I. évfolyam 2009/1. Matematika-módszertani kiadvány TARTALOM: MIKOR? MIT? HOGYAN? 2 Válogatás a matematikatanítás aktuális kérdéseiből Pénzügyi alapismeretek JÓ GYAKORLATOK 3 Óravázlatok pedagógusoktól, akik már bevezették a kompetencia alapú oktatást A tört fogalmának elmélyítése NEM SZAKRENDSZERŰ OKTATÁS 6 Projekttémák, leírások Matematikatörténet a tananyagban INTERAKTÍV MATEMATIKA 8 Ötletek az interaktív tananyagok tanórai felhasználásához A problémamegoldás tanulható AJÁNLÓ 11 Feladatok és kiadványok a kompetenciák fejlesztéséhez KÉRDEZZE MEG! 12 Ön kérdez, a szerző válaszol kozostobbszoros@muszakikiado.hu www.hajdumatek.hu KEDVES OLVASÓ! Örömmel köszöntjük Önt matematika-módszertani lapunk első számával. A mai matematikaoktatás részeseként akár pedagógusként, tananyagfejlesztőként vagy szakértőként, de még gondos szülőként is mindnyájan érezzük, hogy milyen sok nehézséggel kell szembesülnünk még egy olyan egzakt tudomány tanításatanulása során is, mint a matematika. Ebben a helyzetben mi, pedagógusok is elbizonytalanodhatunk, hogy mit, mennyit és hogyan, milyen eszközök segítségével tanítsunk annak érdekében, hogy tanítványaink kellő motivációval és az alapkompetenciák megfelelő fejlettségével hagyják el az általános iskolát. Bizonyos tudáselemek kikerülnek, újak lépnek a helyükbe; komoly fejtörést okoz, mely ismeretek megtanítását hagyhatjuk el úgy, hogy ezzel a későbbi ismeretek beépülését ne akadályozzuk. Felmerül az a kérdés is, milyen mértékben és hogyan alkalmazzuk óráinkon az új, interaktív információhordozókat. Kétségeinket látván tanítványaink is bizonytalanokká válhatnak ha nem tudjuk kellőképpen motiválni őket, nem értik, hogy mit, miért és hogyan kell tanulniuk. Bizonytalanok a szülők, ha úgy látják, az oktatás, az iskolai tananyag, a tanári elvárások nincsenek összhangban a gyorsan változó társadalmi elvárásokkal. Felelősségteljes, átgondolt döntést kell a tananyagfejlesztőknek is hozniuk, amikor a tanulók életkori sajátosságaihoz, a társadalmi igényekhez, a lecsökkentett óraszámokhoz legjobban illeszkedő tananyagot szeretnék kiválasztani. Még számtalan ilyen és ehhez hasonló probléma merülhet fel a matematika oktatás kapcsán. Nem ígérhetjük, hogy lapunk hasábjain mindenre választ tudunk adni, de célunk, hogy segítsük az általános iskolában matematikát tanító kollégák munkáját módszertani ötletek, követendő tanítási gyakorlatok bemutatásával. Szándékunk a legégetőbb, a legtöbb gondot jelentő problémákkal foglalkozni, és interaktívvá tenni ezt a lapot: kérjük, a szerzőkhöz írt kérdésekkel, megvalósítható példák bemutatásával, óravázlatok közzétételével segítsük egymás munkáját. A megújuló www.hajdumatek.hu weboldalon szintén olvashatnak a felvetett témákról, és ott is várjuk észre vételei ket, kérdéseiket, leveleiket. Tüskés Gabriella szerkesztő
Mikor? Mit? Hogyan? PÉNZÜGYI ALAPISMERETEK Pénzügyi alapismeretek kötelező oktatásának bevezetése a közoktatásban címmel országgyűlési határozati javaslatot nyúj tot tak be ez év februárjában. Az előterjesztést az Oktatási és Kulturális Minisztérium honlapján tették közzé, és itt várták a széles közvélemény javaslatait is a kormányzati állásfoglalás kialakításához. (http://www.okm.gov.hu) A pénzügyi alapismeretek kötelező oktatásának szükségességét a következőkkel indokolja az előterjesztés. A lakossági hitelállomány megnövekedése mögött olyan döntések állhatnak, melyek a nem megfelelő pénzügyi ismeretekből eredően, a hi tel felvétel kapcsán jelentkező kockázatokat ténylegesen nem figyelembe véve születtek Megfelelő oktatási alapok nélkül nem lehet felelős pénzügyi viselkedést kialakítani. A Nemzeti alaptanterv 2007 óta tartalmazza a kezdeményezőképesség és a vállalkozói kompetencia fejlesztését, valamint a gazdasági és pénzügyi is me reteket. Az azóta kiadott OKM kerettantervek ben számos évfolyamon és több tantárgy keretei között is megnövekedett a gazdálkodási és a fogyasztóvédelmi tartalom. A közoktatás rendszerében folytatott tanulmányok ideje alatt már évtizedek óta kötelező tananyag a matematika tantárgyon belül a százalékszámítás, a kamat, illetve a kamatoskamat-számítás, mint a pénzügyi ismeretek alapja. Mindezek ellenére, mint ahogy az előterjesztésből is kiderült, ez nem megfelelő hatékonysággal történik, továbbá az eddigieket más tartalmakkal is szükségszerű lesz kiegészíteni. Ahhoz, hogy a tantárgy akár önállóan, akár integrálva megjelenhessen a középiskolákban, a jelen előterjesztésben javasolt pénzügyi ismeretekkel való foglalkozás megalapozásához már az általános iskola alapozó és fejlesztő szakaszában (felső tagozat) hozzá kell kezdeni. A szociális és állampolgári kompetenciák fejlesztésének ilyen irányú megközelítését az osztályfőnöki, a technika és életvitel (azon belül is vagy azon túlmenően a háztartástan), valamint a mate matika tantárgyak óraszámának visszanövelésével szüksé ges biztosítani, a megfelelő tantervi elemek beemelésének lehe tőségével. Többek szerint az ilyen taneszközök és pedagógusórák kötelező módon finanszírozott költségének egy részét külső források ból kellene elő teremteni. Ezt a pénzintézetek, illetve tőzsdei cégek állhatnák a környezetvédelmi termékdíjhoz hasonló módon, egy-egy adott pénzügyi szolgáltatás, befekte tés, avagy hitel kockáza tos sá gá nak függvényében (talán a mostani helyzetben ez nem reális lehetőség). Az előbb említett célokhoz az általános iskolai matematikatananyag átstrukturálására is szükség van. Szerkesztő: Tüskés Gabriella ISSN: 2060-775X Azonosító szám: MK 4443-2 Kiadja a Műszaki Könyvkiadó Kft. Felelős kiadó: Orgován Katalin igazgató Szerkesztőségvezető: Hedvig Olga Műszaki szerkesztő: Raja Gabriella Kiadványterv, tördelés: H-moll Grafika Nyomta és kötötte: Pátria Nyomda Zrt. Felelős vezető: Fodor István vezérigazgató Néhány példa közös végigondolásra: A törtek tizedestörtek deduktív felépítése helyett (ahol tizedestörteket elsősorban a törtekről tanultakból vezetjük le az 5. év végén), az tizedestört-fogalom induktív bevezetésére van szükség. Lehetőleg a bevezető szakaszban (amikor a számkör bővítéssel párhuzamosan vezetjük be a tizedes törteket), a 4. osztályos, de legkésőbb az 5. osztályban a közvetlen év eleji tananyagban. Erre már csak az euró előbb-utóbb megtörténő bevezetése miatt is szükség lesz. Mindez először az egyszerűbb, az euró cent váltással bevezethető korlátozott (két tizedesjegyű), véges tizedestörtek megismerésén és alkalmazásán alapuló számkör bővítés sel történhet, amely csupán a helyiérték rendszer részleges kiterjesz tésével jár, és alaposabban elmélyít hető vele az írásbeli műveletvégzés algoritmusainak értő használata is. Így a felső tagozatban már teljes joggal és végig kötelező lehetne a számológépek használata is. Mivel a 6. osztályból eltűnt a fizika, 7. osztálytól csökkent a fizika és kémia óraszáma, így a százalékszámítás súlyát, a ráfordítandó időkeretet csak a matematika (és technika) órákon növelhetjük, vagy ha korábban, már az 5. osztály második felében bevezetjük leg alább a százalékérték kiszá mítását. (Tanulóink többsége már most is képes 4. osztály végére a tanulmányi átlagát kerekített tizedestört ben kiszámítani, 5. osztályban már dolgozatainak értékelését százalé kosan kifejezni, pedig nem iskolai tananyag.) 6. osztályban már be kell vezetni az ismerkedés, fogalom alkotás szintjén a hatványozást, illetve visszahelyezni ide, hogy a későbbiekben a kamatos kamat leg egyszerűbb eseteitől tovább léphessünk. (Az elmúlt időszakban a statisztika és valószí nűség-számítás szerencsére nagyobb hangsúlyt kapott a NAT-ban, így a 12. osztály ra a kockázatok elemzése is szerepelhet.) A kamatszámítás témája miatt a sorozatok témaköré nek szintén na gyobb teret kell szentelni hetedikben; továbbá nyolcadikra számtani és mértani sorösszegek legegyszerűbb példáin át ismét vissza kell térni az ilyen képletek ismeretéhez és alkalmazásához. Egyet értünk azzal, hogy nem szabad a gyerekeket az életkoruknak nem megfelelő ismeretekkel terhelni, valamint a fölösleges lexikális tudást is mérsékelni kell, de ezek a tananyagtartalmak maguk után vonják a kooperatív munkaformákat, célszerűsítik a projekt alkalmazását, ezáltal és a tartalom motiváló ereje révén reálisan elsajátíttathatók. Ezekre az alapokra támaszkodva a középiskola cizelláltabban, s nemcsak elrettentés céljából oktathat pénzügyi alapismerete ket. A cél hatékony, döntésre képes leendő vállalkozói réteg kitermelése, s az érettségi megszerzésével olyan állampolgárok érlelése, akik a gazdaság egyéni és társadalmi céljait együttesen képesek szem előtt tartani. A felvetéssel kapcsolatban várjuk észrevételeiket a kozostobbszoros@muszakikiado.hu e-mail címen! 2
Jó gyakorlatok Nagy Antalné A TÖRT FOGALMÁNAK ELMÉLYÍTÉSE A törtszám fogalmának kialakítása már 3. osztályban elkezdődik. 4. osztályban elmélyítjük a tört fogalmát, megtanuljuk az egyszerű egységtörtek és többszöröseik megnevezését, megjelení tését, a törtek jelölését. Tapasztalati alapon végezzük a törtek összehasonlítását, az egyenlő törtek felismerését, az egyenlőség értelmezését, magyarázatát, mennyiségek mérését egységtörtekkel. Az alsó tagozatban a fogalmak előkészítésén, a szemléleti alapozáson van a hangsúly, nem a megtanítás, hanem a tapasztalatgyűjtés igényé vel. A törtek átalakításának (bővítésének, egyszerűsítésének) meg tanulása, a törtek kel végzett műveletek értelmezése és begyakor lása a felső tagozat feladata. 4. osztályban újra és újra el kell végezni azokat a tevékenységeket, amelyeket 3. osztályban végeztünk. Tantárgy: Témakör: Téma: Az óra típusa: Az óra célja: Fejlesztési célok: Kapcsolódás más műveltségterületekkel: Kapcsolódás más kompetenciaterületekkel: Eszközök: Tevékenységi formák: Matematika általános iskola 4. osztály Törtek (1. óra) Tört jelölése, elnevezések Gyakorló és új ismeretet feldolgozó óra A törtekről korábban tanultak felidézése, a tört értelmezésének tudatosítása. A tört jelölése és az elnevezések. Mennyiségek egyenlő részekre osztásával hozunk létre egységtörteket, majd azok többszöröseit. Darabolásokkal, kirakásokkal, színezésekkel állítunk elő törteket, az előállított törteket hasonlítjuk össze. Számolási készség, a számfogalom fejlesztése. Megfigyelő képesség fejlesztése, a szorzó- és bennfoglalótáblák gyakorlása, illetve elmélyítése játékos feladatokkal, relációk, összefüggések keresésével, a logikai gondolkodás fejlesztése. Megfigyelőképesség, problémafelismerés, ok-okozati összefüggés meglátása, rendszerező képesség, arányossági következtetés fejlesztése. NAT szerint: Anyanyelvi nevelés; Életvitel és gyakorlati ismeretek; Vizuális nevelés; Környezeti nevelés; Énkép, önismeret; Tanulás. Szövegértés, szövegalkotás; Szociális kompetencia; IKT kompetenciák. Matematika 4. Hajdu-tankönyvcsalád Matematika 4. e-tananyag MIMIO interaktív tábla Frontális, csoport, egyéni Az óra menete Tartalom Módszerek, tevékenységi formák, eszközök Mesehallgatás frontális 1. Motiváció Meserészlet felolvasása, ráhangolás. Kérdések Melyik meséből olvastam részletet? A mesék melyik fajtájához tartozik? Ugyanannyi sajtot kapott mindkét medvebocs? Feladat A mese eljátszása. Két tanuló a medvebocsokat, egy pedig a rókát alakítja. A róka egy kerek rajzlapot oszt szét társai között. A két medvebocs és a róka c. mese Csoportmunka (heterogén) Eszköz Csoportonként egy kerek rajzlap Ha akad olyan tanuló, aki félbehajtja előtte a körlapot és annak mentén tépi ketté, akkor lehetőség nyílik a különböző megoldások ütköztetésére. Ellenőrzés Frontális A kérdések alapján a csoportok beszámolnak, hogy igazságosan osztotta-e el a társuk, illetve a róka a sajtot. Kérdések Indokold meg, miért volt igazságos vagy igazságtalan a felosztás! Hogyan lehet igazságossá tenni a felosztást? 3
Jó gyakorlatok 2. Ismétlés Frontális Felidézzük és tudatosítjuk a törtekről korábban tanultakat. Melyik mesére gondoltam? A szereplők tulajdonságai alapján a mese címének kitalálása (Hófehérke és a hét törpe). Tk. 101/2. kidolgozott mintapélda alapján az egyenlő részekre osztás tudatosítása. Kérdés: Igaza volt-e Tudornak? Feladat Adott területű téglalap lefedése színes rudakkal. A megoldások táblázatba rendezése. Osszuk fel a színes rudak felhasználásával a tepsi süteményt. A lefedés eredményeit rendezzük táblázatba. Csoportmunka Eszköz: Csoportonként mindenből 1 db 10 x 7 cm oldalú téglalap alakú fehér lap színesrúd-készlet táblázat Kérdések Hogyan fedjük le a téglalapot, ha azt szeretnénk, hogy minden törpe ugyanakkora darab sütit kapjon? Mely rudakkal érdemes próbálkozni? Minden kirakás lehetővé tette a törpék közti igazságos szétosztást? Igaza volt-e Tudornak? A kérdés megválaszolásával a tört értelmezésének megadása. 3. Elnevezések tudatosítása új anyag feldolgozása Frontális Eszköz: Az előző feladathoz kapott táblázat Táblakép: A tankönyvi magyarázó szöveget egészítettem ki a lefedés eredményét rögzítő táblázattal. A csoportok a táblázat két oszlopát töltötték ki önállóan. A csoportok beszámolói alapján kitöltjük a táblán lévő táblázatot. Ennek alapján közösen alkotjuk meg a törteket, és egészítjük ki vele a táblázatot. Minden egyes tört esetén használjuk az újonnan tanult elnevezéseket. A feladat segít megérteni a számláló és a nevező fogalmainak jelentését. 4. Megadott törtrész jelölése Törtrész kiszámításának gyakoroltatása csoportosítással, rajzzal. A feladat ellenőrzése a tankönyvhöz kapcsolódó CD segítségével az interaktív táblánál gyorsan megvalósítható. Kiegészítettem plusz halmazokkal a tankönyvi ábrát. A megoldott feladat képét rögzítem, és újra elővesszük, amikor az egyenlő törtrészek több alakban való felírásával fogunk foglalkozni. Önálló munka Eszköz: Tankönyv 106. old. 14. feladat füzet Frontális munka Táblázatba rendezzük a megoldásokat: pl. 1 18 = 2 36 Ez további lehetőséget ad a számláló és a nevező fogalmának pontosítására, elmélyítésére. 4
Jó gyakorlatok 5. Differenciált gyakorlás játékosan az interaktív táblán Csapatjáték Mindkét feladatot csapatokban játsszuk az interaktív táblánál. Az I. játék esetében a különböző síkidomokon jelölt törtrészt és a mennyiséget kifejező törtalakú számot kell párosítani. Cél: minél kevesebb hibával megtalálni a párokat. A játék azonnal értékeli a megoldást. A csapatok választhatnak, hogy melyik játékba kívánnak benevezni, minden csapat csak egy megmérettetésre jogosult. A II. játék segítségével az egyenlő részekre osztás, az egység törtek előállítása gyakoroltatható tevékenykedtetés sel. A megoldásokat a gép ebben az esetben is azonnal értékeli. Cél: minél hamarabb az adott törtrész meg jelö lése kattintással. www.matek.ide.sk Matematika 4. (Hajdu-sorozat) e-tananyag 6. Értékelés a kialakított szokások szerint 7. Differenciált házi feladat a tankönyvből Lassabban haladóknak különböző sokszögek színezett törtészeinek meghatározása Tk. 104. old. 11. Átlagos ütemben haladóknak Tk. 104/13. feladat: itt kis kockákból a testeket kell megépíteni, és így megállapítani az egészből a törtrészt, illetve a törtrészből az egészet. Hasonló feladatok megoldatásával a tanulók térszemléletét is fejlesztjük, valamint előkészítjük a térfogat fogalmát. Kapcsolódó képességek fejlesztése: A beszámolók a szóbeli kifejezőkészséget, a szókincset, a beszédkészséget, a beszédbátorságot fejlesztik. A megoldások és eljárások bemutatásával az indoklást, érvelést gyakoroltathatjuk. 26 éve vagyok a pedagógusi pályán, sokféle módszert volt alkalmam kipróbálni az évek során. A mai gyerekek érdeklődését már nem lehet lekötni úgy, ahogy azt régen tettük. A világban sok minden változik, nekünk, pedagógusoknak is alkalmazkodnunk kell ezekhez a változásokhoz és a megváltozott követelményekhez, amelyeket az élet elénk állít. 2007 óta gyakorlom a kompetencia alapú oktatást. Azonnal elkezdtem használni az interaktív táblát, ahogy az iskolánk megkapta a szükséges eszközöket. A gyerekek nagy örömmel vetették bele magukat a programok felfedezésébe, és szinte észre sem vették, hogy gyakoroltak vagy új ismereteket szereztek eközben. A manipulatív tapasztalatszerzést követő következtetések levonásával az induktív gondolkodás fejlesztése valósul meg. Helyes tanulási szokások kialakítására a feladat végrehajtásának megterveztetése hat. A csoportmunkával és játékkal a gyerekek kooperatív képessége, csapat szelleme erősödik. Nagyon gyorsan elsajátították a tábla kezelését, már egyáltalán nem okoz nekik problémát a toll használata, amely a MIMIO eszköz része. Folyamatosan újabb szoftvereket keresek nekik a neten is, vagy készítek saját magam gyakorló feladatsort. Játékosan, felszabadultan tudunk vele dolgozni, és a légkör is nyugodt, vidám. Ez nagyban hozzájárul ahhoz, hogy a gyerekek szívesen járjanak iskolába, és ne nyűg legyen a tanulás, hanem örömteli, sikeres tevékenységgé változzon. A motiváció maga a tábla és a programok. Remélem, hogy minél több iskolában és osztályban lehetőség nyílik majd arra, hogy a gyerekek megismerkedhessenek ezzel a nagyszerű eszközzel. Következő számunkban a már sokak által megszeretett és az oktatási folya matban is naponta használt MATANDA nevű, a számolási készség fejlesztését támogató eszközt mutatjuk be. Feltalálója, Csordásné Anda Éva számos elismerés mellett 2008-ban Arany díjat nyert a Női Feltalálók I. Világkiállításán Szöulban. Amennyiben már most szeretne többet tudni a piros-kék korongok és a hagyományos golyós abakusz egyesítésével megalkotott, a logikát és a kreativitást fejlesztő, tanulást segítő eszközről, látogasson a www.matanda.hu honlapra! 5
Nem szakrendszerű oktatás Tüskés Gabriella MATEMATIKATÖRTÉNET A TANANYAGBAN A nem szakrendszerű oktatás kerettantervi előirányzata 5. évfolyamon, a kommunikáció témakörében foglalkozik a jelek, jelrendszerek világával. Az ember jelképalkotó lény, ezért a művelődéstörténet is felfogható úgy, mint jelképek története. Csak az ember képes arra, hogy jelképalkotó mivoltát kamatoztassa. Ez a funkció jóval tágabb, mint a hétköznapi jelképek felismerése. A nyelv alkalmas arra, hogy a leghétköznapibb kommunikációban használatos legyen. Mindenféle írás hagyomány, amelyet csak a beavatottak érthetnek, közös kapcsolatok, megállapodások során alakult ki. A számírás az írás egy különleges fajtája, de célja megegyezik az íráséval: eszközül szolgálni az ember azon törekvésének megvalósításához, hogy gondolatait rögzítse és közölje. A számok leírására minden népnél és minden írásmódban különleges jelek, szimbólumok szolgáltak. A modul keretében jól feldolgozható projekt altémája a számok, számrendszerek kialakulásának matematikatörténeti áttekintése. A téma feldolgozása valamennyi műveltségterülettel összefüggésben tárgyalható. Lehetőséget ad a kompetenciák komplex fejlesztésére: nyelvi (anyanyelvi és idegen nyelvi) kommunikációs; történelmi (források használata; tájékozódás térben és időben stb.); matematikai; digitális; hatékony és önálló tanulás; szociális és állampolgári kompetenciák. Az egyes csoportok az informatikaórák keretében is végezhetnek kutatásokat az egyiptomi, babiloni, római, kínai, arab, magyar stb. számírásról. A csoportok számától függ a feldolgozandó témák köre. Miután az egyes csoportok kiválasztották, hogy melyik korban kívánnak elmélyülni, tervet készítenek először csak az információk megszerzésének, majd a feldolgozásának módjára. A csoportok számára megadhatunk könnyen elérhető honlapokat, ahonnan információkat gyűjthetnek, így megismerkedhetnek a modern információszerzés lehetőségével. Képezhetünk specialistákat, akik egy-egy kor kutatásával válnak szakértővé, tudásukat a közös munkában szakértőként hasznosíthatják. A számírás történetének áttekintése fejleszti a tanulók info kommunikációs képességét, történelmi ismereteit, történelmi méretűvé tágítja az idő fogalmát, segíti a számfogalom elmélyülését és a helyiértékes számrendszer megértését. tíz hatványainak megkülönböztetésére. A jelcsoportok által ábrázolt szám az egyes hieroglifák értékeinek összegeként állt elő, esetenként tehát akár kilencszer is le kellett rajzolni ugyanazt a jelet. Az összegyűjtött jeleket a csoportok listázzák, vagy játékos módszerekkel bemutatják. Feladat lehet: A másik csoport jeleinek kitalálása. Mikor, hol, milyen jelrendszert használtak? A használt jelek alapján a számábrázolási csoportok kialakítása: alfabetikus, hieroglif, rovás, arab, római stb. Összehasonlíthatjuk az egyes népeknél használt jeleket, például a fent látható magyar rovásírást és a római számírást. Megvizsgálhatjuk, hogy különböző idegen nyelvekben hogyan képezik a számok nevét. (Például francia nyelven a 71-et úgy mondják 60+11). Még inkább kiaknázhatjuk a lehetőséget, ha a tanulóink családjában a magyaron kívül más nyelv használata is jelen van. Felvethető kérdés: vajon az arab számok írása miért lett egyöntetű a világon, míg a beszélt nyelv és a betűk jelölése miért nem? Készíthetnek tablókat az adott kor számírására, számrendszerére vonatkozó legfontosabb információk összegzésére. A feldolgozás módja A tanulók csoportokban összegyűjtik az általunk megjelölt szempontok szerint (pl. számfogalom, számrendszer, számírás, számolás), hogy az adott korban milyen jeleket használtak a mennyiségek jelölésére, milyen számrendszerben számoltak a kor emberei, hogyan számoltak, miért volt szükség a számokra stb. Például: Egyiptom Az egyiptomiak hozzánk hasonlóan tízes számrendszert használtak, a helyiértékes számábrázolást és a nulla használatát azonban még nem ismerték. A hieroglif rendszerben hét jel szolgált egytől egymillióig a Az egyes csoportok munkáját, az adott korokról gyűjtött ismere teket időrendi táblázatba is rendezhetjük, így az időben való tájé ko zó dási képesség és a rendszerező képesség egyidejű fejleszté sét tudjuk megvalósítani. Matematikaórák kereté ben is jól tudjuk haszno sí tani a szám írás történeti áttekin té sét például a törtek, illetve a tizedestörtek tanításának előkészí té sére, bevezetésére, gyakoroltatására. 6
Nem szakrendszerű oktatás A törtekkel való számolás érdekes módja alakult ki i. e. 2000 körül Egyiptomban. Az alaptörteknek, mint az 1/2, 1/3, 1/4... stb. külön jelük volt. A nevezőt egy oválissal és alatta levő kis vonalkákkal jelölték. Itt látható hieroglif és a hieratikus írásmódja: A függőleges ékek megszámlálása közvetlenül az 1, 2, 3 stb. kiolvasásához vezetett, egész a 9-ig. Ekkor következik egy <, melynek 10-et kell jeleznie. Hasonlóan olvashatjuk ki a következő jelekből a 11, 12 számokat. A <, <<, <<< nyilvánvalóan 10, 20, 30-nak olvasandó. A következő jeleket 1, 1.10, 1.20 2, 2.10-nek írjuk át. Minden törtet egységszámlálójú törtek összegére bontottak. A törtek előállításában az egész számok reciprok értékei (az 1 számlálójú törtek) fontos szerepet játszottak. Táblázataik voltak arra, hogy az egyéb törteket hogy lehet ilyen reciprokok összegeként előállítani (Rhind-papirusz). Kizárták a kettőzést, mint pl. 1/3+1/3, mégis minden törtet fel tudtak írni az elemi törtek segítségével.* Feladat lehet: A törtekkel való műveletvégzés, az egyszerűsítés, bővítés gyakorol tatására adhatunk feladatot tanítványainknak az egyiptomi számíráshoz kapcsolódóan. Képzeld magad a fáraó írnokának, akinek az a feladata, hogy segédkezzen elkészíteni azt a táblázatot, amelyet az adóbehajtók fognak használni. Kérdések lehetnek: az 1/3+1/15 felírással mely törteket tudták kifejezni? Fejezd ki egységtörtekkel a 3/5-öt! Stb. Adhatunk táblázatot az egységtörtekkel való kifejezéshez. Töltsd ki a táblázatot, ha x jelöli az összeadandó törteket! Ezek a jelek úgy értelmezhetők, ha az első 1 -et 60-nak olvas suk és 1.10-et 60 + 10 = 70-nek, az 1.20-at pedig 60 + 20 = 80-nak vesszük. A következő 2 jel értéke ily módon 120, míg az utolsó 2.10 jel eszerint 120 + 10 = 130 A számírás és a számolás matematikatörténeti vonatkozásai jól köthetők a mértékegységekhez, a mértékegységek tanításához. A számfogalom kialakulását a kereskedelem gyorsította meg, tette szükségessé. A legfejlettebb kereskedelmi életet elérve történhetett, hogy a számokat a számolásnál kezdték csoportokba foglalni, például a kéz ujjainak mintájára ötös vagy tízes csoportokba. Így jöttek létre a számrendszerek, amelyekhez azután a számnevek kialakulása is igazodott. A sokféle számrendszer között a tízes terjedt el legjobban, de a mértékegységek között, főleg a régi vagy angolszász mértékegységnél még megtaláljuk maradványaikat. A számírás fejlődéséről bővebben olvashatunk az alábbi oldala kon: Filep László Bereznai Gyula: A számírás története (1985) Sain Márton: Nincs királyi út! http://mek.niif.hu Sain Márton: Matematikatörténet (Nemzeti Tankönyvkiadó) Csattári Ferenc: A számfogalom matematikatörténeti fejlődéséről http://www.szv.hu A számírás fejlődése http://www.sulinet.hu A számok varázslatos világa: avagy a szimbólumokban rejtőző szépség http://www.felkol.org.yu Számolás, számírás http://www.ttk.pte.hu Egyiptomi számírás http://www.fvt.hu Sci-fi és matematika http://teszerakt.uw.hu Ugyanabban az időben Mezopotámiában már a mi tizedestörtjeinkhez hasonló módon, a hatvanas helyiértékes számrendszerbe illő hatvanados törtekkel számoltak. A hatvanas számrendszert még ma is őrzi az óra perc másodperc mértékegységrendszerünk. * Végezetül álljon itt egy sejtés, mely bizonyításra vár, de kisebb vagy speciális számok esetén tanítványaink is boldogulnak vele: Minden 1-nél nagyobb egész n számhoz találhatók olyan x, y és z (nem feltétlen különböző) pozitív egészek, amikre teljesül, hogy 4/n = 1/x+1/y+1/z. 7
Interaktív matematika Bedő Andrea A PROBLÉMAMEGOLDÁS TANULHATÓ A problémamegoldó gondolkodás nagyon fontos eleme mindennapjainknak. Problémaszituációkkal szembesülünk, és nekünk kell kitalál nunk, hogy mi a megoldás, illetve hogyan juthatunk el a meg oldásig. Az is gyakran előfordul, hogy magát a problémát is saját magunknak kell felismernünk, beazonosítanunk. A folyamat komplexi tása miatt sokan gondolják, hogy a gyerekeknek ezt meg sem lehet tanítani, hogy a diákok tehetségüktől függően vagy rá jönnek maguktól a megtanult feladat sémák alkalmazására, vagy nem. Ez azonban nem így van, a problémamegoldó gondolkodás tanul ható és tanítható. A problémamegoldásnak (angolul: problem solving) komoly kutatási háttere van. A tudósok, kutatók olyan következtetésekre jutottak, amelyeket sikerrel lehet alkalmazni a pedagógiai gyakorlatban. Gondoljunk csak Pólya György A problémamegoldás iskolája (Tankönyvkiadó, 1968) című könyvére, amelyben már 1954- ben leírta a problémamegodás lépéseit, vagy Robert Fisher Hogyan tanítsuk gyermekeinket gondolkodni? (Műszaki Kiadó, 2000) című művére, amely a mindennapi pedagógiai folyamatban hasznosan, hatékonyan alkalmazható. A problémamegoldó gondolkodás oktatásának interaktív táblával való támogatására jó megoldás lehet az Infinitas Learning (mely csoportnak a Műszaki Kiadó is tagja) által interaktív táblára fejlesztett, s azóta Berlinben már díjat is nyert A problémamegoldás tanulható című, hat részből álló CD-ROMsorozat. Az elsősorban matematikai kompetenciákra építkező CD-ROMsorozatban jól megvalósul a tantárgyköziség, hiszen a problémaszituációk kontextusa nem matematikai, hanem olyan helyzetek, melyek a mindennapokban bármelyik diákkal előforduló szituációk lehetnek. Minden CD-ROM kilenc feladatot tartalmaz. A feladat kiválasztásá nál segít a képességszint, illetve a módszer szerinti váloga tási lehetőség. Megoldási módok lehetnek: szituáció eljátszása, szabályszerűség keresése, egyszerűbb esettel való próbálkozás, kép, diagram rajzolása, lista vagy táblázat készítése, kísérletezés és tökéletesítés. A harmadik CD-ROM-on található feladatok közül most Péter kaktuszait nézzük meg, mely jó példája az egyszerűbb esettel való próbálkozásnak mint problémamegoldási stratégiának az alkal mazására. A CD-ROM indítása után a feladat, illetve az óravázlat irányá ból is közelíthetünk. Óravázlat menüpont alatt elolvashatjuk a feladat tartalmát, információkat kapunk a képességfejlesztési szintekről, a feladat megoldásáról, a megoldási stratégiákról, illetve nyomtathatunk részletes óraleírást is. Természetesen nem szükségszerű ennek az óravázlatnak a követése, nyugodtan készíthetünk sajátot is a felkészülési idő, illetve a saját erőforrásaink figyelembevételével. Mindenesetre javasolt innen indulni, hiszen a fejlesztés, a feladat kialakítása ezen óravázlat mentén történt. Az első dián olvashatjuk a problémaszituációt. Az osztállyal való kontaktustartást segíti, hogy egy kattintás a táblán (hozzáérinteni a tollat vagy az ujjat), s a feladat szövege máris eltűnt. Ez minden feladatnál így van, a feladat szövege elrejthető. Mire is jó ez? Máris olyan szituációba hoztuk a diákjainkat, mely fejleszti a megfigyelést. A következő feladatnál a diákok már sokkal jobban fognak figyelni a feladat szövegére, mert tudják, hogy a tanár elrejtheti azt, s lehet, hogy megkérdezi akár személyesen tőle is, hogy mit értett meg a feladatból. A szövegértés gyakoroltatásával tudjuk erősíteni a nyelvi jellegű tapasztalatokat. A szöveg közös értelmezése után, mely része az önálló gondolkodás megtanulásának, a feladatot akár csoportmunkában, akár más óraszervezési módon megoldathatjuk. Javasolt a diákok közös gondol kodásának, interaktív készségének a kihasználása, hiszen ezáltal is fejlődnek tanulóink, megismernek más stratégiákat. (Érdemes az eredményeket felíratni, ki, illetve melyik csoport mire jutott.) Ekkor lépjünk csak át a 2. diára, ahol egy táblázat kitöltésével kell a feladatot modellezni. A törlés lehetősége adott, így bármikor visszaléphetünk egy korábbi szintre, ha valamelyik diákunk nem értene valamit. A diákok a tábla előtt közvetlen élményként élhetik meg a kaktuszok új hajtásainak növekedését. Nem csak elképzelni kell a kaktuszok növekedését. A számpad segítségével a táblánál is könnyen írhatunk számokat, 8
Interaktív matematika nem kell a billentyűzethez menni. Számpad szintén minden feladatnál szerepel, ahol szükséges számo kat használni. A táblázatba hibás eredményeket is beírhatunk, típushiba lehet például, ha a diákok a feladatot szeretnék megválaszolni, és nem veszik észre, hogy még csak az új hajtásokat kell összeszámolni évenként. Fontosnak tartom, hogy a tanár itt ne javítson, ha valamelyik diák észreveszi a téves megoldást, beszéljék meg termé szetesen, de inkább engedjük a diákoknak felfedezni saját tévedé sei ket. Ez fejleszti az oknyomozó készséget, ezáltal élénkíti a kreatív és a kritikai gondolkodást. Tudom, a pedagógusok többsége nem szeret hibás megoldást látni a táblán, de ha átlépünk a következő diára, akkor mindenki egyből rájöhet, hogy mit rontott el. Ez pedig nagyon fontos, hogy a közvetlen élményen keresztül ő jöjjön rá valamire, hiszen a valós problémaszituációban sem fog mellette állni senki, hogy megmondja azonnal, hogy itt rossz, mert nem az a táblázat fejléce. Ha hagyjuk a diákjainkat felfedezve, akár hibás gondolkodást felfedezve tanulni, az fejleszti az önbizalmat és a hozzáértést. A második és harmadik dia között bármikor válthatunk és javíthatunk. Illetve, ha az éveket léptetjük, az ábrás megjelenítésnél a szoftver elhalványítja azokat a hajtásokat, melyek abban az évben még nincsenek. Így akár a megszámolást is segítheti. A megoldás során lejátszhatjuk a 4 évet, hogyan nőtt Péter kaktusza, illetve láthatjuk a táblázat helyes kitöltését. A kiegészítés pedig további kihívásokra sarkall, ellenőrizhetjük vele a tényleges megértést, illetve kapcsolatba hozhatjuk a diákot tudásának és készségei nek alkalmazásával. Természetesen nem állítjuk, hogy ez a CD-ROM-sorozat az egyedüli üdvözítő megoldás. Számos ilyen szituáció létrehozható az interaktív tábla segítségével, sőt akár a diákokkal is készíthetünk feladatokat, azonban ez a tartalmilag jól felépített, széles spektrumot átölelő feladatsorozat mindenképpen hasznos kiegészítője lehet annak, hogy megtanulják a diákok problémamegoldásra használni a gondolkodásukat. Ma az élethosszig tartó tanulás és a probléma megoldó gondolkodás szinte alapfeltétele annak, hogy sikeresek legyenek az életben. Ez nem demagógia. Eddig is megoldattunk velük ilyen jellegű feladatokat, csak kevésbé hatékonyan. Azonban, ha e feladatok segítségével elsajátítják tanítványaink a magamtól is rá tudok jönni, a társaim segítenek, ha elakadok, vannak jól ismert stratégiák, melyeket tudok használni alapállást, akkor a sorozatos visszacsatolások segítségével megértik, hogy a hétköznapi problémák megoldásakor is fontos a kapcsolatteremtés a különálló tapasztalatok között. Más gondolkodásmódokat meg kell ismerni, megérteni, és kritikai, ugyanakkor kreatív gondolkodással megoldani azokat. Ez azért hasznos, mert a különböző csoportoknál az adott szituációnak megfelelően tudja a tanár a táblánál segíteni a diákok megérté sét, mindez pedig rugalmasságot és dinamizmust adhat az órájának. Ha úgy döntöttünk, készen vagyunk, meg kell nyomnunk a kész gombot, s ekkor aktívvá válik a megoldás és a kiegészítés fül. Eddig hiába próbálkoztunk volna. Ez azért hasznos, mert csoportokban dolgozva a Péter kaktuszával egy csoportnyi diákot otthagyhatunk a problémával, annyit mondva nekik, hogy oldjátok meg a feladatot. Ők pedig ekkor kihívásként és motivációként élik meg a feladatot, mely kapcsolódik a szükségleteikhez, ezáltal célt és értelmet ad a tanulásnak. Irodalomajánló: Kontra József: A probléma és a problémamegoldó gondolkodás MAGYAR PEDAGÓGIA 96. évf. 4. szám 341 366. (1996) Revákné Markóczi Ibolya: A problémamegoldó gondolkodást befolyásoló tényezők MAGYAR PEDAGÓGIA 101. évf. 3. szám 267 284. (2001) Csapó Benő: A komplex problémamegoldás a PISA 2003 vizsgálatban Új Pedagógiai Szemle, 3. sz. 43 52. (2005) Molnár Gyöngyvér: Az ismeretek alkalmazhatóságának korlátai: komplex problémamegoldó gondolkodás fejlettsége 7. és 11. évfolya mon MAGYAR PEDAGÓGIA 106. évf. 4. szám 329 344 (2006) Pólya György: A problémamegoldás iskolája (Tankönyvkiadó, 1968) Robert Fisher: Hogyan tanítsuk gyermekeinket gondolkodni? (Műszaki Könyvkiadó, 2000) Molnár Gyöngyvér: Tudástranszfer és komplex probléma megoldás (Műszaki Könyvkiadó, 2006) 9