XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek egyenlőtlenségek, elsőfokú egyenlőtlenség-rendszerek, szimmetria, hasonlóság, súlypont, Thalész-tétel, magasságtétel, logikai következtetések. Cél A gyakran előforduló gondolkodási hibák tudatosítása, figyelemre, önellenőrzésre nevelés. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben + Problémakezelés és -megoldás Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató Javasoljuk, hogy a tanulók először egyéni munkával javítsák ki a hibás dolgozatokat, s csak miután mindenki úgy véli, hogy az összes hibát megtalálta, tárgyaljuk meg közösen a javításokat. Nem szabad senkinél túl korán lelőni a poént! A közös megbeszélés után mindig fogalmazzuk meg pontosan, miért volt hibás a közölt megoldás. A feladatok közül célszerű válogatni, s nem egyszerre feladni az egész feladatsort. XI. Feladatok vegyes témakörökből XI.6. Légy te a tanár!.oldal7
XI. Feladatok vegyes témakörökből XI.6. Légy te a tanár!.oldal7 LÉGY TE A TANÁR! Az alábbi dolgozatokat a Csaknem Iskola szorgalmas, ám kicsit figyelmetlen diákja, Peches Péter írta. Olvasd el figyelmesen a megoldásait, s ha hibát találsz valahol, javítsd ki! ALGEBRA Oldd meg az alábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.. vagy.. vagy. 6. vagy 6 : 6
XI. Feladatok vegyes témakörökből XI.6. Légy te a tanár!.oldal7.. : 5.. Ez ellentmondás, tehát az egyenletnek nincs megoldása. GEOMETRIA 6. Jelöld be az ábrákba az alábbi alakzatok szimmetriatengelyeit! 7. Számítsd ki a következő háromszögeknél a beírt kör sugarát! a) Szabályos háromszög, a = cm. Az a oldalú szabályos háromszög magassága a, ezt a háromszög középpontja, amely egyúttal súlypont is, harmadolja, ezért a beírt kör sugara 5 6 6 a cm.
b) cm átfogójú derékszögű háromszög. A Thalesz-tétel miatt az átfogóhoz tartozó súlyvonal 5 cm, a beírt kör sugara ennek harmada, tehát 5 cm. 8. Egy háromszög alapját a hozzá tartozó magasság 7 és cm-es darabokra bontja. Az alapon fekvő kisebbik szög. Mekkora a háromszög területe? A magasságtétel szerint m 7, így a háromszög területe 7 T,5 cm. 9. Egy háromszög oldalai, 5, 7 cm, a hozzá hasonló háromszög kerülete cm. Hányszorosa a nagy háromszög területe a kicsinek? A kis háromszög kerülete 5 cm. 5, a nagyítás tehát -szoros, így a nagy háromszög területe -szorosa a kicsinek.. Egy egyenlő szárú háromszög szárai cm-esek, alapja 5 cm hosszú. Mekkorák a szögei? A háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb szög van, ezért a háromszög szögei,,, s mivel a szögek összege 8, 5 = 8, = 6. A háromszög szögei tehát 6, 7, 7. EGYÉB. Két dobókockával dobva melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy a dobott számok összege 9, vagy annak, hogy? Kilencet kétféleképpen kaphatunk: az egyik kockával -at, a másikkal 6-ot vagy az egyik kockával -et, a másikkal 5-öt dobva. Tízet is kétféleképpen kaphatunk, -et és 6- ot dobva vagy két ötöst. Mivel kilencet és tízet is kétféleképpen kaphatunk, a két összeg dobásának valószínűsége ugyanannyi. XI. Feladatok vegyes témakörökből XI.6. Légy te a tanár!.oldal7
. Két érmével dobva mekkora valószínűséggel dobunk két fejet, két írást, illetve egy fejet és egy írást? Mivel háromféle kimenet lehetséges, mindegyiknek ugyanakkora a valószínűsége, tehát valószínűséggel kapunk két fejet, valószínűséggel két írást és valószínűséggel különbözőt dobunk.. Egytől százig összeszorozva a természetes számokat a kapott szorzat 5-nek hányadik hatványával osztható? Mivel minden ötödik szám osztható 5-tel és -ig öttel osztható szám van, 5 -nal osztható.. Egy kereskedő vásárolt valamit 8 euróért, eladta 9 euróért, később visszavásárolta euróért, majd újra eladta euróért. Mekkora volt a nyeresége? Mivel 8 euróért vásárolta és 9-ért adta el, nyert egy eurót. Ezután euróért vásárolta vissza azt, amit 9-ért adott, tehát veszített egy eurót, így éppen pénzénél van. De ismét eladja, ezúttal euróért, tehát végül is nyer egy eurót. XI. Feladatok vegyes témakörökből XI.6. Légy te a tanár! 5.oldal7
MEGOLDÁSOK. hamis gyök, amely a négyzetre emelés miatt lépett fel.. hamis gyök, mivel a nevező értéke nem lehet.. Az egyenletnek is megoldása. Ezt a gyököt a változót tartalmazó kifejezéssel való osztáskor veszítette el a megoldó.. A kifejezéssel való szorzáskor vizsgálni kell annak előjelét, hiszen különben nem tudjuk, hogy megváltozik-e a relációjel iránya. A megoldó feltételezte, hogy, így a kapott megoldásból ; adódik, s még külön meg kell vizsgálni a esetet, amelyből után ; adódik A megoldás tehát: ; ;. 5. A gyökvonás után helyesen:. Ennek az egyenletnek a gyökei: vagy. 6. A paralelogrammának nincsenek szimmetriatengelyei. 7. a) A szabályos háromszögben az oldalfelező merőlegesek egybeesnek a súlyvonalakkal, így a számolás itt helyes. b) A háromszög beírt kör középpontja nem a súlypont, hanem a belső szögfelezők metszéspontja. 8. A magasságtétel csak derékszögű háromszögben igaz! Itt szögfüggvénnyel számolhatunk: m 7 tg, így a terület: T cm. 7 9 7 6 9. A területek aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő, tehát a nagy háromszög területe -szorosa a kisebbnek.. A szögek aránya nem egyezik meg a szemközti oldalak arányával! Itt is szögfüggvénynyel számolhatunk. Az alapon fekvő β szögre cos, 5, ahonnan 75, 5, s,5 így a szárszög 9. XI. Feladatok vegyes témakörökből XI.6. Légy te a tanár! 6.oldal7
. A két érmével kilencet négyféleképpen kaphatunk: -6; -5; 6-; 5-, tízet csak háromféleképpen: -6; 5-5; 6-. Összesen 6 6 6 lehetőség van, így a keresett valószínűségek: p 9 és p =. 6 9 6. A kísérletnek négy egyenlően valószínű elemi kimenete van: FF; FI; IF; II. Ezért p FF, p II, p( fej és írás) = p FI vagy IF.. Az -től -ig felírt tényezők között van, amelyik nemcsak 5-tel, de 5 5 -tel is osztható: a 5, 5, 75 és ilyen. A szorzat tehát 5 -nel osztható. Osztható 5 -nal, 5 -nel, 5 -nal,, 5 -nel.. A kereskedő összes kiadása 8 8 euró, összes bevétele pedig 9 euró, tehát eurót nyert. XI. Feladatok vegyes témakörökből XI.6. Légy te a tanár! 7.oldal7