III.3. GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ Tárgy, téma Algebra, százalékszámítás, statisztika. Előzmények A feladatsor jellemzői Százalék fogalma, a jó mintavétel fogalma, valószínűség kiszámítása klasszikus valószínűségi mezőben. Cél A kritikai gondolkodás fejlesztése, a hihetőnek tűnő adatokon való elgondolkodás igényének kialakítása, a kételkedés hasznosságának kiemelése, a szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata + Felhasználási útmutató A feladatokat nem annyira a tartalmuk, hanem az üzenetük köti össze. A fejlesztendő terület a statisztika egyik alapkérdése: az adatok és a valóság közötti helyes kapcsolat felmutatása, a szövegértés és a szöveg mögött megbúvó tartalmak felismerése. A feladatsort a középiskola valamennyi évfolyamán ajánljuk. Mivel a feladatok tematikusan nem függnek össze és elég tömény szövegezésűek, így nyugodtan külön-külön is ki lehet tűzni őket. A feladatok szövege hosszú, nehéz és tartalmazhat olyan kifejezéseket, fogalmakat, amiket célszerű a diákokkal közösen értelmezni, megbeszélni, esetleg még a megoldás előtt vagy olykor tanári döntés szerint a megoldás közben, amikor felmerül a kérdés. (A 5.d) feladatban például előkerül az ÁFA fogalma, ezt esetleg nem ismerik, nem tudják a kérdést megválaszolni. Nem baj, ez fejlesztő feladatsor, nyugodtan tesztelhetjük egy kicsit a diákok tájékozottságát.) Mindegyik feladatnál nagyon kell figyelni minden szóra. A feladatmegoldás során fel kell hívni a figyelmet a feladatok szövegében szereplő érvelések hihetőségére, amelyek az alaposabb elgondolkodás nyomán átverésnek bizonyulnak. A feladatok szerkezete segítő kérdéseken keresztül juttatja el a diákokat a helyes összefüggések felismeréséhez. A kérdések lépésről lépésre viszik előre a tanulókat. Javasoljuk, hogy az érdeklődőbb és jól motivált diákcsoportoknál a tanulók ne III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 1.oldal/9
kapják meg előre a segítő kérdéseket, csak a konkrét szituációt, a hírt, és a segítő kérdések folyamatos adagolásával fedeztessük fel velük az igazságot. A feladatok megoldása kisebb csoportokban is végeztethető, ekkor az egymás közötti érvelések és viták során jobban fejlődik a tanulók vitakészsége. Az sem elhanyagolható, hogy a beszélgetések során egymástól jobban elfogadják és a szituációnak köszönhetően talán jobban rögzítik is a tanulók a lényeges lépéseket. Érdemes egyesével alaposan megbeszélni az ötleteket, megoldásjavaslatokat. Néhány ilyen feladat megoldása után biztassuk a diákokat arra, hogy hozzanak ők is ilyen valós vagy kitalált Gyümölcs TV-s híreket. Érdemes a gyakorlati életben vett szóhasználatra felhívni a figyelmet: például kamatváltoztatásnál sosem azt mondják, hogy hány százalékkal változik a kamat, hanem azt, hogy hány bázisponttal (azaz nem relatív értéket, hanem a százalékláb tényleges változását közlik 1 bázispont megfelel a belföldi kamatláb 0,01 %-os változtatásának). Ez tükröződik az 7. és valamelyest a 6. feladatban is. A feladatok feldolgozása során érdemes figyelmet fordítani arra, hogy kinek mikor esik le a tantusz, azaz a megoldási menet mely fázisában veszi észre az átverést. Csoportmunkában való foglalatosság esetén figyeljük meg az egymás közti kommunikációt, valamint azt, hogy mely diákok véleménye alapján alakul ki a csoport állásfoglalása az egyes kérdésekben. Az 1 2. feladat nem okozhat problémát senkinek. A többi feladatban a könnyebb kérdésekkel boldogulnia kell a többségnek, míg a 4. feladat nehezebb, de megdöbbentő eredményei alapján várhatóan eléggé motiváló lesz ahhoz, hogy legalább közös megbeszélés után mindenki értse és megértse. A gyakorlati és a matematikai értelemben vett szóhasználat eltéréseit mindenkinek meg kell értenie. A feladatok nehezebb részkérdéseinek önálló megválaszolása csak a legjobbaktól várható el. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 2.oldal/9
GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ Feladat sor Hamarosan jövünk a HÍRADÓval, addig egy kis reklám. Vásároljon az MAXI-nál féláron! Pénze felét visszaadjuk! Most minden 10 000 Ft feletti vásárlás esetén 5 000 Ft-os ajándékkupont kap, amit levásárolhat bármelyik üzletünkben. 1. Így valóban féláron vásárolunk? Mutass példát, melyből kiderül, hogy igen, vagy nem! Vásároljon a Szuperfrukttól! Ha a mi gyümölcseinkből vásárol, minden elköltött 1000 Ft után egy matricát kap, amiből 10-et beragasztva a gyűjtőfüzetbe 10%-os kedvezményt adunk a következő vásárlásnál! Így akár 100 000 Ft-ot is megspórolhat! 2. a) Igazat állít-e a reklám? b) Mennyiért kellene gyümölcsöt vásárolni 10 matrica összegyűjtése után, hogy 100 000 Ft-ot megtakarítsunk? És most kezdődjön a híradó! ZÚGOLÓDNAK A MÁLNATERMELŐK Az elmúlt 12 hónapban a málnaszörp ára erősen ingadozott a gyümölcstőzsdén. Hosszú stagnálás után 2005. januárban az ár 20%-kal magasabb lett, majd áprilisban 20%-kal alacsonyabb, júliusban megint 20%-kal emelkedett, végül októberben ismét 20%-kal csökkent, aztán az ár már nem változott. A boltokban a málnaszörpöt ma is ugyanazon az áron árulják, mint a 2004. év végén, hivatkozva a kiegyenlített áringadozásra (+20%, 20%, +20%, 20%). A málnatermelők szerint jelentősen csökkent a felvásárlási ár, így a boltok kihasználják a szörpfogyasztók naivitását, és a korábbinál magasabb haszonkulccsal árulják a szörpöt. A Fogyasztóvédelmi Főfelügyelőség eljárást indított, hogy kivizsgálja az ügyet. (Elhangzott a 2006. januári adásban) III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 3.oldal/9
3. a) Ha 2004. decemberében 1000 Ft-ba került egy liter málnaszörp a gyümölcstőzsdén, akkor mennyibe került fél évvel később? b) Mennyibe került a málnaszörp a tőzsdén a hír elhangzásakor? c) Hány százalékkal nőtt vagy csökkent a tőzsdei ár összességében 2004. decemberéhez viszonyítva 12 hónap alatt? d) A haszonkulcs azt mutatja meg, hogy a beszerzési árhoz képest hány százalékkal drágábban árulják az árut a kereskedők. Igazuk volt-e a termelőknek, amikor a hírben elhangzott kijelentést tették? e) Ahhoz, hogy a málnatermelők úgy érezzék, nem járnak rosszabbul, a 2004. év végén érvényes ár hány százalékáért kellene árulniuk a kereskedőknek a málnaszörpöt? ISMÉT ELÉGEDETLENSÉG A Magashegyháti Zöldek tegnap tüntetést szerveztek a fenyőfák megmentéséért. A tüntetésen megjelent az erdőgazdaság igazgatója és beszédet mondott: Emberek! Ennek a tüntetésnek semmi értelme! Nézzék, az adatok önmagukért beszélnek! Két éve az erdő állományának 99%-a volt fenyőfa. Tavaly 98% és idén 97% lett a fenyőfák aránya. Igaz, hogy az elmúlt két évben csak fenyőfákat vágtunk ki, no de ki mondaná a számok tükrében, hogy ez erdőirtás? A békétlenkedők ezt hallva megnyugodtak, és kart karba öltve vidáman hazaindultak. 4. a) Ha két éve 30 000 fa volt az erdőállomány, akkor ebből hány fenyőfa volt? b) Hány nem fenyő élt az erdőben 2 éve? c) Tavaly hány fenyőfát vágtak ki? d) Hány nem fenyő élt tavaly az erdőben? e) Idén hány fenyőfát vágtak ki? f) Hány fa maradt az erdőből erre az évre? g) Hány százalékát vágták ki a fáknak két év alatt? h) Valóban erdőirtás történt? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 4.oldal/9
Segítség: Az erdő 2 éve: Rajzold meg a tavalyi állapotot: Két éve a fák 99%-a fenyő Tavaly a fák 98%-a fenyő 1%-a nem fenyő 2%-a nem fenyő Próbáld megrajzolni ezek alapján az idei állapotot is! K ENYERET ÉS CIRKUSZT! A Pékek és Sütödei Dolgozók Országos Tanácsának elnöke nyilatkozik a kenyér tervezett áremelése kapcsán. A kenyér árának emelése az utóbbi időben lezajlott gazdasági folyamatok miatt elkerülhetetlen. A benzin ára 5%-kal, a kenyér legfőbb alapanyagául szolgáló liszt ára 10%-kal drágult, a bérek kötelező emelése és ebből fakadóan a fizetendő járulékok emelkedése 5%-kal növeli meg az ilyen jellegű kiadásainkat. A kenyér árából fizetendő általános forgalmi adó is 5%-kal emelkedik, ami szintén növeli a terheinket. Ez tehát öszszesen 25%-os emelkedés a költségekben, melyet már nem tudunk felvállalni. Ennek megfelelően a kenyér vevők által fizetendő árát 25%-kal vagyunk kénytelenek emelni. 5. a) Tegyük fel, hogy egy kg kenyér termelői ára 150 Ft (ennyit kapnak a pékek), amely az alábbi összetevőkből alakul ki: 70 Ft a liszt ára, 10 Ft az egyéb alapanyagok ára, 10 Ft a szállítási költség (benzin), 15 Ft a sütés során elhasznált energia mennyisége, 40 Ft a munkadíj és az utána fizetendő járulékok és 5 Ft a pékség tulajdonosának haszna. Hány százalékkal változik a 150 Ft-os (nettó) ár az egyes összetevőknek a riportban említett ár-, illetve költségváltozása miatt? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 5.oldal/9
b) Ha a kenyérrel kapcsolatos minden költség 5%-kal emelkedne, akkor hány százalékos áremelést tartanál indokoltnak? c) Ha a kenyérrel kapcsolatos minden költség 5%-kal emelkedne, és a pékek emiatt a kenyér árát 5%-kal emelnék, akkor változatlan maradna a pékek haszna? d) Válaszd ki a nyilatkozatban említettek közül azt az áremelési okot, amely a kenyér teljes árára egységes hatást gyakorol! e) Az úgynevezett nettó ár 15%-a az általános forgalmi adó, amely rárakódik a nettó árra. Ha például 1 kg kenyér bolti nettó ára 200 Ft, akkor az ÁFÁ-val növelt ár 230 Ft. Ha az általános forgalmi adót 20 %-ra növelik, akkor ez hány százalékkal változtatja meg a kenyér teljes (forgalmi adóval együtt fizetendő) árát? f) Ha a kenyér nettó egységára 250 Ft, akkor az ÁFA mértékének növelése hány százalékkal változtatná meg a teljes árat? És ha 300 Ft a nettó ár? CSATLAKOZÁSI KÍSÉRLET Kati érdeklődését felkelti a tv egyik műsorában látott hirdetés. Lépj be a Diákok Vásárlói Klubjába (DVK), mert ha klubtagként vásárolsz az Interneten, a mindenkori internetes árból 5% engedményt kapsz! Kati már vásárolt könyvet az Interneten, és tudja, hogy a Könyvmoly Kereskedés a bolti árhoz képest 5%-kal kínálja kevesebbért a könyveit az Interneten. De azt is tudja, hogy a Könyvmoly Kereskedésben a helyszínen a diákok 10% engedménnyel vásárolhatnak. (Kati természetesen diák.) Gondolkodik, és arra a következtetésre jut, hogy a DVK tagja lesz, mert így is 10% engedményt kap a könyvek árából, de otthonról is el tudja intézni a vásárlást, és így jobban jár (időt nyer). Te mit tennél a helyében? 6. Tegyük fel, hogy a Kati által kinézett könyv a Könyvmolynál 1000 Ft-ba kerül. a) Hány Ft a könyv internetes ára? b) Hány Ft engedményt adnak ebből a DVK tagjainak? c) Hány Ft-ért kapják meg a DVK tagjai a Könyvmoly Kereskedéstől a könyvet internetes rendelés esetén? Ez hány százaléka az eredeti árnak? d) Hány Ft engedményt adnak a helyszíni vásárlás esetén? e) Megéri-e a DVK tagjának lenni a Könyvmoly Kereskedésben való vásárlás miatt? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 6.oldal/9
MŰVÉSZBUTATVÁNY A Gyümölcs TV Gazdasági Híradójában Bikkmakk Béla, a Mókus Bank elnöke és Magrágó Márton, a Hörcsög Bank vezérigazgatója válaszolt a riporter kérdéseire. Milyen lépésekre készül a bankjuk vezetése a gazdasági helyzet változása miatt? A megtakarítások növelése érdekében a lakossági betétkamatokat 25 bázisponttal emeljük válaszolta Bikkmakk úr. Kevésbé tájékozott nézőinknek áruljuk el, mit is jelent ez pontosan! Ez azt jelenti, hogy a kamatlábak értékét emeljük 0,25%-kal. Például, ha eddig a kamatláb 6% volt, akkor ezután 6,25% lesz. És önök mit terveznek? Mi ennél jelentősebb mértékben, 0,5%-kal emeljük a kamatok nagyságát. Ez mindenki számára nyilvánvalóvá teszi, hogy a Hörcsög Bankba érdemesebb pénzt vinni, mint Mókusékhoz válaszolta Magrágó úr. Riporteri kötelezettségemnek érzem, hogy a kedves nézőknek elmondjam, természetesen a bankok által egy évre adandó kamatokról van szó. 7. Tegyük fel, hogy van 100 000 forintunk, amit el szeretnénk helyezni valamelyik bankban, és tegyük fel azt is, hogy mindkét bankban eredetileg 6% volt a betéti kamatláb. a) Mennyi kamatot kapunk az eredeti kamatláb szerint egy év időtartamra? b) Mennyi kamatot kapunk, ha a megemelt kamatra a Mókus Bankba tesszük a pénzünket? c) Mennyi kamatot kapunk a Hörcsög Bankban, ha a korábban kiszámított kamatunk öszszegét emelik 0,5%-kal? Megtehetik ezt a riportban elhangzott bejelentés alapján? d) Hány százalékpontos kamatlábemelést hajt végre a Hörcsög Bank? e) Hogyan értékeled ennek alapján a híradóban elhangzott kijelentéseket? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 7.oldal/9
MEGOLDÁSOK 1. Nem. 10 000 Ft elköltése esetén 15 000 Ft értékű árut kapunk, amit így 66,67 százalékos áron vásároltunk, azaz legfeljebb 33,33% lehet a kedvezmény. (Azért legfeljebb, mert ha több mint 10 000 Ft-ot költünk első alkalommal, akkor csökken a kedvezmény.) 2. Igazat, amennyiben a 10 matrica (és 10 000 Ft elköltése) után 1 000 000 Ft-ért veszünk gyümölcsöt. Ekkor valóban 100 000 Ft kedvezményt kapunk. (Utána gyümölcsparti a stadionban!) 3. a) 1000 1,2 0,8 = 960 (Ft) az ára fél év elteltével. b) 1000 1,2 0,8 1,2 0,8 = 1000 1,2 2 0,8 2 921,6 (Ft) a málnaszörp ára egy év elteltével. c) 7,84 százalékkal csökkent az ár. d) Igen, igazuk van a termelőknek. e) A 2004-ben érvényes ár 92,16 százalékáért kellene árulni a szörpöt a boltokban (feltéve, hogy a haszonkulcs mértéke nem változott). 4. a) 29 700. b) 300. c) A 300 nem fenyő egy éve a teljes faállomány 2 százaléka, így 15 000 fa maradt meg, vagyis 15 000 fenyőt vágtak ki tavaly. d) 300. e) A 300 nem fenyő a jelenlegi teljes faállomány 3 százaléka, így 10 000 fa maradt meg, vagyis 5000 fenyőt vágtak ki idén. f) 10 000. g) A fák 2/3 részét kivágták, azaz kb. 66 3 2 százalékát vágták ki a fáknak 2 év alatt. h) Igen, ez erdőirtás. 5. a) A liszt 70-ről 77 Ft-ra emelkedik, a benzinköltség 10 Ft-ról 10,5 Ft-ra változik, a munkadíj 40 Ft-ról 42-re emelkedik. Ez összesen 9,5 Ft emelkedést jelent, ami a 150 Ft-nak 6 3 2 százaléka. b) 5%; esetleg annyival csökkentve, hogy a pékek hasznának nagysága ne változzon. c) A pékek haszna is 5 százalékkal emelkedne. d) Az általános forgalmi adó emelése indokolja a teljes ár egységes megváltoztatását. e) Ha eddig a nettó ár 200 Ft volt, akkor 30 Ft volt az ÁFA. Ha most megemelik az ÁFÁT 20 százalékra, akkor az 40 Ft-ot jelent. Ez a 230 Ft-os bruttó árhoz képest 10 Ft-os, azaz kb. 4,35%-os emelést jelent. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 8.oldal/9
f) Ha x volt az eredeti nettó ár és így 1,15x a teljes ár, akkor az ÁFA növelése után 1,2x a 1,2 x 1,15 x teljes ár, ami 100 4, 35%-os növekedést jelent, függetlenül a kiindulási 1,15 x nettó ártól. 6. a) 950 Ft. b) 950 Ft-nak az 5 százalékát, azaz 47,5 Ft-ot. c) Az internetes rendelésnél a DVK tagjai 902,5 Ft-ot fizetnek, ez 90,25 százaléka az eredeti árnak. d) Helyszíni vásárlás esetén 100 Ft az engedmény. e) A válasz attól függ, hogy a helyszíni vásárláshoz képesti 2,5 Ft veszteséget hogyan értékeljük. 7. a) 6000 Ft. b) 6250 Ft. c d) 6000 Ft 0,5 százaléka 30 Ft, tehát a megemelt kamat 6030 Ft. Ez 6,03 százalékos kamatlábat jelent! Megtehetik, hiszen a kamatot tényleg megemelték 0,5 százalékkal, a kamatlábat viszont nem, de ők nem is arról nyilatkoztak. e) A Hörcsög Bank vezetője a lakosság számára félrevezető adatokat közölt! III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.3. Gyümölcs TV Híradó 9.oldal/9