1. A korrelációs együttható

1 A KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ 1. A korrelációs együttható A tapasztalati korrelációs együttható képlete: (X i X)(Y i Y ) R(X, Y ) = (X i X) 2. (Y i Y ) 2 Az együttható tulajdonságai: LINEÁRIS kapcsolat szorossága. Értéke 1 és 1 közé esik. Ha R > 0.8 akkor jó közelítéssel lineáris kapcsolat van. Ha R < 0.8 akkor nincs lineáris kapcsolat de más kapcsolat lehet. 1.1. Feladatok Els lépésként töltsük le a tanszék honlapján megtalálható excel le-t (Korreláció, rangkorreláció, Kendall-féle konkordancia.). Ez a táblázat 15 évre visszamen leg adatokat tartalmaz, amit a KSH (Központi Statisztikai Hivatal) honlapján megtalálhatóak. Az els sorban az évek vannak feltüntetve, utána pedig az évekhez tartozó különböz adatok pl: Elítéltek száma, Vasúti balesetek száma, Dohányfogyasztás, Tüd asztmások száma stb. Ezek közül bármelyik két adatsort meg tudunk vizsgálni korreláció szempontjából. Vizsgáljuk meg el ször, hogy a tüd betegek száma (X) és a dohányfogyasztás (Z), illetve a sz rések száma (Y ) között milyen kapcsolat van. Megoldás: Hogy áttekinthet bb legyen a táblázatunk másoljuk át a megfelel oszlopokat a második munkalapra. Ehhez jelöljük ki az els oszlopot (A1-t l A17-ig), majd Jobb clikk = Másolás vagy CRTL+C billenty kombináció. Ezután kattintsunk a második munkalapra, jelöljük ki az A1-es cellát, majd Jobb gomb = Beillesztés vagy CRTL+V. Ehhez hasonló módon az M oszlopot másoljuk a B oszlopba, az L-t a C-be és az N-t pedig a D-be. Mivel igen nehéz lenne egyb l kiszámolni a korrelációs együtthatókat, bontsuk a feladatot részlépésekre: Els lépés az egyes átlagok kiszámolása. (Ezek mindenhova kellenek) A19:= "Átlag" B19:= "=ÁTLAG(B2:B17)" A B19-et húzzuk ki D19-ig. Így megkaptuk az egyes átlagértékeket. Következ lépés az (X i X), (Y i Y ) és (Z i Z) értékek kiszámítása. F1:= "X i X" (Itt most X az átlagot jelenti) Alsó indexeléshez jelöljük ki a karaktert, majd lépjünk be a Formátum Cellák Bet típús menüpontba és pipáljuk ki az Alsó index dobozát. 1

1.1 Feladatok 1 A KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ F2:= "=B2-B$19" (B19 az átlag, ezt kell minden elemb l kivonni, tehát ezt a sort xálni kell a dollár jellel) F2- t huzzuk le F17-ig. G1:= "Y i Y ", H1:= "Z i Z" Húzzuk át F2- t H2-ig. Mivel az el z ekben csak a 19-dik sort xáltuk, ezért az egyes oszlophoz a megfelel átlagértékek fognak tartozni. Végül húzzuk le a G2- t G17-ig, a H2- t pedig H17-ig. Most számoljuk ki (X i X) 2, (Y i Y ) 2 és (Z i Z) 2 értékeket. I1:= "(X i X) 2 ", J1:= "(Y i Y ) 2 ", K1:= "(Z i Z) 2 " I2:= "=F2*F2" I2- t húzzuk el két irányban I17-ig, majd az egészet K17-ig. Számoljuk ki rögtön a szummákat az I19-t l a K19-ig terjed cellákba. (Remélem nem fog nehézséget okozni ha nem írom ezt le részletesen:)) Már csak a (X i X)(Y i Y ) és az (X i X)(Z i Z) közbens értéket kell kiszámolni. L1:= "(X i X)(Y i Y )", M1:= "(X i X)(Z i Z)" L2:= "=$F2*G2" L2- t húzzuk el két irányban L17-ig, majd az egészet M17-ig. (Próbáljon meg mindenki maga rájönni, hogy az el z képletben mért ott van a dollár jel, ahol van) Számoljuk ki itt is a szummákat az L19-t l a M19-ig terjed cellákba. Most már egyszer en ki tudjuk számolni a két korrelációs együtthatót. A21:= "Korrelációs együttható (Töd asztma-sz rések száma)" A22:= "Korrelációs együttható (Töd asztma-dohány)" F22:= "=L19/GYÖK(I19*J19)" F21:= "=M19/GYÖK(I19*K19)" Számoljuk ki a korrelációs együtthetó értékeit az Excel beépített függvényével is. G22:= "=KORREL(B2:B17;C2:C17)" G21:= "=KORREL(B2:B17;D2:D17)" A korrelációs együttható értékét Excel-ben a KORREL függvénnyel tudjuk kiszámolni. Itt két ugyanolyan hosszú adat tartományt kell megadni, amik között az együttható értékét kiszámolja. Legvégül két grakont. Egyikben a Tüd betegek számát ábrázoljuk a Tüd sz rések számának függvényében, a másikban pedig a Dohányfogyasztást ábrázoljuk a Tüd betegek számának függvényéban. Függvényrajzoláskor a szokásos PontXY típust használjuk!! Az eredményeket nem árulom el. Mindenki próbáljon meg választ adni az eredményeket - gyelembe véve arra a kérdésre, hogy mi a célszer bb: leszokni a dohányzásról, vagy eljárni tüd sz résre. Most mindenki saját maga próbáljon meg korrelációs együtthatókat kiszámítani valamilyen szimpatikus adatkupacok között. Ha megy, akkor természetesen kevesebb részeredmények kiszámításával is meg lehet csinálni a feladatot. 2

2 RANGKORRELÁCIÓ (EGYETÉRTÉS-VIZSGÁLAT) 2. Rangkorreláció (egyetértés-vizsgálat) A rangkorrelációs együttható képlete: A tulajdonságai: R(X, Y ) = 1 6 (X i Y i ) 2 N(N 2 1) Minden érték csak egyszer szerepelhet. Tehát nem fordulhat el döntetlen kimenetel. A valószín ségi változó csak egész számot(rangot) vehet fel, és értéke 1-t l, N-ig terjedhet. Ahol N a rangsorolandó személyek vagy tárgyak száma. A rangkorrelációs együttható értéke is 1 és 1 közé eshet. Ha értéke 1 akkor at mondjuk, hogy a kapcsolat konkordáns (Mindkét versenyszámban ugyanaz a sorrend). Ha 1 akkor pedig diszkordáns (A két versenyszámban a versenyz k ellentétes eredményeket érnek el). Mindegy, hogy melyik korrelációs együtthatóval számolunk, számszerileg ugyanazt fogjuk kapni. Csak a Spearman-féle korrelációs együtthatót sokkal egyszer bb kiszámolni.. 2.1. Feladatok 2.1.1. Korreláció és rangkorreláció Legyen egy hét f s sícsapat tagjai: Eszter, Brigitta, Rita, Karin, Bence, István és Pál. A versenyz k lesiklásban és m lesiklásban mért helyezéseik legyenek a következ ek: Versenyz Eszter Brigitta Rita Bence István Karin Pál Lesiklás (X) 2 1 3 4 7 5 6 M lesiklás (Y) 2 3 1 5 7 4 6 Vizsgáljuk meg, hogy a két versenyszám helyezései között van e valami kapcsolat. A feladatot oldjuk meg a "hagyományos" módszerrel, és rangkorrelációval is. 3

2.1 Feladatok 2 RANGKORRELÁCIÓ (EGYETÉRTÉS-VIZSGÁLAT) Megoldás: Mindenki csináljon üres munkalapra egy excel táblázatot az adatokról. Célszer az adatokat oszlopokban írni nem pedig sorokban. El ször a korrelációs együtthatót fogjuk kiszámolni melynek lépései: Az el z feladathoz hasonlóan itt is az átlagszámítással indulunk. A várakozásnak megfelel en az átlag mindkét esetben ugyanaz. Ezután egy külön oszlopokban számoljuk ki az (X i X)(Y i Y ), (X i X) 2 és az (Y i Y ) 2 értékeit. Összegezzük az oszlopokat. Végül számoljuk ki a korrelációs együtthatót. Most számoljuk ki a rangkorrelációs együtthatót: Ebben az esetben semmi szükség az átlagok kiszámítására, viszont szükségünk lesz a résztvev k számára. Ezt a DARAB függvényel meg tudjuk számolni. Csináljuk meg ezzel az eljárással annak ellenére, hogy fejb l tudjuk mennyien vannak. Szükség van viszont a rangkülönbségek négyzetére, vagyis a (X i Y i ) 2 -re. Összegezzük az oszlopot. Végül a tanult képlettel számoljuk ki a rangkorrelációs együtthatót. Az eredményekb l látszik, hogy mindegy melyik képletet alkalmazzuk. 2.1.2. Min ségi osztály Egy piacon 8 keresked nél min ségvizsgálatot folytatunk. Az árult almákat és körtéket hat min ségi osztályba soroljuk. Ezek: A, B, C, D, E, F, G, H. A boltok és a mín ségi osztályok száma egyenl re direkt egyezik meg. A vizsgálat eredménye legyen a következ : Keresked sorszáma K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 Alma (X) B A F G H E C D Körte (Y) A B H G F D C E Csináljuk az adatokról táblázatot egy új munkalapra. Az adatokat most is oszlopokba írjuk be. A f probléma a rangkorreláció számításánál, hogy a rangsorhoz nem számokat hanem bet ket használtunk. Ezért ebben a formában nem tudjuk a feladatot megoldani. A problémát úgy tudjuk áthidalni, hogy minden bet höz egy egész számot rendelünk úgy, hogy a legjobb termék (A osztály) legyen 1-es sorszámú. Vagyis: A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5, F = 6, G = 7, H = 8. 4

3 KENDALL KONKORDANCIA A táblázatunkban így már számok fognak szerepelni: Keresked sorszáma K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 Alma (X) 2 1 6 7 8 5 3 4 Körte (Y) 1 2 8 7 6 4 3 5 Egészítsük ki a táblázatunkat ezzel a két oszloppal, és számoljuk ki a rangkorrelációs együtthatót. 3. Kendall konkordancia ahol: R i = W = m j=1 12 n a versenyz k száma. m a bírálók száma. (R i R) 2 m 2 (n 3 n) 1 r ij, R = m(n + 1). 2 Figyeljük meg, hogy az R i -k az egyes versenyz k összrangszáma. W értéke 0 és 1 közé esik. Ha W = 1, akkor a bírálók döntése összhangban van. Ha pedig W = 0, akkor a bírálók "összevissza" pontoztak., 3.1. Feladatok 3.1.1. Síz k újra Legyenek egy hat f s sícsapat tagjai: Eszter, Brigitta, Karin, Bence, István és Pál. A versenyz k lesiklásban és m lesiklásban mért helyezéseik legyenek a következ ek: Versenyz Eszter Brigitta Bence István Karin Pál Lesiklás 2 1 3 4 5 6 M lesiklás 2 3 1 5 4 6 Diszkoszvetés 5 6 4 1 3 2 Vizsgáljuk meg, hogy a versenyszámok helyezései között van e kapcsolat, azaz mennyire igaz, hogy aki az egyik sportágban jó az a másikban is jó. Megoldás: 5

3.1 Feladatok 3 KENDALL KONKORDANCIA Számoljuk ki el ször a versenyz k n és a "bírók" m számát. Itt most a bírók természetesen a versenyszámok. A DARAB függvény használatát lehet gyakorolni! Ezután számoljuk ki az átlagos összrangszámot R. Majd minden versenyz nek az összrangszámát R i egy külön oszlopba. A mellette lév oszlopba az átlagos összrangszám és az egyéni összrangszám négyzetes eltéréseit. Végül számoljuk ki a Kendall konkordanciát. 6