MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája. Mekkora a sorozat negyedik eleme? A sorozat negyedik eleme 6. Összesen: pont ) A pozitív egészeket növekvő sorrendbe állítjuk. Melyik szám nagyobb: a hetedik 1-mal osztható pozitív egész, vagy a tizenharmadik 7-tel osztható pozitív egész? A két szám egyenlő. 7 1 91 Összesen: pont ) Az alábbi adatok március első hetében mért napi hőmérsékleti maximumok (az adatokat C-ban mérték): hétfő kedd szerda csütörtök péntek szombat vasárnap 5, 1,6,1 0,6 1,1 1,6 0 Mennyi volt ezen a héten a hőmérsékleti maximumok átlaga? 9,8 7 1, Összesen: pont 5) Az a és b valós számokról tudjuk, hogy a b a b értéke? 0. Mekkora a b 0 Összesen: pont
6) Egy téglatest alakú akvárium belső méretei (egy csúcsból kiinduló éleinek hossza): cm, 5 cm és dm. Megtelik-e az akvárium, ha beletöltünk 0 liter vizet? Válaszát indokolja! V 5 0 1500 cm 1,5 dm 1,5 liter Az akvárium nem telik meg. Összesen: pont 7) Válassza ki azokat az egyenlőségeket, amelyek nem igazak minden valós számra: a) x x b) x x c) x b), c) x (1+1 pont) Összesen: pont 8) Péter lekötött egy bankban 150 000 forintot egy évre, évi %-os kamatra. Mennyi pénzt vehet fel egy év elteltével, ha év közben nem változtatott a lekötésen? 156000 Ft-ot vehet fel Péter egy év elteltével. Összesen: pont 9) Egy négytagú társaság e-mail kapcsolatban van egymással. Bármelyikük egy-egy társának legfeljebb egy levelet ír hetente. Válassza ki a felsorolt lehetőségek közül, hogy maximum hány levelet írhatott összesen egymásnak a társaság tagja 1 hét alatt? Válaszát indokolja! a) 16 b) 1 c) 6 Mind a négy ember maximum három levelet írhatott egy héten:. 1 vagy b) Összesen: pont
10) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a PO 5 ; ponton és párhuzamos a x 5y 0 egyenletű egyenessel! x 5y 1 Összesen: pont 11) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal! 6 8 10 Mindkét nyelvet fő beszéli. 1) Az f függvényt a ; 6 intervallumon a grafikonjával értelmeztük. Mekkora f legkisebb, illetve legnagyobb értéke? Milyen x értékekhez tartoznak ezek a szélsőértékek? f legkisebb értéke. Ez az x értékhez tartozik. f legnagyobb értéke 7. Ez az x 6 értékhez tartozik. Összesen: pont Összesen: pont
II/A. 1) Oldja meg a következő egyenleteket: a) b) x x 9 0 (6 pont) sin x sin x (6 pont) a) Legyen x a Az a a 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a1 és a 1 x a esetén x 1 x a 1 egyenlet nem ad megoldást, mert minden valós kitevőjű hatványa pozitív szám. Az x 1 kielégíti az eredeti egyenletet. b) Legyen sinx a Az a a 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a1 és a 1. a sin x nem ad megoldást, mert sin x 1 a sin x 1 A sin x 1 egyenlet gyökei: x k, ahol k tetszőleges egész szám. Ezek az x értékek kielégítik az egyenletet. Összesen: 1 pont 1) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? (1 pont) Az a oldalú szabályos háromszög magassága: a Az alaplap területe: 16 cm a. A palást területe: am m m t 6 16 t t m t a t Vhasáb T m 16 19 cm Ahasáb T a a m t Ahasáb 16 18 1, 7 cm Összesen: 1 pont
15) A 1. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot kapott, amely az 1,,, és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta valamilyen sorrendben. a) Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották? b) Az alábbi kördiagram a dolgozatok eredményét szemlélteti: Adja meg, hogy hány tanuló érte el a szereplő érdemjegyeket! Válaszát foglalja táblázatba, majd a táblázat adatait szemléltesse oszlopdiagramon is! (6 pont) c) Az összes megírt dolgozatból véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy jeles vagy jó dolgozatot veszünk a kezünkbe? a) Az összes képezhető kódok száma 5!. 10 tanuló írt dolgozatot. b) jegyek 5 fok 5 105 150 60 fő 15 5 50 0 c) A -es és az 5-ös dolgozatok száma összesen: 70. 70 7 0, 58 A keresett valószínűség: 10 1 Összesen: 1 pont
II/B. 16) Adott a következő egyenletrendszer: (1) lg y 1 lg x 11 () y x a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben azokat a P( x; y ) pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik a () egyenletet! b) Milyen x, illetve y valós számokra értelmezhető mindkét egyenlet? c) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! (11 pont) d) Jelölje meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát az a) kérdéshez használt derékszögű koordináta-rendszerben! a) b) Az (1) egyenlet miatt y 1 és x 11 c) lg y 1 lg x 11 x x lg 1 lg 11 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt x 1 x 11 x x 10 0 5 x1 és x 5 y1 és y
5 5 A másodfokú egyenletrendszer megoldásai: ; illetve ; amiből a második számpár nem tartozik az eredeti egyenlet értelmezési tartományába, az első számpár kielégíti az eredeti egyenletrendszert. 5 5 d) A ; pont bejelölése. Összesen: 17 pont 17) Egy televíziós játékban 5 kérdést tehet fel a játékvezető. A játék során a versenyző, ha az első kérdésre jól válaszol, 0 000 forintot nyer. Minden további kérdés esetén döntenie kell, hogy a játékban addig megszerzett pénzének 50, 75 vagy 100 százalékát teszi-e fel. Ha jól válaszol, feltett pénzének kétszeresét kapja vissza, ha hibázik, abba kell hagynia a játékot, és a fel nem tett pénzét viheti haza. a) Mennyi pénzt visz haza az a játékos, aki mind az öt feltett kérdésre jól válaszol, s bátran kockáztatva mindig a legnagyobb tétet teszi meg? b) Az a játékos, aki mindig helyesen válaszol, de óvatos, és a négy utolsó fordulóban pénzének csak 50%-át teszi fel, hány forintot visz haza? c) A vetélkedő során az egyik versenyző az első négy kérdésre jól válaszolt. A második kérdésnél a pénzének 100%-át, a.,. és 5. kérdés esetén pénzének 75%-át tette fel. Az 5. kérdésre sajnos rosszul válaszolt. Hány forintot vihetett haza ez a játékos? (5 pont) d) Egy versenyző mind az 5 fordulóban jól válaszol, és közben minden fordulóban azonos eséllyel teszi meg a játékban megengedett lehetőségek valamelyikét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az elnyerhető maximális pénzt viheti haza? a) Az első nyereménye 0 000 forint, a további négy fordulóban a pénze mindig megduplázódik, így a végén 0000 60000 forint a nyeremény. b) Az első nyereménye 0 000 forint, a további négy fordulóban a pénze mindig másfélszereződik, így a végén 0000 1,5 0500 forint a nyeremény. c) Az első nyereménye 0 000 forint, a további négy forduló végére 1 0000 1,75 0,5 6150 forint a nyeremény. (5 pont) d) Az összes esetek száma a utolsó fordulóban 81. A kedvező esetek száma 1. A keresett valószínűség (a klasszikus modell szerint): 1 0, 01 81 Összesen: 17 pont
18) Egy függőleges tartórúdra a talajtól m magasan mozgásérzékelőt szereltek, a hozzákapcsolt lámpa 10º-os nyílásszögű forgáskúpban világít függőlegesen lefelé. a) Készítsen vázlatrajzot az adatok feltüntetésével! b) Milyen messze van a lámpától a legtávolabbi megvilágított pont? c) Megvilágítja-e az érzékelő lámpája azt a tárgyat, amelyik a talajon a tartórúd aljától 15 m távolságra van? d) A tartórúdon méterenként kampókat helyeztünk el, amelyekre fel tudjuk akasztani a mozgásérzékelő lámpáját. Alulról számítva hányadik kampót használjuk, ha azt akarjuk, hogy a vízszintes talajon ne világítson meg a lámpa 100 m-nél nagyobb területet? a) 10 (7 pont) m y b) x x y cos 70 11, 7 m c) A legtávolabbi megvilágított pont a talajon a rúd aljától x tg70 távolságra van, x 11 m így a 15 méterre levő pont már nincs megvilágítva. d) r 100 100 r 5,6 m 5,65 h,05 m tg70 tehát az első vagy a második kampóra kell akasztani az érzékelőt. Összesen: 17 pont