-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1
2
Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK... 24 7. GEOMETRIA... 37 8. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK... 55 9. ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY... 60 3
4
1. HALMAZOK Halmaz alapfogalom, nem definiáljuk, úgy adjuk meg, hogy minden dologról, tárgyról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy egy adott halmazhoz tartozik vagy sem. A dolgok, tárgyak a halmaz elemei. Jelölések: a halmazokat nagy betűkkel: A, B, H az elemeket kis betűkkel, számokkal:a, b, c,1, 2,.. a eleme az A halmaznak: a A b nem eleme az A halmaznak: b A Halmazok megadása: 1. az elemek felsorolásával: Pl.:A = {1,2,3,4} 2. az elemeket egyértelműen meghatározó utasítással, tulajdonsággal: A = {az egyjegyű prím számok} Halmazok egyenlősége: Két halmaz egyenlő, ha elemeik azonosak. {az egyjegyű prím számok} = {2,3,5,7} Üres halmaz- nincs eleme. Jele: Részhalmaz: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme. Jele:A B. Valódi részhalmaz: Az A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza a B- nek és nem egyenlő vele. Jele: A B. Megjegyzés: A A; A Példa: Add meg az A = {a, b, c} halmaz összes részhalmazát! Megoldás: ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c} Feladatok: 1. Melyik halmaz? a. A 20 pozitív osztói. b. A szép lepkék. c. Osztályunk kitűnő tanulói. d. Magyarország nagy városai. 2. Az alábbi halmazok közül add meg azokat, amelyek közül az egyik halmaz a másik halmaz részhalmaza! A = {1; 2; 3; 4} B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7,8} C = {háromszögek halmaza} D = {szabályos háromszögek halmaza} E = {trapézok halmaza} F = {paralelogrammák halmaza} 5
3. Sorold fel az A={1,2,3,4,5} halmaz összes olyan részhalmazát, amelynek csak prímszámok az elemei! Hány részhalmaza van az A halmaznak? 4. Töltsd ki a következő táblázatot: Halmaz Összes részhalmaz Részhalmazok száma {a} {a, b} {a, b, c} {a, b, c, d} Milyen összefüggést találsz a halmaz elemeinek a száma között és az összes részhalmazok száma között? 5. Adott a H = { 3; 1 ; 0; 1; 3 ; 2; 3; 4} halmaz. Írjuk fel H halmaz következő 2 2 részhalmazait: A = {2 nél kisebb számok} = B = {0 nál nem nagyobb számok} = C = {1 nél nem kisebb számok} = Műveletek halmazokkal Unió: Két halmaz uniója alatt értjük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. A B A B Metszet: Két halmaz metszete alatt értjük a közös elemek halmazát. A A B B Különbség: Az A és B halmazok különbsége az A olyan elemeinek a halmaza, amelyek nincsenek a B halmazban. A A B B 6
Kiegészítő halmaz: Egy A halmaz kiegészítő halmaza az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyek az A halmaznak nem elemei. A A Halmazok elemszáma Az A halmaz elemeink a számát jelöljük a következő képen: A. Például: A={egyjegyű prímszámok}, A = 4. Feladatok: 1. Satírozd be a Venn-diagramon az alatta megadott halmazokat: A B A B A B A B 2. Add meg a Venn-diagramon besatírozott részt halmazművelettel: A B A B 3. Legyen A = {2,4,5,7,8}, B = {1,2,3,6,7,9} és C =. Határozd meg a következő halmazokat: A B; A B; A B; A C; A C. 4. Legyenek az A halmaz elemei 16 pozitív osztói, a B halmaz elemei 24 pozitív osztói, a C halmaz elemei 18 pozitív osztói! Határozd meg a következő halmazokat: A B; A C; B C; A (B C); A C. 5. Ha A B = {1,2,3,4,5,6}, A B = {2,4,6}, A B = {1,3}, add meg az A és B halmazokat. 6. Legyen az alaphalmaz E = {6,7,10,13,14,16,25,26,40,50,75} és A = {x E x osztható 2 vel}, B = {x E x osztható 4 gyel}, C = {x E x osztható 5 tel}. Ábrázold Venn-diagrammal a halmazokat! 7. Adj meg két olyan halmazt, amelyek a. metszete b. különbsége az alábbi halmaz: { 1,0,1} 7
8. Add meg és ábrázold Venn-diagrammal az alábbi halmazokat: A = {20 nál kisebb, 6 tal osztható pozitív egész számok}, B = {15 nél kisebb, 3 mal osztható pozitív egész számok} C = {3n n = 1,2,3} a. Melyik igaz a következő állítások közül? A B, C B. b. Határozd meg: A B, B C, A B C, C A. 9. Legyen A={1,2,3,6,7}, B={2,5,7,9,10}, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Ábrázold Venndiagramon az A, B, U halmazokat. Határozd meg az alábbi halmazokat! A B, A B, A B, A, 10. Határozd meg az A és B halmazokat, ha tudjuk, hogy A B = {2,3,4,5,6,7,10} A B = {2,3} A B = {4,10}. B A 11. Az A halmaznak 7 eleme van, a B halmaznak pedig 9. Legfeljebb hány eleme lehet az A B, A B és A B halmazoknak? 12. Az osztály fele egy kiránduláson evett fagylaltot. 9-en vaníliásat, 11-en csokist, 8- an citromost rendeltek. Vaníliást és csokist 5-en, vaníliást és citromost 3-an, csokist és citromost 4-en kértek. Mindháromból 2-en kértek. Hány fős az osztály? 2. SZÁMHALMAZOK Természetes számok halmaza:n={0,1,2,3,4,5 } Műveletek: összeadás, szorzás. Bármely két természetes szám összege, szorzata természetes szám. Két természetes szám különbsége és hányadosa nem mindig természetes szám. Adj példát! Egész számok halmaza:z={ -3,-2,-1,0,1,2,3 } Műveletek: összeadás, szorzás, kivonás. Bármely két egész szám összege, szorzata, különbsége egész szám. Két egész szám hányadosa nem mindig egész szám. Adj példát! Racionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Racionális számok halmaza:q={ p p, q Z, q 0} q Műveletek: összeadás, szorzás, kivonás, osztás. Bármely két racionális szám összege, szorzata, különbsége, hányadosa racionális szám. 8
Ábrázold Venn-diagramm segítségével a számhalmazok közötti kapcsolatot! Tizedes tört: Végtelen tizedes törtek szakaszos (racionális számok) nem szakaszos 0,1001000100001... (irracionális számok) tiszta 0,3333... vegyes 0,4535353... Valós számoknak nevezzük a racionális és az irracionális számokat, tehát a végtelen tizedes törteket. A valós számok halmaza: R = Q {irracionális számok} A valós számokat a számegyenesen ábrázoljuk. A számegyenes minden pontja egy-egy valós számnak felel meg, és fordítva. Intervallum: két adott valós szám közé eső összes szám halmaza. Feladatok: [a, b] = {x R a x b} [a, b[ = {x R a x < b} ]a, b] = {x R a < x b} ]a, b[ = {x R a < x < b} 1. Melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! a. Minden természetes szám egész szám. b. Minden egész szám természetes szám. c. Minden egész szám racionális szám. d. Van olyan racionális szám, amelyik nem egész szám. e. Minden valós szám racionális szám. 9
2. Ábrázold számegyenesen a következő intervallumokat! [ 1; 2]; ]1; 4]; [ 2; 5[; ]1; [; ] ; 3] 3. Milyen értéket adj x-nek, hogy x 2 kifejezés 3 a. természetes szám, b. egész szám, c. negatív szám, d. 0 legyen? 4. Melyik intervallum a következő halmazok közül? a. A = {x N 2 < x < 4} b. B = {x R x 2} c. C = {x Q 0 x < 4} 5. Melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! a. 3 [0; 3] b. 2 ] 2; 0[ c. 7 ] ; 0] d. 3 N e. 1,3 Z 2 f. Q 5 6. Töltsd ki a táblázatot! Halmaz jelölés Intervallum Ábrázold számegyenesen! {x R 2 < x 3} ]2,5] {x R x 2} ], 1[ 7. Adottak az A = [ 6, 1], B = ] 3,4[ intervallumok. Határozd meg az alábbi halmazokat: A B, A B, A B, B A 8. Legyen A = {x R x 2}; B = ], 3]. Ábrázold számegyenesen és add meg a következő halmazokat: A B, A B, A B, B A 9. Adott A = {xεz 2 x < 5}, B = [ 3,2], C = ]1,6], D = ], 1[, E = {xεr x 2}. a. Ábrázold számegyenesen. Használj színes ceruzát! b. Add meg a következő halmazokat: A B, B C, C D, D E, E D, A B, A D, B C D, D E, B C. 10. Legyen A = {xεr 2x 3 5}, B = {xεr 4 x 9}, C = {xεr 6x + 4 > 2x 8} Ábrázold a halmazokat a számegyenesen. Add meg az alábbi halmazokat: A B; A C; B\A; C\B 10
11. Végezd el a következő műveleteket: a. 44: 11 + ( 100 80): 9 5 8 b. 4 [3 (5 2)] c. ( 56 + 11) 5 3 ( 4) d. {25 + [ 35 + 10 ( 15 + 20) + 100] 90} (6 3) e. 7: 3 1 2 ( 9) 4 3 f. g. h. i. j. k. m. 2 3 1 21 + 15 : 5 5 4 3 5 16 8 2 5 + 7 + 1 2 3 6 12 24 1 3 + 2 7 3 2 7 1 3 + 2 5 4 3 1 2 3 +1 4 1 6 4 15 l. (1 n. 4 20 3 12 20 16 : 49 7 9 3 2 1 ) (1 2 +1 6 1 6 1 ) 2 1 6 3 + 5 4 6 : 6 8 16 80 40 20 40 9 4 + 3 : 9 2 18 36 16 32 o. (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) 4 9 16 25 36 49 64 (1 1 81 ) (1 1 100 ) 12. Mennyi 1 2 3 és 6 reciprokának szorzata? 5 del nagyobb? 13. Melyik az a szám, amely 7 és 2 3 5 összegénél 3 5 14. Ha 4 kg körte ára 600 Ft, akkor mennyibe kerül 3 kg körte? 4 15. Egy üzem 87 gőzmozdonyt készített. Ez a megrendelés 3 része volt. Hány 4 mozdonyt rendeltek az üzemtől? 16. Mennyi a 14 2 nek a 4 ed része? 5 9 17. Melyik az a szám, amelyiknek 5 15 -e? 7 14 11
18. Melyik nagyobb? A = (1 + 1 6 1 2 1 ) (1 6 1 6 1 2 + 1 ) vagy B = (1 + 6 1 2 1 2 1 ) (1 6 1 2 1 2 + 1 ) 6 3. HATVÁNYOK Pozitív egész kitevőjű hatvány: a n = 0 kitevőjű hatvány: a 0 = 1, a R, a 0 Megjegyzés: 0 0 nem értelmezett a a a a, nεn, n 0, a R n darab tényező Negatív egész kitevőjű hatvány: a n = 1 n, n N, n 0, a R {0} a hatvány alapja a n hatvány kitevő Azonosságok: Legyen a, b R {0}, m, n Z Azonos alapú hatványok szorzata: Azonos alapú hatványok hányadosa: Hatványnak hatványa: Azonos kitevőjű hatványok szorzata: Azonos kitevőjű hatványok hányadosa: a n a m = a n+m a n am = an m (a n ) m = a n m a n b n = (a b) n a n b n = (a b )n Feladatok: 1. Számítsd ki a következő hatványok értékét: 3 4 ; 2 3 ; 4 2 ; ( 5) 3 ; 3 2 ; 5 1 ; 100 0 ; 10 3 ; 6 2 ; ( 2) 4 2. Negatív hatványkitevő alkalmazásával írd fel a következő számokat: 1 2 ; 1 9 ; 1 32 ; 1 64 ; 1 25 ; 1 10 ; 1 100 12
3. Végezd el a kijelölt műveleteket: 2 3 2 4 ; 3 2 3 5 ; 4 2 4 6 ; 5 6 5 4 4. Add meg a következő műveletek végeredményét: a. 3 0 + ( 3) 0 b. 1 + ( 2) 0 3 1 + ( 3) 2 c. 4 2 + 2 3 d. 234 3 234 3 e. ( 1 2 )2 + ( 1 3 )2 f. ( 2 3 ) 1 + ( 12 8 )2 g. h. 2 3 +2 4 +2 5 2 4 +5 2 5 4 13 4 12 +3 4 11 4 9 +4 8 2 4 10 i. 4 1 + ( 2 3 ) 2 j. 6 6 8 k. 3 6 7 2 5 3 +5 2 2 5 2 3 5 3 5. Végezd el a következő műveleteket: a. 2 4 2 3 ; 3 5 3 4 ; 5 5 3 ; a 8 a 6 b. 2 6 2 4 ;104 ; 4 3 x5 ; 10 5 4 6 x 6 c. (5 4 ) 2 ; (2 3 ) 4 (2 1 ) 5 ; (6 3 ) 2 (6 4 ) 3 d. 15 2 ( 1 25 )2 ; ( 9 4 )3 ( 8 3 )3 e. (x y 3 ) 2 ; (a 2 b 3 ) 4 f. g. 2 4 6 3 4 7 3 5 (3 4 ) 2 27 2 12 4 6 7 8 2 6. Melyik szám nagyobb? a. 10 20 vagy 20 10, b. 2 69 vagy 3 46. 7. Melyik halmaznak van több eleme? A = {x N 2 2014 x 2 2015 } vagy B = {y N y 2 2014 }. 8. Melyik szám nagyobb? a. a = 10 4 + 3 10 2 + 2 10 1 + 5vagy b = 10 4 + 4 10 3 + 6 10 2 + 1 b. a = 10 1 + 3 10 3 + 4 10 5 vagy b = 10 2 + 2 10 4 + 5 10 5 13
Számok normál alakja Pozitív szám normál alakja az a két tényezős szorzat, amelynek egyik tényezője 1 és 10 közé eső szám, másik tényezője pedig 10 egy egész kitevőjű hatványa. x = a 10 k, 1 a < 10, k Z 1. Írd fel a következő számokat normál alakban:145; 6 000 000; 0,12345; 0,0023; 15,2 2. Írd át helyiértékes alakba: 4,35 10 3 ; 5,1 10 6 ; 1,23 10 3 3. Számológép használata nélkül végezd el a kijelölt műveleteket és add meg az eredményt normál alakban! a. 5 10 4 + 3 10 5 b. 7 10 3 6 10 4 c. d. 2,1 10 4 +4 10 3 0,002 5 10 5 4 10 7 3 10 6 4. A fény terjedési sebessége 300 000 km/s. Mennyi idő alatt teszi meg a fény a Nap és a Föld közötti távolságot, ha távolságuk 149,6 millió km? 5. Mekkora a fényévtávolság? (Mekkora utat tesz meg a fény 1 év alatt?) 4. OSZTHATÓSÁG Legyenek a és b természetes számok. Az a szám osztója a b számnak, ha van olyan c természetes szám, melyre b=ac. Azt mondjuk, hogy b többszöröse a-nak. Jelölés: a b (a osztja b-t); a b ( a nem osztja b-t) Maradékos osztás tétele: Legyenek a és b természetes számok, a 0, akkor van olyan p és q természetes szám, amelyekre: b = a q + r, ahol 0 r < a. Pl: 35 = 8 4 + 3, tehát a 35-ben a 8 megvan 4-szer, a maradék pedig 3. 6 18, mert 18 = 6 3 Megjegyzés: Minden szám osztható 1-gyel és önmagával. Ezeket a szám nem valódi osztóinak nevezzük. A többi osztó, ha van, a szám valódi osztói. 14
Oszthatósági szabályok:rendszerezzünk aszerint, hogy mit kell nézzünk, mikor keressük egy szám osztóit: az utolsó számjegy utolsó két számjegy utolsó három számjegy oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel oszthatóság 4-gyel, 25-tel,50-nel, 100-zal oszthatóság 8-cal, 1000-rel számjegyek összege oszthatóság 3-mal, 9-cel Pl: Vizsgáljuk meg az alábbi számokat a fenti szempontok szerint: 3642: Mivel az utolsó számjegy páros, ezért a szám osztható 2-vel. A számjegyek összege 15, ezért a szám osztható 3-mal is. Kérdés: Milyen számmal osztható még 3642? 2025: Utolsó számjegy 5, ezért a szám osztható 5-tel. Utolsó két számjegyből álló szám 25, ezért a szám osztható 25-tel. A számok összege 9, tehát a szám osztható még 9-cel is. A természetes számokat osztályozhatjuk osztóik száma szerint: 1 Természetes számok Prím számok-két osztójuk van, 1 és önmaguk Összetett számok-kettőnél több osztójuk van A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám egyértelműen felbontható prímszámok szorzatára. Pl: Bontsd fel prímszámok szorzatára: 234 = 2 3 2 13 234 2 117 3 39 3 13 13 1 Tétel: Egész szám pozitív osztóinak száma: Ha x egész szám prímfelbontása: x = p 1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p k a k, akkor az x pozitív osztóinak száma (a 1 + 1)(a 2 + 1)(a 3 + 1) (a k + 1) 15
Legnagyobb közös osztó: Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztók közül a legnagyobb. Jelölés: (a, b) Megkapjuk, ha a számokat prímtényezőkre bontjuk és a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványkitevővel összeszorozzuk. Legkisebb közös többszörös: Két pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse a közös többszörösük közül a legkisebb. Jelölés: [a, b] Megkapjuk, ha a számokat prímtényezőkre bontjuk és a közös és nem közös prímtényezőket az előforduló legnagyobb hatványkitevővel összeszorozzuk. Relatív prímszámoknak nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek legnagyobb közös osztójuk 1. Feladatok: 1. Ha a és b természetes számok, akkor melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! a. Ha a+b páros szám, akkor a és b páros. b. Ha a+b páros, akkor a vagy b páros. c. Ha a b páros, akkor a és b páros. d. Ha a b páros, akkor a vagy b páros. e. Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 9-cel is. f. Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 3-mal is. g. Bármely két prímszám különbsége páratlan szám. h. Bármely, 2-nél nagyobb prímszám összege prímszám. 2. Fogalmazz meg szabályt 12-vel; 15-tel; 18-cal; 36-tal való oszthatóságra! 3. Osztható-e 9-cel a 10 2014 + 8 szám? 4. Lehet-e 2-nél nagyobb két prímszám összege prímszám? 5. Igazold, hogy az abba alakú számok oszthatók 11-gyel. 6. Igazold, hogy 7 2 n+2 + 2 n+1 + 2 n, ahol n N. 7. Milyen számjegyet írjunk az ismeretlen számjegy helyére, ha: a. 3 23x6 b. 4 23x8 c. 5 261x d. 6 357x 8. Milyen számjegyek írhatók x és y helyére, ha: 12 112y5x 15 24y7x 18 67y8x 9. Bontsd fel prímtényezők szorzatára a következő számokat: 630; 2520; 501; 568. 16
10. Határozd meg a következő számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! a. 31500; 1650; b. 396; 168; c. a 4 b 2 c 5 d; a 3 c 3 d 2 e 2. 11. Mennyi (36,96) [36,96] 12. Egyszerűsítsd a következő törteket: 3780 ; 7875 ; 364 198 2450 338. 13. Legyen A = {7a8b 15 7a8b Add meg A B; A B, A B halmazokat! }; B = {7x8y 40 }. 7x8y 14. Add meg azokat az x egész számokat, amelyekre 6 a. Z x 5 b. Z x 3 15. Egy számlán 72 kg alma ára 47 Ft. Sajnos az első és az utolsó számjegy olvashatatlan. Mennyibe került egy kg alma? 16. A Naprendszer három, a Naphoz legközelebbi bolygóinak Napkörüli forgásideje megközelítőleg 88, 225, illetve 365 földi nap. Ha egy bizonyos napon a Nap és a három bolygó egy egyenesen helyezkednének el, hány év múlva fordulna elő újra a jelenség? 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK Add meg a mellékelt ábrákon világosabb színnel jelölt síkidomok területét! Algebrai kifejezést kapunk, ha betűket, számokat kötünk össze a négy alapművelettel. A betűket ismeretlennek vagy változónak nevezzük. 17
Alaphalmaz az a halmaz, amelynek elemeit betűkkel helyettesítettük. Értelmezési tartomány az a legbővebb részhalmaza az alaphalmaznak, amelyen a kijelölt műveletek elvégezhetők. Osztályozzuk: egyváltozós kifejezés Pl:3a, 4x 2 a bennük szereplő betük száma szerint kétváltozós kifejezés Pl:2a-3b; x+5y több változos kifejezés Pl:xyz; 2x+4y-4z+t szerepel a kifejezésben tört, vagy sem algebrai egész típúsú kifejezésnincs benne olyan tört melynek nevezője ismeretlent tartalmaz Pl:4x+4y-1 algebrai tört kifejezés-van a nevezőben ismeretlen Pl: x 5 x+2 Egytagú kifejezés: Pl. 3x 2 y Két egytagú kifejezést egyneműnek nevezünk, ha csak együtthatójukban különböznek. Polinom (többtagú egész kifejezés) Pl. 2x 2 + 3x 1 A polinom fokszáma a legmagasabb fokú tagjának a fokszáma. Helyettesítési érték az az érték, amelyet úgy kapunk, hogy a változók helyére konkrét számokat helyettesítünk és elvégezzük a kijelölt műveleteket. Műveletek: összeadás, szorzás 18
Feladatok: 1. Végezd el a következő műveleteket: a. 4a+3a; 5x-4x; 7xy+11xy-4xy; 2x 2 + 4x 2 5x 2. b. 15x + 4 [5 (6x + 4) (x + 6)] c. 1 2 a3 2 3 a3 + 1 4 a3 ; 3 5 x2 5 3 x2. d. 6 {x [2x (x + 7)]}; (x + y z) (x y + z) ( x + y + z). e. 6x 2 + 4x 3 + 5x 2 2x + 4; 8x 2 4x + 9 (7x 2 2x + 6). f. 5ab + 2a 2 b 3ab 4a 2 b; 7a 2 b 3ab + 5ab 2 (2a 2 b 3ab + 6ab 2 ). g. 10ab 2 c 4abc 2 + 3a 2 bc + (5ab 2 c + 6abc 2 7a 2 bc) h. 2 3 2 x2 + 1 5 3 x 5 (4 3 x2 5x 3 2 ) i. 3(x + 4) 2(x 3); 4(x 2 x + 2) 5(x 2 + 4x 3). j. 4x 2 y + 5xy 2 2(x 2 y 5xy 2 ); 6(a + b c) 2(a b + c). 2. Végezd el az alábbi szorzásokat: a. 2a 2 b 3 5a 3 b 4 ; 6a 2 b 3 c 2 ( 9a 4 b 5 c 3 ); b. 4x 3 y 2 ( 7y 5 ); 4 3 x2 y 4 9 8 x3 y 5. 5 36 a2 b 5 16 75 a4 b 3 ; 7 8 x3 y 5 z 4 ( 24 21 x2 y 4 z 2 ). c. a(a b); 2a(3a + 2b); 5x 2 (x 4); 2x(x 2 4x + 3). d. 4x(x 3 2x 2 + x 4); 1 2 x2 ( 4 3 x 6 5 ); 3ab2 (a b). e. (a 2b) (2a + b); (2a 3b) (3a + 2b); (5xy 2 1) (x + y). f. (5a 4b) (2a + 5b); (3x 2 x + 1) (2x 2 + x 5). g. (6x y 2 ) (4x 2 + y). h. 3x 2 (x + 2) (x 2 + 2) (x + 1) (x 2 + 1) (x + 2) + 3(x + 4) (x 2) i. 2(x 2) (x + 1) 3(x + 3) (x 4); j. 3(x 2 2) (x + 3) 4(x 2 3) (x + 2). Nevezetes szorzatok Két tag összegének és különbségének szorzata: (a + b) (a b) = a 2 b 2 http://tube.geogebra.org/material/show/id/22224 Feladatok: Tanuld meg: Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a két tag négyzetének különbségével. 3. Végezd el a kijelölt műveleteket: a. (x + 1) (x 1), (x + 2) (x 2); (x + 3) (x 3); b. (2x 1) (2x + 1); (3x + 2) (3x 2); (4x + 3) (4x 3). c. (2x y) (2x + y); (2x + 3y) (2x 3y); (3x + 4y) (3x 4y). 19
d. (5a 4b) (5a + 4b); (6a + 4b) (6a 4b); (7a + 8b) (7a 8b). e. ( 1 2 + x) (1 2 x); (2x 2 3 y) (2x + 2 3 y); (2 5 x + 3 7 y) (2 5 x 3 7 y). f. (x 2 2) (x 2 + 2); (2x 2 3y 3 ) (2x 2 + 3y 3 ); (2x 2 y 3x 4 ) (2x 2 y + 3x 4 ) 4. Írd fel két tényezős szorzat alakban: a. x 2 1; x 2 4; x 2 9; x 2 16; x 2 25; x 2 1 4. b. 4a 2 9; a 2 16b 2 ; 36a 2 81b 2 ; 4 9 a2 25 49 b2. Két tag összegének négyzete: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 http://tube.geogebra.org/material/show/id/18833 Tanuld meg: Két tag összegének négyzete egy háromtagú összeg, amelynek tagjai: az első tag négyzete a két tag szorzatának kétszerese a második tag négyzete. Két tag különbségének négyzete: Feladatok: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 5. Végezd el a kijelölt műveleteket: a. (x + 1) 2 ; (x + 2) 2 ; (x 3) 2 ; (x 4) 2 ; (x y) 2. b. (2x + 6) 2 ; (3x 2y) 2 ; (4a + 3b) 2 ; (5x 4y) 2. c. ( 1 x + 2 2)2 ; ( 4 x + 3 5 2 y)2 ; ( 2 x 3 7 4 y)2 ; ( 5 x 3 y).2 2 4 d. (x 2 + 2) 2 ; (x 2 y 3 ) 2 ; (2x 2 + 3y 2 ) 2 ; (4xy 3 3x 2 y 5 ) 2. e. ( 1 3 x 5 2 y2 ) 2 ; ( 9 4 x3 y 4 + 2 3 x2 y 3 ) 2. 20 6. Melyik kéttagú kifejezés négyzete? a. a 2 + 2ab + b 2 ; x 2 2x + 1; x 2 + 2xy + y 2 ; p 2 6p + 9. b. x 2 10x + 25, x 2 8xy + 16y 2 ; 4x 2 + 4x + 1; c. 36m 4 + 12m 2 n + n 2. 7. Egészítsd ki a hiányzó részeket: a. x 2 + + 4 = ( ) 2 ; x 2 + + 9y 2 = ( ) 2. b. a 2 + + 9 = ( ) 2 ; 9a 2 + 16 = ( ) 2. c. 4x 2 + + 16y 2 = ( ) 2
d. a 2 4ab + = ( ) 2 8. Végezd el a kijelölt műveleteket: a. (x + 7) 2 (2x 3) 2 + (3x + 2) (3x 2) b. (3x 2y) 2 + (2x + 3y) 2 (4x y) (4x + y) c. (6a 5) 2 (3a 2) (3a + 5) d. (2x + 4) 2 + (5x 3) 2 (7x + 2) (7x 2). 9. Számold ki ügyesen (számológép használata nélkül)! 19 21; 98 102; 47 53; 95 105. 10. Melyik szám nagyobb: 2357 2363 vagy 2360 2? 11. Az ábrán látható telek területe 33 cm 2. Mekkora a kerülete? Két szám összegének (különbségének) a köbe: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 http://tube.geogebra.org/material/show/id/134173 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 Feladatok: 1. Egy kocka alakú edénybe 64 cm 3 víz fér. Mennyi az edény oldala? Mennyivel több víz fér az edénybe, ha az edény minden oldalát x cm-rel megnöveljük?(a különbséget add meg polinom formájában.) 2. Két szám összege 10, szorzatuk 24. Mennyi a két szám köbének az összege? Polinomok szorzattá alakítása Szorzattá alakítás kiemeléssel: akkor alkalmazzuk, ha a tagokban van közös tényező. 3xy + 4x = x(3y + 4) 20x 2 + 14xy = 2x 10x + 2x 7y = 2x(10x + 7y) Szorzattá alakítás a tagok csoportosításával és kiemeléssel: ax + by + ay + bx = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) 21
Szorzattá alakítás a nevezetes szorzatok alkalmazásával: két tag összegének négyzete 9x 2 + 6x + 1 4y 2 = (9x 2 + 6x + 1) 4y 2 = (3x + 1) 2 4y 2 = (3x + 1 2y)(3x + 1 + 2y) két négyzet különbsége Alakítsuk teljes négyzetté: x 2 + 6x + 8 = (x 2 + 2 3 x + 3 2 ) 3 2 + 8 = (x + 3) 2 9 + 8 = (x + 3) 2 1 Algebrai tört. Értelmezési tartomány. Műveletek. Algebrai törtnek nevezzük két polinom hányadosát. Algebrai tört értelmezési tartománya az a legbővebb részhalmaza a valós számok halmazának, amelyen a kijelölt műveletek elvégezhetők. Mivel 0-val nem lehet osztani, ezért kikötést teszünk a nevező miatt: nevező nem lehet 0. 12. Hol vannak értelmezve a következő kifejezések? x 3 ; x 3 ; 2x+3 ; 5x 5 ; y+6 ; 3. 2 x+2 3x 4 4x+2 y x 2 +1 Egyszerűsítés: csak tényezőket szabad egyszerűsíteni, ezért először tényezőre bontjuk a számlálót és a nevezőt is a törtkifejezés értelmezési tartománya egyszerűsítés után sem változik 13. Egyszerűsítsd a következő törteket: a. b. c. d. 120 ; 33 ; 154 ; 720. 360 121 132 1440 x 4 x 3; x 6 x 4; 15x 7 ; 10x8 y 3. 5x 3 5x 4 y 2 x 2 +3x x x 2 4 ; x+2 ; 5x 4 6x 3 ; x 2 x 2 9 x+3 ; 8x 7 y 8 5x 5 y 9 x 5 y 6. x+5 x 2 25 ; x 7 x 2 49 ; 2x+6 4x 2 36. Szorzás: törtet törttel úgy szorzunk, hogy a számlálót szorozzuk a számlálóval, nevezőt a nevezővel ha lehet, akkor egyszerűsítsünk 22
Példa: x + 3 x 2 3 x + 2 = 3x + 9 x 2 4 Osztás: Példa: törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztandót szorozzuk az osztó reciprokával ha lehet, akkor egyszerűsítsünk 3x + 3y (x + y)2 : 2x 2y x 2 y 2 = 3(x + y) (x y)(x + y) 2(x y) (x + y) 2 = 3 2 Összeadás, kivonás: Algebrai törtek összevonásánál ugyan úgy járunk el, mint a racionális törtek összevonásánál. ha a nevezők megegyeznek, akkor összeadjuk a számlálókat. ha a nevezők különböznek, akkor szorzattá alakítjuk a nevezőket megkeressük a közös nevezőt (a nevezők legkisebb közös többszöröse) bővítjük a törteket és elvégezzük az összevonásokat ha lehet, egyszerűsítsünk 1 x + 1 + x 1 2 x x 1 = 2(x 1) + (x + 1)(x 1)2 2x(x + 1) = 2(x + 1)(x 1) 23
6. FÜGGVÉNYEK Derékszögű koordináta-rendszer: -két egymásra merőleges számegyenes segítségével meghatározzuk bármely pont helyzetét a síkon. Jelölés: P(x;y) Az (x;y) rendezett számpárt a pont koordinátáinak nevezzük. Feladatok: 1. Ábrázold a koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(1;-4), B(-3,-4), C(2;5), D(0;4), E(3;0). 2. Add meg az ábrán lévő pontok koordinátáit! 3. Add meg az összes olyan pontot a koordináta-rendszerben, amelyeknek: a. első koordinátája 0; b. második koordinátája 0; c. első koordinátája 4; d. második koordinátája 0. e. a második koordináta 2-vel kisebb, mint az első. f. az első koordináta fele a második koordinátának. 4. Rajzold meg a koordináta-rendszerben azoknak a pontoknak a halmazát, amelyekre: a. 1<x<2 b. -2<y<1 c. -1<x<2 és 0 y 2 d. x [1; 2]és y ] ; 1] Függvény fogalma, megadása, grafikon Def: Legyen A és B két nem üres halmaz. Függvénynek nevezünk egy megfeleltetést, amely az A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeli a B halmaz egy elemét. 24
Jelölés: f: A B, x f(x). A a függvény értelmezési tartománya, jelöljük még: D f B a függvény képhalmaza. A függvényképek halmaza a képhalmaz részhalmaza, és értékkészletnek nevezzük, jele: R f x a változó, f(x) = y a függvény képe x-ben, vagy a függvény értéke x-ben. Függvény megadása: diagrammal; értéktáblázattal; szabállyal, képlettel. Függvény grafikonja alatt értjük az (x;f(x)) rendezett elempárok halmazát, ahol x D f. Ha D f és R f részhalmazai a valós számok halmazának, akkor a függvény grafikonja ábrázolható a koordináta rendszerben, az így kapott ponthalmaz a függvény képe (grafikonja). Feladatok: 5. Melyik függvény a következő hozzárendelések közül? A függvények esetén add meg az értelmezési tartományt és az értékkészletet! Melyik függvény kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés? a. Az iskola minden osztályához hozzárendeljük az osztályfőnököt. b. Az iskola tanáraihoz hozzárendeljük azokat az osztályokat, amelyekben tanítanak. c. Osztályod minden tanulójához hozzárendeljük a szeme színét. d. Minden magyar állampolgárhoz hozzárendeljük a személyigazolványuk számát. e. Minden könyvhöz hozzárendeljük a szerzőjüket. f. Minden egész számhoz hozzárendeljük a szám négyzetét. g. Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit. h. Minden egész számhoz hozzárendeljük az egész osztóinak számát. i. A számegyenes minden pontjához hozzárendeljük a pont koordinátáját. 6. Egy héten keresztül minden reggel 7 órakor megmértük a teraszon a hőmérsékletet. Az eredményeket az alábbi táblázatba írtuk. hétfő kedd szerda csütörtök péntek szombat vasárnap 19 20 21 20 17 16 18 Függvényt határoz meg? Ha igen, akkor ábrázold a függvényt! 25
7. Az alábbi ábrák közül melyik függvény? Válaszodat indokold! 1. ÁBRA 2. ÁBRA 3. ÁBRA 8. Felhasználva a függvényhez rendelt diagramokat, határozzuk meg az összes olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya A={1;2} halmaz, értékkészlete pedig B={0;4}. 9. Adott f: N N, f(n) legyen 3 n szám utolsó számjegye. a. Számítsd ki f(0); f(1); ; f(7) értékeket. b. Igazold, hogy f(n + 4) = f(n), bármely n természetes szám estén. c. Ábrázold grafikusan a függvényt! Lineáris függvény, meredekség, zérushely Legyen f: R R, f(x) = a, ahol a egy állandó valós szám. Az f függvényt állandó függvénynek nevezzük. Példa: f(x) = 2, x R. A függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes. Az f: R R, f(x) = ax + b, a 0, a, b R, függvényt elsőfokú függvénynek nevezzük. Példa: f(x) = 2x, x R. Ábrázoljuk a fűggvényt! Készítsünk értéktáblázatot: x -1 0 1 2 3 4 f(x) -2 0 2 4 6 8 26
A táblázatba csak néhány értéket tüntettünk fel. Az 1. ábrán a számítógép segítségével sűrítettük a pontokat. Arra következtettünk, hogy a függvény grafikonja egy egyenes. Megjegyzés: Mivel az elsőfokú függvények grafikonja egyenes, és az egyenest egyértelműen 2. ÁBRA 1. ÁBRA meghatározza két különböző pontja, ezért elegendő az ilyen függvények ábrázolásánál két pontot felvenni a táblázatban. Legyen f(x) = ax + b, a 0 függvény. Meredekség: Az a számot a függvény meredekségének nevezzük, azt mutatja meg, hogy ha x-et 1-gyel növeljük, akkor a függvény érték változása a. Jelölik még m-mel (3. ábra). A b az egyenes és az y tengely metszéspontjának második koordinátája. Vagyis f(0) = b (4. ábra). Tengelymetszeteknek nevezzük a függvény grafikonjának a tengelyekkel való metszéspontjait. 3. ÁBRA Az x tengelyen lévő metszéspontot zérushelynek nevezzük, mert azt az x értéket jelenti, ahol a függvény értéke 0. Tehát, zérushelynek nevezzük az értelmezési tartomány azon értékeit, ahol a függvényérték 0. Meghatározása: megoldjuk az f(x) = 0 egyenletet. Lineáris függvényeknek nevezzük azokat, amelyeknek grafikonja egyenes, tehát az állandó és az elsőfokú függvényeket. 4. ÁBRA 27
Feladatok: 10. Ábrázold a következő függvényeket: a. f 1 : {0,1,2,3} { 3, 2, 1,0}, f 1 (x) = x, b. f 2 : ] ; 0] [0; [, f 2 (x) = x, c. f 3 : R R, f 3 (x) = x, d. f 4 : [0; 5] [ 5; 0], f 4 (x) = x, e. f 5 : [0; 3] {5}, f 5 (x) = 5. 11. Adott f(x) = 1 2 x + 7. a. Mennyi a függvény értéke -4-ben?(Mit rendel a függvény -4-hez?) b. Hol veszi fel a függvény a 14 értéket? (Mihez rendeli a függvény a 14-et?) c. Illeszkedik-e a függvény képére az A(2;6) pont? d. Add meg a következő pontok hiányzó koordinátáit, ha tudjuk, hogy a pontok illeszkednek a függvény, grafikonjára! B( ;5), C(-1; ), D(0; ), E(,0). 12. Ábrázold a következő függvényeket: a. f 1 (x) = 3x 4, x R; b. f 2 (x) = 3 x + 1, x R, 4 c. f 3 (x) = 5x + 2, x R, d. f 4 (x) = 2 x + 1, x R, 3 e. f 5 (x) = x + 3, x N, f. f 6 (x) = 3x + 2, x Z, g. f 7 (x) = 1 x 2, x [ 3; 3], 3 h. f 8 (x) = 2x + 3, x [ 4; 1]. 13. Ábrázold a következő függvényeket. Minden esetben add meg a függvény értékkészletét, zérushelyét (számolással), metszetét az y tengellyel. a. f 1 (x) = 2x 4, x Z, x 3, x [ 5,10[, c. f 3 (x) = 3 b. f 2 (x) = x + 1, x [ 2; 3], 5 2 d. f 4 (x) = 2x + 4, x [ 2; 1]. 14. Ábrázold ugyanabban a koordináta rendszerben a következő függvényeket. Milyen kapcsolatot találsz a függvények grafikonjai között? a. f(x) = 1 x, 2 g(x) = 1 x + 1, 2 h(x) = 1 x 2. 2 b. f(x) = x, g(x) = 3x, h(x) = 1 x, 2 c. f(x) = x + 2, g(x) = x 2, h(x) = 2(x + 2). 28
Abszolútérték-függvény. Szélsőérték. Egy szám abszolút értéke egyenlő a szám nullától való távolságával. Vagyis, egy pozitív szám abszolút értéke önmaga, a 0 abszolút értéke önnmaga, egy negatív szám abszolút értéke pedig a szám ellentetjével egyenlő. Ezt a következőképpen fogalmazhatjuk meg: x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 Abszolútérték-függvény: x, ha x 0 f: R R, f(x) = { x, ha x < 0. A függvény legkisebb értékét a függvény minimumának nevezzük. Az értelmezési tartomány azon elemét, amelyben a függvény felveszi a minimumát, minimumhelynek nevezzük. A függvény legnagyobb értékét a függvény maximumának nevezzük. Az értelmezési tartomány azon elemét, amelyben a függvény felveszi a maximumát, maximumhelynek nevezzük. Feladatok: 15. Jelöld meg a számegyenesen azokat a számokat, amelyeknek abszolút értéke a. 2, b. kisebb 2-nél; c. nem nagyobb 2-nél; d. nagyobb 1-nél; e. 1 és 3 között van. 16. Ábrázold közös koordináta rendszerben, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Milyen kapcsolat van a függvények grafikonjai között?(hasonlítsd össze mindegyiket az f1 grafikonjával!) f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = x + 3, f 4 (x) = x + 2, f 5 (x) = 2 x, f 6 (x) = x. 17. Ábrázold a következő függvényeket. Add meg a függvények értékkészletét! f(x) = 1 2 x + 2 4, x [ 4; 3], g(x) = x 4 + 3, x [ 2; 8], 29
h(x) = x + 2 3, i(x) = x 1 1 1. Megjegyzés: Függvény transzformáció: az az eljárás, amely során egy függvény grafikonját egy másik függvény grafikonjából rajzolunk meg, geometriai transzformációk segítségével (eltolás, nyújtás, összenyomás, tükrözés). 1. Eltolás az y tengely mentén: g( x ) = f( x ) + c A g függvény grafikonját megkapjuk, ha az f függvény grafikonját az y tengely mentén önmagával párhuzamosan eltoljuk c egységgel, ha c > 0 akkor pozitív irányba, ha pedig c < 0, akkor negatív irányba. Az értelmezési tartomány nem változik. A mellékelt ábrán c = 2. 2. Eltolás az x tengely mentén: g( x ) = f( x - a ) A g függvény képét úgy kapjuk meg, hogy f grafikonját az x tengely mentén a-val eltoljuk, ha a>0, akkor pozitív irányba, ha pedig a < 0, akkor negatív irányba. Az eltolás után az értékkészlet változatlan marad, de az értelmezési tartomány megváltozhat. A mellékelt ábrán a= 2. 3. Tükrözés az x tengelyre: g( x ) = - f( x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az x tengelyre. Az értelmezési tartomány és a zérushelyek nem változnak. 30
4. Tükrözés az y tengelyre: g( x ) = f( - x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az y tengelyre. A tükrözés az értelmezési tartományt megváltoztathatja, de az értékkészletet nem. 5. Nyújtás (zsugorítás) az y tengellyel párhuzamosan: g( x ) = c f( x ) A g függvény képét megkapjuk, ha az f grafikonját y tengely irányában c- szeresére megnyújtjuk, ha c>1, illetve összenyomjuk, ha 0 < c < 1. A transzformáció az értelmezési tartományt nem változtatja meg, de a függvényértékek c- szeresére változnak. A zérushelyeket nem változtatja meg. A mellékelt ábrán c=1/2. 6. Nyújtás (zsugorítás) az x tengellyel párhuzamosan: g( x ) = f( ax ) A g(x) = f(ax) függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy az f képét az x tengely irányában 1/a- szeresére megnyújtjuk, ha 0 < a < 1, illetve összenyomjuk, ha a > 1. A transzformáció az értékkészletet nem változtatja meg. Az eredeti görbe és az y tengely metszéspontja helyben marad. A mellékelt ábrán a = 2. 7. A g függvény grafikonja az f grafikonjából úgy állítható elő, hogy ott ahol az f értéke pozitív, azt a görbe darabot változatlanul hagyjuk, azt a részt pedig ahol az f értéke negatív, azt tükrözzük az x tengelyre. 31
8. f grafikonjából g úgy állítható elő, hogy az x 0 értékekhez tartozó részt tükrözzük az y tengelyre, az x<0 értékekhez tartozó görberészt elhagyjuk. Feladatok: 18. Ábrázold és jellemezd a következő, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! f(x) = x + 1 2, i(x) = x + 3 + 5, g(x) = 3 x 2 + 1, j(x) = 3 x 2 + 1. h(x) = x + 4, 19. Melyik függvény grafikonját látod az alábbi ábrákon? 1. ÁBRA 2. ÁBRA 3. ÁBRA 4. ÁBRA 32
5. ÁBRA 6. ÁBRA f: R R, f(x) = x 2. A függvény grafikonja: parabola Másodfokú függvény. Függvények monotonitása: Def: Egy függvényt szigorúan monoton növekvőnek nevezünk egy halmazon, ha a változók növekedéséből következik a függvényértékek növekedése. Egy függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezünk egy halmazon, ha a változók növekedéséből következik a függvényértékek csökkenése. 1. SZIGORÚAN MONOTON NÖVEKVŐ 2. SZIGORÚAN MONOTON CSÖKKENŐ 33
Feladatok: 20. Add meg: D f, R f, szélsőértékek, menete, zérushelyek. 21. Adott az f(x) = (x + 1) 2 2 függvény. a. Hol veszi fel a függvény a 2 értéket? b. Mennyi a függvény értéke 3-ban? 22. Ábrázold és jellemezd a következő, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Zérushelyeknek csak a száma érdekel, vagyis mennyi van! a. f(x) = x 2 + 1, g(x) = x 2 2, h(x) = 2x 2. b. f(x) = x 2, g(x) = x 2 + 1, h(x) = 3x 2. c. f(x) = (x + 2) 2, g(x) = (x 1) 2, h(x) = 2(x + 3) 2. d. f(x) = (x + 2) 2 1, g(x) = (x 3) 2 + 1, h(x) = 3(x 1) 2 4. e. f(x) = 1 2 (x + 5)2 +4, g(x) = 2(x + 3) 2 + 1. 23. Ábrázold és jellemezd (értékkészlet, szélsőérték, menete szempontjából) a következő függvényeket: a. f(x) = 2(x 4) 2 3, x [2; 5], b. g(x) = (x + 2) 2 + 3, x [ 3; 0], c. h(x) = 1 2 (x + 1)2 2, x [ 5; 3], d. i(x) = x 2 2, x R. 24. Melyik függvény grafikonját látod az alábbi ábrákon? 1. ÁBRA 2. ÁBRA 3. ÁBRA 34
Tört függvény f: R {0} R, f(x) = 1 x A függvény grafikonja a hiperbola. Feladat: Jellemezd a tanult szempontok szerint a függvényt!milyen más tulajdonság fedezhető fel a grafikon alapján? (Hasonlítsd össze az abszolútérték függvény grafikonjával és ellemezd szimmetria szempontjából.) Def. Egy halmazt szimmetrikusnak nevezünk, ha elemei szimmetrikusak az origora nézve. Def.: Egy függvényt páros függvénynek nevezünk, ha: a. a Df értelmezési tartomány szimmetrikus halmaz b. f(-x)=f(x), minden x Df esetén Def.: Egy függvényt páratlan függvénynek nevezünk, ha: a. a Df értelmezési tartomány szimmetrikus halmaz b. f(-x)= -f(x), minden x Df esetén Megjegyzés: A páros függvények grafikonja szimmetrikus az y tengelyre nézve, a páratlan függvények grafikonja pedig szimmetrikus az origora nézve. Feladat: Adj pédát páros és páratlan függvényekre! Egyenes és fordított arányosság Feladat: Egy kg alma ára 145Ft. Töltsd ki az alábbi táblázat üres mezőit! Memnnyiség (kg) 1 1,5 2 3 5 Ár Ha x-szel jelőljük az alma mennyiségét, akkor az f(x)=145x függvény fejezi ki az x kg alma árát. A függvény értéke és x hányadosa állandó. Az ilyen mennyiségeket egyenesen arányos mennyiségeknek nevezzük (ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik ugyanannyiszeresére nő). 35
Feladat: Próbáld megfogalmazni az egyenesen arányos mennyiségek fogalmát! Melyik függvény fejezi ki az egyenesen arányos mennyiségeket? Adj példát egyenesen arányos mennyiségekre! Feladat: 2000 Ft-ból süteményt vásárolunk. Az epreskocka darabja 100 Ft, a krémes darabja 250 Ft, a kakaós csiga ára 50 Ft. Ha csak egyfajta süteményt veszünk, akkor mennyit vehetünk minden fajtából? Milyen összefüggés van az egységár és a darab szám között? Töltsd ki a táblázatot! Egységár=x 250 Ft 100 Ft 50 Ft Darab szám=2000/x Feladat: Próbáld megfogalmazni a fordítottan arányos mennyiségek fogalmát! Melyik függvény fejezi ki a fordítottan arányos mennyiségeket? Adj példát fordítottan arányos mennyiségekre! Gyakorlatok: 1. Rövidtávon a gepárd sebessége 120 km/h, a tigrisé 56 km/h az oroszláné pedig 48 km/h. a. Mennyi utat tesz meg egy gepárd 1 perc alatt? b. Mennyivel tesz meg több utat 5 perc alatt a tigris, mint az oroszlán 2. Ha a benzin ára 380 Ft literenként a Mol kutaknál, akkor a. mennyit fizetünk 56,4 l benzinért? b. mennyi benzint kapunk 20 000 Ft-ért, 15 000 Ft-ért? c. a Shell kutaknál a benzin literenkénti ára 386 Ft. Mennyi benzint veszünk 20 000 Ftért? 3. Aprajafalva farmján 20 kis kéktehénnek 28 napra elegendő takarmánya van. Hány napig elegendő ez a takarmány, ha 15 tehenet tartanak a farmon? 4. Példa: Egy jármű 50 km/h egyenletes sebességgel halad. Mennyi utat tesz meg 1 2,3 4, 2, 4 óra alatt? Ábrázoljuk a koordináta rendszerben az idő és az út között fennálló függvénykapcsolatot! 36
7. GEOMETRIA Alapfogalmak: pont egyenes sík illeszkedés Jelölés: A, B, C, d, a, e, S, S1, A d, B d AB=d Tapasztalat alapján igaznak fogadjuk el a következő állításokat (axiómák): Az egyenes pontok halmaza. Két különböző pontra egyetlen egyenes illeszkedik. Egy egyenesre és egy rá nem illeszkedő pontra egyetlen sík fektethető. Két metsző egyenesre egyetlen sík fektethető. Mesélő ábrák AB félegyenes Egy adott pontra egyetlen egyenes illeszkedik, amelyik párhuzamos az adott egyenessel. SZÖGEK 37
Csúcsszögek:nagyságuk egyenlő Párhuzamos szárú szögek: száraik párhuzamosak 38
Tétel: A párhuzamos szárú szögek nagysága egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszög, és kiegészítőszögek, ha az egyik hegyesszög a másik pedig tompaszög. Merőleges szárú szögek: száraik páronként merőlegesek. Tétel: A merőleges szárú szögek nagysága egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszög, és kiegészítő szögek, ha egyik tompaszög, a másik pedig hegyesszög. Feladatok: 1. Egy egyenes 5 különböző pontja hány részre osztja az egyenest? Hány szakaszt határoznak meg? 2. A 42 cm hosszú AB szakaszt a C pont A-tól kezdve 2:5 arányban, a D pont pedig 3:4 arányban osztja. Számítsd ki a C és D pont távolságát. 3. Az AB szakasz 30 cm hosszú, a BC szakasz hossza 2 dm. Mekkora az AB és az AC szakaszok felezőpontjainak távolsága? Gondold át, hogy hány eset lehetséges! Készíts ábrát! 4. Micimackó, Vuk és Csibész otthona egy egyenes út mentén található. Micimackó 1,4 km-re lakik Vuktól, Csibész és Vuk 600 m-re lakik egymástól. Milyen távolságra lehet Csibész és Micimackó? 5. Az AB és BC szakaszok közös része a CB szakasz. Mekkora az AD szakasz, ha AB = 10 cm, CD = 12 cm és CB = 4 cm? 6. Adott 4 kollineáris pont A,B,C,D. Add meg a 4 pont sorrendjét, ha AB=3, AD=4, AC=5 és BD=CD=1! 7. Egy egyenesen adott egy O pont és 4 szakasz, úgy hogy OA = OB = 5 cm, AD=BC=3 cm. Add meg a CD szakasz hosszát! 8. Az ábrán az α = 32 15. Mekkora a többi jelölt szög? Indokold meg minden esetben állításodat! Van-e az ábrán az adott szögekkel egyenlő szög? Ha igen, melyik és miért? 9. Az α = 23 14. Mekkora a szög potszöge? 10. Az α és β szögek mellékszögek. Mekkorák a szögek, ha α szög 24 -kal nagyobb, mint β? 11. Egy szög háromszor akkora, mint a mellékszöge. Mekkora a szög? 12. Mekkora szöget zár be az óra két mutatója a. 3 órakor; b. 7 órakor; c. fél nyolckor. 39
13. Négy szög együtt egyenesszöget alkot, továbbá mindegyik szög az előzőnél 10 -kal nagyobb. Számítsd ki a szögek nagyságát. 14. Rajzolj két merőleges szárú szöget, úgy hogy mindkettő legyen tompaszögű! Mit tudsz mondani a két szög nagyságáról? 15. Két merőleges szárú szög közül az egyik 45 -os, a másik tompaszög. Mekkora a tompaszög? Készíts ábrát! 16. Öt szög együtt teljesszöget alkot (360 -os szög). Mindegyik szög az előzőnél 15 -kal nagyobb. Számítsuk ki a legkisebb szög nagyságát! PONTHALMAZOK SZAKASZ FELEZŐ MERŐLEGESE SZÖGFELEZŐ Tétel: A szakasz felező merőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától, és fordítva, ha egy pont egyenlő távolságra van egy szakasz két végpontjától, akkor rajta van a szakasz felező merőlegesén. Tétel: Egy szög szögfelezőjének pontjai egyenlő távolságra vannak a szög száraitól, és fordítva, ha egy pont egyenlő távolságra van a szög száraitól, akkor rajta van a szögfelezőn. FELADATOK 40 1. Add meg egy d egyenestől 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 2. Add meg egy d egyenestől legfeljebb 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 3. Add meg egy d egyenestől legalább 2 cm távolságra lévő pontok halmazát.
4. Adott három pont a síkon. Add meg a három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát. Van-e olyan eset, amikor üres halmazt kapsz? 5. Adott két egyenes, a és b. Add meg a két egyenestől 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 6. Adott két egymásra merőleges egyenes. Add meg a két egyenestől legfeljebb 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 7. Adott két metsző egyenes. Add meg a két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát. 8. Add meg egy háromszög minden oldalegyenesétől egyenlő távolságra levő pontok halmazát. HÁROMSZÖGEK Három nem egy egyenesre illeszkedő pont háromszöget határoz meg. Osztályozás: oldalak szerint 1. ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG: AZ OLDALAK NEM EGYENLŐK szögek szerint 2. EGYENLŐ SZÁRÚ HÁROMSZÖG: VAN KÉT EGYENLŐ OLDALUK 3. SZABÁLYOS VAGY EGYENLŐ OLDALÚ HÁROMSZÖG: MINDEN OLDAL EGYENLŐ 1. HEGYESSZÖGŰ HÁROMSZÖG: MINDEN SZÖG HEGYESSZÖG 2. DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG: VAN DERÉKSZÖGE 3. TOMPASZÖGŰ HÁROMSZÖG: VAN TOMPASZÖGE Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180. 41
A háromszög külső szögeinek nevezzük a belső szögek mellékszögeit. Tétel: A külső szög egyenlő a nem mellette levő két belső szög összegével. Tétel: A háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Következmény: Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők. Következmény: A szabályos háromszög minden belső szöge 60. Tétel megfordítása: Egy háromszögben egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak vannak. Tétel: Bármely háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, és fordítva. Tétel: Háromszög egyenlőtlenség: A háromszög bármely két oldal hosszának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Következmény: A háromszög bármely oldala nagyobb a másik két oldal különbségének abszolút értékénél. Háromszögek szerkeszthetősége: Ha a,b,c pozitív számokra teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek a + b > c, b + c > a, a + c > b, akkor az a,b,c hosszúságú szakaszokkal háromszög szerkeszthető. A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI 42
Tétel: A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük. Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont mindegyik súlyvonalat 1:2 arányban oszt két részre, a hosszabbik rész másik végpontja a háromszög csúcsa. Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írt kör középpontja. Tétel: A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja. TERÜLET, KERÜLET A háromszög területe egyenlő az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának felével. A háromszög kerülete a három oldal hosszának összege. A háromszög területét még kiszámíthatjuk, ha adott mind a három oldal hossza, a Héron képlettel: T = s(s a)(s b)(s c), ahol s = a+b+c. 2 43
Feladatok: 1. Adott egy olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek két 62 -os szöge van. A szára vagy az alapja a hosszabb? 2. Mekkorák a derékszögű háromszög szögei, ha egyik külső szöge 120? 3. Egy háromszögben két szög aránya 2:5. Ha a harmadik szög 80, mekkorák a háromszög szögei? 4. Mekkora a háromszög külső szögeinek összege? Állításodat indokold! 5. Egy egyenlő szárú háromszög egyik belső szöge a külső szögek összegének tizedrésze. Mekkorák a háromszög szögei? 6. Egy háromszög szögeinek aránya 1:2:6. Mekkorák a háromszög szögei? 7. Egy háromszög oldalainak aránya 2:3:5. Mekkorák az oldalak hossza, ha a kerülete 46 cm? 8. Egy háromszög egyik szöge fele a másiknak, és ennek 3 4 része a harmadik szög. Mekkorák a háromszög szögei? 9. Az alábbi ábrán vannak-e egyenlő szögek? Ha igen, miért? 10. Van-e olyan háromszög, amelyben a magasságpont a háromszög egyik csúcsa? Válaszodat indokold! 11. Rajzolj egy olyan háromszöget, amelynek a magasságpontja a háromszögen kívül van! 12. Egyenlő szárú háromszög egyik csúcsához tartozó magassága a másik szárral 12 -kal kisebb szöget alkot, mint az alapon levő szög. Mekkorák a háromszög szögei? 13. Egy háromszög oldalaira teljesül, hogy a<b<c. A háromszög két szöge 92 és 36. Melyik oldal fekszik a harmadik szöggel szemben? 14. Egy egyenlő szárú háromszög két oldala: a. 3 cm, 7 cm b. 4 m, 80 dm Mekkora lehet a harmadik oldal? Melyik nagyobb szög: az alapon fekvő vagy a szár szög? 15. Melyik igaz az alábbi állítások közül? Válaszodat indokold! a. A háromszögbe írt kör középpontja a súlypont. b. Van olyan háromszög, amely esetén a beírt kör középpontja rajta van egyik magasságon. c. A szabályos háromszögben a magasságpont, a beírt kör, a körülírt kör középpontja, a súlypont egybeesik. d. Ha két háromszög területe egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. e. Ha két háromszög egybevágó, akkor területük egyenlő. 16. Egy háromszög egyik oldala 1,8 m, a másik 0,7 m. Hány méter a harmadik oldal, ha mérőszáma egész szám? 17. Egy mezőn egyenesen sétálva megteszünk 27 m-t, majd elfordulunk valamerre, és tovább gyalogolunk 52 m-t, végül egy újabb irányváltoztatás után visszatérünk a kiindulás pontjába. Legalább mennyit kell még gyalogolnunk, ha tudjuk, hogy a távolság méterben mérve egész szám? 18. Igazold, hogy bármely háromszögben az a oldal és a b oldalhoz tartozó magasság által bezárt szög egyenlő a b oldal és az a oldalhoz tartozó magasság által bezárt szöggel.(keress jellegzetes szögpárt.) 44
19. Egy háromszög két oldala 6 cm és 9 cm. Mekkora a 6 cm-es oldalhoz tartozó magasság, ha 9 cm-eshez 4 cm- es magasság tartozik? 20. Igazold, hogy a háromszög súlyvonala a háromszöget két olyan háromszögre bontja, amelyeknek területe egyenlő! 21. Mekkora az ABC háromszög területe, ha F és D felezési pontok, G és E negyedelő pontok? Az AGE háromszög területe 3 cm 2. 22. Egy háromszög oldalai 4 cm, 7 cm és 9 cm hosszúak. Mekkora a területe? Ki tudod számítani a beírható kör sugarát? (kösd össze a beírható kör középpontját a csúcsokkal, így a háromszöget felbontottad 3 kisebb háromszögre.) Fogalmazd meg általánosan az eredményt! PITAGORASZ TÉTELE ÉS MEGFORDÍTÁSA http://tube.geogebra.org/material/show/id/948509 Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszögben két oldal négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Feladatok: Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.: 1330, 1331, 1333, 1334, 1335, 1339,1338, 1353, 1355, 1364. NÉGYSZÖGEK 45
Trapéz: olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. Tulajdonság: A trapéz ugyanazon a száron fekvő szögei kiegészítő szögek. Húrtrapéz: van szimmetria tengelye (az alapokra merőleges egyenes). A húrtrapéz szárai egyenlők. A húrtrapéz alapon fekvő szögei egyenlők. Sajátos trapézok Paralelogramma: olyan trapéz, amelyben a szemközti oldalak párhuzamosak. Tétel:Paralelogramma tulajdonságai: szemközti oldalai egyenlők; szemközti szögei egyenlők; egymás melletti szögek kiegészítő szögek; átlók felezik egymást. Fordított tétel: Ha egy négyszögben valamelyik az alábbi tulajdonságokból teljesül, a szemközti oldalak párhúzamosak; a szemközti szögek egyenlők; egymás melletti szögek kiegészítő szögek; szemközti oldalak egyenlők, két szemközti oldal egyenlő és párhúzamos; átlók felezik egymást akkor a négyszög paralelogramma. 46
Téglalap: Olyan paralelogramma, amelynek van egy derékszöge. Tehát a téglalap rendelkezik a paralelogramma minden tulajdonságával. Sorold fel őket! Plusz tulajdonság: A téglalap átlói egyenlők. Rombusz: A rombusz olyan paralelogramma, amelynek két szomszédos oldala egyenlő. A rombusz rendelkezik a paralelogramma minden tulajdonságával. Sorold fel őket! Plusz tulajdonság: A rombusz átlói merőlegesek egymásra és felezik a szögeket. Négyzet: olyan téglalap,amelynek szomszédos oldalai egyenlők. olyan rombusz amelynek van egy derékszöge. A négyzet rendelkezik a téglalap és a rombusz tulajdonságaival. Sorold fel őket! Deltoid A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő. 47
A négyszögek osztályozása: TERÜLETEK Feladatok: 1. Melyik állítás igaz és miért? a. Minden paralelogramma trapéz. b. Van olyan trapéz, ami deltoid. c. Minden deltoid paralelogramma. d. Ha egy négyszög szemközti szögei egyenlők, akkor a négyszög paralelogramma. e. Van olyan rombusz, amelynek egyik átlója egyenlő az oldal hosszával. 48
2. Egy trapéz szemközti szögei 68 és 105. Mekkora a másik két szög? 3. Egy trapéz két szöge 72 és 118. Mekkora a másik két szög? 4. Egy derékszögű trapéz derékszögű szára 8 cm. Ha egyik alapja 18 cm és egyik szöge 45, mekkora a trapéz másik két oldala? 5. Egy paralelogramma egyik szöge a mellette lévő szög háromötöde. Mekkorák a paralelogramma szögei? 6. Egy rombusz egyik átlója az oldallal 24 -os szöget zár be. Mekkorák a rombusz szögei? 7. Hány fokosak a paralelogramma belső szögei, ha egyik belső szöge egyenlő egy másik belső szög kétharmadával? 8. Mekkora egy négyzet oldala, ha területe egyenlő a 16 cm és 9 cm oldalú téglalap területével? 9. Egy téglalap alakú kert kerülete 50 m. oldalainak aránya 2:3. Mekkora a kert területe? 10. Egy paralelogramma két oldala 5 cm és 8 cm, a rövidebb oldalhoz tartozó magassága 6 cm. Mekkora a másik magasság? 11. A mellékelt ábrán egy vasúti töltés keresztmetszete látható. Mekkora a területe, ha az adatok méterben adottak? 12. Egy 60 cm és egy 80 cm hosszú pálcika segítségével (átlók) deltoid alakú sárkányt készítünk. Mekkora lesz a sárkány területe? 13. Egy négyzet oldalát 5 cm el megnöveljük, így területe 625 cm 2. Mekkora volt az eredeti négyzet oldala? 14. Egy trapéz magassága 5,4 cm, alapjainak arány 3:5. Mekkorák az alapok, ha a területe 81 cm 2? SOKSZÖGEK. SZABÁLYOS SOKSZÖGEK 49
Az n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma: n(n 3) Az n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege:(n 2)180. Szabályos sokszögek azok, amelyeknek oldalai és szögei egyenlők. Feladatok: 1. Hány átló húzható egy konvex sokszög egy csúcsából? Igazold az átlók számára vonatkozó képletet! 2. Igazold a konvex sokszög belső szögeinek összegére vonatkozó képletet! 3. Hány átlója van egy konvex hatszögnek, nyolcszögnek, tizenkétszögnek? Mennyi ezeknek a sokszögeknek a belső szögeinek összege? 4. Hány átlója van annak a konvex sokszögnek, melynek belső szögeink összege 1440? 5. Mekkorák a konvex hatszög szögei, ha azok úgy aránylanak egymáshoz, mint 1:2:3:5:6:7? 6. Mekkora a szabályos ötszög, hatszög, nyolcszög, tízszög belső szöge? 7. Egy szabályos sokszög egyik szöge 160.Hány oldalú a sokszög? 2. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk és értékkészletük ponthalmaz. Minden geometriai transzformáció esetén a következő tulajdonságokat nézzük: fixpont létezése (olyan pont, amelynek képe önmaga) invariáns alakzatok (olyan alakzatok, amelyeknek pontjai nem fix pontok, de az alakzat képe önmaga) egyenestartó (egyenes képe egyenes) távolságtartó (szakasz és képének hossza megegyezik) szögtartó (szög és képének nagysága ugyanaz) Def: Egy alakzatot szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan geometriai transzformáció, amelynél az alakzat képe önmaga. Def: A távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük. Def: Két alakzatot egybevágónk nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amelyik az egyiket a másikba viszi. Tengelyes tükrözés: az a geometriai transzformáció, amely a sík egy t egyenesének minden pontjához önmagát rendeli, hozzárendeli a P pontot, úgy hogy a PP szakaszt a t egyenes merőlegesen felezze. 50
Középpontos tükrözés: (a fenti definíció mintájával és a mellékelt ábra alapján próbáld meg te megfogalmazni, hogy mit nevezünk középpontos tükrözésnek). Thalész tétel Thalész tétel: Ha egy kör átmérőjének végpontjait összekötjük a kör kerületének bármely más pontjával, akkor a keletkezett háromszög derékszögű. http://tube.geogebra.org/material/show/id/1451099 Thalész tételének megfordítása: Derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja. http://tube.geogebra.org/material/show/id/1451107 Feladatok: 1. Mekkora a mellékelt ábrákon látható négyszögek területe és kerülete? 2. Szerkessz egy adott körhöz egy külső pontból érintőket! A külső pont és az érintési pontok által meghatározott szakaszokat érintőszakaszoknak nevezzük. Mit tudsz mondani ezek hosszáról? Állításodat indokold! A szerkesztést végezd a GeoGebra programmal! Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.: 531, 532, 536, 541, Paralelogramma, háromszög és trapéz középvonala Def: A paralelogramma két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a paralelogramma középvonalának nevezzük. Tétel: A paralelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő a két nem felezett oldallal. 51