Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog, a felület tengelye. A forgatásnál a görbe minden pontja kört ír le, melynek síkja a tengelyre merőleges és középpontja a tengelyen van. E körök a felület párhuzamos vagy paralel körei. A forgásfelület tengelyén keresztülmenő síkot meridiánsíknak nevezzük (mint a földgömbnél). Ez a forgásfelületet az ún. meridiángörbében metszi. A meridiánt a felület tengelye szimmetrikus részekre bontja. Az összes meridiángörbék egybevágó, mert a tengely körüli forgással bármelyik bármelyikkel fedésbe hozható. Tehát a forgásfelület, úgy is származtatható, hogy annak meridiángörbéjét a tengely körül forgatjuk. Egy egyenes, amely egy vele egy síkban fekvő tengely körül forog, egyenes körkúpot ír le; ha a tengellyel párhuzamos, egyenes körhengert. A rneridián az első esetben két egymást metsző, a második esetben egymással párhuzamos egyenes. A gömb, mint forgásfelület egy körnek átmérője körüli forgásából származik; meridiánjai tehát legnagyobb körök. Ha valamely kör a síkjában levő olyan egyenes körül forog, amely nem megy a középpontján át, tóruszt, más néven körgyűrű-felületet kapunk. Forgásfelület tetszőleges P pontjában az érintősíkot a P ponton átmenő meridián és párhuzamos kör P pontjához tartozó PS és PT érintője határozza meg. A paralel kör PT érintője merőleges a Pt meridiánsíkra, mert merőleges e sík két egyenesére; az egyik egyenes a felület t tengelye, a másik egyenes a párhuzamos kör PM sugara. Ennélfogva az érintősík mindig merőleges az érintésponton átmenő meridián síkjára. A P pontot a t tengely körül forgatva, a P ponton átmenő meridiángörbe-érintők a t tengelyt ugyanabban az S pontban metszik; ezek összességükben forgáskúpot alkotnak, mely a forgásfelületet a P pont által leírt paralelkör mentén érinti. E kúpot a paralelkörhöz tartozó érintőkúpnak nevezzük. Előfordulhat, hogy a forgásfelületet vele közös tengelyű körhengerrel érinthetjük. Ilyenkor a henger a forgásfelülettel egy párhuzamos kör mentén érintkezik. E párhuzamos kört, ha az érintkezés kívülről történik, ekvátor körnek vagy, ha belülről, akkor torokkörnek nevezzük. A forgásfelületet az ekvátor, avagy torokkör mentén érintő hengert a felület egy érintőhengerének nevezzük. Ha a forgásfelület m meridiángörbéjének van aszimptotája, és ezt a t tengely körül forgatjuk, akkor a felület egy aszimptotikus kúpját kapjuk. Az aszimptotikus kúp érintősíkja a felületet a végtelenben érinti, az érintési alkotó végtelenben fekvő pontjában. Egy meridiángörbe a t tengelyt egy vagy több pontban metszheti. A meridiángörbe és tengely közös pontjában a meridián érintője a forgásfelület tengelyére merőleges, vagy hegyesszöget alkot vele. Első esetben a forgásfelület tengelyén fekvő pont a felület közönséges pontja, második esetben a pont a felület kúpos pontja. Minthogy az érintősík a P pontban mindig merőleges a P ponton átmenő meridiánsíkra, a P ponthoz tartozó felületi normális a t tengelyt egy N pontban metszi. A P pontot a t tengely körül forgatva a P ponton átmenő felületi normálisok szintén forgáskúpot alkotnak, melynek csúcspontja N. Az N pont egy gömb középpontja, amely gömb a felületet a P pont által leírt párhuzamos kör mentén érinti; e gömb a felület egy érintőgömbje. 1

Algebrai görbe forgásából származtatott felület algebrai felület. Ha a tengely körül egy n-ed rendű térgörbét forgatunk, akkor a keletkező forgás felület általában 2n-edrendű. Erre példa a tórusz, amely az előbb leírt módon egy kör forgatásából származik. Másodrendű görbét forgattunk, a keletkezett felület negyedrendű lett. De lehet másodrendű is, ha a tengely a kör átmérője. Másodrendű forgás felületek A már tárgyalt gömbön, egyenes körkúpon és egyenes körhengeren kívül idetartozik minden forgásfelület, amely kúpszeletnek tengelye körüli forgásából keletkezik. Ilyen másodrendű felület öt van. Ha ellipszist nagy- vagy kistengelye körül forgatunk, ellipszoidot kapunk (a és b eset). Ha hiperbolát képzetes tengelye körül forgatunk, akkor nyerjük az egyköpenyű forgáshiperboloidot (c eset); ha hiperbolát a valós tengelye körül forgatunk, akkor nyerjük a kétköpenyű forgáshiperboloidot (d eset). Ha a hiperbola aszimptotáját is forgatjuk, akkor az így nyert kúp a hiperboloidot annak végtelenben fekvő kúpszelete mentén érinti, a kúp a hiperboloid aszimptotikus kúpja. Ha parabolát tengelye körül forgatunk, akkor nyerjük a forgásparaboloidot (e eset). A másodrendű felületek síkmetszete kúpszelet. E közös tulajdonságuk a későbbiekből fog kitűnni. A síkmetszés által keletkező kúpszeletek minősége az illető felülettől s a metszősík helyzetétől függ. 2

Forgás felület ábrázolása speciális helyzetben Legyen a forgásfelület t tengelye az első képsíkra merőleges. A forgásfelület jellemzésére megadjuk a meridiángörbét. Mivel a t tengely a második képsíkkal párhuzamos, van a tengelyre illeszkedő második képsíkkal párhuzamos sík. E síkban lévő meridiángörbének második képe az eredetivel egybevágó, tehát közvetlenül megrajzolható. A forgásfelület azon meridián görbéje, melynek síkja a képsíkkal párhuzamos, a felület főmeridiángörbéje. A főmeridián-görbe második képe a forgásfelület második képkörrajza, mert a főmeridián-görbe pontjain átmenő második vetítősugarak a forgásfelületet a főmeridián-görbe mentén érintik; a második képkörrajzhoz tartoznak azon párhuzamos körök képei, mely párhuzamos körök minden pontjához tartozó érintősík második vetítősík. A forgásfelület első képkörrajza az ekvátorkörök és torokkörök első képeiből tevődik össze. A forgásfelület első és második képkörrajza kiegészítendő azon görbe vonal képével, mellyel a felületet határoltuk. Az ábrázolt forgásfelületen m a főmeridián-görbe, c 1 torokkör, c 2 ekvátorkör, a c 3 és c 4 párhuzamos körök pontjaiban a felület érintősíkja második vetítősík, c 5 és c 6 határoló párhuzamos körök. Az ábrán az első képsíkra merőleges tengelyű forgásfelület látható. A párhuzamos körök segítségével fel tudunk venni a forgásfelületen fekvő pontokat. Pl. felveszünk a forgásfelület második képén egy tetszőleges P pontot, és keressük ehhez P - t úgy, hogy P a forgásfelületen feküdjék. P -n keresztül felvesszük egy párhuzamos kör második képét, c -t, ez a kör vízszintes szakasznak látszik. Ennek a t és a képkontúr közé eső darabja megadja a párhuzamos kör sugarát, amellyel t -ből mint középpontból megrajzoljuk a párhuzamos kör első képét. A P -ből húzott rendezővonal c kört két, P és P x pontban is metszi, tehát a P ponthoz két első kép tartozik. Ha fordítva, a P első kép volna adva, akkor ezen keresztül t -ből mint középpontból meghúzzuk a párhuzamos kör első képét, ennek felvesszük az x 1,2 -vel párhuzamos sugarát, és a végpontját felvetítjük a második képkontúrra. A kapott metszéspont vagy metszéspontok magasságában lehet a P. P - nek megfelelő annyi második képeket kapunk, mint ahány pontban az említett rendezővonal a második képkontúrt metszi. Szerkesszük meg ezután a P pontban a felület érintősíkját. 3

Ezt meghatározza a felület két érintője. Az egyiket úgy kapjuk, hogy a P ponton keresztülmenő párhuzamos körhöz a P pontban meghúzzuk az érintőt; ennek t 1 e1ső képe P - ben érinti a párhuzamos kör első képét, a t 1 második képe egybeesik a párhuzamos kör második képével. A másikat pedig úgy kapjuk, hogy a P ponton keresztülmenő meridiánhoz húzunk a P pontban érintőt. Ennek t 2 első képe, a t és P összekötése, második képét pedig a következő meggondolás adja: a P-n keresztülmenő párhuzamos kör minden pontjában a meridiángörbéhez érintőt húzva, ezek egy érintőkúpot alkotnak, amelynek csúcsa a t tengelyen van. De a főmeridiánhoz ez az érintő közvetlenül meghúzható, és így a kúp csúcsa t -n kijelölhető. Ezt P -vel összekötve, megkapjuk t 2 -t. A P ponthoz tartozó felületi normális a P pont meridián síkjában van, tehát a P pontot összekötve t -vel, megkapjuk a normális első képét, n -t. Az n -t azon az alapon kapjuk, hogy a P pont által leírt párhuzamos kör pontjaihoz tartozó felületi normálisok egy másik forgáskúpot alkotnak, ennek a csúcsa is a tengelyen van. A kúp kontúralkotói a második képen a c végpontjaiban a meridián érintőire húzott merőlegesek; ezeknek t -vel való metszéspontját P -vel összekötve, megkapjuk n -t. Ha a t tengellyel szemben kitérő g egyenest forgatjuk a t tengely körül, akkor a t és g egyenesek normális transzverzálisának g-n lévő metszéspontja által leírt kör a felület torokköre. A torokkör síkja a felület szimmetriasíkja, középpontja a felület középpontja, mert a torokkör síkjától egyenlő távolságban fekvő síkok egyenlő nagyságú párhuzamos körökben metszik a felületet. Ha a g egyenes tükörképét vesszük a felület egy meridiánsíkjára nézve, legyen ez l, akkor 1 a felületen fekvő egyenes, mert minden meridiánsík a felület szimmetriasíkja, vagyis az 1 egyenest t körül forgatva ugyanazt a felületet nyerjük, mint előbb a g egyenes forgatásával. Ebből következik, hogy a felület minden pontján átmegy a felületen fekvő két egyenes, a felület alkotói. A felületi alkotók két seregbe tartoznak, a g, ill. l forgásával nyert alkotók egy-egy seregbe tartoznak. Egy seregbe tartozó két alkotó sohasem metszi egymást, de minden alkotó metszi a másik sereg minden alkotóját (egyet a végtelenben). A forgatott egyenes két különböző helyzetének nem lehet közös pontja, mert ha feltesszük, hogy van, akkor az csak a forgástengely egy pontjában lehetne. De feltevésünk szerint a forgatott egyenesnek a tengelyen nincs pontja. Továbbá legyen g és 1 a felület két különböző sereghez tartozó alkotója. Minden egyes alkotónak minden egyes, párhuzamos körrel kell lennie egy közös pontjának. A felület tetszőlegesen 4

felvett párhuzamos köre a g alkotót az A pontban, az 1 alkotót a B pontban metszi. Az AB távolságot merőlegesen felező sík a felület meridiánsíkja. A g egyenes tükörképe e meridiánsíkra nézve az 1 alkotó. Tehát g és 1 metszik egymást. Legyen a felület t tengelye az első képsíkra merőleges. A forgástengellyel szemben kitérő g egyenest a második képsíkkal párhuzamos helyzetben vettük fel. A felületet határolja az első képsík és egy az e1ső képsíkkal párhuzamos sík; e sík és az első képsík az O középpontra nézve szimmetrikus. Minden egyes alkotónak van a torokkörrel közös pontja, de minthogy az első képen a torokkörön belül a felületnek nincsen pontja, az alkotók első képei érintik a torokkör első képét. A g egyenes tetszés szerint felvett P pontján átmenő párhuzamos kör a főmeridiánsíkot a főmeridián-görbe M és N pontjaiban metszi. Minthogy az M N átmérő fölé rajzolt körben a P M N derékszögű háromszögben P M P N =r 2, ahol r a torokkör sugara. De akkor a főmeridiángörbe második képe hiperbola. A főmeridiánsíkkal párhuzamos g és g l alkotók második képei a főmeridián második képének aszimptotái. Ebből következik, hogy a felület meridiángörbéje hiperbola, a valós tengely fele a torokkör sugara, amiből közvetlenül látni, hogy a tengellyel szemben kitérő helyzetű egyenes forgása által származtatott forgásfelület a már tárgyalt egyköpenyű forgáshiperboloid. A hiperboloid valamely pontjában az érintősík az illető ponton átmenő két alkotó által felfeszített sík. A g alkotó P pontjában az érintősíkot tehát, úgy határozhatjuk meg, hogy megszerkesztjük a másik alkotóseregnek ezen ponton átmenő l egyenesét. Az alkotók első nyompontjainak összekötése az érintősík első nyomvonala. Ha a g alkotó más-más pontjában szerkesztjük meg a felület érintősíkját, ezen nyomvonal pontról pontra változik. Ebből láthatjuk, hogy egy alkotó pontjaihoz tartozó érintősíkok különböző síkok. Ha a g alkotón átmenő sík első nyomvonala g -re merőleges, akkor a sík érintési pontja az alkotó végtelenben fekvő pontja, vagyis a sík az alkotó aszimptotikus síkja. Az aszimptotikus sík átmegy a felület középpontján, és hajlása a felület tengelyéhez ugyanakkora, mint az alkotók és a tengely hajlásszöge. Az aszimptotikus síkok az aszimptotikus kúpot burkolják. Az olyan kúpot, amelynek az alkotói a felület alkotóival párhuzamosak iránykúpnak nevezzük. Az aszimptotikus kúp olyan iránykúp, melynek a csúcsa a felület középpontja. A torokkör első képe a hiperboloid első képkörrajza. A második főmeridián-görbe második képe a hiperboloid második képkörrajza. A második képen az alkotók a kontúrhiperbola érintői. Az alkotó képének érintési pontja annak a pontnak képe, amelyben az alkotó a második főmeridiánsíkot metszi. 5

Forgásfelület képkörrajza Legyen adva egy forgásfelület, melynek tengelye, t a második képsíkkal párhuzamos, de az első képsíkhoz képest ferde, főmeridián-görbéjének második képe m". Meghatározandó a forgásfelület első képkörrajza. A felület fél főmeridiángörbéje az A-tól B-ig, B-től C-ig és C-től D-ig terjedő körívekből áll, e körívek középpontjai rendre O l, O 2, O 3. A felvett forgásfelület tehát három gyűrűfelületrészből tevődik össze, az egyes részek a B és C pont által leírt párhuzamos körök mentén csatlakoznak egymáshoz. A két első rész érintőlegesen megy át egymásba, a második és harmadik rész pedig a C pont által leírt párhuzamos körben metszi egymást, e párhuzamos kör a forgásfelület éle. A felület első kontúrgörbéje az első vetítősugárral párhuzamos körülírt henger érintési görbéje. Forgásfelület köré írt henger érintési görbéje egy szimmetriával bíró görbe. Az érintési görbe szimmetriasíkja a körülírt henger alkotóival párhuzamos meridiánsík, a jelen esetben a tengelyen átmenő második képsíkkal párhuzamos sík. Az érintési görbének a szimmetriasíkjában fekvő pontjaihoz tartozó érintők a szimmetriasíkra merőlegesek. Az első kontúrgörbe egyes pontjai párhuzamoskör-érintőgömb módszerrel szerkeszthetők meg. A kontúrgörbe valamely párhuzamos körön levő pontját úgy nyerjük, hogy megszerkesztjük azt a gömböt, amely a felületet a párhuzamos kör mentén érinti; ennek középpontja, O a forgásfelület tengelyének azon pontja, melyet a felületi normális metsz ki. A párhuzamos kör pontjaiban a forgásfelület érintősíkjai az érintőgömbnek is érintősíkjai. A párhuzamos kör pontjai közül tehát azokat kell megkeresni, amelyekhez tartozó érintősík egyúttal első vetítősík. De a gömböt érintő első vetítősíkok érintéspontjai a gömb első kontúrkörén vannak. Tehát a gömb első kontúrkörének a felvett párhuzamos körrel való metszéspontjai az első kontúrgörbe pontjai. A gömb első kontúrgörbéje legnagyobb gömbi kör, amelynek síkja az első képsíkkal párhuzamos; e sík és a párhuzamos kör síkja egy második vetítősugárban metszi egymást; ennek második képe, 1", egyúttal a keresett pont második képe, első képe levetítéssel a gömb első képkörrajzán nyerhető. A megszerkesztett 1 pontban a forgásfelület érintősíkja első vetítősík, de akkor a forgásfelület 1 pontjához tartozó 6

összes érintőnek, tehát annak az érintőnek is, mely a kontúrgörbét az 1 pontban érinti, az első képe az érintőgömb első képkörrajzához az 1' pontban húzott érintő. A szerkesztésből látható, hogy az 1" pont két pont második képe; ez az első kontúrgörbe második képének minden pontjáról elmondható, tehát a második kép a görbe kettős vetülete. A fenti szerkesztést a forgásfelület ekvátor- és torokkörére alkalmazva, azt kapjuk, hogy a kontúrgörbe ezen körökön fekvő 2 és 3 pontjai az ekvátor- és torokkör második képsíkra merőleges átmérőjének végpontjai, és az érintők az első képen vízszintesek. Az első kontúrgörbének a főmeridiánsíkban lévő pontjai a főmeridiángörbének azok az M l, M 2 és M 3 pontjai, melyekben a főmeridián-görbe érintője első vetítősugár, mert ezekben a pontokban a felület érintősíkja első vetítősík. E pontokban a kontúrgörbe érintői a főmeridiánsíkra merőleges egyenesek, mert e sík a görbének szimmetriasíkja. A kontúrgörbe megszerkesztett pontjait egy folytonos görbével kötjük össze. Megjegyzendő azonban, hogy a kontúrgörbének lehetnek töréspontjai, sőt szakadása is lehet. Töréspont azon a párhuzamos körön keletkezik, amelynek mentén a forgásfelület két különböző gyűrűfelülethez tartozó része érintőlegesen megy át egymásba, tehát a 3-as pontok a kontúrgörbe töréspontjai. Egy párhuzamos körön fekvő pontok a kontúrgörbe szakadási pontjai, ha a párhuzamos kör a forgásfelület éle, vagyis két rész áthatási köre. Az első gyűrűfelületrészen fekvő első kontúrgörbe két részből áll, ezek k l és k 2, a második gyűrűfelületrészen fekvő első kontúrgörbe k 3, a harmadik gyűrűfelületrészen fekvő első kontúrgörbe k 4. A kontúrgörbe minden pontján átmenő első vetítősugár a forgásfelületet az illető pontban érinti, és a kontúrgörbét általában metszi. A kontúrgörbének lehetnek olyan kivételes pontjai, amely pontokon átmenő első vetítősugár a kontúrgörbét érinti. Felvételünk mellett ilyen pontok X 1,2 és Y 1,2. E pontok első képei az első képkörrajz csúcspontjai, ezek a felületet a pontokon átmenő párhuzamos kör mentén érintő gömb első képkörrajzán vannak. Ezekben az érintőket szintén úgy kapjuk, hogy a gömb első képkörrajzához érintőket húzunk. E pontok a kontúrgörbe első képében elválasztják a görbe látható részét annak nem látható részétől. A kontúrgörbének azok a pontjai, amelyeken átmenő első vetítősugár a görbének érintője, körzővel, vonalzóval nem szerkeszthetők meg, csak közelítőleg. Ennek gyakorlati kivitele oly módon történik, hogy a második képen a gondosan megrajzolt kontúrgörbéhez a rendezővonalakkal párhuzamos érintőt rajzolunk, és ezen kijelöljük az érintési pontot. Ha szerkesztésünk helyes, a kijelölt érintési ponton keresztül húzott vízszintes és a főmeridiángörbéhez e ponton keresztül a tengelyre merőlegesen húzott egyenesen levő pontjában vont normális a tengelyben tartoznak találkozni. Ábránkon ezt a szerkesztést az X pontra nézve el is végeztük. A forgásfelület első képkörrajza kiegészítendő a c l határoló párhuzamos kör és a c 2 áthatási kör első képével. A 4-es pontok az első kontúrgörbének a határoló párhuzamos körön fekvő pontjai, e pontok első képei a határoló párhuzamos kör első képének és a forgásfelület első képkörrajzának érintési pontjai. Ha a forgásfelület tengelye a két képsíkhoz képest általános helyzetű, akkor első és második képkörrajzának szerkesztését a most tárgyalt feladatra vezetjük vissza; olyan új harmadik, ill. negyedik képsíkot vezetünk be, mely a forgásfelület tengelyével párhuzamos. Az első és harmadik képen az előbbi módon megszerkesztjük a forgásfelület első képkörrajzát, a második és negyedik képen pedig a forgásfelület második képkörrajzát. 7

Forgásfelületek síkmetszése és áthatása Forgásfelület síkmetszetének egyes pontjai olyan segédsíkok segítségével határozhatók meg, amelyek a felületet párhuzamos körökben metszik. A metszősík és a párhuzamos körök síkjának metszésvonala a párhuzamos kört két pontban metszi, mely pontok a metszésgörbe pontjai. Az egyes pontokban az érintőt úgy határozzuk meg, hogy megkeressük az illető ponton átmenő érintősík metszésvonalát az adott síkkal. Forgásfelület síkmetszetének mindig van szimmetriatengelye, a szimmetriatengely a metszősíknak azon egyenese, melyben a metszősíkra merőleges meridiánsík a metszősíkot metszi. A síkmetszet lényeges pontjai azok a pontok, melyek a forgásfelület első, ill. második kontúrgörbéjén vannak, e pontokban a síkmetszet képe a képkörrajzot érinti. Lényeges pontok még a síkmetszet szimmetriatengelyén fekvő pontok, e pontokban a síkmetszet érintője merőleges a szimmetriatengelyre, hacsak a pont a síkmetszetnek nem többszörös pontja. Csakis azzal a legegyszerűbb esettel fogunk foglalkozni, amikor a forgásfelület tengelye merőleges az egyik képsíkra. Ha a forgásfelület tengelye nem merőleges valamely képsíkra, akkor ezt a helyzetet új képsík bevezetésével elő kell állítani. Legyen adva egy tórusz, melynek t tengelye az első képsíkra merőleges. A felületnek a külső félkör által leírt része lényegesen különbözik a belső félkör által leírt résztől. A felület külső részének bármely pontjában az érintősík csak egy pontban érinti, de nem metszi a felületet, bármely belső ponthoz tartozó érintősík azonban a felületet metszi is. Határozzuk meg a gyűrűfelületnek egy olyan általános helyzetű síkkal való metszetét, mely a felületet egy belső pontban érinti. A gyűrűfelület felvett D pontjában az érintősíkot a D ponton átmenő párhuzamos kör D pontjához tartozó érintője és a D ponton átmenő meridiángörbe D pontjához tartozó érintője határozza meg. A párhuzamos kör érintője jelen esetben az érintősík első fővonala, e fővonallal párhuzamos és a meridiángörbe érintőjének első nyompontján átmenő egyenes az érintősík első nyomvonala: s l. 8

A síkmetszet egy általános helyzetű pontjának szerkesztése a k párhuzamos körön van feltüntetve. A k párhuzamos kör síkja a metszősíkot az f 1 első fővonalban metszi, a k párhuzamos kör és az f l fővonal közös pontjai, P és P x, a síkmetszetnek pontjai. A síkmetszet P pontjában az érintő a P pontban a felületi érintősík és metszősík metszésvonala; e metszésvonal meghatározására csupán egy pont szükséges, mert P a két sík közös pontja. Evégből meghatározzuk az érintősíknak az első nyomvonalát; e nyomvonal és a metszősík első nyomvonalának közös pontja az e érintő első nyompontja. Az első képkörrajzra eső síkmetszetpontok az ekvátor- és torokkörön vannak, ezek 1, 1 x, 2, 2 x, e pontokban a síkmetszet első képe érinti az ekvátor- ill. torokkör első képét. A második képkörrajzra eső síkmetszetpontok egyrészt a főmeridiánsíkban vannak, tehát a főmeridián-görbének a metszősík azon második fővonalán fekvő pontjai, melyben a főmeridiánsík a metszősíkot metszi. Ezek a 3, 4, 5, 6 pontok, másrészt a legfelső és legalsó párhuzamos körön vannak, mert a jelen esetben e két kör második képe a második képkörrajzhoz tartozik; a legfelső párhuzamos körön a síkmetszet pontjai 7 és 7 x, á legalsó párhuzamos kör nem metszi a síkot. A 7 és 7 x pontokban az első képen a síkmetszet érintői a sík első nyomvonalával párhuzamos egyenesek, mert e pontokban a felület érintősíkja az első képsíkkal párhuzamos sík. A síkmetszet szimmetriatengelye az adott felvétel mellett egy első esésvonal, melynek első képe a tengely első képén megy át. Ez esésvonalra eső síkmetszetpontokat úgy nyerjük; hogy az esésvonalat a t tengely körül beforgatjuk a főmeridiánsíkba, és azután a főmeridián-görbe és a beforgatott esésvonal közös pontjait visszaforgatjuk, ezek a 8 és 9 pontok; e pontokban a síkmetszet érintői a szimmetriasíkra merőleges egyenesek, jelen felvétel mellett tehát az első képsíkkal párhuzamos egyenesek. A D pont a síkmetszet kettős pontja, amelyben a metszésgörbe két ága egymást metszi. E pontban nem lehet az érintőket a fenti módon meghatározni, mert itt az érintősík a metszősíkkal azonos sík, tehát metszésvonalukról nem lehet beszélni. A kettős pontban a síkmetszet érintői a hiperbola indikátrix aszimptotái. A forgásfelület minden pontjának egyik főmetszete a ponton átmen6 meridián, másik főmetszete a felületi normálison megy keresztül és a meridiánsíkra merőleges, ennek görbületi sugara Meusnier tétele szerint a felületi normálison az illető ponttól a forgástengelyig terjed. Eszerint a D pontban a főgörbületi sugarakat úgy nyerjük, hogy a D pontot a t tengely körül a főmeridiánba forgatjuk, az így nyert D 1 pontot összekötjük a főmeridiánkör O l középpontjával, ez metszi a t tengelyt az O 2 pontban, ekkor O 1 D 1 =r 1 és O 2 D 2 =r 2. Az indikátrix alakja nem változik meg, ha minden érintőre a D ponttól számítva az általa meghatározott normálmetszet görbületi sugarának abszolút értékéből vont pozitív négyzetgyök helyett ennek valamely (a zérustól különböző) számmal való szorzatát mérjük fel. Legyen ez a szám r 2, akkor az így nyert konjugált hiperbolák főtengelyeinek hossza r r és r 1 2 2. Ha a főmeridiánsíkban az O 1 O 2 átmérőjű félkör a D 1 pontban a főmeridiánhoz rajzolt érintőt az A 1 pontban metszi, akkor D 1 A 1 = r r, tehát az A 1 2 1 pont visszaforgatásával nyerjük az egyik hiperbola csúcsát, A-t. Ebben a pontban a hiperbola érintője párhuzamos a D 9

ponton átmenő párhuzamos kör D pontbeli érintőjével. Ennek első képére a D pont első képétől számítva felmérjük az r 2 távolságot, az így nyert B' és C' pontok a konjugált hiperbola csúcsainak első képei, az ezeknek megfelelő második képeket felvetítéssel nyerjük az érintő második képén. A B és C pontokban a hiperbola érintői párhuzamosak a D pontban a rajta átmenő meridiánhoz húzott érintővel. A két hiperbola csúcsérintőinek metszéspontjaiban az e l és e z aszimptoták pontjait nyerjük. Érdekességként bizonyítás nélkül: A tórusz metszete a felületet két pontban érintő síkkal két körből áll. A tórusznak a tengelyével párhuzamos síkkal való metszetei. A gyakorlatban a tórusznak legtöbbször a felület tengelyével párhuzamos síkkal való metszeteit kell szerkeszteni. Legyen a gyűrűfelület tengelye, t az első képsíkra merőleges, középpontja O, egyik főmeridiánkörének középpontja O l és sugara r. A tengellyel párhuzamos metszősíkot a főmeridiánsíkkal párhuzamos helyzetben vettük fel. Az ábrán a felület négy síkmetszetét tüntettük fel. Ha a metszősík a főmeridiánsíktól d távolságban van, és az O és O l pontok távolsága m, akkor mindaddig míg d<m-r, a metszésgörbe (az ábrán az a-val jelölt) két oválisból áll. Ha d=m-r, akkor a görbe hurok alakú (b). Ha d>m-r, akkor a görbe piskóta alakú (c) vagy ovális (d) aszerint, hogy m>d, illetőleg m d. A síkmetszetek mindegyikének két szimmetria-tengelye van, az egyik a metszősík és az ekvátor síkjának metszésvonala, a másik a metszősík és a tengelyen átmenő második képsíkra merőleges sík metszésvonala, ezek közös pontja a síkmetszet szimmetria-középpontja. A síkmetszet egyes pontjait úgy szerkesztjük meg, hogy a felület tengelyére merőleges segédsíkokat veszünk föl, a segédsíkban fekvő párhuzamos kör és a metszősík közös pontjai a síkmetszetnek pontjai. A síkmetszet egy P pontjában az érintő második képe a jelen esetben a P ponthoz tartozó felületi normális második képére merőleges, mert a P ponthoz tartozó felületi normális a P ponthoz tartozó minden felületi érintővel derékszöget alkot, és a keresett érintő a második képsíkkal párhuzamos, mivel a metszősíkban fekszik. 10

Forgásfelületek áthatása Forgásfelületek áthatásának szerkesztésénél négy esetet különböztetünk meg aszerint, amint a forgásfelületek tengelyei 1. azonosak, 2. párhuzamosak, 3. metszik egymást, vagy 4. kitérők. 1. Közös tengelyű forgásfelületek áthatása párhuzamos körökből áll. Egy tetszőleges meridiánsík az egyik felületet az m 1, a másikat az m 2 meridiángörbében metszi, az m 1, és m 2 közös pontjain átmenő párhuzamos körök minden pontja a két felület közös pontja, a két felület ezen párhuzamos körök mentén metszi egymást. 2. Párhuzamos tengelyű forgásfelületek esetében a tengelyekre merőleges segédsíkokat választunk, minden ilyen sík az adott felületeket párhuzamos körökben metszi, e párhuzamos körök közös pontjai az áthatás pontjai. A szerkesztésnél a tengelyeket az egyik képsíkra merőlegesen választjuk, hogy a párhuzamos körök képei közvetlenül legyenek megrajzolhatók. Az ábrán egy forgáshenger és gömb áthatását szerkesztettük meg. A forgáshenger t 1 tengelye az első képsíkra merőleges; a gömb középpontját a henger második képsíkkal párhuzamos érintősíkjában választottuk, sugarát úgy vettük fel, hogy a hengert annak egy D pontjában érintse. A gömböt jelen esetben forgásfelületnek tekintjük, melynek tengelye, t 2 az első képsíkra merőleges. Minthogy a henger vetítőhenger, az áthatási görbe első képe máris megvan. A második kép szerkesztésére első képsíkkal párhuzamos segédsíkokat veszünk fel. Az áthatás tetszőleges P pontját e ponton átmenő első képsíkkal párhuzamos segédsíkkal szerkesztettük meg. E sík mindkét felületet párhuzamos körökben metszi, ezeknek metszéspontjai, P és Q az áthatás pontjai. A görbe P pontjában az érintőt úgy szerkesztettük meg, hogy meghatároztuk a hengerfelület és a gömbfelület P pontjához tartozó n l és n 2 felület normálisokat, a normálisok síkjára merőleges és a P ponton átmenő e egyenes a keresett érintő. (Eddig az érintőt a két felület P-beli érintősíkjának metszésvonalaként határoztuk meg. Most az érintősíkok nyomvonala nehezen érhető el, ezért egy másik módszert választottunk. Természetesen, mindkét módszer ugyanazt az érintőt adja.) A henger második kontúralkotóin fekvő 1 és 2 pontokat úgy szerkesztettük, hogy e pontokon átmenő párhuzamos gömbi körök első képeit vettük fel; ezek második képein felvetítéssel nyerjük a keresett pontok második képeit. E pontok az áthatásnak lényeges pontjai, mert az áthatási görbe második képében elválasztják a görbe látható részét annak nem látható részétől. 11

Megszerkesztettük az áthatási görbének a gömb második kontúrgörbéjén fekvő 3-as pontjait; e pontok második képe felvetítéssel a gömb második képkörrajzán nyerhető. A 3-as pontok az áthatásnak szintén lényeges pontjai, mert e pontok második képei a gömb második képkörrajzának és az áthatás második képének érintési pontjai. A tengelyek összekötő síkja mindkét felületnek s így az áthatásnak is szimmetriasíkja. E síkban fekvő 4-es pontokban az áthatási görbe érintői a közös szimmetriasíkra merőleges egyenesek, jelen felvétel mellett az első képsíkkal párhuzamos egyenesek; a 4-es pontok lényeges pontok, az áthatás legmagasabb, ill. legmélyebb pontjai. A D pontban a két felület érintősíkja közös, a D pont az áthatásnak kettős pontja. 3. Egymást metsző tengelyű forgás felületek esetében segédfelületül olyan gömbfelületet veszünk fel, amelynek középpontja a tengelyek közös pontja. Egy ilyen gömbfelület az F l és F 2 felületet párhuzamos körökben metszi, a párhuzamos körök közös pontjai az áthatás pontjai. A szerkesztésnél a forgásfelületeket úgy helyezzük el, hogy a tengelyek összekötő síkja az egyik képsíkkal párhuzamos legyen. Az ábrán két forgáshenger áthatását szerkesztettük meg. A t l és t z tengelyek összekötő síkja a rajz síkja, melyet egyúttal képsíknak is választunk. A t l és t 2 közös pontja M. Az M pont körül felvett tetszőleges gömb k kontúrja metszi a hengerek kontúralkotóit, e metszéspontok összekötései, melyek merőlegesek a forgástengelyekre, a k l, k 2 metszéskörök képei; ezek egymást a P' pontban metszik, mely az áthatás két pontjának képe. A görbe képe a rajz síkján kettős vetület. A görbe P pontjában az érintőt hasonló módon szerkeszthetjük meg, mint előzőleg. A két henger P pontjához tartozó normálisok a k l, k 2 körmetszetek O l, O 2 középpontjait P-vel összekötő egyenesek. Az O 1 O 2 egyenes a két normális összekötő síkjának nyomvonala, ennélfogva az érintő képe merőleges lesz O 1 O 2 -re. A kontúralkotók metszéspontjaiban a görbe képének érintője a görbe simulósíkjának nyomvonala. 12

4. Kitérő tengelyű forgásfelületek áthatásánál segédfelületnek általában az egyik tengelyre merőleges síkot választunk. Az ábrán forgáshenger és gyűrűfelület áthatását szerkesztettük meg. A hengerfelület t l tengelyét és a gyűrűfelület ekvátor- és torokkörét az első képsíknak tekintett rajz síkjában vettük fel, mégpedig úgy, hogy a henger egyik első kontúralkotója érintse a torokkört. Második képsíknak a gyűrűfelület t 2 tengelyén átmenő és a henger alkotóira merőleges síkot választottunk. A második képen megrajzoltuk a henger második nyomkörének és a gyűrűfelület egyik főmeridiánkörének felső részét. A két felület áthatásának egyes pontjait az első képsíkkal párhuzamos segédsíkokkal szerkesztjük meg. Az első képsíkkal párhuzamos tetszőleges sík a hengert alkotókban, a gyűrűfelületet párhuzamos körökben metszi, ezeknek közös pontjai, P és Q az áthatás pontjai. Az áthatási görbe P pontjában az érintő szerkesztését is feltüntettük. A henger normálisának nyompontja a henger P ponton átmenő k körmetszetének O l középpontja, a gyűrűfelület P pontjához tartozó normális nyompontja a P ponton átmenő m meridiánkör O 2 középpontja, e nyompontok összekötő egyenese a két normális összekötő síkjának s l nyomvonala, s így a P pontbeli e érintő képe erre az egyenesre merőleges. Az első és második képsík a két felület egész áthatásának szimmetriasíkja. A rajzban az áthatásnak csak egy részét tüntettük fel. E rész képének végpontjai a gyűrűfelület torok- ill. ekvátorkörének és a henger egyik kontúralkotójának közös pontjai. Az áthatási görbének lényeges pontjai azokban a segédsíkokban fekvő pontok, mely segédsíkok a gyűrűfelület érintősíkjai, mert ha a kérdéses pontokban az érintőt, mint két érintősík metszésvonalát megszerkesztjük, akkor érintőnek azt a hengeralkotót nyerjük, amelyben az érintő segédsík a hengerfelületet metszi. E feladatot még más módon is meg lehet oldani. A P ponton átmenő m meridiánkör középpontjában e kör síkjára emelt merőleges és a henger tengelyének M metszéspontja olyan gömb középpontja, mely átmegy az m meridiánkörön és a hengerfelületet egy k körben metszi. A k és m körök közös pontjai az áthatásnak pontjai. A gyűrűfelület más-más meridiánkörét véve, a fenti módon az áthatás tetszőlegesen sok pontját megszerkeszthetjük. A szerkesztéshez csak egy képre van szükség. 13

Adott a K 1 -en álló negyedtórusz és egy egyenes körkúp. Szerkesztendő a két felület áthatása és az egyik általános helyzetű pontban az érintő. 14

Szerkesztendő a negyedtórusz és henger áthatása és az egyik általános helyzetű pontban az érintő. 15

Adott egy tórusz és az n 1, e egyenesek síkja. Szerkesztendő a síkmetszet minden lényeges pontja, néhány általános ontja és ezek közül az egyikbe a metszet érintője. 16

Adott a K 1 -en álló tórusz. Szerkesszük meg a P pont első képét úgy, hogy a pont a belső felületi részen legyen. Vegyük fel ebben a pontban a felület érintősíkját, és szerkesszük meg a felülettel való metszetét! 17

Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 18

Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 19

Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 20

Adott egy tórusz belső része és egy forgáskúp. Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 21

Adott az első képsíkon álló tórusz és az a, b egyenesekkel egy sík. Szerkesztendő a tórusz síkmetszete. 22

Adott egy tórusz belső része és egy henger. Szerkesztendő a két, metsző tengelyű felület áthatási görbéje. 23

Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 24