Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés? 4. Rendezzük növekvő sorrendbe a következő számokat!,,,,,,,,,,,,,,,,
5. A következő ábrákon az függvény transzformáltjainak grafikonjait láthatjuk. A grafikonok alapján adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát!
6. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! 7. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! 8. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket, ahol az ismeretlen a valós számok halmazából való! 9. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! 10. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert!
11. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! 12. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! i) j) k) 13. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! 14. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! i)
15. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszereket! 16. Adjuk meg az alábbi kifejezések értékét! i) j) 17. Számítsuk ki a következő hatványokat! i) j)
18. Számítsuk ki x értékét! (x>0) i) j) 19. Számítsuk ki az alábbi kifejezésekben a logaritmus alapjait! i) j) 20. Határozzuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a következő kifejezések értelmezhetők! 21. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! (A jellemzés fő szempontjai az első feladatsor függvényábrázolással kapcsolatos feladatainál megtalálhatóak.)
22. Az ábrán látható függvények alapfüggvénye. Írjuk fel az egyes függvényábrázoláshoz tartozó hozzárendelési szabályt! Jellemezzük a függvényt! (A jellemzés fő szempontjai az első feladatsor függvényábrázolással kapcsolatos feladatainál megtalálhatóak.)
23. Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékeit! 24. Adjuk meg az a változó értékeit! 25. A logaritmus azonosságait felhasználva számítsuk ki a következő kifejezések értékét! 26. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! 27. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! 28. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket!
29. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! 30. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! 31. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! 32. Csak a definíció alkalmazása alapján, függvénytáblázat és számológép használata nélkül számítsuk ki az alábbi kifejezések értékét! 33. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! 34. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket!,,,, 35. Egy háromszög oldalainak hossza a, b, c. A velük szemben lévő szögek rendre,, és. Töltsük ki a következő táblázatot! a b c I. 5 cm 45 62 II. 9 m 12 74 III. 4 dm 51 73
36. Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 6 cm hosszú. Mekkora lehet a háromszög harmadik oldala, illetve mekkorák lehetnek a szögei, ha a 6 cm-es oldallal szemben levő belső szög 30? 37. Egy háromszög szokásos jelöléseit alkalmazva,,.,,. Mekkorák a háromszög oldalai? 38. Egy háromszög szokásos jelöléseit alkalmazva,,.,,. Mekkorák a háromszög oldalai? 39. Egy háromszög szögeinek aránya 2:3:4, kerülete 50 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 40. Egy háromszög területe 103 cm 2. Mekkorák az oldalai, ha két szöge 50 és 82? 41. Egy paralelogramma két oldala 49 cm és 63 cm hosszú. Az általuk közbezárt szöge 72. Mekkorák a paralelogramma átlói? 42. Egy trapéz hosszabbik alapja 3 dm, a szárai 22 cm és 16 cm hosszúak. A hosszabbik alappal a 16 cm-es szár 72 -os szöget zár be. Mekkora a trapéz rövidebbik alapja, és mekkorák a trapéz szögei? 43. Egy háromszög oldalainak hossza a, b, c. A velük szemben lévő szögek rendre,, és. Töltsük ki a következő táblázatot! a b c I. 9 cm 8 cm 70 II. 12,4 m 8,3 m 110 III. 18 dm 120 cm 69 44. Egy toronyóra kis- és nagymutatójának a két végpontja 8 órakor 120 cm, 9 órakor 100 cm távolságra van egymástól. Adjuk meg a mutatók hosszát centiméterekben mérve egy tizedes jegy pontossággal! 45. Az ABC háromszög területe 24 cm 2, és az A csúcsból húzott szögfelező a BC oldalt 3:4 arányban osztja. Mekkorák a háromszög oldalai, ha az A csúcsnál levő szög 70 -os? 46. Egy paralelogramma területe 169,71 cm 2, az átlók hossza 16 cm és 30 cm. Mekkorák a paralelogramma oldalai? 47. Egy háromszög egyik oldala 12 cm, a vele szemben levő szöge 60, a másik két oldalának különbsége 6 cm. Adjuk meg a háromszög többi oldalának és szögének nagyságát. 48. Egy háromszög területe 96 cm 2, egyik oldala 12 cm, egy másik oldalával szemben levő szöge 30. Mekkora a háromszög többi oldala és a többi szöge?
49. Egy háromszög oldalainak hossza a, b, c. A velük szemben lévő szögek rendre,, és. Töltsük ki a következő táblázatot! a b c I. 6 cm 9 cm 12 cm II. 12,5 dm 6,3 dm 9,8 dm III. 51 dm 420 cm 2 m 50. Egy háromszög oldalai 12 cm, 13 cm és 17 cm hosszúak. Adjuk meg a háromszög súlyvonalainak hosszát! 51. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! 52. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! 53. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! 54. Döntsük el, melyik állítás igaz, melyik hamis! Ha, akkor. Ha, akkor. Ha, akkor. Ha és akkor. Ha és akkor.
55. Egy teniszbajnokságon a versenyzők közül mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik. Az alábbi ábra azt mutatja, hogy idáig kik között történt mérkőzés. Hány játszmát játszanak még a versenyen? 56. Egy hatpontú egyszerű gráfban (minden él kezdő és végpontja különböző és bármely két pont között legfeljebb egy él fut) van olyan pont, amelynek fokszáma 0. Legfeljebb hány éle lehet a gráfnak? 57. Egy gráfban 4 csúcs van. Az egyes csúcsokból 3; 2; 2; 1 él indul. Hány éle van a gráfnak? Rajzoljon egy olyan öt csúcspontú gráfot, amelyben a pontok fokszáma 4; 3; 3; 2; 2. Rajzoljon le egy 4 pontú egyszerű gráfot, amelyben a pontok fokszáma rendre 3, 2, 2, 1! Rajzoljon egy gráfot, melynek 5 csúcsa és 5 éle van, továbbá legalább az egyik csúcsának a fokszáma 3. Rajzoljon egy olyan 5 csúcsú gráfot, melyben a csúcsok fokszámának összege 12. Egy irodai számítógép-hálózat hat gépből áll. Mindegyik gép ezek közül három másikkal van közvetlenül összekötve. Rajzoljon egy olyan gráfot, amely ezt a hálózatot szemlélteti! A diákönkormányzat újonnan választott négytagú vezetősége: Kata, Mari, Réka és Bence. Közülük Kata három, Réka és Bence pedig két-két vezetőségi tagot ismert korábbról. Mari a négyes csoportnak csak egy tagját ismerte. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Rajzolja fel a négytagú vezetőség választás előtti ismeretségi gráfját! Egy sakkverseny döntőjébe 5 versenyző jutott be. Közülük 1 versenyző mindegyik társát ismeri, a többiek pedig egyenként 2-2 személyt ismernek a döntő résztvevői közül. Szemléltesse rajzzal (gráf alkalmazásával) az ismeretségeket, ha az ismeretségek kölcsönösek! i) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Hány kézfogás történt? j) Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két ismerőse van a csoport tagjai között. Szemléltessen gráffal egy ilyen ismeretségi rendszert! (Az ismeretség kölcsönös.)
58. Októberben az iskolában hat osztály nevezett be a focibajnokságra egy-egy csapattal. Hány mérkőzést kell lejátszani, ha mindenki mindenkivel játszik, és szerveznek visszavágókat is? 59. Az ábrán látható hatpontú gráfba rajzoljon be 2 élt úgy, hogy a kapott gráf minden csúcsából 2 él induljon ki! A berajzolt éleket két végpontjukkal adja meg! 60. Egy baráti társaság minden tagja írt egy-egy SMS üzenetet a társaság minden további tagjának. Így mindenki 11 üzenetet írt. Hány SMS-t írtak egymásnak összesen a társaság tagjai?