VI.. TORPEDÓ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Tengelyes és középpontos tükrözés, forgatás, eltolás és szimmetriák. Előzmények A tanulók ismerik a tengelyes tükrözést, középpontos tükrözést, 0 -os pont körüli forgatást, eltolást. Cél A geometriai transzformációk alapvető tulajdonságai ismeretének elmélyítése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató Szerencsés lenne, ha a tanulók először teljesen önállóan próbálnák megoldani a feladványokat, feladatlap, esetleg kivetített feladatlap segítségével. Ezt egy alapos, általánosító tanári magyarázat kövesse, mely túllép az ismertetett játék keretein. A feladatsorban található tengelyes szimmetriák a következő módszerrel is felfedeztethetők: az alakzatokat grafitceruzával erősen kiszínezzük, majd félbehajtjuk a papírt, és az egyik oldalt erősen rásimítjuk a másikra, ekkor a lenyomat ott marad a másik részen. Forgási és eltolási szimmetriák pedig pauszpapír vagy másolópapír segítségével ténylegesen követhetők. (Forgatásnál körzőt szúrhatunk a forgásközéppontba, ezzel rögzíthetjük a pauszpapírt.) A feladatsor megoldása közben érdemes megfigyelni, hogy észreveszik-e tanulók a megadott egyre nehezedő mintákat a feladatokban. Figyeljük meg, mely tulajdonságok felismerése egyszerűbb, illetve nehezebb számukra! Az általánosítás problémái gondot okozhatnak, ügyeljünk, hogy a megoldás lépéseit mindenki követhesse. A feladatsor alkalmas egyéni készségek, képességek mérésére, segít megfigyelni, hogy mennyire kreatívak a tanulók a feladatok megoldása során. A feladatsor feldolgozása után elvárható, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a négy ismertetett transzformációt, illetve a hozzájuk kapcsolódó szimmetriákat. VI. Síkgeometria VI.. Torpedó.oldal/
TORPEDÓ Feladat sor Abigél és Bíborka a közismert torpedó játékot játssza. Megállapodtak, hogy a táblán db négyes, db hármas, db kettes és db egyes hajót helyeznek el. REND A LELKE MINDENNEK. a) Abigél elhatározta, hogy a bejelölt vonalhoz képest tükrösen helyezi el hajóit. Segíts neki, pótold a hiányzó hajókat! b) Bíborka nem ismerve ellenfele taktikáját a következő elrendezést találta ki: a ferde vonalra tükrösen helyezi el saját flottáját. Segíts neki, pótold a hiányzó hajókat! c) Mutasd meg, hogy nem lehet úgy elhelyezni a hajókat, hogy a függőleges és az átlós tengelyre is szimmetrikusak legyenek! VI. Síkgeometria VI.. Torpedó.oldal/
d) Ha a flotta négy darab egyes, négy darab kettes, négy darab hármas és egy négyes hajóból áll, akkor megvalósítható a függőleges és az átlós tengelyre is szimmetrikus elrendezés. Készíts egy ilyen elrendezést! -AS CSOP ORT. A lányok hamar kiismerték egymás stratégiáját, ezért mindketten új elrendezéssel próbálkoztak. (Flottájuk most az eredeti, tehát négy egyes, négy kettes, két hármas és két négyes hajó.) Abigél ábrája a) Keress szimmetriát a rajzon! Milyen szabályszerűséget fedezel fel? b) Teljesül-e ez a szabály az előző feladat d) kérdéséhez készített ábrádra is? c) Kösd össze a hajók következő sarkait: D jobb felső G bal alsó; G bal alsó D jobb felső; F jobb alsó E bal felső! Hol metszik egymást az összekötő vonalak?. Bíborka javasolta, hogy csak db négyes hajó legyen. a) Hogyan kell elhelyeznie Abigélnek legnagyobb hajóját, hogy megfeleljen a. feladat szabályának? b) Rajzold le az összes lehetőséget! c) Mi a helyzet, ha a legnagyobb hajó nem négy, hanem öt egység területű? VI. Síkgeometria VI.. Torpedó.oldal/
NE TOLD EL, VIKTOR!. Mivel Bíborka hamar eltalálta a középen terpeszkedő nagy hajót, gyorsan eldőlt a csata. A játékosok ismét db négyes hajót rajzoltak. Abigél továbbra is bízott a szabályos elrendezésekben, s az alábbi ötlettel állt elő: hajóit két egyforma flottába sorolta úgy, hogy az egyes flottákban a hajók egymáshoz viszonyított helyzete megegyezzék. a) Egészítsd ki a rajzot, ha tudjuk, hogy a B-E hajó párja a G-! b) Kösd össze a megfelelő hajók azonos csúcsait! Mit tapasztalsz? c) Megvalósítható-e a fenti szabálynak megfelelő elrendezés db négyes hajóval? K EZDŐDÖN A FORGATÁS!. Az előző csatát is Bíborka nyerte. Az utolsó ütközet előtt Abigélnek eszébe jutott még egy érdekes lehetőség. Miután a flotta felét (fekete hajók) már fölrajzolta, mindegyik hajót elforgatta 0 -kal a tábla középpontja körül (szürke hajók). a) elöld be a forgatás középpontját! b) Fejezd be az ábrát! c) Kösd össze az egyik hajó és elforgatottja megfelelő csúcsait a középponttal! Mekkora szöget zár be egymással a két szakasz? d) Megvalósítható-e a fenti szabálynak megfelelő elrendezés egyetlen négyes hajóval? VI. Síkgeometria VI.. Torpedó.oldal/
. a) Eltérő színnel jelölve a megoldás: MEGOLDÁSOK b) A helyes ábra: c) Az ábrának ekkor négy szimmetriatengelye is van: egy függőleges, egy vízszintes és két átlós. A két hármas és a két négyes hajót közül mindössze egy négyes hajó helyezhető el úgy, hogy négy tengelyre szimmetrikus legyen, az E-F-E-F mezőkre. Hármas hajókból darabot lehetne a kívánt szimmetriának megfelelően elhelyezni, négyes hajókból egyet, négyet vagy nyolcat. d) VI. Síkgeometria VI.. Torpedó.oldal/
. a) A hajók elrendezése középpontosan szimmetrikus a tábla középpontjára. b) Igen. Két különböző, egymásra merőleges tengelyre szimmetrikus alakzatok középpontosan is szimmetrikusak. (Ha nem merőlegesek a tengelyek, akkor az állítás nem teljesül, például a szabályos ötszögnek van két különböző szimmetriatengelye, de középpontosan nem szimmetrikus.) c) A tábla középpontjában.. a) A négyes hajónak a tábla közepén kell lennie, mégpedig úgy, hogy ő maga is középpontosan szimmetrikus legyen erre a pontra. b) Ha ragaszkodunk ahhoz, hogy a tábla középpontja legyen a szimmetria-középpont, akkor ez az egyetlen lehetőség: c) Öt egység területű középpontosan szimmetrikus alakzat nem rajzolható a rácsvonalakra. VI. Síkgeometria VI.. Torpedó.oldal/
. a) A kiegészített rajz: b) Egyenlő hosszúságú, párhuzamos szakaszok láthatók. c) Nem. A pozitív hosszúságú vektorral való eltolásnak nincs helyben maradó pontja, a négyes hajó és a képe nem eshet egybe.. a) A forgatás középpontja a tábla középpontja. b) c) 0º-ot. d) Igen, amennyiben ez a hajó forgásszimmetrikus ugyanezen pontra (pl. a.b) feladatban látott alakzat megfelel). VI. Síkgeometria VI.. Torpedó.oldal/