata. A tengelyes szimmetria megk l nb ztet se egy b szimmetri kt l. Egyszer alakzatok tengelyes szimmetri ja. Alakzatp rok k z s szimmetriatengelye. Konvex, nem konvex alakzatok. S kidomok, soksz gek tulajdons gai. S kra szimmetrikus testek (testmodellek vizsg lata). T glatest, kocka, szab lyos has bok stb. tulajdons gai. Tk. 4.11{4.18. Mgy. 8.45{8.49. Fgy. 6.4.14{16. ra: 80{81. 102{105. Tengelyesen t kr s h romsz gek A h romsz gek k z l a tengelyesen szimmetrikus h romsz gek kiv laszt sa, tulajdons gaik vizsg lata. Tengelyesen szimmetrikus h romsz gek szerkeszt se. Aszerkeszt si feladatok megold s nak ttekint se. Szerkeszt sek az egyenl sz r h romsz g tulajdons gai alapj n. ll t sok igazs g nak eld nt se. Kombinatorika. A h romsz g bels s k ls sz gei. Alapszerkeszt sek. Szerkeszt sek der ksz g h romsz gvonalz kkal. Mer leges szerkeszt se az egyenes adott pontj ba, az egyenesre k ls pontb l. Sz gfelez s, nevezetes sz gek megszerkeszt se, sz gm sol s. T vols g. Pontt l, egyenest l, szakaszt l adott t vols gra l v pontok keres se. Jobb csoportban: A t kr s h romsz g ter lete. A t kr s h romsz g t glalapba foglal sa, tdarabol sa t glalapp t bbf lek ppen. A ter letm r s fogalma, egys gei. T glalap, n gyzet, der ksz g h romsz g ter lete. R cssoksz gek ter lete. Der ksz g koordin ta-rendszer. Tk. 4.19{4.24. B4.01{B4.02., B4.03{B4.10. Mgy. 8.50{8.51. 8.52{8.56., 7.50{7.63., 9.49. Fgy. 6.3.07., 6.4.28{34. 23
ra: 106. Szab lyos soksz gek Szab lyos soksz gek rtelmez se, tulajdons gaik vizsg lata. A k rlap feloszt sa egybev g k rcikkekre. A k z pponti sz gek kisz m t sa, a hozz tartoz h rok sszehasonl t sa. A szab lyos soksz g egy-egy sz g nek meghat roz sa. A szab lyos soksz gek szimmetriatengelyei. Oszthat s g: 360 oszt i. Forg sszimmetria. Sz gm r s, soksz gek bels sz gei. K z pponti sz gek. A s k parkett z sa szab lyos soksz gekkel. Tk. B4.11{B4.13. Mgy. 8.70{8.72. Fgy. 6.3.08{09. ra: 82{84. 107{110. Tengelyesen t kr s n gysz gek A n gysz gek k z l a tengelyesen t kr s n gysz gek kiv laszt sa. A szimmetriatengely helyzet nek vizsg lata (a cs csokon megy t, vagy az oldalakat felezi). A deltoid rtelmez se, tulajdons gai. Konvex, nem konvex deltoid. Deltoid szerkeszt se. A rombusz mint speci lis deltoid. Rombusz szerkeszt se. Alapszinten: Az 5. dolgozat el k sz t se. Minden", van olyan", ha., akkor", pontosan akkor..., ha kifejez sekkel ll t sok megfogalmaz sa. H romsz gek megszerkeszt se. Sz gfelez s, nevezetes sz gek megszerkeszt se, sz gm sol s. Tk. 4.25{4.28. 4.29. Mgy. 8.57{8.60., 8.63., 8.64{8.66. Fgy. 6.4.35{48. ra: 111{112. A h rtrap z A h rtrap z rtelmez se, tulajdons gai. A t glalap mint speci lis h rtrap z. A n gyzet mint speci lis h rtrap z, mint speci lis t glalap s speci lis rombusz. Ismerked s a szab lyos testekkel. N gysz gek bels sz gei. Tk. B4.14{B4.15. Mgy. 8.67{8.69. ra: 113{114. sszefoglal s gyakorl - s fejt r feladatok Mi lehet a szab ly? A geometriai transzform ci kr l, a hasonl s gr l s az egybev g s gr l kor bban szerzett tapasztalatok felid z se. Tk. B4.16{B4.35. ra: 85{86. 115{116. 5. dolgozat rt kel s. A hi nyok p tl sa, az v v gi folyamatos ism tl s el k sz t se. 24
5. Nyitott mondatok ra: 87{88. 117{118. Egyenletek, egyenl tlens gek Nyitott mondat, egyenlet, azonoss g, egyenl tlens g, azonos egyenl tlens g. Egyenletek, egyenl tlens gek igazs ghalmaz nak meghat roz sa adott alaphalmazok eset n (els sorban tervszer pr b lgat ssal). M veletek racion lis sz mokkal abszol t rt k. Halmazok, logika. Geometria. Tk. 5.01{5.04. Mgy. 6.01{6.13. ra: 89{90. 119{120. M veletek k z tti sszef gg sek alkalmaz sa Egyenletek, egyenl tlens gek megold sa k t-h rom l p sben a m veletek k zti sszef gg sek alkalmaz s val. M veletek racion lis sz mokkal. Az sszead s s kivon s, illetve a szorz s s oszt s k zti sszef gg s. Sz veg rtelmez s, sz veg fogalmaz sa egyenlethez. Tk. 5.05{5.07. Mgy. 6.14{6.15. ra: 91{93. 121{123. Egyenletek, m rlegelv alkalmaz sa Egyenletek megold sa a k t oldal egyenl v ltoztat s val. ( Ir ny tott felfedeztet s": logikai lapok, m rlegmodell, esetleg konyhai m rleg haszn lata.) Jobb csoportban: T rt-, illetve tizedest rt egy tthat s egyenletek megold sa. M veletek racion lis sz mokkal. M rt kegys gek. Tk. 5.08{5.10. B5.01. Mgy. 6.16{6.17., 6.21., 6.23., 6.25., 6.27{6.31. ra: 124{125. Egyenl tlens gek, m rlegelv alkalmaz sa Egyenl tlens gek megold sa a k t oldal egyenl v ltoztat s val. ( Ir ny tott felfedeztet s": logikai lapok, m rlegmodell, esetleg konyhai m rleg haszn lata.) M veletek racion lis sz mokkal. M rt kegys gek. Tk. B5.02{B5.04. Mgy. 6.18{6.20., 6.22., 6.24., 6.26., 6.32{6.33. ra: 94{96. 126{128. Sz veges feladatok megold sa egyenlettel T bl zatok, rajzos modellek k sz t se a sz veg alapj n. A megold s ellen rz se. Ar nyoss g. Geometriai sz m t sok ker let-, ter let-, t rfogatsz m t s. Fizikai p ld k. Tk. 5.11{5.14. Mgy. 6.34{6.62. 25