19. MODUL KÖR ÉS RÉSZEI

19. MODUL KÖR ÉS RÉSZEI

196 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A kö szeepe mindennapi életünkben (olvasmány) A kö az egyik leggyakoibb és leghamonikusabbnak tatott foma. Kö alakú pénzzel fizetünk, kö alakú gy t, kaköt t, láncot viselünk, látjuk a viágok szimainak elendez désében, kanyaodás közben sokszo köíven mozgunk, uháinkon is sok kö alakú nyílás van. Temészetes, hogy a köel kapcsolatos számítások az óko óta izgatták az embeeket. A Holdat, a Napot is koong alakúnak látták az égen. Tibetben mandalákat alkottak, hogy például a ajtuk elhelyezked ábákkal tanítsák a buddhizmus tanát, vagy gyógyítsanak, meditáljanak vele. A mandala jelentése: kö, az Univezumot és annak enegiáját szimbolizálja. A kö megtalálható az összes vallás szimbólumai között. Leonado da Vinci jól ismet gafikája (A vituviuszi féfi) is utal az embei test felépítésének és a könek a kapcsolatáa. Azt is megtudhatjuk bel le, hogy az embe köülbelül olyan magas, mint a kitejesztett kaján lev ujjvégek távolsága. A töténeté l (olvasmány) A kö keületének és sugaának aányszámával sokan foglalkoztak, töténete több eze éve nyúlik vissza. A jelet 1739 óta használjuk, Leonhad Eule (17071783) javaslatáa. Étékét a különböz kookban és kultúákban ily módon becsülték: a) suméek, i.e. 4000: 8 4 3,1605; 9 b) egyiptomiak, i. e. 000: 16 9 3,1605; c) Akhimédész K. e. 50-ben a kö keületét a köbe ít, illetve köé ít sokszögek keületével közelítette: kiszámította a két 96 oldalú szabályos sokszög keületét, és eedményül azt kapta, hogy 3 71 7, azaz 3,1408< < 3,149; 377 d) Ptolemaiosz i. sz. 150-ben: azaz köülbelül 3,1417; 10 e) Ájabhata hindu matematikus, VI. század: a 364 oldalú szabályos sokszöggel számolva 3,1416-ot kapott;

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 197 f) Adian Metius, XVI. század: 39316 oldalú szabályos sokszöggel számolva 9 tizedes jegyig pontos számot kapott;. g) Ludolf van Ceulen, XVI. század, Hollandia: az els 35 jegyét hatáozta meg a - nek, tiszteletée hívjuk más néven Ludolf-féle számnak. Síemlékée végakaatának megfelel en felvésték. Közelítették még 10 3, 163 étékével, vagy 3 3, 1463 összeggel is az id k folyamán. Napjaink számítógépes technikai hátteével 16 millió jegyig számították ki az étékét. Édekes megjegyezni, hogy a -nek nincs pontos étéke: iacionális szám, s t nem jön ki semmilyen algebai egyenlet gyökeként (tanszcendens szám). Számjegyeinek memoizálásáa úgynevezett veseket ítak (a szavak bet inek száma adta a számjegyeket). (A étékét jó pontossággal közelíthetjük hatványsookkal, vagy statisztikai eszközökkel is.) Hatszögek beleíásával és köé íásával mi is kiszámíthatjuk közelít étékét: A beleít hatszög oldalai:, keülete: 6. A köé ít hatszög egy központi szabályos háomszögének magassága, oldaláa x, így x. 3 3 1 A köé ít hatszög keülete 6 x 6, 98. 3 Így a keülete 6 K 6, 98 adódik. Mivel K, étékée kapott közelítés: 3 3,4641.

198 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A kö teülete, keülete A jól ismet képletek szeint: A kö keülete: K A kö teülete: T Mintapélda 1 Kö alakú asztallapot akaunk készíteni bútolapból úgy, hogy a szélée élfóliát agasztunk. A lapszabászatban csak négyzet alakú lapot tudnak levágni, a kö alakot otthon kell elkészíteni dekopíf ésszel. a) Mennyi élfóliát kell vásáolni, ha azt csak egész méteben áulják? b) Mennyi az anyagköltség (a bútolap és az élfólia áa együtt), ha az asztal átmé je,7 méte, egy m bútolap áa 700 Ft és egy méte élfólia 40 fointba keül? c) A levágatott bútolap hány százaléka szemét? Megoldás: Egy,7,7 métees négyzetet kell levágatni, ami,7 7, 9 (m ). A bútolap költsége 7,9 700 19683 Ft. Az élfólia hossza a kö keületének egésze felkeekített étékéb l számítható: K d 8,48 (m), felkeekítve 9m, aminek a költsége 9 40 360 Ft. Az összes költség tehát 19683 360 0043 Ft. A hulladék aányát úgy kapjuk, hogy a fölösleg teületét elosztjuk a négyzet teületével. A fölösleg a négyzet és a kö teületének különbsége. d A kö teülete 5, 7 1,5 % a hulladék. (m,7 5,7 ), így a hulladék aánya 0, 15,7, vagyis

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 199 Mintapélda Számítsuk ki, mennyi a fekete, a pios és a bodó köök teületeinek összege! A kisebb köök cm átmé j ek. Megoldás: A sugaak: 1 cm és cm, a négyzetek oldalhosszai cm és 4 cm. Fekete: 3 kis kö, és egy négyzet köb l kimaadó észe: T 3 1 1 1 10,8 (cm ). 1 Pios: a kis pios köök és a mellettük található pios négyzetdaabok egymásba illenek, így a pios esetében két négyzet és egy nagy kö összegét kell számítani: T 0,56 (cm ). Bodó: egy kis négyzet és két nagy négyzet köön kívüli észe: T 4 10,88 (cm ). 3 Feladatok 1. Mekkoa annak a könek a sugaa, amelynek keülete a) 68 cm; b) 100 cm; c) 893 m; d) 75 dm?. Mekkoa a kö keülete, ha teülete a) 00 cm ; b),85 dm ; c) 300 m ; d) 0,56 m? 3. Mekkoa oldalú négyzet íható abba a köbe, amelynek teülete a) 5 m ; b) 130 cm ; c) 345 m ; d) 0,43 m? 4. Számítsd ki a félköökkel lezát téglalap alakú idom hiányzó adatait! T jelenti az egész alak teületét, K az egész keületét. K T d s a) 5 cm 15 cm b) 300 cm 10 cm c) 170 m 5 m d) 400 m 100 m

00 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. Egy motoos 90 m sugaú, félkö alakú úton halad. Mennyi id alatt teszi meg a félköt, ha sebessége a) 8 km/h; b) 0 km/h; c) 80 km/h; d) 10 km/h? 6. Számítsd ki a színezett észek teületét és keületét (a = 30 mm)! a) b) c) d) 7. Számítsd ki a színezett észek teületét és keületét (a =,4 cm)! a) b) c) d) e)

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 01 8. Hány százaléka a színezett ész teülete az egész (félkö, illetve háomszög) teületének? a) b) c) d) e). 9. a) Bizonyítsd be, hogy a pios félköök teületeinek összege megegyezik a kék félkö teületével! b) Hippokatész holdacskái: bizonyítsd be, hogy a pios holdacskák teületeinek összege megegyezik a deékszög háomszög teületével! c) Bizonyítsd be, hogy a pios holdacskák teületeinek összege megegyezik a négyzet teületével!

0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d) Bizonyítsd be, hogy a naancs és a kék ész teülete egyenl! Azt is igazold, hogy a zöld ész teülete egyenl a négyzet teületének negyedével! 10. Számítsd ki közelít étékét úgy, hogy a kö köé illetve a köbe íható négyzetet használod! 11. Az építészetben gyakoiak az alábbi ablakfomák, díszít motívumok. Számítsd ki a keületüket és a teületüket a feltüntetett adatok alapján! A keületbe minden hatáoló vonal beleszámít. a) b) c) 1. Számítsd ki, hogy a szabályos háomszög beleít köén kívül es észének teülete hány százaléka a szabályos háomszög teületének! 13. Az ABCD és az EFGH négyzet között a kék vagy a pios észek teületösszege nagyobb? Ha segít, AB szakasz hossza 10 cm.

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 03 14. Egy pizzéia kétféle keek pizzát szolgál fel: mindkett ugyanolyan vastag, de más méet. A kisebbik 30 cm átmé j és 30 talléba keül. A nagyobbik 40 cm átmé j és 40 talléba keül. Melyik pizza éi meg jobban? Válaszodat indokold! 15. A diákoknak különböz átmé j, kö alakú ezüstéméket kell tevezniük, melyek együtt soozatot alkotnak: valamennyi éme átmé je 1545 mm; mindegyik éménél 30%-kal nagyobb átmé j a soozatban utána következ ; a gép csak egész számú milliméte átmé j éméket tud veni. Tevezz émesoozatot, amely megfelel a fent leít követelményeknek! Egy 15 mm-es átmé j émével kezdd, soozatod annyi émét tatalmazzon, amennyi csak lehetséges! 16. Egyetlen egyenes vonallal felezd meg a színezett ész teületét! 17. Ahhoz, hogy mobiltelefonjainkat használni tudjuk, szükség van aa, hogy a telefonjainkól kimen és az azon fogadott jeleket antennák, úgynevezett bázisállomások továbbítsák. Minden ilyen telepített bázisállomás egy meghatáozott sugaú köben képes hívásokat fogadni és továbbítani. Azt a teületet, amely a bázisállomások hatósugaába esik, lefedett teületnek nevezzük, csak ilyen teületen tudunk mobilhívásokat folytatni. Az alábbi ábán egy példa látható a lefedettsége.

04 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) Egy négyzet alakú, km-es oldalú teületnek legfeljebb hányad észét fedheti le 1 daab 1 km hatósugaú bázisállomás? Úgy dolgozz, hogy számításod nyomon követhet legyen! b) A következ ábák ugyanannak a teületnek (négyzet) kétféle lefedését mutatják. Az A vagy a B esetben nagyobb a lefedettség? Válaszodat indokold! 18. A játék kezdetén a biliádgolyókat egymás mellett, egy szabályos háomszög alakú keetbe kell elhelyezni. Lemétük a keet magasságát. Mekkoa egy biliádgolyó sugaa?

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 05 II. Szögpec, szögmásodpec A szögeket eddig fokban métük. A észfokokat vagy szögpecben és szögmásodpecben fejeztük ki, vagy tized fokban. Az újabb számológépek közvetlenül elvégzik az átváltást a tizedfok és a szögpec között: egyes gépeken DMS (degee, minute, second angol szavakból), más gépeken feliatú billenty vel, kezelését meg kell tanulni. Gyakoolni kell az átváltást akko is, ha számológépet nem használhatunk. Mintapélda 3 a) Hatáozd meg, mennyi a 0,5 szögpecben! 1 = 60 / 0,5 0,5 = 0,5 60 = 15 A szögpecet úgy kapjuk, hogy a tizedfokot megszoozzuk 60-nal. b) Váltsd át a 5 -et fokba! 1 = 60 / : 60 1 = 1 60 o 5 = o 5 = 0,4 60 A tizedfokot úgy kapjuk, hogy a szögpecet elosztjuk 60-nal. Feladatok 19. Végezd el a következ átváltásokat: a) 30 b) 15 c) 1 45 d) 1 1 e) 6 f) 7 33 g) 61 5 h) 55 4 i) 87 55 j) 4 7 0. Végezd el a következ átváltásokat: a) 4,4 b) 85,5 c) 18,9 d) 6,8 e) 3,75 f) 4,04 g) 1,87 h) 68,13 i) 7,68 j) 44,1

06 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Egyenes aányosságok a köben Talán má felt nt, hogy a negyed kö és a félkö között felíható néhány kapcsolat: a félkö középponti szöge (180 ) kétszeese a negyed kö középponti szögének (90 ); a félkö ívhossza kétszeese a negyed kö ívhosszának; a félkö teülete kétszeese a negyed kö teületének. Ezek az összefüggések nemcsak a deékszög és az egyenesszög kapcsolatában találhatók meg. Ha a köt egy foknyi szeleteke bontjuk, kideül, miét található egyenes aányosság a középponti szögek, az ívek és a köcikk teületeinek aányában: az 1 -os köcikket többszö egymás mellé méve a középponti szög is, a köív is és a teület is megtöbbszööz dik. A következ ába egy 43 mm sugaú, 6 középponti szöghöz tatozó köcikk teületének és ívhosszának kiszámítását mutatja. T 1 az 1 -hoz tatozó köcikk teületét jelöli. A 6 középponti szög köcikket felbonthatjuk 6 daab, 1 -os középponti szög köcikke, és ezek teületeit összegezzük. Az ívhossz kiszámítása hasonlóan töténik. A számított étékek: T 419, 5 mm, i 19, 5mm. 6 6 A köív hossza is, a köcikk teülete is egyenesen aányos a középponti szöggel.

07 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI Az -hoz tatozó köív hosszát úgy hatáozzuk meg, hogy az 1 -hoz tatozó köív hosszát megszoozzuk -val. Az -hoz tatozó köcikk teületét úgy hatáozzuk meg, hogy az 1 -hoz tatozó köcikk teületét megszoozzuk -val. A köcikk teületét kiszámíthatjuk a T i összefüggéssel is. Mintapélda4 Geom bolygó lakosai a kö iánti tiszteletük jeléül 360 napos évet használnak. Naptáuk is olyan kö, amelyet fokonként osztottak be 360 egyenl köcikke. F váosuk f teén óiásnaptá található,5 métees sugáal, amelyen minden köcikk különböz szín. Számítsuk ki, hogy mennyi festék kell egy köcikke, és mekkoa egy köcikket szegélyez köív hossza! A festék kiadóssága 8 l/m. Megoldás: A köcikkek középponti szöge 1. Az ehhez tatozó köcikk teülete a kö teületének 360-ad észe, vagyis. A köcikk köívének hossza a kö keületének 360-ad észe, 360 ami 360. A példában =,5 m, ezét a köcikk teülete 0,0545 m, a köív hosz180 sza 0,044 méte, illetve 4,4 cm. A szükséges festék 1 m felülethez hez ennek 0,0545-szööse: 0,0068 lite = 6,8 cm3. 1 lite, 0,055 m8

08 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 1. Mekkoa köcikk és köív tatozik ahhoz a 4 cm-es sugaú köcikkhez, melynek középponti szöge a teljesszög 35 %-a?. Töltsd ki a következ táblázat hiányzó celláit! 5 cm 15 mm 10 cm 35 dm 00 85 150 300 i 600 mm 10 cm 108 dm 11,775mm T 100 cm 0 cm 35 cm 9,4 mm 3. Köcikk alakú asztallapot készítünk úgy, hogy egy 90 -os köcikk hiányzik a teljes köb l. Számítsd ki az anyagköltséget, ha az asztal sugaa 1,6 méte, a keületée agasztható bevonó szalag métee 400 Ft, és az asztallap anyagából 1m -nyi 300 Ft-ba keül! 4. Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelel elációjeleket (T: a köcikk teülete, i a köcikk teljes keülete)! a) A: 30 cm sugaú köben 65 -os köcikk B: 0 cm sugaú köben 150 -os köcikk T A i A?? T B i B b) A: 150 dm sugaú köben 00 -os köcikk B: 00 dm sugaú köben 135 -os köcikk 5. Egy 5 cm sugaú köben a köcikk teülete a kö teületének 45%-a. Számítsd ki a középponti szöget, a köcikk teületét, és a hatáoló ív hosszát!

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 09 IV. Ívméték, adián Mivel a középponti szög egyenesen aányos a köív hosszával, a szögeket köívvel is jellemezhetjük. Ezt a météket ívmétéknek, adiánnak nevezzük. A m szaki életben sokszo nem fokokban számolnak, hanem adiánban. Ha a szöget fokokban méjük, a teljes szög 360. Ívmétékkel méve a teljes szög adián (a adiánt nem szoktuk kiíni). Vagyis 180 -nak megfelel adián: A 180-nak engeteg osztója van, és ez segítséget nyújt az átszámításhoz. Például 30 éppen a hatoda 180 -nak, így -nek is: 5 6 fomában szoktuk felíni. Mivel iacionális, a legpontosabb szögétéket akko adhatjuk meg, ha meghagyjuk a szögben a szimbólumot. A 180 tatozó 57,3. 180 180 (ad) ; 1 (ad) ; 1 (ad) 57, 3. 180 5 30. 150 a 30 -nak ötszööse, ezét 150, vagy 6 6 pontosabb, mint az 1 adiánhoz Mit gondolsz, melyik a égebbi métékegység, a adián vagy a fok? A szögek ívhosszal tötén méése Roge Cotes (1681716, angol fizikus és csillagász) ötlete volt 1714-ben, de a adián kifejezés James Thomson (18189, í ménök és fizikus) nevéhez f z dik: használta el szö nyomtatásban, 1873-ban. A kö 360 egysége osztása több mint háomeze éves találmány, a babiloniaknál jelent meg, még az ékíásos id kben.

10 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Felmeülhet, hogy miét hívják ívmétéknek ezt a szög-métékegységet. Azét, met ha adiánban adjuk meg a szögeket, a köív hosszát az i szozattal számíthatjuk ki. Fok Köív hossza Köcikk teülete Egész kö 360 Félkö 180 Negyed kö 90 4 Egy fok 1 360 180 4 360 fokos szög i 180 T 360 adián i T Feladatok 6. Alakítsd át a fokokat adiánná! a) 180 ; b) 90 ; c) 60 ; d) 45 ; e) 10 ; f) 40 ; g) 135 ; h) 70 ; i) 40 ; j) 70 ; k) 35 ; l) 7 ; m) 0 ; n) 1000 ; o) 300 ; p) 100. 7. Számítsd át a adiánokat fokokká! 5 7 a) 3 ; b) ; c) ; d) ; 1 1 9 4 5 8 11 e) ; f) ; g) ; h) ; 15 6 3 10 i) ad; j) 3,56 ad; k) 10 ad; l) 8,1 ad.

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 11 V. A kö észeinek teülete Az el z észben volt má szó a köcikk l, de a kö más észeivel is megismekedünk. A következ ábák ezek gyakolati felhasználásából mutatnak példákat. Gemigny-des-Pes: kápolna A hétköznapi életben sok helyen alkalmazzák a kö észeit: a gumi- és betongy k, csövek keesztmetszete kögy alakú; a kögy cikket az építészetben: a megfelel en faagott kövekb l összeállított boltozat aká köt anyag nélkül is megtat falakat (például koai gótikus épületekben), hidakat, födémeket.

1 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Elnevezések A kö észeivel kapcsolatban az alábbi elnevezéseket használjuk: középponti szög ( ) köcikk köszelet kögy kögy cikk Teületüket általában teületek kivonásával számítjuk ki: i T köcikk T köszelet = T köcikk T háomszög R 1, T 1 T kögy = R R1 R, T T = T T 1

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 13 Mintapélda 5 Rajzolj egy 8 cm sugaú köt! Becsüld meg a négyzetácsok segítségével, hogy mekkoa teület köcikk tatozik 1 adián középponti szöghöz? Méd le a köcikket hatáoló köív hosszát is (például cénával)! Végezz számításokat is, utána vizsgáld meg, hány százalékos volt az eltéés a becsült és a mét adatok között! Megoldás: 1 adiánhoz tatozó köcikk teülete a teljes kö teületének -ed észe: 3 3 vagyis 18 0,5 cm. Egy négyzetácsban egy kis négyzet teülete 0,5 = 0,5 cm, kis négyzet az eedmény. Ha például 98 kis négyzetet számoltál meg, az eltéés 30 kis négyzet, ami 30 18 100 3,4% eltéés (hiba). A köív hossza a teljes kö keületének -ed észe: 8cm. Ha 7,6 cm-t métél, a hiba az eltéés/jó eedmény, százalékban kifejezve képlet szeint 8 7,6 8 100 5%. Feladatok 8. Egy m anyagcs küls átmé je 3 coll, az anyagvastagság 1,5 mm (1 coll =,45 cm.). A cs keesztmetszetén a bels kö teületének hány százaléka a m anyagot tatalmazó kögy teülete? 9. Adott a kögy bels () és küls (R) sugaa. Mekkoa a kögy teülete? a) = 45 mm, R = 50 mm; b) = 7 cm; R = 78 cm; c) = 6 cm; R = 6,4 cm. 30. Egy 30 cm küls átmé j cs keesztmetszetének 7 %-a a cs anyaga. Mekkoa az anyagvastagság?

14 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 31. Egy 50 cm küls átmé j cs keesztmetszetének 18%-a a cs anyaga. Mekkoa a bels keesztmetszet teülete? 3. A planetáium köfolyosóját le kell bukolni. A bukoló az ábán látható távolságot méte le. Miét elegend ez az adat a bukolat anyagmennyiségének meghatáozásához? Mennyibe keül a bukolás, ha a bukoló anyaggal együtt 600 Ft-ot ké 1 m bukolatét? 33. Biztos láttál má olyan vadnyugati filmeket, amelyben postakocsi szeepel, és észevetted, hogy néha állni látszik a kocsi küll s keeke. Ez azét van, met másodpecenként 4 képet vetítenek a filmen, és ennyi id alatt fodul egy küll nyit a keék. Mekkoa annak a postakocsinak a sebessége, amelyiknek a keeke 10 cm átmé j, a keék állni látszik, és a küll k száma a) 10; b) 1; c) 16; d) 8. Mintapélda 6 Számítsuk ki a 3 kö sugaa 30 cm! Megoldás: 3 adiánú középponti szöghöz tatozó köszelet teületét és keületét, ha a a 10 -os szögnek felel meg (hamad kö), így készítünk egy ábát. A köszelet teületét úgy számoljuk ki, hogy kivonjuk a köcikk teületéb l a középen lev háomszög teületét. A háomszög kiegészíthet a oldalú szabályos háomszöggé, aminek a teülete a 4 3. 3 Így a köszelete teülete: T 94 390 55 cm. 3 4

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 15 A keülete a kö keületének hamada, hozzáadva kétsze a szabályos háomszög 3 magasságát: K 6,8 51,96 114, 8 cm. 3 Ismétlés: az a oldalú szabályos háomszög teülete a 4 3. 34. Egy kö sugaa 5 cm. Számítsuk ki a következ középponti szögekhez tatozó köszeletek teületét: a) 60 ; b) ; c) ; d) 40. 3 35. Mekkoa a színezett ész teülete? a) b)

16 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. A kö éint je Mintapélda7 Végezzük el a következ szekesztéseket, és az eedmény alapján válaszoljunk a kédéseke! 1. Szekesszünk deékszög háomszöget, melynek befogói: AC = 3 cm és BC = 4 cm!. Tüközzük a háomszöget az AB átfogóa! 3. Szekesszük meg a háomszög köé íható k köt! Középpontját jelöljük F-fel. 4. Szekesszük meg az A középpontú, AC sugaú k1 köt! a) Mi a kapcsolat a k1 kö és a BC egyenese között? b) Mit mondhatunk BC és BD hosszáól? c) Milyen összefüggést állapíthatunk meg a kö éint je és sugaa között? Megoldás: a) BC a k1 kö éint je. b) Egyenl k, met az ABC és az ABD háomszögek egybevágók. c) A sugá (AC) me leges az éint e (BC) az éintési pontban (C). A kö éint je me leges az éintési ponthoz tatozó sugáa. Egy köhöz egy küls pontból húzott éint szakaszok hossza egyenl. Thalész-tétel megfodítása: a deékszög háomszög köé íható kö középpontja épp az átfogó felez pontja.

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 17 Mintapélda 8 Vegyünk fel egy C a középpontú köt és ajta kívül egy P pontot! Szekesszük meg a köhöz a P pontból húzott éint ket! Megoldás: A CP szakasz Thalész-köén (k Thalész ) helyezkednek el azok a pontok, amelyek a C és P pontokkal deékszög háomszöget alkotnak. Mivel az éint me leges a sugáa az éintési pontban, az adott kö és a Thalész-kö metszéspontjai (A és B) az éintési pontok. Feladatok 36. A k köhöz P küls pontból húzott éint k A és B pontokban éintik a köt az ábán látható módon. Egy további éint egyenes a C és D pontokban metszi a szögszáakat. Igazold, hogy a PCD háomszög keülete egyenl a PA szakasz hosszának kétszeesével! 37. a és b a deékszög háomszög befogói, c az átfogó, a köé ít kö sugaa. Töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! a 15 cm 1 dm 3,7 dm b 0 cm 13,4 cm 54 cm c 3 m 5,8 dm 589 cm 3 cm

18 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 38. C a kö középpontja, P egy küls pont, és E a P-b l a köhöz húzható éint éintési pontja. Készíts ajzot, és töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! CP 4,1 dm 149 cm 61 cm 5,3 dm EP 1 cm 6 dm 5 cm 0,4 m 5,8 dm 45 cm 39. Szekeszd meg a C középpontú, sugaú köhöz húzható éint ket P pontból, ha a) = 4 cm, CP = 8 cm; b) =,5 cm, CP = 7 cm; c) = 5 cm, CP = 7 cm. 40. Ebbe a deékszög tapézba kö íható. Milyen kapcsolat van a szemben fekv oldalak összege között? Mekkoa a beleíható kö sugaa, ha az alapok hossza 4 és 1, a nem deékszög szá hossza 10 egység?

19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 19 További szekesztések 41. K ácsos ablak. Ezt a ozetta alakot 110 köül tevezte Jean dobais a Reimsben található székesegyházban, és innen tejedt el Euópa szete. 4. Szabályos sokszögek (négyzet, szabályos hatszög, szabályos nyolcszög) szekesztése. 43. Román-koi ablak szekesztése. 44. Gótikus ablak szekesztése.

0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kislexikon A kö keülete K, a kö teülete T A szögpecet úgy kapjuk tizedfokból, hogy a tizedfokot megszoozzuk 60-nal. A tizedfokot úgy kapjuk szögpecb l, hogy a szögpecet elosztjuk 60-nal. A köív hossza és a köcikk teülete egyenesen aányos a középponti szöggel. A fokhoz tatozó köcikk teületét úgy hatáozzuk meg, hogy az 1 -hoz tatozó köcikk i teületét megszoozzuk -val. A köcikk teületét kiszámíthatjuk a T képlettel is. A fokhoz tatozó köív hosszát úgy hatáozzuk meg, hogy az 1 -hoz tatozó köívet megszoozzuk -val. A kö éint je me leges az éintési ponthoz tatozó sugáa. Egy köhöz egy küls pontból húzott éint szakaszok hossza egyenl. Thalész-tétel megfodítása: a deékszög háomszög köé íható kö középpontja épp az átfogó felez pontja.